Een buitenschoolse les over telproblemen

The unspoken is present in all speech” (Louk Fleischhacker)

Inleiding

Zolang er mensen zijn die tellen, zolang zijn er telproblemen. Tellen is de meest eenvoudige vorm van meten. Meten is het vergelijken van iets onbekends met iets bekends, een maat. Maat is datgene waardoor de grootte (kwantiteit) of hoegrootheid van een ding gekend wordt (Aristoteles). Meten is de maat nemen. Bij het tellen is die maat de eenheid. Tellen is dus bepalen hoeveel eenheden er zijn van de dingen die je wilt tellen. Het resultaat van het meten moet uitgedrukt worden in een aantal en een eenheid. Het resultaat van meten en tellen noemen we informatie. Als ik vogels in de tuin tel is het resultaat 19 vogels. Door het combineren van betrouwbare informatie kunnen mensen die er verstand van hebben meer te weten komen over hoe het er met de vogelstand voor staat.

Er is een telprobleem als iemand het met zich zelf of met een ander niet eens is over hoe er geteld moet worden, wat er geteld moet worden of hoe het resultaat moet worden beschreven. Iemand stelt zichzelf of iemand anders de vraag : “Hoeveel vogels zijn er in de tuin?” of “Hoeveel prikken zijn er gezet door de GGD?”. Dat is het begin van het tellen en meestal ook van een telprobleem.

Soms vragen mensen dingen te tellen of te meten waarvan het nog maar de vraag is of dat waar het om gaat wel telbaar of meetbaar is. Dat is een meta-telprobleem. Zo vroegen theologen in de Middeleeuwen hoeveel engelen er op de punt van een naald passen. In 1900 presenteerde de wiskundige David Hilbert een lijst met 23 wiskundeproblemen. Het eerste probleem op zijn lijst komt neer op de vraag: Hoeveel punten bevat een lijnstuk? Tegenwoordig vragen mensen hoeveel informatie het universum bevat. Dit soort vragen maken ons bewust van de vooronderstellingen van het meten en tellen. Wat is dat eigenlijk: ‘telbaar’ en ‘meetbaar’? Is dan niet alles telbaar en meetbaar?

Over telproblemen gaat deze ‘buitenschoolse les’. Ik hoop hiermee bij mijzelf en de lezer wat meer begrip te kweken voor onze huidige telproblemen.

Hoeveel prikken?

Er is een probleem met het tellen van het aantal prikken (vaccinaties) dat gezet zijn. Op welk moment? vraag je misschien. Precies, dat is het eerste probleem. Op welk moment. Want als er op dit moment op verschillende locaties geprikt wordt dan is het aantal nu misschien al weer anders dan het aantal op het moment dat u begon deze zin te lezen. De GGD coördinator heeft dat opgelost door aan te geven dat het om het aantal prikken gaat tot aan een bepaald tijdstip. Althans voor zover de rapporteur daarover is geïnformeerd door de priklocaties. En daar lijkt een communicatieprobleem te zitten. Die priklocaties vergeten wel eens wat door te geven of zijn te laat. Er is dus een verschil tussen het aantal prikken dat werkelijk op een bepaald tijdstip is gezet en het aantal prikken dat gerapporteerd is.

Dit wijst op een wezenlijk kenmerk van tellen en meten. Meten is immers het vergelijken van iets reëels (het aantal prikken dat gezet is) met iets ideëels (een prik die op een bepaalde manier gedefinieerd is, de maateenheid) .

De oplossing van het probleem, het vaststellen van wat je precies telt is in dit geval eenvoudig. De GGD zegt niet hoeveel prikken er daadwerkelijk gezet zijn, maar hoeveel er volgens de rapportages die binnen zijn gekomen geteld zijn. Ze kwam op een gegeven moment op een aantal van ruim 220.000. Dat aantal verscheen op het Corona Dashboard van de Minister die er over gaat.

