Sporen naar het verleden – de geometrie van de levenslijn

“De mens wil de natuur niet ontmoeten, maar beheersen” (F. de Graaff, Als goden sterven) (1)

“… that learning is nothing else than the soul’s recollection of her inherent reasons.” (Proclus, Commentary on Euclid)

Inleiding: wat de lezer mag verwachten

Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië in zijn Elementen op wat hij onder een punt en wat hij onder een lijn verstaat. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan komt de vierde, de meest opmerkelijke:

“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Dit is de formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).

In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)

De vraag die onmiddellijk opkomt: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Daaruit zouden we kunnen concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde. Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen. Het is duidelijk dat Euclides geworsteld moet hebben met deze tekst.

Deze worsteling moeten we zien als een uiting van één van de belangrijkste ontdekkingen die de ‘oude Grieken’ hebben gedaan: de ontdekking dat wiskunde geen natuurwetenschap is. We staan met Euclides aan de wieg van de zuivere wiskunde. Dat Euclides zich ervan bewust was, en dat ook wilde benadrukken, dat hij het niet over aanwijsbare, waarneembare, dingen in de natuur had, dat blijkt uit zijn ‘negatieve’ formuleringen: “dat wat geen delen heeft”, “een lengte zonder breedte”. Een punt is geen punt zoals je die met een potlood op papier tekent. Dat is slechts hoe wij een punt soms voorstellen. In dat licht moeten we die merkwaardige definitie van de rechte lijn zien. Hoe kun je zo’n begrip uitleggen wanneer je niet kunt verwijzen naar iets bekends in de waarneembare wereld, naar iets dat buiten de wereld die in de Elementen geconstrueerd wordt, al bekend is?

Het zou nog eeuwen duren voordat het bewustzijn van de eigenaard van de wiskunde, de bevrijding van de natuurwetenschappen, volledig bewaarheid zou worden. De vraag is óf de wiskunde zich volledig van de ervaring kan bevrijden.

“Die Weltgeschichte ist der Fortschritt im Bewusstsein der Freiheit.” schreef de grote filosoof G.W.F. Hegel in zijn Philosophie der Geschichte. Bij de Grieken is het bewustzijn van de vrijheid van de geest ontstaan, waardoor deze ook in potentie vrij werd. Maar dat betekent nog niet dat alle Grieken meteen vrije mensen waren. Zo is het met de vrijheid van de wiskunde. Lange tijd werden wiskunde, natuurwetenschap en metafysica niet onderscheiden. Pas in de 17-de en 18de eeuw werd de wiskunde als een zuivere wetenschap gezien. En daarmee werd ze geleidelijk aan ook de maat voor wat wetenschap mag heten. De inspanningen van Lagrange en tijdgenoten de dynamica, als uitbreiding van de mechanica, te baseren op fundamentele principes en deze van metafysische invloeden (zoals het vitale krachtbegrip) te bevrijden uiten zich in de mathematisering van de mechanica, in die zin dat de natuurkundige inhoud op mathematische wijze werd geformuleerd. Bij Kant vinden we de uitspraak dat de kennisinhoud van de natuurwetenschap (waarbij hij de Newtonse mechanica op het oog had) bepaald wordt door de hoeveelheid wiskunde. “… das in jeder besondere Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist.” (Kant, Metaphysische Anfangsgründe, 14 (A VIII).

Kan de wiskunde de last van de werkelijkheid wel dragen? De vraag naar de fundamenten van de wiskundige kennis werd steeds prangender. Als er niet iets buiten de wiskunde is waarop ze zich kan funderen kan ze dan misschien die fundering in zichzelf vinden? We weten inmiddels wat de pogingen daartoe ons gebracht hebben: de hoofdpijn van de paradoxen (zoals de Russell Paradox), de Gödelstellingen. De geest van de wiskunde kan haar eigen waarheid en zinvolheid niet bewijzen. Uit deze metamathematische zelfreflectie, die verliep via de omweg van de mathematisering van de taal van de wiskunde, kwam als een aap uit de mouw de informatica, de kunstmatige intelligentie. Zoals de uurwerken voor het aanduiden van de tijd onstonden als bijvangst uit de modellering van de kosmos zo is de computer ontstaan als bijvangst uit de zelfreflectie van de wiskunde, de mathematische modellering van het (rekenende) denken zelf.

Terug naar Euclides definitie van de rechte lijn: een lijn die samenvalt met de punten die erop liggen. Hoe moeten we nu Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn begrijpen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die wijst ons indirect naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Euclides wist dat hij geen fysica bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste. Hoe moest hij zich hier uit redden?

Een lijn(stuk) is een continuum, een geheel dat deelbaar is in delen die zelf ook weer continue gehelen zijn. (“deelbaar in delen gelijksoortig aan het geheel” zou de Hollakiaanse definitie luiden volgens Harm Boukema in een notitie over deel en geheel bij Angelinus.) Euclides zou gebruik hebben kunnen maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt. Denk maar aan de paradoxen van Zenon. Die bedacht een constructie waarmee hij ‘bewees’ dat Achilles de schildpad nooit in kon halen. Een recursieve definitie zou als volgt kunnen luiden. Om te beginnen is een lijn(stuk) waarvan begin- en eindpunt samenvallen vanzelfsprekend recht: alle punten liggen er op. Als begin en eindpunt niet samenvallen, dan is een lijn recht als je deze op ieder willekeurig punt, zeg p, ervan op kunt delen in twee rechte (deel)lijnen. Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elk tweetal punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen. Dat geldt dus ook voor elk tweetal punten waarvan eentje op de ene deellijn, de andere op de andere deellijn ligt. Als je daar een rechte lijn tussen trekt dan moet het deelpunt p op die lijn liggen.

