Over welke werkelijkheid gaat onze wetenschap eigenlijk ?

Het wiskundig universum van de fysica en de mathematische biologie

“Hoe komt het dat de wiskunde zo goed onze werkelijkheid beschrijft?”. In Our Mathematical Universe geeft de fysicus, cosmoloog en oprichter van het Future of Life Institute Max Tegmark antwoord op deze prangende vraag.

Zijn antwoord is kort gezegd: ons universum, ons heelal, inclusief ons zelf, is een wiskundige structuur. Wie zijn stelling betwijfelt en er de tijd voor neemt om zijn 400 pagina’s lange bewijs door te ploegen, die zegt wellicht: Max zou best eens gelijk kunnen hebben. Maar de vraag is allereerst: wat bedoelt hij met “ons Universum”? Wiens Universum? Is dat mijn werkelijkheid? Het blijkt het Universum van de fysica te zijn, en dan nog van een heel bepaalde opvatting binnen de fysica, die zowel de kosmologie als de kwantummechanica omvat. Tegmark’s boek geeft een boeiend overzicht van de hedendaagse fysica en is daarom al waard om gelezen te worden. Maar gaat Tegmark met zijn stelling de grenzen van de fysica niet te buiten? Is dit geen metafysica? Is Tegmark misschien een representant van de moderne opvatting die de wiskunde als de metafysica beschouwt?

De wiskunde geldt nog steeds als leverancier van zekere kennis. Misschien is het daarom dat veel wetenschappers en leken van mening zijn dat kennis pas echt kennis is wanneer deze op mathematische wijze, dat is in de vorm van wiskundige modellen kan worden uitgedrukt. Omdat de werkelijkheid voor zover we die kunnen kennen volgens deze opvatting wiskundig is. Die modellen zijn soms uiterst complex, zoals die in de verschillende takken van de biologie. Denk aan epidemiologische of bio-moleculaire modellen die de verspreiding van een virus of de werking van een medicijn beschrijven.

Maar in hoeverre beschrijven die modellen die de wetenschap produceert de werkelijkheid van alledag? Gaan de mathematische fysica en de mathematische biologie wel over de werkelijkheid waarin we leven?

De externe werkelijkheid van de wetenschap

Het kenmerk van de moderne wetenschap is dat deze hypothetisch van karakter is. Al onze kennis is van de vorm “als dit en dat dan is het zus en zo”. Tegmark poneert twee hypotheses. Ze zijn niet experimenteel te toetsen. Hij wil ze aannemelijk maken.

De eerste is de Externe Realiteit Hypothese (ERH): Er bestaat een externe fysische werkelijkheid onafhankelijk van ons mensen.

De meeste fysici zijn het volgens Tegmark hier wel mee eens. Behalve wellicht solipsisten en de aanhangers van de Copenhagen interpretatie van de quantummechanica. Een niet te verwaarlozen groep overigens.

Wat is een ‘externe’ werkelijkheid? Hoe ziet een werkelijkheid eruit die niet door mensen gezien wordt? Dat kan toch niet het leven zijn. Want mijn leven bestaat niet onafhankelijk van mij. En leven bestaat niet zonder dat het voor iets of iemand, voor een zeker individu, ‘zijn leven’ is.

Het is een vreemde vraag. Moeten we het waarnemend en kennend subject, de observer, meenemen in het object van onze kennis van de natuur? Het antwoord is de algemene relativiteitstheorie. Meten is weten, maar door te meten beïnvloeden we dat wat we meten. Het resultaat is dus dat we een eigenschap van het meetproces kennen. Of kunnen we toch iets over de objectieve werkelijkheid zelf zeggen? Wat is het werkelijkheidsgehalte van de wiskundige vergelijkingen waarin we de meetresultaten uit onze experimenten proberen te vangen.

Het is deze vraag die nogal wat stof deed opwaaien toen Erwin Schrödinger met zijn kwantumvergelijkingen kwam. Die had hij bedacht toen hij, geveld door een tuberculoseaanval, in een sanatorium in de Zwitserse bergen lag. Wat moet je anders doen. Deze wiskundige vergelijkingen (ze staan in zijn grafsteen gebeiteld) beschrijven de kwantumtoestand van een systeem. De grote vraag was: hoe moeten we deze interpreteren? Waar gaat dit over? De Copenhagen interpretatie komt erop neer dat je zegt: vaagheid en onzekerheid zijn een kenmerk van de werkelijkheid zelf. De dingen zijn vaag en er is onzekerheid. Een deeltje bevindt zich niet op één bepaalde positie maar op meerdere een beetje. Het zijn eigenlijk wolkjes. Zoals de wolkjes om de temperatuurgrafiek waarmee de weerman ons zijn voorspelling voor het weer voor de komende week laat zien.

