De definitie

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over de wiskundige definitie.

Van waar dit stukje?

De wiskunde is in deze tijden van Corona weer wat vaker in het nieuws. Nu eens niet omdat er een nieuw resultaat is geboekt. Niet omdat er een bewijs is gevonden van een reeds lang open staand wiskundeprobleem. Het nieuws betreft een discussie over de vraag of de wiskundige modellen op basis waarvan besluiten zijn of worden genomen wel juist zijn. We kunnen ons niet meer aan de indruk onttrekken dat achter veel beslissingen die door allerlei instanties genomen worden wiskunde schuil gaat. We horen steeds vaker spreken van “algoritmes” die door organisaties, overheden of bedrijven gebruikt worden om allerlei diensten uit te kunnen voeren. Het gaat dan om diensten als het beschermen van onze veiligheid (gezichtsherkenning, predictive policing), het bepalen van de risico’s van bepaalde investeringen of leningen bij banken tot het voorspellen van het aantal IC-opnames ten gevolge van de verspreiding van het corona virus. Kortom de wiskunde is in het nieuws vanwege haar toepassingen en niet zozeer vanwege een opzienbarend wiskundig resultaat. Het groeiende besef van de rol die de wiskunde speelt in belangrijke praktische zaken leidt er ook toe dat er een groeiende belangstelling is voor de “ethiek van het rekenen” (ethics of computing).

Ethiek is het nadenken over wat goed en slecht is. Ethiek van het rekenen betreft dus de kwestie of er wel of niet goed gerekend wordt. Oftewel of we bij het rekenen wel “overal” rekening mee houden; in het bijzonder met die zaken die van belang of van waarde zijn. Het gaat dus niet om pure rekenfouten (ook al worden die wel regelmatig gemaakt); het gaat meer om het maken van fouten betreffende het “rekening houden met”. Het wiskundig denken heeft de eigenaardigheid abstract te zijn, haar objecten zijn objectivaties van abstracties. Daarom is het goed kritisch te kijken of er niet van wezenlijke zaken geabstraheerd is. Het is daarom van belang het bijzondere perspectief van de wiskundige onder de loep te nemen.

De erkenning van de rol die de wiskunde speelt in onze samenleving is zonder meer een goede zaak. Ik ben van mening dat de wiskundige manier van denken nog veel meer verspreid is dan de meeste van ons beseffen. Wat we in het nieuws zien aan toepassingen van de wiskunde – intelligente technologie, overtuigende statistieken – is nog maar een klein topje van de ijsberg. Vergelijk het met een virus: we horen van de IC-opnames, maar het virus is overal in de lucht die we inademen. Ons dagelijks taalgebruik staat bol van termen die aan wiskundige objecten doen denken maar zelden hebben we het over die wiskundige objecten zelf. Zo praten we bijvoorbeeld over “verzamelingen van …”, “snijpunten van …”, “driehoeken in …”, “structuren in …”, “aantallen …”, “functies van…”. De vraag is aan de orde of we als burger nog wel hoeven te kunnen rekenen nu iedereen zijn eigen computer heeft. En dat geldt voor steeds meer taken en functies die door machines worden overgenomen. Er is een groeiende behoefte aan datawetenschappers en programmeurs nu het leven dataverwerking is geworden.

Voordat we het kunnen hebben over de ethiek van het rekenen, over de moraal van de wiskunde en over de verantwoordelijkheid van de wiskundige, de producent bij uitstek van wiskundige modellen en datastructuren, is het zaak een aantal zaken goed uit elkaar te houden. In de eerste plaats lijkt het me zinvol om wiskunde en wiskundige resultaten (zoals de Stelling van Pythagoras of Fermat) te onderscheiden van de toepassingen van wiskunde in andere kennisgebieden, zoals in de economie, virologie, biologie, of taalkunde en in de praktijk. Wat is er wiskundig aan een wiskundig model?

Wiskunde als anti-metafysische metafysica

Menig wetenschapper is tegenwoordig van mening dat kennis pas echt wetenschappelijke kennis mag heten wanneer het in de vorm van de wiskunde, in wiskundige structuren en formules, wordt uitgedrukt. Dit ideaal berust veelal op de idee dat de werkelijkheid voorzover deze kenbaar is nu eenmaal wiskundig is. Sommige fysici zijn van mening dat onze fysische werkelijkheid, de natuur, een wiskundige structuur is. In Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, stelt de fysicus Max Tegmark dat de werkelijkheid, inclusief het leven een wiskundige structuur is! Een zeer lezenswaardig boek. Voor deze wetenschappers is het dan ook geen vraag meer hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is en wat dat betekent: het toepassen van de wiskunde.

In de 18de eeuw werden in Nederland vele wiskundige genootschappen opgericht waar men de wiskunde beoefende vanwege het grote belang voor de scheepsbouw, waterwerken en fortificaties. De mechanica werd nog lange tijd als onderdeel van de wiskunde gezien. In de 19de werd meer en meer de zuivere wiskunde bedreven: het bewijzen van stellingen. Dat kwam vooral door de toepassingen van het rekenen door landmeters en boekhouders. Stelkunde is een term waarmee de wiskunde wel werd aangeduid. Zij biedt “de sleutel tot de verborgenste wetenschappen en de verhevenste rekeningen”.

