“Alle rechte hoeken zijn aan elkaar gelijk” (Euclides van Alexandrië)
Enige tijd geleden kwam ik in de bibliotheek René Gude over René Descartes tegen, een uitgave van De Vrije Uitgeverij waarin de Nederlandse filosoof René Gude (1957-2015), oud-directeur van de ISVW, de Internationale School voor Wijsbegeerte, en gewezen Denker des Vaderlands, van zijn liefde getuigt voor de beroemde filosoof René Descartes (1596-1650), die van ‘cogito ergo sum’, ik denk dus ik ben.
Als Gude het over zijn naamgenoot heeft dan noemt hij hem soms ‘die fijne vent’ of ‘een lekker ventje’. Dat is typerend voor Gude die de filosofie probeerde onder het volk te brengen en van de stoffige academische geleerdheid wilde ontdoen. De filosoof is ook maar een mens. Zo lezen wij in Hans Dijkhuis biografie Descartes – zijn Nederlandse jaren van het immense verdriet dat Descartes overviel toen hij vernam van het overlijden van zijn vijfjarige dochtertje Francine. Het was zijn enig kind, geboren uit een buitenechtelijke relatie met de dienstmeid Helena Jansdr van der Stroom, een relatie die hij voor de boze wereld van het gemene volk en de theologen verborgen wilde houden, zodat hij geheel tegen zijn wens gescheiden van hen leefde. De wereld was boos op René omdat hij afstand nam van de Aristotelische boekenwijsheid. Hij zei ook niet veel waarde te hechten aan wat er in de Bijbel stond. Hij wilde zelf ontdekken wat waar is en wat slechts traditie; door zijn verstand te gebruiken, “het best verdeelde goed ter wereld”.
Volgens Gude is de wereld nog steeds boos op Descartes, maar om diverse andere redenen. Omdat hij de kille wetenschap heeft geïntroduceerd, omdat hij de scheiding heeft aangebracht tussen geesteswetenschappen en materiewetenschappen. Omdat hij de idee van de mens als machine zou hebben ingebracht (wat niet zo is). En omdat hij het individualisme, het ‘ik’ als centrum van kennis, zou hebben ingevoerd. “De harde, kille, nare, industrieel wetenschappelijke… beheersingsdranggericht mens …Daar is Descartes de vader van.” (p. 22).
Volgens de onlangs overleden ‘philosopher of mind’ Daniel C. Dennett heeft de psychologie vier eeuwen vertraging opgelopen door Descartes’ ‘krankzinnige opvatting over de verhouding tussen lichaam en geest’. Achteraf is het mooi wonen.
Een heel expliciet voorbeeld van dit negatieve beschuldigende beeld van de filosofie van Descartes vinden we in het denken van Houria Bouteldja.
“Ik denk dus ik ben. Ik denk dus ik ben … God.” Zo begint Houria Bouteldja haar aanklacht tegen de witte mens. Volgens de Frans-Algerijnse ‘indigène’ zit het machtsdenken van de witte mens diep verborgen in de metafysica van Descartes. “Ik denk dus ik ben degene die overheerst.” “Ik denk dus ik ben de moderne, mannelijke, kapitalistische, imperialistische mens.”
“Het cartesiaanse ‘ik’ legt de filosofische fundamenten van de witheid.”
Gude zegt er spijt van te hebben dat hij er niet in geslaagd is Descartes, de ‘vader van de moderne filosofie’ in die dertig jaren dat hij filosofie lessen gaf te rehabiliteren en te bevrijden van “dat imago dat hij een stoute man is die ons met een mal lichaam-zieldualisme heeft opgezadeld”.
Na het Vertoog over de Methode vindt Gude de Meditaties, een ‘doe-het-zelf-boek’, van Descartes hét boek. “Ik zal je vertellen waarom ik zo getroffen was door Descartes. Dat is omdat hij op zo’n fantastische manier het verschil maakt tussen het dagelijk leven – het met je gezonde verstand, met vallen en opstaan, er een beetje op los leven – waar hij geen bezwaar tegen heeft, maar dat wel het risico heeft dat je af en toe eens flink met je plaat tegen de muur oploopt, een aan de andere kant een wetenschappelijke gang van zaken.” (p. 22)
Wat Gude dan met name ‘zo leuk’ vindt aan Descartes is dat hij de kritische vraag stelt aan de wetenschapper met zijn universitaire opleiding: “vind jij nou werkelijk dat de kennis die je tijdens je studie hebt opgedaan meer waard is dan wat ‘the man in the street’die jij daar straks als deskundige mee gaat lastig vallen zelf had kunnen bedenken?”
