Month: April 2024

Verschillende stellen geven het zoeken, kopen en verbouwen van hun nieuwe woning uit handen. TV-presentator Martijn Krabbé gaat met zijn team op zoek naar de perfecte woning, die de nieuwe eigenaar pas mag bezichtigen wanneer de koop en verbouwing achter de rug is.

Het is de formule van het TV-spel-programma Kopen zonder Kijken. Wie koopt er nu een huis zonder eerst te gaan kijken? Vroeg ik me af toen ik ervan hoorde. Het is weliswaar een spel-programma maar wel een serieus spelprogramma. Althans dat is hoe het gepresenteerd wordt. Voor de tv-producent geldt: hoe gekker hoe beter. Als het maar veel kijkers trekt. En hoe gek is kopen van een huis zonder kijken nou helemaal in een wereld waarin we van alles online kopen zonder eerst te kijken wat we kopen. Zaken die we alleen van de presentatie op markplaats kennen, van de teksten en de plaatjes. Maar hoe betrouwbaar zijn die? Regelmatig worden goedgelovige kopers afgezet door niet zo goed bedoelende aanbieders. Zo kopen of huren we soms zaken die niet eens blijken te bestaan.

Welke zijn de regels die gelden bij het online via mediaplatforms aanbieden en kopen of huren? Hoe zit het met de moraal op de online markt? In dit stukje wil ik onderzoeken hoe de door technologie beheerste online media-markt uitnodigt vooral doelgericht en functioneel te handelen waarbij de moraliteit al gauw het loodje legt. En vervolgens komt de vraag aan de orde wat moraliteit eigenlijk inhoudt. Bij het beantwoorden van de vraag naar de verhouding tussen moralitiet en techniek is het van groot belang techniek en het gebruik van techniek goed te onderschieden. De filosoof en ethicus van de techniek raken betrokken in een politiek machtsspel.

Onlangs wilden we een camper huren via GoBoony, een online matching site, waar verhuurders en huurders elkaar online kunnen ‘ontmoeten’. GoBoony bepaalt de spelregels en die moeten ervoor zorgen dat er geen contact tussen huurder en verhuurder buiten het platform om mogelijk is. Zo wordt het uitwisselen van telefoonnummers of email-adres onmogelijk gemaakt. Daar kwamen we achter toen we op verzoek van de verhuurder van een door ons uitgezochte camper ons telefoonummer in de chatbox van het platform intikten. Dat nummer verscheen zowel op ons scherm als op dat van de huurder als een rijtje ****. Zo ook met het emailadres. Pas wanneer er een contract getekend is en de betaling is gedaan is het mogelijk gegevens uit te wisselen die het mogelijk maken dat de huurder kan komen kijken wat hij huurt. En ook kan de verhuurder niet eerder een indruk krijgen aan wie hij zijn camper verhuurd. Dat is het businessmodel van het platform. GoBoony motiveert de regels als onderdeel van hun policy die erop gericht is beide partijen te beschermen en verwijst naar juridische kwesties in geval dat er later onenigheid ontstaat. Door uitsluitend via het chatkanaal van het medium te communiceren kan er achteraf geen trammelant komen over wat er is afgesproken. De klant wil wel betalen voor online diensten, dus presenteert de online onderneming zich als dienstbaar aan de klant. Alles ten gunste van de gebruiker van het medium. Maar wij vonden het maar niks en onze verhuurder kennelijk ook niet.

We realiseerden ons dat dat platform een computerprogramma is dat de hele handel regelt. Een algoritme checked of de ingetikte teksten een emailadres bevat. Dat is eenvoudig te omzeilen, dachten we, en we vervingen het @-sign door at, zoals vaak gebeurt als mensen hun e-mail adres willen verbergen voor softwarerobots. Maar de computer trapte er niet in. Uiteindelijk is het gelukt om door de muur van het medium heen te breken en de telefoonnummers uit te wisselen, gewoon door ze uit te spellen. We zijn nog net iets slimmer dan de computer. Beide partijen waren het er over eens dat GoBoony het te bont maakt door het communicatiekanaal dat ze aanbiedt zo te versmallen dat het niet mogelijk is om tot een voor beide partijen verantwoorde overeenkomst te komen. Zo praatten we het doorbreken van de regels goed. Je hoeft je niet neer te leggen bij regels die niet rechtvaardig zijn.

Dergelijk gedrag is aan de orde van de dag. We handelen primair doelgericht vanuit ons eigen belang en lappen daarbij de moraal aan onze laars. Het is de afstandelijke techniek die tot dit gedrag uitnodigt. De vraag is immers of we tegenover een computer een morele verplichting hebben.

Hoe vaak komt het niet voor dat je online een contract aangaat en nog even een paar vinkjes moet zetten je verder kunt en de zaak afgerond is? Dan staat er:

⊡ Ik heb de voorwaarden gelezen en ga er mee akkoord.

of

⊡ De bovenstaande vragen heb ik naar waarheid beantwoord.

Die voorwaarden, dat zijn de beruchte ‘kleine lettertjes’ van het contract. Ze beslaan soms vele pagina’s onbegrijpelijke tekst met veel juridisch beladen termen. Wie ploegt daar doorheen voordat hij het hokje aanvinkt?

Het aanvinken van de tekst is het bevestigen van wat de tekst beweerd. Maar zo werkt het niet. Voor de normale gebruiker is het wat hem gevraagd wordt te zeggen om de zaak af te ronden, zodat de koop of huur-overeenkomst eindelijk bevestigd kan worden.

Zo zijn er twee wijzen van taalgebruik. De eerste ‘eerlijke’ manier houdt in dat je werkelijk bedoelt en meent wat de woorden zeggen. De tweede is dat het uitspreken van de woorden de sleutel is die toegang biedt tot het doel dat je beoogt. Taal wordt dan zuiver functioneel gebruikt, als gereedschap. Er is daarin geen sprake van ‘de waarheid spreken’. Taalgebruik heeft dan niets te maken met het verwoorden van (onze verhouding tot) de werkelijkheid.

Mijn stelling is nu dat het onpersoonlijke online handelen een functionele houding ten opzichte van ons taalgedrag en gedrag in het algemeen uitnodigt. De wijze waarop tekstgeneratieprogramma’s als ChatGPT de taal zien is puur functioneel. Er is geen bedoeling of verwoording van hoe iemand zijn gevoelens verwoord. Het gaat zuiver om het genereren van een tekst die past in een lopende dialoog op grond van statistieken van vergelijkbare dialogen.

Die functionele opvatting van ons taalgedrag wordt vaak toegewezen aan de filosoof Ludwig Wittgenstein. Hij beweerde dat de betekenis van de woorden bepaald wordt door hun gebruik. Dat gebruik is altijd gebruik binnen een bepaald taalspel, dat onderdeel is van een bepaalde praktijk, zoals het huren van een camper. Binnen die praktijk gelden regels die het gebruik van de taal bepalen en daarmee de betekenis. Dat het in de echte wereld niet om een spelletje gaat zoals bij het programma Kopen zonder Kijken, dat wordt bevestigd door de juridische kwesties die volgen als er iets mis gaat. Dan wordt het serieus. Het gaat er dan om of de spelregels wel gevolgd zijn. En dat is altijd een machtsspel waarin de machtigste meestal gelijk heeft.

GoBoony, Google, Amazon, RentaCar hebben als ondernemingen meer macht dan de individuele burger. En dat geldt ook voor een overheid die de burger als klant behandelt.