Wanneer we de (zuivere) wiskunde onderscheiden hebben van haar toepassingen, moeten we vervolgens de wiskunde onderscheiden van andere wetenschappen waarmee deze soms verward wordt. De eigen aard van het onderwerp van de wiskunde en de eigen aard van de methoden van de wiskunde moeten onderscheiden worden van die van psychologie (wiskunde als psychisch proces en wiskundige objecten als resultaten daarvan, bedenksels), fysica (de natuur als wetmatigheden in de vorm van wiskunde formules), logica (wat wiskundig waar is is bewijsbaar) en taalkunde (wiskunde als taal).

Op dat laatste wil ik me hier concentreren. Wat is de eigen aard van de wiskunde? Die vraag zal ik benaderen vanuit een visie op wat wiskundigen doen. Daarbij speelt definieren een centrale rol. Wat is definieren? Wat is het wat gedefinieerd wordt? Waarom wordt er gedefinieerd? Kun je alles maar definieren? Zijn er grenzen aan het definieren? Zijn er ondefinieerbare dingen? En wat is de bron van het definieren? Is definieren hetzelfde als specificeren of programmeren?

Wat doen wiskundigen?

Wiskundigen zijn stelkundigen. Ze formuleren wiskundige stellingen. Stellingen zijn beweringen. Wiskundige stellingen zijn beweringen over wiskundige objecten en eigenschappen. Wat is het verband tussen de aard van het stellen en de aard van het gestelde, en van de wiskundige objecten? Zijn die objecten de creaties van het stellen? Een wiskundige stelling is bijvoorbeeld: voor alle getallen x en y geldt: x+y = y+x. Ofwel, het maakt niet uit of je bij een getal, noem het x, het getal y optelt of omgekeerd. Wiskundigen zeggen; de optelling is een commutatieve operatie op getallen. 5+2 = 2 + 5 Ook vermenigvuldigen is commutatief: 5 * 3 = 3 * 5.

Aftrekken en delen zijn daarentegen niet commutatief: 5 – 3 =/= 3 – 5 en 6 / 3 =/= 3/6.

Waarom is optellen wel en aftrekken niet commutatief ?

De stelling dat optelling commutatief is wordt over het algemeen voor waar aangenomen. Kan dat zo maar? Zonder het te beseffen wordt deze dagelijks vele miljoenen keren gebruikt. Bijvoorbeeld bij het berekenen van het totale aantal IC-bedden in Nederlandse ziekenhuizen. Er worden twee soorten ziekenhuizen onderscheiden: universitaire (medische centra) UMC en algemene ziekenhuizen AZ. Het aantal IC-bedden bij UMCs is 428. Het aantal IC-bedden in AZs is 1628 (cijfers over 2017). Om het totale aantal IC-bedden te berekenen kunnen we volgens de stelling 428 bij 1628 optellen, maar we kunnen ook 1628 bij 428 optellen. Het resultaat is hetzelfde: 2056 IC-bedden. Wie kookt weet dat het soms uitmaakt of je het ene ingredient bij het andere of het andere bij het ene doet. Dat is dus niet een vorm van optellen.

We zijn er bij het onderscheiden van UMC en AZ ziekenhuizen vanuit gegaan dat er geen ziekenhuizen zijn die zowel UMC als AZ zijn. Het zijn disjuncte klassen. Verder zijn we er van uit gegaan dat er geen andere IC-bedden in Nederland zijn dan die in UMCs en AZs. Ook hebben we aangenomen dat de IC bedden in UMCs en IC-bedden in AZs in zekere mate gelijk zijn en allebei vallen onder het algemene begrip IC-bed. En dat geldt ook voor de IC-bedden binnen elk van de ziekenhuizen. Om het aantal IC-bedden te tellen is het nodig te weten wat er geteld moet worden. Is een kapot IC-bed dat bij de reparateur staat een IC-bed dat meegeteld moet worden? De vraag zou op een gegeven moment kunnen zijn of alle 2056 IC-bedden tegelijkertijd beschikbaar zijn. De bewering “Er zijn in Nederland 2056 IC-bedden.” is geen wiskundige bewering, omdat het begrip IC-bed geen wiskundig begrip is. En dat geldt ook voor het begrip “in Nederland zijn”. Het zijn vage begrippen, vergeleken bij de exacte begrippen zoals driehoek en getal in de wiskunde. De meeste woorden die we gebruiken zijn uitdrukkingen van vage begrippen: stoel, klein, volwassene, vaag.

Bij het tellen moet je weten wat je telt. Je moet de de objecten identificeren. Iemand heeft alle moeders geteld (dat zijn er 11) en vervolgens alle dochters (dat zijn er 19). Het heeft geen zin deze op te tellen. De conclusie dat er 30 vrouwen zijn is natuurlijk fout. De reden ervan is duidelijk: moeder en dochter zijn relatie-begrippen. Een vrouw kan zowel moeder als dochter zijn; maar niet in dezelfde relatie. Ook een IC-bed kan dubbel geteld worden. Bijvoorbeeld wanneer deze in twee administraties voorkomt.