De Minister die zijn naam heeft gebonden aan hoeveel er geprikt is schrok van dit lage aantal. Er waren toch in werkelijkheid veel meer prikken aan de priklocaties geleverd dan dit aantal? Hij besloot zelf maar eens uit te rekenen hoeveel er geprikt moest zijn. Uitgaande van het aantal geleverde prikken en een verliesfactor kwam hij op 346.790 prikken. Dat is een schatting, zei hij, mede gebaseerd op een geschat aantal prikken door de ziekenhuizen van 81.088. Let wel dit is een schatting ! Niet 81.087, maar 81.088.

Wie wil tellen moet weten wat hij telt en hoe je daarover rapporteren moet. Wie niet weet wat schatten is en hoe je daarover rapporteert kan er beter maar niet aan beginnen.

De overheid die de scholen vanwege de corona sluit waardoor de meesters en de docenten geen goede wiskunde-lessen meer kunnen geven moet onze jeugd het goede voorbeeld geven. Anderzijds: van fouten kun je leren.

Vandaar deze extra buitenschoolse les over tellen en telproblemen.

Telproblemen

Vrijwel iedereen kan tellen. Onze Sofia van twee jaar kan al tot tien tellen. En als je vraagt hoeveel voetjes ze heeft steekt ze twee vingers op en zegt “twee”. Ze kent al tien telwoorden. Dat zijn er al meer dan sommige volkeren ooit hadden.

De Engelse medicus en filosoof John Locke (1632-1704) schreef:
Some Americans I have spoken with (who otherwise of quick and rational parts enough) could not, as we do, by any means count to 1000; nor had any distinct idea of that number.’

“Sommige Amerikanen die ik sprak (en die waren echt niet gek) konden niet, zoals wij, tot 1000 tellen. Ze hadden geen enkel benul van dat getal.” (mijn sloppie vertaling)

Locke had het niet over de grondleggers van de Verenigde Staten van Amerika,
maar over de Tououpinambos, een volk dat diep in de Braziliaanse jungle leefde. Hun taal kende alleen de telwoorden voor de getallen van 1 tot en met 5. Kennelijk hadden ze geen behoefte aan meer dan deze vijf. Het Nederlands kent, net als alle moderne talen, veel meer telwoorden. In elk geval genoeg om aan te geven hoeveel sterren er aan de hemel staan.

Onze Lily van zes jaar begint ons systeem van getalwoorden te leren. Ze weet dat 16 voor 17 komt en 18 na 17. Laatst vroeg ze of er ook een grootste getal bestaat. Daar moet ik even over nadenken, zei ik. Vragen is vaak eenvoudiger dan antwoorden. Volgens Locke werd Lily, zoals ieder mens, geboren als een onbeschreven blad (‘tabula rasa’) . Is het dan niet wonderlijk dat iemand van amper zes op het idee komt van “het grootste getal”? Hoeveel eeuwen heeft het niet geduurd voor de mensheid het cijfer 0 voor het getal nul bedacht had en ons tientallig getalstelsel was uitgevonden, waarin 120 iets anders is dan 12 of 102. Het antwoord op de vraag of er een grootste getal is is net zo moeilijk als het antwoord op de vraag of er een grens is aan de ruimte.

Tellen is meten van het aantal van iets. Bijvoorbeeld hoeveel vogels er op dit moment in mijn tuin zijn. Tellen lijkt simpel, maar zoals hierboven blijkt, zitten er wel wat addertjes onder het gras.