Natuurlijk komt in het boek ook de Géometrie ter sprake. Het verscheen als een bijlage bij Discours de la Méthode (1637), Vertoog over de (wiskundige) methode, de enige methode die volgens Descartes tot ware kennis leidt. De eerste regel van de procedure die tot zekere kennis moet leiden luidt – in de woorden van Gude: “Neem niets voor waar aan dat niet volstrekt vanzelfsprekend is en neem het gevolg voor lief.”
Gude nodigt de lezer uit de methode eens uit te proberen op een of ander bekend wiskundig probleem: “… oefen bijvoorbeeld eens op de stelling”:
In iedere driehoek ligt de langste zijde altijd tegenover de grootste hoek.
Dat Gude met een wiskundig probleem aankomt, is niet toevallig. Voor Descartes was de methode van de wiskunde het voorbeeld van zijn algemene wetenschappelijke methode.
Vanaf het moment dat ik van de stelling vernam, hield deze me bezig. Wanneer ik de slaap niet kon vatten of de slaap mij niet, puzzelde ik in gedachten aan een bewijs. Zoals Gude opmerkt: “Voor het gezonde verstand is de stelling intuïtief waar. Teken maar eens drieënvijftig driehoeken, het klopt altijd”. Maar een tekening is geen bewijs. Je moet het kunnen beredeneren, afleiden uit axioma’s. Je moet het uitrekenen als het ware. Plaatjes mogen hoogstens dienen ter ondersteuning. Dat is het idee. Dat is wiskunde. Wat Gude wil is dat de lezer zo zelf ontdekt “dat het een stuk eenvoudiger is om een intuïtie als waar aan te nemen, dan haar mathematisch te demonstreren.”
Maar, is het niet triviaal dat hoe groter een hoek is, des te groter de overliggende zijde is? De grootte van een hoek toont zich toch in de ruimte tussen de benen van de hoek? Zoals de knoflook zich toont in de knoflookgeur. Zoals de grootte van de kracht zich toont in de uitwerking ervan. Wat valt er eigenlijk te bewijzen? Is hier nog een speld tussen te krijgen? Is er nog een syllogistische ‘middenterm’ te vinden die de stelling inzichtelijk maakt? Wat mag ik eigenlijk bekend veronderstellen als ik een bewijs wil geven? Meer dan de postulaten van Euclides?
Het vierde van de vijf postulaten uit De Elementen zegt dat alle rechte hoeken aan elkaar gelijk zijn. Een raadselachtige bewering. Niet omdat het niet waar zou zijn, maar vanwege het feit dat Euclides kennelijk vond dat het als een fundamenteel inzicht opgenomen moest worden. Wat wordt hier eigenlijk beweerd? Als je zegt dat twee hoeken gelijk zijn dan heb je die twee al onderscheiden. Maar waarin bestaat het verschil tussen twee rechte hoeken? In de lijnen waartussen de hoek bestaat, misschien. De bewering is dus: als je twee paar lijnen hebt en de hoek tussen beide paren is recht dan zijn die hoeken gelijk. Het bijzondere is dat Euclides het over het ‘recht’ zijn van een hoek heeft zonder dit te definiëren.
Dat Euclides moeite had met het begrip recht blijkt ook uit zijn definitie van de rechte lijn. Dat is een lijn die samenvalt met alle punten die erop liggen. Ook al zo’n raadselachtige omschrijving. Geldt dit niet voor elke lijn? Als Euclides beweert dat tussen elke twee punten slechts één lijn getrokken kan worden, dan bedoelt hij één rechte lijn. Ook uit zijn definities van punt (wat geen delen heeft) en lijn (een lengte zonder breedte) blijkt dat Euclides zich voortdurend bewust was van het feit dat deze objecten van de wiskunde geen fysische objecten zijn, zoals een steen of een pyramide. De punt op papier is geen meetkundig punt. Dat is slechts een hulpmiddel, een tekening van een punt.
In zekere zin is er maar één rechte hoek, zoals de ideeën van Plato uniek zijn, en toch zijn er meerdere exemplaren van een rechte hoek. Maar die zijn wel allemaal gelijk. Qua grootte. De grootte van de rechte hoek zit hem in de aanduiding ‘recht’. Een rechte hoek krijg je als je een lijn ‘loodrecht’ snijdt met een andere lijn. De hoeken tussen de snijdende lijnen noemen we dan ‘recht’. Maar wat is ‘loodrecht’?
Een paar eeuwen voor Euclides had Thales van Milete (die leefde rond 600 voor Christus) opgemerkt – volgens de overlevering, want van Thales’ hand zijn geen documenten bekend – dat elke omtrekshoek op de middellijn van een cirkel een rechte hoek is. Deze staat bekend als de Stelling van Thales.
