Het punt en de punt

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over zeer kleine, maar niettemin belangrijke objecten: punten.

Wat is een punt?

Het punt is waar het om gaat. Een verhaal, een roman of film, kan verschillende verhaallijnen schetsen. In het begin vraag je je af: waar gaat dit over? In de loop van het verhaal komen lijnen samen en het wordt steeds duidelijker waar het over gaat, wat het punt is. Soms is er slechts de suggestie van een punt. En blijf je, als het boek uit of de film afgelopen is, in verwarring achter. Waar ging dit over? Het snijpunt van de verhaallijnen van je eigen leven ben je zelf. Het ik is het punt waar het om draait en vanuit wiens perspectief de wereld beschreven wordt. Het levensverhaal is een poging tot identificeren, het beantwoorden van de vraag: wie ben ik?

Wat is echter een punt? Daar is veel verwarring over. Door deze aan te wijzen lost deze zich hopelijk op. Maar hoe wijs je een verwarring aan? Hoe ontstaan punten eigenlijk? Zijn ze er al voordat je het erover hebt? Of worden ze tijdens een gesprek gemaakt? Wat weten we allemaal over het punt en over de punt?

De ruimte

Een punt is een object in een ruimte. Er zijn verschillende soorten ruimtes: behalve de verhaalruimte zijn er de waarnemingsruimte, de gezichtsruimte, de tastruimte, de bewegingsruimte; de meetkundige ruimte, maar ook de gespreksruimte. Ieder soort ruimte heeft zijn eigen soort punten. Wanneer we een punt maken van de verwarring over de fysieke waarneembare punt en de wiskundige punt dan is dit punt een onderwerp van het gesprek. Het is de focus in een gesprek, datgene waar de schrijver de aandacht van de lezer op wil vestigen. Wil je iemand op een punt wijzen dan moet je met die ander in zekere zin de ruimte delen. Deze ruimte wordt hier gestructureerd.

Het woord “punt” kent een veelzinnig gebruik. Het heeft verschillende betekenissen maar die zijn aan elkaar verwant. Door de verschillende gebruiken van het woord te bekijken kunnen we de essentie van de punt misschien achterhalen.

Is elke ruimte wiskundig?

De verwarring waar ik op doel is die van het waarneembare of aanwijsbare punt met de meetkundige punt. Een punt is wat geen deel heeft. Zo luidt de definitie die Euclides (300 voor Christus) in zijn Elementen geeft; het begin van de Euclidische meetkunde. Heeft hij het over een meetkundig punt? De oude Grieken hadden al ontdekt dat wiskundige objecten, zoals getallen, driehoeken en cirkels andere dingen zijn dan fysieke objecten, zoals stoelen, of atomen. Het woord atoom komt uit het Grieks en betekent ondeelbaar. Het bestaan van ondeelbare materie-deeltjes was omstreden. Plato was van mening dat je materie eindeloos kon delen. Democritus was een atomist: materie is opgebouwd uit atomen. Waarneembare eigenschappen zoals kleuren zijn gebaseerd op de bouwstenen van de materie. Wat we nu atoom noemen is niet on-deelbaar. Het atoom bestaat uit sub-atomaire deeltjes, een kern en een wolk van elektronen, deeltjes die overigens in de fysica beschreven worden met wiskundige formules.

Een punt is begripsmatig niet hetzelfde als een atoom. Wiskundige objecten zijn in principe niet waarneembaar. Ze hebben een wat problematische wijze van bestaan. Sommige mensen denken dat ze helemaal niet bestaan. Net zo min als de kleur rood of het begrip paard, of een opgegeten boterham bestaat. Maar als ze niet bestaan wat is dan het nut van wiskunde? Wat zegt die dan over de werkelijkheid? Hoe verklaren we dan dat de wiskunde overal toegepast wordt? Waarom moeten we wiskunde leren op school? Omdat mathemata nu eenmaal betekent dat wat geleerd moet worden?

Punten zijn net engelen

Ook het punt waar het in een gesprek of verhaal over gaat is niet waarneembaar. Dit heeft het dus gemeen met het meetkundige punt. Je zou misschien denken dat wiskundige punten eenvoudig te identificeren en lokaliseren zijn. Eenvoudiger dan het is om duidelijk te maken wat het punt is van je betoog. Het zijn immers wiskundige objecten. We zullen zien dat dat niet het geval is. De wiskundigen zijn het tegenwoordig net zo oneens over het aantal punten op een lijnstuk als de middeleeuwse theologen het eens waren over de vraag hoeveel engelen er op de punt van een naald kunnen dansen. Volgens de middeleeuwse theoloog Thomas van Aquino zijn engelen ook niet waarneembaar, ze hebben geen lichaam, geen grootte. Engelen zijn volgens hem puur rationele wezens, zonder zintuigen en onstoffelijk, ze hebben geen materie. De mens stelt ze voor als mensen met een lichaam en vleugels, of als duif, maar dat is slechts een voorstelling. Wat dat betreft zijn het net wiskundige objecten en lijken ze verdacht veel op punten. Zelfs de vraag van Thomas of een engel op verschillende plaatsen tegelijk kan zijn stak in de moderne wiskunde weer de kop op. Maar dan gaat het niet over engelen maar over punten! Volgens de Bijbel zijn er ontelbaar veel engelen. Net zoveel als er punten op een lijnstuk liggen. Engelen zijn in verschillende religies (Christendom, Islam) wezens die tussen de Goden en de mensen in staan. De religieuze sekte van Pythagoras (500 v Chr.) was volgens de overlevering bekwaam in mystiek en wiskunde, mathemata (dat wat geleerd moet worden). De wiskunde, vooral de getallenleer had iets mystieks. Getallen werden gezien als beginselen van de werkelijkheid, verzinnebeeld door getalsymbolen. Harmonieleer was onderdeel van de mathematica.

