Tag: Wiskunde

Een beschouwing over Euclides’ raadselachtige definitie van de rechte lijn

Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië zijn Elementen. Het werk wordt alom beschouwd als het begin van de axiomatisering van de meetkunde. Het oorspronkelijk in het Grieks geschreven document is in vele talen vertaald en verschenen. Het bevat de basis van de meetkundige kennis zoals die nog steeds op de middelbare school onderwezen wordt als onderdeel van het wiskunde-curriculum.

De opbouw van de stof is axiomatisch en Euclides begint dan ook met het definiëren van de grondbegrippen punt en lijn. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan komt de vierde, Euclides’ definitie van de rechte lijn.

“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Dit is de ‘raadselachtige’ formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).

In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke Euclidische tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)

De vraag die onmiddellijk opkomt is: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Daaruit zouden we kunnen concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde (‘krommen’). Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen.

Wanneer we meetkunde beoefenen dan stellen we een lijn voor door een zo recht mogelijke (potlood)streep op papier, eventueel met behulp van een liniaal. Lijnen die niet recht zijn komen in die praktijk helemaal niet voor. Een niet-rechte lijn komt alleen voor als een slordig getekende lijn. De meetkunde gaat immers niet over de getekende lijnen. Dat zijn slechts voorstellingen van de eigenlijke objecten waar het over gaat. Ook Euclides was zich daarvan bewust. In de meetkunde gebruiken we tekeningen van lijnen, driehoeken en circels om de redeneringen waarmee we een meetkundige stelling bewijzen te ondersteunen. Euclides gaat het om de logische opbouw van de kennis van de relaties tussen de wiskundige objecten.

Velen hebben zich afgevraagd hoe we Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn moeten begrijpen. Wat had Euclides voor ogen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die lijkt ons indirect te wijzen naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Euclides wist dat hij geen fysica bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste.

Dijksterhuis’ ‘verklaring’ van de ‘raadselachtige’ formulering lijkt op die van de Franse natuurkundige en filosoof Henri Poincaré. Deze merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden, zonder deze te bewijzen. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.

“Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn.” (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). 

Wanneer je twee punten van een star lichaam, zoals een houten lat vastzet en vervolgens het lichaam zodanig draait dat de beide punten op hun plaats blijven dan blijven ook de tussenliggende punten van het lichaam op hun plaats. Deze liggen op een rechte lijn door de twee vaste punten.

Maar had Euclides werkelijk zoiets in gedachten toen hij zijn definitie gaf? Ik denk het niet. Met zijn ‘negatieve’ formuleringen van de definities van de grondbegrippen punt en lijn: een punt is “dat wat geen delen heeft“, een lijn is “een lengte zonder breedte“, geeft Euclides uitdrukkelijk aan dat deze begrippen niet verwijzen naar de zintuiglijk waarneembare werkelijkheid van de lichamelijke dingen.

Maar hoe moeten we de raadselachtige definitie dan verstaan? Hebben we tot nu toe niet teveel vastgehouden aan de standaard voorstelling van lijnen door middel van een zo recht mogelijke getekende streep, een voorstelling zoals we die kennen uit de schoolboeken. Moeten we die voorstelling niet los laten om de bedoeling van Euclides definitie van de rechte lijn te verstaan? Maar waar moeten we dan aan denken?

Het kortste kronkelpaadje van de levenslijn

De fysicus en voormalig Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf merkte in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) op: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.”

Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en voor schoolse curricula.

Dijkgraafs kortste kronkelpaadje opent een geheel nieuw perspectief op Euclides’ definitie van de rechte lijn.

Terug naar Euclides raadselachtige definitie

De oorspronkelijke Griekse formulering is:

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

( Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai )

Vertaald: A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.

Het Griekse εὐθεῖα wordt vertaald als recht, wat een veel ruimere betekenis heeft dan alleen in de zin van een rechte lijn in meetkundige zin.

In de Griekse versie van Handelingen 8.21 komt het voor in een tekst die vertaald wordt als: “Gij hebt geen deel noch lot in dit woord, want uw hart is niet recht voor God.”

Een rechte lijn is een goede lijn.

Waar gaat Euclides’ Elementen eigenlijk over?

