Wat heet toeval?

“It is absurd to say ‘science has proved that there are no miracles’. The scientific way of looking at a fact is not the way to look at it as a miracle.”

(Ludwig Wittgenstein, A Lecture on Ethics, 1929)

Die Reihe der “Ursachen” steht viel vollständiger in jedem Falle vor uns, wir schliessen: diess und das muss erst vorangehen, damit jenes folge, – aber begriffen haben wir damit Nichts. Die Qualität, zum Beispiel bei jedem chemischen Werden, erscheint nach wie vor als ein “Wunder”, ebenso jede Fortbewegung; Niemand hat den Stoss “erklärt”. Wie könnten wir auch erklären!

(Friedrich Nietzsche, Die Fröhliche Wissenschaft, BIII-112, 1882)

De Nederlandse theatermaker en cabaretier Erik van Muiswinkel en de ex-president van de Verenigde Staten Barack Obama zijn op dezelfde dag geboren. “Als dat geen toeval is, dan is het wel héél toevallig”, stond in een aankondiging van een optreden van de cabaretier.

Maar hoe toevallig is dit eigenlijk? En wat heet toeval? De suggestie is dat deze coïncidentie helemaal geen toeval is; dat hier sprake is van een wellicht goddelijke noodzaak. Het toevallige is het schijnbaar noodzakelijke, stelde de filosoof, G.W.F.Hegel, al eens vast. In zekere zin is het natuurlijk helemaal niet toevallig dat de cabaretier en de ex-president op dezelfde dag geboren zijn. Want als dit feit zich niet had voorgedaan dan was het ons ook niet bekend gemaakt. Dan was er misschien een andere bekende figuur genoemd die op dezelfde dag geboren is als de cabaretier. Waarschijnlijk was dit ons nooit meegedeeld. Ik onderscheid de dicto en de re. Wat de laatste betreft is er sprake van toeval, maar wat betreft de dicto is er geen sprake van toeval. Het is een opzettelijk gegenereerd gegeven. Om kansen van gebeurtenissen te bepalen moet je iets weten over het generatieproces van die gebeurtenissen. De media is erg selectief in het nieuws dat ze brengt en geeft daardoor een verwrongen beeld van wat er gebeurt.

Het is eigenlijk wel opmerkelijk dat er op mijn geboortedag niets, maar dan ook helemaal niets gebeurde dat het vermelden waard is.

Wanneer ik mijn fiets op slot wil zetten komt het vaak voor dat er een spaak in de weg zit van de metalen beugel die tussen de spaken moet komen. Veel vaker dan je op grond van de dikte van een spaak en de ruimte tussen de spaken zou mogen verwachten. Heb ik gewoon pech? Zit het toeval mij dwars? Of heeft iedereen dat?Iemand vroeg zich af hoe het toch komt dat de batterij van de rookmelder altijd midden in de nacht leeg is. Nou is dit klein leed, maar sommige mensen hebben altijd pech en “de duivel schijt altijd op een grote hoop” luidt de volkswijsheid. En heeft het volk niet altijd gelijk!

In de statistische analyse staat dit verschijnsel bekend als collider bias. Collider bias is de oorzaak van Berkson’s paradox. Bij onderzoek onder ziekenhuispatiënten bleek er een hoge correlatie te bestaan tussen twee ziektes. Daaruit kan men niet concluderen dat in de hele populatie een zelfde correlatie bestaat. De selectie van een deel van de populatie was niet random, maar was sterk beïnvloed door het voorkomen van de beide ziektes. Het opmerken van een samenhang tussen twee verschijnselen is een soort van geheugenfilter. Je herinnert je alleen die gevallen waarin het verschijnsel (de batterij van de rookmelder is leeg en het is nacht) optrad. Men heeft de neiging dit selectieproces te vergeten en concludeert dan dat de verschijnselen op zichzelf gecorreleerd zijn. Dat de cabaretier en de president op dezelfde dag geboren zijn is het resultaat van niet-random selectie. Een sterk geval van collider bias.

Het Toeval is de onverklaarbare, onbepaalde oorzaak van opmerkelijke, bijzondere, unieke, onverwachte, verschijnselen waarvoor ons verstand geen bepaalde oorzaak kan vinden.