Wiskundige objecten zijn niet waarneembaar!

De wiskunde gaat er principieel vanuit dat haar objecten niet waarneembaar zijn. In de onderstaande figuur is de getekende driehoek geen wiskundige driehoek maar een voorstelling van een driehoek.

Links: een voorstelling van een driehoek. Rechts: een Venn-diagram van twee niet overlappende verzamelingen.

Tekeningen hebben geen bewijskracht. Een wiskundige stelling moet bewezen worden door logische conclusies uit voor waar aangenomen axioma’s of eerder bewezen stellingen te trekken. Met cijfers en cijferrijtjes duiden we getallen aan. Een cijfer is zelf geen getal.

Dit onderscheid tussen de voorstelling, zoals een teken of een figuur, en dat wat het voorstelt, het wiskundig object, houden we consequent vast wanneer we wiskunde bedrijven.

Ook als we een taal met een formele taal modelleren.

Een formele taal is een wiskundig object, een verzameling waarvan we de elementen expressies noemen. Expressies of woorden van de taal zijn opgebouwd uit tekens. Dit zijn wiskundige objecten die we zo noemen omdat ze dienen als model van echte tekens. Wanneer we over die objecten willen redeneren dan moeten we namen ervoor introduceren. We zijn er vrij in welke naam we kiezen. Bij het formaliseren van de taal ligt het voor de hand om als naam voor het object dat in het model de rol van het woord “man” uit onze taal speelt, de identifier “man” te kiezen. Dan ligt de verwarring wel erg voor de hand. Toch moeten we ook hier het teken “man” dat we in de theorie gebruiken voor het wiskundig object, een teken uit de formele taal, dat er mee wordt aangeduid niet verwarren met het oorspronkelijke woord “man” uit de taal die we aan het mathematiseren zijn.

Net als constante namen zoals het cijfer “5” voor het getal 5, gebruiken we variabelen bijvoorbeeld x in de wiskunde om een willekeurig object aan te duiden. In het volgende bewijs komen letters voor die staan voor willekeurige elementen.

Stel dat geen A een B is. We bewijzen dat geen B een A is. Bewijs: Stel dat een zekere B, neem C, een A is. Dan is C geen B. Maar dan kan C geen A zijn. Dus: geen B is een A.

We kunnen de juistheid van deze logische redenering (een syllogisme) illustreren door middel van een Venn diagram, zie bovenstaande figuur, met daarin rechts de twee begrippen A en B voorgesteld als bollen die verzamelingen voorstellen. Het is onmiddellijk duidelijk dat als geen A een B is (de bollen overlappen niet) dat dan geen B een A kan zijn. Maar zo’n plaatje heeft geen bewijskracht.

De verwarring

De verwarring tussen de dagelijkse punt en de wiskundige punt treedt op wanneer deze twee gebruiken van het woord, en daarmee van het begrip punt, elkaar ontmoeten. Dat is in de praktijk van het meten. In het meten, wat een vorm van kennen is, ontmoeten de ideele wereld van de wiskunde en de waarneembare wereld elkaar.

Meten is belangrijk – er wordt wel gezegd dat meten weten is. Door te meten krijgen wij of maken wij informatie, mededeelbare kennis in een kwantitatief formaat. Het is dus nuttig te weten wat een punt is. Het aanwijzen van iets is een vorm van meten. “Dat is het punt, de stoel die ik bedoel.” Maar zijn alle punten, alle onderwerpen waar ik het over kan hebben aanwijsbaar? Hoe kunnen we refereren naar een punt als het niet aanwijsbaar is? Of is een punt per definitie iets dat aanwijsbaar is? Maar als je iets aanwijst dan heb je te maken met de wijs- en kijkrichting. En niet alleen die van je zelf als aanwijzer maar ook met die van de ander die je het punt wilt aanwijzen. Die moet als het ware het perspectief, het standpunt, van de ander innemen. Dat is kort gezegd de problematiek van het punt.

Tijd voor wat voorbeelden.

Snijpunten

Je hebt een praatje met een bekende. Deze begint te vertellen over ene Janssen. Je kent Janssen ook en je praat een tijdje mee over deze figuur. Totdat op een gegeven moment blijkt dat er iets niet klopt. “Maar hij woonde toch in Parijs? Hebben we het wel over dezelfde?” Het blijkt dat we het al die tijd niet over hetzelfde onderwerp hadden! Er zijn meer hondjes die Fikkie heten. Toch dachten we allebei dat we met de eigennaam Janssen de figuur aanwezen die we op het oog hadden.

Wanneer twee auto’s op het zelfde moment op het snijpunt van twee wegen zijn, vindt er hoogst waarschijnlijk een botsing plaats. Hoe groot die kans is hangt af van hoe precies we de locatie met de term snijpunt van twee wegen aanduiden. Je kunt dat min of meer ruim nemen. Het hangt van de situatie af hoe precies we in de praktijk een punt aan willen wijzen. Ook een moment, een tijdstip is een punt, namelijk in de eendimensionale tijdruimte. Ruimte en tijd zijn de referentiekaders voor het aanwijzen van een punt. Maar hoe leggen we die kaders vast? Door de aanwijsbare objecten? Dan zijn we in een cirkel aan het draaien.

Een snijpunt van twee lijnen is ook een punt. Wanneer we hier met lijn een getekende lijn op papier of op een scherm bedoelen dan kleeft aan dit snijpunt een zelfde vaagheid als aan het snijpunt van twee wegen. In beide gevallen gaat het om een waarneembaar en aanwijsbaar object in de werkelijkheid. Deze punten hebben een uitgebreidheid, ze nemen ruimte in.

