Sporen naar het verleden – de geometrie van de levenslijn

“De mens wil de natuur niet ontmoeten, maar beheersen” (F. de Graaff, Als goden sterven)

… that learning is nothing else than the soul’s recollection of her inherent reasons.” (Proclus, Commentary on Euclid)

Inleiding: wat de lezer mag verwachten

In dit blog probeer ik verbanden aan te geven tussen drie onderwerpen, die respectievelijke betrekking hebben op het (1) mathematische, (2) het fysische en (3) het persoonlijke historische domein. In het eerste deel gaat het over de bepalingen van de meetkundige grondbegrippen: punt en lijn door Euclides in zijn Elementen. In het tweede deel gaat het over de identiteit en de loop van het elementaire deeltje zoals daar in de kwantumfysica over gedacht wordt. In het derde deel gaat het over de bepaling van de identiteit van de persoon, uitgedrukt in het persoonlijke verhaal van de geschiedenis die de eenheid van de verschillende levensmomenten creëert. Ten slotte zal ik in het laatste deel proberen het inzicht in de verbanden expliciet te maken. Het gaat dan over verschillende perspectieven op de werkelijkheid: van binnen en van buiten. Waarom willen we de werkelijkheid kennen zoals we die willen?

Deel 1: De Geometrie

Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië in zijn Elementen wat hij onder een punt en wat hij onder een lijn verstaat. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan komt de vierde, de meest opmerkelijke:

Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Dit is de formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).

In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)

De vraag die onmiddellijk opkomt: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Daaruit zouden we kunnen concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde. Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen. Het is duidelijk dat Euclides geworsteld moet hebben met deze tekst.

Deze worsteling moeten we zien als een uiting van één van de belangrijkste ontdekkingen die de ‘oude Grieken’ hebben gedaan: de ontdekking dat wiskunde geen natuurwetenschap is. We staan met Euclides aan de wieg van de zuivere wiskunde. Dat Euclides zich ervan bewust was, en dat ook wilde benadrukken, dat hij het niet over aanwijsbare, waarneembare, dingen in de natuur had, dat blijkt uit zijn ‘negatieve’ formuleringen: “dat wat geen delen heeft”, “een lengte zonder breedte”. Een punt is geen punt zoals je die met een potlood op papier tekent. Dat is slechts hoe wij een punt soms voorstellen. Een punt is ook geen geheel, want een geheel bestaat uit delen. In dat licht moeten we die merkwaardige definitie van de rechte lijn zien. Hoe kun je zo’n begrip uitleggen wanneer je niet kunt verwijzen naar iets bekends in de waarneembare wereld, naar iets dat buiten de wereld die in de Elementen geconstrueerd wordt, al bekend is?

Het zou nog eeuwen duren voordat het bewustzijn van de eigenaard van de wiskunde, de bevrijding van de natuurwetenschappen, volledig bewaarheid zou worden. De vraag is óf de wiskunde zich wel volledig van de ervaring kan bevrijden.

Die Weltgeschichte ist der Fortschritt im Bewusstsein der Freiheit.” schreef de grote filosoof G.W.F. Hegel in zijn Philosophie der Geschichte. Bij de Grieken is het bewustzijn van de vrijheid van de geest ontstaan, waardoor deze ook in potentie vrij werd. Maar dat betekent nog niet dat alle Grieken meteen vrije mensen waren. Zo is het met de vrijheid van de wiskunde. Lange tijd werden wiskunde, natuurwetenschap en metafysica niet onderscheiden. Pas in de 17-de en 18de eeuw werd de wiskunde als een zuivere wetenschap gezien. En daarmee werd ze geleidelijk aan ook de maat voor wat wetenschap mag heten. De inspanningen van Lagrange en tijdgenoten de dynamica, als uitbreiding van de mechanica, te baseren op fundamentele principes en deze van metafysische invloeden (zoals het vitale krachtbegrip) te bevrijden uiten zich in de mathematisering van de mechanica, in die zin dat de natuurkundige inhoud op mathematische wijze werd geformuleerd. Bij Kant vinden we de uitspraak dat de kennisinhoud van de natuurwetenschap (waarbij hij de Newtonse mechanica op het oog had) bepaald wordt door de hoeveelheid wiskunde. “… das in jeder besondere Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist.” (Kant, Metaphysische Anfangsgründe, 14 (A VIII).

