Het punt

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over een zeer klein, maar niettemin belangrijk object: het punt.

Het punt is waar het om gaat. Wat is echter een punt? Daar is veel verwarring over, vandaar dat ik van deze kwestie even een punt maak. Wat is de verwarring? Door deze aan te wijzen lost deze zich vanzelf op. Maar hoe wijs je een punt aan als het om een verwarring gaat? Een punt is een object in een ruimte. Er zijn verschillende ruimtes: de waarnemingsruimte, de gezichtsruimte, de tastruimte, de bewegingsruimte; de meetkundige ruimte, maar ook de gespreksruimte, de ruimte om beslissingen te nemen. Wanneer we een punt maken van de verwarring over de fysieke waarneembare punt en de wiskundige punt dan is dit punt een onderwerp van het discours. Het is de focus in een gesprek, dat waar de schrijver de aandacht van de lezer op wil vestigen. Wil je iemand op een punt wijzen dan moet je met die ander in zekere zin de ruimte delen. Deze ruimte wordt hier gestructureerd.

De verwarring betreft die van de ordinaire punt en de geleerde, zeg maar meetkundige, punt. Een punt is wat geen deel heeft. Zo luidt de definitie die Euclides (300 voor Christus) in zijn Elementen geeft; het begin van de meetkunde die naar hem genoemd is. De verwarring treedt op wanneer deze twee gebruiken van het woord, en daarmee van het begrip punt, elkaar ontmoeten. Dat is in de praktijk van het meten. In het meten, wat een vorm van kennen is, ontmoeten de ideeele wereld van de wiskunde en de werkelijke wereld elkaar. Meten is belangrijk – er wordt wel gezegd dat meten weten is. Het is dus nuttig te weten wat een punt is. Het aanwijzen van iets is ook een vorm van meten. Maar zijn alle punten aanwijsbaar? Hoe kunnen we refereren naar een punt als het niet aanwijsbaar is? Of is een punt per definitie iets dat aanwijsbaar is? Dat is kort gezegd de problematiek van het punt.

Tijd voor wat voorbeelden.

Snijpunten

Wanneer twee auto’s op het zelfde moment op het snijpunt van twee wegen zijn, vindt er hoogst waarschijnlijk een botsing plaats. Hoe groot die kans is hangt af van hoe precies we de locatie met de term snijpunt van twee wegen aanduiden. Je kunt dat min of meer ruim nemen. Het hangt van de situatie af hoe precies we in de praktijk een punt aan willen wijzen. Ook een moment, een tijdstip is een punt, namelijk in de eendimensionale tijdruimte. Ruimte en tijd zijn de referentiekaders voor het aanwijzen van een punt. Maar hoe leggen we die kaders vast? Door de aanwijsbare objecten? Dan zijn we in een cirkel aan het draaien.

Een snijpunt van twee lijnen is ook een punt. Wanneer we hier met lijn een getekende lijn op papier of op een scherm bedoelen dan kleeft aan dit snijpunt een zelfde vaagheid als aan het snijpunt van twee wegen. In beide gevallen gaat het om een waarneembaar en aanwijsbaar object in de werkelijkheid. Deze punten hebben een uitgebreidheid, ze nemen ruimte in.

Dat is anders met het snijpunt van twee meetkundige lijnen. Deze objecten zijn zelf niet waarneembaar en ze zijn slechts in één dimensie uitgebreid. Een lijn is een lengte zonder breedte volgens Euclides’ Elementen. Een vlak is een meetkundig figuur dat in twee dimensies uitbreidbaar is; een lichaam in drie. Het snijpunt van twee lijnen is een punt. Zo’n punt heeft geen dimensie. Het heeft geen dikte en geen lengte. Een lijnstuk – dat is een stuk lijn tussen twee verschillende punten – heeft wel een lengte, maar geen dikte.

