U bevindt zich hier

We zijn wezen fietsen. Met onze tweewielers achterop het nieuwe fietsenrek reden we in het autootje naar een P-plaats bij een fietsknooppunt ergens aan de andere kant van de Regge. We fietsen van knooppunt naar knooppunt. We stoppen onderweg bij een fietsknooppuntroutebord. De kaart die daarop staat lijkt niet op onze wegenkaart. Op de fietsroutekaart zijn de verbindingen tussen de genummerde knooppunten met een felle kleur en dikke lijnen aangegeven. De andere wegen zijn met dunne lijntjes aangegeven. De kaart schetst een ander beeld van de realiteit. Het is even wennen aan dit niet-standaard beeld.

Op het bord staat in een kader met rode kapitalen U BENT HIER. Het kader wijst met een pijlvormige uitstulping naar een rode stip op de routekaart. Het doet me denken aan Lara Rense die door de radio tegen me zegt “Fijn dat u luistert.” Hoe weet ze dat ik luister? Dat weet ze niet, ze heeft het ook helemaal niet tegen mij. Zoals statistieken over iedereen gaan, maar nooit over mij. En toch werkt het. Ze heeft het tegen “de luisteraar”, een abstracte figuur die een rol speelt in de wereld van de radio. Als Lara iets zeker weet dan is het dat degene die haar dit hoort zeggen luistert. Haar opmerking treft altijd doel omdat de aanname altijd klopt. Het is een soort van wiskundige stelling. Ze had ook kunnen zeggen “Fijn als u luistert.”

Hier, bij deze routekaart lijkt nog iets anders aan de hand te zijn. De uitspraak “u bent hier” is alleen dan waar wanneer ik mij op de plek bevindt die op de kaart wordt aangewezen. Hoe kan ik dat controleren als ik niet weet waar ik ben? Dat kan ik niet. Het bord zegt mij waar ik ben. De plek die aangewezen wordt is de plek op de kaart, niet de plek waar ik mij in werkelijkheid bevindt. Het is een stelling, die niet ontkent noch bevestigd kan worden. Je moet hem accepteren als je het spel mee wilt spelen. De geschilderde pijp van Magritte is de enige pijp die er is.

Heb ik geen andere wereld nodig dan die van de fietsroutekaart? Ik hoef niets anders te doen dan naar de aangegeven gekleurde wegen kijken en naar de nummers van de knooppunten in de buurt van de rode stip waar ik me volgens het bord bevind. Langs het pad staan genummerde bordjes met pijlen naar de volgende knooppunten. Die nummers corresponderen met de nummers op de routekaart. De enige link tussen de mathematische wereld van het bord en de wereld waarin we fietsen. We volgen de pijlen van knooppunt naar knooppunt. We fietsen in de virtuele wereld van de knooppuntenroutes.

Na een paar uur komen we weer bij ons vertrekpunt aan. Het autootje staat er nog. Thuis proberen we op onze kaart de route die we gefietst hebben terug te vinden. Na een uurtje puzzelen geven we het op. Wat maakt het uit. Het was een mooie puzzeltocht. We zijn er even uit geweest. In een andere wereld.

Bij Max Vakantieman worden mensen die op vakantie naar het buitenland zijn geweest gevraagd op een wereldkaart de lokatie aan te geven waar ze geweest zijn. Iemand is naar Kreta geweest. Hij wijst een plek aan in de Atlantische Oceaan. Dat is fout zegt de vakantieman. Hoe weet hij dat? Iemand anders antwoordt op de vraag waar hij geweest is: Ik weet het niet. “gate D56” en drie uur later zijn we uit het vliegtuig gestapt. “Waar ben ik hier?” vroeg de dronken toerist toen hij onderaan de vliegtuigtrap bij bewustzijn kwam. U bent hier in Helsinki, zei de steward. Helsinki, zegt de man. So what!

Wanneer doet zich de vraag voor waar je bent? Zijn we niet altijd hier? Maar wat is hier?

We reizen op snelwegen en volgen de pijlen van toestand naar toestand als in een eindige automaat. Langs de weg staan borden, wat er te zien is. We maken er een foto van. Die bewaren we in ons fotoalbum.

Een paradoxale stand van zaken

Er zijn oneindig veel getallen: 1,2,3,… Aftelbaar veel. Leopold Kronecker zegt dat ze door God geschapen zijn. In de praktijk hebben wij meestal aan een paar getallen wel genoeg. Wiskundigen hebben aan die oneindig veel gehele getallen niet genoeg. Er zijn oneindig veel meer reeële getallen dan natuurlijke getallen. Georg Cantor heeft dat (in 1891) met zijn beroemde diagonaalconstructie bewezen binnen zijn verzamelingenleer, het fundament van de wiskunde.

Thoralf Skolem bewees in 1922 dat elke (consistente, aftelbare, eerste orde) axiomatisering van de verzamelingenleer een aftelbaar model heeft. Dat is een wat hij noemde “paradoxale stand van zaken”. In dat model moeten volgens Cantors bewijsconstructie een overaftelbaar aantal reeële getallen bestaan. Anders is het geen axiomatische theorie van het verzamelingenbegrip. Hoe kan een aftelbaar model overaftelbaar veel getallen bevatten? Dat kan niet. De oplossing is: de constructie van Cantor kan niet binnen het model worden uitgevoerd.

Zoals de routekaart met “hier” slechts voor ons kan verwijzen naar de wereld waarin het bord staat, maar voor de kaart zelf bestaat alleen de rode stip.

De virtuele werelden van spelen en automaten zijn dat alleen voor de mens die ze als spel en als automaat ziet.

Troonrede

Leden van de Staten Generaal,

We gaan het anders doen.

Onze economie geeft ons te denken. In mijn jonge jaren las ik met veel belangstelling boeken over onze economie; boeken van onder andere de professoren Pen en Heertje. Ook las ik het in die tijd populaire Kapitaal van de econoom en historicus Karl Marx. Van deze economen leerde ik twee dingen. Ten eerste. De motor van onze economie is de technologische ontwikkeling en die kent een eigen dynamiek. Nederland is trots op de status van haar technologie. Terecht, want het is de kurk waarop onze welvaart drijft. Door rationalisering en verregaande automatisering van onze productieprocessen zijn we in staat zoveel waarde toe te voegen aan wat de natuur ons biedt als nodig lijkt te zijn om aan onze toenemende behoeften te voldoen. De mechanisering en robotisering van de landbouw en veeteelt is uniek in de wereld. Ten tweede. De economische politiek is gericht op volledige werkgelegenheid. Er is zelfs een recht op arbeid dat dit streven moet legitimeren. Marx’ analyse van de kapitalistische vrije markteconomie, waarin technologie de historische kracht is die een wig drijft tussen de arbeider van vlees en bloed enerzijds en de steeds abstracter wordende arbeid in de vorm van steeds autonomer functionerende productiekrachten anderzijds, toont, voor wie het zien wil, dat in de kapitalistische samenleving alleen door de menselijke arbeid waarde wordt toegevoegd aan de natuur. Dat de natuur van zichzelf waardeloos is. De natuur is in dit oude economische denken een onuitputtelijke bron van grondstoffen waaraan we door onze noeste arbeid iets van economische marktwaarde maken. Wat geen marktwaarde heeft, heeft geen waarde.

We zien nu steeds beter dat de natuur, onze eigen natuur, een eigen waarde heeft, waar we rekening mee moeten houden. Dat we niet tegenover de natuur staan, maar dat we lichamelijk organisch onderdeel van de natuur zijn. Als de corona-pandemie ons één ding heeft geleerd dan is het wel dat we allemaal dezelfde lucht inademen. Hoezeer wij afhankelijk zijn van een gezonde atmosfeer. Adem, atma, het is de ziel van het leven zelf. We moeten zuinig zijn op onze eindige aardse grondstoffen. We hebben maar één aarde. Daar moeten we het mee doen. We hebben te lang ons nest vervuild. De regering zal boven de belangen van de provincies en de ondernemingen staand met kracht de zorg voor een gezonde leefomgeving en economie ter hand nemen.

We gaan het anders doen. Want hoe kan een door technologie gedreven economie die leidt tot automatisering van de productieprocessen vanwege de hoge kosten van de arbeid, bestaan naast een toestand van volledige werkgelegenheid? Niet alleen de productiemiddelen, en de opbrengsten uit arbeid, ook het werk zelf moet eerlijker verdeeld worden. Het eenvoudige werk, het duurzame handwerk, moet opnieuw gewaardeerd worden. Specialisatie in beroepen en opleiding is goed voor de productiviteit maar we hebben het overdreven. Het heeft geleid tot versplintering in de samenleving. De mensen verliezen zo het overzicht en niemand kan meer verantwoordelijk zijn voor het geheel. De Nederlander moet als het erop aan komt zijn eigen band kunnen plakken, zijn eigen leefstijl-coach zijn, want macht is primair zelf-macht en kennis kan niet zonder zelf-kennis. We moeten veelzijdiger worden. En dat begint bij een brede scholing en bij opvoeding in verantwoordelijkheid voor elkaar.

Onze economie is een schuldeneconomie. We leven op kosten van de armoede in de derde wereld en op kosten van de natuur. We schuiven de aflossing van onze schulden af naar de toekomst. Op basis van een grenzeloos vertrouwen in ons op de toekomst gerichte immer beloftevolle technologische denken. Maar wat ons toekomt is nu. Anders hebben we niet. Al het andere is niets dan suggestie, extrapolaties van statistieken, de puntjes van een mathematische reeks…, de suggestie van oneindige onuitputtelijkheid.

De corona-crisis heeft geleid tot een tweespalt in de samenleving: de vrije economische zelfontplooiing en zelfbeschikking van ieder individu tegenover regels opgelegd door de overheid als uitdrukking van de op democratisch tot stand gekomen wil van het volk. Een ethiek van het autonome individu tegenover een zorgethiek. Een tegenoverstelling van economie en zorg. Alleen door bewustwording van het valse, negatieve, karakter van deze tegenstelling kunnen we deze opheffen en verder komen.

