De zielloosheid van de algoritmes en de ethiek aan de keukentafel

Ik kom uit een katholiek nest. Ik mocht wel op voetbal, maar alleen bij MKV’29, de enige plaatselijke katholieke voetbalvereniging, waarvan het eerste elftal ergens in een onderafdeling van de KNVB voetbalde. We leenden boeken bij de katholieke bibliotheek. Ik was daar een regelmatig bezoeker, want ik las veel en graag. Dat hield overigens op toen ik op de middelbare school verplicht werd te lezen. Via de leraar Nederlands probeerden mijn ouders nog invloed te hebben op wat ik las. Hij gaf me ‘Legt uw hart daarop’ van Judicus Verstegen mee voor mijn lijst. Maar waarom?

Het aantal boeken dat je mocht lenen was beperkt. Je ging met het na veel wikken en wegen uitgezochte stapeltje naar de mevrouw die achter een tafeltje zat de uitleenadministratie te doen.

“Je hebt een boek teveel”, zegt ze tegen mij. Ik kijk verbaasd op. “Ja, je hebt thuis nog twee boeken, zie ik.” Oh, zeg ik. “Welk boek wil je terug zetten?” vraagt ze. Ik ken de mevrouw. Ze zit hier vaak en ze weet wie ik ben: de zoon van de penningmeester. Mijn vader zit samen met haar in het bestuur van de bibliotheek. Dat deed hij veertig jaar. Hij kreeg er nog een lintje voor van de Koningin. “Ach, neem ze allemaal maar mee”, zegt ze, wanneer ze merkt dat ik moeite heb een keuze te maken. En ze schrijft voor elk van de geleende boeken op een uitleenkaartje de teruggeefdatum en steekt die in het boek achter het kaft. “Doe je de groeten aan je vader en moeder”, zegt ze als ik naar buiten ga.

Ik had geluk dat zij er zat. Soms zit er een jongeman de administratie te doen. Hij houdt zich strikt aan de voorgeschreven regels. “Regels zijn regels” zegt ie, als ik hem zeg dat ik ze heus de volgende keer allemaal weer terugbreng.

Ik weet niet of de katholieke bibliotheek, die draaide op vrijwilligers, nog steeds bestaat. Ik vermoed van niet. Maar als hij nog bestaat dan zit de mevrouw van de uitleenbalie nu zeer waarschijnlijk achter een beeldscherm. En als je dan een boek te veel mee wilt nemen, dan zegt ze ter verantwoording dat Het Systeem het niet aan kan. Je kunt max 3 boeken tegelijk lenen. “Maar weet u wel wie ik ben?”. “Ik ben wel de zoon van de penningmeester, hoor!” “Al was u God zelf, jongeman. De computer staat het niet toe. Ze kent u niet.” “God is dood”, citeerde ik Nietzsche. “En de techniek is zijn lijk” reposteerde hij, Mulisch citerend.

Het heeft iets rechtvaardigs. Gelijke monniken, gelijke kappen. Voor de regels is iedereen gelijk. Voor de regels ben je als individu slechts een geval.

De ethiek van de algoritmes

Je kunt je voorstellen dat een bibliotheekbestuur een ICT bedrijf in de hand heeft genomen dat een ‘intelligent uitleensysteem’ heeft ontwikkeld dat op grond van allerlei persoonlijke gegevens van de klant, waaronder de geschiedenis van het leengedrag, bepaalt hoeveel boeken er tegelijk geleend mogen worden. Het systeem maakt daartoe een lenersprofiel. Het kan de klant op grond hiervan ook behulpzaam zijn door boeken aan te bevelen. Sensortechnologie vervangt de mens achter de uitleenbalie. De klant interacteert met een ‘intelligente agent’ (’embodied’ en voorzien van spraakherkenning) op een beeldscherm. Het uitzoeken van een boek doe je thuis op de computer. Een robot legt het gevraagde boek in een soort buizenpost. De toevallige ontmoetingen met andere bezoekers tussen de naar muffe boeken ruikende stellingkasten. Die behoren tot een grijs verleden.

Het uitlenen van een boek als een sociale intermenselijke activiteit is de blijvende kern van het uitleensysteem. Alleen de technische implementatie en de organisatie heeft er een systeem van gemaakt waarin de functionele kern uitgedokterd is en los is komen te staan van de directe activiteit van persoon tot persoon die het uitlenen van iets in de kern is. Als er al ergens in dit systeem contact is van mens tot mens dan is dat vermoedelijk wanneer het systeem niet werkt.

Met de term ‘algoritme’ (een handelingsvoorschrift voor programmeerbare machines) wordt vaak een specifiek type algoritmes bedoeld, namelijk die op basis van gegevens (big data) met behulp van machine learning (ML) technieken, dat zijn statistische modellen, beslissingen nemen dan wel aan de gebruiker voorstellen. Ook het met gebruikersprofielen werkende bibliotheeksysteem behoort hiertoe. Statistieken gaan niet over individuen als individu. Ze gaan over populaties. Het individu is voor de statistiek een element van een verzameling, een waarde van een datatype.

Bedrijven en overheden maken steeds meer gebruik van algoritmes bij het leveren van hun diensten. Mensen hebben steeds vaker te maken met ‘slimme’ algoritmes die het leven besturen. Daar zitten niet alleen maar positieve kanten aan. Techniekfilosofen en ethici onderzoeken de problemen die de toepassing ervan met zich meebrengt. Onder de parapluterm Computer Ethiek wordt nagedacht en gedebatteerd over de ethische problemen waarvoor de moderne informatietechnologie de samenleving plaatst. De informatiefilosoof Luciano Floridi neemt daarin een vooraanstaande plaats in. Hij heeft er veel over gepubliceerd en zit in EU werkgroepen die rapporten schrijven.

Hier ligt echter de focus op algoritmes. Welke zijn de ethische problemen die het gebruik van algoritmes met zich meebrengt?

We zagen dat bij de technologisering van het uitlenen van boeken de concrete intermenselijke inhoud van deze activiteit uit het proces is verdwenen en bijna als iets negatiefs er tegenover komt te staan. Het proces dringt zich aan de mens op. Dit is een kenmerk van de technologisering, een proces dat door economische motieven, effectiviteitsverbetering, wordt voortgestuwd. We zien dit proces op alle terreinen waar algoritmes hun intrede doen en de menselijkheid uit de sociale processen haalt.

Om de ethische problemen te begrijpen moeten we dit proces begrijpen. Technologie begint bij het handelen van mensen en eindigt bij het menselijk handelen. Een analyse van de concrete menselijke activiteit is daarom gewenst.

We kunnen aan de menselijke bezigheid een aantal aspecten onderscheiden. Dat geldt zowel het spontane bezig zijn als de meer georganiseerde bezigheid zoals de arbeid. Het technische, het economische en het ethische aspect. Het gaat bij de bezigheid om een inzet waarbij een bedoeld resultaat wordt verkregen. Het technische betreft de methode of middelen die de inzet aan het uitwendige resultaat verbindt. Het economische betreft de kosten die de inzet met zich mee brengen om het resultaat te bereiken. Het ethische betreft de afweging van de morele waarden die een rol spelen bij de bezigheid.

De bezigheid moet menswaardig zijn. Of arbeid menswaardig is hangt af van de stand van de techniek. Het uitdiepen van een sloot met een schep is mensonwaardig werk wanneer er machines zijn die hetzelfde werk kunnen doen.

In het onmiddellijke bezig zijn, zijn de in de reflectieve analyse onderscheiden aspecten integraal en ongescheiden aanwezig.