Het begrip omtrekshoek zal in mijn bewijs van de Stelling van Gude, een bewijs dat ik hieronder presenteer, een belangrijke rol spelen. Het bovengenoemde basale feit dat er een directe relatie bestaat tussen de grootte van een hoek en de ruimte tussen de benen van de hoek komt namelijk tot uitdrukking in een stelling die een generalisatie is van de Stelling van Thales:
Omtrekshoeken op een gegeven koorde zijn gelijk aan de helft van de grootte van de middelpuntshoek op de zelfde koorde.
Dat betekent dat alle omtrekshoeken op een gegeven koorde gelijk zijn. In het linkerdeel van onderstaande figuur zijn bijvoorbeeld de omtrekshoeken BAC2 en DAC2 op de koorde BC2 gelijk.
De cirkelkoorde is dus ‘de ruimte tussen de benen’ die de juiste maat is voor de grootte van de hoek als het hoekpunt op de omtrek van de cirkel ligt of met het middelpunt samenvalt.
Wat ik eigenlijk wilde bewijzen
Ik realiseerde me dat een bewijs van de Stelling van Gude al vele malen geleverd moet zijn. Vermoedelijk heeft Euclides zelf de stelling al genoemd en er een bewijs voor geleverd. Het bewijs is dan eenvoudig te vinden op het internet. Het echte probleem is dat ik het zélf wil bewijzen. Ik wil immers nog iets anders bewijzen dan de stelling, namelijk dat ik het kan bewijzen. Want, wie ben ik als ik dit niet kan bewijzen! Ook al heb ik tijdens mijn leven nog zo veel stellingen bewezen, ik ben niets waard als ik het probleem waaraan ik me zet niet kan oplossen. Het is zoals met het Cartesiaanse ‘ik denk dus ik ben’. Het is geen logische conclusie met een resultaat dat beklijft als het één keer is aangetoond. Descartes denkt niet meer en is niet meer. Alleen als actueel denkend mens kan ik met absolute zekerheid concluderen dat ik besta als ik denk, omdat ik denk. Dat is dan immers een niet te ontkennen feit. Ik ben er immers zelf bij en ik doe het zelf. Al denkend besta ik. In mijn denken constateer ik dat ik denk. Descartes ‘cogito’ is een waarheid die door zelfreflectie van het denkend ik al denkend tot stand komt. Maar ik ben niet alleen dan als ik denk.
Wij doen dingen niet puur en alleen vanwege het uitwendige resultaat ervan. Het maaien van het grasveldje is voor mij soms net zo’n contemplatieve bezigheid als het zoeken naar het bewijs van een wiskunde stelling, of het oplossen van een Sudoku puzzel. Het gaat niet om het resultaat als iets dat buiten mij bestaat. Die puzzels zijn al tig keer door anderen opgelost. Ik kan de computer het laten doen. En dat gras zou ik ook door een robot kunnen laten maaien. Maar dan is het niet mijn werk.
Na vele lange nachten meen ik dan eindelijk een bewijs gevonden te hebben van de stelling. En om dat te bewijzen toon ik het hier. Iets is immers pas werkelijk waar als je het deelt met anderen.
Van driehoek ABC, noem ik de (lengtes van de) zijde tegenover de hoekpunten A, B, en C respectievelijk a, b en c. Verder zal ik met A zowel hoekpunt A als de grootte van deze hoek aangeven. Zo ook voor B en C. (Zie de figuur). De enigszins uitgebreide stelling is dan om precies te zijn.
Als A >= B >= C dan geldt: a >= b >= c.
In woorden: als hoek A groter of gelijk is aan hoek B en/of B groter of gelijk is aan C dan geldt ook voor de overliggende zijdes dat a groter of gelijk is aan b en/of b groter of gelijk is aan c. En het omgekeerde is ook waar.
De gelijktekens gelden in de bijzondere gevallen dat er twee of drie hoeken (zijden) gelijk zijn.
Rekening houdend met deze bijzondere gevallen kunnen we de Stelling van Gude dan ook als volgt formuleren:
Als een driehoek een unieke grootste hoek heeft dan heeft deze ook een unieke grootste zijde en deze ligt tegenover de grootste hoek.
En het omgekeerde is natuurlijk ook weer waar: tegenover de grootste zijde ligt de grootste hoek. De precisering van de uniekheid van de grootste hoek of zijde is noodzakelijk vanwege het feit dat een gelijkbenige driehoek waarvan de tophoek kleiner dan 60 graden is geen unieke grootste hoek heeft. Uit het feit dat de hoekensom in elke driehoek 180 graden is (dat geldt in een Euclidische driehoek) volgt dat als de tophoek van een gelijkzijdige driehoek groter dan 60 graden is de beide basishoeken, die immers gelijk aan elkaar zijn (ook dat schijnt Thales al geweten te hebben) kleiner zijn dan de tophoek. Is de tophoek kleiner dan 60 graden dan zijn de basishoeken groter dan 60 en is er geen unieke grootste hoek. Is de tophoek 60 graden dan is de gelijkbenige driehoek gelijkzijdig en zijn de drie hoeken allen even groot.
