Waarom wij niet korter leven

Waarom leven wij niet korter dan wij doen? Dat is de vraag waarop ik een antwoord heb gevonden. Zonder dat ik het zocht. In dit stukje leg ik uit hoe dat zit. Ik zal proberen dat zo kort mogelijk te doen, zodat we zo snel mogelijk bij het eindpunt zijn. (1)

Laat dit het beginpunt zijn.

Ons leven bestaat uit momenten, de punten op onze levenslijn, de lijn die ons beginpunt verbindt met dit moment, nu.

Een rechte lijn is de kortste lijn tussen twee punten. (‘Kortste’ zegt dat je lengtes kunt vergelijken. Ik kom daar later, in noot 7, op terug.)

Als onze levenslijn een rechte lijn is dan is dat de kortste lijn.

Ik moet dus alleen nog aantonen dat onze levenslijn een rechte lijn is. Dan volgt uit de vorige stelling dat ons leven niet korter kon dan het is.

Om aan te tonen dat onze levenslijn een rechte lijn is gaan we terug naar een oude tekst. Daarin wordt uitgelegd wat een rechte lijn is.

Zo’n 300 jaar voor onze jaartelling legt de Griekse filosoof Euclides de basis voor de meetkunde (2). In deze tekst, de Elementen, zegt hij eerst wat hij onder een punt verstaat: “Wat geen delen heeft” en wat hij onder een lijn verstaat: “Een lijn is een lengte zonder breedte”.

En vervolgens lezen we wat hij onder ‘een rechte lijn’ verstaat.

Een rechte lijn is een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“.

Een “raadselachtige omschrijving”, zoals de psychiater J.H. van den Berg in zijn geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes opmerkt.

Ligt niet iedere lijn gelijk met zijn punten erop? Het antwoord kan kort zijn: ja.

Maar dan zou volgens Euclides iedere lijn recht zijn. Dat zou de eigenschap ‘recht zijn’ niet een beperkende bepaling zijn. Er zijn echter ook kromme lijnen; lijnen die niet recht zijn.

Euclides eerste postulaat luidt: Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan precies één rechte lijn getrokken worden.

Het heeft alleen zin dit op te merken als er andere lijnen tussen twee punten zijn die niet recht zijn. Euclides zegt niet: als er twee lijnen tussen twee punten recht zijn dan vallen ze samen. Er ís er maar één. En voor die lijn geldt dat die “gelijk ligt met de punten er op“.

Wat we uit de woorden van Euclides opmaken is dat hij de punten van de lijn onderscheidt van de lijn zelf. Anderzijds vormen de punten van de lijn natuurlijk samen de lijn. De punten zijn de discrete eenheden; de lijn is de continue eenheid. Door te stellen dat de punten van een rechte lijn ‘gelijk liggen met de lijn’ drukt hij de eenheid van beide onderscheiden momenten van de lijn uit: veelheid en eenheid. Maar waarom zou die eenheid nu het recht zijn van de lijn kenmerken?

Hoe moeten we nu zijn raadselachtige definitie van de rechte lijn begrijpen?

Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die wijst ons naar de oplossing van dit raadsel.

“Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.”

Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht.

Deze definitie maakt gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. We kunnen niet zeggen welke weg een individueel lichtdeeltje gaat. Het gaat ‘zijn eigen weg’ (3).

Euclides had heel goed in de gaten dat hij geen fysica bedreef, maar wiskunde. Daarom stelde hij ook zo nadrukkelijk dat een punt geen delen heeft. Dat doet hij om aan te geven dat een punt niet verward mag worden met een zichtbaar materiëel iets, zoals een stip op papier. (4)

Euclides kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn. Hoe redde hij zich hier uit? Door gebruik te maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt (5).

Euclides redeneerde namelijk zo (6). Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elke twee punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen.

Ik hoor u al denken: dat is een cirkel. En geldt niet het gebod dat een definitie van een begrip geen gebruik mag maken van datzelfde begrip? Tegenwoordig noemen wij zo’n definitie recursief. Ze zijn zeer populair en zelfs onmisbaar voor het programmeren van de machine. Die heeft immers ook niets anders buiten de woorden van het programma; de woorden die zeggen wat de machine moet doen.

We begrijpen nu wat Euclides voor ogen stond toen hij een rechte lijn definieerde als een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“. Er liggen geen punten van de lijn naast de lijn want het zijn de punten van de lijn.

Resumerend. Als u accepteert dat de momenten van uw leven, de punten van uw levenslijn zijn, dan is die lijn een rechte lijn, de enige en daarmee de kortste lijn vanaf uw beginpunt tot nu. Ofwel elk leven kan niet korter zijn dan het is. (7)

Euclides had gelijk: er is maar één rechte lijn die twee punten verbindt. Dat is de lijn die je hebt afgelegd, de lijn waarop alle momenten van de lijn liggen.