Wie de geschiedenis van de wetenschap beschrijft hoede zich ervoor het verleden te lezen als voorbereiding op het heden. Wie hedendaagse betekenissen van woorden kritiekloos gebruikt om vroegere verschijnselen te beschrijven maakt zich schuldig aan het bedrijven van Whig-history. Een treffend voorbeeld daarvan geeft Kuhn, de historicus van ‘de revolutie in de wetenschap’. De vraag ‘hoeveel van de zeventiende-eeuwse mechanica reeds bekend was bij Aristoteles’ deugt volgens hem niet. Waarom niet? Omdat het kernbegrip van de mechanica, ‘beweging’, een heel andere inhoud heeft, namelijk verandering van plaats, dan het had voor Aristoteles. Voor de laatste had beweging een veel ruimere betekenis. Het heeft betrekking op de ontwikkeling van het leven, de groei van planten en dieren. Vragen die betrekking hebben op de kennis die voor het begin van de periode van de mathematisering van de wetenschap heerste kunnen niet in termen van tegenwoordig gesteld worden.

Een ander voorbeeld is het gebruik van de termen ‘feit’ en ‘informatie’. Volgens de historicus David Wootton bestonden feiten, zoals wij die kennen, niet voor 1700. In de Invention of Science schrijft hij:

“We take facts so much for granted that there have been few attempts to write their history, and none of them satisfactory. Yet, our culture is as dependent on facts as it is on gasoline. It is almost impossible to imagine doing without facts, and yet there was a time when facts did not exist.” (Wootton, 2016, p.252)

Ook het nauw aan het begrip ‘feit’ gerelateerde begrip ‘informatie’ bestond niet in de zin waarin wij het nu kennen. Het begrip heeft een meer technische lading gekregen, dan het informeren in de zin van ‘vorm geven aan iets materieels’.

Bedrijven wij geen ‘Whig-history’ wanneer we proberen het werk van Euclides te zien als voorbereiding van de huidige wetenschap en wanneer we het onderwerp van zijn studie identificeren met dat van de moderne meetkunde? In de ontwikkeling van de wetenschap hebben wiskunde, fysica en biologie elk hun eigen terrein af proberen te bakenen. Ze kregen elk hun eigen onderwerp. Wiskunde is geen fysica en fysica is geen biologie. Voor de Grieken bestonden deze verschillende disciplines niet. Had Euclides niet een veel ruimer begrip van punt en lijn, zoals ook het begrip beweging bij Aristoteles een veel ruimere betekenis heeft dan in de hedendaagse mathematische mechanica?

In Euclides tijd waren wiskunde en filosofie zeer nauw met elkaar verweven. Sommige denkers, waaronder Plato, werd door Aristoteles verweten dat ze wiskunde voor de ware filosofie hielden. Het verhaal gaat dat een voordracht van de Akademie die volgens de aankondiging over ‘het Goede’ zou gaan, over getallen, meetkunde en astronomie bleek te gaan. Het goede is één, aldus Plato.

Maar wat is één? Een traditioneel Grieks filosofisch probleem betreft de verhouding tussen eenheid en veelheid. Euclides denken voltrok zich in die Griekse traditie.

De rechte als de identiteit van eenheid en veelheid

De mens kijkt terug naar de keuzemomenten in zijn leven en vraagt zich af hoe zijn leven was verlopen als hij anders had gekozen. Maar had hij anders gekozen dan was hij ook iemand anders geweest.

De veelheid van punten enerzijds en de eenheid van de lijn anderzijds verhouden zich bij Euclides zoals de momenten van het leven tot dat van de levenslijn, de identiteit die in het unieke levende individue tot uiting komt. Dat leven is zijn eigen maat. Er zijn geen momenten die niet op die lijn liggen omdat de identiteit van de lijn achteraf door de momenten bepaald is. De veelheid van punten van een lijn en de eenheid van de lijn zijn twee perspectieven op eenzelfde fenomeen. Recht is wanneer deze twee samenvallen, wanneer de punten samenvallen met de lijn. De rechte weg is de eigen weg.

Wanneer Euclides het over een rechte lijn heeft dan heeft hij een veel ruimer begrip van lijn in gedachten dan het meetkundige begrip lijn zoals we dat heden ten dage hebben leren kennen.

Er zijn in de loop van de geschiedenis ‘alternatieve’ interpretaties van de Euclidische grondbegrippen punt en lijn onderzocht. Veelal in verband met pogingen de onafhankelijk van het parallellenpostulaat te bewijzen.

