Wat beleven wij als we rekenen?

Als wiskundedocent word ik regelmatig lastig gevallen met de vraag waarom ieder kind op school moet leren rekenen. Een belangrijke vraag.

Dat onze kinderen moeten leren rekenen, dat staat voor mij buiten kijf. Maar waarom is dat zo? Dat dat nu eenmaal zo is omdat het altijd zo is geweest, dat vind ik niet zo’n sterk argument. Iedere tijd moet zich kritisch opstellen tegenover de traditie en de gewoontes die tot vanzelfsprekenheden leidden. Tijden veranderen. Het is dan ook helemaal niet zo is dat ‘het altijd zo is geweest dat iedereen moest leren rekenen’. Het rekenen is een tamelijk nieuw verschijnsel en dat elk kind moeten leren rekenen is zelfs een tamelijk recent en lokaal fenomeen.

Sommige mensen – niet alleen kinderen en zij die moeite hebben met rekenen – zijn van mening dat het rekenonderwijs al weer ‘uit de tijd’ is omdat iedereen tegenwoordig een mobieltje heeft met een reken-app, een calculator, die voor ons het rekenen doet. Ook dat vind ik geen goed argument. Omdat je namelijk wel moet weten wat rekenen is; wanneer je zo’n rekenmachine nodig hebt en wanneer je er niets aan hebt. Net zo goed als je wel moet leren fietsen, ook al zijn er fietsen. Fietsen fietsen namelijk niet vanzelf. Rekenmachines rekenen evenmin vanzelf. Wie dat denkt weet niet wat rekenen is. En hiermee ben ik meteen al aangekomen bij het belangrijkste doel van het rekenonderwijs.

Het rekenonderwijs heeft als belangrijkste doel het kind (en de volwassene) te leren wat rekenen is.

Hoe leren we wat dat is? Het antwoord is kort en simpel. Door het te doen. Dat is de basis voor het belangrijke inzicht dat kinderen moeten verkrijgen: wat rekenen is.

Het rekenen is een bijzonder soort aktiviteit. Wat is er zo bijzonder aan? Het bijzondere eraan is dat het mechanisch gaat, met uitsluiting van elke emotie.

Wat beleven we als we rekenen? Niets. Als we rekenen beleven we helemaal niets. Het rekenen is een activiteit die helemaal buiten ons gemoedsleven om gaat.

Het belangrijkste kenmerk van rekenen is dat het leerbaar is. Rekenen is te leren. Rekenen is het uitvoeren van algemene regels die geleerd kunnen worden. Het rekenen vereist een belangrijke vaardigheid van het kind, een vaardigheid die tijdens het rekenen getrained wordt: het uitvoeren van een opdracht waarbij regels worden gevolgd. Mechanisch. De zeer belangrijke, niet te onderschatten waardevolle ervaring die het kind dat rekent opdoet, terwijl het rekent, is dat het zich als een mechanisme kan gedragen. Het kind dat rekent leert door te doen dat het zich tot machine kan maken, een ding dat stomweg regels uitvoert die het geleerd heeft, als de regels van een spel.

Het rekenen is een manipuleren met tekens (vroeger: steentjes, calculi) volgens regels, die geleerd moeten worden. Het kind maakt dus kennis met het fenomeen meester, iemand die zegt wat het precies moet doen en hoe het iets moet doen, omdat het nu eenmaal zo gedaan wordt. Het kind leert dat het slaafs moet doen wat de meester zegt dat het moet doen. Daarbij speelt de emotionele relatie die het kind met de meester of juf (de meester kan ook een juf zijn) idealiter geen rol. Sommige kinderen (en volwassenen) gehoorzamen makkelijker een robot dan een menselijke meester.

Tijdens dat rekenen beleven we helemaal niets. Het rekenen is een activiteit die helemaal buiten ons gemoedsleven om gaat. Sommige kinderen (en volwassenen) vinden rekenen leuk. Maar dat leuke heeft niets met de activiteit van het rekenen zelf te maken. Het leuke is dat het beleefd wordt als iets dat vanzelf gaat. De enige lol die aan het rekenen beleefd kan worden is het zo snel mogelijk te doen. Rekenen is namelijk een ‘tijdloos’ proces. Anders dan een beweging die we waarnemen in de natuur. Anders dan het vullen van een glas of een aktie bij het voetballen. 1 en 1 is onmiddellijk 2. En 24 keer 11 is onmiddellijk 264. Dat duurt niet. Dit komt omdat het rekenen in principe een denkaktiviteit is, waar het waarneembare, materiële aspect slechts buitenkant is.

Het rekenonderwijs biedt ook het domein waarin je truukjes kan leren om iets handiger uit te rekenen. Het kind leert dat er meer wegen zijn die het goede resultaat opleveren. Wat dat goede resultaat, de uitkomst van de som, is, dat staat vast. Dat is het koninklijke van de wiskunde. 11 keer 24 is exact gelijk aan 24 keer 11. En als je weet dat (a+b)*(a-b) = a^2 – b^2, dan kun je 23 keer 27 handig uitrekenen als je ziet dat dit gelijk is aan (25-2)*(25+2) wat gelijk is aan 25^2-2^2= 625-4 = 621.

Een leerling vraagt: waarom het niet uit maakt of je 11 keer 24 doet of 24 keer 11. De meester legt dit als volgt uit: neem een tegelvloer bestaande uit 11 rijen van 24 vierkante tegels. Dat zijn 11 keer 24 tegels. Dezelfde vloer kun je ook beschrijven als een tegelvloer van 24 rijen van elk 11 tegels. Dat zijn er 24 keer 11 tegels. Omdat het om de zelfde vloer gaat, moeten die twee wel hetzelfde resultaat opleveren. Het maakt immers voor de tegelvloer niet uit hoe we deze als structuur beschrijven. Zo maakt het voor de werkelijkheid niet uit hoe we deze als gestructureerd denken.