De wetenschap, waarop de regering haar besluiten baseert is voor het voetlicht gebracht door de ongeduldige media. Voor sommigen van ons is zij door de mand gevallen. Wetenschap is echter meer dan een mening. Het is een methodisch door sociale processen verantwoorde opvatting, die haar objectiviteit ontleent aan openheid over haar bronnen en verantwoording van haar methoden. Onze kennis is nooit absoluut en in beton gegoten. Het behoort nu eenmaal tot het karakter van onze mathematische experimentele wetenschap dat het meer het besef produceert dat we een heleboel nog niet weten, en hoeveel er nog te weten over blijft, dan dat het kennis produceert die niet aan slijtage onderhevig is. Daarmee moeten we leren leven. Zekerheid is niet iets dat deze vorm van wetenschap ons kan brengen. Die moeten we elders zoeken. Maar waarover men niet spreken kan, daarover moeten we maar zwijgen.

Ook aan onze kennis zijn grenzen. Wetenschap en technologie blijven mensenwerk en we mogen onze angst voor onzekerheid, voor het niet weten, nooit afschuiven op de wetenschap.

Van onze Minister van Justitie en van onze boeren van Farmers Defence Force hebben we geleerd dat het hart soms sterker is dan het hoofd. Dat ons bloed kruipt waar het niet gaan kan. Dat beschaving een dun vliesje is en dat we altijd weer op onze hoede moeten zijn om de redelijkheid van ons handelen te bewaken tegen andere krachten die ook tot onze natuur behoren en die de neiging hebben ons uit elkaar te drijven en die ons terug doen trekken in de loopgraven van onze eigen ideeen waar vanuit we elkaar met woorden als kanonvuur beschieten.

We gaan het anders doen.

“Achten Sie auf ihre Sprache!” sprak mijn zeer gewaardeerde buurvrouw Angela Merkel haar gehoor onlangs toe. Want de woorden zijn het voorportaal van de daad. Het gehoor waar zij zich toe richtte bestond niet alleen uit boeren en buitenlui, maar ook en vooral uit diegenen onder ons die het best in staat zijn de weg naar de media te vinden, de politici, de mensen van het binnenhof. Let op uw woorden! Denk eerst nog eens na voordat u uw mening geeft. In de taal van mijn buurvrouw klinkt het wellicht beter door dan in ons Nederlandse woord dat daarvan afgeleid is. Meinung is, wat het mijne is, wat je zelf ergens van vindt. Iedereen mag zijn eigen Meinung hebben. Dat betekent echter niet dat je het recht hebt die Meinung altijd maar te uiten. Want door deze te uiten is het geen Meinung meer, maar wordt het voor de ander; mededeling. Maar wat deel je dan? De vrijheid van meningsuiting wordt begrensd door het respect voor de identiteit en integriteit van de ander tot wie de uiting van de mening gericht is, of dat nu een individu is of een groep. Veel wat als meningsuiting verkocht wordt, en verdedigt met een beroep op de “vrijheid van meningsuiting”, is niet als mededeling van een Meinung bedoeld, maar heeft het primaire doel de ander te beledigen, of een stemming te kweken die tot haat en geweld leidt.

We gaan het anders doen. De toeslagenaffaire bij de Belastingsdienst heeft ons andermaal gewezen op een manco van onze sociale economie. In onze complexe samenleving ervaren velen van ons zich als een radertje in een machinerie. Het wordt steeds moeilijker om zich verantwoordelijk te voelen voor zijn functioneren omdat het overzicht er niet is. De ministeriële verantwoordelijkheid is niet meer dan een formele verantwoordelijkheid gescheiden van de uitvoering van een abstract taak door de ambtenaren die slechts hun taak uitvoeren. De scheiding van ontwerp en uitvoering van procedures en programma’s ligt aan de basis van dit verantwoordelijkheidsprobleem. Onze sociale systemen zijn gebruiksonvriendelijk geworden. Je moet een studie volgen om te weten wat je rechten en plichten zijn.

We gaan het anders doen. De voorstelling alsof er een tegenstelling zou bestaan tussen economie en gezondheidszorg, zorg voor de kwaliteit van leven, is een valse. Het is de tegenstelling tussen een economie die op de welvaart van het individu is gericht enerzijds en het collectieve welzijn anderzijds. Niet 10 % van het bruto nationaal produkt moet naar het domein van de zorg voor gezondheid zoals in vorige begrotingen, niet 50 %, maar 90 % van ons budget wordt gestopt in een gezonde economie die gebaseerd is op zorg en zorgplicht voor de gezondheid van mens, natuur, landbouw, en milieu. De resterende 10 % gaat naar het Ministerie voor Vergeten Zaken, want de prijs van onze te goedkope goederen, robots en mobieltjes wordt betaald door de armoede elders in de wereld. Het Ministerie van Defensie wordt opgeheven en opgenomen in het Ministerie voor Opruiming.

Ik wens U allen een goed en vooral gezond parlementair jaar. Achten Sie auf ihre Sprache!

Nooit meer slapen…

“Alle intellectuele beroepen bestaan uit het continu verrichten van dingen die, apart genomen, heel eenvoudig zijn, na een gigantische voorbereiding. Een ei bakken op de top van de Mount Everest, dat is het.”

(W.F.Hermans, Nooit meer slapen)

Techniek is pas techniek als het kunstmatig is en intelligent. Ik had nog collega’s toen ik eens één van hen opbelde. Ik kreeg haar dochtertje aan de lijn die na mijn begroeting, zei: mijn moeder is er niet. Ik zei zoiets van bedankt, waarop ze nog zei: belt u later nog eens terug, en ik zei dan bel ik later wel, waarop ze zei: een fijne dag nog, waarna het gesprek beeindigd was.

Niet veel later kom ik de collega tegen en ik zeg: ik had je net gebeld, ik had je dochtertje aan de telefoon. “Hè, mijn dochter?” roept ze verbaasd. Ja, je dochter, kan dat niet? Oooh, maar dat was het antwoordapparaat!

Het gevoel dat mij beving toen ik me bewust werd van het feit dat ik, die er zo stellig van overtuigd was, ik had het immers zelf meegemaakt!, dat ik met haar dochter een gesprek had gevoerd, kennelijk met een machine had gesproken, is lastig te beschrijven. Ik voelde me bedrogen?, ontheemd? Ik probeerde het gesprek terug te halen. Hoe was het verlopen, dat ik dit niet gemerkt had? Niets, geen enkele aanwijzing kon ik vinden dat een indicatie kon zijn van het feit dat ik niet met een mens van vlees en bloed maar met een machine had gesproken. En ik vond het nog wel zo’n aardig meisje, die dochter van mijn collega!

Ik wist uit eigen onderzoek dat het voorkwam dat oude mensen soms enthousiast waren over het feit dat een in hun huis voor onderzoekdoeleinden geplaatst sprekend robotkonijn een zinvolle opmerking maakte, iets terug zei dat ergens op sloeg. Ik wist dat het toeval was. In een ander project had een student van mij een computerprogramma gemaakt dat humoristische opmerkingen kon maken. (We hadden begrepen dat het goed is voor de band met de patiënt dat sociale robots in de zorg af en toe wat humor in de interactie stoppen, als medicijn.) Tijdens zijn afstudeerpraatje gaf de student een demonstratie. Geen enkele door zijn computerprogramma geproduceerde zinnen kon het gehoor aan het lachen maken. Op één na. Die zin bleek bij toeval tot stand gekomen. Door een fout in zijn programma.

Maar hoe toevallig of verklaarbaar ook, dat te weten was iets anders dan de ervaring van deceptie (?) die mij overviel toen ik zelf als serieuze “gebruiker” met de sprekende gesprekvoerende computer, hoe primitief ook, te maken kreeg. Heidegger wijst in zijn Hebel, der Hausfreund, al op het verschil tussen de ‘Sprechmachine’, een apparaat dat ons spreken opneemt en weergeeft, ‘der somit in das Sprechen der Sprache noch nicht eingreift’, en de ‘Sprachmachine’, die de functie en de kunst van ons gebruik van taal overneemt. ‘Die Sprachmachine ist – und wird vor allem erst noch – eine Weise, wie die moderne Technik über die Art und die Welt der Sprache als solcher verfügt.” (M. Heidegger in: Hebel, der Hausfreund, p. 36).

In de jaren zeventig protesteerde de Amerikaanse Pugwash-beweging, een moderne vorm van ludditisme, tegen de ontwikkeling van de sprekende machines. Machines kunnen niet spreken, want ze weten niet wat ze zeggen. Onderzoekers en technici die aan sprekende machines werken misleiden dus het volk. Het lijkt een eeuw geleden. Moderne techniek-moralisten stellen dat de gebruiker altijd aan de machine moet kunnen horen of zien dat het niet om een echt mens gaat. Onzinnig natuurlijk. Want wie zou dat moeten beweren? En waarom zouden we dit moeten geloven?

Technologie is misleiding, niet omwille van de misleiding tot stand gebracht, maar omdat het werkt, of op zijn minst suggereert.

Lieve Lita, Linda, Livia…

U weet dat misschien niet, maar vanwege de in snel tempo vergrijzende en steeds meer dementerende en gedesillusioneerde staat van de wereldbevolking, is het van belang dat de ons nog resterende intelligentie wordt vastgelegd in zand, in computergeheugens en slimme software. Zodat ook eventueel nog toekomstige generaties van onze intelligentie kunnen profiteren. Ondernemers, wetenschappers en politici zijn zich hier terdege van bewust en met name in onze westerse wereld worden er dan ook jaarlijks door de EU enige miljarden Europese euroos gestopt in wetenschappelijk-technologische projecten die als doel hebben dit probleem op te lossen door het ontwikkelen van intelligente sociale computernetwerken, ‘social agent’ en sociale robots, die de steeds schaarser wordende experts moeten assisteren, eerst, en later vervangen.

Werden machinale intelligentie en robots vroeger vooral en in eerste instantie ingezet voor de assistentie, eerst, en later vervanging van taken en arbeiders in onze hardware producerende industrie, te beginnen bij Ford in de automobiel-fabrieken, in toenemende mate richt de aandacht zich op de mens zelf als belangrijkste productiefactor. Een gezond product begint immers bij een gezonde producent. De mens heeft er al heel lang een hekel aan ziek te worden en dood te gaan. Ze doet er dan ook alles aan het leven te rekken en ziektes en de nare klachten ten gevolge van de onvermijdelijk, haar lichamelijke bestaanswijze aanklevende slijtage aan botten, spieren en cellen te bestrijden. Men leze Discours de la Méthode (1637) waarin René Descartes, dit onverbeterlijke optimisme eigen aan onze moderne leef- en denk-stijl beschrijft: “Maar zonder de minste bedoelingen om haar (de geneeskunst, RodA) te verachten, weet ik zeker dat er niemand is, zelfs onder haar beoefenaren, die niet toegeeft, dat alles wat men weet bijna niets is naast hetgeen te kennen overblijft en dat men zich zou kunnen bevrijden van talloze ziekten van lichaam en geest en zelfs van de verzwakking des ouderdoms, indien men voldoende kennis had van hun oorzaken en van alle middelen waarmee de natuur ons heeft voorzien.'” (Descartes, Vertoog over de Methode, p.160, vertaling Helena Pos, 1937).