Iedere bezigheid vereist van het subject een aantal min of meer specifieke vaardigheden. Deze vereisen specifieke vermogens die we onderscheiden in lichamelijke, verstandelijke en sociale vermogens, waaronder het vermogen zich in de directe omgang met medemensen te gedragen, volgens de geldende normen.

Zowel van degene die een boek uitleent als van degene die een boek leent verwachten we dat deze zich houdt aan deze normen. Binnen de familie en in een klassieke samenleving kennen de mensen elkaar en is het sociale handelen gekleurd door de individuele betrokkenen. Of en onder welke voorwaarden de een iets uitleent aan de ander is integraal onderdeel van de intersubjectieve relatie tussen de individuen, die elkaar kennen. Het individu ontleent zijn waarde aan zijn plaats in het netwerk van sociale verbanden. We zagen een overblijfsel van deze ‘primitieve’ vorm van interactie in het inleidend uitleenverhaal. De idee van een instituut als een uitleenbibliotheek is natuurlijk al een sociale constructie die het uitlenen van een eigen bezit institutionaliseert. Er zijn daartoe aspecten van het uitlenen onderscheiden. Zo is de gene die de administratie doet niet zelf eigenaar van de boeken. De klant is slechts als betalend lid bekend bij het instituut.

Het mathematische denken, de denkwijze van de experimentele natuurwetenschap en technologie kenmerkt zich door het afzien van het individuele. Deze wetenschappelijke denkwijze ziet het gegevene niet in relatie tot het individuele unieke van het moment, maar in functie van een algemene wetmatigheid. Ze is gericht op de formulering van algemene regels volgens welke de mens in relatie tot de natuur handelt.

Deze functionalisering die inherent is aan de mathematische natuurwetenschappelijke denkwijze zien we ook in het sociale leven. Allereerst in de arbeid. De mens zet zich zelf in als arbeider, als functionaris, die een bepaalde welomschreven taak heeft. Hij wordt een radertje in een machinerie.

Als de ethische problemen die gepaard gaan met het gebruik van algoritmes voortkomen uit het functionele denken in termen van algemene wetten en regels mogen we dan verwachte dat de oplossing van deze problemen gevonden kunnen worden door regels voor gedrag op te stellen? Ethische problemen los je niet op door regels op te stellen. Het gaat juist om de rechtvaardige toepassing van de geldende regels in concrete situaties, waarin het individuele juist in haar volheid wordt beleefd en gewaardeerd en niet alleen in relatie tot een algemene regels en wetten. Die laatste moeten zelf ook meegewogen worden en niet blindelings toegepast. Dit vereist een intelligentie die verstandelijk toepassen van regels te boven gaat. Het gaat om inzicht in de concrete situatie die om een eigen afweging vraagt.

In de literatuur over ethiek van algoritmes is onvoldoende aandacht voor de oorzaak van de ethische problemen die algoritmes met zich meebrengen. Die ligt in de aard van het mathematiserende en functionaliserende denken waarvan de algoritmes het produkt zijn.

Onlangs verscheen The ethics of algorithms: key problems and solutions, geschreven door onderzoekers van het Oxford Internet Institute, een instituut dat zich bezig houdt met de problemen van onze digitale samenleving. Het artikel is een vervolg op het in 2016 gepubliceerde “The ethics of algorithms: mapping the debate” van Mittelstadt et al. Over het doel van beide artikelen, waarvan de informatiefilosoof Professor Luciano Floridi co-auteur is, zegt het artikel:

“The goals are to contribute to the debate on the identification and analysis of the ethical implications of algorithms, to provide an updated analysis of epistemic and normative concerns, and to offer actionable guidance for the governance of the design, development and deployment of algorithms.”

Het paper biedt een literatuur review van publicaties over ethische aspecten van algoritmes tussen 2016 en 2020. Met name de ontwikkeling en het gebruik van AI algoritmes voor ‘socially good’ (AI4SG) is toegenomen. Het gaat daarbij om het voorspellen en beheren van sociale processen in de meest brede zin. Denk aan toepassingen op het gebied van overheidsdiensten, verzekeringen, publieke beveiliging (predictive policing) of medische toepassingen (gepersonaliseerde voorspellende geneeskunde).

Bovengenoemde artikelen geven aanbevelingen voor overheden betreffende wetgeving over ontwikkeling en gebruik van algoritmes en gegevens. Dat is des te urgenter naarmate men steeds meer geneigd is machines die voorzien zijn van slimme algoritmes (‘kunstmatige intelligentie’) als autonome ‘agenten’ te beschouwen. Denk aan ‘zelfrijdende auto’s’, en onbemande wapensystemen die zelf hun doelzoeken en beslissen of er sprake is van een vijandig object dat beschoten moet worden. De mens dreigt out-of-the-loop te raken en komt er alleen nog bij te pas als er iets mee is gegaan en de scherven moeten worden opgeruimd.

In Nederland verscheen begin dit jaar het rapport Aandacht voor Algoritmes over het gebruik van algoritmes door de Nederlandse overheid. De Rekenkamer heeft gekeken waar bij de overheid wat voor soort algoritmes gebruikt worden. Het gaat haar uiteindelijk om een (ethische) toetsing van het gebruik van algoritmes. Daartoe is een ethisch toetsingskader opgesteld. De vragen in het toetsingskader zijn opgesteld aan de hand van ethische principes. Zie onderstaande tabel.

Uit: Aandacht voor Algoritmes van de Rekenkamer

Wat opvalt is dat deze principes helemaal niet zo specifiek zijn voor het beoordelen van algoritmes. Het zijn principes die van toepassing zijn op het omgaan van mensen met elkaar.

De vraag is nu hoe het komt dat het gebruik van algoritmes er toe leidt dat deze principes weer zo nadrukkelijk moeten worden geherformuleerd. Waardoor komt het dat deze in het gedrang zijn geraakt?

De genoemde artikelen en rapporten zijn er vooral op gericht een praktische gids te bieden voor ontwerpers en gebruikers van algoritmes. Wat ze niet bieden is een analyse van de kern van het probleem. Die moeten we zoeken bij de functionalisering van een bepaald aspect van (sociaal) handelen. De technologie, met name de informatie- en communicatie-technologie speelt een centrale rol in dit proces. Het wordt gekenmerkt door abstractie, analyse, constructie en afstandelijkheid.

De behoefte voor een ethiek van algoritmes komt voort uit het feit dat door de functionalisering van ons werken en handelen de interactie van persoon tot persoon uit het zicht is verdwenen.

Het is de taak van de ethiek begrip bij te brengen die tegengewicht biedt tegen de tendens het individuele slechts in relatie tot abstracte wetten en algemene regels te zien in plaats van het individuele in zijn uniekheid en bijzonderheid te waarderen.

Het is dan ook niet voor niets dat de ambtenaren van de overheidsdiensten na de toeslagenaffaire het dringend advies kregen achter hun beeldschermen vandaan te komen en met de betreffende burgers die het slachtoffer werden van hun algoritmes ‘aan de keukentafel te gaan zitten’.

Bronnen

Floridi, L., Cowls, J., King, T.C. et al. How to Design AI for Social Good: Seven Essential Factors. Sci Eng Ethics 26, 1771–1796 (2020).

Floridi, L., Sanders, J. Mapping the foundationalist debate in computer ethics. Ethics and Information Technology 4, 1–9 (2002).

Mittelstadt BD, Allo P, Taddeo M, Wachter S, Floridi L (2016) The ethics of algorithms: mapping the debate. Big Data Soc.