Volgens Euclides parallellenpostulaat gaat door een punt buiten een gegeven lijn slechts één lijn die evenwijdig is aan die lijn.

Riemann kwam tot een interpretatie van punt en lijn zodanig dat geldt: Elke twee lijnen snijden elkaar in een punt. Dit levert een meetkunde die niet-Euclidisch is: het parallellenpostulaat geldt niet. Die interpretatie gaat zo:

“lijn” wordt: een grote cirkel op een bol.

“punt”: een paar diametraal tegenover elkaar liggende punten op een bol.

Poincaré bewees dat Riemann bolmeetkunde consistent is als Euclides ‘vlakke ‘ meetkunde met dat is.

Maar ook in deze niet-Euclidische meetkundes geldt nog steeds Euclides raadselachtige definitie van de rechte lijn: een rechte lijn is een lijn die samenvalt met alle punten die er op liggen.

Bronnen

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.

E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.

Euclides. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick.

This edition of Euclid’s Elements presents the definitive Greek text—i.e., that edited by J.L. Heiberg (18831885)—accompanied by a modern English translation, as well as a Greek-English lexicon.

Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.

Poincaré, Henri  (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.

Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020. Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat: de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek.

De Vries, Gerard (1995). De ontwikkeling van wetenschap. Een inleiding in de wetenschapsfilosofie. Wolters-Noordhoff Groningen bv, Nederland.

Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.

Volgens Imre Tóth toonde de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde aan dat Kant gelijk had dat de meetkunde synthetisch apriori kennis inhoudt. De fysische werkelijkheid is immers niet niet-euclidisch, dus deze meetkunde zegt niets over de ruimte zoals we die kennen.

Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktijk van de omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).

Tóth wijst erop dat Aristoteles de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan. Hij besteedt een lange voetnoot 112 aan het punt dat een formele logica niet als een ontologie hoeft te worden beschouwd.

Wootton, David (2015). The Invention of Science. A new history of the scientific revolution. Penguin Book, 2015.

Getal of cijfer? Over een veel voorkomend misverstand

Wat is het verschil tussen een getal en een cijfer?

“Eerlijkheid gebiedt me te zeggen: ik had nooit goed nagedacht over het verschil tussen ‘getal’ en ‘cijfer.’” schreef Sanne Blauw. Als ‘Correspondent Ontcijferen’ moest ze toch eigenlijk wel weten wat dat verschil is. Ze vroeg het aan de Taaladviesdienst van het Genootschap Onze Taal. “Ik mailde ze over mijn kleine identiteitscrisis en kreeg al snel antwoord: ‘Een cijfer is […] in beginsel een teken, een symbool; één of meer cijfers samen vormen een getal.’ “

Eerlijk gezegd schrok ik een beetje van dit antwoord. “Eén of meer cijfers vormen samen een getal” ? Volgens het Genootschap is dus 123 een getal, terwijl 7 een cijfer is. Is dit de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal? Ik ging op onderzoek uit.

Omdat veel mensen tegenwoordig gebruik maken van een zoekmachine om antwoord te krijgen op hun vragen is het interessant om te kijken wat zo’n machine als antwoord geeft op onze vraag. Google presenteerde met AI de volgende tekst:

In het Nederlands is een getal de aanduiding van een hoeveelheid, terwijl een cijfer een symbool is waarmee een getal wordt geschreven. Getallen kunnen uit één of meer cijfers bestaan. 

Een cijfer is een symbool dat gebruikt wordt om een hoeveelheid weer te geven. Er zijn tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

Een getal is de notatie van een hoeveelheid. Het kan uit één of meer cijfers bestaan. Bijvoorbeeld, het getal 123 bestaat uit de cijfers 1, 2 en 3. 

Samenvattend: Cijfers zijn de bouwstenen voor getallen, en getallen zijn de symbolen die gebruikt worden om hoeveelheden weer te geven. 

AI produceert zijn teksten door combinatie van stukken tekst die het op het internet vindt. Of die fragmenten een consistent geheel vormen, dat kan AI niet beoordelen. Daarvoor is kennis nodig van de betekenis van de woorden. Gebruikers van AI die zelf geen idee hebben wat het verschil is tussen cijfer en getal zullen het antwoord dat het Genootschap Onze Taal of Google geeft voor zoete koek nemen. Kunnen we chocola maken van de door Google geproduceerde fragmenten? Google zegt:

Een getal is een aanduiding of notatie van een hoeveelheid. Een getal bestaat uit cijfers. Een cijfer is een symbool waarmee een getal wordt geschreven.