Maar wat heeft dit omgaan met de regels met moraliteit te maken? Waarom zouden we ons aan gedragsregels moeten houden? Waarom zouden we moeten bedoelen wat we zeggen? Dat heeft alles te maken met het respecteren van de ander en van je zelf. Uiteindelijk gaat moraliteit om de kwaliteit van de omgang met de ander, van persoon tot persoon.

Om moreel gedrag in de communicatie met computersystemen te bevorderen wordt er niet voor niets vaak voor gekozen deze systemen menselijke eigenschappen te geven. De online bemiddelaar presenteert ‘zich’ als een persoon met wie je in je eigen taal kunt praten. En inderdaad, mensen hebben de neiging deze virtuele figuren als een ander te zien. Techniekfilosofen en ethici (zoals David Gunkel en Mark Coeckelbergh) breken zich het hoofd over de kwestie of een sociale robot een persoon is of een ding en of we de robot rechten moeten toekennen. Anderen, zoals bijvoorbeeld Abebe Birhane en Jelle van Dijk (zie Birhane en Van Dijk 2020/2021) zijn van oordeel dat een robot niet iets is waar je een morele status aan kunt verlenen. Een robot of online chatbot, zoals een programma als GoBoony, is een softwareprogramma en wordt door mensen gebruikt als tool. Ook een computer, hoe ‘intelligent’ ook, is een stuk gereedschap.

De vraag of we ons moreel bezwaard moeten voelen wanneer we de spelregels van GoBoony omzeilen komt op zodra we ons ervan bewust worden dat we aan regels morrelen die we zien als acceptabele regels voor de omgang met een ander persoon. Bij onpersoonlijke van de interactie met een computer hoort dat we ons zelf en de ander niet als persoon zien, en van onze interaktie een spelletje van maken met een door het spel bepaalde inzet. We gedragen ons dan technisch en handelen zuiver functioneel. De woorden die we spreken zeggen niet wat we werkelijk vinden maar zijn tools die we gebruiken om een gewenst effect te bereiken.

Hoe intelligenter de machine wordt des te meer nodigen deze uit tot functioneel gedrag dat de moraliteit aan de laars lapt. Het gebruiksonvriendelijke van de techniek is dat de ‘intelligente’ machine geen verantwoordelijkheid kent. Deze kan niet voor de rechter worden gesleept om zich te verantwoorden. Dat kan alleen de mens die erachter zit, die de regels heeft opgesteld en die de machine als ‘autonoom’ gereedschap ziet en het veld instuurt om met mensen te onderhandelen.

Filosofie van Moraliteit en Techniek

Wanneer we nadenken over de relatie tussen moraliteit en techniek, dan is het van belang een helder onderscheid te maken tussen techniek enerzijds en het gebruik van techniek in de praktijk van het leven anderzijds. Sommige denkers over techniek onderscheiden het technische en het economisch aspect van ons handelen. Zoals Maarten Coolen in zijn thesis De Machine Voorbij. Maar veel denkers over techniek onderscheiden deze twee niet. Dat komt erop neer dat men het technische als zodanig niet onderkend en het bij techniek over het gebruik van techniek heeft. Dat heeft tot gevolg dat men enerzijds het gebruik van techniek zelf als iets technisch beschouwt, of anderzijds het technisch instrument, datgene waarvan gerbuik wordt gemaakt in de praktijk, zelf eigenschappen toedicht die aan het gebruik ervan en aan de gebruiker ervan toekomen. Dat is op zich een begrijpelijke gang van zaken omdat de idee van de techniek voortkomt uit het gebruik van de dingen in het praktische handelen. Zoals de mathematiek, de formele wetenschap van de techniek, voortkomt uit de waarneming van de werkelijkheid komt de techniek voort uit de reflectie op het omgaan met de dingen, volgens hun natuur. In het gebruik van de techniek worden deze aan de werkelijkheid ontsproten ontwerpen weer teruggebracht in de praktijk van het handelen.

Het technische op zichzelf (als technisch: dat wil zeggen de abstracte idee van techniek, de abstracte verstandsvorm of vinding) als combinatie van krachten van de natuur ten behoeve van een bepaalde werking, is iets volstrekt amoreels. Zij komt voort uit een mathematische en mathematiserende verhouding tot de natuur die afziet van de eigen kwaliteit der dingen en gericht is op het kwantitatieve, het meetbare, telbare, in het algemeen het structureerbare van de werkelijkheid. De theoretische wiskunde gaat over structuren die het als zelfstandige objecten beschouwt. Het mathematisme is de verabsolutering van deze denkhouding waarin het zijnde gereduceerd wordt tot structuur. Ten aanzien van ons gedrag overheerst in deze denkhouding het functioneren, het doelmatige. Het mathematische en technische ziet af van de eigen waarde der natuur om deze een door de mens bedachte maat (model) op te leggen. Het technische produkt is dan ook beschikbaar voor algemeen gebruik in vele concrete gebruiksomstandigheden. Bovendien heeft het gebruik altijd neveneffecten ten gevolge van het feit dat het technische idee voortkomt uit een abstractie van de werkelijkheid, waarin van sommige aspecten wordt afgezien. Deze abstractie is een typisch kenmerk van de experimentele hypothetische mathematische natuurwetenschap. Een technische werking is keerzijde van een geslaagd wetenschappelijk experiment dat als resultaat kennis oplevert over de relatie tussen bepaalde condities en de werking van de natuur volgens natuurwetmatigheden die zich in mathematische modellen laten uitdrukken.

De bedoelde verwarring van het technische op zich enerzijds en het gebruik van techniek anderzijds ten gevolge van het niet helder onderscheiden van deze twee leidt er toe dat denkers over de relatie tussen moraliteit en techniek de neiging hebben het technische instrument opgevat als zelfstandige werkelijkheid als morele agent op te vatten. Men ziet het instrument als het ware als gebruiker van techniek, zolas de mens gebruiker van techniek is. Deze opvatting is begrijpelijk omdat de technsiche mens ernaar streeft om de natuurkrachten zodanig te structureren en te combineren dat deze steeds meer zelfstandig een gewenste werking laat zien. In de vorm van de programmeerbare ‘intelligente’ machine werkt de machine volgens een ontwerp dat als ontwerp in de formules van de programmeertaal is uitgedrukt. Het zijn deze formele regels die in tekens uitgedrukt leiden tot een werking die wij als ontwerper zien als de bedoelde betekenis van het ontwerp uitgedrukt in het programma. Dat is het nieuwe van de informatieverwerkende programmeerbare machine ten opzichte van het eerder stadium in de ontwikkeling van de techniek, dat de machine weliswaar ook al realisatie is van een ingenieus ontwerp, maar dat dit ontwerp daar nog niet als ontwerp in de machine is geimplementeerd. In de informaat komen de wiskundige tekens en de wiskundige modellen tot werking.

Het is nu begrijpelijk dat er grote verwarring heerst over de ‘Machine Question’ : is de robot een ding of een persoon? Waarbij ding en instrument dan weer onderscheiden, dan weer geïdentificeerd worden. Evenzo vergaat het ‘natuurlijk persoon’ en rechtspersoon.