We onderscheiden drie gevallen. In alle drie gevallen is hoek C de unieke grootste hoek van de driehoek ABC.
Geval 1. Hoek C is 90 graden. In een rechthoekige driehoek geldt de Stelling van Pythagoras: c*c = a*a + b*b. De schuine zijde c is dus langer dan de beide rechthoekzijden a en b. Maar het volgt ook uit de Stelling van Thales. In de linker figuur is de schuine zijde van driehoek ABC1 middellijn van de omgeschreven cirkel van de driehoek en dit is de langste koorde van een driehoek. AB is dus langer dan de koorden AC1 en BC1.
Geval 2. Hoek C is kleiner dan 90 graden. Zie middelste deel van de figuur. M is middelpunt van de omgeschreven cirkel van driehoek ABC. Uit bovengenoemde stelling dat een omtrekshoek de helft is van de middelpuntshoek op dezelfde koorde volgt dat de hoeken A, B en C respectievelijk de helft zijn van de middelpuntshoeken Ma, Mb, respectievelijk Mc. Omdat hoek C groter is dan hoeken A en B, is ook Mc groter dan Ma en Mb. Dus is c groter dan a en groter dan b.
Geval 3. Hoek C is groter dan 90 graden. Zie rechter deel van de figuur. Trek een lijn loodrecht op AC. Deze snijdt AB in punt D tussen A en B en verdeelt c in de stukken c1 en c2. In driehoek ADC is hoek ADC recht en dus is c1 groter dan b. (geval 1). Omdat c = c1 + c2 volgt dat c groter is dan b. Om te bewijzen dat c ook groter is dan a, trek een hulplijn l in het verlengde van B en C. Trek een lijn vanuit A loodrecht op de lijn l. Het snijpunt is E. De lengte van lijnstuk EC is a1. Driehoek AEB is rechthoekig met c als schuine zijde. Daaruit volgt dat c groter is dan de lengte van BE die lengte a + a1 heeft (geval 1). Dus c > a.
Daarmee is de Stelling van Gude bewezen.
Hadden we deze drie gevallen niet in één keer kunnen bewijzen? Ja, dat lijkt wel zo. We zien dat geval 1 een bijzonder geval is van geval 2, namelijk wanneer de zijde AB precies samenvalt met de middellijn van de omgeschreven cirkel. Ook het geval drie kan met behulp van de methode van geval 2 worden bewezen. In dat geval ligt het centrum M van de omgeschreven cirkel buiten de driehoek. In dat geval is hoek C niet de helft van de grootte van de middelpuntshoek M op de zijde AB, maar de helft van 360 – de middelpuntshoek op AB. Toch weer een gevalsonderscheid dus.
Hoe dan ook: de eenvoudige relatie tussen de omtrekshoek en de middelpuntshoek, die de basis vormt voor het bewijs van de Stelling, geeft aan dat de lengte van de koorde van de cirkel zich tot de grootte van de hoek verhoudt als de geur van de knoflook tot de knoflook, of van de uiterlijke werking van de kracht tot de ‘ingehouden’ kracht. (Hegel spreekt in de paragraaf Kraft und Verstand van de Phänomenologie des Geistes over de ‘zurückgedrängte Kraft oder die eigentliche Kraft’ en de ‘Äusserung‘ als over de beide momenten van de kracht. Later zouden de fysici spreken over ‘het krachtenveld’ en lost het begrip kracht op in mathematische formules, het woord kracht vond men eigenlijk te antropologisch, en moest verbannen worden uit de wetenschap.)
Ik laat het aan de lezer over de stelling van de omtrekshoek te bewijzen. In de boeken vinden we de sterk verwante sinusregel die wel toegeschreven wordt aan de Iraanse wiskundige Nasir al-Din al-Toesi (1201-1274). Deze zegt dat de verhoudingen van de sinus van de hoek en de overstaande zijde ervan constant is. a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2*r, waarbij r de straal is van de omgeschreven cirkel van ABC.