Dit komt overeen met het antwoord dat Onze Taal gaf. Zowel cijfers als getallen zijn talige dingen (symbolen, notaties) om hoeveelheden mee aan te duiden. Het verschil tussen getal en cijfer wordt aangegeven door hun relatie: een getal bestaat uit één of meerdere cijfers. De bouwstenen van de getallen zijn de cijfers.

Op Wikipedia vinden we een mogelijke bron van de AI tekst:

“Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid.” en “Een getal verschilt van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.”

Op de website van Expertis – Onderwijsadviseurs, een andere bron van de AI tekst, schrijft Jitske Zwart:

“Cijfers zijn eigenlijk de ‘letters’ van ons getallensysteem. Dit getallensysteem wordt opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9. Het cijfer 1 is de notatie van het aantal 1, het getal 1 of het nummer 1. Je kunt cijfers dus vergelijken met letters. Met letters schrijf je een woord. De letters krijgen dan een betekenis. Met cijfers schrijf je een getal of nummer. De cijfers krijgen dan een betekenis. Het getal 143 bestaat uit de cijfers 1, 4 en 3.”

Een getal is ‘samengesteld uit cijfers’. Ik las ergens dat 10 een getal is ‘dat wordt gevormd door de cijfers 1 en 0’.

In het taalgebruik lijkt ‘getal’ dus vaak gebruikt te worden voor de aanduiding van een aantal of hoeveelheid. Met ‘getal’ wordt een cijferrijtje bedoeld. En wat het cijferrijtje aanduidt is ‘een hoeveelheid’.

Als deze teksten representatief zijn voor het normale spraakgebruik dan is volgens dat gebruik een getal iets heel anders dan wat in de wiskunde onder een getal wordt verstaan. Voor mij – wiskundedocent met enige kennis van de filosofie en de geschiedenis van de wiskunde – gaat wiskunde over wiskundige objecten, structuren. Getallen zijn een speciaal soort wiskundige objecten. De wiskunde bestudeert de eigenschappen van deze objecten die ze zelf construeert.

Getal als wiskundig object

Als een getal de aanduiding is van een hoeveelheid, zoals het gewone taalgebruik zegt, hoe moeten we dan de deelbaarheid van getallen zien? De deelbaarheid is immers niet een eigenschap van de aanduiding, niet van de notatie, maar eerder van de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. Maar dat strookt niet met de opvatting dat het getal de aanduiding is. En is de optelling van getallen dan een operatie op getallen opgevat als cijferrijtjes? Dat lijkt me toch niet.

Als we het over de verschillende eigenschappen van getallen hebben, zoals deelbaar zijn door 2 of even zijn, dan zijn dat geen eigenschappen van aanduidingen, van cijferrijtjes, maar van de dingen die met die cijfers worden aangeduid, van de hoeveelheden.

Als we dus zeggen dat het getal 4 deelbaar is door het getal 2 dan bedoelen niet het cijfer 4, maar dat wat wordt aangeduid met 4, het eigenlijke getal. Getallen zijn wiskundige objecten, pure gedachtendingen, constructies. Geen concrete hoeveelheden van dingen, maar een abstracte hoeveelheid. Het getal drie is als object zowel eenheid als veelheid. Het is een veelheid van eenheden. Maar het is ook twee plus een.

Anders dan de tekens, de cijfers, zijn de wiskundige objecten niet zichtbaar. We maken een onderscheid tussen een tekening van een driehoek en het wiskundig object, de driehoek die ermee wordt aangeduid. Het is de bijzondere bestaanswijze van de wiskundige objecten, zuivere gedachtedingen te zijn die we ons op een of andere manier moeten voorstellen om het erover te kunnen hebben, die mogelijk maakt dat we geneigd zijn de voorstelling: de wijze waarop we ernaar refereren, te verwarren met de dingen waarover we het hebben.

Dat is misschien de oorzaak van de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal. Terwijl, als we zeggen “het getal 4 is deelbaar door 2” we met het getal 4 juist niet het cijfer 4 bedoelen, maar het getal dat we daarmee aanduiden.

We hebben een voorstelbaar teken nodig als representatie om over de puur denkbeeldige objecten van de wiskunde te denken.