Dat is anders met het snijpunt van twee meetkundige lijnen. Deze objecten zijn zelf niet waarneembaar en ze zijn slechts in één dimensie uitgebreid. Een lijn is een lengte zonder breedte volgens Euclides’ Elementen. Een vlak is een meetkundig figuur dat in twee dimensies uitbreidbaar is; een lichaam in drie. Het snijpunt van twee lijnen is een punt. Zo’n punt heeft geen dimensie. Het heeft geen dikte en geen lengte. Een lijnstuk – dat is een stuk lijn tussen twee verschillende punten – heeft wel een lengte, maar geen dikte. Zou een waarneembaar punt dat je steeds kleiner maakt uiteindelijk een wiskundige punt kunnen worden? Kun je door een tafelblad maar lang genoeg te schuren een wiskundig plat vlak maken? Nee, het wiskundige object is de ideale norm die boven de werkelijkheid bestaat als maatgevend.

Bron van verwarring

De eerste bron van verwarring is die tussen een punt als wiskundig object en een punt als een entiteit in de echte fysische of psychische werkelijkheid. Het heeft in het laatste geval de betekenis van een aanwijsbaar iets; iets dat in een bepaalde context van belang is. Het punt is dat waarom het gaat. Wanneer je iemand wilt laten weten waarover je het hebt dan wijs je het aan. Dat of dit. Maar hoe doe je dat als het niet iets is dat fysiek waarneembaar is? Door een beschrijving. Maar een beschrijving is iets algemeens. Daarmee kun je niet een specifiek punt aan wijzen. Helpen eigennamen? Niet ieder object heeft een eigennaam. Eigennamen identificeren personen niet uniek. Het lijkt erop dat we daarvoor het bestaan van een gemeenschappelijk referentiekader moeten aannemen.

De kwestie hoe te refereren naar een “individual object” bespreekt Peter Strawson in zijn essay Individuals (1957). De problematiek van het identificeren van een niet-demonstrabel (dat is een niet fysisch aanwijsbaar) “particular” door een spreker in een gespreksituatie wordt door B. Williams (1973) besproken in zijn kritiek op Strawson. Een hoorder moet op basis van een refererende uitdrukking (“de koning van Frankrijk”, “de man met de hamer”) kunnen bepalen waar de spreker het over heeft. Buiten de gesprekssituatie is er geen autoriteit die kan bepalen of de gesprekspartners het over hetzelfde hebben. Ze moeten zich tevreden stellen met het vertrouwen in het overeengekomen begrip.

Informatici zijn mensen die zich bezig houden met de uitwisseling van kennis niet door er zelf aan deel te nemen, maar door deze van buitenaf te bekijken. Ze analyseren de uitingen, de talige berichten, die deelnemers aan een gesprek met elkaar uitwisselen.

Punt en locatie

We hebben de neiging de punt te onderscheiden van zijn locatie. De locatie is van buitenaf bepaald door een assenstelsel. Door hun locaties kun je twee punten van elkaar onderscheiden. Maar wat is het punt anders dan deze locatie? Kunnen twee punten dezelfde locatie hebben? Zodra we dat denken wordt het punt weer iets dat buiten het punt dat door de locatie bepaald is bestaat. Alsof het los van die locatie, als ware het een fysisch object, bestaat. Alleen dan kun je twee punten hebben die zich op dezelfde plek bevinden. De locatie van een punt is echter niets anders dan de relatie van het punt tot de ruimte waarbinnen het punt ligt. Via de locatie zijn de punten in een ruimte ten opzichte van elkaar bepaald. Hun identiteit bestaat in de relaties met de andere punten in de ruimte. Het coordinatenstelsel definieert een raamwerk waarmee je punten (locaties) van elkaar kunt onderscheiden. Het ligt voor de hand dat het aantal punten dat je kunt onderscheiden afhangt van de fijnmazigheid van het raammerk. Als je alleen gehele getallen mag gebruiken heb je een grof rooster en kun je minder locaties onderscheiden dan wanneer je alle reëele getallen mag gebruiken.

Punten en hun namen

Wanneer we twee punten willen onderscheiden dan geven we ze elk een eigen naam. Door die naam, een unieke identifier identificeren we het punt. Wanneer we vragen of de punten a en b gelijk zijn dan bedoelen we of wat we met a aanduiden hetzelfde punt in de ruimte is als wat we met b aanduiden. Hoeveel punten we kunnen onderscheiden hangt dus af van het aantal namen dat we tot onze beschikking hebben. Met de cijfers 0 t/m 9 en onze getalstelsel kunnen we heel veel getallen aanduiden. Zo kunnen we het getal 213 onderscheiden van bij voorbeeld 2013. Of dat er genoeg zijn om alle punten te onderscheiden, dat is nog maar de vraag.

Zonder tekens is denken niet mogelijk. Frege schrijft in zijn essay Uber die wissenschadftliche Berechtigung einer Begriffschrift (1882) over het teken:

“Die Zeichen sind fur das Denken von derselben Bedeutung wie fur die Schiffahrt die Erfindung, den Wind zu gebrauchen, um gegen den Wind zu seglen. Deshalb verachte nimand die Zeiche!” (Frege, 1882).