Het is geen bijverschijnsel, maar een rechtstreeks gevolg van deze ontwikkelingen dat mensen, uit het produktieproces gestoten door robots en autonome softwaresystemen te weinig in beweging komen, zich buitengesloten voelen en allerlei chronische ziektes ontwikkelen. Bijkomend probleem is nog dat ook de dokters, de para-medici, de verpleegkundigen, ja zelfs de mantelzorgers, het vrijwillige sterke deel der natie, aan slijtage onderhevig zijn. Ook zij worden als maar ouder als ze niet eerder een eind aan hun leven maken of om andere redenen of oorzaken sterven. Ook zij dementeren en raken in een staat van geestelijk verval en isolement.

Op grond van de oude wijsheid “mens sana in corpore sano” richtte veel aandacht zich in eerste instantie op het onderhouden en herstellen van een gezond lichaam, steeds meer dringt het besef door dat de mens die psychisch lijdt, door verlies van werk of echtgenoot, een geliefde, of gewoon door slijtage, niet of nauwelijks van zijn of haar bank te krijgen is. Bovendien is het werk dat de mens nog rest steeds meer mentale arbeid: informatie verwerken volgens geestdodende procedures waarvoor wij niet verantwoordelijk zijn. Vandaar dat veel van die EU gelden gaan naar projecten die de psycholoog of psychiater, die zelf ook hard aan onderhoud toe is, moet gaan assisteren, eerst, en uiteindelijk vervangen.

Dit is geen toekomstmuziek meer. De eerste resultaten zijn er. Zo is er Livia, als een soort opvolgster van lieve Lita en lieve Linda, maar anders dan deze gespecialiseerd in rouwverwerking. En het is een computerprogamma. Dat de plaats inneemt van de menselijke psycholoog of mental coach die immers een volle agenda en een wachttijd van drie maanden heeft of, erger nog, zelf in de psychische kreukels zit, vanwege haar man die door ontslag aan de drank en lager wal is geraakt. Livia heeft daar geen last van. Ze is vierentwintig uur per dag, zeven dagen in de week beschikbaar voor de leden van haar doelgroep, de ouderen die door het overlijden van hun echtgenoot of door scheiding in een chronische staat van rouw, ellende, zinloosheid, slapeloosheid en depressiviteit zijn geraakt. Het gaat hier, zo blijkt uit onderzoek, om 10% van alle mensen die hun echtgenoot verliezen. Met als gevolg allerlei lichamelijke klachten.

Verdriet om een verloren echtgenoot.
Bron: Lives website (zie tekst)

De Universiteit van Bern, waar Livia is ontwikkeld, heeft haar uitvoerig getest met zo’n 110 proefpersonen.

LIVIA has been shown to reduce grief, depression and psychological distress whilst increasing satisfaction with life among older adults experiencing prolonged grief symptoms. (Lives website, Bern)

‘Promising’ dus.

Livia wordt verder ontwikkeld en wordt onderdeel van nieuwe EU onderzoekprojecten. Want, zoals Descartes al zei, het kan altijd beter, er is nog zoveel wat we niet weten. Het levert werk aan nieuwe generaties onderzoekers die een steentje bij mogen dragen aan ons optimistische toekomstbeeld.

Tuinkers op Mars

Natuurlijk gaat niet al ons onderzoekgeld naar de gezondheidszorg en e-health. Je moet immers nooit alleen patat verkopen. Mocht het niet lukken om het leven hier op aarde vol te houden dan moeten we uitwijken naar elders, naar de maan, of naar Mars. Met trots meldden onderzoekers onlangs dat er op Venus gassen zijn die chemische elementen bevatten die mogelijk een indicatie zijn van leven in de atmosfeer van deze planeet. Ondertussen is het onderzoekers van Mars inmiddels gelukt tuinkers te verbouwen op het stof van de rode planeet.

Wetenschappers verbouwen tuinkers op Mars. Waar doet me dat toch aan denken?

Wittgenstein en de betoverende kracht van de taalnetwerken

“Das Schwanken wissenschaftlicher Definitionen: Was heute als erfahrungsmässige Begleiterscheinung des Phänomens A gilt, wird morgen zur Definition von ‘A’ benützt.”

(Ludwig Wittgenstein, Philosophische Untersuchungen 79)

“De woorden hebben voor het denken dezelfde betekenis als de ontdekking de wind te gebruiken om tegen de wind in te varen heeft voor de scheepvaart. Vandaar, laat niemand de waarde van de woorden vergeten!”

(Gottlob Frege, 1882)

Het Portugese spelen

Het Portugees kent drie werkwoorden voor het Nederlandse ‘spelen’.

Waar de Nederlander zegt “de kinderen spelen op straat” zal de Portugees zeggen “as crianças brincam na rua”. Het kinderspel is “a brincadeira de criança”. Het Portugees voor “wij spelen trompet” is “nós tocamos trompete”. Vioolspel is “o violino tocando”. Het Portugees voor “op dit bord spelen wij schaak” is “nós jogamos xadrez neste tabuleiro”. Het balspel is “o jogo de bola”.

Je zou hieruit kunnen concluderen dat de Portugees drie begrippen “spel” kent, aangeduid met de drie werkwoorden: brincar, tocar en jogar. Portugezen hebben deze drie begrippen met hun taal geleerd. Maar kun je dan ook zeggen dat ze drie soorten spelen kennen? Zou dat niet suggereren dat ze een algemeen spelbegrip hebben, het begrip dat in de Nederlandse taal met het woord ‘spel’ wordt uitgedrukt, waarvan hun drie begrippen dan ‘deelbegrippen’ of nadere bepalingen zouden zijn? Alsof de Portugezen eerst in hun ontwikkeling het algemene spelbegrip leren en daarna de verschillende soorten spelen leren onderscheiden. Wellicht is het eerder andersom: dat ze eerst leren wanneer ze de drie woorden gebruiken om pas later het gemeenschappelijke erin te zien. Maar het Portugees kent het woord “spel” helemaal niet! Kunnen we daar niet uit concluderen dat ze ook geen algemeen begrip spel kennen? Kun je een “soort van” begrip hebben maar er geen woord voor hebben?

Omgekeerd: zou de Portugees die kennis maakt met het Nederlands (of het Duits) het niet heel erg merkwaardig vinden dat je in al deze zo verschillende situaties het zelfde woord ‘spelen’ (‘spielen’) gebruikt? Begrijpen de Nederlanders en de Duitsers dan niet dat het hier om heel verschillende dingen gaat! Want wat heeft het spelen dat kinderen in de speeltuin doen nu gemeen met het bespelen van een muziekinstrument of met het spelen van een bordspel of het voetbalspel? Dit ‘gebrek’ aan onderscheid is iets anders dan kleurenblindheid. Wie kleurenblind is kun je niet het verschil tussen twee kleuren, die de kleurenblinde nu eenmaal niet kan zien, leren onderscheiden, terwijl je de Nederlander wel kan leren wat het gebruik is van de verschillende Portugese woorden voor ‘spelen’. Wanneer we in het schaakspel de torens en de lopers niet meer onderscheiden door er dezelfde regels voor op te stellen dan hebben we met een ander spel van doen. Zo zouden we kunnen zeggen dat het Portugees een ander taalspel is dan het Nederlands of het Duits.

Taalspel

De term ‘Sprachspiel’ is een door Ludwig Wittgenstein bedacht neologisme dat in zijn filosofische beschouwingen over taal een sleutelpositie inneemt . (Zie zijn Philosophische Untersuchungen I, p.65). Wanneer in het taalspel woorden als schaakstukken zijn, niet als instrumenten, dan verwacht je dat het Portugees voor taalspel luidt: jogo de linguagem. Dit is de vertaling die het machinale vertaalprogramma Google translate geeft. De vraag is: baseert Google deze vertaling op grond van de betekenis die Wittgenstein aan deze term geeft? Of is het puur toeval dat het deze vertaling geeft? Geen van beide. Voor zover statistiek geen (puur) toeval is, is het geen toevallige hit. Ik weet niet met welke taaldata deze vertaalmachine van Google gevoed is, maar ik vermoed dat deze vertaling gebaseerd is op het meer dagelijkse, gangbare gebruik van het woord taalspel, zoals dat in teksten en wellicht ook in gesproken corpora voorkomt. Een taalspel is in de normale betekenis een spel dat je met woorden speelt zoals scrabble, of een kruiswoordpuzzel, of Lingo, een populair tv-spel, waarin de deelnemers woorden moeten raden. Wie met de zoeksleutel “taalspel” op het internet zoekt vindt uitsluitend referenties naar dit soort taalspelletjes.

Met de term ‘woordenspel’ wordt nog weer iets anders bedoeld dan een woordspelletje zoals Scrabble. We onderscheiden nog twee betekenissen. Van een woordenspel, een spel met woorden, is sprake wanneer iemand woorden gebruikt zonder werkelijk iets te zeggen, om de aandacht van de zaak zelf af te leiden. Het heeft dan een negatieve connotatie. Politici zijn er goed in. In mijn blog Het memo-debat: het verloren vertrouwen in “de overheid’’ citeer ik een uitspraak van onze minister president Rutte: “Oh u bedoelde zoiets? Maar dat is geen memo, dat is een kattebelletje.’’

Het Portugees kent dit soort woordspelletjes ook: jogo de palavras. Een tweede betekenis van ‘woordenspel’ duidt op het op speelse wijze omgaan met woorden: een woordspeling. Deze heeft niet de negatieve connotatie die de eerste betekenis heeft. In het Portugees: trocadilho. (Met dank aan mijn Portugese schoondochter Miriam Cabrita die mij hierop attent maakte.) In beide betekenissen wordt op een vernuftige manier met woorden gespeeld. Om de verwarring te voorkomen zou Scrabble misschien beter een ‘letterspel’ genoemd kunnen worden.