Tsamados, A., Aggarwal, N., Cowls, J. et al. The ethics of algorithms: key problems and solutions. AI & Soc (2021). https://doi.org/10.1007/s00146-021-01154-8

Getallen tellen – over automatiseren

Kleindochter Lilly is nog geen zeven jaren jong wanneer ze mij met trots demonstreert hoe goed ze al kan tellen. Terwijl de jongste van amper twee het rijtje namen van de getallen van 1 tot 10 kan opzeggen, is bij Lilly het kwartje gevallen. Ze heeft het systeem in onze naamgeving voor de getallen ontdekt: van negentien, twintig, éénentwintig, twee-en-twintig, drie-en-twintig, …, gaat ze naar dertig, één-en-dertig, twee-en-dertig. En zo verder gaat ze. “Knap hoor”, onderbreek ik haar demonstratie.

En dan vraagt ze: “Opa, hoeveel getallen zijn er?” Als kleinkind kun je alles aan opa vragen. “Daar moet ik even over nadenken”, zeg ik. Ze heeft geen tijd om op het antwoord te wachten. Ze rent al weer naar buiten om met haar broertje verstoppertje te spelen.

Ze liet me enigszins verbaasd achter. Dat in een kind dat pas komt kijken zo’n vraag opkomt! Immers, hoeveel eeuwen heeft de mens er niet over gedaan voor dat hij de getallen als een soort van zelfstandige objecten lost trok van de dingen in zijn omgeving? Een omgeving waarin hij eenheden en verschillende veelheden onderscheidde en van verschillende namen voorzag. Plato wees er op dat getallen geen zintuiglijk waarneembare objecten zijn zoals stenen en stoelen. Het zijn ideële objecten, ‘gedachtedingen’. Waarna Aristoteles zich afvroeg wat de mathematische objecten dan met die werkelijkheid te maken hebben. En hoeveel eeuwen heeft het vervolgens niet geduurd voordat er een notatiesysteem werd ingevoerd voor de getallen. Ons tientallig positionele ‘plaatswaardestelsel’ is pas sinds de late Middeleeuwen in West-Europa in gebruik.

De Engelse medicus en filosoof John Locke (1632-1704) schreef in een reisverslag:
Sommige Amerikanen die ik sprak (en die waren echt niet gek) konden niet, zoals wij, tot 1000 tellen. Ze hadden geen enkel benul van dat getal.” (mijn vertaling)

Locke had het niet over de grondleggers van de Verenigde Staten van Amerika,
maar over de Tououpinambos, een volk dat diep in de Braziliaanse jungle leefde. Hun taal kende alleen de telwoorden voor de getallen van 1 tot en met 5. Kennelijk hadden ze geen behoefte aan meer dan deze vijf.  (Bron: Rochel Gelman and Brian Butterworth, 2005).

“Hoeveel getallen zijn er?” Om het antwoord te vinden moet je getallen tellen. Maar wat is dat voor merkwaardig gedoe? Er nog eens over nadenkend moest ik terug denken aan het onderzoek dat ik deed voor mijn afstuderen bij de afdeling wiskunde en informatica van de toenmalige Technische Hogeschool Twente. Dat ging over de relatie tussen wiskundig denken en automatisering.

Wat kinderen al vroeg leren is automatiseren. En dat begint met tellen. Ik realiseer me nu dat het begrip tellen en de toepassing ervan in het tellen van getallen alle aspecten van het historische proces dat tot de programmeerbare machines heeft geleid al in zich bevat.

Tellen: basale vorm van mathematiseren

Het tellen van dingen om het aantal te bepalen is de eerste en meest basale vorm van mathematiseren, een bijzondere manier van kennend en handelend omgaan met de werkelijkheid. Tellen is niet, zoals sommige mensen schijnen te denken een vorm van rekenen. Het is een eenvoudige vorm van meten. Het resultaat is informatie: het aantal van gegeven dingen wordt bepaald: er staan drie paarden in de wei.

Volgens mijn afstudeerdocent de logicus en filosoof Louk Fleischhacker zijn onverschilligheid en afstandelijkheid de termen die horen bij de mathematiserende kenhouding.

“It is a characteristic of mathematical thinking that it relates itself to something external to the subject performing it. That means that it regards the distinctions it creates as indifferent with respect to the unity of its object as well as with respect to its own doings. They are distinctions in thought only.” (Fleischhacker, 1995, p. 128).

Je kunt een appel in gedachten in tweeën delen. Die appel wordt er niet anders van.

Laten we even stilstaan bij de ons meest bekende vorm van mathematiseren, het tellen, om te begrijpen wat deze woorden betekenen. Zodra het kind het taalsysteem heeft ontdekt wordt het tellen iets automatisch, een mechanisch gebeuren dat zich als het ware buiten het denkende subject voltrekt. De inhoud staat als het ware buiten het denk proces van het subject, dat eigenlijk helemaal niet van hem of haar is. En zo is het ook in de intelligente logisch denkende machines. Deze vooronderstellen het mathematiseren van het denken (mathematische logica) en het uitdrukken van logische denkregels in een eenzinnige taal waarmee de machine rekent. De kunstmatige intelligente machine is de fysische realisatie van het denken als een door regels gestuurde activiteit waarbij de formele regels uitwendig zijn aan de inhoud ervan.

Het tellen als bron van het automatische rekenen

Wat zijn de vooronderstellingen waar de werkelijkheid aan moet voldoen opdat ze door ons geteld kan worden? Ze moet als telbaar voor ons verschijnen. Er moeten eenheden, dingen, onderscheiden worden. Meerdere goed onderscheidbare eenheden. Wanneer we die verschillende dingen tellen vatten we ze op als eenheden van hetzelfde. De waarneembare eigenschappen waarin de dingen van elkaar verschillen doen er voor het tellen niet toe. We staan daar volstrekt onverschillig tegenover. Het zijn allemaal dingen, allemaal dieren, allemaal paarden. Die watheid van de door ons getelde eenheden, maakt de continuïteit uit, het ene dat de veelheid van telbare dingen, objecten, uitmaakt en verbindt.

Verder moeten we onthouden wat we al geteld hebben. We moeten geen dingen dubbel tellen. Zonder geheugen is er geen telproces. We geven de dingen allemaal een eigen, bekende, naam. De ‘cijfernamen’: 1,2,3,…Het doet er niet toe welk ding we welke naam geven, als we ze maar allemaal een unieke naam geven. Die naam wordt door de volgorde van tellen voorgeschreven door het afgesproken systeem, de cijfertaal.

De namen van de cijfertaal en hun volgorde die we gebruiken bij het tellen, hebben we geleerd, zoals elk taal geleerd moet worden. Mijn kleindochter Lilly snapte het systeem van die taal en ontdekte dat ze alsmaar door kon tellen. De werkelijkheid biedt het stopcriterium voor het tellen. Het getelde aantal dingen drukken we uit in het laatste cijfer dat we gebruikten bij het tellen. Zo onthouden we het aantal getelde dingen en we kunnen dit aantal meedelen aan anderen. Het resultaat van deze meting: “Er staan drie paarden in de wei”. Dit resultaat, het aantal, is onafhankelijk van de specifieke volgorde waarin de dingen geteld zijn. (In de wiskunde doet het voor de inhoud van resultaat, een stelling of som, er niet toe hoe je de stelling bewijst of de som berekent. Het is een ‘uitwendig’ gedoe. Of de kinderen ‘kolomsgewijs’ van rechts naar links of van links naar rechts leren optellen is een onderwijskundige kwestie want voor het resultaat van de optelling is het om het even.)

We zien de vele eenheden die we tellen als elementen van een geheel, een nieuwe eenheid: een verzameling paarden. Elementen van een verzameling is abstracter dan individuen of leden van een groep of samenleving. Als elementen opgevat staan de dingen volstrekt buiten elkaar: ze hebben niets met de verzameling. Die is immers van buiten af door ons opgelegd. Tijdens het tellen, deze abstracte activiteit, is de werkelijkheid bevroren, onveranderlijk.