De twee perspectieven die we in het gebruik van de techniek die zich als intelligent zelfstandig werkend instrument presenteert en ons uitnodigt er gebruik van te maken zijn onverenigbaar. Moraliteit is geen eigenschap die aan het technisch als zodanig toekomt (het moet er als het ware van buiten af aan worden toegekend, zie Coeckelbergh). Het technisch is als zodanig volkstrekt amoreel. De moraliteit zit in het gebruik van de techniek door de mens. Zodra we dit gebruik zien als een relatie met een persoon is de moralitiet in het geding. Maar wie met pek omgaat wordt ermee besmet. De mens kan zich zelf als technisch functionerend onderdeel van een interactief systeem beschouwen en in interaktie met een ‘intelligente’ machine zuiver functioneel optreden en een ‘amoreel’ spel meespelen waarin het zijn eigen doelen tracht te verwerkelijken.

Het is dan ook begrijpelijk dat Gunkel in zijn beschouwingen over de Machine Question tot de conclusie komt dat het uiteindelijk neerkomt op een machtsstrijd tussen betrokken partijen. Wie bepaalt de regels van het spel? Wie bepaalt welke partij (de eigenaar van de softwareagent of de gebruiker) gerechtigd is de ander als een abstract subject, functionerend in de contekst van een business-model, op te vatten? Let wel: GoBoony is ook een business-model waarin de gebruiker als een abstract subject wordt gezien dat in hun spelmodel een bepaalde rol heeft. En wie bepaalt of men met de software agent op morele wijze moet omgaan; alsof het een persoon is, dat is: een entiteit die je in zijn waarde laat en niet als instrument mag gebruiken (Kant).

Is GoBoony een persoon of een software agent?

De opvatting dat de intelligente machine (AI) een (rechts)persoon is wordt terecht door velen gezien als poging van de betrokkenen bij het gebruik van de machine te ontkomen aan de verantwoording voor de rechter. Er zijn legale constructies die rechtspersoon zijn, zoals een onderneming. Ook kan een natuurlijke entitiet als rechtspersoon worden gezien. Dan gaat het om de bescherming van een stuk natuur, zoals de Waddenzee. We beschermen bepaalde landschappen vanwege hun uitzonderlijke waarde voor mens en natuur. Het zou goed zijn de aarde, het leven, de natuur, als zo’n rechtspersoon te zien. Het rechtssysteem vormt zo een tegenwicht tegenover de mathematisch technische houding die van de eigen waarde van de natuur afziet en deze als beschikbare gebruikswaarde ziet. Maar hoe ver reikt de macht van het recht? Uiteindelijk staat de verhouding tussen macht en recht op het spel.

Een machine is iets dat geen bewustzijn heeft, het weet niet wat het doet, het kent geen verantwoordelijkheidsgevoel en als het iets slims lijkt te zeggen dan is dat omdat wij in de woorden die het genereert iets zinnigs lezen in de context van het gebruik, een context die voor de machine niets anders is dan een conditie voor de natuurnoodzakelijke werking die de machine is.

Intersubjectiviteit is een principe. Je kunt van alles vanuit dit principe beschouwen. Het kind ziet in een knuffelbeer een subject. De mens ziet in de machine een subject. Het gaat hier echter om een pseudo-subjectiviteit, een niet-reflexieve vorm. De machine denkt niet. Net zo min als de appel die uit de boom valt uitrekent met welke snelheid deze moet vallen. Die appel kent de wetten van Newton niet zoals wij die kennen. Het principe is niet verenigbaar en niet reduceerbaar met het wetenschappelijk kennen dat de werkelijkheid als wetmatig werkend systeem ziet.

De Nederlandse filosoof Jan Hollak heeft in verschillende artikelen zijn gedachten over het fenomeen van de ‘denkende machine’ en de ‘bewuste machine’ met zijn lezers gedeeld. In zijn beroemde inaugurele rede Van Causa sui tot Automatie plaatst hij de volgende voetnoot.

“Wanneer hier voortdurend in verband met mechanismen van ‘reflectie’, ‘zelfreflectie’, etc. sprake is dan is daarmee vanzelfsprekend nooit het subjectieve act-leven van het menselijk denken bedoeld (machines hebben geen bewustzijn), maar steeds slechts zijn intentioneel correlaat” (In: Hollak en Platvoet, voetnoot op p. 185)

Zie voor uitleg mijn blog Over David Chalmers ‘hard problem’ en de eenheid van de geest.

Het typische van techniek is dat het medieert. Dat is waar techniekfilosoof Peter-Paul Verbeek nadruk op legt (in navolging van o.a. Don Ihde, zie bijvoorbeeld Verbeeks What Things Do) . Techniek is in het gebruik een middel dat tussen mens en gebruik in staat. De techniekfilosofie van Verbeek gaat over concrete toepassingen, vooral medische toepassingen en vraagt wat de mogelijkheden, die nieuwe technologie biedt, doet met hoe we in de wereld staan. Die mogelijkheden regelen ons gedrag. Dat is de macht van de techniek. In die zin is het technische ding een morele agent.

Een belangrijk ‘gevolg’ van de AI is dat we onszelf als technisch informatieverwerkend systeem zijn gaan zien, een onderdeel van een totaal systeem waarin ook software agenten meespelen. Deze de-subjectivering van de mens is kenmerkend voor de technische cultuur. De morele kwestie treedt pas op als we ons realiseren dat we niet in die technische relatie opgaan maar er boven of tegenover staan, en dat we ons als verantwoordelijke mens verhouden tot onszelf als technische mens. We hebben techniek nodig maar we willen wel moreel subject zijn dat zijn verantwoordelijkheid kan nemen voor zijn handelen. Techniek die dat in de weg staat moeten we afwijzen.

Referenties

Birhane, Abebe and Jelle van Dijk (2020). Robot Rights? Let’s talk about human welfare instead. In: AIES ‘20: Proceedings of the AAAI/ACM Conference on AI, Ethics, and Society, 207–213. New York: ACM. https://doi.org/10.1145/3375627.3375855

“Our starting point is not to deny robots ‘rights’, but to deny that robots are the kinds of beings that could be granted or denied rights.”

Birhane, Abeba, Jelle van Dijk, and Frank Pasquale (2021). Debunking Robot Rights Metaphysically, Ethically, and Legally. Paper presented at We Robot, University of Miami School of Law, Miami, FL, September 23–25.

Mark Coeckelbergh (2012), Growing moral Relations: critique of moral status ascription. Palgrave MacMillan, 2012.

Coeckelbergh wijst erop dat de moraliteit een aspect is van de relatie die we met de dingen hebben. Deze ‘dynamische morele relatie’ groeit met het groeien van de relatie tussen subjecten.

Gunkel, David J. (2007). Thinking otherwise – philosophy, communication, technology. Purdue University Press / West Lafayette, Indiana, 2007.

“The Machine Question” asks about the moral status of those other forms of otherness, most notably the animal and the machine, which have been, even in Levinas’s own work, systematically excluded from the rank and file of ethics.

Gunkel, David J. (2023). Person, Thing, Robot – A Moral and Legal Ontology for the 21st Century and Beyond, MIT Press, Open acces, September 2023.

“Ultimately, then, this is not really about robots, AI systems, and other artifacts. It is about us. It is about the moral and legal institutions that we have fabricated to make sense of Things.”

Hollak, Jan en Wim Platvoet (red.) (2010). Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010. In deze bundel het transcript van de opname van het Afscheidscollege over de hypothetische samenleving door Jan Hollak gehouden in Nijmegen op 21 februari 1986. Ook de inaugurele rede Van Causa sui tot Automatie is hierin opgenomen.

“Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk” (Euclides van Alexandrië)

Enige tijd geleden kwam ik in de bibliotheek René Gude over René Descartes tegen, een uitgave van De Vrije Uitgeverij waarin de Nederlandse filosoof René Gude (1957-2015), oud-directeur van de ISVW, de Internationale School voor Wijsbegeerte, en gewezen Denker des Vaderlands, van zijn liefde getuigt voor de beroemde filosoof René Descartes (1596-1650), die van ‘cogito ergo sum’, ik denk dus ik ben.

Als Gude het over zijn naamgenoot heeft dan noemt hij hem soms ‘die fijne vent’ of ‘een lekker ventje’. Dat is typerend voor Gude die de filosofie probeerde onder het volk te brengen en van de stoffige academische geleerdheid wilde ontdoen. De filosoof is ook maar een mens. Zo lezen wij in Hans Dijkhuis biografie Descartes – zijn Nederlandse jaren van het immense verdriet dat Descartes overviel toen hij vernam van het overlijden van zijn vijfjarige dochtertje Francine. Het was zijn enig kind, geboren uit een buitenechtelijke relatie met de dienstmeid Helena Jansdr van der Stroom, een relatie die hij voor de boze wereld van het gemene volk en de theologen verborgen wilde houden, zodat hij geheel tegen zijn wens gescheiden van hen leefde. De wereld was boos op René omdat hij afstand nam van de Aristotelische boekenwijsheid. Hij zei ook niet veel waarde te hechten aan wat er in de Bijbel stond. Hij wilde zelf ontdekken wat waar is en wat slechts traditie; door zijn verstand te gebruiken, “het best verdeelde goed ter wereld”.

Volgens Gude is de wereld nog steeds boos op Descartes, maar om diverse andere redenen. Omdat hij de kille wetenschap heeft geïntroduceerd, omdat hij de scheiding heeft aangebracht tussen geesteswetenschappen en materiewetenschappen. Omdat hij de idee van de mens als machine zou hebben ingebracht (wat niet zo is). En omdat hij het individualisme, het ‘ik’ als centrum van kennis, zou hebben ingevoerd. “De harde, kille, nare, industrieel wetenschappelijke… beheersingsdranggericht mens …Daar is Descartes de vader van.” (p. 22).

Volgens de onlangs overleden ‘philosopher of mind’ Daniel C. Dennett heeft de psychologie vier eeuwen vertraging opgelopen door Descartes’ ‘krankzinnige opvatting over de verhouding tussen lichaam en geest’. Achteraf is het mooi wonen.

Een heel expliciet voorbeeld van dit negatieve beschuldigende beeld van de filosofie van Descartes vinden we in het denken van Houria Bouteldja.

“Ik denk dus ik ben. Ik denk dus ik ben … God.” Zo begint Houria Bouteldja haar aanklacht tegen de witte mens. Volgens de Frans-Algerijnse ‘indigène’ zit het machtsdenken van de witte mens diep verborgen in de metafysica van Descartes. “Ik denk dus ik ben degene die overheerst.” “Ik denk dus ik ben de moderne, mannelijke, kapitalistische, imperialistische mens.”

“Het cartesiaanse ‘ik’ legt de filosofische fundamenten van de witheid.”

Gude zegt er spijt van te hebben dat hij er niet in geslaagd is Descartes, de ‘vader van de moderne filosofie’ in die dertig jaren dat hij filosofie lessen gaf te rehabiliteren en te bevrijden van “dat imago dat hij een stoute man is die ons met een mal lichaam-zieldualisme heeft opgezadeld”.

Na het Vertoog over de Methode vindt Gude de Meditaties, een ‘doe-het-zelf-boek’, van Descartes hét boek. “Ik zal je vertellen waarom ik zo getroffen was door Descartes. Dat is omdat hij op zo’n fantastische manier het verschil maakt tussen het dagelijk leven – het met je gezonde verstand, met vallen en opstaan, er een beetje op los leven – waar hij geen bezwaar tegen heeft, maar dat wel het risico heeft dat je af en toe eens flink met je plaat tegen de muur oploopt, een aan de andere kant een wetenschappelijke gang van zaken.” (p. 22)

Wat Gude dan met name ‘zo leuk’ vindt aan Descartes is dat hij de kritische vraag stelt aan de wetenschapper met zijn universitaire opleiding: “vind jij nou werkelijk dat de kennis die je tijdens je studie hebt opgedaan meer waard is dan wat ‘the man in the street’die jij daar straks als deskundige mee gaat lastig vallen zelf had kunnen bedenken?”

Natuurlijk komt in het boek ook de Géometrie ter sprake. Het verscheen als een bijlage bij Discours de la Méthode (1637), Vertoog over de (wiskundige) methode, de enige methode die volgens Descartes tot ware kennis leidt. De eerste regel van de procedure die tot zekere kennis moet leiden luidt – in de woorden van Gude: “Neem niets voor waar aan dat niet volstrekt vanzelfsprekend is en neem het gevolg voor lief.”

Gude nodigt de lezer uit de methode eens uit te proberen op een of ander bekend wiskundig probleem: “… oefen bijvoorbeeld eens op de stelling”:

In iedere driehoek ligt de langste zijde altijd tegenover de grootste hoek.

Dat Gude met een wiskundig probleem aankomt, is niet toevallig. Voor Descartes was de methode van de wiskunde het voorbeeld van zijn algemene wetenschappelijke methode.

Vanaf het moment dat ik van de stelling vernam, hield deze me bezig. Wanneer ik de slaap niet kon vatten of de slaap mij niet, puzzelde ik in gedachten aan een bewijs. Zoals Gude opmerkt: “Voor het gezonde verstand is de stelling intuïtief waar. Teken maar eens drieënvijftig driehoeken, het klopt altijd”. Maar een tekening is geen bewijs. Je moet het kunnen beredeneren, afleiden uit axioma’s. Je moet het uitrekenen als het ware. Plaatjes mogen hoogstens dienen ter ondersteuning. Dat is het idee. Dat is wiskunde. Wat Gude wil is dat de lezer zo zelf ontdekt “dat het een stuk eenvoudiger is om een intuïtie als waar aan te nemen, dan haar mathematisch te demonstreren.”

Maar, is het niet triviaal dat hoe groter een hoek is, des te groter de overliggende zijde is? De grootte van een hoek toont zich toch in de ruimte tussen de benen van de hoek? Zoals de knoflook zich toont in de knoflookgeur. Zoals de grootte van de kracht zich toont in de uitwerking ervan. Wat valt er eigenlijk te bewijzen? Is hier nog een speld tussen te krijgen? Is er nog een syllogistische ‘middenterm’ te vinden die de stelling inzichtelijk maakt? Wat mag ik eigenlijk bekend veronderstellen als ik een bewijs wil geven? Meer dan de postulaten van Euclides?

Het vierde van de vijf postulaten uit De Elementen zegt dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn. Een raadselachtige bewering. Niet omdat het niet waar zou zijn, maar vanwege het feit dat Euclides kennelijk vond dat het als een fundamenteel inzicht opgenomen moest worden. Wat wordt hier eigenlijk beweerd? Als je zegt dat twee hoeken gelijk zijn dan heb je die twee al onderscheiden. Maar waarin bestaat het verschil tussen twee rechte hoeken? In de lijnen waartussen de hoek bestaat, misschien. De bewering is dus: als je twee paar lijnen hebt en de hoek tussen beide paren is recht dan zijn die hoeken gelijk. Het bijzondere is dat Euclides het over het ‘recht’ zijn van een hoek heeft zonder dit te definiëren.