Allereerst moet je weten wàt je telt. Als je vogels wilt tellen moet je weten wat een vogel is. En als je op de vogelteldag de soorten vogels apart wilt tellen moet je de boomklever van de boomkruiper en de pimpelmees van de koolmees kunnen onderscheiden. Bovendien moet je oppassen dat je niet dubbel telt. Bij ons zat ‘s morgens een fazant in de tuin en ‘s middags zat hij er weer. Hij pikt de korrels die de mezen op de grond hebben laten vallen. Wij noemen de fazant, die ieder jaar weer op bezoek komt, Japie, maar wij weten niet of het wel steeds dezelfde fazant is. Dieren die in het wild voorkomen hebben geen eigennaam. Tellen is een naam geven aan de onderscheiden dingen die je telt. Om goed te tellen moet je de dingen die je telt goed kunnen onderscheiden. En weten wat je al geteld hebt. Dat is niet alleen bij vogels tellen lastig. Als je sterren telt moet je weten dat de Ochtendster dezelfde ster is als de Avondster. Als er dingen zijn die twee of meer namen of beschrijvingen hebben dan moet je oppassen dat je niet dubbel telt. Dat kwam bij het tellen van het aantal prikken door de GGD ook voor. Ze telden namelijk het aantal prikken door de artsen gezet en het aantal door de ziekenhuizen gezet bij elkaar op. Maar sommige artsen gaven hun aantal door aan de ziekenhuizen. Die werden dus dubbel geteld door de GGD. Als je wilt weten hoeveel vrouwen er in Nederland zijn moet je niet het aantal moeders bij het aantal dochters optellen. Grote kans dat je vrouwen dubbel telt.

Hoeveel haren heeft iemand op zijn hoofd die niet kaal is? Hoeveel graankorrels maken een hoop? Het zijn oude problemen die menig Griekse denker de haren te berge deden rijzen. Dit lijken nutteloze vragen maar ze lijken wel wat op de vraag welke leeftijd iemand heeft die we ‘oud’ noemen of ‘jong’. Kaal zijn, een hoop zijn, oud zijn, of jong zijn. Het zijn vage begrippen. De meest dagelijkse begrippen zijn vaag en we kunnen er prima mee leven. In de praktijk voelen we ons soms gedwongen een grens te stellen: oud is iemand die de leeftijd van 68 jaar heeft bereikt. Volwassen is 18 jaar of ouder. Zo’n grens is altijd min of meer willekeurig. Het burgerlijk wetboek staat vol vage begrippen.

Het wiskundig denken heeft moeite met vage begrippen. Zodra de wiskunde zich met vage begrippen gaat bemoeien stapelen de problemen zich al snel op. Toch is die behoefte aan wiskundige exactheid groot. We moeten immers als we gaan tellen wel vastleggen wat we willen tellen. Moeten we het daar dan niet eerst over eens worden?

Stel je wilt weten hoeveel IC-bedden er in Nederland zijn. Die tel je natuurlijk niet zelf. Je vraagt het aan iemand die het kan weten. Wanneer je echter vijf mensen in Nederland vraagt hoeveel IC-bedden er in Nederland zijn, grote kans dat je vijf verschillende antwoorden krijgt. Niet omdat ze niet kunnen tellen, maar omdat ze het niet eens zijn wat je met ‘IC-bed’ bedoeld. Want wat is een IC-bed? Tellen IC-bedden mee die niet bemand zijn, die in reparatie zijn, die besteld zijn. Waarvan de beademingsapparatuur bij de reparateur is? Ook als je googelend probeert te achterhalen hoeveel IC-bedden er zijn vindt je verschillende aantallen. Vaak staat er geen datum bij. Je hebt er dus niets aan.

En hoe tel je eigenlijk het aantal corona virusdeeltjes op een wattenstaafje? Of het aantal witte bloedlichaampjes in een druppel bloed?

Niet tellen maar rekenen

Soms hoef je niet alles te tellen om het aantal te bepalen, maar kun je rekenen. Bijvoorbeeld als je wilt weten hoeveel puzzelstukjes een puzzel heeft. Op de doos staat wel: 1000 stukjes, maar is dat wel zo? Als je ervan uit mag gaan dat iedere rij even veel stukjes bevat, kun je het aantal rijen tellen en hoef je maar in één rij te tellen hoeveel stukjes die heeft. Bij 25 rijen van elk 40 stukjes is het aantal 25 keer 40 is 1000. Vermenigvuldigen is herhaald optellen.