We vertrouwen op de onmiddellijke waarneming van de onderscheiden dingen die we telden. Deze waarneming is in het begin een sterk fysieke activiteit. Het kind raakt de dingen nog één voor één aan terwijl het telt: dit, dit, dit. Het aanwijzen is een vorm van meten: dit object, deze steen. Het aanraken is het houvast van het waarnemen.

Waar komen de cijfernamen vandaan?

In de namen, de woorden voor de dingen, zit de historische bepaaldheid van ons denken in het algemeen en het tellen in het bijzonder. Ooit moeten mensen die namen voor de getallen gemaakt hebben. Het heeft even geduurd voordat de abstracte getalsnamen los kwamen van de namen van de getelde dingen zelf. Sommige talen kennen nog verschillende woorden voor één en voor twee van hetzelfde. Bijvoorbeeld Grieks: anèr, man; andre; twee mannen. (Struik, 1977, p. 13) . Geleidelijk ontstaan cijfernaamsystemen. Struik geeft een voorbeeld uit het Kamilaroi, een taal van een Australische stam: 1 = mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-bulan, 5 = bulan-guliba, 6 = guliba-guliba (Uit: Conant, The number concept, blz. 106-107.)

Zo ontstaat het getalbegrip met de ontwikkeling van een eigen cijfertaal, de taal waarmee de individuele getallen als abstracte denkinhouden worden onderscheiden. Zonder de wiskundige objecten een eigen naam te geven (een identifier) kunnen we ze niet onderscheiden, er niet over denken en niet mee redeneren. De wiskundige heeft het over de driehoek D, de lijn l, de getallen x en y, etcetera.

De cijfertaal, zoals ons tientallig stelsel, is zelf een structuur. Zonder dat is het mechaniseren en automatiseren van het rekenen niet mogelijk. De organisatie van het telraam, het rekenmechaniek, reflecteert deze structuur.

Men kan zich voorstellen dat het enige tijd gekost heeft voordat men het getal 0 bedacht. Daarvoor moeten de wiskundige objecten immers los gedacht worden van de waarneembare, fysieke, objecten. Wie telt nou 0 objecten? Hoe kun je nul streepjes onderscheiden en optekenen, als je als afbeelding voor een aantal voor elk geteld element een streepje zet (IIII)? Wanneer het teken 0, mogelijk afkomstig van het Griekse woord ‘oudèn’ dat niets betekent, werd ingevoerd is onduidelijk. De 0 verving een lege plek of een punt in een positioneel notatiesysteem, een getalsysteem waarin de positie van het cijfer de waarde bepaalt, zoals in ons tientallig getalsysteem (203 is de naam van een ander getal dan 230 of 23), dat in de veertiende eeuw in West-Europa haar intrede deed. Het Romeinse systeem is enkele eeuwen ouder. Zie bijvoorbeeld (Butterworth 1999) voor een geschiedenis van de getalsystemen.

We zien dat bij het tellen van dingen er een afbeelding plaats vindt van de dingen op de ideële werkelijkheid van de getallen waardoor de werkelijkheid geordend wordt.

Zodra de getallen een eigen individueel bestaan hebben gekregen los van de zintuiglijk waarneembare werkelijkheid rijst de vraag hoeveel er van zijn. En of er ook een grootste getal is. Dit is de vraag die opkwam bij mijn kleindochter toen ze de regelmaat in ons getalnamensysteem zag en ontdekte dat ze alsmaar verder kon tellen. “Hoeveel getallen zijn er?”, vroeg ze.

De idee dat de getallen zelf te tellen zijn is een merkwaardig iets. Wat je telt zijn immers de door ons zelf gemaakte dingen (objectivaties) van abstracties die we gemaakt hebben voor het tellen van echte waarneembare dingen, zoals knoopjes of zandkorrels. De getallen zijn zelf telbare objecten geworden. Het getal is het getelde als telbaar. We hebben ze een volgorde gegeven, de volgorde die hun identiteit uitmaakt: vier is wat na drie en voor vijf komt. Met het getal 0 of 1 en de opvolger-relatie ligt het hele getal-systeem vast. De getallen schrijven vanwege hun identiteit als geordende getallen voor in welke volgorde we ze zullen tellen. De taal legt deze volgorde vast. We identificeren de getallen met hun unieke namen (‘identifiers’, de rigid designators van Saul Kripke) in het door ons gebruikte getalnamensysteem. Wanneer je de getallen telt dan volg je de ordening van de getalnamen. Je begint niet bij 23 te tellen en dan 45 en dan 321, of zo wat.

In het tellen van de getallen buigt het wiskundig denken zich op zichzelf terug: het werkt op het resultaat van zijn eigen ontwikkeling die bestond uit de creatie van de getallen als objectivatie van de abstractie van de werkelijkheid als telbaar. Deze zelfreflectie van het wiskundig denken zien we in de aanvang van de vorige eeuw in de meta-mathematica en de mathematische logica, de wiskundige formalisering van het wiskundig redeneren.

Het tellen van de getallen is een nutteloze bezigheid. Deze nutteloosheid komt tot uitdrukking in de oneindigheid ervan. Er is geen stopcriterium in de externe werkelijkheid die geteld wordt. Als er niets in de werkelijkheid is dat geteld wordt heeft tellen geen nut.

Soms is het handig de dingen zo geordend te denken dat we gebruik kunnen maken van de structuur van de getallen. Vier rijen van vijf huizen is totaal twintig huizen, omdat 4 keer 5 20 is. De zuivere rekenkunde biedt technieken voor het handiger tellen en voor het handiger rekenen in het algemeen. Zoals eerder opgemerkt, het resultaat, het aantal getelde objecten, is onafhankelijk van de methode van tellen en rekenen. Zoals de inhoud van de wiskundige stelling onafhankelijk is van de wijze van bewijzen. (En deze uitwendige relatie is typisch voor het wiskundig denken.)

We zien in het tellen reeds de begripsmatige kern van de automatisering. Het zijn de cijfers, de getalnamen, de identifiers, die voorschrijven hoe de getallen geteld worden. De taal die een wezenlijke rol speelt in de automatisering is de uitwendige vorm van het rekenend denken (de vorm van denken die door Heidegger als karaktertrek van onze westerse cultuur werd gezien). De taaltekens werken in de machine volgens de betekenis die ze voor ons hebben. Het tellen van de telgetallen is een inhoudsloze beweging met een onbereikbaar doel, het vaststellen van het aantal dat zelf door het denken groeit. De getallen tellen zichzelf. Het zijn de werkende tekens van onze rekenmachines.

Wanneer je een antwoord wilt hebben op Lilly’s vraag moet je de getallen tellen. Dat doe je met…getallen.

Het is een vreemde gedachte: dat getallen zichzelf zouden tellen. Maar we zien hier wat er gebeurt wanneer we proberen op een wiskundige manier de werking van een geprogrammeerde machine te begrijpen en te beschrijven. Zo’n machine bevat het voorschrift voor zijn eigen werking in de vorm van een in fysieke toestanden van de machine uitgedrukte code (het programma). We zeggen dat zo’n machine ‘vanzelf’ werkt. (Dat is iets anders dan ‘uit zichzelf’.) Het ‘zelf’ van de machine is het programma, het ontwerp dat de werking ervan beschrijft.

De afstudeeropdracht

In 1979 studeerde ik af als wiskundig informaticus op een onderzoek op het gebied van de wiskundige semantiek van programmeertalen volgens de recursieve domein theorie van de logicus Dana Scott. Daarin verdedig ik de stelling dat de mathematische uitdrukking van het principe van de programmeerbare zichzelf reproducerende automaat de uitdrukking Z(Z) = Z(Z) is, waarbij Z = λx.x(x), de zelfapplicatie functie is (in termen van de lambda-calculus, een taal voor het rekenen met functies). Dit is overigens geen wiskundige stelling. Het is meer een stelling over de relatie tussen wiskunde en de automatisering van het rekenende denken.