Kan de wiskunde de last van de werkelijkheid wel dragen? De vraag naar de fundamenten van de wiskundige kennis werd steeds prangender. Als er niet iets buiten de wiskunde is waarop ze zich kan funderen kan ze dan misschien die fundering in zichzelf vinden? We weten inmiddels wat de pogingen daartoe ons gebracht hebben: de hoofdpijn van de paradoxen (zoals de Russell Paradox), de Gödelstellingen. De geest van de wiskunde kan haar eigen waarheid en zinvolheid niet bewijzen. Uit deze metamathematische zelfreflectie, die verliep via de omweg van de mathematisering van de taal van de wiskunde, kwam als een aap uit de mouw de informatica, de kunstmatige intelligentie. Zoals de uurwerken voor het aanduiden van de tijd onstonden als bijvangst uit de modellering van de kosmos zo is de computer ontstaan als bijvangst uit de zelfreflectie van de wiskunde, de mathematische modellering van het (rekenende) denken zelf.

Terug naar Euclides definitie van de rechte lijn: een lijn die samenvalt met de punten die erop liggen. Hoe moeten we nu Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn begrijpen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die wijst ons indirect naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Euclides wist dat hij geen fysica bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste. Hoe moest hij zich hier uit redden?

Een lijn(stuk) is een continuum, een geheel dat deelbaar is in delen die zelf ook weer continue gehelen zijn. (“deelbaar in delen gelijksoortig aan het geheel” zou de Hollakiaanse definitie luiden volgens Harm Boukema in een notitie over deel en geheel bij Angelinus.) Euclides zou gebruik hebben kunnen maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt. Denk maar aan de paradoxen van Zenon. Die bedacht een constructie waarmee hij ‘bewees’ dat Achilles de schildpad nooit in kon halen. Een recursieve definitie zou als volgt kunnen luiden. Om te beginnen is een lijn(stuk) waarvan begin- en eindpunt samenvallen vanzelfsprekend recht: alle punten liggen er op. Als begin en eindpunt niet samenvallen, dan is een lijn recht als je deze op ieder willekeurig punt, zeg p, ervan op kunt delen in twee rechte (deel)lijnen. Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elk tweetal punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen. Dat geldt dus ook voor elk tweetal punten waarvan eentje op de ene deellijn, de andere op de andere deellijn ligt. Als je daar een rechte lijn tussen trekt dan moet het deelpunt p op die lijn liggen.

De informaticus definieert iets door gebruik te maken van het enige wat hem al definierend ter beschikking staat, via de uitwendigheid van de taal, de uitdrukkingen die hij in zijn definitie gebruikt. (Zo wordt de lengte van een eindige lijst gedefinieerd in termen van de lengte van zijn deellijsten.) Merk op dat zonder gebruik te maken van eenzinnige tekens (identifiers) we wiskundige objecten niet kunnen identificeren en er dus ook niet over na kunnen denken. In de programmeerbare automaat wordt de natuur, de tijdelijke en ruimtelijke uitwendigheid van de geest, gebruikt om de wiskundige tekens hun werk te laten doen: rekenen. De succesvolle werking van de rekenmachine is nu het enige ‘bewijs’ van de waarheid van de wiskunde.