Waarom is x + y = y + x waar voor alle getallen x en y? De waarheid van een wiskundige bewering hangt niet af van wat werkelijk het geval is. Tellen is geen wiskunde en de bewering dat er 2056 IC-bedden zijn is geen wiskundige bewering. De waarheid van een wiskundige bewering wordt bepaald door de afleidbaarheid van axioma’s en definities. Maar hoe kunnen we dan begrijpen dat wiskunde toepasbaar is? Moeten we voor een antwoord op de vraag waarom + wel en – niet commutatief is, niet terugkijken naar de praktijk van het optellen en het wegnemen?

De toepasbaarheid van wiskunde in de werkelijkheid is gegrond in de werkelijkheid waarbij de vraag zich voordoet of de toepassing recht doet aan de werkelijkheid. Het tellen van IC-bedden is gegrond in de telbaarheid van deze objecten die als IC-bed herkenbaar zijn. Of het afbeelden van de verzameling IC-bedden op het aantal ervan (2056) recht doet hangt af van het doel van de praktijk waarin deze kennis functioneert. Wat doen we met de uitvoer van de algoritmes die we door de computer laten uitvoeren? Wat betekent die uitvoer? Die wordt bepaald door de begrippen die aan de algoritmes ten grondslag liggen. Bijvoorbeeld: hoe is “IC-bed” gespecificeerd? Waar komen de invoergegevens vandaan? Hoe actueel zijn deze?

Iedere toepassing van wiskunde houdt een abstractie in. Er wordt afgezien van het individuele van de vele objecten. Zodra we het over de verzameling van IC-bedden hebben, worden ze niet kwalitatief van elkaar onderscheiden. Dat geldt ook voor de mensen wanneer we het over de verzameling van mensen hebben. De individuele persoon doet niet ter zake. De werkelijkheid is een veelheid van gegevens, een data-type. Een samenleving is geen verzameling van individuen ook al is die nog zo democratisch en geldt er de macht van het getal.

Modelleren, het toepassen van wiskunde, is abstraheren, schematiseren. We zien af van bepaalde aspecten. Descartes houdt er een mathematisch wereldbeeld op na. Daarin is alles wat werkelijk is volledig als wiskundig object te begrijpen. De werkelijkheid is een veelheid van buiten elkaar liggende onderdelen. De hier boven genoemde Max Tegmark is een Cartesiaan pur sang.

Het wiskundig denken doet alsof de door haar bedachte dingen stoffelijk zijn. Er zijn veel cirkels, maar er is slechts een begrip cirkel. Door die stoffelijke voorstelling kunnen we het hebben over twee snijdende cirkels die in niets van elkaar onderscheiden zijn dan dat ze onderscheiden zijn. We geven ze een naam x en y om hun een identiteit te geven. Maar die namen zijn volstrekt willekeurig; er is geen enkel begrip in uitgedrukt. Er is maar een getal 3, maar we kunnen wel 3 bij 3 optellen.

Wiskundigen definieren wat en ze definieren nog wat. Ze stellen wat en ze stellen nog wat. En dan vragen ze of, gegeven het gestelde, een bepaalde stelling waar is. Soms lukt het de wiskundige hier een antwoord op te vinden. Ze zijn pas tevreden wanneer bewezen is dat de stelling waar is of als ze het tegendeel kunnen bewijzen. Maar soms moeten ze zich tevreden stellen met de conclusie dat de stelling niet bewijsbaar is. Dat is iets anders dan dat ze er geen bewijs voor hebben kunnen vinden.

De resultaten van wiskundigen zijn hypothetische waarheden van de vorm: als dat en dat waar is dan is ook dit en dit waar. Het zijn geen zuiver logisch waarheden: ze zijn namelijk gegrond in axioma’s. De axioma’s worden voor waar aangenomen. Axioma’s mogen elkaar niet tegenspreken. Ze moeten consistent zijn. Dat is een logische eis. Als de axioma’s consistent zijn is er een model, een interpretatie, mogelijk. Maar de axioma’s leggen zelden precies een werkelijkheid vast: er zijn vele modellen mogelijk.

Stelling 1 van de Tractatus (Ludwig Wittgenstein)

Waar komen de axiomas vandaan?