Leibniz voerde de ‘functio’ in als een variabele die van een andere variabele afhangt. De wiskunde had er moeite mee en het heeft enige tijd geduurd voordat functies als eerste-klas wiskundige objecten werden beschouwd. Als verzameling is een functie een verzameling paren (a,b), waarbij a het origineel is dat afgebeeld wordt op b. Maar een functie is ook een regel volgens welke a op b wordt afgebeeld.

De lambda-calculus is een formele theorie van functies. De eerste versie werd door Alonzo Church ingevoerd om als basis te dienen voor de gehele wiskunde, als alternatief voor de axiomatische theorie van verzamelingen. In latere versies kunnen precies alle op een computer berekenbare functies gedefinieerd worden.

De lambda-calculus heeft twee basisoperaties. De eerste is de lambda-abstractie, waarmee een functie wordt gemaakt op basis van een expressie. Bijvoorbeeld λx. (x+1) is de functie die ieder object x afbeeldt op het object x+1. De tweede operatie is de functie-applicatie. Bijvoorbeeld: als de functie t = λx. (x+1) dan is t toegepast op 2 : t(2) = λx. (x+1) (2) = 2+1 = 3.

Dus als Z de zelfapplicatie functie is : Z = λx. x(x), dan levert Z toegepast op Z zelf het volgende resultaat: Z(Z) = Z(Z) = Z(Z) = …

De zelfapplicatie functie toegepast op de zelfapplicatie functie zelf levert als resultaat deze zelfde zelfapplicatie weer op; een oneindig voortdurend proces van zelfreproductie. De zelfreproductie is de slinger van het onbelaste wrijvingsvrije slingeruurwerk dat zichzelf in stand houdt met het slingeren. Maar ook de teller die zichzelf reproduceert als teller in het telproces dat verloopt volgens de ordening van de getalnamen: … dertig, één-en dertig, twee-en-dertig, …Het tellen van de getallen geprogrammeerd door het notatiesysteem van de cijfers. Het is de machine die zichzelf in het werken in stand houdt.

Wat is de betekenis van een computerprogramma? Wel, de functie ervan is voor te schrijven hoe invoerwaarden moeten resulteren in uitvoerwaarden. Wiskundig gezien een functie die invoerwaarden afbeeldt op uitvoerwaarden. Een simpele opdracht als x := x +1 heeft als betekenis de functie t die bij de invoer 1 optelt: t = λx. (x+1). Bijvoorbeeld: t(2) = 2+1 = 3.

Dit simpele programma stopt na één enkele stap. Een wat serieuzer programma zorgt voor meerder stappen (eventueel ‘oneindig’ veel, zoals een besturingsprogramma) afhankelijk van de invoer ervan. Zo’n programma moet zichzelf weer aanroepen.

Welke functie hoort er bij een programma dat zichzelf meerder keren aanroept? Een voorbeeld.

De lengte van een lijst: een recursieve definitie

We kunnen precies definiëren wat we onder de lengte van een lijst verstaan. Voorbeeld van een lijst is een boodschappenlijst. Het is een opsomming van items. Een lijst is een type data-structuur. Bijvoorbeeld: [a,b,c,d] is een lijst met 4 elementen, waarvan a het eerste element is; ook wel de kop van de lijst genoemd. De lijst die je overhoudt wanneer je de kop eraf haalt heet de staart. We noteren: (a:[b,c,d]) om aan te geven dat a de kop is van de lijst [a,b,c,d]. De lege lijst noteren we als []. (a:xs) is de lijst met a op kop met er achter de lijst xs.

We kunnen nu definieren wat de lengte van een lijst is. Dat is het aantal elementen dat in de lijst staat:

lengte [] = 0 , de lengte van de lege lijst is 0

lengte (a: xs) = 1 + lengte (xs), oftewel de lengte van een niet-lege lijst is 1 + de lengte van de staart xs van de lijst.

Merk op dat de definitie circulair lijkt te zijn: het gedefinieerde komt rechts in de omschrijving voor. Dat is echter niet helemaal zo. De lengte wordt impliciet gedefinieerd door een recursieve definitie die zegt hoe de lengte van een bepaalde gegeven lijst uit die van een andere lijst (de tail ervan) kan worden berekend.

De lengte van een oneindige lijst is onbepaald. Het proces dat de lengte berekend komt niet tot een einde.

We kunnen de definitie van de lengte functie ook in één regel samenvatten:

F(xs) = als xs=[] dan 0 anders 1 + F(tail (xs)) (*)

Deze definities hebben de vorm van een rekenvoorschrift. Ze kunnen direct gebruikt worden om de waarde ervan voor een gegeven lijst te berekenen. Het zijn computer programma’s in een functionele taal (zoals Haskell of Miranda).

Programmeurs specificeren functies en data-structuren. De uitvoering van de recursieve opdracht houdt een herhaling in van dezelfde operatie op telkens een kortere lijst. Tot de overgebleven lijst leeg is. Dat is het stopcriterium. Volgens de wiskundige recursie theorie bestaat bij een dergelijke recursieve definitie altijd een functie die we als de betekenis van het programma kunnen opvatten. Deze functie kan expliciet gemaakt worden door middel van een zelfapplicatie van een hogere orde functie.

Die heeft de vorm: F (x) = G (G, x).

Waarbij:

G (f,xs) = als xs = [] dan 1 anders 1 + f(f, tail(xs))

De functie F is gedefinieerd door G die op zichzelf wordt toegepast. G is zelf ook gedefinieerd met behulp van zelfapplicatie, namelijk van zijn eerste argument, de functie f, hierboven gedefinieerd door (*).

Om de betekenis van een recursief programma op wiskundige wijze uit te drukken als een functie F die een invoer afbeeldt op een uitvoer, waarvoor we een rekenmachine gebruiken, moet deze functie gedefinieerd worden door middel van een zelfapplicatie van een zelfapplicatie.

In deze zelfapplicatie komt op wiskundige wijze tot uitdrukking dat de toestanden van een automaat zelf zorgen voor de toestandsovergangen die overeenkomen met de betekenis ervan. De zelfapplicatie als functie toegepast op zichzelf is de theoretische uitdrukking van de zichzelf reproducerende machine. Een machine is zodanig gemaakt dat deze niet alleen iets uitvoert, iets zinvols produceert, maar ook zichzelf reproduceert. Het blijft dezelfde machine die blijft werken.

In het tellen van de getallen herkennen we deze zelfapplicatie.

Zelfreproductie van de levende cel

Zelfreproductie is één van de meest belangrijke karakteristieke kenmerken van levende organismes. In (Andrade et al. 2011) claimen de auteurs dat dit idee wiskundig uitgedrukt kan worden in de zelf-refererende vergelijking f = f(f). Naar één van de oudste mythische symbolen, tonende een slang die zichzelf in de staart bijt, wordt deze de Ouroboros vergelijking genoemd.

De Ouroboros slang

De uitdrukking van de zichzelf reproducerende automaat door middel van een zelfapplicatie van een zelfapplicatie, formeel als Z(Z) waarbij Z = lambda x. x(x), (Op den Akker, 1983; Fleischhacker 1982) gaat een stap verder dande Ouroboras vergelijking, de zelfapplicatie uitdrukking f(f) = f in (Andrade et al. 2011).

De uitdrukking Z(Z)=Z(Z) kan gezien worden als de dynamische tegenhanger van de Ouroboros vergelijking f(f) = f van Andrade e.a.