Dat Euclides moeite had met het begrip recht blijkt ook uit zijn definitie van de rechte lijn. Dat is een lijn die samenvalt met alle punten die erop liggen. Ook al zo’n raadselachtige omschrijving. Geldt dit niet voor elke lijn? Als Euclides beweert dat tussen elke twee punten slechts één lijn getrokken kan worden, dan bedoelt hij één rechte lijn. Ook uit zijn definities van punt (wat geen delen heeft) en lijn (een lengte zonder breedte) blijkt dat Euclides zich voortdurend bewust was van het feit dat deze objecten van de wiskunde geen fysische objecten zijn, zoals een steen of een pyramide. De punt op papier is geen meetkundig punt. Dat is slechts een hulpmiddel, een tekening van een punt.

In zekere zin is er maar één rechte hoek, zoals de ideeën van Plato uniek zijn, en toch zijn er meerdere exemplaren van een rechte hoek. Maar die zijn wel allemaal gelijk. Qua grootte. De grootte van de rechte hoek zit hem in de aanduiding ‘recht’. Een rechte hoek krijg je als je een lijn ‘loodrecht’ snijdt met een andere lijn. De hoeken tussen de snijdende lijnen noemen we dan ‘recht’. Maar wat is ‘loodrecht’?

Een paar eeuwen voor Euclides had Thales van Milete (die leefde rond 600 voor Christus) opgemerkt – volgens de overlevering, want van Thales’ hand zijn geen documenten bekend – dat elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel een rechte hoek is. Deze staat bekend als de Stelling van Thales.

Het begrip omtrekshoek zal in mijn bewijs van de Stelling van Gude, een bewijs dat ik hieronder presenteer, een belangrijke rol spelen. Het bovengenoemde basale feit dat er een directe relatie bestaat tussen de grootte van een hoek en de ruimte tussen de benen van de hoek komt namelijk tot uitdrukking in een stelling die een generalisatie is van de Stelling van Thales:

Omtrekshoeken op een gegeven koorde zijn gelijk aan de helft van de grootte van de middelpuntshoek op de zelfde koorde.

Dat betekent dat alle omtrekshoeken op een gegeven koorde gelijk zijn. In het linkerdeel van onderstaande figuur zijn bijvoorbeeld de omtrekshoeken BAC2 en DAC2 op de koorde BC2 gelijk.

De cirkelkoorde is dus ‘de ruimte tussen de benen’ die de juiste maat is voor de grootte van de hoek als het hoekpunt op de omtrek van de cirkel ligt of met het middelpunt samenvalt.

Wat ik eigenlijk wilde bewijzen

Ik realiseerde me dat een bewijs van de Stelling van Gude al vele malen geleverd moet zijn. Vermoedelijk heeft Euclides zelf de stelling al genoemd en er een bewijs voor geleverd. Het bewijs is dan eenvoudig te vinden op het internet. Het echte probleem is dat ik het zélf wil bewijzen. Ik wil immers nog iets anders bewijzen dan de stelling, namelijk dat ik het kan bewijzen. Want, wie ben ik als ik dit niet kan bewijzen! Ook al heb ik tijdens mijn leven nog zo veel stellingen bewezen, ik ben niets waard als ik het probleem waaraan ik me zet niet kan oplossen. Het is zoals met het Cartesiaanse ‘ik denk dus ik ben’. Het is geen logische conclusie met een resultaat dat beklijft als het één keer is aangetoond. Descartes denkt niet meer en is niet meer. Alleen als actueel denkend mens kan ik met absolute zekerheid concluderen dat ik besta als ik denk, omdat ik denk. Dat is dan immers een niet te ontkennen feit. Ik ben er immers zelf bij en ik doe het zelf. Al denkend besta ik. In mijn denken constateer ik dat ik denk. Descartes ‘cogito’ is een waarheid die door zelfreflectie van het denkend ik al denkend tot stand komt. Maar ik ben niet alleen dan als ik denk.

Wij doen dingen niet puur en alleen vanwege het uitwendige resultaat ervan. Het maaien van het grasveldje is voor mij soms net zo’n contemplatieve bezigheid als het zoeken naar het bewijs van een wiskunde stelling, of het oplossen van een Sudoku puzzel. Het gaat niet om het resultaat als iets dat buiten mij bestaat. Die puzzels zijn al tig keer door anderen opgelost. Ik kan de computer het laten doen. En dat gras zou ik ook door een robot kunnen laten maaien. Maar dan is het niet mijn werk.

Na vele lange nachten meen ik dan eindelijk een bewijs gevonden te hebben van de stelling. En om dat te bewijzen toon ik het hier. Iets is immers pas werkelijk waar als je het deelt met anderen.

Van driehoek ABC, noem ik de (lengtes van de) zijde tegenover de hoekpunten A, B, en C respectievelijk a, b en c. Verder zal ik met A zowel hoekpunt A als de grootte van deze hoek aangeven. Zo ook voor B en C. (Zie de figuur). De enigszins uitgebreide stelling is dan om precies te zijn.

Als A >= B >= C dan geldt: a >= b >= c.

In woorden: als hoek A groter of gelijk is aan hoek B en/of B groter of gelijk is aan C dan geldt ook voor de overliggende zijdes dat a groter of gelijk is aan b en/of b groter of gelijk is aan c. En het omgekeerde is ook waar.

De gelijktekens gelden in de bijzondere gevallen dat er twee of drie hoeken (zijden) gelijk zijn.

Rekening houdend met deze bijzondere gevallen kunnen we de Stelling van Gude dan ook als volgt formuleren:

Als een driehoek een unieke grootste hoek heeft dan heeft deze ook een unieke grootste zijde en deze ligt tegenover de grootste hoek.

En het omgekeerde is natuurlijk ook weer waar: tegenover de grootste zijde ligt de grootste hoek. De precisering van de uniekheid van de grootste hoek of zijde is noodzakelijk vanwege het feit dat een gelijkbenige driehoek waarvan de tophoek kleiner dan 60 graden is geen unieke grootste hoek heeft. Uit het feit dat de hoekensom in elke driehoek 180 graden is (dat geldt in een Euclidische driehoek) volgt dat als de tophoek van een gelijkzijdige driehoek groter dan 60 graden is de beide basishoeken, die immers gelijk aan elkaar zijn (ook dat schijnt Thales al geweten te hebben) kleiner zijn dan de tophoek. Is de tophoek kleiner dan 60 graden dan zijn de basishoeken groter dan 60 en is er geen unieke grootste hoek. Is de tophoek 60 graden dan is de gelijkbenige driehoek gelijkzijdig en zijn de drie hoeken allen even groot.

We onderscheiden drie gevallen. In alle drie gevallen is hoek C de unieke grootste hoek van de driehoek ABC.

Geval 1. Hoek C is 90 graden. In een rechthoekige driehoek geldt de Stelling van Pythagoras: c*c = a*a + b*b. De schuine zijde c is dus langer dan de beide rechthoekzijden a en b. Maar het volgt ook uit de Stelling van Thales. In de linker figuur is de schuine zijde van driehoek ABC1 middellijn van de omgeschreven cirkel van de driehoek en dit is de langste koorde van een driehoek. AB is dus langer dan de koorden AC1 en BC1.

