Bewijzen en bewijzen is twee

Harry Mulisch is dood. Daarmee is zijn sterfelijkheid wel bewezen. Mijn sterfelijkheid moet nog bewezen worden. Ik ben namelijk niet dood. Want als ik ben is mijn dood niet en als mijn dood is ben ik niet.

Deze week was dan eindelijk de uitspraak in de zaak Nicky Verstappen. Het was spannend. Wat zal het oordeel van de rechter zijn? Zou hij de verdachte Jos de B. schuldig verklaren aan de dood van de jongen? Ik was en ben er “heilig van overtuigd” dat Jos de B. schuldig is. Maar waar was hij precies schuldig aan? En hoe wist ik dat zo zeker? Ik ken die man immers helemaal niet. Wie kent hem eigenlijk wel? Behalve zijn advocaat Gerald Roethof. Ik ken alleen de verhalen uit de media. En hoe vaak zitten het volk en het gevoel er niet naast? Wij horen regelmatig over rechterlijke dwalingen. In de zaak Lucia de B. wisten ook heel veel mensen zeker te weten dat ze schuldig was aan de dood van wel zeven oudjes en een paar babies. Later bleek het bewijs niets waard te zijn. Een misrekening van een stelletje getuige “deskundigen” gesteund door foute statistische modellen. De rechter zal zich er wel voor willen hoeden dat de zaak zaak Nick Verstappen later in het archief rechterlijke dwalingen terecht komt. Het was allerminst zeker dat Jos de B. veroordeeld zou worden tot het door het OM ten laste gelegde. “Het kan alle kanten op gaan” sprak de verslaggeefster Saskia Belleman haar twijfels uit.

“De meeste mensen zullen wanneer ze de school hebben verlaten nooit meer een wiskundig bewijs onder ogen zien. Maar er is een ander soort van bewijzen. Ze komen voor in zaken waar bijna iedere volwassene vroeg of laat mee te maken krijgt. Sterker nog, voor sommige mensen zullen bewijzen van dit soort belangrijker zijn dan alle andere zaken in hun leven. Ik doel op de bewijzen die spelen in de rechtszaal, bewijzen zonder welke het recht inderdaad blind zou zijn.”

Schrijft L. Jonathan Cohen in de Introduction van The Probable and the Provable (1977/1991).

Wat een heerlijk en schoon vak is de wiskunde toch! De volstrekte zekerheid dat iets wel of niet het geval is. De bewijskracht van het zuivere denken in eenzinnige termen, zonder bijbedoelingen. Heerlijk vond ik het alleen op mijn zolderkamertje puzzelen op een bewijs. De vaste structuur van de problemen waarvoor een oplossing moest worden gevonden. Definities, gegeven, te bewijzen, bewijs. Vooral in de meetkunde ging het er vaak om de juiste hulplijn te vinden. Wanneer deze, na soms uren puzzelen, of een rondje lopen, gevonden was, was het zaak het bewijs in logische stappen uit te schrijven. En daaronder schreef je dan met gepaste trots deze opgave weer volbracht te hebben: QED, Quod Erat Demonstrandum, Hetgeen te bewijzen was. (of Q.E.D.D.E als het een erg lastig bewijs was). Geen speld tussen te krijgen. Ik behoor tot die weinige mensen waar Cohen het over heeft, die later zelf een stelling meende te moeten formuleren. Ik was er van overtuigd dat het klopte maar het heeft me zeker een jaar slapeloze nachten en veel hoofdpijn gekost voor ik tevreden was met een bewijs. Ik stuurde het op naar een tijdschrift (Theoretical Computer Science), niet omdat het belangrijk was, maar omdat ik er zo veel tijd aan besteed had. Tijd die anders verloren zou zijn (ik dacht toen dat dat bestond: verloren tijd). Ik heb twee jaar moeten wachten totdat de editor het manuscript met mijn bewijs (zo’n 12 pagina’s lang) goedkeurde. Hij was net verhuisd van de VS naar Parijs en er was een briefje van mijn promotor voor nodig met daarin de vraag of mijn bewijs misschien in een verhuisdoos was verdwenen. Wat een verschrikkelijk vak is het toch, die wiskunde!

Maar toch.