De stelling dat optelling commutatief is, lijkt zo basaal dat we ons afvragen of we die nog moeten bewijzen. Waar mogen we vanuit gaan? Wat is eigenlijk de kengrond van de axiomas? Dat de drie hoeken van een driehoek samen net zo groot zijn als twee rechte hoeken (is 180 graden) is een stelling die men voor lange tijd voor absoluut waar hield. Volgens Euclides gaat door een punt buiten een gegeven lijn precies een lijn parallel aan die gegeven lijn. Dit axioma geldt echter niet in niet-Euclidische meetkundes. En daarmee geldt ook de stelling van de hoekensom van een driehoek niet in alle meetkundes. Het is niet zo gek dat Euclides dacht dat dit zonder meer een ware eigenschap van de ruimte is. De ruimte waarin we leven “is” Euclidisch, dat wil zeggen dat we in de bouw gebruik kunnen maken van de stelling van Pythagoras wanneer we een rechte hoek willen uitzetten (de bekende 3:4:5 verhouding). Vele eeuwen later bleek dat niet alle ruimtes Euclidisch zijn. De wiskunde gaat dus niet (meer) zonder meer over de waarneembare wereld. Ze gaat over alle mogelijke werelden. De echte wereld, die verzameling van alle feiten (“Die Welt ist alles, was der Fall ist”, stelt Wittgenstein vast in zijn Tractatus) en gegevens, is voor het wiskundig denken gereduceerd tot een realisatie van een van de vele mogelijke werelden. Waar hier van geabstraheerd wordt is precies het verschil tussen wat werkelijk is en wat slechts mogelijk is. De wereld is voor het mathematische denken een hypothetische werkelijkheid geworden.

Hoe komt het dat de operaties optellen en vermenigvuldigen wel, maar de operaties aftrekken en delen niet commutatief zijn? 5 – 2 is niet gelijk aan 2 – 5. We kunnen de positieve gehele getallen nog wel zien als abstracties van werkelijke objecten: 5 paarden; 2 koeien. Bij de operatie aftrekken (-) kunnen we denken aan het wegnemen van een aantal objecten uit een gegeven aantal. Maar hoe kun je nu 5 objecten wegnemen als er maar 2 zijn? Het is niet zo verwonderlijk dat men in Europa tot in de 17de eeuw problemen had met negatieve getallen. De Italiaan Leonardo van Pisa (beter bekend als Fibonacci) was rond 1300 bekend met de Arabisch-Indische cijfers (inclusief het getal 0). Hij beschouwde negatieve uitkomsten als schulden. Kennelijk kost het de mens moeite nieuwe soorten getallen of andere wiskundige objecten te creeeren.

De wiskunde ontleent haar begrippen aan de ervaren werkelijkheid. Betekent dat nu dat we bestaande begrippen als wiskundige begrippen kunnen zien of omvormen? We zouden het begrip IC-bed als uitgangspunt kunnen nemen voor een wiskundige definitie van IC-bed. Een IC-bed is een fysisch object met bepaalde eigenschappen, zoals 4 wielen, twee uitklapbare zijpanelen. We moeten dan ook nog definieren wat een fysisch object is.

Dit is wat computerprogrammeurs doen: ze specificeren een ontologie. Een IC-bed wordt een datastructuur, een lijst of graaf met attributen en hun waarden (“record”) ingebed in een ontologie. Het is een uitdrukking in een specificatie-taal van het object IC-bed.

Maar is zo’n specificatie hetzelfde als een wiskundige definitie? Laten we een wat eenvoudiger begrip nemen: klein.

Mathematiseren: wat heet klein?

Klein is een relatief begrip. Een kleine olifant is groot vergeleken met een grote muis.

We geven een definitie van het begrip (de eigenschap) klein: een object van een bepaald type objecten is klein als het kleiner is dan de meeste objecten van dat type (dat wil zeggen: er zijn meer objecten groter dan kleiner dan het object).

Deze definitie drukt het relatieve karakter van klein uit. Een olifant is klein als het kleiner is dan de meeste olifanten. Een muis is klein als deze kleiner is dan de meeste muizen. We vergelijken geen appels met peren, of muizen met olifanten. Een kleine olifant kan dus best groter zijn dan alle muizen. (Oops!) Onze definitie voldoet wat dat betreft aan het normale gebruik van het woord klein.

Er bestaan ook kleine olifanten. Maar alleen als er voldoende olifanten zijn van verschillende groottes. Anders niet.

Zijn er ook kleine getallen? Volgens de definitie is een getal klein wanneer het kleiner is dan de meeste getallen. Het getal 43 is klein. En 1201 is ook een klein getal. Maar ook 1.354.678 is klein, want er zijn meer getallen groter dan kleiner dan dit getal. In feite zijn alle getallen klein. Immers voor elk getal geldt dat het kleiner is dan de meeste andere getallen. Dat komt omdat er oneindig veel getallen zijn. Dat betekent dat klein zijn geen eigenschap is op grond waarvan je getallen kan onderscheiden: binnen het domein van de getallen wordt er geen grens aangegeven door het begrip klein.

Wanneer heeft klein wel een onderscheidend vermogen? Wanneer een verzameling een eindig aantal objecten bevat, dan heeft het zin om van de kleine objecten te spreken. Dat is per definitie een echte deelverzameling van de totale verzameling.

Hoe zit het met oneindige verzamelingen? We hebben gezien dat het aantal kleine getallen oneindig is. Maar is dat vanwege de oneindigheid van de verzameling getallen? Of is er nog een andere eigenschap van getallen in het spel? Zijn er oneindige verzamelingen objecten die een eindig aantal kleine objecten bevat?