Maar geldt dat dan ook niet voor de toestand van dingen die we in ons dagelijkse ervaringswereld observeren, zoals de stoel of de kat van Schrödinger? Die bestaan, net als Schrödinger zelf, immers volgens de fysici uit kwantumdeeltjes. Maar die kat is dood of levend. Niet een beetje dood en een beetje levend tegelijk. De tegenstanders zeggen: vaagheid en onzekerheid wordt door ons mensen gemaakt. Dat komt door onze waarneming. Als we afzien van observaties dan zien we een werkelijkheid die geen onzekerheden kent. Tegmark huldigt deze visie. Hij is aanhanger van de Veel Werelden Interpretatie van de kwantummechanica. Alle mogelijke fysische toestanden bestaan ook daadwerkelijk. Het zijn de vele mogelijke voorspellingen van een theorie. De toestand van de wereld van de observaties is één van deze mogelijke werelden. Alles tezamen genomen vormen deze een gigantisch complexe mathematische structuur, een Hilbert ruimte, waarin ieders leven een pad is langs een trajectorie, een baan door Einsteins tijdruimte, een ruimte waarin tijd een dimensie is zoals hoogte, breedte en lengte. De fysici en alle andere mensen moeten in deze immense ruimte ergens te identificeren zijn als Self-Aware Substructures (SAS). Maar wat betekent het dat we sommige subsystemen in deze ruimte kunnen identificeren als “levende organismen” en andere als “niet-levende organismen”? Moeten we dan niet onze dagelijkse kennis (common sense) begrippen gebruiken om zo’n subsysteem aan te wijzen als deze “hond”, “de kat van Schrödinger” of deze “wetenschapper”? Maar dan moeten we de termen die we normaal gebruiken toevoegen aan de wiskundige theorie. Op deze manier scheiden we de werkelijkheid als datgene wat door de wiskundige structuur beschreven wordt van de dagelijkse leefwereld. En is die wiskundige structuur de echte werkelijkheid en is onze dagelijkse ervaringswereld dan slechts een schijnwereld? (zie voor commentaar op de mathematische biologie, Fleischchacker 1995, p. 58).

De vraag die Tegmark wilde beantwoorden had juist betrekking op de relatie tussen de dagelijkse leefwereld van de ervaring en de wereld van de mathematische objecten. Dat het leven bestaat in de vorm van levende individuen (in verschillende stadia van ontwikkeling) dat ontsnapt aan de algemene beschrijving van de levensprocessen als dynamische systemen. Die individuen komen in de externe realiteit van Tegmark, in zijn mathematisch universum niet voor. Althans, ze zijn niet identificeerbaar.

De opvatting die Tegmark huldigt (zijn Veel Werelden Interpretatie) impliceert dat wat feitelijk is in dezelfde zin mogelijk is als de andere logische mogelijkheden. Deze opvatting behoort tot het hypothetische karakter van de moderne wetenschap. Het factische is in deze opvatting slechts mijn hypothese; het had net zo goed anders kunnen zijn. “Het contingente bij een factische toedracht wordt hier gemaakt tot een puur formeel logische mogelijkheid: het kan even goed zo en anders zijn.” zegt de filosoof Jan Hollak hierover in zijn afscheidsrede over de hypothetische samenleving. (Hollak 2010, p.436) Maar inzoverre het feitelijk zo is dat Ceasar de Rubicon is over gestoken is het tegendeel dat hij dit niet heeft gedaan niet mogelijk. We hebben het dan over een historisch feit, een gebeuren dat zich werkelijk heeft voorgedaan. Zoiets is niet slechts mogelijk. En het tegendeel van dit feitelijk is onmogelijk. Dat wat zich feitelijk voordoet dezelfde zijnswijze geven als wat zich mogelijk, theoretisch, voor kan doen, dat is een typisch kenmerk van het mathematiserende denken. Tegmark drukt dit uit in zijn tweede ‘hypothese’.

De tweede hypothese is de Wiskundig Universum Hypothese (WUH). Deze luidt: Onze externe fysische realiteit is een wiskundige structuur.

Het bewijs van WUH volgt in twee stappen uit de aanname ERH.

De eerste stap is dat een volledige beschrijving van de ‘externe’ werkelijkheid (iets waar de fysici naar streven, een Theorie van Alles) ook voor aliens en supercomputers, wezens die niet begrijpen zoals wij mensen begrijpen, een volledige beschrijving moet zijn. Anders gezegd: iedere vorm van taalgebruik in zo’n beschrijving dat refereert aan de typisch menselijke bestaansvorm (‘human bagage’ noemt Tegmark dat), moet uitgesloten zijn van de beschrijving van de externe werkelijkheid.

Hiermee snijdt Tegmark zorgvuldig alle banden tussen de externe werkelijkheid en onze dagelijkse ervaringswereld door. Het is een gedachte die doet denken aan de Godsidee uit de klassieke metafysica, zoals de God van de mathematicus en filosoof Leibniz.

De tweede stap is dat er geen onderscheid gemaakt wordt tussen de beschrijving van een wiskundig object en dat object zelf. De beschrijving van de externe realiteit is simpelweg deze realiteit.

Daarmee lijkt het bewijs rond. In feite is Tegmark stelling daarmee een tautologie. Hoe kan het ook anders?

De idee van het bestaan van een externe werkelijkheid doet denken aan de Cartesiaanse scheiding tussen het denkende subject en de wereld, waarvan het karakteristieke kenmerk de uitgebreidheid is. De res extensa van Descartes is de externe realiteit van Tegmark, de wereld waaruit het subject als denkend is weggedacht. Wanneer Tegmark zich realiseert dat de observaties (metingen) medebepalend zijn voor hoe de natuur verschijnt, moet hij het observerend subject ook opnemen in zijn universum. Wij mensen worden self-aware substructures van de mathematische structuur die onze externe realiteit is. Maar dit zo geobjectiveerde denkende subject is juist niet het actuele denkende subject. Dat blijft voorondersteld. Hoe kunnen we deze SAS-en vinden ? Het korte antwoord van Tegmark is dat “science hasn’t simply advanced to that point.” (Tegmark, p.293). Het is dus volgens Tegmark aan de toekomst van de wetenschap de levende en de niet-levende entiteiten te onderscheiden als ook de concrete individuen in deze externe werkelijkheid te identificeren.