Zo zien we hoe in de geest van de zuivere wiskundige Euclides de informaticus reeds schuil gaat. De informaticus definieert iets door gebruik te maken van het enige wat hem al definierend ter beschikking staat, via de uitwendigheid van de taal, de uitdrukkingen die hij in zijn definitie gebruikt. (Zo wordt de lengte van een lijst gedefinieerd in termen van de lengte van zijn deellijsten.) Merk op dat zonder gebruik te maken van eenzinnige tekens (identifiers) we wiskundige objecten niet kunnen identificeren en er dus ook niet over na kunnen denken. In de programmeerbare automaat wordt de natuur, de tijdelijke en ruimtelijke uitwendigheid van de geest, gebruikt om de wiskundige tekens hun werk te laten doen: rekenen. De succesvolle werking van de rekenmachine is nu het enige ‘bewijs’ van de waarheid van de wiskunde.

Twee opmerkingen moeten nog gemaakt worden bij de recursieve definitie van de rechte lijn. Ten eerste: de Grieken zouden met het basis-geval, de situatie waarin begin- en eindpunt van de lijn samenvallen en de lijn dus gedegenereerd is tot een punt, serieuze problemen hebben. Zo iets kon net zo min bestaan als het vacuum kon bestaan. (Met dank aan Albert Visser die me hier op wees). Men zat nog teveel vast aan de materiële werkelijkheid. Merk daarbij op dat een lijn niet bestaat uit punten. Een punt heeft geen lengte en kan dus geen deel zijn van een lijn. Ten tweede eindigt de recursie niet, vanwege de oneindige dichtheid van het continuum. Niettemin geeft de recursive definitie meer inhoud aan de definitie van Euclides die we als een soort van conclusie van deze dnekbeweging kunnen zien. De abstracte idee van de rechtheid is een transcendentale limiet van de recursieve definitie.

Henri Poincaré merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, zonder ze te bewijzen, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.

“Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn. (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). Twee figuren zijn congruent wanneer men ze op elkaar kan leggen. Maar dit veronderstelt dat ze verplaatsbaar zijn zonder hun vorm te veranderen en wel op de manier zoals we onveranderlijk vaste lichaam verplaatsen. We blijven dus als wiskundigen vast zitten aan onze ervaring van de natuurlijke vaste lichamen. Volgens Poincaré veronderstellen de Euclidische definities impliciet het bestaan van onveranderlijke vaste figuren.

Drie eeuwen voor Christus onderscheidde Euclides de discrete punten en de continue lijn, en definieerde het begrip rechte lijn als volgt

“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Een “raadselachtige” definitie want geldt dat niet voor iedere lijn? In het volgende kijk ik terug op de periode in mijn leven dat ik wiskundestudent was aan de Technische Hogeschol Twente. Ik begon bij de zuivere wiskunde en studeerde af op een onderwerp in de informatica. Wie terugkijkt op zijn leven realiseert zich dat zijn levenslijn een rechte lijn is volgens de definitie van Euclides. De enige rechte en de kortste. De discrete momenten in het verleden vallen samen met de eenheid, de continue levenslijn, die de identiteit van de persoon uitmaakt. Ondanks alle onzekerheden van de keuzemomenten, ondanks al die zaken die de aandacht trekken en het ik af doet wijken van het voorgeschreven curriculum, de rechte lijn die als maat moet dienen voor een op een bepaalde toekomst gerichte studie, kunnen we stellen dat deze momenten liggen op ‘het kortste kronkelpaadje’ dat ik tijdens mijn studie heb afgelegd. Had ik op enig moment anders gekozen dan ik gedaan heb, dan was ik nu immers een ander geweest. Maar gegeven wie ik nu ben liggen achteraf de momenten vast en konden ze niet tot iets anders leiden dan tot het moment van nu. Zoals we in de kwantumfysica van elk individueel deeltje pas achteraf kunnen inzien waarom het de baan volgt die het heeft afgelegd. Leibniz dacht dat wanneer we de begintoestand van een systeem kennen we met behulp van de wetten der natuur, zoals Huygens en Newton die hebben geformuleerd, de toekomst ervan kunnen berekenen. Dat blijkt niet zo te zijn. “Je moet niet alleen de begintoestand maar ook de eindtoestand voorschrijven” om de baan van een deeltje te berekenen. (Vincent Icke, De Principes van Huygens, p. 114).

Ieder individueel leven heeft zijn eigen geometrie. Je daarvan bewust te zijn dat is het begin van de (soms als een verschrikkelijke last ervaren) vrijheid. Reeds Aristoteles sloot niet uit dat euclidische en niet-euclidische meetkundes naast elkaar als logische systemen kunnen bestaan. Dat zou alleen een probleem zijn wanneer met die logica’s ook één universele ontologie zou moeten bestaan. Niet alle levens hoeven elkaar echter te ontmoeten. Maar zonder de ontmoetingen zou het leven niet de moeite waard zijn. Ja, zonder die momenten zou dat leven zelfs inhoudloos zijn.

Een levenslijn: meer dan een wiskunde curriculum

Simpel gezegd komt het er op neer dat ik vanaf augustus 1970 tot eind 1978 wiskunde studeerde in Twente.

