Het weer heeft geen geheugen

Het is nu al enkele weken achterelkaar droog. Er valt geen druppel regen. “Dan zal het morgen wel gaan regenen.” zegt een mevrouw bij de kapper. “Ja, dat zit er dik in. Net nu de schoolvakantie begint.”, zegt de kapster.

Volgens weerkundige Peter Kuipers Munneke heeft de kans dat het morgen regent niets te maken met hoe lang het al droog is.  “Het weer heeft geen geheugen”.  Zegt hij op bezwerende toon. “Het is net als met dobbelen”, legt hij uit. Ook al heb je 5 keer achterelkaar een 6 gegooid, de kans op een 6 is net zo groot als die was bij de eerste worp. Net als het weer weet de dobbelsteen niet wat er eerder gebeurd is. Geheugen is dat een gebeurtenis een indruk heeft achtergelaten die als een teken voor iemand verwijst naar die vroegere gebeurtenis in een herinnering. Zo kan via het geheugen het verleden van invloed zijn op wat er gaat komen. Bij het weer is dat dus niet zo; het weer heeft geen geheugen.

Collega weervrouw Helga van Leur prijst Peter’s heldere uitleg. Maar dat het weer geen geheugen heeft, daar valt volgens haar wel wat op af te dingen. Want, zegt ze, het weer is onderdeel van de natuur en de natuur heeft wel een geheugen (Klopt, zie de klimaatverandering, de kraaiepootjes van Helga en mijn toenemende geheugenverlies). Dus, concludeert Helga met de ijzeren logica van de weervrouw: heeft het weer als onderdeel van de natuur ook een geheugen.

Of dit wel zo logisch is, dat laat ik even in het midden. Waar het mij hier om gaat is het volgende. Peter komt met een weermodel op de proppen:  het model van het gooien met een dobbelsteen.  Een kansmodel waarvan iedereen die op school op heeft zitten letten wel eens gehoord heeft. Het is een wiskundig model dat je kunt gebruiken om kansen te berekenen. En dat is toch het ideaal van kennis, niet waar? Dat je iets kunt berekenen. Hoe die kans uit te rekenen? Daar kom ik nog op. Wat Helga betwist is of dat model wel klopt.   En dat is een heel andere kwestie: de keuze (of constructie) van het juiste model. En dat is geen wiskunde. Helga legt uit waar dat geheugen van de natuur uit bestaat. Door de voortdurende droogte verandert er namelijk iets in de natuur: temperatuur, winden, verdamping, wolkenvorming. En dat heeft gevolgen voor de kans op regen. Zo’n complex model is volgens Helga beter om het weer te voorspellen dan het simpele model van Peter. (Dat weet Peter natuurlijk ook wel. Maar ja, zendtijd is kort dus moeten we niet te moeilijk doen. Zo transformeren de populaire media kennis tot een beetje kennis. En zoals G.H. Hardy al stelde in zijn Apologie van een wiskundige: “A little learning is a dangerous thing.”.)

Bovendien gaat Peter er vanuit dat een dobbelsteen geen geheugen heeft. En dat waag ik te betwijfelen. Want, “de natuur biedt weerstand aan de haar opgedrongen vorm door verslijt” (P.  de Bruin, S.J., Philosophie der Techniek, 1936) .  Door het werpen slijt de steen en verandert haar gedrag. Helga zou zeggen; die dobbelsteen van Peter (of beter nog: het gooien ermee) is een onderdeel van de natuur en de natuur heeft een geheugen dus de dobbelsteen heeft een geheugen. (Een redenering waarvan de correctheid zwaar belast is door de interpretatie van de deel-van relatie. Maar daar zou ik het hier niet over hebben.)

Ja, zal Peter hierop zeggen: ik heb het niet over een echte dobbelsteen. Klopt. Peter heeft het over een wiskundig model, over een wiskundig object. En wiskundige objecten (getallen, functies, grafen, meetkundige figuren, kortom structuren) zijn heel andere soorten dingen zijn dan de waarneembare, voelbare, zichtbare, harde of zachte dingen om ons heen; de fysieke objecten, waar wij als lichamelijke wezens mee van doen hebben.  Voor veel fysici zijn wiskundige dingen net zo echt als stoelen en andere dagelijkse objecten. Sommigen beschouwen wiskundige structuren zelf als echter dan de waarneembare dingen. In “Our Mathematical Universe” verdedigt de fysicus Max Tegmark de stelling dat er een externe werkelijkheid bestaat buiten onze waarneming en dat deze een wiskundig object is. De taak van de fysici is deze te relateren aan onze dagelijkse werkelijkheid.