Twee opmerkingen moeten nog gemaakt worden bij mijn recursieve definitie van de rechte lijn. Ten eerste: de Grieken zouden met het basis-geval, de situatie waarin begin- en eindpunt van de lijn samenvallen en de lijn dus gedegenereerd is tot een punt, serieuze problemen hebben. Zo iets kon net zo min bestaan als het vacuum kon bestaan. (Met dank aan Albert Visser die me hier op wees). Men zat nog teveel vast aan de materiële werkelijkheid. Merk daarbij op dat een lijn niet bestaat uit punten. Een punt heeft geen lengte en kan dus geen deel zijn van een lijn. Ten tweede eindigt de recursie niet, vanwege de oneindige dichtheid van het continuum. Die reductie houdt niet op; een lijnstuk bevat immers oneindig veel punten. Zenons paradox van Achilles en de schildpad is juist een paradox omdat je inziet dat je oneindig door kunt gaan zonder dat Achilles de schildpad inhaalt, terwijl je uit ervaring weet dat dit wel gebeurt. Niettemin geeft de recursive definitie meer inhoud aan de definitie van Euclides die we als een soort van conclusie van deze denkbeweging kunnen zien. De abstracte idee van de rechtheid is een transcendentale limiet van de recursieve definitie. Wiskundig kunnen we de stap naar het oneindige, naar de limiet, wel denken, maar we kunnen deze niet daadwerkelijk uitvoeren. Alleen ‘in het oneindige’ zal de fles waaruit we telkens de helft van wat er nog in zit opdrinken leeg zijn.

Henri Poincaré merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden, zonder deze te bewijzen. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.

“Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn. (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). Twee figuren zijn congruent wanneer men ze op elkaar kan leggen. Maar dit veronderstelt dat ze verplaatsbaar zijn zonder hun vorm te veranderen en wel op de manier zoals we onveranderlijk vaste lichaam verplaatsen. We blijven dus als wiskundigen vast zitten aan onze ervaring van de natuurlijke vaste lichamen. Volgens Poincaré veronderstellen de Euclidische definities impliciet het bestaan van onveranderlijke vaste figuren. Zonder die vaste voorstellingen kunnen we geen wiskunde bedrijven.

Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. “Een lijn is een lengte zonder dikte.” Negatieve bepalingen. Dit is geen fysica! zo wil Euclides ons zeggen. Van een ‘fysische’ lijn kunnen we soms zeggen dat de dikte verwaarloosbaar is, maar niet dat deze geen dikte heeft. Het is een vorm van mathematisme (zeer populair overigens) te denken dat de mathematische lijn door een ‘limietproces’ uit een fysische lijn kan ontstaan, namelijk door de dikte naar nul af te laten nemen. Fysische objecten en mathematische objecten behoren tot verschillende zijnsordes. Hoe moeten we nu Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn begrijpen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die wijst ons naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Deze ‘definitie’ maakt gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. We kunnen niet zeggen welke weg een individueel lichtdeeltje gaat. Het gaat ‘zijn eigen weg’. Maar Euclides bedreef geen fysica en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn. Hoe redde hij zich hier uit? Door gebruik te maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt. Euclides redeneerde namelijk zo: een rechte lijn bestaat uit rechte lijnen. Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elk tweetal punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen. Zolang de wiskunde bestaat is het een probleem hoe die zich tot de waarneembare werkelijkheid verhoudt; hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is, maar ook wat de grenzen aan die toepasbaarheid zijn. Zie daarover het proefschrift van L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit (Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982) of zijn Beyond Structure. Ook zijn filosofiecollege ging daarover.

Hoe kun je een definitie van iets geven dat niet voorstelbaar is en dat ook niet refereert naar iets dat al bij de lezer bekend is? Dan moet die definitie wel naar iets in die definitie zelf verwijzen. Zo’n definitie moet het dus van de woorden of tekens hebben waarin het begrip dat door de definitie wordt uitgedrukt zelf wordt uitgedrukt. “Zo’n circulaire definitie, dat mag niet”, zeiden de filosofen. “We doen het toch”, zeggen de informatici en ze schrijven programma’s met recursieve definities van functies die zichzelf aanroepen. Wat is het probleem! Het werkt toch! In iedere zuivere wiskundige schuilt een informaticus. En deze vraagt zich vervolgens verbaasd af hoe het toch mogelijk is dat zijn wiskundige structuren werken.

Deel 2: Fysica: De identiteit van het deeltje

Drie eeuwen voor Christus onderscheidde Euclides de discrete punten en de continue lijn, en definieerde het begrip rechte lijn als volgt

Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Een “raadselachtige” definitie want geldt dat niet voor iedere lijn?