Maar zo simpel was het niet. Want wie was die ‘ik’ en wat had hij met die wiskunde? En waarom studeren aan een Technische Hogeschool? Het waren jaren van onzekerheid. Jaren waarin ‘ik’ zich afzette tegen alles wat pretendeerde zo te zijn zoals het zich voordeed of zoals men zei dat het was of moest zijn. Jaren ook waarin ik vooral wilde weten. Waarin ik alles mij wilde toe-eigenen. Waarin ik van elk plantje dat ik op eenzame wandelingen in de bosrijke omgeving van de campus tegenkwam wilde weten welke naam erbij hoorde, door te determineren. En vooral wilde ik begrijpen. Want wat zegt een naam nou helemaal. Maar ook wilde ik, kennelijk, zo weinig mogelijk tijd besteden aan de verplichtingen die het curriculum aan dat ‘ik’ oplegde: ‘vakjes halen’. Ik wilde zelf de maat van mijn studie bepalen. Er waren zoveel andere dingen die je bezig hielden: het onrecht in de wereld: de honger in ‘de Sahel of een andere hel’, de verliefdheden, de proliferatie van kernwapens, de acties tegen de neutronenbom, de demonstraties bij Kalkar tegen de bouw van “der Schneller Brüter”, de studentenacties voor democratisering van de universiteit. Ik moest in militaire dienst, maar ik weigerde. Ik had ‘gewetensbezwaren’. Zo heette dat. Ik moest een brief schrijven om dat toe te lichten en naar een psychiater (dr. Hanrath) in Den Haag. Die nam een test af in de vorm van een gesprek: of ik wel goed bij mijn verstand was. En dan kwam daar het eerste Rapport van De Club van Rome. De hele wereld was in een economisch model opgeslagen en op basis daarvan was berekend dat we zo niet door konden gaan met leven. De mens moest maar eens beseffen dat de wereld eindig is. Er zijn grenzen aan de groei. Ik had me altijd al afgevraagd waarom ‘de economie’ altijd moest groeien en hoe automatisering gelijk op kon gaan met het streven naar volledige werkgelegenheid. Kortom: het waren jaren waarin ik op zoek was naar zekerheid. Is het gek dat je dan uiteindelijk voor de wiskunde kiest? (2)

Eén ding wist ik zeker toen ik in Leeuwarden afstudeerde: ik moest en zou het huis uit. Het ouderlijk huis was te klein geworden. Maar wat te doen? Profvoetballer worden, want dat was wat ik het liefste deed: voetballen. Maar, denk toch aan je toekomst! Een psychologiestudie misschien. Omdat ik daarmee (of daarin) hoopte te vinden wat ik zocht: de eigen identiteit. Maar, zo vertelde de studievoorlichter in Groningen, dat ging iedereen tegenwoordig doen die wilde studeren (Eriksons ‘identiteitscrisis’ was populair) en daar was geen droog brood mee te verdienen. Ik was goed in de exacte vakken. Dat moest dan maar de doorslag geven en dus werd het ‘iets technisch’. Bovendien vond ik bewijzen leuk. En knutselen. Maar dat is misschien wel hetzelfde. De motieven om naar Twente te gaan: het wonen op de campus, de bosrijke omgeving, de sportfaciliteiten, hadden niets met een technische studie te maken. Kon ik zo’n studie eigenlijk wel aan? Waarom niet naar de HTS? Dat kon immers in Leeuwarden. Geen denken aan! Naar Twente. God zegen de greep.

Het P1 haalde ik in één jaar. Toen had ik voor mezelf wel bewezen dat ik de studie aan zou kunnen. De rest ging minder snel: in 1973 rondde ik de propedeuse af, in 1975 mijn baccalaureaat (bij Kees Hoede op een onderwerp in de topologie: balanced incomplete block designs, zuivere wiskunde, geen idee waar het goed voor was). Eind 1978 studeerde ik af bij de vakgroep Theoretische Informatica op de formule Z(Z) = Z(Z), waarbij Z = λx.x(x) de zelfapplicatie functie is. Dat is de mathematische uitdrukking van de zelfstandigheid van de programmeerbare automaat.

Die Z(Z) links van het =-teken moet je lezen als een applicatie (of een opdracht daartoe) van de zelfapplicatiefunctie Z op zichzelf als argument. Die Z(Z) rechts is het resultaat van deze bewerking. Het is dus een ‘dynamische gelijkheid’. In principe niet veel anders dan meer bekende ‘gelijkheden’ als 4/8 = 1/2 of 5 + 7 = 12. Wat links staat is een (opdracht tot een) bewerking, maar ook al aanduiding van het resultaat. Wat rechts staat is het resultaat nog een keer, maar in een normaalvorm. In de Z(Z)=>Z(Z) gaat de bewerking over in de bewerking zelf, ad infinitum. Zoals een onbelaste motor in zichzelf blijft draaien. In onbelaste vorm volstrekt nutteloos, maar zelfapplicatie kom je overal tegen waar geprobeerd wordt op mathematische wijze automatie of het leven te begrijpen en in een mathematische formule uit te drukken. De wiskunde is de wetenschap van het =-teken. De informatica gaat over hoe de betekenis van de wiskunde-formules gerealiseerd worden door deze volgens hun betekenis te herschrijven.

Het vakkenpakket

Mijn vakkenpakket is verdeeld in:

De wiskunde: 18 vakken, waarvan drie bij Louk Fleischhacker: inleiding logika, mathematische logika en axiomatische verzamelingenleer. Projectieve meetkunde deden we in een klein studiegroepje met Professor van Spiegel op zijn kamer, het boek van A. Heyting op schoot. Hét struikelvak was Statistiek dat ik vier keer moest doen voor ik een voldoende had. Kansrekening en statistiek ging me pas boeien toen ik vele jaren later Probability Theory, the logic of science, van de fysicus E.T. Jaynes las. Jaynes was een echte Bayesiaan. Over de statistiek zoals die standaard aan de universiteiten gegeven werd zei hij: “de wiskundigen hebben er een zootje van gemaakt”.

De informatica (5) en de praktika ALGOL LISP ASSEMBLER en numerieke wiskunde en programmeermethoden. Bij het ALGOL praktikum leverde je je programmaatje in op een velletje papier. Een secretaresse maakte daar ponskaarten van. De student-assistent, P.P. van Diemen de Jel, een ouderejaars flatgenoot, hield die dan tegen het licht om te kijken of er een foutje in de code zat. Vervolgens werden de kaarten na eventuele correctie in de machine gestopt die het programma uitvoerde.