Calculemus! riep de rechtsgeleerde en wiskundige Gottfried Wilhelm Leibniz in de rechtszaal uit. Laten we uitrekenen wie er gelijk heeft. En hij ontwierp een taal waarin je zowel de door voor- en tegenstanders opgevoerde beweringen als de feiten kon uitschrijven. Met daarbij een getal dat aangaf hoe groot de kans werd geacht dat de beweringen waar zijn. Met behulp van een paar rekenregels kon dan worden uitgerekend welke kant het kwartje zal vallen. Die rekenregels had Leibniz van de geleerde Blaise Pascal, de regels van de kansrekening, een stukje wiskunde waar iedere student tegenwoordig mee lastig gevallen wordt. Omdat overal zoveel onzekerheid is.

Was het maar zo dat de rechter in de zaak Nicky Verstappen over een rekenmachine kon beschikken (een opvolger van de eerste door Leibniz ontwikkelde calculators) die met de zekerheid waarmee ik QED onder mijn bewijzen schreef een uitspraak doet: schuldig. Eventueel voorzien van een kans dat dat ook werkelijk zo is, een mate van geloof, zeg maar. Zo’n machine is er niet. Recentelijk hebben ook in Nederland nog een aantal AiO’s zich onder leiding van onder andere Prakken en van Koppen stukgebeten op het probleem: hoe kunnen we de rechters mechanische hulpmiddelen bieden, software pakketten, die ze kunnen gebruiken om tot een verantwoorde uitspraak te komen. Het heeft een aantal proefschriften opgeleverd. En eeuwige roem voor de promovendi. (zie het werk van Bex, Timmer en Vlek).

In The Probable and the Provable, het boek waaruit bovenstaand citaat komt legt de auteur uit waarom de redeneerregels van de kansrekening van Pascal niet de regels zijn die men in de rechtszaal hanteert en zou moeten hanteren. Peter van Koppen en Henry Prakken hebben vanuit weer andere hoeken overtuigend aangetoond dat de door de AiOs onderzochte methodes niet praktisch toepasbaar zijn. Conclusie?

Bewijzen en bewijzen is twee. De wiskunde is een prachtig vak, maar ze is niet toepasbaar in de weerbarstige praktijk van de rechtspraak. “There is always room for doubt”. Tegenwoordig maken we overal wiskundige modellen van waarmee we rekenen om tot besluiten te komen. In de economie, in de biologie, de virologie, de geneeskunde, voor de bestrijding van het corona virus. Maar ze werken geen van allen, of slechts tot op zekere hoogte. Waarom? Omdat het geen wiskunde is. Omdat ze niet de eeuwigheidswaarde hebben van de bewezen meetkundige stellingen. Omdat ze slechts hypothetische en geparametriseerde uitspraken kunnen opleveren. Als ons model en onze metingen kloppen dan zou het kunnen zijn dat. De werkelijkheid is veel te rijk en we moeten met argwaan luisteren naar de geleerden die de zaken simpel voorstellen. De Godsbewijzen zijn daarvan de meest aansprekende voorbeelden.

Anselmus (1033-1109) Aartsbisschop van Canterbury

Neem Anselmus’ Godsbewijs. Dat gaat zo:

“De dwaas zei in zijn hart: er is geen God. Maar zelfs de dwaas zal moeten toegeven dat hij zich iets kan voorstellen zodat niets groter is dan dat iets. Maar als dat iets niet echt, maar alleen in het verstand bestaat, kunnen we ons iets nog groters voorstellen: namelijk iets dat óók nog bestaat. We hebben nu duidelijk een tegenspraak. Dus bestaat er echt iets zodat er niets groter gedacht kan worden. Dat iets noemen we God…”

Het citaat komt uit een artikel van een oud-studiegenoot de logicus en filosoof Albert Visser. Het artikel draagt de titel: Kunnen wij elke machine verslaan? Beschouwingen rondom Lucas’ Argument. Ik moet even uitleggen wat het argument van Lucas is en wat dit met het bewijs van het bestaan van God te maken heeft.

De wiskundige en logicus Kurt Gödel had wiskundig bewezen dat iedere voldoende rijke wiskundige theorie die consistent is ware beweringen bevat die niet bewijsbaar zijn binnen een zekere formeel model. De onvolledigheidstelling van de rekenkunde. Bovendien bewees hij dat “geen enkele interessante wiskundige theorie haar eigen consistentie kan bewijzen”. Je moet altijd erg voorzichtig zijn met het formuleren van wiskundige resultaten in alledaagse taal. Want de volgende stap is dat men uit die alledaagse formulering conclusies trekt onder verwijzing naar de wiskunde, terwijl die helemaal niet uit het wiskundige resultaat volgen.