Een rekenmachine is een werkend cijfersysteem. Door met cijfers te manipuleren volgens vastgelegde regels voert de machine berekeningen met de getallen uit die door de cijfers worden voorgesteld. Een voorbeeld van een primitieve rekenmachine gaat zo. Wanneer ik II , (wat staat voor het getal 2) samen voeg met III (wat staat voor het getal 3) dan is het resultaat IIIII, de representatie van het getal 5. Het samenvoegen staat voor de wiskundige regel optellen. Het is duidelijk dat het Romeinse cijfersysteem niet erg handig is. Het heeft tot de 15de eeuw geduurd voordat in Europa het huidige tientallig stelsel ingevoerd werd. Voordat er denkende machines gemaakt konden worden moest het denken als manipuleren met tekens volgens vaste regels worden gezien. De meta-mathematica is het wiskundig beschrijven van het wiskundig denken zelf.

Punt en lijn

Euclides definieerde een rechte lijn als een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“. Een “raadselachtige omschrijving”, schrijft de psychiater J.H. van den Berg in zijn prachtige geesteswetenschappelijke geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes. De definitie die de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis van de lijn geeft laat zien hoe het begrip refereert naar de waarnemingsruimte en het oogpunt van de kijker. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” (overgenomen uit: J.H. van den Berg, 1969).

Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is houdt hij de lat op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt. Lukt dat niet dan is de lat krom. Lukt het wel dan is ie recht, een rechte lijn. Wanneer we in een ruimte zouden zijn waarin het licht niet langs een rechte lijn maar langs een kromme zou gaan, dan zouden we een kromme lat als recht kunnen beoordelen. Voor ons is de lat dan recht. Mensen die zich in de ruimte bevinden waarin een punt aangewezen moet worden of iets gemeten moet worden, trekken andere conclusies dan mensen die zich buiten die ruimte bevinden. Die kijken vanuit een ander perspectief.

Oneigenlijke punten

Perspectief is het onderwerp van de projectieve meetkunde. Daarin komen oneigenlijke punten voor. Een oneigenlijk punt is de verzameling van alle lijnen evenwijdig aan een gegeven lijn, inclusief die gegeven lijn. Het is misschien wat vreemd om dit een “punt” te noemen. De verklaring zit hem in het feit dat evenwijdige lijnen door projectie vanuit een punt op een vlak kunnen worden afgebeeld op lijnen die allemaal door een punt in dat vlak gaan. Het was de Franse architect Desargues die omstreeks 1635 op het idee van de oneigenlijke punten kwam. Projecties werden vanaf de 15de eeuw in Italie bestudeerd door architecten en schilders die objecten vanuit een realistisch perspectief tekenden. In zijn leerboek Projectieve Meetkunde stelt Dr. A Heyting (1973) dat het mogelijk is bij het onderwijzen van deze meetkunde bij de leerling de kennis van de Euclidische meetkunde bekend te veronderstellen. Hij heeft het over de middelbare school leerling! Hij kiest daar in zijn leerboek niet voor omdat hij meent dat deze kennis onvoldoende aanwezig is. Ik denk dat hij daar gelijk in heeft. Een tweede reden is dat de Euclidische meetkunde als een bijzonder geval, je zou kunnen zeggen een toepassing, van de projectieve meetkunde kan worden ingevoerd. Projectieve en Euclidische meetkunde verhouden zich als wiskunde en natuurkunde in die zin dat resultaten met betrekking tot de laatste niet van invloed mogen zijn in bewijzen binnen de eerste. Net zo min als je eigenschappen van een toevallige getekende driehoek mag gebruiken in een meetkundig bewijs. In de projectieve meetkunde worden punt en lijn verwisselbare begrippen in die zin dat een ware bewering over de relatie tussen punten en lijnen overgaat in een “duale” ware bewering wanneer je punt en lijn verwisseld.

Waar komen de wiskundige objecten vandaan?

Arend Heyting promoveerde bij de intuitionist L.E.J. Brouwer en is medegrondlegger van de intuitionistische logica. Een intuitionistisch wiskundige accepteert alleen het bestaan van een wiskundig object wanneer dit geconstrueerd kan worden. In gedachten. Anderen menen dat de wiskundige objecten onafhankelijk van ons denken en doen bestaan. Wiskundigen ontdekken ze, als een soort van archeologen. Een belangrijk verschil tussen beide scholen betreft de vraag wat een geldig existentiebewijs is. Wanneer heb je bewezen dat iets wel of niet bestaat? Omdat wiskundige objecten niet zintuiglijk waarneembaar zijn en slechts gedacht worden, is dit geen triviale vraag. Mag je zeggen dat een object met zekere eigenschappen niet bestaat als de aanname dat zo’n object wel bestaat tot een tegenstrijdigheid leidt? Verderop zullen we een bewijs uit het ongerijmde geven. Voor intuitionisten heeft zo’n bewijs niet de kracht van bewijs.

Wiskundig punt

Wat is nu de relatie tussen een meetkundig punt en een meetkundige lijn? Is een lijn opgebouwd uit punten? Dat hangt ervan af wat we precies met “opgebouwd” bedoelen, maar wanneer we dit bedoelen in de zin waarin een huis is opgebouwd uit stenen, of een stof uit atomen, dan moet het antwoord negatief zijn. Een punt heeft immers geen lengte en je kunt een lijnstuk, dat immers wel een lengte heeft, niet maken uit dingen die geen lengte hebben. We zeggen dat een punt op een lijn ligt en dat een lijn door punten gaat. Maar kun je een lijn ook als een verzameling punten zien?