De eerste bron van verwarring is die tussen een punt als wiskundig object en een punt als een aanduiding van een entiteit in de echte fysische of psychische werkelijkheid. Het heeft in het laatste geval de betekenis van een aanwijsbaar iets; iets dat in een bepaalde context van belang is. Het punt is dat waarom het gaat. Wanneer je iemand wilt laten weten waarover je het hebt dan wijs je het aan. Dat of dit. Maar hoe je dat als het niet iets is dat fysiek waarneembaar is? Door een beschrijving. Maar een beschrijving is iets algemeens. Daarmee kun je niet een specifiek punt aan wijzen. Het lijkt erop dat we daarvoor het bestaan van een gemeenschappelijk referentiekader moeten aannemen. De problematiek van het identificeren van een niet-demonstrabel (dat is een niet fysisch aanwijsbaar) “particular” door een spreker in een gespreksituatie wordt door B. Williams (1973) besproken in zijn kritiek op Strawson. Een hoorder moet op basis van een refererende uitdrukking (“de koning van Frankrijk”, “de man met de hamer”) kunnen bepalen waar de spreker het over heeft. De kwestie hoe te refereren naar een “individual object” bespreekt Strawson in zijn beroemde essay Individuals (1957).

We hebben de neiging de punt te onderscheiden van zijn locatie. Bijvoorbeeld in een ruimte opgespannen door een assenstelsel. Daarmee kun je twee punten van elkaar onderscheiden. Maar wat is het punt anders dan deze locatie? Kunnen twee punten dezelfde locatie hebben? Euclides definieerde een rechte lijn als een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“. Een raadselachtige omschrijving, schrijft de psychiater J.H. van den Berg in zijn prachtige geesteswetenschappelijke geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes. De wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis’ definitie laat zien hoe het begrip refereert naar de waarnemingsruimte en het oogpunt van de kijker. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” (overgenomen uit: J.H. van den Berg, 1969). Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is houdt hij de lat op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt. Lukt dat niet dan is de lat krom.

Wiskundig punt

Wat is nu de relatie tussen een meetkundig punt en een meetkundige lijn? Is een lijn opgebouwd uit punten? Dat hangt ervan af wat we precies met “opgebouwd” bedoelen, maar wanneer we dit bedoelen in de zin waarin een huis is opgebouwd uit stenen, dan is het antwoord: nee. Een punt heeft immers geen lengte en je kunt een lijnstuk dat immers wel een lengte heeft niet maken uit dingen die geen lengte hebben. We zeggen dat een punt op een lijn ligt. Een lijn wordt wel opgevat als een verzameling van punten; en wel van alle punten die op de lijn liggen.

Omdat een verzameling in zekere zin bestaat uit de elementen die in de verzameling zitten ligt hier een tweede bron van verwarring. De lijn bestaat als verzameling in zekere zin uit haar punten maar is er niet uit opgebouwd. Een lijnstuk heeft hoewel ze een eindige lengte heeft, oneindig veel punten. En oneindig veel is in dit geval echt meer dan er natuurlijke getallen (1,2,3,4,…) zijn en dat zijner al oneindig veel. Daar komt nog bij dat de relatie tussen een verzameling en haar elementen ook nogal apart is. De verzameling heeft twee kanten: als eenheid en als veelheid. En die twee verhouden zich anders dan de delen van een lijnstuk tot het gehele lijnstuk waarvan ze de delen zijn. De gestelde eenheid die de verzameling is, is volstrekt uitwendig aan de verzameling van elementen. De elementen hebben niets met elkaar van doen dan elementen van een verzameling te zijn. Dat is anders dan met de punten van een lijn. Die hebben wel iets gemeen namelijk op de lijn te liggen, waardoor er een ordening is: een punt C dat op de lijn ligt, ligt bijvoorbeeld tussen de punten A en B in.

Een meetkundige lijn wordt verondersteld recht te zijn: de kortste verbinding tussen twee punten op de lijn. Het afstandsbegrip lijkt in de eerder gegeven definitie van de rechte lijn, zoals die door Dijksterhuis werd gegeven, niet voor te komen. Maar is dat wel zo?