De representatie of voorstelling van getallen (en andere wiskundige objecten zoals figuren in de meetkunde) heeft een geschiedenis waarin de relatie tussen gebruikte tekens en de objecten een ontwikkeling heeft doorgemaakt. De verschillende gestalten die de representatie aanneemt worden aangegeven met: natuurlijk teken, conventioneel teken en formeel systeem. De eerste gestalte van de representatie van de getallen is op directe wijze gebonden aan de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. De voorstelling van een meetkundige driehoek door een tekening van een driehoek, van het getal drie ging door middel van drie streepjes. Volgens deze onmiddellijke representatie is er geen onderscheid tussen het getal als hoeveelheid en de voorstelling ervan door een hoeveelheid objecten. Als we denken dat rekenkunde gaat over voorstelbare hoeveelheden dan ligt het voor de hand getal en notatie te identificeren: een getal is dan inderdaad opgebouwd uit primitieve tekens.

Vanwege deze directe binding tussen teken en hoeveelheid is het begrijpelijk dat er enige tijd over heen ging voordat nul als een getal werd gezien. Nul dingen is immers geen hoeveelheid. Het is een leegte die op een gegeven moment door een speciaal teken werd aangegeven. Later werden ook meer abstracte symbolen, conventionele tekens gebruikt voor de getallen en andere wiskundige objecten. De volgende stap in de ontwikkeling van representaties van getallen is die van een systeem van representaties. De betekenis van een teken wordt nu bepaald door de positie van het teken in het systeem.

Ons tientallig positioneel Arabisch-Indische cijfersysteem (‘cijfer’ komt van het Arabisch ‘sifr’, dat 0 of leeg betekent) gebaseerd op de tien cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 door Fibonacci in de dertiende eeuw ingevoerd in Europa is geschikt om oneindig veel getallen aan te duiden. Wat we met die 10 cijfers maken zijn cijferrijtjes, niet de getallen, maar aanduidingen van getallen. Het cijfer 7 duidt net zo goed als het rijtje 10 een getal aan: 7 is ook een cijferrijtje, namelijk een die bestaat uit een enkel cijfer, een rijtje met lengte 1. Maar wanneer de door AI geleverde tekst zegt: “Een getal kan uit 1 of meer cijfers bestaan.”, dan wordt ‘getal’ opgevat als een cijferrijtje en niet als een wiskundig object.

Een belangrijk kenmerk van de cijfertaal van de wiskunde is dat een cijferrijtje ondubbelzinnig is: het heeft slechts één getal als betekenis. Twee verschillende rijtjes van cijfers duiden bovendien verschillende getallen aan. Daarin verschilt deze taal van de gewone omgangstalen. Het letterrijtje bank heeft in het Nederlands verschillende betekenissen en afhankelijk van de uitspraak van het ‘woord’ kantelen duidt het een ander woord aan. Ligt de klemtoon op de eerste lettergreep dan is het een werkwoord, ligt de klemtoon op de tweede lettergreep dan is het de meervoudsvorm van het woord kanteel. Een woord is dus niet het rijtje letters, maar het woord dat daarmee in een specifieke tekst bedoeld wordt. In het spraakgebruik bedoelen we met ‘woord’ vaak het letterrijtje en niet iets abstracts dat ermee wordt aangeduid. We zeggen dan ‘het woord bank heeft twee betekenissen’. We kunnen woord, het gebruik van een woord en de betekenis niet uitelkaar halen, zonder in de problemen te geraken. De betekenis van het woord komt tot stand in het gebruik.

De belangrijke les van onze speurtocht naar het verschil tussen cijfer en getal is dat het gangbare gebruik van het woord getal verschilt van het gebruik ervan in de wiskunde. Dat wordt een probleem zodra de alledaagse wereld in contact komt met de wereld van de wiskunde, zoals in het rekenonderwijs. Wanneer we ten behoeve van het reken- en wiskundeonderwijs menen iets te moeten zeggen over het verschil tussen cijfer en getal moeten we ons bewust zijn van het grote verschil in gebruik van het woord getal in de wiskunde met het gangbare gebruik ervan zoals Google en Onze Taal dat ons presenteert.

Het gangbare gebruik is nog steeds gebaseerd op de naieve, natuurlijke representatievorm van getallen waarin notatie en betekenis: hoeveelheid, worden gelijkgesteld.