Elk mens loopt “het kronkelpaadje af dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.” (8)

Dit is het eindpunt van dit verhaal. Korter kon ik het niet maken.(9)

Noten

1. Voetnoten en eindnoten zijn dè truc om een lang verhaal kort te maken.
2. Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. Een lijn is een lengte zonder dikte. Negatieve bepalingen. Dit is geen fysica! Van een ‘fysische’ lijn kunnen we soms zeggen dat de dikte verwaarloosbaar is, maar niet dat deze geen dikte heeft. Het is een vorm van mathematisme (zeer populair overigens) te denken dat de mathematische lijn door een ‘limietproces’ uit een fysische lijn kan ontstaan, namelijk door de dikte naar nul af te laten nemen. Fysische objecten en mathematische objecten behoren tot verschillende zijnsordes. Zolang de wiskunde bestaat is het een probleem hoe die twee zich tot elkaar verhouden; hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is, maar ook wat de grenzen aan die toepasbaarheid zijn. Zie daarover het proefschrift van L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit (Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982)
3. Euclides’ Geometrie is het begin van de moderne wiskunde. Een wiskundige stelling moet bewezen worden door logische conclusies uit voor waar aangenomen axioma’s of eerder bewezen stellingen te trekken. Met cijfers en cijferrijtjes duiden we getallen aan. Een cijfer is zelf geen getal. Dit onderscheid tussen de voorstelling, zoals een teken of een tekening, en dat wat het voorstelt, het wiskundig object, houden we consequent vast wanneer we wiskunde bedrijven. Een getekende lijn is slechts een voorstelling van een wiskundige lijn. Maar waar kunnen we de wiskunde beginnen? Uit niets komt niets. De wiskundige stelt iets. Zo is het.
4. Wat bepaalt welke richting een lichtdeeltje op zeker moment neemt? “Het antwoord dat de Natuur ons opdringt is verbluffend, namelijk niets.” zegt Vincent Icke in De Principes van Huygens. Dat is onbepaald. Je kunt pas achteraf beschrijven welke weg het heeft afgelegd.
5. Zie bijvoorbeeld de paradox van Zeno volgens welke Achilles de schildpad niet in kon halen. Lewis Carroll legt de relatie uit met de formele logica, de basis van de programmeerbare machine. In: “What the Tortoise Said to Achilles,” Mind 4, No. 14 (April 1895): 278-280. Snappen we wel hoe die werkt?
6. Eureka! Dit is hoe ik Euclides definitie nu begrijp.
7. Het predikaat ‘korter’ vergelijkt afstanden tussen punten. Als drie punten op een rechte lijn liggen dan kun je ze zo benoemen met de namen A, B en C dat de afstand tussen A en C gelijk is aan de som van die tussen A en B en die tussen B en C. Bij de punten van een rechte lijn, dat zijn er oneindig veel!, geldt deze eigenschap voor iedere drie punten. Omgekeerd kun je de rechte lijn definiëren als een verzameling punten zodanig dat er een ordening op alle punten bestaat waarvoor deze eigenschap geldt. Merk op dat het niet nodig is de afstand tussen punten te bepalen als een getal. Het is de ordening die de afstand oplegt aan de punten die van belang is voor het bepalen wanneer de punten op een rechte lijn liggen. Ze liggen ‘in elkaars verlengde’. We kunnen het begrip rechte lijn dus wel definiëren zonder het begrip zelf te direct gebruiken, maar niet zonder het begrip afstand dat een ordening op de punten bepaalt. Je kunt dan zeggen dat de punten een rechte lijn vormen wanneer je ze ‘lineair’ kunt ordenen. De functie afstand moet voldoen aan drie voorwaarden. (1) Ieder paar heeft een afstand. (2) De afstand tussen een punt en zichzelf is 0. (3) Ieder paar ongelijke punten heeft een afstand die groter is dan 0.
8. Met dank aan de fysicus en Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf die in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) opmerkt: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.” Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Dat geldt niet alleen voor studenten en schoolse curricula. Het zal duidelijk zijn dat de stelling ethische consekwenties heeft voor het beoordelen van het ‘nut’ van de momenten van een mensenleven.
9. Henri Poincaré over de definitie van de rechte lijn: “Men heeft er veel onjuiste van gegeven, maar de juiste is diegene die stilzwijgend verondersteld wordt in alle bewijzen waarin de rechte lijn optreedt. “Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn.” (Uit: De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979, p.78). De timmerman moet de lat om zijn as draaien om zich ervan te overtuigen dat deze recht is. Bij een ideale mathematische lijn zonder dikte hoeft dat niet. Door een vlak te draaien om een as door twee punten in het vlak blijven de punten van de draai-as op hun plaats, terwijl alle andere punten van plaats veranderen. De aanname dat een onveranderlijk star lichaam bewogen kan worden is volgens Poincaré wat betreft waarheidsgehalte gelijkwaardig met het postulaat van Euclides dat zegt dat men door een punt slechts één rechte lijn kan trekken die evenwijdig is aan een gegeven rechte lijn.