L is een oneindige verzameling lijnstukken (een lijnstuk heeft een eindige lengte). Stel dat K de deelverzameling is van L die alle kleine (is korte) lijnstukken van L bevat en geen andere. Als K leeg is, er zijn dus geen kleine lijnstukken, dan zijn alle lijnstukken in L even lang. Als K niet leeg is, laat dan m de lengte zijn van het grootste lijnstuk in K. De verzameling L – K noemen we G. Het natuurlijke getal k, de scheider van K en G, is dat getal waarvoor geldt dat alle lijnstukken van K kleiner zijn dan k en dat alle lijnstukken in G groter of gelijk zijn aan k. Als zo’n k bestaat dan is K eindig en dan zijn alle lijnstukken in G even groot. Deze hebben grootte k.

Er zijn dus oneindige verzamelingen die een eindige deelverzameling van kleine objecten hebben. We zien dus nu dat het niet alleen aan de oneindigheid van de getallen ligt dat er geen echte deelverzameling van kleine getallen bestaat, maar aan de eigenschap dat er geen getallen zijn die even groot zijn. Getallen zijn objecten die volledig bepaald zijn door hun plek in de ordening naar grootte. Dat geldt niet voor de verzameling van lijnstukken. Twee lijnstukken kunnen dezelfde lengte hebben en dus even groot zijn. Daarmee zijn ze nog niet gelijk. Lijnstukken zijn wat dat betreft net olifanten of muizen.

De definitie van klein maakt gebruik van de relatie kleiner dan. Dat is geen probleem. We zijn er wel achtergekomen dat onze stelling over het bestaan van eindige deelverzamelingen van oneindige verzamelingen er vanuit gaat dat deze relatie niet op alle verzamelingen van objecten volledig hoeft te zijn. De relatie kleiner dan is volledig als voor elke twee objecten er altijd een kleinste is, een die kleiner is dan de ander. Dit geldt voor de relatie kleiner dan op getallen, maar niet voor de verzameling van lijnstukken. Het niet volledig zijn van deze relatie op lijnstukken is een noodzakelijke voorwaarde voor het bestaan van kleine lijnstukken.

Klein is een vaag begrip

De kritische lezer zal niet echt tevreden zijn met het resultaat. Stel we hebben een verzameling stokjes waarvan de lengtes in centimeters zijn: <1,2,9,9,10,12,20,25>. Volgens de definitie zou de deelverzameling van kleine stokjes bestaan uit de lengtes <1,2,9,9>. Het stokje met lengte 9 is dus nog klein, maar die met lengte 10 niet meer. Dat klopt niet met ons gebruik van het woord klein. We zijn geneigd om 2 en 3 wel maar 9 niet meer klein te noemen. Waarom? Omdat het dichter bij de groten ligt dan bij de kleinen. Wie het spoor van de definitie nog even verder volgt op zoek naar een bevredigende definitie zal er achter komen dat deze definitie wel respecteert het relatieve karakter van klein zijn (een kleine olifant is groter dan een grote muis), maar geen recht doet aan de vaagheid van klein. Voor het onderscheiden van kleine objecten binnen een verzameling van objecten van een zelfde soort is deze definitie niet geschikt.

Of iets klein is laat zich niet vastleggen in termen van een getal dat de grens aangeeft tussen wat wel en wat niet klein is. Iedere poging die grens aan te geven is willekeurig. Dat wil zeggen die grens kan niet op grond van een kwaliteit van het object zelf worden verantwoord en doet daar dus geen recht aan. Vergelijkbare problemen komen we tegen wanneer we proberen kaalheid te specificeren in termen van een aantal haren dat iemand op zijn hoofd heeft, of wanneer we willen vastleggen hoeveel graankorrels een hoop vormen (de Sorites paradox).

De lengte van een lijst

Wat we wel precies kunnen definieren is wat we onder de lengte van een lijst verstaan. We kennen de lijst van de boodschappenlijst. Het is een opsomming van items. Informatici zeggen: een lijst is een data-structuur. Bijvoorbeeld: [a,b,c,d] is een lijst met 4 elementen, waarvan a het eerste element is; ook wel de kop genoemd. De lijst die je overhoudt wanneer je de kop eraf haalt heet de staart. We noteren: (a:[b,c,d]) om aan te geven dat a de kop is van de lijst [a,b,c,d]. De lege lijst noteren we als [].

We kunnen nu definieren wat de lengte van een lijst is, dat is het aantal elementen dat in de lijst staat:

lengte [] = 0 , de lengte van de lege lijst is 0

lengte (a: xs) = 1 + lengte (xs), de lengte van een niet-lege lijst is 1 + de lengte van de staart xs van de lijst.

De lengte van een oneindige lijst is onbepaald. Het proces dat de lengte berekend komt niet tot een einde.

Een poging klein als predikaat op lijsten te definieren zou er als volgt uit kunnen zien:

klein [] = 0, de lege lijst is klein

klein (x:xs) = klein (xs), als een lijst niet leeg is, dan is deze klein als deze 1 langer is dan een kleine lijst.