Verder werden we in dit onderzoek opnieuw herinnerd aan het feit dat een woord zelf niet kan zeggen wat het betekent.

“Wat is het getal 1, of wat betekent het symbool ‘1’?”, Met deze vraag begint Gottlob Frege zijn essay The Foundations of Arithmetic waarin hij zijn onderzoek presenteert naar de aard van de getallen. Frege acht het een schandaal dat we deze simpele vraag naar de aard van het meest eenvoudige en eerste begrip van de wiskunde niet op bevredigende wijze kunnen beantwoorden. Daarom herneemt hij nog maar eens de vraag naar de aard van de getallen. Ieder grondig onderzoek naar het getalbegrip zal altijd een filosofisch karakter hebben. Stelt Frege. Het is een taak die zowel tot de wiskunde als tot de filosofie behoort om te bepalen wat de getallen voor dingen zijn.

Frege was zeker niet de eerste die een studie wijdde aan het getalbegrip. De discussie over de aard van de getallen neemt een belangrijke plaats in in de boeken M en N van de Metafysica van Aristoteles, waarin hij vooral in debat is met zijn leermeester Plato.

“De exactheid en het dwingende karakter van het wiskundig redeneren stellen ons voor een raadsel dat noch Plato noch Aristoteles geheel bevredigend hebben kunnen oplossen” schrijft H. Oosthoud in de Inleiding tot de Nederlandse vertaling van Boek M, dat gaat over de getallen en de dingen.

De vraag naar de eigen aard van de getallen en de wiskundige objectiviteit blijft boeien. Het is meer dan ooit een vraag die van belang is om te hernemen in een tijd waarin alles, inclusief onze taal, gemathematiseerd lijkt te moeten worden en waarin het mathematisme – de idee dat kennis pas echt kennis is wanneer we deze in getallen en systemen kunnen uitdrukken – onze technocratische werkelijkheid doordringt en beheerst.

Het mathematiseren van ons taalgebruik zoals die neergeslagen is in de enorme hoeveelheden taaldata op het internet ligt aan de basis van de taaltechnologische AI producten zoals ChatGPT. Die basis bestaat uit mathematische taalmodellen waarmee op statistische wijze teksten worden gegenereerd. Teksten zoals Google die levert als antwoord op onze vraag naar het verschil tussen cijfer en getal. Uit bovenstaande blijkt hoe beperkt deze modellen zijn. En dat is geen toeval, het is een wezenlijk kenmerk van het taalmodel een abstractie te zijn van het werkelijk taalgebruik.

Voetnoot

Wanneer we een getal als aanduiding van een aantal gebruiken dan gebruiken we het kardinale aspect van het getal-begrip. Als telgetal gebruiken we het ordinale aspect (zeven als het zevende). Als meetgetal het meetaspect (3 kilo). En als rekengetal het rekenaspect. Daarnaast is er het gebruik van een getal als naam of label (huisnummer). Dan gebruiken we het coderingsaspect.

Pas op voor de wiskundige !

Laat ik vooropstellen dat ik wiskunde een leuke bezigheid vind. Het heeft me veel slapeloze nachten, maar ook veel plezier gebracht en ik heb vele jaren met veel enthousiasme het vak gedoceerd. Het gevoel van zekerheid, dat iets klopt dat je overkomt als je na veel geploeter een bewijs rond heb gekregen! Wanneer ik hier waarschuw voor de wiskundige dan is dat vanwege zijn produkten, de wiskundige modellen. Wiskundigen zijn creatieve geesten die modellen construeren. Ze maken modellen van delen van de werkelijkheid. Natuurkundige modellen, economische, ecologisch, biologische, neurale modellen en ook taalmodellen. Dat zijn bijzondere abstracties van de werkelijkheid. Gebaseerd op data verzameld via het monitoren van de gedragingen van individuen wordt een persoonlijkheidsprofiel gemaakt, een objectieve versie, een model, van het individue.

Met die modellen en profielen worden we in ons leven geconfronteerd als ze in de informatiesystemen aan het werk worden gezet om onze werkelijkheid en daarmee ons gedrag te voorspellen, te besturen en te controleren. “When abstractions circulate and are materialized (i.e., when the profiles are ‘applied’) they have powerful effects.” (Weiskopf 2020).