Zou Google de uitspraak van Wittgenstein waarin deze zegt dat woorden als schaakstukken zijn, niet als instrumenten, “kennen”, dan zou deze machine op grond daarvan tot deze vertaling van het Wittgensteins ‘taalspel’ hebben kunnen komen. Maar ik maak me sterk dat Google deze uitspraak niet kent. In de verschillende Portugese vertalingen van de Filosofische Onderzoekingen wordt ook deze vertaling aangehouden. De in PU 66 genoemde voorbeelden “van activiteiten die we spelen noemen”: bordspelen, kaartspelen, balspelen zijn dan ook allemaal instanties van spelen die vallen onder het Portugese ‘jogos’.

“Considere, por exemplo, os processos que chamamos de “jogos”. Quero dizer, jogos de tabuleiro, de carta, com bola, de combate, e assim por diante. O que todos eles têm em comum? – Não diga: “Tem que haver para eles algo em comum, senão eles não se chamariam ‘jogos’ ” (Investigações Filosóficas 66).

Heeft Wittgenstein helemaal geen oog gehad voor die andere activiteiten die we in het Nederlands ook met ‘spelen’ aanduiden en die in het Portugees niet onder ‘jogar’ vallen?

Machine Learning

Machinale vertalers en zoekmachines halen hun logica uit het feitelijk taalgebruik. Ze analyseren heel veel teksten en kijken welke woorden bij elkaar in de buurt staan. Zo maakte Victor Yngve in de vijftiger jaren bij MIT al zijn eerste machinale vertaalprogramma dat Duitse teksten in het Engels omzette (zie mijn stukje over Beurtwisselgedrag). Machine Learning methodes worden veel gebruikt om teksten te classificeren, bijvoorbeeld om te leren of een e-mail-bericht ongewenste spam is. Het zijn heel oppervlakkige methodes. Ze kijken naar het voorkomen van woorden of woordcombinaties (‘features’) in de te classificeren documenten en bepalen welke woorden karakteristiek zijn voor elk type document. Als (standaard voorbeeld) het woord ‘viagra’ vaak voorkomt in een spam mail bericht en (bijna) niet in andere berichten dan wordt er vanuit gegaan dat een e-mail bericht waarin dit woord voorkomt spam is. De quote uit PU 79: “Das Schwanken wissenschaftlicher Definitionen: Was heute als erfahrungsmässige Begleiterscheinung des Phänomens A gilt, wird morgen zur Definition von ‘A’ benützt.” deed mij direkt denken aan hoe kunstmatige intelligentie op basis van machinaal leren werkt. “wat vandaag op grond van ervaring geldt als begeleidend verschijnsel van het fenomeen A, wordt morgen voor de definitie van ‘A’ gebruikt.” (PU 79). Zo bepaalt Google door middel van taaltechnologie wat de gebruiker van haar vertaalmachine als de correcte Portugese vertaling van het Nederlandse woord ‘taalspel’ zal zien: jogo de linguagem.

Maar wat bedoelt Wittgenstein eigenlijk te zeggen met die term ‘Sprachspiel’ als het niet om een woordspel gaat zoals in het gangbare gebruik van ‘taalspel’? Het is de vraag die hij zelf aan de orde stelt. In PU 65.

“Hier stuiten wij op de grote vraag die achter al deze beschouwingen schuilt. – Want iemand zou me nu kunnen verwijten: ‘Je maakt het je gemakkelijk!’ Je praat over alle mogelijke taalspelen, maar je hebt nergens gezegd wat dan het wezenlijke is van taalspel, en dus van de taal. Wat al deze activiteiten gemeen hebben en wat ze tot taal, of tot onderdelen van de taal maakt. Je maakt je dus gemakkelijk af van juist dat deel van het onderzoek dat jou zelf indertijd de meeste hoofdbrekens gekost heeft, namelijk het deel dat de algemene vorm van de bewering en van de taal betreft.”

Afstand tot de Tractatus

Het cursief gedrukte ‘algemene vorm van de bewering‘ verwijst naar zijn vroegere werk aan de Tractatus waarin hij geprobeerd heeft een mathematisch-logische vorm te vinden voor de taal als afbeelding van de wereld opgevat als verzameling van “alles wat het geval is”. (De bekende eerste stelling van de Tractatus luidt: “Die Welt ist alles was der Fall ist.“. De algemene formule voor de bewerende zin wordt gepresenteerd in stelling 6: een wiskundige formule die de abstracte structuur van een propositie geeft. Zie Figuur.)

Toelichting bij Stelling 6 van de Tractatus.
Uit de Introduction bij de Engelse vertaling door Bertrand Russell.

Hoewel beide werken over de moeizame relatie tussen filosofie en de taal gaan, kan het verschil in de manier waarop over het onderwerp gedacht en geschreven wordt niet groter zijn dan die tussen de Tractatus en de Philosophische Untersuchungen. Het eerste werk wil de achterliggende logica van de taal als uitdrukking van kennis van de wereld in een logische taal vastleggen.

“Der Satz kann die logische Form nicht darstellen, sie spiegelt sich in him.” (…) Der Satz zeigt die logische Form der Wirklichkeit. Er weist sie auf.” (Tractatus, 4.121).

“Was gezeigt werden kann, kann nicht gesagt werden.” (4.1212)

De relatie die de filosoof tot de taal heeft is uiterst paradoxaal. De taal leent zich helemaal niet voor wat de filosoof moet zeggen, omdat dat onzegbaar is. In zijn voorwoord spreekt hij dan ook de verwachting naar de lezer als volgt uit: “Dieses Buch wird viellecht nur der verstehen, der die Gedanken, die darin ausgedrückt sind – oder doch ähnliche Gedanken – schon selbst einmaal gedacht hat.”

En geheel hiermee in overeenstemming besluit hij zijn stellingen met:

“Meine Sätze erläutern daduch, dass sie der, welcher mich versteht, am Ende als unsinnig erkennt, wenn er sie – auf ihnen – über sie hinausgestiegen is. (Er muss sozusagen die Leiter wegwerfen, nachdem er auf ihr hinausgestiegen ist.) Er muss diese Sätze überwiden, dann sieht er die Welt richtig.” (6.54).

De filosoof moet de woorden die hem enig zicht op de werkelijkheid hebben verleend weer weggooien als de ladder waarmee hij naar boven is geklommen om van boven de wereld te kunnen beschouwen.

Wie de weg van de Tractatus gegaan is, die moet aan het eind gekomen wel inzien dat:

“Wovon man nicht sprechen kann, darüber muss man schweigen.” (7).

In het woordje ‘muss’ komt de ethische en mystieke lading van deze slotconclusie en daarmee van de Tractatus tot uitdrukking: we moeten respect hebben voor de diepere dimensie van het bestaan door er niet over te spreken zoals we over de feiten spreken.

De taak van de filosofie is eigenlijk een onmogelijke, namelijk een logische taal ontwerpen die zegt wat in de dagelijkse taal op verhullende wijze wordt gezegd. Onmogelijk; want hoe leg je uit wat de relatie is tussen de uitdrukkingen in de formele taal en in de gewone taal? In Over de grenzen van de reflexiviteit vergelijkt Boukema dit met de functie van een oorlog die aan alle oorlogen een eind moet maken. (Boukema, 1987, p. 14).

Zo’n 25 jaar na het verschijnen van de Tractatus leest Wittgenstein zijn eerste boek weer eens en vat het plan op de resultaten van zijn nieuwe filosofische zoektocht samen met de oude gedachten van de Tractatus te laten verschijnen, omdat zo de nieuwe gedachten tegen de achtergrond van de oude in het juiste licht zouden verschijnen. Hij kwam namelijk bij herlezen en na discussie met onder anderen Frank Ramsey tot de conclusie dat hij “ernstige fouten” had gemaakt (Voorwoord van PU).

In PU gaat het over de taal als sociaal medium, als onderdeel van een levensvorm. Eerst was het idee dat de logicus nodig was om te zeggen wat de mensen precies bedoelen wanneer ze een zin uitspreken, op grond van de logische structuur van de werkelijkheid. De zoektocht is nu naar de regels van het dagelijkse taalgebruik zelf, waarbij het feitelijk gebruik van de taal leidend is. “De filosofie mag het feitelijk gebruik van de taal op gene enkele manier aantasten, zij kan dit gebruik uiteindelijk dus alleen beschrijven. Zij kan er ook geen reden voor geven. Zij laat alles zoals het is.” (PU 124). Het gaat echter om ons zelf om het ophelderen van verwarringen die door het gebruik, de werking, van onze taal ontstaan.

In PU 7: “We kunnen ons ook indenken dat het hele proces van het gebruik van de woorden in (2) een van die spelen is waardoor kinderen hun moedertaal leren. Ik zal deze spelen ‘taalspelen’ noemen, en van primitieve taal soms spreken als een taalspel. (…) Ik zal ook het geheel: de taal en de activiteiten waarmee ze verweven is, het ‘taalspel’ noemen.”(PU 7)

De Portugese vertaling luidt:

“Podemos também imaginar que todo o processo de uso de palavras em (2) seja um desses jogos por meio dos quais as crianças aprendem a língua materna. Quero chamar esses jogos de “jogos de linguagem”, e falar às vezes de uma língua primitiva como um jogo de linguagem.” (Investigações Filosóficas, Duits-Portugese uitgave in de vertaling van João José R. L. de Almeida, gepubliceerd door de Wittgenstein Translations)

In (2) introduceert W. zo’n primitief taalspel waarin een bouwer A en zijn helper B gebruik maken van een aantal woorden, zoals ‘blok’, ‘pilaar’, ‘plaat’, etc. “A roept ze af; – B brengt het element dat hij geleerd heeft op die roep te brengen.” (PU 2).

En in PU 23: “Er zijn talloze soorten: talloze verschillende manieren om dat te gebruiken wat wij ‘tekens’, ‘woorden’, ‘zinnen’ noemen. En deze verscheidenheid ligt niet vast, is niet eens en voor altijd gegeven; nieuwe typen taal, nieuwe taalspelen, zouden we kunnen zeggen, ontstaan en andere verouderen en worden vergeten. (..) “Het woord ‘taalspel‘ moet hier beklemtonen dat het spreken van een taal deel uitmaakt van een activiteit, of een levensvorm.” (PU 23).

“Taal wordt door hem beschouwd naar het model van spel” (Harm Boukema, p.43). Dat roept de vraag op naar de regels van het spel. Legt de taal precies vast hoe we de woorden en de zinnen moeten gebruiken, zoals het schaakspel vastlegt wat we met de koning kunnen doen? Wat heeft ons er toe verleid “te denken dat wie een zin uitspreekt en hem bedoelt, of begrijpt, daarmee een calculus bedrijft volgens bepaalde regels.” (PU 81). Trouwens, moet een spel wel regels hebben om spel te zijn?