Het verzamelingbegrip, waarvan de naieve, intuitieve, versie door Georg Cantor werd gedefinieerd, wordt door velen als basis-begrip van de wiskunde gezien. Dat wil zeggen dat je alle wiskundige objecten kan definieren als verzameling. Omdat het naieve verzameling-begrip al snel aanleiding gaf tot paradoxen (zoals de beroemde Russell paradox), werden pogingen gedaan beperkingen op te leggen aan wat je allemaal als verzameling kunt beschouwen. In een axiomatische verzamelingentheorie worden de bewijsbare stellingen over verzamelingen vastgelegd. Een voorbeeld van zo’n theorie is ZF, genoemd naar de makers, Zermelo en Fraenkel.

Stel dat we een lijn als een verzameling zien. Omdat een verzameling in zekere zin bestaat uit de elementen die in de verzameling zitten ligt hier een tweede bron van verwarring. De lijn bestaat als verzameling in zekere zin uit haar punten maar is er niet uit opgebouwd. Tussen iedere twee punten op een lijn kunnen we weer een punt denken. Dat is het kenmerk van een continuum, een lijn: er zijn geen gaten tussen twee punten. Het is een voor de hand liggende vraag: hoeveel punten liggen er op een lijnstuk? Toch is het antwoord niet makkelijk te geven. Een verzameling die alle punten van een lijnstuk bevat kan niet afgebeeld worden op een rij van natuurlijke getallen. Daarvoor heeft deze verzameling, hoe klein het lijnstuk ook is, te veel punten. Meer dan er natuurlijke getallen (1,2,3,4,…) zijn en dat zijn er al oneindig veel. Het aantal punten op een lijnstuk is overaftelbaar. Je kunt dat als volgt inzien.

Elk lijnstuk heeft evenveel punten als een lijnstuk van lengte 1 eenheid. Alle lijnstukken hebben dus evenveel punten. Bewijs: Denk je een lijnstuk L. Stel deze heeft een lengte groter dan 1. Denk/construeer een driehoek met als basis L. Trek een lijnstuk M van lengte 1 binnen de driehoek evenwijdig aan L, die de beide benen van de tophoek verbindt. Vanuit de tophoek S kun je nu lijnen trekken naar elk punt van L. Deze beelden elk punt van L precies op een punt van M af en omgekeerd: een 1-op-1-afbeelding. M en L hebben dus evenveel punten.

Vervolgens kun je de punten op dit lijnstuk van lengte 1 een-op-een afbeelden op de deelverzamelingen van de natuurlijke getallen. En dat zijn er overaftelbaar veel, een graad van oneindigheid (kardinaliteit) die groter is dan de oneindigheid van de aftelbare verzameling van natuurlijke getallen. Georg Cantor bewees dit door middel van een diagonalisatiemethode. Hij bewees niet alleen dat de verzameling van punten op een lijnstuk echt groter is dan het aantal natuurlijke getallen, hij vermoedde dat er geen verzameling bestaat die qua grootte tussen die twee in ligt. Dat is Cantor’s beroemde continuümhypothese. Cantor’s ideeen over oneindige verzamelingen hebben heel wat stof doen opwaaien. De wiskundig en logicus Skolem vermoedde al dat het niet te bewijzen zou zijn evenmin als het tegendeel, omdat het probleem niet precies genoeg is gespecificeerd. We zijn nu een eeuw verder en de meeste wiskundigen die zich er mee bezig houden zijn het er wel over eens dat Skolem gelijk had. Het hangt van de nadere specificatie van het probleem af of het waar is (Godel construeerde in 1940 een model waarin de bewering waar is) of onwaar (Cohen ontwikkelde in 1969 een methode om modellen te maken waarin verschillende verzamelingen bestaan die qua grootte tussen de natuurlijke getallen en de verzameling van punten op een lijnstuk in liggen. (Zie het artikel van Hart 2009 voor historische en wiskundige details).

Volgens de wiskundige en filosoof Louk Fleischhacker is het “in het geheel niet verwonderlijk dat bij de mathematische reconstructie van een aanschouwelijk gegeven nadere bepalingen moeten worden ingevoerd waarover de aanschouwing geen uitsluitsel geeft.” Hij vindt dit niet verwonderlijk op basis van zijn inzicht in de relatie die de wiskunde heeft met de werkelijkheid. Hij zegt hierover: “De eigenlijke ken-inhoud die in de mathematische abstractie gevat wordt is immers iets potentieels – het in zich verdeelbare – dat pas door een denkbeeldige actualisatie als mathematische object stelbaar wordt. Deze ken-inhoud wordt door het mathematische denken dus overschreden inzoverre hij op een bepaalde wijze geactualiseerd wordt gedacht, maar hij wordt zo toch niet uitgeput omdat hij op bepaalde wijze geactualiseerd gedacht wordt.” (Fleischhacker, 1982, pp. 186-187)

De basis van de mathematische abstractie is de reele uitgebreidheid van het fysisch waarneembare. Het wiskundig intellect vat hiervan een intelligibel kenmerk en objectiveert dit tot ideele mathematische objecten. Ook de mathematisering van natuurprocessen is een product van deze objectivering, evenals de mathematisering van de natuurprocessen en de fysische representatie van het wiskundig denken zelf in de vorm van de meta-mathematica en de rekenmachine. “Het oorspronkelijk fenomeen (van de waarneembare uitgebreidheid, RA) blijft bij deze hele ontwikkeling echter impliciet mee-aanwezig.” (L.Fl. p. 189). Zonder het gebruik van aanschouwelijke tekens zouden we niet eens over individuele onderscheidbare mathematische objecten kunnen denken of er mee kunnen rekenen.

De wiskunde abstraheert op een creatieve manier van het aanschouwelijke maar kan er niet zonder. De getallen en meetkundige vormen zijn objectivaties van abstracties van de aanschouwelijke werkelijkheid. Zonder deze door middel van tekens, of symbolen voor te stellen zouden we er niet over kunnen redeneren.