Vanwaar het verschil tussen beide gelijkheden? De levende cel is niet een realisatie van een expliciet in de cel uitgedrukt programma, zoals de automaat dat is. Bij de cel is dit hoogstens aanwezig doordat wij het erin zien. Bij de automaat verklaart het programma de werking van de machine. De machine is zo door ons gemaakt. Het refereren naar een programma kan echter, zoals de biochemicus en filosoof Jacques Monod opmerkt, niet als wetenschappelijke verklaring dienen voor de zelfreproductie van de levende cel, zoals dat voor de geprogrammeerde automaat wel kan.

Tot slot: het antwoord op Lilly’s vraag

Er zijn oneindig veel getallen. Dat had ze waarschijnlijk al wel een vermoeden van. Dat het tellen net zolang door kan gaan als ze zelf wil.

We noemen deze getallen natuurlijke getallen. Omdat je ze af kunt tellen noemen wiskundigen het aantal aftelbaar oneindig.

Zijn er nog andere soorten oneindig? Daarover zijn de meningen verdeeld. In de Middeleeuwen vroegen de geleerden hoeveel engelen er op de punt van een naald passen. Een moderne variant is: hoeveel punten er op een lijn liggen. Dat zijn er volgens sommigen meer dan aftelbaar oneindig veel. Je kunt bewijzen dat er te weinig namen van gehele getallen zijn om ze allemaal een eigen unieke naam te geven. We moeten ze een unieke naam geven om ze uit elkaar te houden en om ze te kunnen tellen. Merk op dat wiskundige punten geen dikte of lengte hebben. Net als engelen. Er is wel voorgesteld om andere ‘namen’ te gebruiken om punten aan te geven. Zoals bijvoorbeeld: ‘het aantal graankorrels in een hoop graan’. Of ‘het aantal haren op het hoofd van iemand die niet kaal is’. Dat zijn vage verwijzers. Ze wijzen niet precies een punt aan zoals een getal, maar alleen een vage locatie ten opzichte van een gegeven punt op een lijn.

Mensen verwarren vaak de exactheid van de wiskundige objecten, zoals getallen en meetkundige figuren, met de imperfectie van de toepassingen van de wiskunde, zoals bij het meten en het modelleren van de werkelijkheid.

De wiskunde schiet tekort om de veranderlijke werkelijkheid te beschrijven.

Bronnen

Brian Butterworth (1999). The mathematical brain. MacMillan, 1999.

Rieks op den Akker (1979). Zelfapplicatie en zelfregulatie. Doctoraalverslag Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling Toegepaste Wiskunde, 1979.

Rieks op den Akker (1983). De zelfstandigheid van automaten en de semantiek van programmeertalen, Intern rapport Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen (ook als intern rapport verschenen bij de Onderafdeling der Informatica). Dit is een bewerking van mijn afstudeerverslag verschenen bij de onderafdeling Informatica van de TH Twente (1979).

Jorge-Soto Andrade, Sebastian Jaramillo-Riveri, C. Gutiérrez & J. Letelier (2011). “Ouroboros avatars: A mathematical exploration of self-reference and metabolic closure.” ECAL (2011).

Louk Fleischhacker (1976). Wijsbegeerte van het wiskundig denken. Syllabus van het collegejaar 1975/76. Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen, 1976.

Louk Fleischhacker (1982). Over de grenzen van de kwantiteit. Proefschrift Universiteit van Amsterdam, 1982.

Louk Fleischhacker (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Rochel Gelman and Brian Butterworth (2005) Number and language: how are they related?, Trends in Cognitive Sciences, Volume 9, Issue 1, 2005, Pages 6-10,

D.J. Struik (1977). Geschiedenis van de wiskunde. SUA, Amsterdam, 1977.

Het bodemloze grondbeginsel en de woede van Mohammed

“Nihil est sine ratione” (Leibniz)

De roos is zonder waarom; zij bloeit omdat ze bloeit. Zij let niet op zichzelf, vraagt niet of men haar ziet.” (Angelus Silesius)

Het denken moet het van de taal hebben. Dat geldt zowel voor het berekenende denken als voor het dichterlijke en filosofische denken. Wat dat laatste betreft: er is geen filosoof die deze stelling beter demonstreert dan Martin Heidegger. En er is geen filosoof die beter heeft begrepen hoezeer ons denken afhankelijk is van de taal en zich door de taal laat misleiden dan Ludwig Wittgenstein. Wittgenstein heeft ons als het ware voor Heidegger gewaarschuwd. De zin kan niet zelf zeggen of deze waar is. Pas op voor de misleiding door de taal! Niemand hoeft u te zeggen hoeveel onzin er wordt beweerd.

Beide filosofen hebben zich met de taal verstaan. Beide hebben geprobeerd het verschil tussen de verschillende denkwijzen en hun relatie tot de taal te verantwoorden. Heidegger door terug te kijken naar de oorsprong van de woorden, Wittgenstein door constructief van binnenuit het zinvolle, functionele, taalgebruik af te grenzen tegenover het misbruik van de taal in de filosofie. De wereld is alles wat het geval is. En wat het geval is laat zich in heldere zinnen uitdrukken, in de formules van de propositielogica. Over wat daar buiten is, daarover moeten we maar zwijgen. Niet omdat dat niet van waarde zou zijn. Integendeel! Juist omdat het van waarde is.

We weten wat het denken heeft opgeleverd. Het berekenende denken is overgenomen door de machines. Wat kan dit denken anders opleveren dan denkende, berekenende, machines! De machine spreekt de taal die gereduceerd is tot een middel voor het transporteren en verwerken van informatie. Mensen en machines informeren elkaar. Ze vormen daarin de werkelijkheid, de mens incluis.

Deze voorstelling, deze werkelijkheid, van mensen en machines die elkaar informeren en al communicerend de werkelijkheid van het leven uitmaken, roept de vraag op naar de zin. Ligt deze buiten deze machinerie? Of is de zin dit leven zelf? Het leven van de cel bestaat uit celdeling, het leven van de vlinder uit zich voortplanten. Het leven houdt de soort in stand. Waartoe?

We vragen niet meer naar oorzaken, naar de grond van het zijn, nu deze vraag haar antwoord heeft gevonden in de autonome machines, die werken volgens de in hun taal voorgeschreven programma’s. De vraag is nu naar de functie, het nut, de zin van dit alles. Wat is de zin van een economische machinerie waarin mensen functioneren als raderen in een machine? Bepaalt deze zelfstandig werkende machine, die volgens zijn eigen in taal uitgedrukte programma werkt zelf wat de zin is van zijn werken? Waar vinden we als individu nog zin? Is er nog zin buiten de economie, buiten de autonome werkende, denkende, vechtende machines.

Hoe zijn we, de moderne westerse mens, hier terecht gekomen? De moderne mens levend in een tijd die wordt beheerst door informatie over de nieuwste technologische snufjes die ons helpen ons gemedicaliseerde leven gezond te leven, over de dreigende uitputting van de schaarse bronnen en over de miljoenen ontheemden die van hun grond en huis en haard zijn weggevlucht op zoek naar een nieuwe plek waar ze thuis kunnen zijn.

De modern denkende mens streeft naar autonomie, een leven onafhankelijk van alles wat zijn streven vrij te zijn belemmert: afkomst, cultuur, historie, het lichaam en geslacht dat hem gegeven is, de aarde, de taal? Wat is de oorsprong van dit streven? Waar vindt hij zijn identiteit?

Aan de hand van Heidegger kijken we terug. Op zoek naar de grond.

Nihil est sine ratione: niets is zonder grond

In zijn lezing Der Satz vom Grund (1957) en in zijn collegereeks tijdens het wintersemester 1955/56 aan de Universiteit van Freiburg analyseert Heidegger een stelling die ons westerse denken eeuwenlang heeft bepaald, een grondbeginsel, principe of axioma van het denken: nihil est sine ratione in het Latijn; niets is zonder grond.