Geval 2. Hoek C is kleiner dan 90 graden. Zie middelste deel van de figuur. M is middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Uit bovengenoemde stelling dat een omtrekshoek de helft is van de middelpuntshoek op dezelfde koorde volgt dat de hoeken A, B en C respectievelijk de helft zijn van de middelpuntshoeken Ma, Mb, respectievelijk Mc. Omdat hoek C groter is dan hoeken A en B, is ook Mc groter dan Ma en Mb. Dus is c groter dan a en groter dan b.

Geval 3. Hoek C is groter dan 90 graden. Zie rechter deel van de figuur. Trek een lijn loodrecht op AC. Deze snijdt AB in punt D tussen A en B en verdeelt c in de stukken c1 en c2. In driehoek ADC is hoek ADC recht en dus is c1 groter dan b. (geval 1). Omdat c = c1 + c2 volgt dat c groter is dan b. Om te bewijzen dat c ook groter is dan a, trek een hulplijn l in het verlengde van B en C. Trek een lijn vanuit A loodrecht op de lijn l. Het snijpunt is E. De lengte van lijnstuk EC is a1. Driehoek AEB is rechthoekig met c als schuine zijde. Daaruit volgt dat c groter is dan de lengte van BE die lengte a + a1 heeft (geval 1). Dus c > a.

Daarmee is de Stelling van Gude bewezen.

Hadden we deze drie gevallen niet in één keer kunnen bewijzen? Ja, dat lijkt wel zo. We zien dat geval 1 een bijzonder geval is van geval 2, namelijk wanneer de zijde AB precies samenvalt met de middellijn van de omgeschreven cirkel. Ook het geval drie kan met behulp van de methode van geval 2 worden bewezen. In dat geval ligt het centrum M van de omgeschreven cirkel buiten de driehoek. In dat geval is hoek C niet de helft van de grootte van de middelpuntshoek M op de zijde AB, maar de helft van 360 – de middelpuntshoek op AB. Toch weer een gevalsonderscheid dus.

Hoe dan ook: de eenvoudige relatie tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek, die de basis vormt voor het bewijs van de Stelling, geeft aan dat de lengte van de koorde van de cirkel zich tot de grootte van de hoek verhoudt als de geur van de knoflook tot de knoflook, of van de uiterlijke werking van de kracht tot de ‘ingehouden’ kracht. (Hegel spreekt in de paragraaf Kraft und Verstand van de Phänomenologie des Geistes over de ‘zurückgedrängte Kraft oder die eigentliche Kraft’ en de ‘Äusserung‘ als over de beide momenten van de kracht. Later zouden de fysici spreken over ‘het krachtenveld’ en lost het begrip kracht op in mathematische formules, het woord kracht vond men eigenlijk te antropologisch, en moest verbannen worden uit de wetenschap.)

Ik laat het aan de lezer over de stelling van de omtrekshoek te bewijzen. In de boeken vinden we de sterk verwante sinusregel die wel toegeschreven wordt aan de Iraanse wiskundige Nasir al-Din al-Toesi (1201-1274). Deze zegt dat de verhoudingen van de sinus van de hoek en de overstaande zijde ervan constant is. a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2*r, waarbij r de straal is van de omgeschreven cirkel van ABC.

Het vijfde postulaat

Sprekend over de omgeschreven cirkel van een driehoek hebben we zo maar aangenomen dat die voor elke driehoek bestaat. Ook dat zouden we moeten bewijzen. En als we de stelling van de omtrekshoek willen bewijzen, dan hebben we de stelling nodig dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken, ofwel 180 graden. Oeps…waar stopt dit? Mogen we dat allemaal zo maar aannemen? Het is bekend dat dit alleen bewezen kan worden wanneer we het vijfde postulaat van Euclides (of een even krachtige stelling) aannemen. Dat postulaat, dat bekend staat als ‘het parallellenpostulaat’ zegt dat door ieder punt buiten een gegeven lijn precies één lijn gaat die de gegeven lijn niet snijdt. In de oorspronkelijke formulering van Euclides luidt het vijfde postulaat:

Wanneer een lijn l twee andere lijnen zodanig snijdt dat de som van de binnenhoeken aan dezelfde zijde van l kleiner is dan twee rechte hoeken, dan zullen de twee andere lijnen elkaar ergens aan die zijde van l snijden.

Noemen we die twee gegeven snijpunten A en B en het laatstgenoemde ver van A en B gelegen snijpunt C dan hebben we een driehoek ABC. Zie onderstaande figuur. Het is nu eenvoudig in te zien dat als de beide basishoeken ongelijk zijn de grootste van beide hoeken tegenover de langste van de twee zijden AC en BC ligt. En dat is weer de Stelling van Gude voor een driehoek met een hoek die groter is dan een rechte hoek.

Zo blijkt de Stelling van Gude uitdrukking te zijn van een zeer basale intuitie van de meetkunde van Euclides. En dat geeft te denken. Hoe fundamenteel is dit inzicht? Waarom zou het parallellenpostulaat waar moeten zijn?

In de 19de eeuw, meer dan twintig eeuwen na Euclides, ontdekten verschillende wiskundigen het bestaan van consistente meetkundes die niet voldoen aan het vijfde postulaat van Euclides. In die meetkundes geldt dat de hoekensom niet 180 graden is, maar meer of minder. In deze niet-Euclidische werelden kun je niet zo maar driehoeken groter of kleiner maken zonder de groottes van de hoeken te veranderen. Of de Stelling van Gude in alle niet-Euclidische meetkundes ook geldt? Ik vermoed van niet. Misschien is deze stelling wel zo fundamenteel dat deze uitwisselbaar is met het parallellenpostulaat.

Of Descartes zich gerealiseerd heeft dat de fysische ruimte wel eens niet-Euclidisch zou kunnen zijn, maar ook Euclidisch, dat waag ik te betwijfelen. Voor hem was de fysische ruimte immers zelf de mathematische ruimte. Daartussen bestond voor hem geen onderscheid. Descartes meende de brekingswet van Snellius zuiver meetkundig af te kunnen leiden (Christiaan Huygens, die overigens veel bewondering had voor Descartes, zou later aantonen dat dit niet kan). In een debat met de wiskundige en natuurkundige Blaise Pascal verdedigde Descartes zijn mening dat het vacuum, de lege ruimte, niet kan bestaan. Althans niet in zijn metafysica. Die is mathematisch. De ruimte, res extensa, is materie en dat is alles wat bestaat buiten die andere substantie, het subject. Tegenover het mathematisch denkend ik (het cogito) staat een mathematische werkelijkheid, waarvan de uitgebreidheid, de kwaliteit, het wezenlijke karakter is. De wereld buiten het denken is vanuit de mathematische denkhouding een machine. Deze denkhouding brengt de techniek voort. Het is de in onze westerse, technocratische cultuur overheersende denkhouding, waarin we onze werkelijkheid vastleggen in mathematische modellen. Modellen die we vervolgens in de computer stoppen om de toekomst te kunnen voorspellen. Of om de kortste weg te bepalen naar de door ons gewenste toekomst.

De kritiek op Descartes, die Gude zo onterecht vindt, zou wel eens voort kunnen komen uit de ervaren teleurstelling in de tegenvallende resultaten van de technologie, het belangrijkste resultaat van de mathematiserende wetenschappelijke methode, en in de desastreuse ecologische ‘neveneffecten’ van de toepassing van die technologie. Maar er is meer. Ook de natuurwetenschappen zelf kwamen tot de ontdekking dat er grenzen zijn aan onze kennis wanneer we de zaken zo voorstellen. Materie bleek invloed te hebben op de kromming van de ruimte en deeltjes bleken een onvoorspelbaar eigen leven te leiden.