Bij nadere beschouwing blijkt het niet zo eenvoudig te zeggen wat een spel is. Is het wel duidelijk wat een spel is? Maar hoe kunnen we dit woord dan gebruiken? Is een onduidelijk begrip, zoals spel, wel een begrip? (PU 71). Wat bedoelen we eigenlijk met wat ‘wezenlijk’ is aan spel of aan taal? Begrijpen machines de woorden en de dingen die ze zeggen?

Wittgensteins onderzoekingen zijn evenzovele getuigenissen van de worsteling die het denken met de taal heeft zodra deze zich over zich zelf buigt. Het fragmentarische karakter van zijn verzamelde werk, ‘landschapsschetsen die op lange en ingewikkelde tochten zijn ontstaan’, verzameld in een ‘album’ (Voorwoord van PU), is kenmerkend voor deze worsteling. ‘Zo is dit boek dus eigenlijk niet meer dan een album’, schrijft hij in het voorwoord. Januari, 1945. Hij spreekt de hoop uit dat zijn schetsen in deze ‘duistere tijd’ enig licht zal brengen. Maar erg waarschijnlijk acht hij dit niet.

Familiegelijkenissen

In zijn dialogische stijl nodigt Wittgenstein de lezer van zijn Filosofische Onderzoekingen uit om bijvoorbeeld eens te kijken naar de activiteiten die we “spelen” noemen. “Ik bedoel bordspelen, kaartspelen, balspelen, en de Olympische Spelen (Duits: Kampfspiele), enzovoort. Wat hebben deze allemaal gemeenschappelijk?” (PU,66). Denk niet, waarschuwt hij, dat ze wel iets gemeenschappelijks moeten hebben omdat we ze anders niet ‘spelen’ zouden noemen, maar kijk! Kijk naar de eigenschappen van de diverse spelen. Sommige zijn onderhoudend, andere niet. Bij sommige gaat het om winst of verlies, bij anderen niet, bij weer andere spelen gaat het om rivaliteit tussen spelers, bij andere niet.

Het resultaat van dit onderzoek is een “gecompliceerd web van gelijkenissen, die elkaar overlappen en kruisen.”. “Ik kan deze gelijkenissen niet beter karakteriseren dan met het woord ‘familiegelijkenissen’; want zo overlappen en kruisen de verschillende gelijkenissen tussen de leden van een familie elkaar; bouw, gelaatstrekken, kleur van de ogen, manier van lopen, temperament, etc.”

De taal misleidt ons te denken dat er iets gemeenschappelijks is (“het wezen”), een verborgen kern, in alle spelen. Het geisoleerde woord op zich beschouwd wekt de illusie bij de filosofen, waartegen Wittgenstein zich keert, dat het woord een en dezelfde betekenis zou hebben. Maar, en daarin volgt Wittgenstein Frege, een woord op zich heeft geen betekenis.

Frege: betekenis is als een getal

Frege hanteerde in zijn zoektocht naar de fundamenten van de wiskunde als fundamenteel principe “nooit naar de betekenis van een woord in isolatie te vragen, maar altijd en alleen in de context van een propositie”. Wie zich hier niet aan houdt is, volgens Frege, “wel haast gedwongen mentale beelden of mentale acties van de individuele psyche voor de betekenis van woorden te houden”. En dat is in strijd met een ander Fregeaanse principe: “maak altijd een scherp onderscheid tussen het psychologische idee enerzijds en het logische begrip anderzijds, tussen het subjectieve en het objectieve”. (Frege, Introductie van The Foundations of Arithmetic, p. x).

We moeten kijken naar de concrete situaties waarin het woord wordt gebruikt. En dan zien we dat het woord een familie van betekenissen moet hebben. (vgl. Boukema, p.55).

Het zijn oude vragen, de vraag naar de relatie tussen het bijzondere en het algemene. Het heeft alles te maken met hoe we de dingen onderscheiden, op grond waarvan, hoe we ze indelen, waarom we dingen onder een zelfde begrip vatten.

Wat betekent het dat een leeuw een dier is en geen plant? Waarom is de bloemkleur van een plant minder bepalend voor haar indeling in families dan de wijze waarop de plant zich voortplant?

Vragen we, bijvoorbeeld, wat we met ‘de betekenis’ van een woord bedoelen. Bedoelen we dan dat betekenis hetzelfde is in alle situaties waarin we het woord gebruiken? Of betekent ‘betekenis’ telkens iets anders afhankelijk van waar het de betekenis van is? Zoals het rood van de bloedvlek op het tafelkleed iets anders is dan het rood van de roos. Bedoelen we met ‘spel’ hetzelfde in ‘taalspel’, in ‘schaakspel’ , in ‘gokspel’? Hoe is de interaktie tussen taal en spel in taalspel en is die anders dan tussen gokken en spel in ‘gokspel’?

Wat is typerend voor spel? Wittgenstein probeert deze vraag te beantwoorden door naar de feitelijke zaken te kijken die we spel noemen. Wat zijn hun kenmerken. De doorsnede van alle verzamelingen van kenmerken van de diverse spelen is leeg. Er is niet een draad die van het ene eind tot het andere eind van het touw loopt. Het spelbegrip wordt vergeleken met een touw. Als er nieuwe spelen bij komen dan voegen deze iets toe aan het begrip als een draadje aan een bestaand touw. Er is geen sprake van ontwikkeling in de zin van verdieping van het begrip door nieuwe spelen.

De makke van Wittgensteins analyse van spel is dat hij weliswaar kenmerken noemt die niet onwezenlijk zijn voor spel, maar ze zijn niet typerend voor spel, merkt Boukema op (p.61). Ze komen immers ook allemaal buiten de sfeer van het spel voor. Wat is wel typerend voor spel? Twee kenmerken: het gewicht, of liever: de lichtheid en het in zich zelf genoegzame, autonome. Het eerste kenmerk blijkt wanneer we van iets zeggen: het is maar een spelletje. Je moet er niet te veel gewicht aan hechten; “op speelse wijze”. Daaraan gerelateerd is het tweede kenmerk: het spel is een activiteit waarvan het doel, de zin of het nut, niet er buiten ligt. Het spelen wordt niet gedaan om iets buiten het spel om tot stand te brengen. De eventuele beloning is een spelelement; deze heeft geen waarde buiten het spel. Het gaat om de beleving van de vaardigheid in de uitoefening van de activiteit zelf.

Zoals elke diersoort op eigen wijze het dierlijke toont, zo toont elk concrete vorm van spelen op eigen wijze het speelse. Het stoeien en niet door regels beregelde spelen van kinderen op een speelplaats toont het speelse op andere wijze dan het balspel of het muziekspel. Het voetbalspel houdt op spel te zijn wanneer het door zakelijke motieven tot een serieuze zaak verwordt; wanneer er teveel op het spel staat; wanneer het werk wordt, uitgevoerd door duur betaalde voetbalprofs, hoezeer ook de profvoetballer nog van ‘het spelletje’ zal houden.

In het begin van zijn Filosofische Onderzoekingen haalt Wittgenstein een latijnse tekst van Augustinus aan waarin deze vertelt hoe hij door ervaringen met het gebruik van woorden en gebaren, de natuurlijke taal van alle volkeren (‘verbis naturalibus omnium gentium’), leerde wat de woorden aanduidden.

Wittgenstein ziet in Augustinus’ tekst het volgende beeld van de taal: “ieder woord heeft een betekenis. Deze betekenis is aan het woord gekoppeld. Zij is het voorwerp waar het woord voor staat.” (PU 1).

Het is de ‘last van Frege’s erfenis’ die in dit beeld tot uiting komt (Boukema, p66). Het is het beeld dat de wiskundige Frege in zijn filosofie van de taal opbouwt. Deze wordt gekenmerkt door een strikte scheiding tussen psychologie, het subjectieve, mentale, enerzijds en het logische, objectieve, anderzijds. We herkennen hierin hoe in de formele meta-mathematische logica “met de logica van een maniak” (de term heb ik van Louk Fleischhacker) door middel van functies, zogenaamde interpretaties, objecten in een model aan de formele welgevormde taalconstructies als hun betekenis worden toegekend. Frege en de ‘jonge Wittgenstein’ (van de Tractatus) stonden, samen met Russell aan de wieg van het denken dat uiteindelijk tot de kunstmatig logisch denkende machines zou leiden. In de programmeerbare logische computer functioneren Frege’s Begriffschrift (predicatenlogica) en Wittgenstein’s waarheidstabellen uit de Tractatus (propositielogica) waarin volgens Frege’s compositionaliteitsprincipe de betekenis (“waarheidswaarde”) van complexe beweringen uit die van de atomaire beweringen wordt berekend; precies zoals je op basis van de grammaticale structuur van een aritmetische expressie, – bijvoorbeeld: (x + y ) * x + 4 – de getalswaarde kan berekenen wanneer je voor de variabelen x en y een getal invult. Betekenissen zijn objecten en ze staan volgens deze filosofie tegenover de taaluitdrukking aan dezelfde kant als getallen. Over die objectieve betekenis kunnen we als mensen niet beschikken, zoals we over de taal beschikken. Net zomin als de getallen zich iets aantrekken van welk cijfersysteem (getalstelsel) we hanteren, of het nu Arabisch is, Romeins, of oud-Egyptisch, net zo autonoom zijn de betekenissen van onze proposities.