Als je wilt weten hoe vaak je een blok chocolade van 8 bij 4 stukjes moet breken om 32 stukjes te krijgen kun je dit werkelijk uitvoeren en tellen. Maar als je niet zo’n blok chocolade hebt, moet je een andere oplossing zien te vinden. Wiskundigen hebben soms veel moeite met dit soort telproblemen. Omdat ze te moeilijk doen.

Schatten, niet tellen

Aristoteles zei het al: je moet niet tè precies willen zijn als dat niet nodig is.

Ver voor onze jaartelling en vele eeuwen voordat wij in Europa in de 17de eeuw met kansrekening begonnen wisten de mensen in Indië al hoe ze het aantal bladeren in een boom konden schatten. Ze telden bladeren in een deel van de boom en maakten een schatting op grond van dat aantal. Om te schatten moet je enig benul hebben van hoe ver je er naast kan zitten. Dat is een kwestie van ervaring. In de statistiek wordt het schatten bedreven en verbeterd. Het resultaat van schatten is altijd van de vorm “het aantal is ongeveer 1000” of “het aantal ligt tussen 900 en 1100”. Je zegt dan niet “het aantal is ongeveer 1001”.

Ontelbare telproblemen

De vraag hoeveel punten er op een lijnstuk liggen heeft nogal wat stof doen opwaaien. Het was probleem nummer 1 op de lijst van 23 openstaande vraagstukken die de grote wiskundige David Hilbert in 1900 op een congres van wiskundigen presenteerde. Hij meende dat iedere wiskundige vraag een oplossing had. We weten nu, sinds 1963, dat het een onoplosbaar probleem is. Dat wil zeggen dat de wiskundigen het erover eens zijn dat de wiskunde geen eenduidig antwoord kan geven op deze vraag in termen van een aantal. Achteraf gezien zal je misschien zeggen: dat verbaast me niks want het is geen heldere vraag.

Ik bespreek het probleem hier omdat het goed is om te begrijpen waarom het onoplosbaar is. We zullen zien dat alle mogelijke oorzaken van telproblemen die we hierboven bespraken ook hier aan de orde zijn. Weten wat je telt. Weten hoe je de te tellen dingen moet onderscheiden en benoemen. Ook de vage begrippen spelen een rol.

Wat is het probleem?

De oorzaak van het probleem dat hier opduikt is zoals bij alle tel- en meetproblemen dat we iets ideëels willen vergelijken met iets reëels. We willen de werkelijkheid kennen en in taal uitdrukken zodat we de gemeten werkelijkheid met elkaar kunnen delen. Ik meet iets en deel dat aan jou mee. Informatie is het resultaat van het meten van iets. Dat wat je meet is het gegeven (datum). Daarop heeft de informatie betrekking. Een wiskundige structuur leggen we als maat op aan de werkelijkheid. Over die structuur moeten we het eens zijn. Anders hebben we een communicatieprobleem. In de wetenschap heten die structuren tegenwoordig vaak ‘model’. We moeten het dus eens zijn over het model dat we gebruiken als we de werkelijkheid gaan meten.

De oplossing van het probleem “Hoeveel punten een lijnstuk bevat” is dat het antwoord afhangt van het model dat je hanteert en dat er geen enkele reden is om voor een bepaald model te kiezen boven een andere. Het positieve resultaat is dat gegeven een model je exact kan bepalen wat het antwoord is.

De werkelijkheid waar het bij dit probleem om gaat is de ruimte. En om het eenvoudiger te maken: een recht lijnstuk in de ruimte. Denk aan de rand van het tafelblad en trek daar de tafel van af. Wat je overhoudt is de werkelijke basis voor het lijnstuk, een wiskundig object. Maar anders dan de tafel en de tafelrand bestaat het lijnstuk alleen in onze denkwereld. We tekenen zo’n denkbeeldig object door een lijntje op papier. Een wiskundige lijn heeft geen dikte alleen een lengte. Het is van belang deze twee, de voorstelling van de lijn en de wiskundige lijn, goed te onderscheiden. De voorstelling van de lijn is als het ware een hulplijn om de gedachten te bepalen. Net als de cijfers op papier je helpen bij het rekenen. De getallen bestaan alleen in de gedachtenwereld, de cijfers en de telwoorden behoren tot de taal, ze verwijzen naar de gedachte objecten.