Dat het toeval ons verstand behoorlijk in de weg kan zitten blijkt uit tal van dwalingen in de rechtspraak, waarin de rechter de verdachte alleen mag veroordelen wanneer schuld “boven elke redelijke twijfel verheven is”.

Zo werd verpleegkundige Lucia de Berk in 2004 in hoger beroep veroordeeld tot een levenslange gevangenisstraf omdat ze zeven moorden zou hebben gepleegd en een aantal pogingen daartoe zou hebben ondernomen. Kansberekening speelde een belangrijke rol voor de rechter. De kans dat een verpleegkundige, werkzaam op de drie ziekenhuisafdelingen, bij toeval bij zoveel van de onverklaarbare overlijdensgevallen en reanimaties op élk van de drie afdelingen aanwezig was, zou volgens een statisticus één op 342 miljoen zijn. Die kans is zo klein dat het geen toeval kan zijn, oordeelde de rechter. Lucia de B. moest wel schuldig zijn. Ze werd jaren later vrijgesproken omdat mensen bleven geloven in haar onschuld.

In 1999 werd Sally Clark ten onrechte schuldig verklaard aan de moord op haar twee zoons, die vermoedelijk beide aan de wiegendood overleden. Ook hier speelde de statistiek een belangrijke rol. Getuige-deskundige kinderarts  professor Sir Roy Meadow getuigde dat de kans dat twee kinderen binnen een gezin overlijden aan wiegendood  1 in 73 miljoen was.  Sally Clark werd in 2003 vrijgesproken.

Beide gevallen leidden tot veel kritiek op de klassieke manier van statistiek bedrijven. In de opleidingen zou meer aandacht moeten worden besteed aan de Bayesiaanse methode. Fenton et al. (2016) zien wel mogelijkheden hiertoe. Daarmee zouden deze fouten voorkomen kunnen worden. De toepassing van deze methode in de rechtspraak is echter nogal problematisch. De Bayesiaanse methode maakt gebruik van de regel van Bayes, een regel binnen de klassieke kansrekening van Pascal. L.J. Cohen toonde in The Probable and the Provable (1977) aan dat het redeneren met onzekerheden in de rechtspraak zich niet houdt aan de wetten van Pascal. Hij geeft regels voor een alternatieve niet-Pascaliaanse theorie voor het redeneren in de jury rechtspraak. In Nederland hebben Prakken en Meester onderzocht of de Bayesiaanse kansrekening op een wetenschappelijk betrouwbare en praktisch werkbare wijze toegepast kan worden ter beantwoording van de schuldvraag in strafzaken. Ze concluderen dat deze methode niet geschikt is omdat aan de noodzakelijke voorwaarden niet voldaan is. Prakken en Meester vroegen zich af of dwalingen in de rechtspraak zoals in het geval van Sally Clark of Lucia de B. voorkomen kunnen worden door juristen en rechtenstudenten beter te trainen of op te leiden in de kansrekening of dat het probleem dieper ligt. Uit eigen ervaring in het opleiden van technische studenten meen ik te kunnen stellen dat het probleem vaak dieper ligt. Veel mensen vinden het al moeilijk een onderscheid te maken tussen de kans dat een Friese vrouw blond haar heeft en de kans dat een vrouw met blond haar een Friezin is. De verwarring tussen de conditionele kansen P(A|B) en P(B|A), in de rechtspraak bekend in de vorm van de Prosecutor’s Fallacy, is tamelijk hardnekkig. De kans dat er een DNA match is aangenomen dat de verdachte niet de bron is van de DNA mag dan heel klein zijn, dat zegt niets over de kans dat de verdachte niet de bron is aangenomen dat er een DNA match is.

Deze denkfout komt ook in de epidemiologische literatuur voor waar de sensitiviteit van een test (de kans op een positieve test gegeven dat de geteste persoon de ziekte heeft) verward wordt met de positive predictive value (de kans dat iemand de ziekte heeft gegeven een positief testresultaat). In deze tijden van corona heersen nogal wat twijfels over de betrouwbaarheid en de praktische waarde van zogenoemde sneltesten. De media staat bol van de verwarring over de verschillende statistische begrippen.

Was Jos de B., die verdacht wordt van de moord op Nicky, toevallig op de plek waar later het dode lichaam van de jongen werd gevonden?