Het vijfde postulaat
Sprekend over de omgeschreven cirkel van een driehoek hebben we zo maar aangenomen dat die voor elke driehoek bestaat. Ook dat zouden we moeten bewijzen. En als we de stelling van de omtrekshoek willen bewijzen, dan hebben we de stelling nodig dat de hoekensom van een driehoek gelijk is aan twee rechte hoeken, ofwel 180 graden. Oeps…waar stopt dit? Mogen we dat allemaal zo maar aannemen? Het is bekend dat dit alleen bewezen kan worden wanneer we het vijfde postulaat van Euclides (of een even krachtige stelling) aannemen. Dat postulaat, dat bekend staat als ‘het parallellenpostulaat’ zegt dat door ieder punt buiten een gegeven lijn precies één lijn gaat die de gegeven lijn niet snijdt. In de oorspronkelijke formulering van Euclides luidt het vijfde postulaat:
Wanneer een lijn l twee andere lijnen zodanig snijdt dat de som van de binnenhoeken aan dezelfde zijde van l kleiner is dan twee rechte hoeken, dan zullen de twee andere lijnen elkaar ergens aan die zijde van l snijden.
Noemen we die twee gegeven snijpunten A en B en het laatstgenoemde ver van A en B gelegen snijpunt C dan hebben we een driehoek ABC. Zie onderstaande figuur. Het is nu eenvoudig in te zien dat als de beide basishoeken ongelijk zijn de grootste van beide hoeken tegenover de langste van de twee zijden AC en BC ligt. En dat is weer de Stelling van Gude voor een driehoek met een hoek die groter is dan een rechte hoek.
Zo blijkt de Stelling van Gude uitdrukking te zijn van een zeer basale intuitie van de meetkunde van Euclides. En dat geeft te denken. Hoe fundamenteel is dit inzicht? Waarom zou het parallellenpostulaat waar moeten zijn?
In de 19de eeuw, meer dan twintig eeuwen na Euclides, ontdekten verschillende wiskundigen het bestaan van consistente meetkundes die niet voldoen aan het vijfde postulaat van Euclides. In die meetkundes geldt dat de hoekensom niet 180 graden is, maar meer of minder. In deze niet-Euclidische werelden kun je niet zo maar driehoeken groter of kleiner maken zonder de groottes van de hoeken te veranderen. Of de Stelling van Gude in alle niet-Euclidische meetkundes ook geldt? Ik vermoed van niet. Misschien is deze stelling wel zo fundamenteel dat deze uitwisselbaar is met het parallellenpostulaat.
Of Descartes zich gerealiseerd heeft dat de fysische ruimte wel eens niet-Euclidisch zou kunnen zijn, maar ook Euclidisch, dat waag ik te betwijfelen. Voor hem was de fysische ruimte immers zelf de mathematische ruimte. Daartussen bestond voor hem geen onderscheid. Descartes meende de brekingswet van Snellius zuiver meetkundig af te kunnen leiden (Christiaan Huygens, die overigens veel bewondering had voor Descartes, zou later aantonen dat dit niet kan). In een debat met de wiskundige en natuurkundige Blaise Pascal verdedigde Descartes zijn mening dat het vacuum, de lege ruimte, niet kan bestaan. Althans niet in zijn metafysica. Die is mathematisch. De ruimte, res extensa, is materie en dat is alles wat bestaat buiten die andere substantie, het subject. Tegenover het mathematisch denkend ik (het cogito) staat een mathematische werkelijkheid, waarvan de uitgebreidheid, de kwaliteit, het wezenlijke karakter is. De wereld buiten het denken is vanuit de mathematische denkhouding een machine. Deze denkhouding brengt de techniek voort. Het is de in onze westerse, technocratische cultuur overheersende denkhouding, waarin we onze werkelijkheid vastleggen in mathematische modellen. Modellen die we vervolgens in de computer stoppen om de toekomst te kunnen voorspellen. Of om de kortste weg te bepalen naar de door ons gewenste toekomst.
De kritiek op Descartes, die Gude zo onterecht vindt, zou wel eens voort kunnen komen uit de ervaren teleurstelling in de tegenvallende resultaten van de technologie, het belangrijkste resultaat van de mathematiserende wetenschappelijke methode, en in de desastreuse ecologische ‘neveneffecten’ van de toepassing van die technologie. Maar er is meer. Ook de natuurwetenschappen zelf kwamen tot de ontdekking dat er grenzen zijn aan onze kennis wanneer we de zaken zo voorstellen. Materie bleek invloed te hebben op de kromming van de ruimte en deeltjes bleken een onvoorspelbaar eigen leven te leiden.
We weten nu wat meetkunde is. De meetkundige meet niet, maar legt heldere en klare begrippen vast en formuleert stellingen. Ze bepaalt hoe het met de wereld gesteld is. (Martin Heidegger karakteriseerde niet voor niets de wereld van de technologie als Ge-stell) Waarom stelt de wiskunde dat de werkelijkheid er zo en niet anders uit ziet? Descartes zou zeggen omdat ik inzie dat het zo is: helder en klaar. Maar René, waarom weet je zo zeker dat je intuïtie je niet misleidt? Descartes: Omdat God heeft gewild dat het zo is. En God bedriegt ons niet. Descartes was een gelovig mens. Hij vond het dan ook zeer onterecht dat de theologen van de Universiteit van Utrecht, hem betichtten van atheïsme. Omdat hij niet zonder meer geloofde in de waarheid van Aristoteles of in de waarheid van de Bijbel, de waarheden van de universiteiten en de Kerk. Voor Descartes betekende God de garantie voor de waarheid (de verités eternelles) van zijn (mathematische) inzichten.