Volgens deze definitie van klein is iedere lijst klein. Niet erg nuttig dus. We kwamen zo’n nutteloze toepassing van klein al eerder tegen bij de “kleine getallen”. We zouden kunnen zeggen: klein (xs) = (lengte(xs) < 5) , maar dat is nogal willekeurig. Waarom de grens niet leggen bij 6, of 10?

Deze definities hebben de vorm van functies. Ze kunnen direct gebruikt worden om de waarde ervan voor een gegeven lijst te berekenen. Het zijn computer programma’s in een functionele taal (zoals Haskell of Miranda). Programmeurs specificeren functies en data-structuren.

Merk op dat het veel lastiger, zo niet onmogelijk, is om op een exacte manier te specificeren hoe een dagelijks begrip als klein of IC-bed gebruikt wordt. Dat komt omdat deze begrippen voortdurend gevoed worden door de levende werkelijkheid waarin ze functioneren en veranderen. De resultaten van wiskunde en technologie staan op gespannen voet met een veranderende werkelijkheid. Een werkelijkheid die juist door de toepassing van wiskunde en technologie voortdurend verandert!

In het oordeel “deze roos is rood” spreken we de werkelijke eenheid uit van een toedracht waarin de onderscheiden zaken: roos en rood herkend worden. De roodheid van de roos is een ander rood dan de roodheid van het bloed op het tapijt. Zoals de kleinheid van de olifant een andere kleinheid is dan die van de muis of de verzameling. Wanneer Frege het begrip als functie opvat (Frege, Begriffschrift, 1879) trekt hij predikaat en subject uitelkaar. Die worden functie en argument. De functie klein = λx. isklein(x) heeft een eigen zelfstandigheid die tegenover zijn argument wordt gezet. Het resultaat van de functietoepassing is een waarheidswaarde. De waarheidswaarden waar en onwaar zijn abstracties die los zijn komen te staan van de zin. Het feit dat we bij het uitspreken van een oordeel door middel van de zin “Deze rood is rood.” onmiddellijk bedoelen dat dit werkelijk zo is, is geheel verdwenen. In plaats van het subject dat een oordeel uitspreekt is er een machinerie die een zin A produceert en een andere machinerie die de waarheidswaarde afleidt.

Wat is een definitie?

In een definitie doen we minstens drie dingen. a) We leggen vast wat onder een bepaald begrip valt; b) We geven het gedefinieerde een naam; en c) We verwoorden wat we onder een bepaald begrip verstaan.

In een definitie maken we gebruik van begrippen of zaken waarvan we aannemen dat ze bekend kunnen zijn omdat ze al vastgelegd zijn, dan wel vastgelegd kunnen worden. We geven een paar voorbeelden.

Een autologie is een woord dat voldoet aan wat het betekent.

Een heterologie is een woord dat niet voldoet aan wat het betekent.

Op deze twee definities kom ik later nog terug.

Een object van een bepaald type objecten is klein als het kleiner is dan de meeste objecten van dat type.

We geven ook een definitie van definitie:

Een definitie van begrip M is een specificatie van alle dingen die onder M vallen.

In een definitie leggen we de betekenis van een woord vast.

Het begrip verzameling is een kernbegrip in de moderne wiskunde. Het is zo problematisch als het fundamenteel is. En toch is het zo’n dagelijks begrip. Hoe kan dat? Er zijn diverse axiomatische systemen ontwikkeld waarin grote delen van de wiskunde geformuleerd kunnen worden. Het vertrouwen dat we in de wiskunde hebben, als we dat hebben en daar is voldoende reden voor, is echter niet wiskundig gefundeerd. Wat is een verzameling?

Georg Cantor definieerde een verzameling (Menge) als volgt:

Cantors definitie van het wiskundige begrip verzameling

Cantors definitie in het Nederlands luidt dan:

Een verzameling is een samenraapsel M van bepaalde goed onderscheiden objecten van onze aanschouwing of ons denken (die we de elementen van M zullen noemen) tot een geheel.

Een goede definitie maakt geen gebruik van synonieme begrippen. Het woord samenvoegsel heeft een betekenis die wel heel dicht in de buurt komt van verzameling. De definitie benoemt een relatie, namelijk element van, tussen objecten en een geheel waarvan ze element zijn. Een verzameling is een eenheid waarvan de elementen onderscheiden objecten zijn. De verzameling wordt zelf ook als object opgevat. Naast de objecten die de elementen ervan zijn.

Er blijkt een intieme relatie te bestaan tussen het begrip verzameling en het begrip definitie. In een definitie zeggen we wat onder een bepaald begrip valt. De verzameling van objecten die onder het begrip vallen is de extensie van het begrip.

De definitie van verzameling is reflexief in die zin dat het definieert wat als het ware het objectieve resultaat is van het definieren. Een verzameling is een object: het resultaat van het samenvoegen. Maar zodra we de verzameling als object voorstellen, verliezen we de relatie uit het oog. Alsof de moeder als moeder naast de moeder-relatie met de dochter bestaat! Terwijl die relatie toch juist het moeder-zijn van de moeder uitmaakt. Zo is het ook de element van relatie die juist de verzameling uitmaakt. Maar dit begrip, dat een relatie is, wordt geobjectiveerd in de verzameling wanneer deze als object naast de elementen wordt opgevat. Zoals wanneer we oorzaak en gevolg als gescheiden objecten of gebeurtenissen voorstellen. Of zoals we mens en machine tegenover elkaar voorstellen alsof dit zelfstandige werkelijkheden zijn!