Een groot probleem met de toepassing van de kansrekening in de rechtspraak is dat je kansen moet zien als een maat van geloof dat je hebt in een bewering. Het begrip “belief state”, een verzameling van proposities waar iemand een bepaalde geloofswaarde aan toe kent is een basisconcept binnen alle formele epistemologische theorieën over wat mensen geloven en hoe wat iemand gelooft beïnvloed wordt door nieuwe informatie. Hoe verandert iemands visie door nieuwe informatie en hoe hangt dit af van de betrouwbaarheid van de informatie? Hoe wordt mijn geloof dat Jos de B schuldig is aan de dood van Nicky Verstappen beïnvloedt door de vondst van kinderporno op zijn computer? Hoe betrouwbaar is het verhaal van de verdachte Jos de B. dat deze bij toeval het stoffelijk overschot van Nick B. op de hei aantrof? De verdachte heeft het recht om te zwijgen, maar in welke mate versterkt de weigering van de verdachte met een plausibele verklaring voor zijn gedrag te komen het geloof in diens schuld aan het ten laste gelegde? Zowel in de zaak Sally Clark als in de zaak van Lucia de Berk speelden allerlei vage verdachtmakingen een rol die op zichzelf nooit tot een veroordeling mogen leiden. De verklaring van getuige-deskundigen moeten dan een schijn van bewijs leveren voor een veroordeling op uiterst dubieuze gronden. Het verschil tussen beide vroegere zaken enerzijds en de actuele zaak van Jos de B. is dat er in het geval van Jos de B. sterk forensisch bewijs in de vorm van DNA match is.

Wetenschappelijke studies over de toepassing van kansrekening in de rechtspraak beperken zich tot formele reconstructies van fragmenten van historische rechtszaken. Er zijn echter geen twee zaken hetzelfde en de waarde van deze analyses voor de toekomst van de rechtspraak moet dan ook betwijfeld worden. Het lijkt mij belangrijker in te zien wat de vooronderstellingen zijn van de toepassing van wiskundige en technische methodes. En wat deze kunnen betekenen in situaties waarin het om individuele gevallen, in het bijzonder om personen, gaat.

Calculemus! riep de wiskundige en rechtsgeleerde Leibniz. Laten we uitrekenen wie er gelijk heeft. Leibniz ontwierp een calculcus voor het redeneren met onzekerheid. Bewijzen in de context van de rechtspraak is niet hetzelfde als bewijzen in de wiskunde. We kunnen wel proberen formele wiskundige modellen van het redeneren in de rechtspraak te ontwikkelen, daarmee zullen we niet bereiken dat een bewijs in de rechtspraak een wiskundig bewijs wordt. Het modelleren zelf is immers geen wiskunde en er zal altijd discussie zijn over de correctheid van de gehanteerde modellen.

In de rechtspraak worden drie instrumenten of benaderingen onderscheiden om tot een uitspraak te komen. Deze drie kunnen we aanduiden met argumentatie, probabilistisch redeneren en narratieve scenarios. Je zou ze ook met de drie klassieke redeneermethoden deductie, inductie en abductie kunnen aanduiden. Bex (2011), Vlek(2016) en Timmer(2016) onderzochten ieder een combinatie van twee van deze drie methodes. Bex bestudeerde het gebruik van argumentatieschemas binnen een narratieve benadering, Vlek onderzocht Bayesiaanse netwerken in combinatie met de narrative benadering en Timmer keek hoe argumentatieschemas van nut kunnen zijn bij het gebruik van Bayesiaanse netwerken. Timmer constateert een communicatieprobleem ten gevolge van de verschillende denkwijzen tussen juridische en forensische experts. De forensische experts van het NFI rapporteren hun bevindingen van hun sporenonderzoek in Bayesiaanse termen en kansen. Juristen en rechters hebben vaak moeite met deze taal. Sommige haken af wanneer er wiskundige formules worden gebruikt.