Leibniz dacht dat wanneer we de begintoestand van een systeem kennen we met behulp van de wetten der natuur, zoals Huygens en Newton die hebben geformuleerd, de toekomst ervan kunnen berekenen. Dat blijkt niet zo te zijn. “Je moet niet alleen de begintoestand maar ook de eindtoestand voorschrijven” om de baan van een deeltje te berekenen. (Vincent Icke, De Principes van Huygens, p. 114).

In de kwantumfysica kunnen we van elk individueel deeltje pas achteraf inzien waarom het de baan volgt die het heeft afgelegd. Wat bepaalt of een lichtdeeltje weerkaatst wordt door de ruit of erdoor heen gaat? Niets. Is het antwoord dat Icke geeft op die vraag. Het is nog onbepaald. Het natuurproces is het bepaald worden van de natuur, van de deeltjes. Het is dus niet zo dat voor dat er werkelijk iets gebeurt het al vastligt wat dat is dat er gaat gebeuren. Zo te denken is alsof er een ontwerp ten grondslag ligt aan de natuur. Van vrijheid en creativieit is dan geen sprake meer. Alles is al bedacht.

Deel 3: Een levenslijn: meer dan een wiskunde curriculum

Wie terugkijkt op zijn leven realiseert zich dat zijn levenslijn een rechte lijn is volgens de definitie van Euclides. De enige rechte en de kortste. De discrete momenten in het verleden vallen samen met de eenheid, de continue levenslijn, die de identiteit van de persoon uitmaakt. Ondanks alle onzekerheden van de keuzemomenten, ondanks al die zaken die de aandacht trekken en het ik af doet wijken van het voorgeschreven curriculum, de rechte lijn die als maat moet dienen voor een op een bepaalde toekomst gerichte studie, kunnen we stellen dat deze momenten liggen op ‘het kortste kronkelpaadje’ dat ik tijdens mijn studie heb afgelegd. Had ik op enig moment anders gekozen dan ik gedaan heb, dan was ik nu immers een ander geweest. Maar gegeven wie ik nu ben liggen achteraf de momenten vast en konden ze niet tot iets anders leiden dan tot het moment van nu.

Simpel gezegd komt het er op neer dat ik vanaf augustus 1970 tot eind 1978 wiskunde studeerde in Twente.

Maar zo simpel was het niet. Want wie was die ‘ik’ en wat had hij met die wiskunde? En waarom studeren aan een Technische Hogeschool? Het waren jaren van onzekerheid. Jaren waarin ‘ik’ zich afzette tegen alles wat pretendeerde zo te zijn zoals het zich voordeed of zoals men zei dat het was of moest zijn. Jaren ook waarin ik vooral wilde weten. Waarin ik alles mij wilde toe-eigenen. Waarin ik van elk plantje dat ik op eenzame wandelingen in de bosrijke omgeving van de campus tegenkwam wilde weten welke naam erbij hoorde, door te determineren. En vooral wilde ik begrijpen. Want wat zegt een naam nou helemaal. Maar ook wilde ik, kennelijk, zo weinig mogelijk tijd besteden aan de verplichtingen die het curriculum aan dat ‘ik’ oplegde: ‘vakjes halen’. Ik wilde zelf de maat van mijn studie bepalen. Er waren zoveel andere dingen die je bezig hielden: het onrecht in de wereld: de honger in ‘de Sahel of een andere hel’, de verliefdheden, de proliferatie van kernwapens, de acties tegen de neutronenbom, de demonstraties bij Kalkar tegen de bouw van “der Schneller Brüter”, de studentenacties voor democratisering van de universiteit. Ik moest in militaire dienst, maar ik weigerde. Ik had ‘gewetensbezwaren’. Zo heette dat. Ik moest een brief schrijven om dat toe te lichten en naar een psychiater (dr. Hanrath) in Den Haag. Die nam een test af in de vorm van een gesprek: of ik wel goed bij mijn verstand was. En dan kwam daar het eerste Rapport van De Club van Rome. De hele wereld was in een economisch model opgeslagen en op basis daarvan was berekend dat we zo niet door konden gaan met leven. De mens moest maar eens beseffen dat de wereld eindig is. Er zijn grenzen aan de groei. Ik had me altijd al afgevraagd waarom ‘de economie’ altijd moest groeien en hoe automatisering gelijk op kon gaan met het streven naar volledige werkgelegenheid. Kortom: het waren jaren waarin ik op zoek was naar zekerheid. Is het gek dat je dan uiteindelijk voor de wiskunde kiest?