Er is een relatie tussen Tegmark’s these over het wiskundig karakter van de externe werkelijkheid en de kunstmatige intelligentie, een onderwerp dat zijn bijzondere interesse heeft. Voor Tegmark is de externe werkelijkheid een Turing-machine, een computer die de werkelijkheid niet simuleert, maar die de echte werkelijkheid is. “Are we living in a simulation?” is de vraag die hij aan het eind van zijn boek zich stelt. Maar als die simulatie de werkelijkheid is dan zou het antwoord toch bevestigend moeten zijn! Maar wat doet het er toe als dit zo is? Er is immers geen verschil meer.

Zonder de mens voor wie de machine rekent en allerlei intelligente dingen doet, is de machine echter geen zinvol instrument. We zullen de invoer en uitvoer van de machine moeten interpreteren aan zaken in onze leefwereld, anders heeft de informatieverwerking geen zin.

Tegmark’s maakt een elementaire denkfout wanneer hij beweert dat “if our external reality is isomorphic to a mathematical structure, it therefore fits the definition of a mathematical structure.” (p. 280). En dus is het een mathematische structuur. Inderdaad vanuit het mathematisch perspectief is het niet mogelijk twee zaken (‘structuren’) te onderscheiden wanneer ze dezelfde wiskundige structuur hebben. De structuur is immers het object. Hieruit volgt volgens Tegmark dat er geen zinvol onderscheid bestaat tussen de werkelijkheid en haar beschrijving als wiskundige structuur waarin ze niet één en hetzelfde zijn.

Je kunt twee identieke cirkels alleen onderscheiden door ze een naam te geven (identifier). Maar die naam behoort niet tot de structuur zelf.

Woorden als ‘bal’ of ‘molecuul’ behoren volgens Tegmark tot de ‘bagage’ die niet thuis hoort in een wiskundige beschrijving van de externe werkelijkheid. Voor Tegmark zijn het handzame afkortingen voor zekere wiskundige structuren. Maar zoals gezegd: er rest dan nog een klein probleempje: hoe vinden we die objecten zoals deze bal, die stoel of deze mens, weer terug in dit mathematisch universum?

Is de wetenschap ‘ook maar een mening’?

De meeste fysici hebben ondertussen wel ingezien dat de natuur niet op bevredigende wijze in wiskundige structuren en formules te vatten is. (Niet zo gek als je bedenkt dat de wiskunde niet in staat is verandering als verandering te begrijpen. Toch een belangrijk natuurverschijnsel. Lees Tegmark’s boek hoe hij dit probleem met behulp van het begrip ‘ruimte-tijd’ van Einstein ‘oplost’.) Maar in tal van andere domeinen (sociale wetenschappen) wordt de wiskundige modellering (o.a. statistiek) door velen nog steeds als de ideale vorm gezien waarin de wetenschappelijke kennis zou moeten worden uitgedrukt om voor ‘wetenschappelijk’ te worden aangezien.

Al zien we ook daar een kentering; een kentering die wel haast onmiddellijk lijkt om te slaan in een radicaal tegenoverliggende stellingname: een onbezonnen relativering en zelfs verwerpen van de vruchten van de wetenschap.

Wanneer de bekende Enschedese politicus Pieter Omtzigt tekeer gaat tegen het gebruik van modellen in de politiek, dan bedoelt hij niet dat we de modellen in de wetenschap moeten afschaffen. Als econometrist weet hij heel goed dat de wetenschap niet zonder theoretische modellen kan. Wat hij bekritiseert is het gebruik van modellen alsof het heilige koeien zijn die zonder meer de waarheid spreken. Als het volgens het model zo is, dan wordt kritiekloos aangenomen dat het zo is en niet anders. Het model komt in plaats van de werkelijkheid die achter de modellen uit het zicht verdwijnt. Het kritiekloos denken in termen van en reken met de gegevens opgeslagen in de systemen van de Belastingdienst zonder te bedenken dat het om berekenbare modellen van echte personen, individuele burgers, gaat, is mede oorzaak van de toeslagenaffaire.

Het zou helpen wanneer we ons realiseren dat onze wetenschappelijke waarheden een hypothetisch karakter hebben. En dat dat een noodzakelijkheid is. De werkelijkheid schrijft niet voor eens en voor altijd voor hoe deze gemodelleerd moet worden. Dat mag echter geenszins een reden zijn om de wetenschap te devalueren tot ‘ook maar een mening’.

In Beyond structure leidt Louk Fleischhacker (1995) ons in een zoektocht naar de grenzen van het mathematische denken. Dit denken denkt (actief en passief) de werkelijkheid als structureerbaar. De vraag is dan: “what is not reducible to structurability in this world?” Het meest voor de hand liggende (‘most obvious’) antwoord op deze vraag is: het leven. (p. 56). De mathematische biologie (o.a. René Thom) probeert net als de fysicus Max Tegmark een wiskundige beschrijving van het leven te geven. Maar als deze mathematische dynamische structuren, waarin het leven een realisatie is van een trajectorie in de tijdruimte, de realiteit is, wat is dan de status van onze dagelijkse ervaringswereld?