Misschien is het een idee om bij belangrijke processen een team van experts op het gebied van de argumentatie en kansrekening als soort van scheidsrechters mee te laten kijken naar de inbreng van de diverse partijen. Ze kunnen dan wijzen op eventuele denkfouten. Daarmee kan voorkomen worden dat verdachten eerst ten onrechte jaren in het gevang moeten doorbrengen voordat experts van buiten de zaak analyseren. Eventueel zouden deze experts baat kunnen hebben bij een softwaresysteem dat de verschillende methodes ondersteunt. Een gevolg van de bemoeienis van formalisten en technici is dat dit leidt tot standaardisatie van gegevens, informatie en documentatie. Dit kan op zich al winst opleveren wanneer in het geval van nieuw bewijsmateriaal of getuigenverklaringen een zaak jaren later moet worden herzien. Dit alles lost het probleem van de interpretatie van wat er gezegd wordt niet op. De vertaling van datgene wat gezegd wordt naar wat er beweerd en bedoeld wordt is en blijft mensenwerk en daarmee aanleiding tot verschil van mening. Dat pleit ervoor ook taalkundigen en experts op het gebied van de conversatieanalyse in het team op te nemen.

De Eerlijke Dobbelsteen

Stel je gooit vier keer met een ‘eerlijke’ dobbelsteen. De kans dat je achtereenvolgens een 3, een 4, een 2 en een 6 gooit is even groot als de kans dat je vier keer een zes gooit. Toch hebben we de neiging bij het gooien van vier zessen achterelkaar te zeggen: dat is ook toevallig! terwijl we dat bij de uitkomstenreeks 3426 niet doen. Het rijtje 6666 is opmerkelijker dan het rijtje 3426 (voor wie dit niet toevallig een bijzonder betekenis heeft, bijvoorbeeld de pincode van zijn betaalpas), daarom lijkt het veel toevalliger. Het valt gewoon meer op. Toeval is iets dat ons opvalt. Al die keren dat ik mijn fiets zonder problemen op slot zet vallen me niet op, maar als het mis gaat omdat een spaak dwars zit dan merk ik het op. Net als het theelepeltje dat telkens nog achterblijft in de afwasteil wanneer ik het water wil weggooien. Sommige dingen lijken veel vaker voor te komen dan je redelijkerwijs zou verwachten. Toevallige gebeurtenissen zijn opmerkelijke gebeurtenissen die je niet verwacht. Maar op grond waarvan verwacht je ze dan niet? En wat verwacht je dan dat er wel zal gebeuren? Meestal hadden we helemaal niets verwacht.

Onze hang naar kennis, onze wil om de oorzaken te kennen van de verschijnselen leeft in onmin met het toeval. De moderne wiskundige geest lijkt daar een modus voor gevonden te hebben: kans-rekening en statistiek zijn de theorie en praktijk van het omgaan met de toevallige feiten. Als we dan niet met zekerheid kunnen voorspellen wat er zal gebeuren of wat de oorzaak is van een verschijnsel dan willen we op zijn minst kunnen aangeven hoe groot de kans is dat iets op zal treden of aan een bepaalde oorzaak kan worden toegeschreven. Zo schatten we in hoe oud we worden en wat de oorzaak is van de ziektes die ons overkomen. Levens- en ziektekostenverzekeringsmaatschappijen leven van kansberekeningen.

Hoe gaat de wetenschap met het toeval om? Wat is die ‘scientific way of looking at a fact’ waar Wittgenstein het over heeft en die volgens hem een heel andere manier van kijken is dan die waarin we verschijnselen als miraculeus, als toevallig, zien? Zo anders, dat het onzin is te beweren dat we door wetenschap de wonderen de wereld uit kunnen bannen.

Ik denk dat Wittgenstein gelijk heeft, dat het toeval waar we het in ons dagelijks leven over hebben heel iets anders is dan het toevallige van de kansrekening en de statistiek. Dat er nog wonderlijke, onverwachte dingen gebeuren in een mensenleven en dat de wetenschap daar geen enkele invloed op heeft. De wetenschap gaat niet over een persoonlijke ervaring, maar over algemene onpersoonlijke ervaringen.

Wat is een kans?

De Italiaan Bruno de Finetti was van mening dat kansen subjectief zijn. Ze hebben geen objectief bestaan buiten de menselijke geest.

“My thesis, paradoxically, and a little provocatively, but nonetheless genuinely, is simply this:PROBABILITY DOES NOT EXIST.

    The abandonment of superstitious beliefs about the existence of Phlogiston, the Cosmic Ether, Absolute Space and Time,…, or Fairies and Witches, was an essential step along the road to scientific thinking. Probability, too, if regarded as something endowed with some kind of objective existence, is no less a misleading misconception, an illusory attempt to exteriorize or materialize our true probabilistic beliefs.” (Bruno de Finetti, Theory of Probability, 1974).