En dan nu even rekenen. Hoe groot is de kans dat je een 6 gooit met een dobbelsteen? Een eerste gedachte is: 1/6. Waarom?  Er zijn 6 mogelijkheden. Die hebben allemaal dezelfde kans. De som van alle kansen is 1. Dus 1/6.  Dat zijn nogal wat aannames. Kennelijk heeft die dobbelsteen 6 kanten en is het een “eerlijke” dobbelsteen. Hoe weten we dat?  Hier komt weer het belangrijke onderscheid tussen wiskunde en fysica. Als onze eerlijke 6-kantige dobbelsteen een wiskundig object is, dan weten we dat de kans 1/6 is  op grond van onze definitie van een eerlijke dobbelsteen.  Daar is geen speld tussen te krijgen. “Eerlijk” is dan een term, die wijst naar een wiskundige eigenschap van een wiskundig object. Het wordt anders wanneer we het over een echte dobbelsteen hebben. Om daarvan te bepalen wat de kans op een zes is moeten we eerst kennis van deze steen verzamelen. Is dit wel een “eerlijke” dobbelsteen? Neen, natuurlijk niet. Het is immers geen wiskundig object. De vraag is of we deze echte dobbelsteen (of beter: het gooien ermee) als een wiskundig eerlijke dobbelsteen kunnen beschouwen.

Een antwoord vinden op die vraag gebeurt bij voorkeur door data te verzamelen: experimenten doen (vaak met de dobbelsteen gooien) en uitkomsten tellen. Als je 600 keer gegooid hebt en 105 keer een zes hebt gegooid, dan zeggen we dat de kans vrij groot is dat de kans om een zes te gooien met deze dobbelsteen 1/6 is. Het zijn de statistici die hierover hele ingewikkelde theorieen hebben opgesteld (waar de meeste studenten met enige huiver aan terugdenken) waar ze het overigens nog steeds niet over eens zijn wat nu het beste model is. (Ik zou bijna zeggen:  “Over onzekerheid valt niets met zekerheid te zeggen”, maar dit klinkt weer zo onlogisch.)  Van de fysicus Jaynes is de uitspraak dat sinds de wiskundigen de statistiek van de natuurkundigen hebben overgenomen (begin 20ste eeuw) ze er een zootje van hebben gemaakt. Een zootje misschien niet, maar wiskundigen maken wel van alles wat ze aanpakken iets anders dan het was.  Als een wiskundige het over een dobbelsteen heeft dan weet je dat hij het niet over een echte dobbelsteen heeft. Net zomin als een Turing machine een machine is, een formele taal een taal, of kunstmatige intelligentie echte intelligentie is.  Het is eerder gezegd (maar het wordt vaak vergeten): de wiskundige zegt A, bedoelt B, schrijft C, terwijl het D had moeten zijn.).  Dat is niet erg zolang we ons maar niet laten verleiden door de schoonheid van de koningin der wetenschappen en denken dat ze zegt wat ze bedoelt.

Terug naar het weer.  Mijn vrouw zegt: je hebt mooi praten, maar toch is de kans dat het 5 dagen achterelkaar droog is kleiner dan de kans dat het 4 dagen achter elkaar droog is. Ik weet niet hoe ze daar aan komt maar mijn gevoel zegt dat dat klopt. Vrouwenlogica: rijtjes van 4 van dezelfde dingen zijn delen van rijtjes van 5 van dezelfde dingen. En dat geldt ook voor de dobbelsteen van Peter: de kans op 5 keer 6 is kleiner dan de kans op 4 keer 6. Dus?  Is dus de kans dat het na vier droge dagen de volgende dag regent niet groter dan na drie droge dagen?  Zei de oude meester Laplace al niet dat om de kans te berekenen dat morgen de zon op komt je moet weten hoe vaak de zon al opgekomen is. Die kans wordt volgens zijn model elke dag groter! Zou dan de kans dat het morgen droog zal zijn ook niet elke dag dat het droog is groter worden?

Oeps! Ik moet de was binnen halen. Het gaat regenen.

 

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.