Bij het structureren van de wereld doen we alsof deze bestaat uit ideale, intelligibele, materie, ontvankelijk voor het toekennen van zuivere structurele vormen. Materie en vorm zijn principes die buiten elkaar bestaan. De mathematische sfeer is de sfeer van de uitwendigheid: het stellende mathematische subject staat buiten de wereld van de gedachte, geconstrueerde, structuren, de mathematische objecten. De onderscheiden delen bestaan buiten elkaar, zoals de elementen van een verzameling. Zodra we het leven op een wetenschappelijke manier proberen te begrijpen en dat houdt in levensprocessen als complexe multi-level systemen modelleren (Van den Berg 2017), zoals Tegmark en Thom dat proberen, dan herkennen we ons leven en in het algemeen onze werkelijkheid niet in de resultaten. Deze systemen beschrijven het leven op het niveau van de ontwikkeling of evolutie van de soorten. Bijvoorbeeld de verspreiding van een virus of bacterie in epidemiologische en microbiologische studies, of de invloed van medicijnen op vitale neurale of hormonale levensprocessen in de moleculaire biologie (Motta 2013). Wat aan deze modellen en dit mathematische begrip ontsnapt zijn de wezenlijke kenmerken van het leven: de individualiteit van levende organismen in onderscheid van de soort (“die hond”, “deze mens”), de betekenis die de kennis van het leven voor dit individu heeft en het feit dat het leven zijn doel en oorzaak in zichzelf heeft, in die zin van buiten onbegrensd is. Het leven realiseert zijn eigen grens en laat zich dat niet van buitenaf aanmeten. Het individu is betrokken op wat er buiten zichzelf bevindt en wat is dus in zekere zin tot het eigen leven behoort.

Het leven is zijn eigen oorzaak als ook zijn eigen doel (zie over de Idee Leben, Hegel Wissenschaft der Logik II, p. 469 e.v.). Het zijn begrippen die de biologie vooronderstelt, maar die ze niet als zodanig als onderwerp beschrijft. Ze moet zich vanwege haar karakter als wetenschap beperken tot de levensprocessen, zonder te kunnen verantwoorden waarom dit levensprocessen zijn in onderscheid van de niet-levende processen van de fysica.

In de moderne wetenschap betekent oorzakelijk gedrag wetmatig gedrag. In mathematische modellen zijn het functionele samenhangen beschreven door stelsels van vergelijkingen tussen variabelen. Vanuit filosofisch perspectief impliceert het begrip leven dat een organisme de grenscondities voor zijn bestaan veroorzaakt waardoor het in staat is zelfstandig dit veroorzakend vermogen in stand te houden. Het begrip oorzaak dat we nodig hebben om dit betekenis te geven is niet in overeenstemming met het begrip oorzaak zoals dat in de moderne wetenschap, als wetmatig, wordt opgevat (zie Fleischhacker 1998, p. 145).

Bronnen:

Hugo A. van Den Berg (2017). Inceptions of Biomathematics from Lotka to Thom. Science Progress. March 2017:45-62.

Louk Fleischhacker (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Louk Fleischhacker (1998). On the notion of life. Theor. Biosci. (1998) 117; 139-160.

G.W.F. Hegel (1969). Wissenschaft der Logik II, Deel 6 van de Werke in Zwanzig Bänden. Theorie Werkausgabe Suhrkamp Verlag, 1969.

Jan Hollak en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.

Santo Motta en Francesco Pappalardo (2013). Mathematical modeling of biological systems, Briefings in Bioinformatics, Volume 14, Issue 4, July 2013, Pages 411–422, Different types of models that have been used in biology for knowledge discovery
and predictions are described. Biological Models are multilevel complex systems.

 Max Tegmark 2014. Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, Penguin Books, 2014.

Over aanhalingstekens in onze taal

De grammatica-les (vanwege Corona is de Nederlandse taalles aan mijn Syrische ‘taalmaatje’ online) ging over de constructie ‘zijn + aan het + infinitief’, zoals in het antwoord op de vraag “Wat doe je daar?”: “Ik ben televisie aan het kijken”.

“Docent, ik heb een vraag. Wat zijn die tekens ?” (Mohammed maakt met twee vingers naast zijn oren het bekende aanhalingsteken-gebaar.)

“Dat zijn aanhalingstekens”, antwoord ik. Waarop de vraag volgt wat dat dan betekent en wanneer je die gebruikt. En wat het verschil is met “.

Ik vraag hem: Amsterdam, die mooie stad met hoeveel letters schrijf je dat?

“Negen”, antwoordt hij, nadat hij hardop de letters heeft geteld. Fout !, zeg ik (ik draai er niet om heen als mijn student iets fout doet). Hij kijkt verbaasd op.

“Ik zal het even opschrijven”, zeg ik. En ik tik in de chat box:

Amsterdam die mooie stad, met hoeveel letters schrijft je ‘dat’ ?

“Let op de aanhalingstekens!” roep ik, terwijl ik op de zend-knop druk.

Na enige verbaasde blikken op het scherm geworpen te hebben, turend naar de tekst die ik heb ingetikt, zegt ie: “Ha, drie!”.

Precies! Heel goed!

Je plaatst die aanhalingstekens om een woord heen wanneer je in een zin niet het woord gebruikt, maar wanneer je het woord zelf aan wil wijzen. Probeer ik.