De natuurlijke getallen, 1,2,3, etc… duiden we aan met cijfers en telwoorden. De getallen zijn wiskundige dingen die we kunnen tellen. Er zijn heel veel natuurlijke getallen. Oneindig veel. Dat aantal noemen we aftelbaar oneindig. Er is volgens heel veel wiskundigen geen grootste getal. (Want je kunt bij elk getal 1 optellen en dan heb je eentje die groter is. Maar hoe lang hou je dat vol?) We kunnen getallen verzamelen in een verzameling. Een wiskundige verzameling is anders dan een postzegelverzameling, ook een wiskundig object. Bijvoorbeeld de verzameling van alle even getallen: {2,4,6,8,…}. Het aantal van dergelijke verzamelingen van getallen is nog veel groter dan het aantal getallen zelf. In de 19de eeuw bewees de wiskundige Georg Cantor dat het aantal daarvan echt meer is dan het aantal hele getallen. We noemen dat aantal overaftelbaar oneindig. Dat bewees hij met een diagonaalargument. Cantor stelde dat tussen die twee groottes geen andere groottes bestaan. Maar hij kon het niet bewijzen. (De Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer was overigens van mening dat er geen overaftelbare verzamelingen bestaan.)

Hoe veel punten liggen er op een lijnstuk?

Niet alle lengteverhoudingen kun je uitdrukken met een geheel getal. Je hebt daarvoor vaak ook breuken nodig, zoals 3/4 en 1/2. Maar ook die zijn niet genoeg om alles te meten en uit te drukken. Neem bijvoorbeeld de verhouding van de lengte van de diameter en de omtrek van een cirkel. Dat is geen breukgetal. We noemen dat getal pi. (ongeveer 3.1415). Euclides bewees al dat de wortel van 2 geen breukgetal is. We kunnen al deze getallen denken te liggen op een rechte lijn. Deze “reële rechte” bevat alle reële getallen. Ze liggen dicht op elkaar. Tussen elke twee getallen liggen er weer oneindig veel. Tussen 1,2 en 1,3 liggen bijvoorbeeld 1,21 en 1,22, maar ook 1,215.

Tellen is het afbeelden van dingen die je telt op een deelverzameling van getallen {1,2,3,..,n}. Als dit lukt dan is n het getal dat het aantal aangeeft. Als het niet lukt dan zeggen we dat er ontelbaar veel dingen zijn. Maar Cantor noemde dat aftelbaar oneindig. En alsof dat niet genoeg was zelfs overaftelbaar.

Pas op met oneindig

Wanneer zijn twee verzamelingen even groot? Als je aan ieder element van de ene verzameling een element van de andere kunt koppelen en omgekeerd. Het gekke is dat de verzameling van even getallen dan even groot is als de verzameling van alle getallen. Immers als je alle gehele getallen met twee vermenigvuldigt krijg je precies alle even getallen en als je alle even getallen door twee deelt krijg je alle gehele getallen. Het is gek want anderzijds is de verzameling even getallen een echt deel van de verzameling van alle getallen. Dit kan alleen bij oneindige verzamelingen: even groot zijn als een echt deel ervan. Bij eindige verzamelingen kan dat niet. Een deel van een taart is kleiner dan de hele taart. Maar niet alle oneindige verzamelingen zijn volgens Cantor even groot. Overigens zijn er ook aftelbaar veel breukgetallen. Er zijn dus net zoveel breukgetallen als gehele getallen. Heel merkwaardig.

Het aantal punten op lijnstuk AB is gelijk aan dat op CD.