Bij Descartes komt wiskundige kennis niet voort uit de ervaring. Ook Kant was die mening toegedaan: wiskundige kennis is apriori kennis. En ook bij Kant is er waarheid in de natuurwetenschap in zoverre deze mathematisch is.
Het begrip van het leven is bij Descartes verdwenen. Het cogito is een abstract zelfbewustzijn. Een punt: ik ben ik. De hele ervaringswereld wordt daar tegenover geplaatst, als iets abstracts, res extensa. De dynamiek van het leven en het zelfbewustzijn is er uit verdwenen. De wereld is een constructie, een machine waarvan het zelf, het ontwerp, er buiten ligt. Descartes schetst ons in zijn filosofie het moderne westerse wereldbeeld. Reflectie, zelfbewustzijn, komt bij Descartes alleen aan de kant van het subject voor. Niet aan de kant van het object. Sommige post-moderne filosofen zien in het bestaan van de ‘denkende machine’ (AI) een opheffing van het Cartesiaanse dualisme. De object-zijde is ook subject. Met als uiterste consekwentie dat ook het leven als iets kunstmatigs, als techniek, wordt gezien.
De driehoeksongelijkheid
Een meetkundig inzicht zegt ons dat de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten. In een driehoek geldt dan ook de driehoeksongelijkheid, die zegt dat iedere zijde korter is dan de som van de twee andere zijdes. Euclides defineerde de rechte lijn als de lijn die samenvalt met de punten die erop liggen. Een merkwaardige definitie: velen hebben zich al afgevraagd: hoe komt hij daar nou bij? Want iedere lijn valt toch samen met de punten die er op liggen. Is dan iedere lijn recht in de meetkunde van Euclides? Nee, want er zijn volgens hem wel degelijk meerdere lijnen mogelijk tussen twee gegeven punten. Daarvan is slechts één de kortste. En dat is de rechte lijn. De andere zijn krom.
Euclides lijkt twee verschillende perspectieven te hebben op de relatie tussen punt en lijn. Vanuit het ene, ‘dynamische’, perspectief ziet hij punten, die samen een lijn gaan vormen. Vanuit het andere, het ‘statische’ perspectief ziet hij een beginpunt en een eindpunt en daartussen kan een rechte lijn worden getrokken.
Vanuit het statische perspectief liggen begin- en eindpunt vast. De lengtemaat wordt van buiten af opgelegd aan het leven. Als je precies weet wat je wilt bereiken in je leven, wie je wilt zijn, een stip op de horizon, dan is dit de korste weg.
Vanuit het dynamische perspectief is de lijn een ‘levenslijn’. De punten zijn de momenten van het leven, dat nergens anders in bestaat dan in de momenten ervan. Het leven kent zijn eigen maat. Ieder leven is het rechte leven, de korste weg van moment naar moment. Het leven bepaalt zijn eigen (eind)punten.
“De eigenheid en bepaaldheid van onze belevingen en handelingen bestaan nu juist in hun voorbijgaan.” (Louk Fleischhacker, Hegel, Zelfbewustzijn, Begeerte en de Ander, p. 52). Die belevingen en handelingen zijn de momenten van het leven die samen de individuele identiteit van het leven bepalen.
Is de rechte lijn de kortste verbinding tussen twee punten?
In 1900 presenteerde de wiskundige David Hilbert (1862-1943) op een wiskundecongres 23 openstaande problemen. Het vierde probleem betreft de vraag hoe de bewering dat ‘de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten’ zich verhoudt tot de andere postulaten van de meetkunde, met name het parallellenpostulaat en de stelling van Euclides dat in elke driehoek de som van twee zijden groter is dan de derde zijde.
Het probleem is een bijzonder geval van de algemene kwestie wanneer je een stelling wilt bewijzen in de wiskunde: wat je aan mag nemen als zijnde waar. De waarheid van een stelling is gekoppeld aan die van andere stellingen en uiteindelijk aan de axioma’s. In geen enkele andere wetenschap dan in de wiskunde is het zo duidelijk hoe de waarheid van een bewering relatief is ten opzichte van de stellingen die we als axioma’s aannemen als uitdrukking van onze intuïtie in een bepaald domein van de werkelijkheid. De experimentele (positieve) wetenschap is hypothetisch vanwege haar mathematische karakter en mathematisch omdat ze hypothetisch is.