De Finetti geloofde niet in de objectiviteit van kansen. Kansen zijn materialisaties, objectivaties van “probabilistic beliefs”. Bedoelt De Finetti met kans niet het toeval? Dat zou je denken. Hij vergelijkt Kansen (Probability) met Heksen en met het Flogiston.

Subjectief, objectief. Wat bedoelen mensen daar eigenlijk mee? Objectief betekent in relatie tot een specifieke methode van onderzoek. Onderzoeksresultaten zijn objectief in zoverre ze gerelateerd worden aan de methode van onderzoek die expliciet gemaakt is en reproduceerbaar is. Subjectief is niet objectief.

Een andere statisticus, R.A. Fisher zei: wanneer we proberen cijfers te interpreteren (‘make sense of figures’) dan proberen we algemene conclusies uit bijzondere waarnemingen te trekken (infer the general from the particular).

Wat bedoelen we daarmee: het bijzonder en het algemene?

R.A. Fisher meende dat we een hypothese alleen kunnen falsifiëren. Geen enkel experiment kan aantonen dat een hypothese waar is.

“Every experiment may be said to exist only in order to give the facts a chance of disproving the null hypothesis.” (Fisher, 1935). Op grond van het feit dat de kans op de geobserveerde gegevens klein is, onder de aanname van de nulhypothese, mogen we niet concluderen dat de alternatieve hypothese waar is.

Had de rechter die Lucia de B. tot levenslang veroordeelde maar naar deze bekende statisticus geluisterd dan was haar jaren leed in het gevang bespaard gebleven.

Fischers opvatting dat je hypotheses alleen kunt falsifiëren doet denken Popper. Volgens Popper is er geen sprake van inductieve inferentie zoals Fischer dacht. Het verwerpen van hypotheses is een volledig deductief proces.

Hypothese en experiment: hoe eerlijk is een dobbelsteen?

Iemand heeft een dobbelsteen gevonden. Hij wil graag weten of het een eerlijke dobbelsteen is. Ik vraag hem wat bedoel je daarmee, een “eerlijke dobbelsteen”? Dat de kans op elk van de uitkomsten bij een worp met de dobbelsteen gelijk is. Maar als ik met de dobbelsteen gooi en de uitkomst is een 4, dan is er toch maar één uitkomst mogelijk, namelijk 4, en die uitkomst is een wetmatig gevolg van mijn worp met de dobbelsteen. Ik zou op grond van de wetten van de mechanica en de beginsituaties van hand en dobbelsteen en de uitgeoefende krachten precies uit kunnen rekenen hoe de steen op de tafel tot stilstand komt. Ja, maar als je van te voren niet weet welke de beginsituatie is (door te schudden, randomiseren heet dat) dan is iedere uitkomst even waarschijnlijk. De cijfers op de dobbelsteen hadden we ook kunnen verwisselen dan hadden we dezelfde uitkomsten gekregen als we maar vaak genoeg werpen. Is eerlijk zijn een eigenschap van de dobbelsteen, zoals de massa? Nee, het is een eigenschap van de uitkomstenverzameling als je heel vaak met de dobbelsteen gooit. Daarin komen alle mogelijke uitkomsten even vaak voor. In de praktijk is dat niet zo. Dan is dat slechts bij benadering het geval. Er is wel een verband tussen de uniforme kansverdeling en fysieke eigenschappen van de dobbelsteen. Die moet een regelmatige massaverdeling hebben, zodat deze niet bij voorkeur op een bepaalde zijde valt. Op grond van de gelijkmatigheid van een dobbelsteen nemen we aan dat de kans op elke mogelijke uitkomst even groot is. We zien geen reden te verwachten dat we een zes gooien boven elke andere mogelijke uitkomst. Volgens het Principe van Indifferentie is die kans 1/6.

De paradox van Bertrand wijst ons op het feit dat het soms allesbehalve triviaal is te bepalen wat de verzameling van ‘gelijk mogelijke’ gebeurtenissen is. De vraag naar de kans dat Van Muiswinkel en Obama op dezelfde dag geboren zijn is een onzinnige vraag. De vraag naar de kans dat Lucia de B. schuld heeft aan de dood van de vijf bejaarde patiënten is een onzinnige vraag. Het is in deze gevallen helemaal niet duidelijk wat de verzameling van mogelijkheden is. De statisticus Peter Grünwald noemde dit ‘kansloze situaties’, situaties waarin het spreken over kansen betekenisloos is.