Onaanwijsbare punten

Neem een bepaald punt P op een lijnstuk L. Nu zal elke punt X van L dat niet P is hetzij links, hetzij rechts van P liggen. Stel we hebben een afbeelding van deelverzamelingen van N, de verzameling van natuurlijke getallen, op de punten van L. Dan bepaalt iedere deelverzameling van N een punt X dat hetzij links hetzij rechts van P ligt als het niet bij P zelf hoort. Maar hoe zijn die deelverzamelingen bepaald? Door een eigenschap van natuurlijke getallen? Maar wat is een eigenschap die aan natuurlijke getallen kan toekomen? Neem bijvoorbeeld de eigenschap kaal te zijn. Of we iemand kaal noemen hangt af van het aantal haren dat hij op zijn hoofd heeft. Hoort het getal 1234 tot de verzameling die de eigenschap kaal representeert? Het punt X dat bij deze vage verzameling hoort ligt of links of rechts van P maar we kunnen niet zeggen waar precies. Het ligt in de mate links van P waarin het niet rechts van P ligt. X is een onaanwijsbaar punt op L. Het bewijs van Cohen maakt in zekere zin gebruik van het gebruik van de mogelijkheid om naar willekeur verzamelingen van onaanwijsbare punten te maken (“generic sets”).

Een bewijs uit het ongerijmde

Je kunt de diagonalisatiemethode van Cantor gebruiken om een algemenere stelling te bewijzen. De machtsverzameling P(S) (P van powerset) van een gegeven verzameling S is de verzameling die precies alle deelverzamelingen van S bevat. Deze P(S) bevat meer elementen dan S zelf. Het bewijs gaat als volgt.

Stel er is een afbeelding f die de elementen van een verzameling S 1-op-1 afbeeldt op die van P(S), de machtverzameling van S. We definieren een element T van P(S) als volgt: T bevat alle en alleen die elementen x van S waarvoor geldt dat ze niet in hun beeld onder f, dat is f(x) zitten. Bekijk nu de verzameling y in S die f op T afbeeldt. Nu moet gelden: y in T of niet y in T. Stel y in T. Dan geldt volgens de definitie van T dat y niet in f(y). Maar f(y) is T. Dus y niet in T. Omgekeerd geldt als y niet in T dan geldt y wel in T. Conclusie: zo’n afbeelding f bestaat niet. Omdat V deelverzameling is van P(V) is P(V) dus echt groter van V.

Dat betekent dat de machtsverzameling van P(S) weer groter is dan de machtsverzameling P(S) van S zelf. En zo maar door; er komt geen eind aan. Een verzameling van alle verzamelingen kan dus niet bestaan, want de machtsverzameling ervan zou meer elementen bevatten dan deze en dat kan natuurlijk niet.

Van binnen en van buiten

Iedere wiskundige theorie over verzamelingen die consistent is, d.w.z. die een model heeft, heeft een aftelbaar model. Dat lijkt in strijd met het feit dat je de verzameling van alle deelverzamelingen van de natuurlijke getallen niet kunt aftellen. Maar dat is het toch niet. De afbeelding die bestaat in dat aftelbare model hoeft namelijk niet in dat model zelf uitdrukbaar te zijn. Het diagonaalargument zegt dat dat niet kan. In plaats van te zeggen dat het continuum overaftelbaar is, moeten we zeggen dat “elke verzamelingtheoretische reconstructie van het lineaire continuum resulteert in een binnen die reconstructie niet als aftelbaar te denken verzameling.” (L.Fl. p.186).

De relatie tussen een verzameling en haar elementen is nogal apart. De verzameling heeft twee kanten: als eenheid en als veelheid. En die twee verhouden zich anders dan de delen van een lijnstuk tot het gehele lijnstuk waarvan ze de delen zijn. De gestelde eenheid die de verzameling is, is volstrekt uitwendig aan de verzameling van elementen. De elementen hebben niets met elkaar van doen dan elementen van een verzameling te zijn. Dat is anders dan met de punten van een lijn. Die hebben wel iets gemeen namelijk op de lijn te liggen, waardoor er een ordening is: een punt C dat op de lijn ligt, ligt bijvoorbeeld tussen de punten A en B in.

Afstanden

Een meetkundige lijn wordt verondersteld recht te zijn: de kortste verbinding tussen twee punten op de lijn. Het afstandsbegrip lijkt in de eerder gegeven definitie van de rechte lijn, zoals die door Dijksterhuis werd gegeven, niet voor te komen. Maar is dat wel zo? Voor een afstand heb je een maat nodig. Die moet buiten de lijn zelf liggen.

Op een bol is de kortste weg tussen twee punten een cirkelboog. Door twee punten op een bol gaat in het algemeen maar een cirkel, maar wanneer de twee punten diametraal tegenover elkaar liggen dan gaan er oneindig veel cirkels door heen. Wanneer we in de bolvormige wereld met een rechte lijn bedoelen een grote cirkel, dan geldt dus in deze wereld dat er meerdere rechte lijnen zijn die twee diametraal tegenover elkaar liggende punten verbinden. Als we nu onder punt in deze ruimte zo’n puntenpaar op de bol verstaan, dan geldt de bewering:

Door twee “punten” gaan oneindig veel rechte “lijnen”.

In een bolvormige wereld hebben lijnen l en m het snijpunt (s1,s2)

Dit is een ware stelling in de niet-Euclidische meetkunde van Riemann. Deze meetkunde is consistent – dat wil zeggen dat deze geen tegenspraken bevat – als de Euclidische meetkunde consistent is (zie Henri Poincaré, 1902).   