Op een bol is de kortste afstand tussen twee punten een cirkel. Door twee punten op een bol gaat in het algemeen een cirkel, maar wanneer de twee punten diametraal tegenover elkaar liggen dan gaan er oneindig veel cirkels door heen. Wanneer we in de bolvormige wereld met een rechte lijn bedoelen een grote cirkel, dan geldt dus in deze wereld dat er meerdere rechte lijnen zijn die twee diametraal tegenover elkaar liggende punten verbinden. Als we nu onder punt in deze ruimte zo’n puntenpaar op de bol verstaan, dan geldt de bewering:

Door twee “punten” gaan oneindig veel rechte “lijnen”.

In een bolvormige wereld hebben lijnen l en m het snijpunt (s1,s2)

Dit is een ware stelling in de niet-Euclidische meetkunde van Riemann. Deze meetkunde is consistent – dat wil zeggen dat deze geen tegenspraken bevat – als de Euclidische meetkunde consistent is (zie Henri Poincaré, 1902).   

Grenzen

Neem nu het lijnstuk tussen twee punten A en B. Of de punten A en B tot het lijnstuk behoren dat ligt daarmee nog niet vast. Ook dat moeten we in de wiskunde stellen wanneer het niet uit andere reeds gestelde zaken volgt. In de wiskundige topologie spreken we van open en gesloten ruimtes: een gesloten ruimte heeft een grens die tot de ruimte behoort. Als A wel maar B niet tot het lijnstuk behoort spreken we van een half-open lijnstuk.

Wat gebeurt er met de lengte van het lijnstuk wanneer we het punt A naar punt B toe bewegen? Dan wordt de lengte kleiner en deze is nul wanneer A samenvalt met punt B. Kan dit ook wanneer A niet, maar B wel op het lijnstuk ligt? Dat lijkt een onzinnige vraag. De verlegenheid met deze vraag komt voort uit de voorstelling alsof we een punt van een lijnstuk kunnen verplaatsen naar een ander punt. Hier wordt weer het fysische met het wiskundige verward. De uitdrukking “een punt verplaatsen” suggereert dat een punt een object is dat je langs een lijn in de ruimte kunt verplaatsen, als een houten bolletje langs het staafje van een abacus.

Wiskundig wordt dit verplaatsen als een rij of een functie geobjectiveerd, waarbij de elementen van de rij verschillende punten zijn. Het verplaatsen van een punt is een logische onmogelijkheid in de wiskunde. We kunnen de verandering wel denken of in de werkelijkheid aantreffen, maar dat is geen wiskundig object. Zodra je het eindpunt verandert heb je een totaal ander lijnstuk. Wat gelijk blijft is de functie als relatie tussen een punt als argument-waarde en een lijnstuk als functie-waarde.

In de fysische werkelijkheid bestaan geen wiskundige punten en lijnen. Ook de voorstelling van een wiskundig punt als een wiskundig lijnstuk met lengte nul is onjuist. Punt en lijn zijn verschillende categorieen; ze hebben verschillende dimensies. De idee van een limiet van een rij van steeds korter wordende lijnstukken, bijvoorbeeld door het lijnstuk telkens in twee gelijke delen te verdelen en met een deel verder te gaan, suggereert dat het punt zo’n lijnstuk met lengte nul is omdat de limiet van de rij 1/2, 1/4. 1/8, 1/16, … gelijk is aan 0. Dat is echter een misvatting.