Hilbert verwijst naar een brief die hij in 1895 aan zijn vriend Hermann Minkowski (1864-1909) schreef. De verkorte inhoud van de brief verscheen als artikel in de Mathematische Annalen. Hilbert definieert op basis van een meetkunde van Minkowski een meetkunde die niet voldoet aan het parallellenpostulaat en waarin de som van de lengtes van twee zijden van een driehoek gelijk kan zijn aan de lengte van de derde zijde. Dit betekent dat er oneindig veel kortste verbindingen zijn tussen twee punten. Hilbert’s meetkunde definieert een lichaam dat overal niet concaaf is. Dat betekent dat als twee punten er binnen liggen de rechte door die twee in zijn geheel er binnen ligt. Hilbert merkt op dat hij dit lichaam “ganz im Endlichen gelegen angenommen hat.” Het lichaam is een eindig intern model van de Euclidische ruimte met een door hem gedefinieerde lengte-maat voor het meten van de afstand tussen twee punten. Het komt er op neer dat deze lengte-maat wel voldoet aan de driehoeksongelijkheid in de euclidische zin, maar dat een vervorming van de ruimte zorgt dat het gelijkteken ook mogelijk is.
Hier is een deel van de text uit de 23 problemen van Hilbert.
One finds that such a geometry really exists and is no other than that which Minkowski constructed in his book, Geometrie der Zahlen, and made the basis of his arithmetical investigations. Minkowski’s is therefore also a geometry standing next to the ordinary euclidean geometry; it is essentially characterized by the following stipulations:
1. The points which are at equal distances from a fixed point O lie on a convex closed surface of the ordinary euclidean space with O as a center.
2. Two segments are said to be equal when one can be carried into the other by a translation of the ordinary euclidean space.
In Minkowski’s geometry the axiom of parallels also holds.
By studying the theorem of the straight line as the shortest distance between two points, I arrived at a geometry in which the parallel axiom does not hold, while all other axioms of Minkowski’s geometry are satisfied. (Hilbert 1895)
The theorem of the straight line as the shortest distance between two points and the essentially equivalent theorem of Euclid about the sides of a triangle, play an important part not only in number theory but also in the theory of surfaces and in the calculus of variations.
For this reason, and because I believe that the thorough investigation of the conditions for the validity of this theorem will throw a new light upon the idea of distance, as well as upon other elementary ideas, e. g., upon the idea of the plane, and the possibility of its definition by means of the idea of the straight line, the construction and systematic treatment of the geometries here possible seem to me desirable.
Terug naar René Descartes. Zijn grote verdienste is volgens René Gude dat hij een helder onderscheid maakte tussen lichaam en geest, en tussen een wetenschap die over het lichaam gaat en een die over mentale zaken gaat.
De ervaring dat na een vakantie thuisgekomen de tijd omgevlogen is terwijl je tevens het gevoel hebt dat je lang weggeweest bent is een bekend fenomeen. Hoe dit te verklaren? Het wijst erop dat we verschillende perspectieven op de tijd en op ons leven hebben. Hoe is de eigen beleving van tijd en duur gerelateerd aan de relatie tussen tijd en ruimte in de relativiteitstheorie? Volgens Descartes moeten we de wetenschap van het mentale, zoals het beleven van tijd en duur, goed onderscheiden van de wetenschap van de materie. Maar is dat wel mogelijk? Tonen de deeltjesfysica en de cosmologie niet aan dat het lastig is de waarneming van het waargenomene te scheiden?
Wat is de afstand tussen gebeurtenissen in de ruimtetijd van onze ervaring? Deze ruimte waarin de tijd als extra dimensie wordt gezien is een vinding van de eerder genoemde wiskundige Hermann Minkowski. Het is de ruimte waarin Einstein zijn relativiteitstheorie zou formuleren als oplossing van het probleem van de tijdsdilatatie die optreedt als voorwerpen door de ruimte snellen. Dit is weer een gevolg van het fenomeen dat de snelheid van het licht constant is, dat wil zeggen dat de snelheid van het licht onafhankelijk is van de beweging van de waarnemer ten opzichte van het object dat het licht uitzendt. Om dit verschijnsel te verklaren wordt aangenomen dat de ruimte gekromd is en het handigst beschreven kan worden als niet-euclidisch. Het is de materie ‘die de ruimte een kromming geeft’. Maar je kunt ook zeggen dat massa het licht dat in de buurt ervan komt afbuigt. Wat we zwaartekracht noemen is de aantrekkingskracht die massa’s op elkaar uitoefenen. Een andere manier om dit te zeggen is dat zwaartekracht tot uiting komt in een krachtveld, een kromming van de ruimte.