We weten nu wat meetkunde is. De meetkundige meet niet, maar legt heldere en klare begrippen vast en formuleert stellingen. Ze bepaalt hoe het met de wereld gesteld is. (Martin Heidegger karakteriseerde niet voor niets de wereld van de technologie als Ge-stell) Waarom stelt de wiskunde dat de werkelijkheid er zo en niet anders uit ziet? Descartes zou zeggen omdat ik inzie dat het zo is: helder en klaar. Maar René, waarom weet je zo zeker dat je intuïtie je niet misleidt? Descartes: Omdat God heeft gewild dat het zo is. En God bedriegt ons niet. Descartes was een gelovig mens. Hij vond het dan ook zeer onterecht dat de theologen van de Universiteit van Utrecht, hem betichtten van atheïsme. Omdat hij niet zonder meer geloofde in de waarheid van Aristoteles of in de waarheid van de Bijbel, de waarheden van de universiteiten en de Kerk. Voor Descartes betekende God de garantie voor de waarheid (de verités eternelles) van zijn (mathematische) inzichten.

Bij Descartes komt wiskundige kennis niet voort uit de ervaring. Ook Kant was die mening toegedaan: wiskundige kennis is apriori kennis. En ook bij Kant is er waarheid in de natuurwetenschap in zoverre deze mathematisch is.

Het begrip van het leven is bij Descartes verdwenen. Het cogito is een abstract zelfbewustzijn. Een punt: ik ben ik. De hele ervaringswereld wordt daar tegenover geplaatst, als iets abstracts, res extensa. De dynamiek van het leven en het zelfbewustzijn is er uit verdwenen. De wereld is een constructie, een machine waarvan het zelf, het ontwerp, er buiten ligt. Descartes schetst ons in zijn filosofie het moderne westerse wereldbeeld. Reflectie, zelfbewustzijn, komt bij Descartes alleen aan de kant van het subject voor. Niet aan de kant van het object. Sommige post-moderne filosofen zien in het bestaan van de ‘denkende machine’ (AI) een opheffing van het Cartesiaanse dualisme. De object-zijde is ook subject. Met als uiterste consekwentie dat ook het leven als iets kunstmatigs, als techniek, wordt gezien.

De driehoeksongelijkheid

Een meetkundig inzicht zegt ons dat de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten. In een driehoek geldt dan ook de driehoeksongelijkheid, die zegt dat iedere zijde korter is dan de som van de twee andere zijdes. Euclides defineerde de rechte lijn als de lijn die samenvalt met de punten die erop liggen. Een merkwaardige definitie: velen hebben zich al afgevraagd: hoe komt hij daar nou bij? Want iedere lijn valt toch samen met de punten die er op liggen. Is dan iedere lijn recht in de meetkunde van Euclides? Nee, want er zijn volgens hem wel degelijk meerdere lijnen mogelijk tussen twee gegeven punten. Daarvan is slechts één de kortste. En dat is de rechte lijn. De andere zijn krom.

Euclides lijkt twee verschillende perspectieven te hebben op de relatie tussen punt en lijn. Vanuit het ene, ‘dynamische’, perspectief ziet hij punten, die samen een lijn gaan vormen. Vanuit het andere, het ‘statische’ perspectief ziet hij een beginpunt en een eindpunt en daartussen kan een rechte lijn worden getrokken.

Vanuit het statische perspectief liggen begin- en eindpunt vast. De lengtemaat wordt van buiten af opgelegd aan het leven. Als je precies weet wat je wilt bereiken in je leven, wie je wilt zijn, een stip op de horizon, dan is dit de korste weg.

Vanuit het dynamische perspectief is de lijn een ‘levenslijn’. De punten zijn de momenten van het leven, dat nergens anders in bestaat dan in de momenten ervan. Het leven kent zijn eigen maat. Ieder leven is het rechte leven, de korste weg van moment naar moment. Het leven bepaalt zijn eigen (eind)punten.

“De eigenheid en bepaaldheid van onze belevingen en handelingen bestaan nu juist in hun voorbijgaan.” (Louk Fleischhacker, Hegel, Zelfbewustzijn, Begeerte en de Ander, p. 52). Die belevingen en handelingen zijn de momenten van het leven die samen de individuele identiteit van het leven bepalen.

Is de rechte lijn de kortste verbinding tussen twee punten?

In 1900 presenteerde de wiskundige David Hilbert (1862-1943) op een wiskundecongres 23 openstaande problemen. Het vierde probleem betreft de vraag hoe de bewering dat ‘de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten’ zich verhoudt tot de andere postulaten van de meetkunde, met name het parallellenpostulaat en de stelling van Euclides dat in elke driehoek de som van twee zijden groter is dan de derde zijde.

Het probleem is een bijzonder geval van de algemene kwestie wanneer je een stelling wilt bewijzen in de wiskunde: wat je aan mag nemen als zijnde waar. De waarheid van een stelling is gekoppeld aan die van andere stellingen en uiteindelijk aan de axioma’s. In geen enkele andere wetenschap dan in de wiskunde is het zo duidelijk hoe de waarheid van een bewering relatief is ten opzichte van de stellingen die we als axioma’s aannemen als uitdrukking van onze intuïtie in een bepaald domein van de werkelijkheid. De experimentele (positieve) wetenschap is hypothetisch vanwege haar mathematische karakter en mathematisch omdat ze hypothetisch is.

Hilbert verwijst naar een brief die hij in 1895 aan zijn vriend Hermann Minkowski (1864-1909) schreef. De verkorte inhoud van de brief verscheen als artikel in de Mathematische Annalen. Hilbert definieert op basis van een meetkunde van Minkowski een meetkunde die niet voldoet aan het parallellenpostulaat en waarin de som van de lengtes van twee zijden van een driehoek gelijk kan zijn aan de lengte van de derde zijde. Dit betekent dat er oneindig veel kortste verbindingen zijn tussen twee punten. Hilbert’s meetkunde definieert een lichaam dat overal niet concaaf is. Dat betekent dat als twee punten er binnen liggen de rechte door die twee in zijn geheel er binnen ligt. Hilbert merkt op dat hij dit lichaam “ganz im Endlichen gelegen angenommen hat.” Het lichaam is een eindig intern model van de Euclidische ruimte met een door hem gedefinieerde lengte-maat voor het meten van de afstand tussen twee punten. Het komt er op neer dat deze lengte-maat wel voldoet aan de driehoeksongelijkheid in de euclidische zin, maar dat een vervorming van de ruimte zorgt dat het gelijkteken ook mogelijk is.

Hier is een deel van de text uit de 23 problemen van Hilbert.

One finds that such a geometry really exists and is no other than that which Minkowski constructed in his book, Geometrie der Zahlen, and made the basis of his arithmetical investigations. Minkowski’s is therefore also a geometry standing next to the ordinary euclidean geometry; it is essentially characterized by the following stipulations:
1. The points which are at equal distances from a fixed point O lie on a convex closed surface of the ordinary euclidean space with O as a center.
2. Two segments are said to be equal when one can be carried into the other by a translation of the ordinary euclidean space.

In Minkowski’s geometry the axiom of parallels also holds.