De technische vakken (11) waaronder lab-werk scheikunde. Hieronder ook het vak Informatietheorie van Dirk Kleima (“bewijstechniek is net zo belangrijk als soldeertechniek”). Kleima behandelde in dit boeiende college de statistische theorie van communicatiekanalen en de coderingstheorie van Shannon en Weaver. Hij behandelde het gedachtenexperiment van het Maxwell-duiveltje en bewees met een krijtje op het bord dat informatieuitwisseling energie kost. Ergo: het duiveltje bestaat niet. Dat je zoiets kan bewijzen!

De WMW vakken (8), waaronder Wijsbegeerte van het Wiskundig Denken van Louk Fleischhacker en Sociale Filosofie van Pieter Tijmes. Maar ook staat het vak Mens, Ervaring en Geloof over Godsdienstpsychologie van Viktor van der Hurk op de lijst. Viktor was tevens pastor bij het oecumenisch Campuspastoraat, net als Paul van Dijk die het college Ethiek gaf en Arnulf Sibbing, met wie ik nog eens een week zonder een cent op zak door Twente heb gewandeld. We werkten bij boeren en sliepen in een hooiberg of in de stal. Ik las met veel interesse het tweedelige werk van Han Fortmann Als Ziende de Onzienlijke, waarin o.a. Freud, Jung en Marx’ projectietheorie van de religie: ‘opium van het volk’ aan de orde kwamen. Het geloof dat ik van huis uit had meegekregen, maar dat ik als een oude boterham had weggedaan, bleef me achtervolgen. Ook dat wilde ik begrijpen.

De onderwijskunde vakken (4), waaronder vakdidaktiek. Een paar studenten hadden zich verenigd in hun kritiek op de nogal traditionele onderwijsvorm waarin de meeste vakken gegeven werden. We deden daarover een studie en schreven een rapport met aanbevelingen. Dat werd door de vakdocent erg gewaardeerd en beschouwd als onderdeel van onze studie. Na een hospiteerstage bij Marianum in Groenlo, waar ik een paar weken de docent wiskunde verving, had ik mijn onderwijsaantekening verdiend. Na mijn studie was ik “eerste graads bevoegd om wiskunde en natuurkunde te geven”. Ik zou docent worden.

Naast mijn studie was ik student-assistent bij de groep van de polemoloog Peter Boskma en de fysicus Wim Smit. In het Boerderijproject werden onder leiding van Frans-Bouke van der Meer simulatiestudies gedaan naar de effecten van vakbondsstrategieën op de dynamiek van arbeidsconflicten.

De DDR-reis: 31-03-1975 tot 10-04-1975

Met zijn achttienen maakten we onder leiding van docent sociale filosofie Pieter Tijmes een studiereis naar de DDR (4). Ter voorbereiding waren er bijeenkomsten waarin lezingen werden gehouden over De Koude Oorlog, De Geschiedenis van de DDR, de Pers (we lazen de staatscourant Neues Deutschland en maakten zo kennis met ‘de Waarheid’). Maar ook het Onderwijs en de Ekonomische Orde (Marxisme) kwamen aan bod. De treinreis ging vanaf Münster via Eisenach en Gerstingen (4 uur oponthoud voor passen en bagage-controle bij de grens), onder politiebegeleiding naar Erfurt, waar we opgevangen werden door onze Betreuer (gids). Overnachten in een Jugendherberg, eigendom van de Sovjet Unie, met veel jongeren uit Polen, Hongarije en Roemenië. “In de straten in Erfurt hangt een eigenaardige sfeer die me doet denken aan de boeken van Dostojewski. Er rijden zeer smalle, oude trammetjes rond waarvan de deuren met veel herrie open en dicht gaan, waarbij een snerpende bel klinkt.”, zo lees ik in mijn dagboekaantekeningen. We discussiëerden met studenten en medewerkers van de pedagogische akademie over kernbewapening, het communisme, de verhouding tussen de DDR en de Sovjet-Unie. Ook was er een bijeenkomst met meisjes van de FDJ, de Freie Deutsche Jugend. Op een gegeven moment ving ik het woord ‘Fruchtabtreibung’ op. Waar gaat dit over? vroeg ik aan een studente die naast me zat. Het bleek over abortus te gaan. Het was een leerzame reis. In Weimar bezochten we het Goethe en Schiller huis. In de boekwinkels in de DDR kun je heel goedkoop literatuur kopen: Goethe, Schiller, Heine, en uiteraard veel Marx, Engels en Lenin. Ik kocht voor slechts 5.20 Ostmark een luxe uitgave van Marx’ Zur Kritik der Politischen Ökonomie. Veel indruk op mij maakte het bezoek aan het Konzentrationslager Buchenwald (“Jedem das Seine” staat boven de poort) op de gure noordelijke helling van de Ettersberg bij Weimar. Vele duizenden door de nazis gevangen genomen Joden, communisten, Roma, Sinti, kwamen er vanwege dwangarbeid onder mensonterende omstandigheden om het leven.

Stage in Israël

In juli 1976 ging ik voor drie maanden via IAESTE op stage naar Israël.

Waarom Israël? Door mijn opvoeding in een streng katholiek gezin (in het noorden zijn katholieken stricter in de leer dan in Brabant en Limburg) had Israël een bijzondere betekenis voor mij als het land van de Bijbel. Bovendien werd het sinds de opkomst van Herzl’s zionisme als het Beloofde Land van de Joden beschouwd. Israël had ook een magische klank vanwege de kibboets, de collectieve landbouwnederzettingen.

Deze kans kon ik niet laten liggen. Ik ging werken bij IBM (spreek uit: jot bet mem), werelds meest vooraanstaande computerbedrijf, in Tel-Aviv.