Okay, zegt hij. “En wanneer gebruik je die andere uuh …” Oh, je bedoelt die dubbele aanhalingstekens? “Ja die.” “Hoe heet dat?” “Dat noem je dubbele aanhalingstekens”, zeg ik, en ik tik het even in de chatbox.

En wanneer gebruik je die dan? Wanneer je schrijft wat door iemand gezegd of geschreven is. Bijvoorbeeld: Gisteren zei je: “ik doe het morgen.” Dat is iets anders dan: Gisteren zei je dat je het morgen zal doen. (Dit voorbeeld heb ik van de wiskundige, logicus en filosoof Gottlob Frege, die over de betekenis van taal en de indirecte rede heeft nagedacht. Met zijn Begriffschrift is hij de grondlegger van wat later de mathematische logica zou worden. De bewering: “Gisteren is morgen vandaag.” drukt geen historisch feit uit, dan zou ik moeten zeggen ‘gisteren was…’. Ze drukt een logische relatie uit tussen de begripsinhouden.)

Zo modderen we nog een tijdje door over het gebruik van aanhalingstekens. En dan is de tijd alweer om. Genoeg stof om over na te denken.

Wat bedoelen mensen wanneer ze iets een “taal” noemen?

Er is nog een ander gebruik van de aanhalingstekens. Namelijk wanneer je wilt aangeven dat je een woord niet letterlijk moet nemen.

Op Twitter schreef iemand

In mijn begrip van mijn vak natuurkunde is wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. Wiskunde is dus een “taal”, die we in de natuurkunde graag gebruiken.

Met de aanhalingstekens rond het woordje ‘taal’ bedoelt de schrijver dat je dit woord niet letterlijk moet nemen. (Achter dat ‘letterlijk’ schuilt overigens op zich al weer een niet-triviale opvatting over betekenis.)

Ooit gaf ik wiskunde-les en dan vroeg ik wel eens aan de student wat wiskunde voor wetenschap is, waar wiskunde over gaat. Diverse keren kreeg ik dan als antwoord dat wiskunde een taal is. De natuurkundige in het Twitter-bericht plaatst er aanhalingstekens om. Ik vat dat “taal” zo op: dat het niet echt een taal is maar ‘een soort van’ taal ( ik haal hier de ‘soort van’ operator van de filosoof D.C. Dennett aan, die maakt hier veelvuldig gebruik van wanneer hij het over de eigenschappen van machines heeft. Die zijn soort van intelligent). Hoe moeten we dat “taal” begrijpen? Bovendien ziet de natuurkundige deze ‘taal’ als een middel dat we “in de natuurkunde graag gebruiken”. Het heeft iets van: we hadden ook andere middelen kunnen gebruiken, maar dit leek ons wel handig. Ik kom daar later nog op terug.

Is wiskunde een taal?

Dat wiskunde een taal is, daar zit wel wat waars in. Deze opvatting dringt zich kennelijk aan ons op. Wiskunde gaat weliswaar over wiskundige objecten, zoals getallen, verzamelingen, in het algemeen: over structuren, maar deze bestaan slechts in ons denken en om het daar over te hebben, bijvoorbeeld in een stelling, in een bewijs, of in een berekening moeten we deze objecten toch aanduiden met tekens. Je kunt het getal 235 niet anders aanwijzen, zoals ik deze tafel aan kan wijzen. We voeren tekens in zoals voor het getal “235”, de driehoek ABC of (3+6)/2. Zonder de tekens, waarmee we de wiskundige objecten aanduiden, bestaan ze niet als voor ons onderscheiden dingen. Door middel van tekens moeten we de objecten identificeren (die tekens zijn namen; het zijn ‘rigid designators’ in de zin van Saul Kripke) Wiskundige objecten zijn weliswaar dingen, maar slechts gedachte dingen. Dingen die buiten het bedacht zijn niet bestaan. In onze ervaringswereld onderkennen we weliswaar eenheden, tweetallen, de vier benen van een paard, maar getallen komen we in deze wereld niet tegen. En dat geldt ook voor de ideële objecten van de meetkunde: punten, lijnen, driehoeken, etc.

Omdat de wiskundige objecten zo gebonden zijn aan ons denken (het zijn creaties van ons denken) ligt het voor de hand ze met de tekens die we gebruiken bij het denken, bewijzen en rekenen, te vereenzelvigen. De balletjes van de abacus, de formules, het zijn tekens die we manipuleren als we rekenen.

We kunnen de werkelijkheid ordenen, waardoor ze een wiskundige structuur heeft. Dat wijst op een zekere potentie, geschiktheid, van de werkelijkheid: deze is telbaar, deelbaar in delen, we kunnen dingen groeperen, classificeren, etc. Door deze onderdelen vast te houden door ze te benoemen kunnen ze komen te staan voor ideële wiskundige objecten. Een verzameling of rijtje balletjes, of een rijtje cijfers op papier, staat voor een bepaald getal. Van de structurele correspondentie tussen de fysische werkelijkheid en de mathematische objecten maken we technisch gebruik. Door de natuur op een bepaalde manier in te richten kunnen we deze voor ons laten werken. Vanwege het feit dat het werktuig of het teken een representatie is voor ons van een wiskundige constructie kunnen we er mee rekenen. Daarmee heeft het werktuig een zelfstandige eigen werking (het ontwerp ervan), zoals de getekende driehoek een driehoek is omdat wij dat zo zien.