Van deze definitie van “even groot” maken we gebruik bij het bepalen hoeveel punten er op een lijnstuk liggen. We kunnen ieder lijnstuk namelijk afbeelden op het lijnstuk tussen 0 en 1. Het aantal punten op een lijnstuk is dus gelijk aan dat op het lijnstuk tussen 0 en 1. Zie de figuur hierboven. Ieder punt P van AB wordt op een punt P’ van CD afgebeeld en omgekeerd.

Nu kunnen we iedere deelverzameling van de gehele getallen afbeelden op een punt van dit lijnstuk tussen 0 en 1. Dat gaat als volgt. Neem bijvoorbeeld de verzameling {1,3,5}. Deze beelden we af op het punt dat op afstand x van 0 ligt, waarbij x gelijk is aan de som van de getallen 1/2^1 , 1/2^3 en 1/2^5. Ofwel 1/2 + 1/8 + 1/32 = 0,65625. In het algemeen beelden we een verzameling V dus af op een punt dat een afstand vanaf 0 heeft dat de som is van de inverses van die machten van 2 die in de verzameling V voorkomen. Omgekeerd kunnen we ieder punt op zo’n deelverzameling van de hele getallen afbeelden. Hiermee hebben we aangetoond dat het aantal punten op ieder lijnstuk gelijk is aan het aantal deelverzamelingen van de verzameling van gehele getallen. En dat aantal was overaftelbaar oneindig. Dat is meer dan aftelbaar oneindig.

Georg Cantor stelde nu de hypothese op dat er geen verzamelingen bestaan die een grootte hebben tussen die van de gehele getallen en die van de punten op een lijnstuk. Deze hypothese staat bekend als de continuümhypothese. Het continuüm is de naam die aan de reële rechte, de lineaire continue lijn, wordt gegeven. Maar is de hypothese waar? Hilbert vond het in 1900 zo’n belangrijke kwestie dat hij dit bovenaan op zijn lijstje zette van grote wiskundige problemen.

Wat is de aanname?

De vraag hoeveel punten er op een lijnstuk liggen gaat er vanuit dat een lijn een (telbare) verzameling van punten is. Hoe moeten we dat zien? In elk geval niet zo dat de lijn uit de punten is opgebouwd. Want een lijn heeft een lengte en een punt niet. Dat wist Aristoteles al. Een lijn kun je verdelen in lijnstukken, maar niet opdelen in punten. De vraag is wat dat betreft al verdacht. De wiskundige Cantor beschouwde de lijn als verzameling van punten. En Hilbert en met hem vrijwel alle wiskundigen namen deze opvatting over. Het is zelfs zo dat de hele wiskunde volgens de wiskundigen opgebouwd moet kunnen worden uit verzamelingen. Dat stellen ze. Alle wiskundige objecten bestaan in Cantor’s paradijs. Wiskundigen stellen altijd dingen en dan is het ook zo. Daarom heette wiskunde vroeger ook wel stelkunde. Wat ze proberen te bewijzen zijn stellingen, uitgaande van axioma’s waarvan ze stellen dat ze waar zijn. Met de axioma’s van de meetkunde proberen wiskundigen ons begrip van de ruimte vast te leggen. Euclides was de eerste die dat deed. De axioma’s mogen elkaar natuurlijk niet tegenspreken. Bovendien moeten ze volledig vastleggen wat we over de ruimte weten. Euclides meende dat door een punt in de ruimte precies één rechte lijn gaat evenwijdig aan een gegeven andere lijn. Maar kon dit niet bewijzen uit de axioma’s. Het staat bekend als het parallellenpostulaat. Iedereen geloofde dat het wel waar is. Dat onze ruimte er aan voldoet. Men zegt dan ook dat de ruimte Euclidisch is. Vele eeuwen later bewezen wiskundigen dat er ook ruimtes zijn waarin het parallellenpostulaat niet geldig is, maar waarin de andere axioma’s wel gelden. Het postulaat is dus onafhankelijk van de andere axioma’s. Dit geeft niet alleen inzicht in de ruimte maar vooral in de aard van de wiskundige kennis zelf.