Het was een moeilijke tijd. Het was in een periode waarin regelmatig aanslagen werden gepleegd door de PLO (de Palestijnse Bevrijdingsorganisatie). Eind jaren 60 begin jaren 70 werden door sympatisanten van de PLO vliegtuigen gekaapt om aandacht te vragen voor het zelfbeschikkingsrecht van de Palestijnen of om gevangen Palestijnen vrij te krijgen. Mijn sympathie ging naar de Palestijnen, de onderdrukten, de indirecte slachtoffers van de jodenvervolging in Europa en de halfslachtige politiek van de westerse landen. Ik vloog met ELAL vanaf een startbaan op Schiphol; om veiligheidsredenen ver van de gates. Mijn eerste vliegreis. Na aankomst op de luchthaven Ben Gurion moest ik met de bus naar Tel Aviv. Voor mij in de rij stond een militair die bij het instappen plotseling bukte: hij had een handvol kogels laten vallen die hij rustig weer bijeenraapte en in zijn zak stopte voordat hij de bus in stapte. Shalom, welkom in Israël. Een land waar politie en militairen overal aanwezig zijn. Waar je nog geen minuut een tas kan laten staan of een beveiliger vraagt of die tas van u is. Ik logeerde in een studentenappartement op de campus van de Technische Universiteit. Hier, op dit terrein in het noorden van de stad was vroeger een Palestijnse nederzetting. Studenten van de universiteit liepen bij toerbeurt gewapend met een geweer wacht bij de poort van het door hoge hekken afgebakende campusterrein. Ik was als gast vrijgesteld en kon met een pasje in en uitlopen.

Bij aankomst bij het IBM gebouw aan Petah-Tikva Road in Tel-Aviv vroeg mijn stagebegeleider, Shimon Yagil heette hij, welke studierichting ik volgde. “Applied Mathematics”. Waarop hij lachte en vroeg of je ook “Unapplied Mathematics” kon studeren. Ik weet niet meer wat ik geantwoord heb. Ik heb daar nog wel over nagedacht. Had ik moeten zeggen dat er ook zoiets als ‘zuivere wiskunde’ bestond? Maar werd die dan niet toegepast? Had hij misschien begrepen dat ‘applied mathematics’ eigenlijk helemaal géén wiskunde is. En dat de zuivere wiskundige eigenlijk een informaticus is. Had hij zich misschien ook al afgevraagd wat Euclides in zijn Elementen, het begin van de zuivere, axiomatische wiskunde, bedoelde toen hij de rechte lijn definieerde met: Een rechte lijn is een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“? Een “raadselachtige omschrijving”, zoals de psychiater J.H. van den Berg in zijn geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes opmerkt. (5)

Hoe kun je een definitie van iets geven dat niet voorstelbaar is en dat ook niet refereert naar iets dat al bij de lezer bekend is? Dan moet die definitie wel naar iets in die definitie zelf verwijzen. Zo’n definitie moet het dus van de woorden of tekens hebben waarin het begrip dat door de definitie wordt uitgedrukt zelf wordt uitgedrukt. “Zo’n circulaire definitie, dat mag niet”, zeiden de filosofen. “We doen het toch”, zeggen de informatici en ze schrijven programma’s met recursieve definities van functies die zichzelf aanroepen. Wat is het probleem! Het werkt toch! In iedere zuivere wiskundige schuilt een informaticus. En deze vraagt zich vervolgens verbaasd af hoe het toch mogelijk is dat zijn wiskundige structuren werken.

Hoe kunnen we iets tot stand brengen alleen maar door middel van de woorden waarmee we definiëren wat het is? Zijn de Godsbewijzen niet gebaseerd op hetzelfde principe? Neem Anselmus’ Godsbewijs. Het prijkt op de omslag van het boek met wel acht Godsbewijzen, verzameld door de wiskundige en filosoof Emanuel Rutten. Anselmus definieerde: “God is datgene waarboven niets groters gedacht kan worden“. Omdat bestaan iets groter maakt dan niet-bestaan moet God wel bestaan. Kortom: omdat God het grootst denkbare is, bestaat God. Mijn studiegenoot de wiskundige en logicus Albert Visser (6) zei van Anselmus’ Godsbewijs dat het hem niet kon overtuigen. Waarom niet? “Omdat ik de intuïtie heb dat zo’n soort stelling niet bewezen kan worden met zo’n simpel ‘logisch’ argument. (…) Er worden heel weinig specifieke inzichten aangaande God gebruikt, terwijl Hij – zo hij al bestond – toch een heel individueel iets zou moeten zijn. Anselmus laat God meer lijken op het neutrino, waarvan het bestaan voorspeld kon worden nog voor het experimenteel ontdekt was.” Gods bestaan is een hypothese, die kun je aannemen, zoals je aan kunt nemen dat Israël het door God Beloofde Land is. Maar je kunt daar ook van afzien.

Shimon Yagil wees me een bureau en gaf me een opdracht waaraan ik een paar maanden heb zitten puzzelen. Het Ministerie van Handel in Jeruzalem had IBM gevraagd een programma te maken voor het op kostenefficiënte wijze vervoeren van goederen per boot van Haifa naar diverse havens in de VS en weer terug. Een lineair programmeerprobleem waar ik geen enkele ervaring mee had. Toen ik wat had gevonden schreef ik de programmatekst uit op papier en bracht dat naar het rekencentrum van IBM aan de overkant van de straat waar ik later de resultaten weer op kon halen. Ik werd er snipverkouden van want buiten was het erg warm en binnen koud, van de airco. Eens in de zoveel tijd reisde ik met de bus naar Jeruzalem voor overleg op het ministerie. Ik kan me niets meer herinneren van hoe dat ging, maar wel dat de busreis altijd een hele spannende belevenis was. Je hoorde regelmatig van aanslagen, onlangs nog in Netanya, de badplaats die ik in een weekend bezocht had. Je moest altijd op je hoede zijn. Je werd voortdurend benaderd door hulpbehoefenden, meest arabieren, de tweede of derderangs burgers van het land, die geld van je wilden voor medicijnen voor hun kind dat ziek was, of voor de tandarts. Als je dan zei dat je geen dollars had: “Ik werk hier, ik verdien een paar lira.” (150 IL per maand, een hongerloon) dan werden ze kwaad en agressief. Wat was ik blij toen de stageperiode erop zat en ik mijn vriendin, die overkwam uit Nederland voor een korte vakantie, op kon halen van het vliegveld. We reisden via Jerusalem en Beersheva naar de Dode Zee en via Bethlehem en Ashkelon terug naar Tel Aviv. Door mijn stage in ‘Het Beloofde Land’ zeggen deze namen me waarschijnlijk net iets meer dan wanneer ik er niet was geweest.