Heidegger hecht er veel waarde aan, op te merken dat het West-Europese denken er pas na een ‘incubatietijd’ van drieëntwintighonderd jaar in slaagde dit beginsel als beginsel van het denken en filosoferen te formuleren. Filosoferen deden de Grieken al vanaf de zesde eeuw voor Christus. Vanaf het begin is er de vraag naar de grond. Pas in de zeventiende eeuw formuleerde Leibniz het beginsel in deze vorm. Leibniz was wiskundige. Hij introduceerde onder andere de term ‘functio’, als uitdrukking van wat ons wiskundig functie-begrip zou worden, om aan te geven hoe de lengte van het stuk van de y-as afhangt van het punt waarvan uit je een raaklijn aan een gegeven kromme in het x/y-vlak trekt.

Leibniz was rechtsgeleerde die een nieuwe rekentaal invoerde waarin voor en tegen argumenten en feiten (met kansen) kunnen worden beschreven zodat in de rechtszaal berekend kon worden wie het gelijk aan zijn zijde had. Calculemus! Laten we uitrekenen wie de waarheid spreekt. Leibniz ontwierp een rekenmachine. En hij was theoloog en filosoof. Bekend is zijn uitspraak dat we in “de beste van alle mogelijke werelden” leven. Het ligt in de almacht en het alziend oog van God dat hij deze wereld heeft gekozen uit het scala van mogelijke werelden die hij zich kon voorstellen. Ook God ontkomt niet aan het universele causaliteitsbeginsel: alles heeft een oorzaak. God is zijn eigen oorzaak en reden. De idee God van de moderne filosofie is de God als causa sui. Ook voor Descartes is het bestaan van God gevolg van zijn eigen wezen. Anders dan in de Middeleeuwen is God niet meer onveroorzaakt. God valt voortaan onder het gezag, de stelling van de menselijke rede.

Heidegger zou geen filosoof zijn als hij niet tot de conclusie kwam dat het grondbeginsel ook op zichzelf betrekking heeft.

In de aantekeningen van zijn Tweede College over Der Satz vom Grund lezen we:

“Naar wij beweren moet het hét beginsel aller beginselen zijn. Op de spits gedreven betekent dit: het beginsel van grond is de grond van alle beginselen. Het beginsel van grond is de grond van het beginsel.” (p. 22)

En:

“Hier draait iets om zichzelf heen. Hier krult iets naar binnen, maar het sluit zich niet af, het ontgrendelt zichzelf op hetzelfde moment. Hier heb je een ring, een levende ring, zoiets als een slang. Hier heeft iets zichzelf bij de staart. Hier heb je een begin dat al is afgerond.” (p. 22)

Het Ouroboros symbool, waarnaar (Andrade 2011) de gelijkheid f(f) = f noemt

In 2011 duikt het oude Griekse symbool Ouroboros, tonende een slang die zichzelf in zijn staart bijt, op in een artikel van vier Chileense wetenschappers. Het artikel heet: Ouroboros avatars: A mathematical exploration of Self-reference and Metabolic Closure. De auteurs zijn de wiskundige Jorge Soto-Andrade, de biologen Sebastian Jaramillo en Juan-Carlos Letelier en de informaticus Claudio Gutierrez. Het gaat over zelfreproductie als één van de meest belangrijke karakteristieke kenmerken van levende organismes. De auteurs trachten dit begrip op zuiver wiskundige wijze tot uitdrukking te brengen. Ze claimen dat dit idee wiskundig uitgedrukt kan worden met de zelf-refererende vergelijking f = f(f). De functie f is dekpunt van zichzelf. Een triviale oplossing van deze gelijkheid is de identiteit, de functie die bij ieder argument waarop het wordt toegepast dat argument zelf weer oplevert.

We moeten een onderscheid maken tussen ‘uit zichzelf’ en ‘vanzelf’.

In 1979 studeerde ik af als wiskundige informaticus op een onderzoek op het gebied van de mathematische semantiek van programmeertalen volgens de recursieve domein theorie van Dana Scott. Daarin verdedig ik de stelling dat de mathematische uitdrukking van het principe van de programmeerbare zichzelf reproducerende automaat de uitdrukking Z(Z) = Z(Z) is, waarbij Z = λx.x(x), de zelfapplicatie functie is. Dit is de dynamische tegenhanger van de Ouroboros vergelijking f(f) = f van Andrade e.a. De zelfapplicatie van de zelfapplicatie levert als resultaat deze zelfde zelfapplicatie weer op; een oneindig voortdurende proces van zelfreproductie.

“Niets is zonder grond. Dit beginsel zegt nu: om het even wat gaat door voor een zijnde wanneer en ook alleen wanneer het voor het voorstellen als een berekenbaar object is gewaarborgd.” (p. 149)

Het machtige principe van Leibniz : “niets bestaat waarvoor geen toereikende bestaansgrond kan worden aangevoerd” ontleedt zijn macht aan “het feit dat dit principe erover beschikt wat als object voor het voorstellen mag gelden, of algemeen wat voor iets zijnds mag doorgaan.” (p. 149).

Dit voorstellend, rekenende denken is het mathematische denken. In (Fleischhacker 1976, 1982, 1995) wordt de mathematische zienswijze in verband gebracht met de overheersende nuttigheidsidee (Hegels idee van het reine Nützen en de wezenloze nuttigheid). De onbetrokkenheid van het kennend subject in de mathematische zienswijze geeft de uitwendige structuur van dat alles middel, nuttig, is voor iets anders. Is er iets buiten de nuttigheidskringloop waarvoor dit alles nuttig kan zijn?

“Het beginsel van grond is het grondbeginsel van het redelijke voorstellen in de zin van het voorstellende rekenen.” Het is dit principe dat volgens Heidegger zijn stempel drukt op de ‘moderne tijd’.

“We weten vandaag de dag (het is 1957 wanneer Heidegger deze woorden spreekt! RodA) zonder het al echt te begrijpen, dat de moderne techniek er onstuitbaar toe aanspoort om haar voorzieningen en producten overal in te voeren en tot het uiterste te perfectioneren.” (p. 150).

De moderne techniek zet aan tot de grootst mogelijke perfectie. De perfectie berust op de algemene berekenbaarheid van de objecten.” (p.150)

Heidegger schets vervolgens het tijdsbeeld van het atoomtijdperk waarin het erom gaat de vrijgekomen energie nodig voor de productie van goederen die de groeiende consumptieve behoeften moeten bevredigen, aan banden te leggen. De mens moet zich telkens weer van het leven verzekeren.

Het heeft er alle schijn van dat het niet meer de economische behoefte is die de techniek bepaalt, maar omgekeerd dat het de technologie is die de behoeftes creëert.

Heidegger zag dit reeds gebeuren en meende dit te begrijpen vanuit de almacht van het beginsel van de grond. De technologie is de motor van de kapitalistische economie. De politiek is er op gericht de behoeftigheid van de burgers in stand te houden. Daarom moet er met spoed een ‘duurzame’ oplossing komen voor het energieprobleem !

“Het trefwoord voor deze grondhouding van het huidige bestaan luidt: informatie.” (p. 154)

We zijn tegenwoordig dan ook eerder geneigd van het informatietijdperk te spreken. De voorstelling van de taal als instrument voor informatieverstrekking heeft in toenemende mate de overhand gekregen. De machines spreken en verstaan onze taal.