“Het is niet verwonderlijk dat juist wiskundigen buitengewoon veel belang bleken te hechten aan een onvoorwaardelijke absolute zekerheid op het terrein van leven en kennen” schrijft de theoloog Hans Küng in zijn magistrale werk Bestaat God?. “De zekerheid van de wiskunde, die iedere twijfel uitsluit, werd in de moderne tijd het heimwee van de filosofen.” Over dat ‘heimwee’ ging onder andere het college Wijsbegeerte van het Wiskundig Denken van Louk Fleischhacker. Hij promoveerde op een onderzoek naar het kwantitatieve aspect van de zintuiglijke ervaring, waar het wiskundig denken bij aansluit. Het is die kwantitatieve uitwendigheid die aan alle werkelijkheid zit waar de technologische beheersing de natuur bij de lurven pakt om die naar onze hand te zetten in plaats van haar te ontmoeten. Want, zo leerde Louk ons, de werkelijkheid laat zich mathematiseren voor zover er van de eigen aard ervan wordt afgezien. Voor die ‘eigen aard van de natuur’ hebben we veel te lang geen oog gehad, waardoor we nu met de gebakken peren zitten.

Ik deed mijn stage bij IBM in Israël. Bij aankomst bij het IBM gebouw aan Petah-Tikva Road in Tel-Aviv vroeg mijn stagebegeleider, Shimon Yagil heette hij, welke studierichting ik volgde. “Applied Mathematics”. Waarop hij lachte en vroeg of je ook “Unapplied Mathematics” kon studeren. Ik weet niet meer wat ik geantwoord heb. Ik heb daar nog wel over nagedacht. Had ik moeten zeggen dat er ook zoiets als ‘zuivere wiskunde’ bestond? Maar werd die dan niet toegepast? Had hij misschien begrepen dat ‘applied mathematics’ eigenlijk helemaal géén wiskunde is. En dat de zuivere wiskundige eigenlijk een informaticus is. Had hij zich misschien ook al afgevraagd wat Euclides in zijn Elementen, het begin van de zuivere, axiomatische wiskunde, bedoelde toen hij de rechte lijn definieerde met: Een rechte lijn is een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“? Een “raadselachtige omschrijving”, zoals de psychiater J.H. van den Berg in zijn geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes opmerkt.

Hoe kunnen we iets tot stand brengen alleen maar door middel van de woorden waarmee we definiëren wat het is? Zijn de Godsbewijzen niet gebaseerd op hetzelfde principe? Neem Anselmus’ Godsbewijs. Het prijkt op de omslag van het boek met wel acht Godsbewijzen, verzameld door de wiskundige en filosoof Emanuel Rutten. Anselmus definieerde: “God is datgene waarboven niets groters gedacht kan worden“. Omdat bestaan iets groter maakt dan niet-bestaan moet God wel bestaan. Kortom: omdat God het grootst denkbare is, bestaat God.

Mijn studiegenoot de wiskundige en logicus Albert Visser zei van Anselmus’ Godsbewijs dat het hem niet kon overtuigen. Waarom niet? “Omdat ik de intuïtie heb dat zo’n soort stelling niet bewezen kan worden met zo’n simpel ‘logisch’ argument. (…) Er worden heel weinig specifieke inzichten aangaande God gebruikt, terwijl Hij – zo hij al bestond – toch een heel individueel iets zou moeten zijn. Anselmus laat God meer lijken op het neutrino, waarvan het bestaan voorspeld kon worden nog voor het experimenteel ontdekt was.”

Het artikel van Albert Visser weerlegt Lucas’ Argument (tegen de dwaas die zegt: de mens is een machine). Hij vergelijkt daarin Lucas argument met Anselmus argument voor het bestaan van God.