Ik studeerde af bij de groep Theoretische Informatica op een onderwerp op het grensgebied van de filosofie van de techniek en de wiskundige semantiek van programmeertalen. Louk Fleischhacker en Professor Leo Verbeek waren mijn afstudeerbegeleiders.

Afscheid: het contrafactisch postulaat

In het zelfde jaar waarin ik naar Twente kwam, kwamen Pieter Tijmes en Louk Fleischhacker naar Twente om onderzoek te doen en les te geven bij de groep Systematische Wijsbegeerte. Hun onderwijs betekende voor mij een belangrijke schakel tussen de twijfel die het filosofische denken begeleidt enerzijds en de zekerheid die voortkomt uit de wiskundige denkhouding anderzijds. (7)

In juni 2001 namen zowel Pieter Tijmes als Louk Fleischhacker afscheid van de Universiteit. Dat deden ze samen met een symposium dat als thema had: de moderniteit. Daar verdedigde Louk de these dat ‘de moderne westerse mens’ gekenmerkt wordt door een houding waarin hij zichzelf opvat als deel van de zelf gepostuleerde ideële werkelijkheid. De moderne mens beseft dat hij vanuit een (mathematisch) geconstrueerde ideële werkelijkheid de reële werkelijkheid (technisch) kan vormgeven. Deze moderne attitude berust volgens Louk op een filosofisch, ‘contrafactisch postulaat’. Filosofische postulaten over de menselijke autonomie, of over de mogelijkheid van kennis van de werkelijkheid, zijn geen ontdekkingen (geen bewijsbare waarheden of aantoonbare feiten), maar behelzen veeleer een metafysisch project dat de moderne mens door hard werken tracht te verwerkelijken. In de hedendaagse informatie- en communicatietechnologie komt deze moderne attitude het beste tot uitdrukking. In die technologie wordt immers het menselijk redeneren (en daarmee zijn taalgebruik) steeds verder in reële (fysische) processen buiten ons geïmplementeerd. Met zijn these verwees Louk indirect naar het onderwerp van mijn afstudeerproject. Hij wees niet alleen op de feilbaarheid van dit project, maar stelde dat we ook aandacht moeten hebben voor het positieve moment dat hieruit voort zou moeten vloeien: een voorzichtige en contemplatieve houding. Een houding waarin we de werkelijkheid ontmoeten in plaats van deze te willen beheersen.

Hierop reflecterend realiseer ik me hoe de ‘moderne houding’ niet alleen in de technologie van de AI tot uitdrukking komt, maar ook in de secularisering van Het Beloofde Land, de metaforische belofte van God aan Abraham, die door de mens ‘naar beneden werd gehaald’ en getransformeerd tot Theodor Herzls idee van Der Judenstaat, een ideële constructie die door middel van een project in de vorm van de staat Israël, een staat zonder grenzen, werkelijkheid moest worden. En moeten we ook het bestaan van God en het bestaan van ‘bewuste AI’, niet beschouwen en begrijpen als ‘contrafactische postulaten’, ideële constructies aan de verwerkelijking waarvan de moderne mens door hard werken (het leveren van een overtuigend ‘bewijs’, het doen van empirisch onderzoek) bijdraagt, in plaats van als een uitdrukking van iets wat we al aangetroffen zouden hebben en dat simpelweg bestaat? (8)

Terugkijkend naar het verleden van dat ‘ik’, dat van 1970 tot 1979 met zijn studie van de wiskunde aan de TH Twente en met zijn zoektocht naar zekerheid een wankele basis legde voor wat komen zou, denk ik dat hij ‘het kronkelpaadje af heeft gelopen dat achteraf de kortste weg blijkt te zijn’ naar wie dat ‘ik’ nu is. (9) De momenten van dat leven zijn pas achteraf als momenten van dat leven geworden. Had ik op die keuzemomenten op een andere wijze mijn vrijheid gerealiseerd dan was ik niet geworden wie ik nu ben. Vanuit het perspectief van een Minister van Onderwijs die de studie meet aan de hand van het standaard curriculum moet gezegd dat er vele afleidingen waren die de student deden afwijken van ‘de rechte lijn’. Dat de levenslijn achteraf beschouwd niettemin de kortste weg was, toont aan dat ieder individueel leven slechts begrepen kan worden als realisatie van zijn eigen niet-euclidische geometrie.