Er zijn twee verschillende manieren om tegen kansen aan te kijken. De frequentistische manier is dat je zegt kans is een soort van limiet van een frequentie-verdeling van de uitkomsten van een experiment. De subjectieve manier zegt dat het een eigenschap is van de kennis (informatie of “belief”) die je hebt in relatie tot de mogelijkheden die deze kennis open laat. De subjectivist kan een kans toekennen aan een gebeurtenis ook als deze niet als uitkomst van een herhaalbaar experiment kan worden gezien. Het begrip kans in de kansrekening is niet anders te definiëren dan door de axioma’s van een wiskundige theorie. Een definitie in termen van herhaalbare experimenten blijft het begrip kans altijd weer vooronderstellen. Er is variatie van uitkomsten maar de omstandigheden van het herhaalbare experiment moeten wel “gelijk” (similar) zijn.

Wil je een statistische uitspraak toepassen op een particulier geval dan moet je dit geval zien als te behoren tot een bepaalde categorie, een referentieklasse, waar voldoende betrouwbare informatie over bekend is. In de praktijk is dat soms problematisch. Kun je een kind weigeren asiel te verlenen omdat het een nationaliteit heeft die dezelfde is als die van veel vluchtelingen die niet uit een oorlogsgebied komen? Hoe vaak beoordelen we individuen niet omdat ze tot een bepaalde groep behoren? We spreken dan van een vooroordeel. Het toepassen van statistische kennis is een vorm van praktijk gebaseerd op vooroordelen. Niemand mag beoordeeld worden omdat deze behoort tot een bepaalde referentiegroep.

Een eerlijke dobbelsteen is een wiskundige constructie. Net zoals een regelmatige zeshoek of een algebra. “Eerlijk” is een veelzinnige term; de wiskundige betekenis is een andere dan de dagelijkse betekenis. Wiskundige objecten zoals getallen, algebras en eerlijke dobbelstenen, hebben een andere bestaanswijze dan fysische objecten. De laatste zijn stoffelijk, zintuiglijk waarneembaar en veranderlijk. Cijfers kun je waarnemen, het zijn tekens, maar de getallen die we er mee aanduiden niet, dat zijn zuivere gedachtedingen. De kansen van de kansverdeling van een eerlijke dobbelsteen zijn wiskundige eigenschappen. Vergelijkbaar met het aantal zijden van een veelhoek. Ze bestaan niet echt, dat wil zeggen niet als eigenschap van fysieke objecten. Het dagelijkse woord kans duidt op de mogelijkheid dat iets optreedt. Op grond van onze ervaring schatten we in hoe waarschijnlijk of onwaarschijnlijk iets is. De wetenschap objectiveert deze gang van zaken door de ervaring los te koppelen van de individuele persoon. De uitkomsten van de kansrekening en de statistiek gelden voor iedereen die het eens is met de axioma’s en de aannames.

De wiskundige vat een feit op als een verwerkelijking van een mogelijkheid uit een verzameling van mogelijkheden, van gebeurtenissen die zich ook hadden kunnen voordoen. Alleen als we weten wat er allemaal mogelijk is, kunnen we uitrekenen wat de kans is dat elk van die mogelijkheden optreedt. Daarvoor moeten de mogelijkheden wel elkaar uitsluiten en even mogelijk zijn. De kans dat je met een dobbelsteen (die eerlijk is) een 6 gooit is 1/6 omdat het 1 van de 6 gelijk mogelijke uitkomsten is. De wetten van de kansrekening, een wiskundige theorie, kun je gebruiken om uit te rekenen hoe groot de kans is op een rijtje 4236 of 6666. Met behulp van statistiek, kunnen we iets zeggen over de kans dat een echte dobbelsteen een eerlijke dobbelsteen is. Daarvoor moeten we veel experimenten doen en de uitkomsten tellen. Wijkt de verdeling van de mogelijke uitkomsten teveel af van de theoretische uitkomsten van het wiskundig model dan is de dobbelsteen niet eerlijk. Fisher heeft gelijk: je kunt nooit met zekerheid concluderen dat een dobbelsteen eerlijk of oneerlijk is. Ook al schuur je nog zolang aan een tafelblad. zo vlak als een wiskundig vlak wordt het nooit. De kans waarover de frequentist het heeft is niet een wiskundige limiet van een wiskundige reeks. Het is een “soort van” limiet. Wiskundige objecten laten zich niet door processen in de werkelijkheid benaderen. Ze behoren tot een andere wereld.