Het naieve verzameling begrip geeft het verband tussen een eigenschap en een verzameling.

Bij iedere eigenschap P kunnen we een verzameling denken die precies die elementen bevat die de eigenschap P hebben.

De verzameling is een object, dat als het ware de eigenschap “objectiveert”. De extensie van de eigenschap is de verzameling objecten die onder het begrip vallen; ofwel die de eigenschap hebben.

Russell Paradox

Op grond van dit verband zijn er twee soorten verzamelingen: die zichzelf als element hebben en die zichzelf niet als element hebben. Bertrand Russell bedacht nu de verzameling R van alle verzamelingen die zichzelf niet als element hebben. En vroeg toen: bevat R zichzelf? Het antwoord is lastig te geven. Immers als R zichzelf niet bevat dan wel, maar dan weer niet, etcetera. Je draait voortdurend in het rond: van wel naar niet en weer naar wel.

De verzameling van alle verzamelingen zou een verzameling zijn die zichzelf als element bevat. Dat is echter in strijd met het verzameling begrip waar de elementen niet de verzameling zijn waarvan ze element zijn.

In zijn Einleitung in die Mengenlehre (1923) bespreekt Adolf Fraenkel deze paradox die Russell in 1899 ontdekte en die hem behoorlijk van zijn stuk bracht. Fraenkel stelt dat de paradox niet kenmerkend is voor het verzamelingbegrip. Er zijn, zegt hij, paradoxen die van dezelfde structuur zijn en waarin het begrip verzameling helemaal niet voorkomt.

Hij noemt dan als voorbeeld een paradox die voortkomt uit de definitie van de eigenschap “prädikabel“. Dat is een synoniem voor “autologisch“. Hoe gaat deze paradox.

Twee soorten woorden

Er zijn twee soorten woorden. Woorden die voldoen aan hun eigen betekenis. Zoals: kort, vijf-let-ter-gre-pig, Nederlands, woord. Het woord “woord” is immers zelf een woord. En het woord “kort” is zelf kort. Dit soort woorden heet autologisch. De tweede soort woorden zijn die welke niet voldoen aan hun eigen betekenis. Dat zijn dus de anderen. Bijvoorbeeld: groen, Portugees, zes-let-ter-gre-pig, lidwoord. Een lidwoord is immers zelf geen lidwoord en Portugees is niet een Portugees woord. Deze soort heet heterologisch.

Elk woord is dus hetzij autologisch, hetzij heterologisch. Dus ook het woord heterologisch. Maar van welke soort is het woord heterologisch dan? Stel het woord heterologisch is heterologisch. Dan is het dus autologisch want het voldoet aan zijn eigen betekenis. Maar volgens de betekenis van het woord autologisch zou het moeten voldoen aan zijn eigen betekenis, maar dat doet het niet want het woord betekent heterologisch. Dus is het heterologisch. Het woord is dus heterologisch in zoverre het autologisch is, en autologisch in zoverre het heterologisch is. Dat is een paradox, een merkwaardige tegenspraak.

Dit is de paradox van Grelling, uitgevonden in 1908 door de Duitse wiskundige en taalkundige Kurt Grelling (1886-1942) die probeerde een oplossing te vinden voor de paradox van Russell. De woorden autologisch en heterologisch zijn voor deze paradox bedachte woorden. Het zijn geen normale woorden, zoals klein of IC-bed.

De tegenspraak wijst ons erop dat het woord dat we hebben ingevoerd om een onderscheid te maken tussen twee soorten woorden zich zelf niet laat bepalen als zijnde een van de onderscheiden soorten. De woorden autologisch en heterologisch zijn zelf niet of autologisch of heterologisch. Ze onttrekken zich aan de bepaling die ze zelf definieren.

Fraenkel noemt deze paradox geen wiskundige paradox maar een logische paradox, omdat het wiskundige begrip verzameling er niet in voorkomt. Vanwege de structurele overeenkomst met de paradox van Russell zou ook deze laatste geen wiskundige paradox, maar een logische paradox genoemd moeten worden.

Wat is het verschil? Typisch voor wiskunde is dat het begrippen objectiveert. Wiskunde gaat over gedachte-dingen: getallen, figuren, structuren. Logica gaat over de methode van denken die tot waarheid of inzicht in de werkelijkheid leidt. Aangezien de werkelijkheid meer omvat dan de door de mens gedefinieerde wiskundige objecten is het domein van de logica ruimer dan het redeneren in de wiskunde. We zouden het zo kunnen zeggen dat fundamentele definities, dat zijn definities van fundamentele begrippen, in de wiskunde leiden tot logisch tegenspraken. Zoiets is wiskundig gezien niet toelaatbaar, maar vanuit de logica gezien noodzakelijk. De logisch paradoxen tonen de grens aan van het wiskundige denken; van het stellen; van het definieren dat als specificeren wordt gezien.