Grenzen

Neem nu het lijnstuk tussen twee punten A en B. Of de punten A en B tot het lijnstuk behoren dat ligt daarmee nog niet vast. Ook dat moeten we in de wiskunde stellen wanneer het niet uit andere reeds gestelde zaken volgt. In de wiskundige topologie spreken we van open en gesloten ruimtes: een gesloten ruimte heeft een grens die tot de ruimte behoort. Als A wel maar B niet tot het lijnstuk behoort spreken we van een half-open lijnstuk.

Wat gebeurt er met de lengte van het lijnstuk wanneer we het punt A naar punt B toe bewegen? Dan wordt de lengte kleiner en deze is nul wanneer A samenvalt met punt B. Kan dit ook wanneer A niet, maar B wel op het lijnstuk ligt? Dat lijkt een onzinnige vraag. De verlegenheid met deze vraag komt voort uit de voorstelling alsof we een punt van een lijnstuk kunnen verplaatsen naar een ander punt. Hier wordt weer het fysische met het wiskundige verward. De uitdrukking “een punt verplaatsen” suggereert dat een punt een object is dat je langs een lijn in de ruimte kunt verplaatsen, als een houten bolletje langs het staafje van een abacus.

Wiskundig wordt dit verplaatsen als een rij of een functie geobjectiveerd, waarbij de elementen van de rij verschillende punten zijn. Het verplaatsen van een punt is een logische onmogelijkheid in de wiskunde. Hierboven concludeerden we al dat we een punt niet van zijn plaats kunnen onderscheiden zonder de punt iets van het karakter van een fysisch object te geven. We kunnen de verandering wel denken of in de werkelijkheid aantreffen, maar dat is geen wiskundig object. Zodra je het eindpunt verandert, heb je een totaal ander lijnstuk. Wat gelijk blijft is de functie als relatie tussen een punt als argument-waarde en een lijnstuk als functie-waarde.

In de fysische werkelijkheid bestaan geen wiskundige punten en lijnen. Ook de voorstelling van een wiskundig punt als een wiskundig lijnstuk met lengte nul is onjuist. Punt en lijn zijn verschillende categorieen; ze hebben verschillende dimensies. De idee van een limiet van een rij van steeds korter wordende lijnstukken, bijvoorbeeld door het lijnstuk telkens in twee gelijke delen te verdelen en met een deel verder te gaan, suggereert dat het punt zo’n lijnstuk met lengte nul is omdat de limiet van de rij 1/2, 1/4. 1/8, 1/16, … gelijk is aan 0. Dat is echter een misvatting.

De vraag of de fysische ruimte Euclidisch is of niet-Euclidisch is misleidend. Net zo misleidend als de vraag of de Nederlandse taal context-vrij is of niet. Het wiskundige model wordt niet dwingend door de werkelijkheid voorgeschreven. Het parallellenpostulaat gaat over wiskundige lijnen en heeft geen fysische betekenis. Het kan wel zo zijn dat sommige fysische verschijnselen handiger beschreven kunnen worden wanneer uitgegaan wordt van een niet-Euclidische meetkunde, dat wil zeggen door aan te nemen dat de ruimte niet-Euclidisch is. Hetzelfde geldt voor het golfmodel en het deeltjesmodel in de kwantummechanica. Je kunt niet zeggen dat het licht een golf is en geen deeltje of andersom. Het gaat ook hier om modellen. Elk van die modellen zal iets van onze relatie tot de fysische werkelijkheid naar voren brengen. Meetkundige waarheden zijn noch synthetisch a priori (Kant) noch experimentele waarheden. Ze zijn handige conventies ( Poincaré, 1902).

Kansen meten

Luciferhoutjes hebben niet allemaal precies hetzelfde gewicht, ook al komen ze van dezelfde machine. De geldt ook voor de gewichten van mannen van 40 in Nederland. We weten dat meten altijd onnauwkeurig is. Dit is een inzicht in het verschil tussen de gedachte exacte maat en de fysische grootte zoals die gemeten wordt.

We nemen aan dat de gewichten van luciferhoutjes die van een zelfde machine komen normaal verdeeld zijn. Een normale verdeling is een wiskundige functie, een kansmodel. Op grond van de gemeten gewichten van een steekproefverzameling van houtjes kunnen we een schatting maken van twee parameters van de normale verdeling: het gemiddelde en de spreiding. We hebben hier met een tweede meting te maken. We vergelijken de werkelijkheid met een wiskundig kansmodel. Een grafiek van de Gauss functie heeft een klok-vorm. De horizontale as is een rechte waarop de lengtes zijn afgebeeld. De verticale as toont de kans. Deze worden benaderd door de relatieve frequentie te berekenen.

Histogram met Gauss kromme.

Om dezelfde reden dat een lijn niet opgebouwd is uit punten, is een oppervlak niet opgebouwd uit lijnstukken. Om de grootte van het oppervalk onder de kromme te bepalen moeten we deze benaderen door verdeling in smalle stroken. De kans dat een luciferhoutje exact een gewicht van 2.5 gram heeft, heeft geen betekenis. We kunnen alleen de kans benaderen dat de lengte tussen twee waardes in ligt of kleiner of groter is dan een bepaalde waarde. De totale kans gemeten door de totale oppervlakte onder de Gauss kromme is gelijk aan 1.

Paradoxen

De paradoxen van de waarschijnlijkheidsrekening zijn theoretische presentaties die tegen de intuitie in lijken te gaan terwijl ze volstrekt logisch lijken binnen de aanvaarde theorie van de kansrekening. Neem als voorbeeld Bertrand’s paradox. Deze doet zich voor wanneer we een willekeurige rechte lijn door een cirkel tekenen en ons afvragen hoe groot de kans is dat de lengte van het lijnstuk tussen de beide snijpunten van de lijn met de cirkel groter is dan de lengte van de zijde van een gelijkzijdige ingesloten driehoek van de cirkel.