In de rekenmachines, werken de wiskundige tekens voor ons. Zonder de ‘taal-revolutie’ in de wiskunde en de filosofie, die zich eind 19de, begin 20ste eeuw voltrok (Frege, Russell, Hilbert, Wittgenstein) als reactie op de grondslagencrisis; zonder de meta-mathematica en de mathematische logica, waarin het wiskundig denken zelf onderwerp van wiskunde werd (via de formalisering van de taal van de wiskunde en de logica), hadden we nu geen programmeerbare automaten.

Natuurlijk is wiskunde geen taal. Hooguit construeert de wiskunde een taal om over haar zaken te kunnen redeneren. Een echte taal is iets waarin mensen met elkaar communiceren en zich voor elkaar verstaanbaar maken. De wiskunde taal kan hooguit gebruikt worden om met machines te communiceren. Het is een machine-taal waarin de tekens en expressies een eenduidige betekenis hebben, zodat je kunt rekenen op de werking van de machine wanneer je die een opdracht geeft. In die zin is deze taal een werktuig.

Een mens is geen machine en daarom is de wiskunde taal geen taal. Hooguit een “taal”. De aanhalingstekens wijzen op een belangrijke eigenschap van onze taal, namelijk dat de woorden en uitdrukkingen erin, niet eenzinnig zijn, zoals in de wiskunde, maar veelzinnig. Die veelzinnigheid is geen gebrek van de taal, meer een wezenlijk kenmerk van haar open karakter dat de openheid van de menselijke geest reflecteert.

Dat de mens geen machine is, dat heeft niet zozeer te maken met het feit dat de mens niet zo goed kan rekenen als een machine, maar eerder nog omdat hij een lichamelijk wezen is dat zich lichamelijk in een wereld, waarover hij kan denken en praten, gesitueerd weet. Machines hebben dat niet. Dat zijn geen lichamelijke wezens zoals wij mensen en andere levende wezens. Probeer met een machine maar eens een gesprek te voeren waarin je gebruik maakt van zoiets als “Gisteren zei je dat je het “morgen” zou doen?” Gisteren? Hoe laat is het? Waar ben ik? zal die machine ‘zich’ afvragen.

De natuurkundige van het Twitterbericht merkt op dat wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap is om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. De vraag is waarom dit zo is.

Het gelijkheidsbeginsel

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het nu over het gelijkheidsbeginsel.

Gelijkheid

De ervaring is de enige bron van de waarheid: zij alleen kan ons iets nieuws leren; zij alleen kan ons zekerheid geven.” Aldus de wiskundige en fysicus Henri Poincaré (1854-1912) in zijn essay De Hypothesen in de Fysica (1902). De vraag die Poincaré aan de orde stelt is wat de mathematische fysica toe te voegen heeft aan de ervaringen die in de experimentele fysica worden opgedaan. Kan de fysica niet zonder wiskunde? Kunnen we ons niet tevreden stellen met de onverwerkte ervaring? Zijn antwoord is: nee. De reden die Poincaré hiervoor geeft is dat de wetenschapper de feiten moet ordenen, zoals men een huis bouwt door de bouwstenen te ordenen. Een verzameling feiten is geen wetenschap, net zo min als een stapel stenen een huis is.

Het is de taak van de wiskundige uit de feiten een algemene theorie op te stellen door generalisatie. Maar waarom neemt in de natuurwetenschappen de generalisatie zo gemakkelijk een wiskundige vorm aan? Dat komt, zegt Poincaré, “omdat het waarneembare feit veroorzaakt wordt door superpositie van een groot aantal elementaire verschijnselen, die allemaal op elkaar lijken“. Het is niet voldoende dat ieder elementair verschijnsel aan eenvoudige wetten gehoorzaamt; het is ook nodig dat alle te combineren verschijnselen aan dezelfde wet gehoorzamen. Dan alleen kan de hulp van de wiskunde nuttig zijn. De wiskunde leert ons inderdaad het gelijke met het gelijke te combineren. Wiskunde, ooit weleens stelkunde genoemd, wordt wel de wetenschap van het gelijkteken (=) genoemd.

Kort gezegd: de toepassing van de wiskunde in de natuurwetenschap berust op het gelijkheidsbeginsel. Door toepassing van de wet van de grote aantallen die we als hypothese aannemen, kunnen we nu algemene wetten opstellen, zoals bijvoorbeeld de wetten van Boyle en Gay-Lussac van de gastheorie. Op dezelfde manier komen we door eerst in te zoemen op atomair niveau en vervolgens te generaliseren tot wetten die de verspreiding van een virus beschrijven of het transport van warmte.

Maar op grond waarvan weten we dat het gelijkheidsbeginsel van kracht is? Hoe weten we dat twee dingen of verschijnselen gelijk zijn? Is niet ieder feit uniek? In hoeverre dringen we de natuur dit beginsel niet op; als een soort wet waaraan ze zich moet houden. Maar kan dat zo maar, zonder de natuur geweld aan te doen?

Hoe natuurlijk is gelijkheid? Als we zeggen dat ieder feit uniek is dan hebben we ze al wel als feit aan elkaar gelijk gesteld. Is het gelijkheidsbeginsel niet noodzakelijk om te kunnen voortbestaan? Het onderscheid tussen dit en dat, tussen wat wel en niet er toe doet, veronderstelt immers al de continuiteit en daarmee de gelijkheid van dat wat waarin het verschil bestaat. Zonder gelijkheid zouden we elk moment opnieuw moeten beginnen. En zelfs dat is dan onmogelijk, want waaraan zouden we beginnen als er geen vervolg is. Het gelijkheidsbeginsel is uiterst nuttig.