De vraag of de fysische ruimte Euclidisch is of niet-Euclidisch is misleidend. Net zo misleidend als de vraag of de Nederlandse taal context-vrij is of niet. Het wiskundige model wordt niet dwingend door de werkelijkheid voorgeschreven. Het parallellenpostulaat gaat over wiskundige lijnen en heeft geen fysische betekenis. Het kan wel zo zijn dat sommige fysische verschijnselen handiger beschreven kunnen worden wanneer uitgegaan wordt van een niet-Euclidische meetkunde, dat wil zeggen door aan te nemen dat de ruimte niet-Euclidisch is. Hetzelfde geldt voor het golfmodel en het deeltjesmodel in de kwantummechanica. Je kunt niet zeggen dat het licht een golf is en geen deeltje of andersom. Het gaat ook hier om modellen, niet om de echte fysische werkelijkheid. Meetkundige waarheden zijn noch synthetisch a priori (Kant) noch experimentele waarheden. Ze zijn handige conventies. ( Poincaré, 1902)

Meten

Luciferhoutjes hebben niet allemaal precies hetzelfde gewicht, ook al komen ze van dezelfde machine. De geldt ook voor de gewichten van mannen van 40 in Nederland. We weten dat meten altijd onnauwkeurig is. Dit is een inzicht in het verschil tussen de gedachte exacte maat en de fysische grootte zoals die gemeten wordt.

We nemen aan dat de gewichten van luciferhoutjes die van een zelfde machine komen normaal verdeeld zijn. Een normale verdeling is een wiskundige functie, een kansmodel. Op grond van de gemeten gewichten van een steekproefverzameling van houtjes kunnen we een schatting maken van twee parameters van de normale verdeling: het gemiddelde en de spreiding. We hebben hier met een tweede meting te maken. We vergelijken de werkelijkheid met een wiskundig kansmodel. Een grafiek van de Gauss functie heeft een klok-vorm. De horizontale as is een rechte waarop de lengtes zijn afgebeeld. De verticale as toont de kans. Deze worden benaderd door de relatieve frequentie te berekenen.

Histogram met Gauss kromme.

Om dezelfde reden dat een lijn niet opgebouwd is uit punten, is een oppervlak niet opgebouwd uit lijnstukken. Om de grootte van het oppervalk onder de kromme te bepalen moeten we deze benaderen door verdeling in smalle stroken. De kans dat een luciferhoutje exact een gewicht van 2.5 gram heeft, heeft geen betekenis. We kunnen alleen de kans benaderen dat de lengte tussen twee waardes in ligt of kleiner of groter is dan een bepaalde waarde. De totale kans gemeten door de totale oppervlakte onder de Gauss kromme is gelijk aan 1.

Paradoxen

De paradoxen van de waarschijnlijkheidsrekening zijn theoretische presentaties die tegen de intuitie in lijken te gaan terwijl ze volstrekt logisch lijken binnen de aanvaarde theorie van de kansrekening. Neem als voorbeeld Bertrand’s paradox. Deze doet zich voor wanneer we een willekeurige rechte lijn door een cirkel tekenen en ons afvragen hoe groot de kans is dat de lengte van het lijnstuk tussen de beide snijpunten van de lijn met de cirkel groter is dan de lengte van de zijde van een gelijkzijdige ingesloten driehoek van de cirkel.

De drie modellen van Bertrand (1889)

Bertrand vond drie modellen om de lijn door de cirkel ten opzicht van de driehoek vast te leggen resulterend in drie verschillende antwoorden: 1/2, 1/3 en 1/4. Dit is een paradox wanneer aangenomen wordt dat er een unieke oplossing voor moet bestaan.

Het probleem uit 1889 werd door sommigen opgevat als kritiek op Laplace’ principe van indifferentie, ook wel het principe van onvoldoende reden, dat zegt dat wanneer we geen reden zien waarom de natuur een voorkeur zou hebben voor één van de mogelijke uitkomsten van een experiment, we deze gelijke kansen moeten toekennen. Anderen vinden dat Bertrand’s paradox geen kritiek inhoudt op Laplace’ principe. Wat de mogelijkheden zijn hangt af van het gekozen model en binnen elk model kunnen we Laplace’ principe toepassen. De vraag naar het juiste antwoord is echter misleidend. Er is niet één juist antwoord. Alsof de werkelijkheid voorkeur heeft voor een bepaald model.