Lucas beweerde dat we uit Gödel’s resultaten kunnen concluderen dat de mens dingen kan die uitstijgen boven het vermogen van de machine. Lucas richt zich tegen een bepaald -isme, het mechanisme. Deze opvatting heeft twee kanten. Enerzijds dat mensen machines zijn, of dat mechanische modellen adekwaat zijn voor het begrijpen van de menselijke psyche en gedrag. Anderzijds dat machines kunnen denken, bewustzijn hebben. Sommige aanhangers zijn van mening dat machines morele agenten zijn en dat intelligente robots derhalve rechten hebben die in wetten moeten worden vastgelegd. Kort gezegd komt Lucas’ Argument er dus op neer dat we uit de stellingen van Gödel (stellingen uit de metamathematica, de mathematische logica, een onderdeel van de wiskunde) mogen concluderen dat de mens geen machine is. Dat is om twee redenen een gewichtig resultaat.

Ten eerste, na Nietzsches’ “God is dood”-verklaring, nam de mens definitief de plaats over van het hoogste wezen in de hiërarchie van het Zijn. Deze dood-verklaring (waarmee volgens sommigen geenszins gezegd wilde zijn dat God niet bestaat) was het logische gevolg van de nieuwe filosofie die de mens als rationeel wezen boven alle andere zijnden hier op aarde verhief. Na Descartes, die God nog als bewijsstuk nodig meende te hebben, waren o.a. Leibniz en Pascal belangrijke vaandeldragers van deze nieuwe partij. Was het niet Blaise Pascal, de grondlegger van de kansrekening, die deze toepaste om een antwoord te geven op de vraag naar het bestaan van God? Waarmee hij het probleem of je moet geloven in God tot een beslissingsprobleem reduceerde. Exact dezelfde redeneerwijze waarmee we een epidemoloog recentelijk hoorden beargumenteren waarom het verstandiger is om voor vaccinatie tegen het Corona virus te besluiten (een modern beslissingsprobleem).

Ten tweede. Levert de wiskunde ons niet de meest zuivere waarheden op?

“Hoe mooi zou het niet zijn”, zegt Albert Visser, wanneer we overtuigend bewijs zouden kunnen leveren dat we tenminste in één opzicht beter zijn dan machines. Namelijk in het inzien van wiskundige waarheden.

Helaas, zo’n overtuigend bewijs levert Lucas argument ons niet. Het is net als met het Godsbewijs van Anselmus (en met al die andere klassieke Godsbewijzen evenzo) . Het heeft geen enkele overtuigingskracht voor ons. Ook al hebben we wellicht moeite om precies aan te geven waarom het geen bewijs is. Waarom overtuigt het niet? “Omdat ik de intuïtie heb dat zo’n soort stelling niet bewezen kan worden met zo’n simpel ‘logisch’ argument”. Albert Visser zou geen logicus zijn wanneer hij niet probeerde zijn intuïtie logisch te onderbouwen. Zijn conclusie is dat Lucas’ bewijs geen bewijs is, maar een drogreden. Ik bespaar u de details. Men leze het artikel zelf. Het is de moeite meer dan waard. Het gaat mij hier om Visser’s intuïtie: dat zo’n soort stelling, namelijk dat God bestaat of dat de mens een andere bestaanswijze heeft dan de machine, niet op een dergelijk simpele logische wijze bewezen kan worden. We hebben hier te maken met een onoverbrugbare kloof tussen twee totaal verschillende werelden. En daarmee kom ik terug bij de zaak Nicky Verstappen en het bewijzen in de rechtspraak.

De advocaat van Jos de B., Gerald Roethof, verklaarde direct na de uitspraak van de rechter (12 jaar gevangenis) in beroep te gaan. In zijn verdediging had hij al gepleit voor vrijspraak omdat er “geen enkel bewijs was” en dat herhaalde hij nog maar eens. De door de rechter aangevoerde gronden voor zijn conclusie dat Jos de B. schuldig is aan de dood van Nicky Verstappen berusten op speculatie. Zij hebben net als Anselmus’ argument of Lucas’ Argument geen kracht van bewijs. Maar een hard bewijs zoals dat door Roethof gevraagd wordt kan ook niet geleverd worden. En dat weet deze doorgewinterde rechtsgeleerde donders goed! Waarom kan zo’n bewijs niet geleverd worden? Precies om dezelfde redenen waarom Anselmus en Lucas ons niet konden overtuigen. Het soort stellingen waar het in de rechtspraak om gaat kan niet door middel van een simpele logica bewezen worden. Ook hier is sprake van een categorie-probleem. Hoe kan je bewijzen dat een verdachte de hand heeft gehad in de dood van iemand anders?