Niet alleen in de natuurwetenschappen stellen we dat het gelijkheidsbeginsel geldt. Dat doen we ook in de samenleving. Niet in de eerste plaats omdat het nuttig is om van dit beginsel uit te kunnen gaan, maar omdat het rechtvaardig zou zijn. Hoe rechtvaardig is het?

Politiek

Het gelijkheidsbeginsel is zowel in de mathematische fysica als in de politiek een beginsel waarvan we uitgaan zolang de natuur zich er niet tegen verzet. Wij hebben een goed ontwikkeld gevoel voor de rechtvaardigheid van regels die de overheid ons oplegt. Die moeten gebaseerd zijn op het gelijkheidsbeginsel, gelijke monniken gelijke kappen. Bovendien moeten de regels consistent zijn. Net als de gestelde axioma’s van een wiskundige theorie mogen de regels die de overheid opstelt niet tot tegenstrijdigheden leiden. De regels bepalen wat wel en wat niet als gelijk beschouwd wordt. Zo zijn er corona-maatregels die gelden voor alle kapperszaken en andere regels voor alle fysiotherapeuten en weer andere voor werkenden in verzorgingshuizen. De regels mogen niet willekeurig zijn. Ze moeten logisch zijn, dat wil zeggen ze moeten redelijk zijn gegeven het doel dat de regels dienen.

Dat doel is zowel in de wetenschap als in de politiek dat we gezond voort kunnen bestaan als gezond denkende mensen. Men zegt mens sana in corpore sano, maar een gezond lichaam kan evenmin zonder een gezonde geest. We moeten dus onze gezonde geest gebruiken om in te zien waar de grenzen liggen van het gelijkheidsbeginsel dat we hanteren. Ofwel: wat we nog redelijkerwijs als gelijk mogen stellen.

Broederschap

De gelijkheid die we in de samenleving nastreven is een meer ontwikkelde vorm van gelijkheid dan die van de mathematische fysica. Deze ontwikkelde vorm van gelijkheid is die van de broederschap. De broers willen gelijk behandeld worden door de vader maar ze willen zich ten opzichte van elkaar onderscheiden en daarin zijn ze gelijk. Voor de moeder zijn de broers totaal verschillend. Niettemin vindt ze dat ze de broers gelijk moet behandelen ook al kost haar dat erg veel moeite omdat ze zo verschillend zijn. De vader is van mening dat de broers zelf onderling maar moeten uitzoeken wat rechtvaardig is en wat ieder van hen toekomt. De jongere claimt dezelfde rechten als de oudere bij de vader, maar tevens de bescherming van de moeder. De oudere voelt zich verantwoordelijkheid voor de jongere en claimt de vrijheid van de volwassene.

Lokaliteit en Globalisering

In de fysica gaan we vaak uit van het principe van lokaliteit. Zo nemen we aan dat atomen in een gas slechts beinvloed worden door atomen die dicht in de buurt liggen. Ook bij de verspreiding van een virus gaan we uit van dit principe: alleen mensen die in de buurt van elkaar komen kunnen het virus op elkaar overdragen. Deze lokale interacties op atomaire schaal vormen de basis voor een theorie en model voor het grotere geheel. Door gebruik te maken van de wet van de grote aantallen kunnen we algemene statistische wetten opstellen over het totale verschijnsel op macro-niveau.

Toepassing van het gelijkheidsbeginsel in de politiek moet rekening houden met de beperkte mate waarin het principe van lokaliteit in de samenleving nog geldig is. Dat komt door de globalisering. De mensen kijken over de grenzen van de natie heen. De burger wordt meer en meer wereldburger. De broeders verschillen van huidskleur en traditie. Het Maxwell-duiveltje heeft de sluizen tussen de verschillende nationale compartimenten van de wereld al open gezet. De politiek kan daar niet bij achter blijven.

Bronnen

Henri Poincaré (1902). De Hypothesen in de Fysica. In de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, Amsterdam, 1979.

Even voorstellen

Ik ben van 1952.

Het jaar waarin Aad van Wijngaarden, directeur van het Mathematisch Centrum de ARRA = Automatische Relais Rekenmachine Amsterdam, de eerste Nederlandse rekenmachine, aan pers en politiek laat zien.  (zie de documentaire De ARRA herinnerd   van o.a. computerhistoricus Gerard Alberts: “die ARRA deed het niet”).