Formele godsbewijzen, en argumenten voor het bestaan van God, missen de religieuze overtuigingskracht. Het geloof in het bestaan van God berust, net als het geloof in het bestaan van een ondeelbare werkelijkheid, op een intuïtie die niet redelijk laat staan logisch te verantwoorden is.

Over de achtergrond van de relatie tussen beide ideeën: God als Causa sui en de denkende machine, verwijs ik naar het werk van Jan Hollak. Met name naar zijn beroemde inaugurele rede “Van causa sui tot automatie” en naar het artikel “Enige beschouwingen over de eigenaard van het godsbewijs.”. Beide zijn opgenomen in de bundel Denken als bestaan, het werk van Jan Hollak. Uit dat laatste artikel citeer ik over de geperverteerde vorm van de moderne godsidee.

Zo’n godsidee “wordt in een politieke theologie gefunctionaliseerd tot middel in een strijd om een volmaakte menselijke samenleving waarbij beide (zijden) niet zien dat zij daarmede op hun beurt eenzelfde fout begaan door aan eindige waarden een absolute betekenis toe te kennen: de volmaakte mens, respectievelijk de volmaakte samenleving, niet als nastreefbaar ideaal, maar als bereikbaar objectief idee.” (Denken als bestaan, p. 413) Hollaks artikel “Hegel, Marx en de Cybernetica” was als bijlage opgenomen in Louk Fleischhackers collegebundel over het mathematische denken en de informatietechnologie. De geschiedenis van de techniek leek een logische ontwikkeling te kennen die samenhangt met een opvatting over de maatschappelijke ontwikkeling waarin de arbeidersklasse zich probeert te bevrijden van de macht van het kapitaal.

De mens wil geloven dat zijn leven zin heeft, dat al die momenten van zijn leven passen in een soort van orde, dat zijn feitelijk bestaan als het ware te boven gaat. Misschien is dat de psychologisch basis voor het geloof in een voorzienigheid, iets dat dit leven al voorzien heeft.

Deel 4: De geometrie van de levenslijn

Terugkijkend naar het verleden van dat ‘ik’, dat van 1970 tot 1979 met zijn studie van de wiskunde aan de TH Twente en met zijn zoektocht naar zekerheid een wankele basis legde voor wat komen zou, denk ik dat hij ‘het kronkelpaadje af heeft gelopen dat achteraf de kortste weg blijkt te zijn’ naar wie dat ‘ik’ nu is. De momenten van dat leven zijn pas achteraf als momenten van dat leven geworden. Had ik op die keuzemomenten op een andere wijze mijn vrijheid gerealiseerd dan was ik niet geworden wie ik nu ben. Vanuit het perspectief van een Minister van Onderwijs die de studie meet aan de hand van het standaard curriculum moet gezegd dat er vele afleidingen waren die de student deden afwijken van ‘de rechte lijn’. Dat de levenslijn achteraf beschouwd niettemin de kortste weg was, toont aan dat ieder individueel leven slechts begrepen kan worden als realisatie van zijn eigen niet-euclidische geometrie.

Met dank aan de fysicus en Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf die in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) opmerkt: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.” Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en schoolse curricula. Het zal duidelijk zijn dat deze stelling ethische consekwenties heeft voor het beoordelen van het ‘nut’ van de momenten van een mensenleven. Albert Visser: “Voor dat kronkelen was destijds veel meer ruimte dan nu. De professionalisering van het curriculum heeft het moeilijker gemaakt. Toen ik in Utrecht begon kwamen talentvolle doctoraalstudenten bij mij thuis om dingen buiten het programma te lezen. De moderne docent heeft voor zulke dingen simpelweg geen tijd.”

Ieder individueel leven heeft zijn eigen geometrie. Je daarvan bewust te zijn dat is het begin van de (soms als een verschrikkelijke last ervaren) vrijheid. Reeds Aristoteles sloot niet uit dat euclidische en niet-euclidische meetkundes naast elkaar als logische systemen kunnen bestaan. Dat zou alleen een probleem zijn wanneer met die logica’s ook één universele ontologie zou moeten bestaan. Niet alle levens hoeven elkaar echter te ontmoeten. Maar zonder de ontmoetingen zou het leven niet de moeite waard zijn. Ja, zonder die momenten zou dat leven zelfs inhoudloos zijn.