Het logicisme probeert de wiskunde te gronden in de logica. Gottlob Frege is de grote initiator van dit project. Hij gaf het project echter op toen Russell hem berichtte over zijn ontdekking van de paradox. Ook het fundament van Freges bouwwerk werd door deze paradox aangetast.

Het fundament

“Yes, we have no foundations.” zei Hilary Putnam. Het zal de wiskundige een zorg zijn. Die beweegt zich binnen een afgebakend gebied zich zelden bewust van het feit dat hij zich op dun ijs begeeft. Als hij of zij zich maar onthoudt van stellige beweringen over zijn of haar eigen werk. De wiskundige laat zich inspireren door de werkelijkheid zoals die in andere disciplines, de fysica, de biologie, de virologie, onderzocht wordt.

Wiskundige objecten, zoals getallen veranderen niet. Olifanten wel. Kleine olifanten worden groot. Ze groeien, maar blijven ook dezelfde olifant.

Gezien de intieme relatie tussen het begrip definitie en het verzameling begrip is het niet verwonderlijk dat het begrip verzameling een fundamenteel begrip van de wiskunde is. Het definieren, hebben we gezien, is immers het begin van het wiskunde bedrijven.

Als we dat wat we willen uitdrukken gaan identificeren met de uitdrukking zelf, dan blijft ons begrip stil staan bij die uitdrukking, die als zelfstandige begrippen gaan functioneren, los van de bron, het historisch bepaalde inzicht dat zich ontplooit in een veranderende werkelijkheid. In de wiskunde kan dit: het is het theoretisch domein van de hypothetische waarheden, waarin de geldigheid van de stellingen relatief zijn ten opzichte van de voor waar gehouden axioma’s. De praktijk vraagt echter om een voortdurend heroverwegen van de modellen en de specificaties op grond van nieuwe inzichten.

Tot slot

Waar ging het om? Het ging om de waarde van de wiskunde. We wilden weten of de wiskunde wel zuiver op de graad is. Onze conclusie is dat de wiskunde weliswaar zuiver is, maar dat haar waarheden wezenlijk hypothetisch zijn. Dat hypothetische karakter geldt in nog sterkere mate voor alle wetenschappen en praktijken die gebruik maken van de wiskunde.

Het meest waardevolle inzicht is dat de gegeven natuur een eigen waarde heeft die niet opgaat in de structuren en in de functies die deze voor de mens heeft. De waarde van de natuur stijgt uit boven de economische waarden van de natuur zoals deze in de mathematische wetenschappen en de technologie wordt opgevat, als bron van mogelijkheden voor exploitatie. Anders dan in deze wetenschappen wordt voorgesteld, staat de mens niet als een denkende substantie tegenover de natuur, maar is de mens onafscheidelijk onderdeel van de natuur. De mens is natuur. Het experiment van de hypothetische wetenschap werd gezien als een bevragen van de natuur, waarbij de vragensteller buiten schot blijft. Maar deze manier van communiceren abstraheert juist van het feit dat de vragensteller zelf een betrokken onderdeel is van de natuur. Ik had deze proefopstelling hier en nu ook niet kunnen doen, dan had de natuur op deze verandering op dezelfde manier gereageerd. Dit is een voorwaarde voor het ontdekken van de natuurwetten. Maar hoe vaak kun je het gebruik van deze natuurlijke eigenschappen ongestraft herhalen?

Een ethiek van het rekenen, die in wezen een ethiek van de technologie is, zal van dit inzicht uit moeten gaan: leven is meer dan gegevens verwerken: de acceptatie van wat gegeven is.

Inspiratiebronnen

Dummet, Michael (1975). Wang’s Paradox. Synthese 30 (1975) 301-324.

Fleischhacker, Louk (1974). Inleiding Logica (I en II). Collegediktaat, Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen.

Fleischhacker, Louk (1994). Beyond structure: the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosopphy. Peter Lang Europaischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Frege, Gottlob (1891), Funktion und Begriff. Vortrag gehalten in der Sitzung vom 9. Januar 1891 der Jenaischen Gesellschaft fur Medizin und Naturwissenschaf (Jena).

Fraenkel, Alfred (1923). Einleitung in die Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1923.

Hollak, Jan (1986) Afscheidscollege; gehouden op 21 februari 1986. Transcriptie van band opgenomen in de bundel Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak, Samenstelling en redaktie: Petra Hollak, Eindredaktie: Wim Platvoet, Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.

Stahl, Bernd Carsten; Timmermans, Job en Mittelstadt, Brent Daniek (2016). The Ethics of Computing: A Survey of the Computing-Oriented
Literature.ACM Computing Surveys, Vol. 48, No. 4, Article 55, Publication date: February 2016.

Wittgenstein, Ludwig (1921). Logisch-philosophische Abhandlung (Tractatus logico-philosophicus)

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.

One thought on “De definitie”

Leave a Reply