Het is niet zo gek dat Hilbert de continuümhypothese (kortweg CH) een belangrijke kwestie vond. Want een belangrijke vraag is een vraag waarvan het zoeken naar een antwoord tot nieuwe inzichten leidt. En dat is in dit geval zo.

In 1940 bewees Kurt Gödel dat CH onafhankelijk is van de axioma’s van de verzamelingenleer (van Zermelo-Fraenkel, de meest gangbare), waarin de wiskundige kennis is vastgelegd. Je kunt CH dus niet bewijzen en niet weerleggen op basis van de axioma’s. Je moet de waarheid ervan dus postuleren als een aparte aanname, een extra axioma. In 1963 bewees Paul Cohen dat je een model kunt maken dat voldoet aan de axioma’s van de verzamelingenleer en dat een willekeurig aantal punten bevat dat tussen de beide oneindige groottes van Cantor in ligt. Het gaat te ver om het bewijs hier te reproduceren, maar het komt op het volgende neer.

Vage verzamelingen

De logische relatie tussen een element en een verzameling is zo dat een element wel of niet tot een verzameling behoort. Als we de bewering “x zit in V” de waarde 1 geven als x in V zit en de waarde 0 als x niet in V zit dan is de waarde van de bewering “x zit in V of x zit niet in V” natuurlijk gelijk aan 1. Of x nu wel of niet in V zit. Een vage verzameling is een verzameling die hoort bij een vaag begrip (zoals kaal of oud). Een element hoort in een bepaalde mate tot een vage verzameling, zoals we ook van iemand zeggen dat hij een “beetje kaal” is of “heel erg kaal” is. Voor vage verzamelingen geven we de bewering “x zit in V” nu niet de waarde 0 of 1 maar eventueel een getal er tussen in. We zeggen dat x in een bepaalde mate in V zit. Maar de som van de waarden van de beweringen “x zit in V of x zit niet in V” stellen we nog steeds op 1. Het blijft waar dat x wel of niet in V zit ook al weten we niet in welke mate deze er wel en niet in zit. (Het lijkt op de situatie in de kwantummechanica waar we van een deeltje niet kunnen zeggen in welke toestand deze zich bevindt. We kunnen alleen een kansverdeling geven over de mogelijke toestanden waarin het zich bevindt. Het deeltje zit in zekere zin in verschillende toestanden tegelijk. Maar dit terzijde. Lees het mooie boek van Max Tegmark, Our Mathematical Universe.)

Bij tellen moet je de getelde dingen kunnen onderscheiden en benoemen. Een deelverzameling van gehele getallen is een mogelijke ‘naam’ voor de punten op een lijn. Daarvan zijn er overaftelbaar veel. En we hebben gezien dat je zo’n deelverzameling kunt gebruiken om een punt tussen 0 en 1 vast te leggen, te identificeren. Oneindige verzamelingen moet je vastleggen door een eigenschap te noemen van de elementen die erin zitten. Bijvoorbeeld alle even getallen. Maar er zijn ook vage eigenschappen en vage verzamelingen dienen als model ervan. Bijvoorbeeld het aantal haren op een hoofd dat niet kaal is. Zo’n vage verzameling legt niet precies een punt vast maar zegt in welke mate een punt wel of niet links van een gegeven punt ligt. Je kunt van zo’n punt niet zeggen waar het precies ligt; alleen dat het in een bepaalde mate links van een gegeven punt ligt waarin het niet rechts ervan ligt. Door gebruik te maken van dergelijke “vage” verzamelingen kon Cohen naar believen zoveel punten tussen 0 en 1 onderscheiden als hij wou. Hij bewees daarmee dat als je de axioma’s van de wiskunde aanneemt je een interpretatie (model) kunt construeren waarin deze axioma’s waar zijn en die een willekeurig oneindig aantal elementen (‘generic sets’) bevat, waarvan het aantal ligt tussen aftelbaar en overaftelbaar oneindig in.