In zijn Filosofische Onderzoekingen neemt de latere Wittgenstein afstand van dit Fregeaanse beeld van de taal dat hij ten onrechte Augustinus in de schoenen lijkt te schuiven. Waarin bestaat die kritiek en wat komt daarvoor in de plaats? De kern van de kritiek komt tot uitdrukking in zijn begrip taalspel, een spel waarvan de regels, – voor zover je van regels kunt spreken, want: zijn vage regels wel regels en zijn er ook regels nodig die zeggen hoe we regels moeten toepassen? – door de spelers, de taalgebruikers zelf worden bepaald. We hebben geen logicus of filosoof nodig om ons te vertellen wat de logica van de taal is. Dat maakt de taalgebruiker zelf wel uit. Wat er voor in de plaats komt is een netwerk van aspecten, dat sterke associaties oproept met de manier waarop op big data-analyse gebaseerde machinale leertechnieken werken. Met kunstmatig intelligente beeldherkenningstechnieken kunnen machines misschien afbeeldingen van personen indelen in categorieen waarin we families herkennen; op basis van uitwendige familiegelijkenissen. ‘Horizontale overeenkomsten’ noemt Boukema ze en hij vraagt: hoe kon Wittgenstein over het hoofd zien dat familiegelijkenissen uitingen zijn, bij de verschillende leden van de familie op steeds andere wijze, van een dieper liggende verwantschap waarnaar deze term onmiskenbaar verwijst, een bloedverwantschap. Familieverwantschap wordt dan ook niet onderzocht op basis van uiterlijke op fotos zichtbare kenmerken, familieleden lijken soms uiterlijk helemaal niet op elkaar, maar op grond van genetische kenmerken van het DNA. Hoe komt het dat Wittgenstein bij het zoeken naar het gemeenschappelijke in wat we allemaal spel noemen niet op het idee kwam dat kenmerken als onderhoudend zijn of behendigheid vereisend, of een toevalselement bevattend, niet typerend voor spel zijn omdat ze buiten de spelen ook voorkomen. Volgens Boukema: “Doordat hij er bij voorbaat van uitging dat spel niets meer en niets anders is dan de optelsom van de factoren waarin dat wat we spel noemen verwezenlijkt is.” (p. 61).

Er is veel voor deze democratische, anti-wetenschappelijke, visie te zeggen en toch bevredigt het niet. Waarom niet? Omdat het teveel doet denken aan de manier waarop Google op de oppervlakkige wijze van de statistiek, bepaalt wat onze woorden betekenen en hoe we de gedachten van de ene taal in een andere “vreemde” taal, een taal die we niet kennen! moeten omzetten. Zijn er dan geen echte begrippen meer? Is er geen middenweg tussen de logica die zoekt naar de “objectieve” betekenissen van de woorden zoals we die gebruiken, het wezenlijke, dat wat spel tot spel maakt, en de oppervlakkige statistische contextanalyses van de features die het gebruik van de woorden kenmerken?

Hoe begrijpen we wat typerende kenmerken, geen toevallige kenmerken, van spel zijn? Waarom noemen we een machine intelligent en op grond waarvan zien we wel in dat een intelligente machine op een andere wijze intelligent is dan een mens? Dat we dit woord op een veelzinnige wijze gebruiken; niet op eenzinnige wijze. Omdat de intelligente machine weliswaar onze taal lijkt te kennen maar niet onze levensvorm? “Maar kan ik me niet indenken dat de mensen om ons heen automaten zijn, geen bewustzijn hebben, al is hun handelwijze dezelfde als altijd? (…) Een levend mens als automaat zien, is analoog aan het zien van een of ander figuur als grensgeval of variatie van een andere, bijvoorbeeld een vensterkruis als swastika.” (PU 420).

Machines zijn als toeristen

De natuurlijke taal-sprekende (vertaal)machines zijn als toeristen in een vreemd land. De toerist heeft om zich in de supermarkt of in het restaurant te redden taalfragmenten van buiten geleerd. Of hij gebruikt een vertaalmachine zoals Google translate, op zijn mobieltje en toont de vreemdeling de tekst die hij wilde zeggen als hij het kon zeggen. Tenminste, hij hoopt dat Google zijn woorden goed vertaalt. Maar net als de toerist kent de machine de vreemde taal niet. Omdat deze niet deelneemt aan het leven. Het verschil tussen de machines en de toerist is dat de machine nergens thuis is maar zich overal opdringt en de taal bepaalt waarin gecommuniceerd wordt. En gedacht.

Is er leven buiten de bubbels?

Waarom moeten wij Wittgenstein begrijpen? Omdat hij worstelde met een wezenlijk probleem en omdat het belangrijk is helder te zien wat dat probleem is, omdat het een kernprobleem van onze tijd is. Het gaat hier niet om een academische of filosofische kwestie. Het gaat om een probleem waar iedereen mee worstelt, omdat het verweven is met onze levensvorm. Hoe serieus moeten we ons leven nemen? Moeten we het leven wel serieus nemen? Of is het maar een spelletje? We stellen ons voor dat we uit dit leven hier op aarde kunnen stappen; ver weg naar een andere planeet. Nemen we dan ons leefmilieu hier nog wel serieus? Onze levensvorm is een taal- en denk-bubbel, waar vanuit we anderen in andere bubbels beoordelen en bestrijden. Kunnen we uit onze eigen bubbel stappen? Hoe serieus moeten we onze en andermans bubbel nemen? Hoe zijn we in onze bubbel terechtgekomen? Is er een leven buiten de bubbels? Kunnen we buiten onze taal denken? Waar zijn wij thuis? Of zijn wij ontheemde toeristen? Globetrotters overal en nergens thuis, als machines, zonder cultuur, zonder geschiedenis, zonder bloedverwantschap? Het zijn vragen waarop Google ons geen antwoord zal geven.

Woorden zijn als zeilen

We herkennen in de wijze waarop Wittgenstein in zijn Philosophische Untersuchungen vanuit een anti-metafysische houding de diepgang van het denken uit de alledaagse taal wegdenkt hetzelfde “positivistisch oppervlakkigheidsideaal” (Boukema p. 62), waarmee de natuurlijke taaltechnologie de betekenis en het gebruik van onze taal voorschrijft. Wittgensteins ‘taalspel’ doet de taal en de mens in die zin tekort dat het te lichtzinnig over de taal spreekt. Er zit meer in het taalgebruik dan deze term suggereert. Maar we moeten wel luisteren naar wat de woorden ons te zeggen hebben, want ze kunnen ons helpen als zeilen om “tegen de wind in te varen”.

Referenties

Boukema, Harm (1987). Familiegelijkenissen – Wittgenstein als criticus en erfgenaam van Frege. Tijdschrift voor Filosofie, 49ste Jaarg., Nr. 1, Ludwig Wittgenstein (Maart 1987), pp. 42-70.

Boukema, Harm (1987). Over de grenzen van de reflexiviteit. In: Reflexiviteit en Metafysica. Bijdragen aan het symposium bij het afscheid van prof. J.H.A. Hollak. (Redactie: Louk Fleischhacker). Filosofische Reeks Centrale Interfaculteit Universiteit van Amsterdam, nr. 20. 1987, pp. 6-19.

Frege, Gottlob (1986). The Foundations of Arithmetics: a logico-mathematical enquiry into the concept of number. English translation by J.L. Austin, 2nd revised edition. Basil Blackwell Oxford, 1986.

Frege, Gottlob (1882). Uber die wissenschaftliche Berechtigung einer Begriffschrift. Opgenomen in: Gottlob Frege: Funktion, Begriff, Bedeutung, Uitgave: Vandenhoeck & Ruprecht in Gottingen, pp. 91-97, 1975.

Wittgenstein, Ludwig (1973). Tractatus logico-philosophicus. Logisch-philosophische Abhandlung. Ed. Suhrkamp, Uitgave 1973. Oorspronkelijke Duitstalige uitgave 1921.

Wittgenstein, Ludwig (2006). Filosofische Onderzoekingen. Vertaling Maarten Derksen en Sybe Terwee. Boom, Amsterdam, 2006. Oorspronkelijk Duitse tekst verscheen in 1953 bij Basil Blackwell te Oxford.





Het Paradijs

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (David Hilbert, 1926).

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over Het Paradijs.

Hoelang blijf je besmettelijk?

Stel je bent positief getest op COVID-19 en je bent thuis herstellend van de ziekte. Na een paar weken zijn de verschijnselen: hoesten, snotteren, lamlendig zijn, vrijwel over en je wilt wel weer eens onder de mensen. Dan rijst de vraag: “Wanneer mag ik weer naar buiten?”. Kan ik nog steeds anderen besmetten? Vandaag stond er een artikel over in de Volkskrant van Ronald Veldhuizen (VK 01-09-2020). Het blijkt dat de geleerden het er niet helemaal over eens zijn en dat er in verschillende landen verschillende richtlijnen gelden. Het RIVM zegt na zeven dagen klachtenvrij mag je weer uit quarantaine. Maar wat is precies klachtenvrij? Mag een kuchje nog? Daarover schrijft Veldhuizen:

Voor thuiszitters bestaat er helaas geen handige test om na te gaan of je nog besmettelijk bent. Nog een keer naar de teststraat met dat laatste kuchje? Dat heeft geen zin, want de test slaat aan op elk restje virus dat nog in het lichaam rondwaart, ook deeltjes die de afweer al onklaar heeft gemaakt.

Voor mij is dat nieuw. Dat het lichaam afweerstoffen maakt tegen het virus was bij mij bekend, maar dat het lichaam de virusdeeltjes onklaar maakt zodat ze ook niet meer in staat zijn anderen te besmetten, terwijl ze nog wel zorgen voor een positief testresultaat, dat was voor mij nieuw. En ik vraag me af: klopt dat wel? Maar daar gaat het me hier niet om. Het gaat me om de behoefte aan zekerheid die uit het artikel naar voren komt. En niet alleen uit dit artikel, steeds weer blijkt die uitdrukkelijke wens om van de experts, de wetenschappers, te horen hoe het nou precies zit. En om van de overheid consistente regels te horen. We schijnen een goed gevoel te hebben voor consistentie.

Een opmerking in het artikel die me trof komt van klinisch viroloog Van Kampen van het Erasmus MC in Rotterdam. Hij vindt het niet zo gek dat landen op basis van allerlei onderzoek verschillende isolatieperioden hanteren:

Als het allemaal kristalhelder zou zijn, zou iedereen hetzelfde doen.’

Kristalheldere conclusies, klare en heldere ideeen, waar vind je ze nog? Zijn ze er nog: Descartes’ idees claires et distinctes? Kan de wiskunde, en beroept iedere wetenschap zich tegenwoordig niet op wiskundige modellen, ons misschien die door ons zo vurig begeerde zekerheid en exactheid bieden?

Het wiskunde proefwerk

Ik was nog maar net wiskunde-docent op een middelbare school toen ik samen met een collega een wiskunde proefwerk voor de 4 Gym klassen moest maken. De collega was een al wat oudere ervaren docent die geliefd was bij de leerlingen, had ik begrepen. Een degelijke wiskunde-docent van de oude stempel. Waarschijnlijk opgevoed in de stijl van definitie, stelling, bewijs en verder geen flauwekul. De leerlingen wisten wat ze aan hem hadden.