Helaas. De logica gebiedt ons te zeggen: dat kan niet. Zelfs getuigenverklaringen zijn geen harde bewijzen. Ook een bekentenis heeft niet de kracht van een bewijs. Wat wil Roethof dan? Een overtuigend bewijs en anders vrijspraak. Wat had hij moeten doen om mij ervan te overtuigen dat Jos de B onschuldig is? Natuurlijk, de verdachte hoeft zijn onschuld niet te bewijzen. Maar zal de verdacht die onschuldig is niet alles doen om te bewijzen dat hij onschuldig.

Als Jos de B. onschuldig is, dan had zijn advocaat zijn client geen beroep moeten laten doen op het zwijgrecht. Dan had hij de verdachte moeten adviseren zoveel mogelijk te verklaren wat zich precies heeft voorgedaan. Dan had hij met een goed verhaal moeten komen, een verhaal dat de conclusies uit het forensisch onderzoek (op basis van de gevonden DNA sporen) weerlegt dan wel verklaart. Roethof had zijn client moeten wijzen op de plicht die iedere burger heeft bij te dragen aan het onderzoek naar mogelijk misdrijf. In plaats van te blijven zwijgen. Het feit dat de verdachte dit heeft nagelaten samen met het forensisch materiaal maakt het zeer aannemelijk dat hij schuldig is. Een strikt bewijs is het niet. Dat bestaat zoals gezegd niet. De rechter stond en staat voor een lastig beslissingsprobleem: wat zijn de kansen en de gevolgen van een onjuiste beslissing? Niet alleen voor de verdachte, maar ook voor de geloofwaardigheid van de rechtspraak.

Een wiskundige bewijs van de correctheid van de uitspraak zal niet geleverd kunnen worden. Op computers kun je wel rekenen. Maar je kunt er niet op vertrouwen.

Bronnen

Albert Visser (1986/2004). Kunnen wij elke machine verslaan? Beschouwingen rondom Lucas’ Argument. Dit artikel verscheen in 1986 in de bundel Geest, Computers en Kunst, een uitgaven van de Stichting Grafiet. Een ‘licht verbeterde versie’ verscheen in 2004 en is op het internet makkelijk te vinden. Albert Visser studeerde eerst wiskunde aan de Technische Hogeschool Twente. Later in Utrecht. Hij was verbonden aan het Department of Philosophy van de Utrechtse universiteit.

Henry Prakken, Floris Bex, Anne en Ruth Mackor (2020).
Editors’ Review and Introduction: Models of Rational Proof in Criminal Law
Topics in cognitive science, november 2020. Dit is de Introductie van een boek van Henry Prakken en anderen over formele methodes in de rechtspraak. Prakken is computerwetenschapper gespecialiseerd in “AI and Law”.

Bex, F. (2011). Arguments, Stories and Criminal Evidence, a Formal Hybrid Theory.
Springer, Dordrecht, 2011.

L.J. Cohen (1977), The Probable and the Provable. Oxford University Press, 1977.

Grünwald, P. (2011). Over het bedrijven van statistiek in kansloze situaties. Voordracht Zwolle, 18 mei 2011. Dit gaat over de zaak Lucia de B.

Hacking, Ian (2006). The Emergence of Probability: a philosophical study of early ideas about probability, induction and statistical inference. Second Edition, Cambridge University Press, 2006.

Koppen, P.J. van (2011), Overtuigend Bewijs. Indammen van Rechterlijke Dwalingen. Amsterdam: Nieuw Amsterdam 2011. Van Koppen werkte ook mee aan een reconstructie van de Simonshaven moord volgens de scenario-methode.

R. Meester, M. Collins, R. Gill, and M. van Lambalgen (2007). On the (ab)use of
statistics in the legal case against the nurse Lucia de B. Law, Probability & Risk,
5(3-4):233–250, 2007.

Henry Prakken en Ronald Meester, Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig?

S.T. Timmer (2017). Designing and Understanding Forensic Bayesian Networks using Argumentation. PhD thesis, Universiteit Utrecht. SIKS Dissertation Series No. 2017-02, 2017.

C. S. Vlek (2016). When Stories and Numbers Meet in Court: Constructing and Explaining Bayesian Networks for Criminal Cases with Scenarios. PhD thesis, University of Groningen, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, 2016.

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.

Leave a Reply