Maar wat betekent dit nu voor het tellen van het aantal punten van een lijnstuk? De Noorse wiskundige Thoralf Skolem was van mening dat het probleem niet goed gedefinieerd is. Dan is het niet zo vreemd dat er verschillende antwoorden mogelijk zijn. Cantor stelde dat het continuum een verzameling is. En hij bewees dat er verschillende graden van oneindige verzamelingen zijn. Hij noemde dat de kardinaliteit van een verzameling. Met een diagonaalbewijs toonde hij aan dat er meer reële getallen zijn dan natuurlijke getallen. Skolem bewees: als je een model kunt maken waarin de axioma’s van de verzamelingenleer gelden, dan is er ook een aftelbaar model. Dat lijkt strijdig met het bestaan van een overaftelbare verzameling. Maar dat is het niet. De diagonaalconstructie van Cantor kan namelijk in dat model zelf niet uitgevoerd worden. Binnen de aftelbare wereld komt als het ware het diagonaalbewijs niet voor. Alleen buiten het model bestaat het.

De conclusie is dat er twee werelden zijn. De ene is de aanschouwelijke wereld, de fysische ruimtelijke wereld van de waarneming, de ruimte waarin we leven. De andere is de interne wiskundige reconstructie waarin we punten denken op een lijn. Die twee werelden zijn niet dezelfde. Weliswaar drukken we in de wiskunde iets van die wereld uit, een structuur, maar de aanschouwelijke wereld zelf is niet volledig daarin te beschrijven.

Samenvatting

Tellen is geen eenvoudige zaak. Vooral niet omdat je de resultaten van het tellen onder woorden moet brengen om ze eventueel te kunnen rapporteren. Het heeft geen zin om als resultaat van het tellen alleen een getal te noemen. Je moet er altijd bij zeggen wat de getelde eenheden zijn die je hebt geteld. Wanneer je daarover met anderen communiceert dan moet je het dus eens zijn over de identiteit van die eenheden (wat tellen we mee als IC-bed of als prik of als punt?).

We hebben gezien dat de wetenschap, en dat geldt ook voor de wiskunde, die de meest exacte wetenschap is, het niet altijd lukt zo’n precieze definitie te geven van wat men telt en hoe men dat beschrijft. Dat zit hem in de vaagheid van de dagelijkse woorden en begrippen. Daarom telt men vaak al voordat men het eens is over wat er geteld wordt.

Wetenschappers streven ernaar afstand te doen van de vage alledaagse taal en hun eigen modellen en taal te ontwikkelen. Dat wordt uiteindelijk een wiskundig model. “Als we aannemen dat de werkelijkheid bestaat onafhankelijk van de mensen, dan moeten we die kunnen beschrijven door middel van de wiskundige taal zonder ‘menselijke bagage woorden’” zegt de fysicus Max Tegmark van het Future of Life Institute. Maar de wetenschappers slagen daar niet in. Ze moeten altijd weer een beroep doen op de intuïtieve dagelijkse begrippen en woorden. Wanneer ze dat niet zouden doen zouden hun resultaten niets meer voor ons betekenen.

Dit is in feite het probleem waar de wetenschap in dit tijdperk van informatie en communicatietechnologie dagelijks mee kampt en dat telkens weer op duikt wanneer er geteld of gemeten moet worden. Wetenschapscommunicatie probeert de kloof tussen de dagelijkse taal en begrippen enerzijds en de constructies en taal van de wetenschappers anderzijds te overbruggen.

Tellen lijkt iets mechanisch te zijn. Maar ook als je telt moet je je verstand gebruiken. Machines weten niet wat ze moeten tellen.

Het voornaamste doel van het onderwijs is het ontwikkelen van de verstandelijke vermogens. Het is niet zozeer van belang wat er wordt onderwezen als het maar primair daarop gericht is. Hoe beter de mens zijn verstand gebruikt des te beter mens hij of zij is.

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.

Leave a Reply