Bertrand zelf vond het probleem “ill posed”, niet goed-gedefinieerd: het is niet duidelijk wat een willekeurige lijn is. Diegenen die zeiden dat de paradox wijst op de onhoudbaarheid van het subjectieve kans-begrip meenden dat alleen een experiment kan uitmaken wat het juiste antwoord is. Volgens deze frequentisten kun je alleen van kans spreken wanneer je een experiment heel vaak kunt herhalen. Heel veel lijnen tekenen dus en dan maar meten. Volgens de opvatting dat kans een limiet is van een reeks van relatieve frequenties van uitkomsten zouden we zo op empirische wijze kunnen toetsen wat het juiste antwoord is. De fysici E.T.Jaynes (1973) en D. Aerts en M. S. de Bianchi (2014) zijn van mening dat er een unieke oplossing bestaat. Jaynes is het met Bertrand eens dat het probleem niet voldoende gedefinieerd is. Hij vindt een oplossing door toepassing van een invariantie overweging. Aerts en de Bianchi vinden een oplossing door eerst vast te leggen wat er precies gerandomiseerd wordt; dat is het mechanisme waarmee de lijnen op de cirkel worden “geworpen”. De willekeur zit hem niet in de keuze van de lijn, maar in de keuze van de manier waarop de lijn op willekeurige manier gekozen wordt. We moeten een beroep doen, zeggen de auteurs, op het principe van metaindifferentie van Shackel (2007). De preciese details zijn hier niet van belang.

De auteurs vergelijken Bertrand’s probleem met het metameetprobleem in de kwantummechanica, waar de statistische uitkomst van een meting nog weer afhankelijk is van de gekozen meetmethode. Door een gewogen gemiddelde te nemen over gemiddelden wordt de kans bepaald. De door Aerts en de Bianchi gevonden uitkomst, 1/3, komt overeen met die van Jaynes. Waar het ons hier om gaat is dat ook uit de aanpak van Aerts en de Bianchi blijkt dat de uiteindelijke oplossing afhankelijk is van de wiskundige modellering en dat deze niet eenduidig door de natuur wordt afgedwongen.

Het resultaat van een meting hangt niet alleen af van dat wat gemeten wordt, het object, maar ook van de gekozen maat, de meetmethode, het kennend subject.

Wat het punt is hangt mede af van degene die op het punt wijst. Of de spreker of schrijver een punt heeft dat is mede aan de hoorder of lezer te beoordelen.

Bronnen

Diederik Aerts en Massimiliano Sassoli de Bianchi (2014). Solving the hard problem of Bertrand’s paradox. Center Leo Apostel for Interdisciplinary Studies and Department of Mathematics, Brussels Free University, Brussels, Belgium.

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de Materie: meetkundige beschouwingen. Uitgeverij G.F. Callenbach N.V., Nijkerk, 1969.

J. Bertrand (1889). Calcul des probabilites, 3rd ed., New York; Chelsea (1960); 1st ed., Gauthier-Villars, Paris, 1889.

E.T. Jaynes (1973). The Well-Posed Problem,” Found. Phys. 3, 477- 493, 1973.

H. Poincaré (1902). La science et l’hypothèse. Nederlandse vertaling Wetenschap en hypothese. Vertaald door W.A. Verloren van Themaat. Inleiding van J.J.A. Mooij. Boom Meppel, Amsterdam, 1979.

N. Shackel (2007). Bertrand’s Paradox and the Principle of Indifference, Philosophy of Science 74, 150-175, 2007.

P.F. Strawson (1959). Individuals: An Essay in Descriptive Metaphysics. Londen: Methuen, 1959.

B. Williams (1973). Strawson on Individuals. In: Problems of the self: philosophical paper 1956-1972. Cambridge University Press, Cambridge (UK), 1973.