Ik had een opzet gemaakt voor het proefwerk. We bespraken het bij hem thuis onder het genot van een kop thee. Hij vond het een prima proefwerk. Op één opgave na. Ik weet niet meer hoe de opgave luidde, maar nog wel wat zijn kritiek was. De opgave ging namelijk over een verzameling die verzamelingen als element had. En dat kon volgens hem absoluut niet. Ik was verbaasd. Hoe kon een docent die nota bene wiskunde had gestudeerd aan de universiteit van mening zijn dat een verzameling geen verzamelingen kan bevatten? Ik heb nog even geprobeerd hem te overtuigen dat dat toch echt geen probleem was, maar hij hield voet bij stuk. Ik gaf het op; uit ontzag. We waren het snel eens over een door hem voorgestelde alternatieve opgave. We hebben het er nooit meer over gehad.

Later bedacht ik me dat mijn collega misschien vond dat het voor de 4 Gym leerling een wat vreemd idee was, een verzameling die verzamelingen bevat, en vond hij dat je zijn leerlingen daarmee niet in verwarring mocht brengen. Tijdens mijn studie wiskunde en informatica had ik een keuzevak Axiomatische Verzamelingenleer gedaan. In het leerboek Verzamelingen van D. van Dalen, H. Doets en H. de Swart, dat ik als basismateriaal voor dit vak bestudeerde,schrijven de auteurs op pagina 3 al: “Het is belangrijk te weten dat een verzameling zelf ook element van een andere verzameling kan zijn. De wiskunde is vol van voorbeelden van verzamelingen van verzamelingen.” Als eerste voorbeeld noemen ze een lijn. Die kan men als verzameling van punten opvatten. Een vlak is dan op natuurlijke wijze een verzameling van lijnen ofwel een verzamelingen van verzamelingen (van punten). Nu ik dit weer teruglees denk ik: oeps! een lijn een verzameling van punten? Hoeveel punten dan? Maar bij eerste lezing neem je zoiets voor lief. Waarom vonden de auteurs, niet de eerste en de beste op het gebied van de grondlagen van de wiskunde, het zo belangrijk om te weten dat een verzameling ook verzamelingen kan bevatten?

Mijn afstudeerdocent bij wie ik voor dit vrije keuze-vak tentamen deed, zag dat de wiskunde als de metafysica van de moderne wetenschap werd beschouwd. De idee dat kennis pas echt wetenschappelijke kennis is wanneer je dit in wiskundige modellen en liefst ook nog in computerprogramma’s kan uitdrukken is tegenwoordig wijdverbreid. Omdat de werkelijkheid nu eenmaal structuur is. Zie bijvoorbeeld Our Mathematical Universe van Max Tegmark, medeoprichter van het Future of Life Instituut. Als die wiskunde dan zo belangrijk is als fundament van de wetenschap dan is de vraag des te meer van belang waar dan die wiskunde op gebaseerd is.

De behoefte aan een fundament voor de wiskunde ontstond in de 19de eeuw toen duidelijk werd dat de wiskundige waarheden niet zonder meer gefundeerd zijn in de werkelijkheid. De waarheid van de meetkundige stellingen, zoals de stelling dat de som van de drie hoeken van een driehoek 180 graden is, was lange tijd voor onbetwijfelbaar gehouden. De ruimte waarin we leven is nu eenmaal zo georganiseerd. Totdat bleek dat er ook niet-Euclidische ruimtes zijn waarin deze stelling helemaal niet geldt. En die nieuwe meetkundes bleken zeer geschikt in de moderne fysica. Tegmark meent dat er parallelle universa bestaan. Onze werkelijkheid lijkt helemaal niet eenduidig voor te schrijven hoe deze wiskundig moet worden beschreven. Maar waarop is de waarheid van wiskundige stellingen dan gebaseerd? Is er een begrip dat zo helder is dat we de wiskunde er op kunnen baseren?

De ontwikkeling van de verzamelingenleer beschrijft de poging om de veel gehuldigde hypothese dat alles een verzameling is, dat wil zeggen dat je alle wiskunde kunt coderen in termen van verzamelingen, te rechtvaardigen. Een hachelijke onderneming. Dat levert dan ook een heel spannend “geschiedenisboek” op over de wiskunde op zoek naar een vaste grond. Zal het lukken de wiskunde en daarmee onze moderne wetenschap op rotsvaste zekerheden te bouwen?

Had mijn collega wiskundedocent misschien toch niet gelijk toen hij mijn voorstel voor een proefwerksom waarin een verzameling van verzamelingen voorkwam onacceptabel vond? Omdat je nooit te oud bent om van gedachten te veranderen dook ik het verleden maar weer eens in.

Georg Cantor (1845-1918) geldt als de grondlegger van de verzamelingenleer. Bij hem en bij zijn tijdgenoten leefde dezelfde behoefte aan helderheid en zekerheid die we bij de COVID-19 patienten zien. Hoe is het Cantor’s project vergaan? En hoe is het Cantor vergaan?

De Strijd om het Oneindige

Tegenwoordig hebben de meeste mensen waarschijnlijk geen problemen met de idee dat een verzameling oneindig veel elementen kan bevatten. We hebben het over alle sterren in het heelal of over alle punten die op een lijn liggen en maken ons er niet zo druk over of het hier om een ontelbaar groot aantal gaat of over een oneindig groot aantal. De natuurlijke getallen kent iedereen: 1,2,3,… en de meeste mensen hebben geen probleem met het idee dat er geen grootste natuurlijk getal bestaat. Hoe groot een getal ook is, je kunt er immers altijd 1 bij optellen, en zo maar door. Tot in het oneindige…

De oude culturen kenden wel het begrip verzameling, maar dan ging het altijd om eindige verzamelingen van objecten. Natuurlijke getallen zijn ook al heel oud en de Grieken wisten dat getallen en driehoeken, de objecten van de wiskunde, niet tot de waarneembare dingen behoren. Maar verzamelingen die oneindig groot zijn, die kende men niet, ze bestonden niet. Oneindigheid en het oneindige was meer iets voor theologen en filosofen, niet voor gewone mensen. God is oneindig, daar waren de meeste theologen het wel over eens, maar verzamelingen niet. Er zijn wel oneindig veel natuurlijke getallen, maar of er ook een iets, een verzameling, een totaliteit, een afgesloten geheel, bestaat dat die oneindig veel getallen bevat? Dat vond men een vreemd idee.

Cantor vond van niet. Zijn onderzoek op het gebied van de analytische wiskunde bracht hem er toe een logische theorie te ontwikkelen over oneindige verzamelingen. Zijn theorie onderscheidt zelfs verschillende soorten van oneindigheid. Hij ging daarmee in tegen de heersende opvattingen. Deze werden bewaakt door de wiskundigen die de redacties van de belangrijkste tijdschriften bemanden. Zoals door Kronecker. Van Kronecker is de bekende uitspraak dat God de natuurlijke getallen schiep, maar dat de rest mensenwerk is.

“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.”

Kronecker was fel tegen Cantors “filosofische speculaties” over oneindige verzamelingen. In zijn Bachelorscriptie “Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor” schrijft Pieter van Niel (student van wiskundige en historicus Gerard Alberts aan de UvA) hierover:

“Kronecker wou nu juist, door de wiskunde te gronden in de gehele getallen, de wiskunde vrij houden van deze filosofische speculaties. In het algemeen had de wiskunde in die tijd erg last van ‘quasi-wiskunde’, of zoals Meschkowski het omschrijft: ‘Was damals in manchen “Lehrbuchern” uber die Analysis geschrieben wurde, könnte einen klaren Denker schon verärgern, …
Kroneckers opvattingen waren dus een logische tegenreactie van een steeds onduidelijker wordende wiskunde en een poging om de wiskunde zijn zuiverheid (terug) te geven door haar te baseren op de theorie van de gehele getallen.” (P. van Niel, 2015, p.30)

Cantor moest dus op zijn tellen en op zijn woorden passen, wilde hij zijn theorie over “transfiniete getallen” gepubliceerd krijgen. Hij wilde de wiskunde baseren op het “logische” begrip verzameling.

Welkom in Cantor’s Paradijs

Georg Cantor definieerde een verzameling (Menge) als volgt:

Cantors definitie in het Nederlands luidt dan:

Een verzameling is een samenraapsel M van bepaalde goed onderscheiden objecten van onze aanschouwing of ons denken (die we de elementen van M zullen noemen) tot een geheel.

Het is een definitie waarin het woord Zusammenfassung (dat ik als samenraapsel vertaal) gebruikt wordt om het begrip verzameling te definieren. Dat helpt niet echt zou je zeggen: een begrip definieren door middel van een begrip dat al net zo vaag is. Maar het is wel duidelijk dat de verzameling het resultaat is van een mentale aktie die vooraf gegeven objecten bij elkaar neemt.

Sluit deze definitie uit dat een verzameling een verzameling als element heeft? Cantor sloot dit zeker niet uit. Hij besteedt er geen woord aan wat voor dingen die “elemente von M” kunnen zijn, behalve dan dat het “objecten van onze voorstelling of van ons denken” zijn. Integendeel. Hij gaat al direct over tot een volgende abstractiestap. Iedere verzameling heeft een “power” of “kardinaal getal”: dat is het “aggregraat” dat uit een verzameling M ontstaat door abstractie van de identiteit (de natuur) van de elementen ervan. Wat blijft er over van een element als we abstraheren van de eigenheid ervan, van datgene waarin het zich onderscheidt van de andere elementen? Wat we dan overhouden is de abstracte eenheid. Het aggregaat bevat dus voor elk element van M een exemplaar van die eenheid. Dit aggregaat is volgens mij geen verzameling, hoewel Cantor de term aggregaat als synoniem voor verzameling lijkt te gebruiken. Waarom is het kardinaal getal van een verzameling geen verzameling? Omdat de elementen ervan niet meer onderscheidbaar zijn. Of zijn twee eenheden die alleen als objecten van ons denken bestaan en geen eigen identiteit hebben waardoor ze niet van elkaar verschillen, toch nog “wohlunterschiedenen Objekte”? Je kunt twee centen hebben, of twee schroefjes, die precies gelijk zijn en alleen van elkaar verschillen door de plaats die ze innemen en het materiaal waarvan ze gemaakt zijn. Maar hoe zit dat met de elementen van een verzameling, met puur gedachte objecten waar zijn die van gemaakt? Dat zijn geen materiele dingen. Hoe kunnen er dan twee exemplaren van zijn? Toch kunnen we ook het getal 1 bij het getal 1 optellen alsof het twee verschillende instanties van precies hetzelfde wiskundige object zijn. Alsof het materieel onderscheiden objecten zijn. Het is alles allerminst helder daar aan de basis van de wiskunde.