Noten

1. Deze tekst schreef Rouke Henstra in het exemplaar van zijn baccalaureaatsverslag. “Voor Rieks, omdat hij een bijzondere buurman was.” En dat was wederzijds. Rouke was mijn buurman aan de Witbreuksweg waar ik het tweede jaar van mijn studie woonde. Hij studeerde af bij Anton Jetten op ‘lerende automaten’, een studie op het gebied van de algebra van half-groepen en de formele talen. Vele lange avonden zaten we samen en bespraken we een boek; fenomenologie of psychologie. Metabletica van de Materie van de psychiater J.H. van der Berg was zo’n boek. Van Rouke leerde ik het recept voor “paaltjes” voor als je echt niets anders meer in huis had en de winkel dicht of het geld op: macaroni met hagelslag. Klaar in nog geen 10 minuten. Rouke ging na zijn baccalaureaat in Utrecht verder studeren. Mede door hem besloot ik na de propedeuse over te stappen van Electrotechniek naar de Toegepaste Wiskunde.
2. Ik ben geboren in 1952. Het jaar waarin Aad van Wijngaarden, directeur van het Mathematisch Centrum de ARRA (Automatische Relais Rekenmachine Amsterdam), de eerste Nederlandse rekenmachine, aan pers en politiek laat zien. “Die ARRA deed het niet” schrijft Gerard Alberts, met wie ik in Amsterdam deelnam aan het Colloquium Anthropologische Interpretaties van de Techniek onder leiding van Maarten Coolen, over deze historische gebeurtenis. Gerard promoveerde op de veranderende verhoudingen van de wiskunde met de werkelijkheid en de taak van de wiskundige in Nederland in de eerste helft van de vorige eeuw. De technologie van de automatisering zou mijn leven nog vele jaren blijven boeien. Na mijn studie promoveerde ik bij Informatica en werd ik docent Kunstmatige Intelligentie en Converserende Agenten aan de Universiteit Twente. Ik werkte aan het “formaliseren van de natuurlijke taal” zodat de machine onze eigen taal zou kunnen verstaan en spreken. Toen ik eens aan Louk, mijn afstudeerbegeleider, die ik als mijn leermeester beschouw, vertelde dat ik daar mee bezig was, zei hij: “Dat is nog een hele klus, want dan moet je de hele mens formaliseren”. Hij had gelijk. Zoals zo vaak. De sprekende sociale robot was (en is) een feilbaar project.
3. “Het is niet verwonderlijk dat juist wiskundigen buitengewoon veel belang bleken te hechten aan een onvoorwaardelijke absolute zekerheid op het terrein van leven en kennen” schrijft de theoloog Hans Küng in zijn magistrale werk Bestaat God?. “De zekerheid van de wiskunde, die iedere twijfel uitsluit, werd in de moderne tijd het heimwee van de filosofen.” Over dat ‘heimwee’ ging onder andere het college Wijsbegeerte van het Wiskundig Denken van Louk Fleischhacker. Hij promoveerde op een onderzoek naar het kwantitatieve aspect van de zintuiglijke ervaring, waar het wiskundig denken bij aansluit. Het is die kwantitatieve uitwendigheid die aan alle werkelijkheid zit waar de technologische beheersing de natuur bij de lurven pakt om die naar onze hand te zetten in plaats van haar te ontmoeten. Want, zo leerde Louk ons, de werkelijkheid laat zich mathematiseren voor zover er van de eigen aard ervan wordt afgezien. Voor die ‘eigen aard van de natuur’ hebben we veel te lang geen oog gehad, waardoor we nu met de gebakken peren zitten.
4. Behalve docent Pieter Tijmes gingen mee: Bert Zuurke, Tom Vollers, Louk Stolwijk, Ton Kleinegris, Dick Stegeman, Bob Verschoor, Pieter Weeder, Pauline van Andel, Rieks op den Akker ,Jan, Buys, Roelof Landman, Marleen Mulder, Kees van Arnhem, Ali Lely, Menno van de Most, Sjirp de Boer en Joke de Boer.
5. Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. “Een lijn is een lengte zonder dikte.” Negatieve bepalingen. Dit is geen fysica! zo wil Euclides ons zeggen. Van een ‘fysische’ lijn kunnen we soms zeggen dat de dikte verwaarloosbaar is, maar niet dat deze geen dikte heeft. Het is een vorm van mathematisme (zeer populair overigens) te denken dat de mathematische lijn door een ‘limietproces’ uit een fysische lijn kan ontstaan, namelijk door de dikte naar nul af te laten nemen. Fysische objecten en mathematische objecten behoren tot verschillende zijnsordes. Hoe moeten we nu Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn begrijpen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die wijst ons naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Deze ‘definitie’ maakt gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. We kunnen niet zeggen welke weg een individueel lichtdeeltje gaat. Het gaat ‘zijn eigen weg’. Maar Euclides bedreef geen fysica en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn. Hoe redde hij zich hier uit? Door gebruik te maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt. Euclides redeneerde namelijk zo: een rechte lijn bestaat uit rechte lijnen. Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elk tweetal punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen. Zolang de wiskunde bestaat is het een probleem hoe die zich tot de waarneembare werkelijkheid verhoudt; hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is, maar ook wat de grenzen aan die toepasbaarheid zijn. Zie daarover het proefschrift van L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit (Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982) of zijn Beyond Structure. Ook zijn filosofiecollege ging daarover.
6. Albert Visser was altijd aan het tekenen in de kantlijnen van zijn collegedictaten, op losse blaadjes en waar niet op. Grappige fantasiefiguurtjes in een heel herkenbare stijl. Sommige verschenen in de afdelingsbulletins Ideaal van TW en Scintilla van EL. Albert ging gelijk met Rouke Henstra naar Utrecht en werd daar later hoogleraar logica. Ik heb veel gehad aan zijn kritische beschouwingen toen ik hem vertelde over mijn afstudeerproject. Hij kende de valkuilen op het grensgebied van filosofie en wiskunde. Precies daar gaat het artikel over waarin Albert Lucas’ Argument (tegen de dwaas die zegt: de mens is een machine) weerlegt. Hij vergelijkt daarin Lucas argument met Anselmus argument voor het bestaan van God.
7. Louk overleed, veel te vroeg, in het voorjaar van 2006. Op zijn crematie gaf Pieter Tijmes een treffende beschrijving van de stijl van Louks colleges: “Geen hoorcolleges, maar een vormings­werk­achtige happening”. Inderdaad, Louk gaf je het idee dat je als student ook zelf iets zinvols in te brengen had en de inhoud van de zaak waarover het ging mede vorm gaf. Louk wàs filosofie en hij leerde je dat het in een college filosofie niet gaat om informatieoverdracht. Op één of andere manier heeft dat mij duidelijk gemaakt dat er iets met dat taalbegrip in ons tijdperk van de informatica niet in de haak is. Dat het leven geen taalspel is waarin de woorden slechts functioneren, zoals Wittgenstein dat voorstelde.
8. Over de achtergrond van de relatie tussen beide ideeën: het bestaan van God als Causa sui en het bestaan van de denkende, bewuste machine, verwijs ik naar het werk van Jan Hollak. Met name naar zijn beroemde inaugurele rede “Van causa sui tot automatie” en naar het artikel “Enige beschouwingen over de eigenaard van het godsbewijs.”. Beide zijn opgenomen in de bundel Denken als bestaan, het werk van Jan Hollak. Uit dat laatste artikel citeer ik over de geperverteerde vorm van de moderne godsidee. Zo’n godsidee “wordt in een politieke theologie gefunctionaliseerd tot middel in een strijd om een volmaakte menselijke samenleving waarbij beide (zijden) niet zien dat zij daarmede op hun beurt eenzelfde fout begaan door aan eindige waarden een absolute betekenis toe te kennen: de volmaakte mens, respectievelijk de volmaakte samenleving, niet als nastreefbaar ideaal, maar als bereikbaar objectief idee.” (Denken als bestaan, p. 413) Via Louk maakte ik kennis met het denken van Hollak. Zijn artikel “Hegel, Marx en de Cybernetica” was als bijlage opgenomen in Louks collegebundel over het mathematische denken en de informatietechnologie. Het zou de aanleiding vormen voor mijn afstudeerproject over de zelfapplicatie van functies in de denotationele semantiek van programmeertalen als wiskundige uitdrukking van de ideale zelfstandigheid van de programmeerbare machine.
9. Met dank aan de fysicus en Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf die in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) opmerkt: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.” Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en schoolse curricula. Het zal duidelijk zijn dat deze stelling ethische consekwenties heeft voor het beoordelen van het ‘nut’ van de momenten van een mensenleven. Albert Visser: “Voor dat kronkelen was destijds veel meer ruimte dan nu. De professionalisering van het curriculum heeft het moeilijker gemaakt. Toen ik in Utrecht begon kwamen talentvolle doctoraalstudenten bij mij thuis om dingen buiten het programma te lezen. De moderne docent heeft voor zulke dingen simpelweg geen tijd.”