De drie modellen van Bertrand (1889)

Bertrand vond drie modellen om de lijn door de cirkel ten opzicht van de driehoek vast te leggen resulterend in drie verschillende antwoorden: 1/2, 1/3 en 1/4. Dit is een paradox wanneer aangenomen wordt dat er een unieke oplossing voor moet bestaan.

Het probleem uit 1889 werd door sommigen opgevat als kritiek op Laplace’ principe van indifferentie, ook wel het principe van onvoldoende reden, dat zegt dat wanneer we geen reden zien waarom de natuur een voorkeur zou hebben voor één van de mogelijke uitkomsten van een experiment, we deze gelijke kansen moeten toekennen. Anderen vinden dat Bertrand’s paradox geen kritiek inhoudt op Laplace’ principe. Wat de mogelijkheden zijn hangt af van het gekozen model en binnen elk model kunnen we Laplace’ principe toepassen. De vraag naar het juiste antwoord is echter misleidend. Er is niet één juist antwoord. Alsof de werkelijkheid voorkeur heeft voor een bepaald model.

Bertrand zelf vond het probleem “ill posed”, niet goed-gedefinieerd: het is namelijk niet duidelijk wat een willekeurige lijn is. Diegenen die zeiden dat de paradox wijst op de onhoudbaarheid van het subjectieve kans-begrip meenden dat alleen een experiment kan uitmaken wat het juiste antwoord is. Volgens deze frequentisten kun je alleen van kans spreken wanneer je een experiment heel vaak kunt herhalen. Heel veel lijnen tekenen dus en dan maar meten. Volgens de opvatting dat kans een limiet is van een reeks van relatieve frequenties van uitkomsten zouden we zo op empirische wijze kunnen toetsen wat het juiste antwoord is. De fysicus E.T.Jaynes (1973) en de fysici D. Aerts en M. S. de Bianchi (2014) zijn van mening dat er een unieke oplossing bestaat. Jaynes is het met Bertrand eens dat het probleem niet voldoende gedefinieerd is. Hij vindt een oplossing door toepassing van een invariantie overweging. Aerts en de Bianchi vinden een oplossing door eerst vast te leggen wat er precies gerandomiseerd wordt; dat is het mechanisme waarmee de lijnen op de cirkel worden “geworpen”. De willekeur zit hem niet in de keuze van de lijn, maar in de keuze van de manier waarop de lijn op willekeurige manier gekozen wordt.

De auteurs vergelijken Bertrand’s probleem met het metameetprobleem in de kwantummechanica, waar de statistische uitkomst van een meting nog weer afhankelijk is van de gekozen meetmethode. Door een gewogen gemiddelde te nemen over gemiddelden wordt de kans bepaald. De door Aerts en de Bianchi gevonden uitkomst, 1/3, komt overeen met die van Jaynes. Waar het ons hier om gaat is dat ook uit de aanpak van Aerts en de Bianchi blijkt dat de uiteindelijke oplossing afhankelijk is van de wiskundige modellering en dat deze niet eenduidig door de natuur wordt afgedwongen.

Het resultaat van een meting hangt niet alleen af van dat wat gemeten wordt, het object, maar ook van de gekozen maat, de meetmethode, het kennend subject.

Wat het punt is hangt mede af van degene die op het punt wijst. Of de spreker of schrijver een punt heeft en wat dat punt is dat is mede aan de hoorder of lezer te beoordelen. De wiskunde laat zien welke de mogelijke perspectieven zijn waarvan uit we de werkelijkheid op een consistente manier kunnen modelleren en beschrijven. Welke manier het beste is dat maken de gesprekspartners gezamenlijk uit.

Bronnen

Diederik Aerts en Massimiliano Sassoli de Bianchi (2014). Solving the hard problem of Bertrand’s paradox. Center Leo Apostel for Interdisciplinary Studies and Department of Mathematics, Brussels Free University, Brussels, Belgium.

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de Materie: meetkundige beschouwingen. Uitgeverij G.F. Callenbach N.V., Nijkerk, 1969.

J. Bertrand (1889). Calcul des probabilites, 3rd ed., New York; Chelsea (1960); 1st ed., Gauthier-Villars, Paris, 1889.

K.P. Hart (2009). De Continuumhypothese. Nieuw Archief Wiskunde, 5/10, nr.1, Maart 2009.

A. Heyting (1973). Projectieve Meetkunde. Derde druk, Wolters-Noordhoff NV, Groningen, 1973.

E.T. Jaynes (1973). The Well-Posed Problem,” Found. Phys. 3, 477- 493, 1973.

L.E. Fleischhacker (1982). Over de grenzen van de kwantiteit. Proefschrift Universiteit van Amsterdam, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982.

H. Poincaré (1902). La science et l’hypothèse. Nederlandse vertaling Wetenschap en hypothese. Vertaald door W.A. Verloren van Themaat. Inleiding van J.J.A. Mooij. Boom Meppel, Amsterdam, 1979.

N. Shackel (2007). Bertrand’s Paradox and the Principle of Indifference, Philosophy of Science 74, 150-175, 2007.

P.F. Strawson (1959). Individuals: An Essay in Descriptive Metaphysics. Londen: Methuen, 1959.

B. Williams (1973). Strawson on Individuals. In: Problems of the self: philosophical paper 1956-1972. Cambridge University Press, Cambridge (UK), 1973.