Cantor besteedt geen woord aan dit probleem. In Cantors paradijs, dat hij als een soort Baron van Munchhausen uit niets meer dan een paar voor logisch gehouden inzichten opbouwde mogen verzamelingen verzamelingen als element hebben. Helaas leidde dit naieve verzamelingbegrip al snel tot problemen. Zo construeerde Russell de verzameling R van alle verzamelingen die zichzelf niet als element bevatten. De vraag of R zichzelf bevat leidde tot het inzicht dat dit het geval is als het niet zo is en omgekeerd. Tegen alle logica in.

De oplossing die voorgesteld werd bestond uit het onderscheiden van verschillende types verzamelingen. Weliswaar mag een verzameling andere verzamelingen als element hebben, we hebben immers niets anders dan verzamelingen, het moet worden uitgesloten dat een verzameling zichzelf als element heeft. Bij dekreet werd dit uitgesloten. Zermelo en Fraenkel werkten aan een axiomatische opbouw van het bouwwerk van de verzamelingen, een theorie waarin alle bekende wiskunde kon worden gereconstrueerd. Het regulariteitsaxioma van ZF, de axiomatische theorie die moet vastleggen wat een verzameling is, door te zeggen wat allemaal waar is, sluit deze zichzelf bevattende verzamelingen netjes uit. Het zorgt er als het ware voor dat er een ordelijke opbouw van het universum van alle verzamelingen wordt gemaakt.

Voor Cantor is een kardinaal-getal de equivalentieklasse van alle verzamelingen die hetzelfde aantal elementen hebben. Die verzamelingen kun je 1-op-1 op elkaar afbeelden, door een functie die elk element van de ene verzameling op een uniek element van de andere afbeeldt. Hij introduceerde de verzameling van alle kardinaal-getallen en bewees dat deze groter is dan elk kardinaal getal.

Deze collectie van alle verzamelingen die evenveel elementen hebben als een gegeven verzameling kan geen verzameling zijn omdat de vereniging over die collectie een verzameling moet zijn en die zou gelijk zijn aan de verzameling van alle verzamelingen. Maar die bestaat niet, omdat deze immers zichzelf als element zou bevatten. Wat we moeten uitsluiten op straffe van logische inconsistentie. Om Cantor’s kardinaal-getallen als verzamelingen te kunnen definieren hebben we weer het regulariteitsaxioms nodig. Maar waarop berust dat?

Een ander probleem is die 1-op-1 afbeelding, die functie die Cantor gebruikt om de gelijkmachtigheid van twee oneindige verzamelingen te definieren. Waar komen die vandaan? Een functie laat zich op twee manieren specificeren. Ten eerste als regel, door middel van een uitdrukking waarin een variabele voorkomt die verschillende waarden kan aannemen waardoor de uitdrukking ook een waarde krijgt, zoals 3*x+4, de waarde 10 heeft als x de waarde 2 heeft. De andere manier om een functie vast te leggen is als verzameling van paren. Een functie die oneindige verzamelingen moet afbeelden kan alleen gegeven worden door een regel. Om het bestaan van een dergelijke functie te verantwoorden binnen een axiomatische theorie van verzamelingen hebben we weer het regulariteitsaxioma nodig, of een ander even krachtig of krachtiger axioma zoals het keuze-axioma. (zie Van Dalen et al.). Voor Hermann Weyl is het “unquestionable” dat wil je verzamelingen 1-op-1 op elkaar afbeelden dat je dan de elementen van beide moet kunnen ordenen. (H. Weyl, 1963, p. 34-35). In tegenstelling tot bij Cantor gaat volgens hem dan ook conceptueel ordening voor grootte.

Waarop berust de waarheid in de wiskunde? Descartes had daarvoor het rotsvaste vertrouwen in God nodig. Die zorgde er voor dat de klare wiskundige inzichten ook werkelijk waar zijn. Hij houdt ons niet voor de gek. Cantor meende dat de oneindige verzamelingen door God tot hem waren gekomen.

Van Niel schrijft daarover in zijn scriptie:

“In een brief aan Mittag-Leffler schreef Cantor in 1884 al dat hij niet de bedenker was van de transfiniete getallen, maar slechts een boodschapper was. De inspiratie kwamen van God en het enige waar Cantor verantwoordelijk voor was, was de presentatie en formulering van de ideeen.” (P. van Niel, 2015, p.30).

Het moet dan ook een enorme mentale dreun voor hem geweest zijn toen ontdekt werd dat zijn theorie tot logische tegenspraken leidde. Met Cantor zelf is het niet zo goed gegaan. Hij werd depressief en leed soms aan paranoide waandenkbeelden, vermoedelijk mede veroorzaakt door de kritiek die zijn ideeen van vele kanten ontmoette. Henri Poincaré noemde deze ziek. Cantor overleed in 1918 in een psychiatrische instelling. Maar David Hilbert had veel bewondering voor het werk van Cantor. Hij sprak vol lof van Cantors Paradijs:

“Cantor heeft een paradijs geschapen waaruit niemand ons kan verbannen.”

In de 20ste eeuw begonnen de wiskundigen in opdracht van Hilbert aan een formele opbouw van de wiskunde door uit te gaan van een wel-gedefinieerde logische taal en een wel-gedefinieerd regelsysteem waarmee je uit een paar axioma’s (formules die je voor waar houdt) nieuwe formules (stellingen) kan afleiden. Regels moeten logisch consistent zijn. Ze mogen niet tot tegenstrijdigheden leiden. Helaas bleek dat iedere voldoende rijke theorie, bijvoorbeeld een theorie waarin je alle stellingen over natuurlijke getallen kunt afleiden, ook onbewijsbare ware uitspraken bevatte. Er waren meer problemen.

Vage begrippen

Cantor’s continuumhypothese zegt dat er tussen de grootte (kardinaliteit) van de oneindige verzameling van natuurlijke getallen (aftelbaar oneindig) en de grootte van de oneindige verzameling van reeele getallen, – Cantor bewees dat die overaftelbaar zijn – , geen oneindigheidklasse in zit. Deze bleek niet bewijsbaar uit de andere axioma’s van de axiomatische verzamelingenleer. Bovendien bleek dat er zowel modellen zijn waarin de bewering waar is als ook modellen waarin een willekeurig aantal andere oneindige verzamelingen bestaan met groottes tussen die van de natuurlijke getallen en de reeele getallen in.

De eerder aangehaalde bewering van Van Dalen c.s. uit de inleiding van hun Verzamelingenboek dat je een lijn als een verzameling van punten kan opvatten blijkt dus niet zo triviaal te zijn als het op het eerste gezicht lijkt. Immers als dat zo is dan zou je toch moeten kunnen aangeven hoeveel punten er in die verzameling zitten. Net zo veel als er reeele getallen zijn. Maar hoeveel dat zijn blijkt afhankelijk van de constructie van je model. Cohen (1966) toonde aan dat het aantal punten afhangt van wat je allemaal als een eigenschap van natuurlijke getallen wilt opvatten. Een paar voorbeelden. Hoeveel haren heeft iemand op zijn hoofd dat je hem niet kaal noemt? Hoeveel graankorrels kan ik van een hoop halen dat het nog een hoop blijft?

Hoeveel keer mag ik op een dag nog niezen of kuchen opdat ik niet meer verkouden ben?

Hoeveel graden mag mijn thermometer aangeven dat ik geen koorts meer heb? Dit soort vragen brengen ons in verlegenheid. Moeten we een getal noemen? Moeten we een kwantitatieve grens aangeven aan zulke kwalitatieve, zeg vage, begrippen? Is iedere grens die we aangeven niet willekeurig? En vraagt die niet om overschreden te worden?

Dat brengt ons weer terug bij de opmerking van klinisch viroloog Van Kampen:

“Als het allemaal kristalhelder zou zijn, zou iedereen hetzelfde doen

De les

De wiskundige streeft naar zuivere, kristalheldere, ideeen, maar ook hij moet erkennen dat ook de zuiverste wiskunde niet kan bestaan zonder de weerbarstige werkelijkheid waarin we leven. In Cantor’s Paradijs is niet alles klaar en helder, zoals hij zou hebben gewild. Hilary Putnam antwoordde op de vraag of de wiskunde dan niet gefundeerd is: “Yes, we have no foundations.” Daaruit kunnen we het advies halen dat we voorzichtig moeten zijn met wat we denken waar te zijn of zinvol. Wie geen vaste grond onder de voeten heeft moet niet te zwaarwichtig doen. Misschien was dat wel de les die mijn ervaren collega wiskundedocent mij voorhield toen hij weigerde een proefwerkopgave te accepteren waarin een verzameling van verzamelingen voorkomt.

Onze jeugd zou kennis moeten nemen van Cantor’s Paradijs. Veel nuttiger en leerzamer dan rekenen. Dat kunnen machines ook. Al was het maar om er achter te komen dat we niet in dat paradijs leven. Als we dat al zouden willen. Want wat is er nou saaier dan in een wereld te leven waarin iedereen hetzelfde doet. Waarin alles consistent en berekenbaar is en er niemand een keer uit de emotionele band mag springen zonder aan de muur genageld te worden.

Bronnen

G. Cantor (1915), Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Vertaling, inleiding en notities door P.E.B. Jourdain. Dover Publications Inc., New York, 1915. Dit is de Engelse vertaling van de twee artikelen uit de Mathematische Annalen van 1895 en 1897 waarin Cantor zijn theorie van de oneindige verzamelingen uiteenzet.

P.J. Cohen (1966). Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A. Benjamin Inc. Reading, Mass. 1966.

D. van Dalen, H.C. Doets en H.C.M. de Swart (1975). Verzamelingen: naïef, axiomatisch en toegepast. Oosthoek, Scheltema en Holkema, Utrecht, 1975.

P. van Niel (2015). Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor, Bachelorscriptie o.l.v. Gerard Alberts, Universiteit van Amsterdam, 2015.

H. Weyl (1963). Philosophy of Mathematics and Natural Science. Oorspronkelijk uitgegeven in 1949 deels als Engelse vertaling van in 1927 in het Handbuch der Philosophie gepubliceerde teksten. Princeton University Press, Mass., 1949.