Met dank aan Albert Visser voor zijn commentaar op een eerdere versie. Eventuele feitelijke onjuistheden zijn natuurlijk voor mijn rekening.

Bronnen

Beason, Michael (2022). On the notion of equal figures.

Dit artikel bespreekt de notie ‘area’ (oppervlak, of ruimte die een figuur inneemt) een notie die bij Euclides niet expliciet voorkomt. Maar het bewijs dat Euclides geeft van de stelling van Pythagoras gaat wel uit van het deelbaar (knippen) zijn van een vierkant of driehoek en het verplaatsen ervan. Euclides meet geen lengtes en oppervlakte, kent er geen getal aan toe. Meetkundige figuren krijgen daardoor iets fysisch, materieels. Verplaatsen wordt dan ook beschouwd als een mechanische notie, niet als een mathematische. Poincaré bespreekt dit punt ook. Tegenwoordig wordt dit door middel van een afbeelding (functie) beschreven. De dekpunt-verzameling van een functie van de punten van een vlak in dat vlak zelf die twee punten a en b bevat vormt een rechte lijn tussen a en b. Dit veronderstelt echter de notie ‘plat vlak’. Bij Descartes krijgen de punten een locatie t.o.v. een als vast gedacht assenstelsel. Punten en lijnen, geometrische objecten, zijn dan dingen die in een reeds bestaande ruimte lijken voor te komen.

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.

J. Christiaan Boudri (1994). Het mechanische van de mechanica – Het krachtbegrip tussen mechanica en metafysica van Newton tot Lagrange. Proefschrift Universiteit Twente. Promotor: Prof. dr. H.F. Cohen.

E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.

L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit, Proefschrift, Uitgave Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982.

Fleischhacker, Louk E. (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, New York, 2000.

Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.

G.W.F.Hegel (1837). Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte. Philipp Reclam Jun. Stuttgart. Universal Bibliothek, 1961.

Hollak, Jan H.A. (1963). Hegel, Marx en de Cybernetica, in: Tijdschrift voor Philosophie (25) 1963, pp 279-294. Ook opgenomen in de bundel Hollak en Platvoet (2010).

Hollak, Jan H.A. (1968). Betrachtungen über das Wesen der heutigen technik. Kerygma und Mythos VI Band III, Theologische Forschung 44, 1968, Hamburg, Evangelischer Verlag, pp 50-73. Ook opgenomen in de bundel Denken als bestaan, het werk van Jan Hollak (Hollak en Platvoet, 2010).

Hollak, Jan en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010. In deze bundel het transcript van de opname van het Afscheidscollege over de hypothetische samenleving door Jan Hollak gehouden in Nijmegen op 21 februari 1986. Ook de inaugurele rede Van Causa sui tot Automatie is hierin opgenomen.

Poincaré, Henri  (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.

Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020.

Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) . Hij schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat; de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek.

Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.

Volgens Imre Tóth toonde de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde aan dat Kant gelijk had dat de meetkunde synthetisch apriori kennis inhoudt. De fysische werkelijkheid is immers niet niet-euclidisch, dus deze meetkunde zegt niets over de ruimte zoals we die kennen.

Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktijk van de omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).

Tóth wijst erop dat Aristoteles de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan. Hij besteedt een lange voetnoot 112 aan het punt dat een formele logica niet als een ontologie hoeft te worden beschouwd.