Het opdoen van de eigen ervaring van het mechaniseren is niet het doel dat in het algemeen als het nut van het rekenonderwijs naar voren wordt gebracht. Het nuttige zit in de toepassing. Het kind leert rekenen omdat het nuttig is. Waar zit hem dat in?

Dat zit hem in het nut van vergelijken.

Voordat het kind naar school gaat heeft het al leren tellen. Het kent de namen van de getallen: één, twee, drie, etc. Die heeft het al tellend geleerd van anderen. Daarbij wijst het de dingen aan die het telt. De drie paarden in de wei. De steentjes in een potje. Tellen is een vorm van meten. Meten is vergelijken van iets onbekends met iets bekends, zodat je het onbekende bekend wordt.

Meten is vergelijken. Ieder streepje is 1 cm. (bron: wikipedia)

Het wezenlijke karakter van de houding die het kind hier leert aannemen tegenover de wereld om hem heen is dat van onverschilligheid. Het is de onverschilligheid die hoort bij de onbetrokkenheid die overeenkomt met het mechanische van het rekenen, waar het hier boven over ging.

Wie een verzameling van dingen (een eenheid) telt die maakt geen (inhoudelijk) verschil tussen de dingen die hij telt. Elk paard is er één als alle andere die in de wei staan. De foto toont vijf klapperstenen. Het kind dat de steentjes telt leert ieder steentje af te beelden op een getal, waardoor er expliciet een ordening van de steentjes wordt gemaakt. Die ordening bestaat alleen binnen de wereld die het kind door het tellen zelf aanbrengt. Iedere andere volgorde is mogelijk. Dat is een belangrijke ervaring. Het is de kennismaking met de werkelijkheid als telbaar, meetbaar, structureerbaar, modelleerbaar.

Bij de bepaalde ‘mathematische’ houding die het kind aan leert nemen hoort dus een bepaalde wijze waarop de werkelijkheid verschijnt. Die twee, ‘subject’ of denken en ‘object’ of werkelijkheid, horen bij elkaar.

Bij het tellen van dingen wijst het kind de dingen aan: die, die en die. Dat aanwijzen is de meest primitieve vorm van meten. Het opleggen aan de werkelijkheid van een maat. Die maat gaat van het kind zelf uit: het relateert het aangewezene aan de aanwezigheid van het zelf in de ruimte waarin het zich bevindt. Het jonge kind maakt kennis met de werkelijkheid als aanwijsbaar.

Anders dan sommige geleerden beweren is de wiskundige kennis wel degelijk gebaseerd op kennis van de zintuiglijk waarneembare werkelijkheid. Alleen niet als zintuiglijk waarneembaar. Het gaat om het kwantitatieve van tijd en ruimte, het nu van vele nu’s, het dit van vele dits, waarbij afgezien wordt van de kwaliteit der dingen.

Spelenderwijs leert het kind de namen van de dingen. Daarmee deelt het de werkelijkheid in. Dat heet tegenwoordig structureren of modelleren. In de wei staan drie paarden en vijf koeien. Als het kind telt, telt het dingen die tot een bepaalde categorie behoren: paarden, koeien, stenen. De drie paarden en vijf koeien in de wei maken samen acht dieren. Zo leert het kind wat structureren is.

De wiskunde is de wetenschap van de structuren, die als zelfstandige objecten worden gezien. Het toepassen van de wiskunde is het structureren (modelleren) van de werkelijkheid met een bepaald doel.

Mathematisme is het wijdverbreide dogma dat de werkelijkheid opgaat in haar structuren, dat we de werkelijkheid volledig kennen als we haar structuren kennen. De structuren liggen echter vast, ze veranderen niet. Zoals de bepaalde ordening die we opleggen aan de dingen die we in een bepaalde volgorde hebben geteld vast is gelegd. De werkelijkheid verandert echter voortdurend, net als de mens, die de werkelijkheid steeds in een ander perspectief ziet. Daarom heeft de wiskunde niet het laatste woord. Haar stelligheid ontleent ze aan haar oppervlakkigheid.

Het allerbelangrijkste van het rekenonderwijs is dan ook het inzicht in de keerzijde van de ervaring die het rekenende kind opdoet. Een mens meer is dan een machine die blindelings en slaafs regels uitvoeren kan. En dat de werkelijkheid zich niet laat vangen in vaste categorieën en structuren, zoals Joden, Turken, Marokkanen, Nederlanders en vaste meningen, die telbaar en verdeelbaar zijn. Omdat er wel degelijk verschillen bestaan. Omdat niet iedere Marokkaan of Jood het zelfde is. Althans, voor wie zich niet beperkt tot de onverschillige mathematische houding, waarmee het in het rekenonderwijs kennis maakt.

De grootste bedreiging van de democratie is de onverschilligheid, de gedachte dat democratie neerkomt op de idee dat de getelde meerderheid beslist. Dat het enkel gaat om het tellen van de stemmen en niet om de kwaliteit, om wat er gezegd wordt. De democratie is gebaat bij de diversiteit, bij de verschillende perspectieven.

De vrijheid vraagt om lef en wordt bedreigd door onverschilligheid. Dat in te zien, dat is de belangrijke bijdrage die het rekenonderwijs het kind kan bieden.