By studying the theorem of the straight line as the shortest distance between two points, I arrived at a geometry in which the parallel axiom does not hold, while all other axioms of Minkowski’s geometry are satisfied. (Hilbert 1895)

The theorem of the straight line as the shortest distance between two points and the essentially equivalent theorem of Euclid about the sides of a triangle, play an important part not only in number theory but also in the theory of surfaces and in the calculus of variations.

For this reason, and because I believe that the thorough investigation of the conditions for the validity of this theorem will throw a new light upon the idea of distance, as well as upon other elementary ideas, e. g., upon the idea of the plane, and the possibility of its definition by means of the idea of the straight line, the construction and systematic treatment of the geometries here possible seem to me desirable.

Terug naar René Descartes. Zijn grote verdienste is volgens René Gude dat hij een helder onderscheid maakte tussen lichaam en geest, en tussen een wetenschap die over het lichaam gaat en een die over mentale zaken gaat.

De ervaring dat na een vakantie thuisgekomen de tijd omgevlogen is terwijl je tevens het gevoel hebt dat je lang weggeweest bent is een bekend fenomeen. Hoe dit te verklaren? Het wijst erop dat we verschillende perspectieven op de tijd en op ons leven hebben. Hoe is de eigen beleving van tijd en duur gerelateerd aan de relatie tussen tijd en ruimte in de relativiteitstheorie? Volgens Descartes moeten we de wetenschap van het mentale, zoals het beleven van tijd en duur, goed onderscheiden van de wetenschap van de materie. Maar is dat wel mogelijk? Tonen de deeltjesfysica en de cosmologie niet aan dat het lastig is de waarneming van het waargenomene te scheiden?

Wat is de afstand tussen gebeurtenissen in de ruimtetijd van onze ervaring? Deze ruimte waarin de tijd als extra dimensie wordt gezien is een vinding van de eerder genoemde wiskundige Hermann Minkowski. Het is de ruimte waarin Einstein zijn relativiteitstheorie zou formuleren als oplossing van het probleem van de tijdsdilatatie die optreedt als voorwerpen door de ruimte snellen. Dit is weer een gevolg van het fenomeen dat de snelheid van het licht constant is, dat wil zeggen dat de snelheid van het licht onafhankelijk is van de beweging van de waarnemer ten opzichte van het object dat het licht uitzendt. Om dit verschijnsel te verklaren wordt aangenomen dat de ruimte gekromd is en het handigst beschreven kan worden als niet-euclidisch. Het is de materie ‘die de ruimte een kromming geeft’. Maar je kunt ook zeggen dat massa het licht dat in de buurt ervan komt afbuigt. Wat we zwaartekracht noemen is de aantrekkingskracht die massa’s op elkaar uitoefenen. Een andere manier om dit te zeggen is dat zwaartekracht tot uiting komt in een krachtveld, een kromming van de ruimte.

Over de scheiding van materie-wetenschap en geesteswetenschap merkt Gude op dat Descartes zijn pen-vriendin Elisabeth van Palts aanraadde om bij “het nadenken over psychische en fysieke toestand, steeds twee perspectieven op de klaarblijkelijk intieme eenheid van lichaam en ziel als grond voor betrouwbare diagnoses te blijven vasthouden” (p. 65).

“Een psychiater geschoold in zowel de geesteswetenschap als de fysiologie, leeft dagelijks met de opdracht om de twee aspecten te onderscheiden en weer te combineren tot een diagnose, van één en dezelfde persoon.” (p. 66)

We schijnen in een crisistijd te leven. Ook de wetenschap lijkt niet aan een geloofscrisis te ontkomen. We zijn niet de eerste generatie die deze ervaring heeft. In zijn Krisis der Europäischen Wissenschaften stelt de fenomenoloog Edmund Husserl dat de wetenschappen weliswaar veel nuttige kennis hebben gebracht, maar dat ze ons niets hebben geleerd wat betreft de echte zinvragen van het leven.

Waardoor ontstaan depressies? Ik bedoel mentale depressies. “Wie in zijn leven niet meer door iets aangetrokken wordt is ernstig depressief.” Zo begint Louk Fleischhacker zijn essay Liefde, begeerte en zelfbewustzijn. We staan in ons leven regelmatig voor de keuze wat te doen. Het gaat dan om een beslissing waarvan we het idee hebben dat de keuze die we maken beslissend is voor het verdere verloop van ons leven. Bijvoorbeeld welke vervolgopleiding we zullen gaan doen. Zulke keuzes doen er toe voor wie we zullen zijn. Maar maakt het uiteindelijk uit welke keuze we nemen. En in hoeverre bepalen we zelf wat het hardst aan ons trekt en ons leven in een bepaalde richting afbuigt?

De minister van Onderwijs en Wetenschappen, de fysicus Robbert Dijkgraaf, merkt in een brief aan De Tweede Kamer, waarin hij zijn plannen met het MBO voorlegt, op, dat achteraf het kronkelpaadje dat de student tijdens zijn studie volgt de kortste weg zal blijken te zijn. Inderdaad, wie zijn eigen leven als maat neemt voor wat recht is om te doen en te worden wie hij is, die blijkt op elk moment achteraf te hebben gekozen voor het enige kortste pad naar het punt in zijn leven waar hij op dat moment uiteindelijk is gekomen. Zijn levenslijn valt samen met de momenten ervan. Zo kunnen we Euclides definitie van de rechte lijn – zijnde de lijn die samenvalt met alle punten die erop liggen – begrijpen als de levenslijn gedacht vanuit de waarnemer die zichzelf en zijn eigen leven waarneemt en met de snelheid van het licht mee gaat met de tijd, de invariant van alle verandering. De aantrekkelijkheden die op zijn pad zijn richting bepaalden blijken de inhoud van dat leven zelf uit te maken. Wie zo leeft heeft volgens de relativititeitstheorie een ‘eigentijd’ gelijk aan nul. Die leeft voortdurend in het nu.

Voor wie zo leeft is er geen dood, geen eindpunt dat steeds dichterbij komt. Voor hem bestaat de dood niet. Zoals Epicurus aangaf in zijn beroemde uitspraak: als de dood is, ben ik niet en als ik ben, is de dood niet. De filosoof René Gude heeft het ons voorgedaan: blijf leven. Tot de dood erop volgt.

Bronnen

Bouteldja, Houria (2020). Witte, mensen, Joden en wij. Naar een politiek van revolutionaire liefde. Editie Leesmagazijn 2020.

Louk Fleischhacker (2004). Hegel – Zelfbewustzijn, Begeerte en de Ander. Vertaling, commentaar en essay: Liefde, Begeerte en Zelfbewustzijn. Uitgeverij DAMON, Budel, 2004.

Bevat een geannoteerde Nederlandse vertaling van het hoofdstuk Zelfbewustzijn uit de Phänomenologie van G.W.F. Hegel en een essay Liefde, begeerte en zelfbewustzijn.

“In de filosofie van Descartes is het leven onverklaarbaar omdat daarin de reflectie inzichzelf wel naar de kant van de subjectiviteit, maar niet naar de kant van de objectiviteit plaats vindt.” (p. 36) Bij Hegel vinden we in het hoofdstuk over zelfbewustzijn de definitieve stap in de ‘opheffing’ van het Cartesiaanse dualisme.

René Gude (2019). René Gude over René Descartes. Redacteur Florian Jacobs. ISVW Uitgevers, 2019.

Bevat een samenvatting van de Meditaties van Descartes.

D. Hilbert (1895). “Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte,” Math. Annalen, 46 (1895), 91-96.