Een feit, een bepaalde stand van zaken, heeft voor de wiskundige, technische geest, een identiteit die onafhankelijk is van het specifieke tijdstip en de plaats waarop deze zich voordoet. Het is een gebeurtenis die herhaalbaar is en die zich ook niet had kunnen voordoen. Een feit is een gespecificeerde stand van zaken die zich wel of niet kan voordoen. Het is de wereld van ‘alles wat het geval is’, de wereld van Wittgensteins Tractatus. De wetenschapper wil een bepaalde gebeurtenis die zich voordoet verklaren uit oorzaken die buiten de gebeurtenis liggen. Hij wil de verschijnselen zien als uitingen van algemene wetmatigheden, eigenschappen van de natuur.

De statisticus zoekt niet naar oorzaken en wetmatigheden, maar naar regelmatigheden, coïncidenties. Hij streeft ernaar kansuitspraken te kunnen doen van de vorm als dit en dit het geval is dan is de kans zo en zo groot dat zus en zo het geval zal zijn. Het is onmogelijk op grond van coïncidenties van verschijnselen tot een oorzakelijk verband te concluderen. De idee van een noodzakelijk verband tussen oorzaak en gevolg, merkt David Hume op, is niet het effect van observaties (niet van ‘external impressions’) maar van reflectie, van ‘internal impressions of the mind’. (A Treatise of Human Nature, p.90).

Wanneer we een bepaalde gebeurtenis als toeval opvatten dan kennen we aan deze gebeurtenis een bijzondere waarde of betekenis voor ons toe. We zien het niet als een gebeurtenis die ook niet had kunnen plaats vinden, maar als een noodzakelijk en uniek feit. Het kon niet anders; dit moest zich zo voordoen. Wanneer Julius Caesar de Rubicon heeft over gestoken dan kan het niet zo zijn dat hij dit niet heeft gedaan.

We kunnen een feit zien als uniek en als instantie van iets algemeens. De statisticus trekt geen algemene conclusies uit bijzondere waarnemingen zoals Fischer suggereert. Hij vat het bijzondere, ‘the particular’, op als instantie van iets algemeens. Kansen bestaan alleen in relatie tot mogelijke werelden. Het werkelijke daarentegen heeft geen kans; het is toevallig.

Leibniz stelde dat we in de best mogelijke wereld leven. Feitelijk leven we in de enig mogelijke wereld. Andere werelden bestaan niet.

Bronnen

Bex, F. (2011). Arguments, Stories and Criminal Evidence, a Formal Hybrid Theory.
Springer, Dordrecht, 2011.

L.J. Cohen (1977), The Probable and the Provable. Oxford University Press, 1977.

Fenton, N., Neil, M., & Berger, D. (2016). Bayes and the Law. Annual review of statistics and its application3, 51–77.

Grünwald, P. (2011). Over het bedrijven van statistiek in kansloze situaties. Voordracht Zwolle, 18 mei 2011.

Hacking, Ian (2006). The Emergence of Probability: a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Second Edition, Cambridge University Press, 2006.

Koppen, P.J. van (2011), Overtuigend Bewijs. Indammen van Rechterlijke Dwalingen. Amsterdam: Nieuw Amsterdam 2011.

R. Meester, M. Collins, R. Gill, and M. van Lambalgen (2007). On the (ab)use of
statistics in the legal case against the nurse Lucia de B. Law, Probability & Risk,
5(3-4):233–250, 2007.

Henry Prakken en Ronald Meester, Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig?

S.T. Timmer (2017). Designing and Understanding Forensic Bayesian Networks using Argumentation. PhD thesis, Universiteit Utrecht. SIKS Dissertation Series No. 2017-02, 2017.

C. S. Vlek (2016). When Stories and Numbers Meet in Court: Constructing and Explaining Bayesian Networks for Criminal Cases with Scenarios. PhD thesis, University of Groningen, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, 2016.

J. H. Wigmore. The Principles of Judicial Proof. Little, Brown and Company, Boston, 1913.

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.

Leave a Reply