We weten inmiddels waar de informatietechnologie toe geleid heeft. Het wereldwijde internet en de sociale media (Twitter, Facebook, Instagram) hebben van de wereld een netwerk van anonieme informatieknooppunten (agenten) gemaakt. Wat Heidegger vergat te zeggen is dat de zin (der Satz), de propositie waarmee Leibniz de band tussen subject en predikaat uitspreekt, niet van zichzelf zegt of deze waar is. Daar had Wittgenstein ons in zijn Tractatus al voor gewaarschuwd.

“Ein Satz kann unmöglich von sich selbst aussagen dass er wahr ist.” (Ludwig Wittgenstein, Tractatus, 1918)

De waarheidswaarde van de zin staat volgens de moderne technische opvatting over de relatie tussen taal en werkelijkheid buiten de beweringsinhoud van de zin. Mensen gebruiken zinnen. Niet omdat ze waar zijn, maar vanwege het beoogde effect.

Niet alles wat zich voordoet als informatie is werkelijk informatie, zegt de informatiefilosoof Luciano Floridi. “Informatie is pas informatie wanneer de inhoud ervan waar is”. Wanneer is informatie waar? Wanneer ze geborgen is in de gegevens. Data is de basis van de ware informatie. De gegevens zijn vanzelfsprekend en onmiddellijk. Dat is waarop we staan en waarop we vertrouwen. Informatie moet om ware informatie te zijn op data berusten. Dit is de moderne variant van der Satz vom Grund. Wat de machine spreekt, hoe de machine beslist, dat hangt af van de gegevens die hij geleerd heeft. Dat is de bias, de grond van het oordeel.

Hiermee komt een andere vergeten kant van de animal rationale, de redelijk mens die in Der Satz vom Grund zijn geborgenheid in de wereld veilig wilde stellen, naar voren. De mens leeft altijd al vanuit een plek in een geboortegrond waar hij een taal heeft horen spreken en heeft leren tellen, (het tellen is het eerste automatische spreken), voor dat hij beseft hier thuis te zijn en een taal te spreken waarin de wereld op een wijze verwoord is waarin zijn denken thuis is. Pas later zal hij wanneer hij hoort van andere talen het verschil beseffen tussen de woorden, het denken en de dingen, tussen “Dit is een brood” en “Zij noemen dit ‘un pain'”.

De moderne mens is een vluchteling, een ontaarde mens. Om oorlog te voeren hoeft hij zijn huis niet uit. Hij stuurt een drone die zelf het vijandelijk doel zoekt. Zijn werken is niet aan een plek gebonden. Overal waar internet is kan hij informatie uitwisselen met de ander, met agenten, mensen of machines. Dit is de bodem die de moderne mens mist. Dit gemis, deze lege plek is de frustratie en de woede van Mohammed de ontheemde vluchteling uit Syrië die zegt; wat moet ik hier mee lopen in de tredmolen van elke dag terwijl daar in mijn eigen land mijn volk lijdt onder de oorlog, exportproduct van het rijke westen.

De causa sui idee heeft in de loop van de geschiedenis de strekking gekregen het wezen van de menselijke vrijheid, de autonome mens, uit te drukken. Maar een soortgelijke autonomie wordt aan de informatieverwerkende systemen toegekend. Dit wijst op het dubbelzinnige karakter van de causa sui idee. Iets kan wel bron zijn van zijn eigen activiteit, zijn eigen handelen, dat betekent nog niet dat het zijn eigen bestaan heeft veroorzaakt.

De creatie van de mogelijkheid wat dan ook te kunnen is iets anders dan over de mogelijkheid beschikken dit of dat te doen. De verwarring tussen deze twee, de identificatie van het logisch mogelijke en het feitelijk mogelijke, alsof het tegendeel van wat feitelijk zo is ook nog steeds mogelijk zou zijn, dat is een kenmerk van het moderne rekenende, mathematische denken. Leibniz dacht vanuit de God voor wie er geen ontologisch onderscheid bestaat tussen feitelijk mogelijk en logisch mogelijk. Wat feitelijk is is gegrond in de volstrekte willekeur van God. Hij heeft vanuit zijn goedheid besloten dat dit de beste keus is uit een veld van mogelijkheden. De God van Leibniz stelt dat het zo is en dan is het zo. Mathematischer kan een mens niet denken!

Is er een alternatief?

Heidegger zocht een alternatief voor het rekenende, mathematische denken dat ons in het atoomtijdperk en in de anonimiteit en subjectloosheid van de informatiecultuur heeft gebracht in de taal van de dichter. Hij haalt Goethe aan.

Hoe? Wanneer? Waar? – De Goden blijven stom! Houd je aan het wijl en vraag toch niet waarom?

In zijn Metafysica – van orde naar ontvankelijkheid, een boek dat mij opnieuw op het spoor zette van de Causa sui idee als draad door de geschiedenis van het mathematische denken, ziet Gert-Jan van der Heiden in de idee van de getuigenis de mogelijkheid de lege plek in het delen van informatie op te vullen. Je kunt niet werkelijk iemand iets meedelen zonder jezelf mee te delen. We moeten ontvankelijk zijn voor de gezichtspunten van anderen, gezichtspunten die geborgen zijn in hun geboortegrond, hun tijd en cultuur en bewaard worden in hun moedertaal.

Leibniz, Angelus Silesius, Heidegger, Wittgenstein, Goethe, Hollak en Van der Heiden, ze zijn allen getuigen van het zijn. “Getuigen is tenslotte de wijze waarop het denken zijn ervaringen bekend maakt en bewaart.” (van der Heiden, p. 313). We moeten ontvankelijk zijn voor het perspectief en de getuigenissen van de anderen. Niet denken dat we zelf de waarheid in pacht hebben. Getuigen kunnen valse verklaringen afleggen. Daarom moeten we ons in ons contact met de anderen niet beperken tot het aanhoren en uitspreken van getuigenissen. Uiteindelijk gaat het erom wat we in ons leven waar maken. Der Satz vom Grund, de roep die het beginsel van grond is, laat zich niet zo maar verstommen.

Bronnen

Rieks op den Akker (1979). Zelfapplicatie en zelfregulatie. Doctoraalverslag Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling Toegepaste Wiskunde, 1979.

Rieks op den Akker (1983). De zelfstandigheid van automaten en de semantiek van programmeertalen, Intern rapport Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen (ook als intern rapport verschenen bij de Onderafdeling der Informatica). Dit is een bewerking van mijn afstudeerverslag verschenen bij de onderafdeling Informatica van de TH Twente (1979).

Jorge-Soto Andrade, Sebastian Jaramillo-Riveri, C. Gutiérrez & J. Letelier (2011). “Ouroboros avatars: A mathematical exploration of self-reference and metabolic closure.” ECAL (2011).

Louk Fleischhacker (1976). Wijsbegeerte van het wiskundig denken. Syllabus van het collegejaar 1975/76. Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen, 1976.

Louk Fleischhacker (1982). Over de grenzen van de kwantiteit. Proefschrift Universiteit van Amsterdam, 1982.

Louk Fleischhacker (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Luciano Floridi (2004), “Outline of a Theory of Strongly Semantic Information”, Minds and Machines, 14, pp. 197-222

Luciano Floridi (2007). In defence of the veridical nature of semantic information. EUJAP, Vol. 3, Nr.1, 2007.

Martin Heidegger (2009). Het beginsel grond. Bevat de colleges gegeven in Freiburg 55/56 en de lezing Der Satz vom Grund in de vertaling van Mark Wilschut. Boom/Amsterdam, 2009.

Gert-Jan van der Heiden (2021). Metafysica: van orde naar ontvankelijkheid. Boom uitgevers, Amsterdam, 2021.

Jan Hollak (1966) . Van Causa sui tot automatie. Inaugurele rede Nijmegen. Ook in Hollak en Platvoet (2010)

Jan Hollak en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.