Over de scheiding van materie-wetenschap en geesteswetenschap merkt Gude op dat Descartes zijn pen-vriendin Elisabeth van Palts aanraadde om bij “het nadenken over psychische en fysieke toestand, steeds twee perspectieven op de klaarblijkelijk intieme eenheid van lichaam en ziel als grond voor betrouwbare diagnoses te blijven vasthouden” (p. 65).
“Een psychiater geschoold in zowel de geesteswetenschap als de fysiologie, leeft dagelijks met de opdracht om de twee aspecten te onderscheiden en weer te combineren tot een diagnose, van één en dezelfde persoon.” (p. 66)
We schijnen in een crisistijd te leven. Ook de wetenschap lijkt niet aan een geloofscrisis te ontkomen. We zijn niet de eerste generatie die deze ervaring heeft. In zijn Krisis der Europäischen Wissenschaften stelt de fenomenoloog Edmund Husserl dat de wetenschappen weliswaar veel nuttige kennis hebben gebracht, maar dat ze ons niets hebben geleerd wat betreft de echte zinvragen van het leven.
Waardoor ontstaan depressies? Ik bedoel mentale depressies. “Wie in zijn leven niet meer door iets aangetrokken wordt is ernstig depressief.” Zo begint Louk Fleischhacker zijn essay Liefde, begeerte en zelfbewustzijn. We staan in ons leven regelmatig voor de keuze wat te doen. Het gaat dan om een beslissing waarvan we het idee hebben dat de keuze die we maken beslissend is voor het verdere verloop van ons leven. Bijvoorbeeld welke vervolgopleiding we zullen gaan doen. Zulke keuzes doen er toe voor wie we zullen zijn. Maar maakt het uiteindelijk uit welke keuze we nemen. En in hoeverre bepalen we zelf wat het hardst aan ons trekt en ons leven in een bepaalde richting afbuigt?
De minister van Onderwijs en Wetenschappen, de fysicus Robbert Dijkgraaf, merkt in een brief aan De Tweede Kamer, waarin hij zijn plannen met het MBO voorlegt, op, dat achteraf het kronkelpaadje dat de student tijdens zijn studie volgt de kortste weg zal blijken te zijn. Inderdaad, wie zijn eigen leven als maat neemt voor wat recht is om te doen en te worden wie hij is, die blijkt op elk moment achteraf te hebben gekozen voor het enige kortste pad naar het punt in zijn leven waar hij op dat moment uiteindelijk is gekomen. Zijn levenslijn valt samen met de momenten ervan. Zo kunnen we Euclides definitie van de rechte lijn – zijnde de lijn die samenvalt met alle punten die erop liggen – begrijpen als de levenslijn gedacht vanuit de waarnemer die zichzelf en zijn eigen leven waarneemt en met de snelheid van het licht mee gaat met de tijd, de invariant van alle verandering. De aantrekkelijkheden die op zijn pad zijn richting bepaalden blijken de inhoud van dat leven zelf uit te maken. Wie zo leeft heeft volgens de relativititeitstheorie een ‘eigentijd’ gelijk aan nul. Die leeft voortdurend in het nu.
Voor wie zo leeft is er geen dood, geen eindpunt dat steeds dichterbij komt. Voor hem bestaat de dood niet. Zoals Epicurus aangaf in zijn beroemde uitspraak: als de dood is, ben ik niet en als ik ben, is de dood niet. De filosoof René Gude heeft het ons voorgedaan: blijf leven. Tot de dood erop volgt.
Bronnen
Bouteldja, Houria (2020). Witte, mensen, Joden en wij. Naar een politiek van revolutionaire liefde. Editie Leesmagazijn 2020.
Louk Fleischhacker (2004). Hegel – Zelfbewustzijn, Begeerte en de Ander. Vertaling, commentaar en essay: Liefde, Begeerte en Zelfbewustzijn. Uitgeverij DAMON, Budel, 2004.
Bevat een geannoteerde Nederlandse vertaling van het hoofdstuk Zelfbewustzijn uit de Phänomenologie van G.W.F. Hegel en een essay Liefde, begeerte en zelfbewustzijn.
“In de filosofie van Descartes is het leven onverklaarbaar omdat daarin de reflectie inzichzelf wel naar de kant van de subjectiviteit, maar niet naar de kant van de objectiviteit plaats vindt.” (p. 36) Bij Hegel vinden we in het hoofdstuk over zelfbewustzijn de definitieve stap in de ‘opheffing’ van het Cartesiaanse dualisme.
René Gude (2019). René Gude over René Descartes. Redacteur Florian Jacobs. ISVW Uitgevers, 2019.
Bevat een samenvatting van de Meditaties van Descartes.
D. Hilbert (1895). “Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte,” Math. Annalen, 46 (1895), 91-96.