In Beyond structure, aan het eind van zijn poging tot deconstructie van het mathematisme wijst Fleischhacker op een analogie tussen de metafysica als ontmoetingsplaats van een veelheid aan perspectieven op de veelheid van pincipes van het zijn en de samenleving als ontmoetingsplaats van een veelheid aan personen, waarbij de persoon wordt opgevat als perspectief op de werkelijkheid.

Met dank aan Albert Visser voor zijn commentaar op een eerdere versie. Eventuele feitelijke onjuistheden zijn natuurlijk voor mijn rekening.

Bronnen en noten

Beason, Michael (2022). On the notion of equal figures.

Dit artikel bespreekt de notie ‘area’ (oppervlak, of ruimte die een figuur inneemt) een notie die bij Euclides niet expliciet voorkomt. Maar het bewijs dat Euclides geeft van de stelling van Pythagoras gaat wel uit van het deelbaar (knippen) zijn van een vierkant of driehoek en het verplaatsen ervan. Euclides meet geen lengtes en oppervlakte, kent er geen getal aan toe. Meetkundige figuren krijgen daardoor iets fysisch, materieels. Verplaatsen wordt dan ook beschouwd als een mechanische notie, niet als een mathematische. Poincaré bespreekt dit punt ook. Tegenwoordig wordt dit door middel van een afbeelding (functie) beschreven. De dekpunt-verzameling van een functie van de punten van een vlak in dat vlak zelf die twee punten a en b bevat vormt een rechte lijn tussen a en b. Dit veronderstelt echter de notie ‘plat vlak’. Bij Descartes krijgen de punten een locatie t.o.v. een als vast gedacht assenstelsel. Punten en lijnen, geometrische objecten, zijn dan dingen die in een reeds bestaande ruimte lijken voor te komen.

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.

J. Christiaan Boudri (1994). Het mechanische van de mechanica – Het krachtbegrip tussen mechanica en metafysica van Newton tot Lagrange. Proefschrift Universiteit Twente. Promotor: Prof. dr. H.F. Cohen.

E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.

L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit, Proefschrift, Uitgave Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982.

Fleischhacker, Louk E. (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, New York, 2000.

Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.

G.W.F.Hegel (1837). Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte. Philipp Reclam Jun. Stuttgart. Universal Bibliothek, 1961.

Hollak, Jan H.A. (1963). Hegel, Marx en de Cybernetica, in: Tijdschrift voor Philosophie (25) 1963, pp 279-294. Ook opgenomen in de bundel Hollak en Platvoet (2010).

Hollak, Jan H.A. (1968). Betrachtungen über das Wesen der heutigen technik. Kerygma und Mythos VI Band III, Theologische Forschung 44, 1968, Hamburg, Evangelischer Verlag, pp 50-73. Ook opgenomen in de bundel Denken als bestaan, het werk van Jan Hollak (Hollak en Platvoet, 2010).

Hollak, Jan en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010. In deze bundel het transcript van de opname van het Afscheidscollege over de hypothetische samenleving door Jan Hollak gehouden in Nijmegen op 21 februari 1986. Ook de inaugurele rede Van Causa sui tot Automatie is hierin opgenomen.

Poincaré, Henri  (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.

Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020.

Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) . Hij schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat; de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek.

Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.

Volgens Imre Tóth toonde de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde aan dat Kant gelijk had dat de meetkunde synthetisch apriori kennis inhoudt. De fysische werkelijkheid is immers niet niet-euclidisch, dus deze meetkunde zegt niets over de ruimte zoals we die kennen.

Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktijk van de omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).

Tóth wijst erop dat Aristoteles de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan. Hij besteedt een lange voetnoot 112 aan het punt dat een formele logica niet als een ontologie hoeft te worden beschouwd.

Published by

admin

Rieks op den Akker was onderzoeker en docent kunstmatige intelligentie, wiskunde en informatica aan de Universiteit Twente. Hij is gepensioneerd.