In 1952 wist ik nog niet hoe zeer de computer mijn leven en denken zou gaan bepalen. Ik ging naar de Rijks Hogere Burger School aan het Zaailand in Leeuwarden. De belangrijkste prestatie in vijf jaar was het winnen van het Zilveren Schildtoernooi, een jaarlijks voetbaltoernooi tussen schoolteams van een aantal Friese HBS-en en  lycea. Voetbal was mijn lust en mijn leven maar ik besloot te gaan studeren aan de Technische Hogeschool Twente. Na de tweejarige algemene propedeuse besloot ik bij Toegepaste Wiskunde te gaan studeren mede gestimuleerd door mijn buurman Rouke Henstra. Na mijn baccalaureaats in de diskrete wiskunde en grafentheorie (ook ik heb vele uren geworsteld met het vierkleurenprobleem) ging ik theoretische informatica studeren. Ik volgde colleges digitale techniek bij Gerrit Blaauw, medeontwikkelaar van de ARRA II, een echt werkende opvolger van de ARRA, en programmeertalen bij Arie Duijvestein, eerst Algol60, later Algol68. In het college Informatietheorie van Dirk Kleima maakte ik voor het eerst kennis met het statistisch entropiebegrip in het kader van de communicatietheorie van Shannon en Weaver en leerde ik het Maxwell-duiveltje kennen. Colleges formele talen en automatentheorie en semantiek van programmeertalen volgde ik bij Joost Engelfriet en Leo Verbeek. Ik volgde verschillende colleges bij de onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen: ethiek (Paul van Dijk) , wetenschapsfilosofie (Errit  van der Velde).  Met docent Pieter Tijmes gingen we op studiereis (we lazen ter voorbereiding Marx en Engels) naar de DDR waar we o.a. Buchenwald bezochten. De colleges van Louk Fleischhacker, wiskundige, logicus en filosoof, spraken mij erg aan:  klassieke en mathematische logica, axiomatische verzamelingenleer en filosofie van wiskunde en techniek.  Hij stimuleerde mij om af te studeren op een theoretisch onderwerp: de betekenis van de zelf-applicatie van functies, een fenomeen in de theoretische informatica dat volgens Louk de wiskundige uitdrukking is van de als autonoom gedachte techniek.  Via Louk maakte ik kennis met het werk van een van de belangrijkste Nederlandse filosofen:  Jan Hollak (zijn inaugurele rede “Van Causa Sui tot Automatie” uitgesproken bij de aanvaarding van ambt als hoogleraar wijsbegeerte in Nijmegen (1968) is een bron van inspiratie voor inzicht in de betekenis van techniek vanuit antropologisch perspectief.)  De studiebijeenkomsten “filosofie van de techniek” onder leiding van fysicus en filosoof Maarten Coolen aan de universiteit van Amsterdam waren voor mij een welkome afwisseling met de technische colleges aan de TH in Twente.   Ik liep stage bij IBM in Tel Aviv. “Is er ook zoiets als niet toegepaste wiskunde?” vroeg de man die mij bij IBM verwelkomde, toen ik vertelde dat ik toegepaste wiskunde studeerde. Van de wiskunde vakken had ik het meeste moeite met het vak kansrekening en statistiek dat aan de TH Twente door wiskundigen werd gegeven. Pas na vier pogingen had ik eindelijk een voldoende voor het tentamen.  Vaak proberen vergroot de kans op een voldoende. Wat weerstand biedt en moeite kost te begrijpen heeft kennelijk een bijzondere aantrekkingskracht: dat geldt zowel voor het werk van Hollak en Fleischhacker (die bij Hollak promoveerde: “Over de grenzen van de kwantiteit”)   als voor de statistiek.

Na mijn afstuderen deed ik vervangende dienst waartoe ik als erkend gewetensbezwaarde verplicht was. Daarna was ik vier jaar docent wiskunde en natuurkunde aan het Kottenpark College in Enschede, waar ik samen met collega Ruizenaar de eerste lessen programmeren voor enthousiaste leerlingen ontwikkelde.  Ik werkte twee jaar bij de onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen. Hoewel het onderwijs geven me goed beviel trok de wetenschap me meer en ik werd promotiemedewerker bij Anton Nijholt hoogleraar theoretische informatica aan de THTwente. Vier jaar sloot ik me op om mij te bekwamen in het bewijzen van de correctheid van algoritmes voor het ontleden en implementeren van computerprogramma’s. Een saaier proefschrift dan mijn “Parsing Attribute Grammars” is nooit verschenen.

Na mijn promotie werd ik docent aan de Universiteit Twente: compilerbouw, functioneel programmeren (in Miranda) en formele analyse van natuurlijke taal. Mijn belangstelling ging vooral uit naar taal en techniek.  De Parlevink groep die zich in eerste instantie vooral bezig hield met talige interaktie tussen mens en machine ontwikkelde zich onder aanvoering van Anton Nijholt tot de groep Human Media Interaction waarin alle mogelijke vormen van interaktie tussen mens en computer werden bestudeerd. De computer interface kreeg geleidelijk aan een steeds menselijker gedaante.  Want zoals Louk eens tegen me zei: als je de taal van de mens wil formaliseren dan moet je de hele mens formaliseren. Sociologen en sociaal psychologen als Schegloff, Goffman (“The presentation of self in everyday life”) en Argyle hadden in de jaren vijftig de kleine gedragingen (tiny behaviours, zoals het ophalen van de schouders of wenkbrauwen, het lachen, kijkgedrag ) geconstueerd (of geidentificeerd, hoe je het ook wilt zien) als onderwerp van een nieuw wetenschappelijk domein. Het zijn de observeerbare buitenkanten die we los kunnen denken van de persoon en waarbij we afzien van de persoon.  Op dezelfde manier waarop in de taalwetenschap al veel eerder de talige zinnen los kwamen te staan van de spreker en de concrete situatie waarin deze wordt geproduceerd. Deze abstractie is de mogelijkheidsvoorwaarde voor de natuurlijke interfaces in de vorm van avatars, voor de machines die onze taal gaan spreken, de robots die onze gebaren overnemen.

De bruikbaarheid van technische systemen is vakgebied geworden. Mijn belangstelling gaat uit naar die plekken waar mens en technisch systeem elkaar ontmoeten.