De ‘zuivere wiskundige’ houdt zich bezig met de onschuldige studie van de creaties van de wiskunde, de wiskundige structuren, zelf. Ze maken stellingen en werken aan het bewijzen ervan. Ze zijn vooralsnog ongevaarlijk. Waar ik voor waarschuw zijn de modellenmakers die het model voor de werkelijkheid houden. De statische modellen – in de werkelijkheid van de wiskunde komt verandering niet voor – nemen voor de wetenschapper de plaats in van de veranderlijke werkelijkheid. Buiten hun modellen is er geen wetenschappelijke, objectieve kennis van de werkelijkheid. Kennis is pas echt kennis als het in wiskundige modellen is uitgedrukt. Dat is het wijdverbreide idee.

Wiskundigen leven met hun gedachten in een wereld die niet bestaat op de wijze waarop iets bestaat dat voor onze zintuigen waarneembaar is. Wiskunde gaat weliswaar in zekere zin over het waarneembare, ‘maar niet als waarneembaar,’ zoals Aristoteles het uitdrukte.

Wanneer je aan de man in de straat vraagt wat wiskunde is, dan hoor je vaak: wiskunde is een taal. Hier spreekt de ervaring met het schoolwiskundeboek. Een boek vol vreemde taal die eerst geleerd moet worden voordat je weet waar het over gaat. En het bijzondere is: dat waar het over gaat (getallen, driehoeken) bestaat buiten die taal helemaal niet. We leren op school rekenen, wat een soort manipuleren met tekens is. Of met een rekenmachine.

In de wiskunde maken we kennis met een bijzondere verhouding tussen het omgaan met taal en het omgaan met de materiële werkelijkheid buiten ons.

De eigen taal van de wiskunde en het maken van modellen horen bij elkaar. Met die taal beschrijft de wiskundige de objecten in zijn model. Die modellen staan voor dingen en verschijnselen uit onze dagelijkse werkelijkheid. De wiskundigen maken daar echter wat anders van. Ze creëren een eigen werkelijkheid, zodat ze ermee kunnen rekenen. Soms gebruikt de wiskunde voor de wiskundige objecten bekende namen zoals ‘verzameling’, ‘relatie’ of ‘kans’, terwijl ze er heel andere dingen mee bedoelen dan in het dagelijkse taalgebruik. De dichter Johann Wolfgang von Goethe (1749-1832) drukte deze eigenschap van de wiskundige uit in zijn beroemde:

“Die Mathematiker sind eine Art Franzosen. Spricht man zu ihnen, so übersetzen sie alles in ihre eigene Sprache, und so wird es alsobald etwas ganz anderes.”

Van Goethe is ook de volgende uitspraak over de wiskunde.

“Ich ehre die Mathematik als die erhabenste und nützlichste Wissenschaft, solange man sie da anwendet, wo sie am Platze ist.”  

Tegenwoordig schijnt men te denken dat de wiskunde overal op haar plaats is. De wiskundige kan overal terecht om de werkelijkheid te modelleren en vervolgens in de computer te stoppen. Maar hoe werken die modellen in de informatieverwerkende systemen? Om het bijzondere verband tussen de taal van de wiskunde en het werken van de modellen in de computer aan te geven bekijken we ons bekende getalsysteem.

Getallen zijn wiskundige objecten. Het zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn zuivere gedachtedingen, denkmaaksels. Maar anders dan fantasiefiguren hebben deze objecten een abstracte relatie met de waarneembare werkelijkheid. Met de werkelijkheid als telbaar of meetbaar; in het algemeen: structureerbaar. We gebruiken de getallen om dingen te tellen of te meten.

Om met die dingen te werken, dat is: om er mee te rekenen en erover te communiceren, hebben we tekens nodig. Zonder tekens kunnen we ze niet uit elkaar houden, want ze komen niet in onze waarneembare werkelijkheid voor. De tekens identificeren de objecten uniek. Er zijn veel hondjes die Fikkie heten, maar in het redeneren van de wiskundige heeft ieder object een eigen naam: getal x, getal y, driehoek ABC, etc.

Ons notatiesysteem voor de getallen is een tekensysteem dat we gebruiken om de getallen aan te duiden. We kunnen het getal dat bijvoorbeeld door de notatie ‘234’ wordt aangewezen berekenen door op deze tekenrij een algoritme, een rekenvoorschrift, los te laten. Dat algoritme leren we op school, ook al werd het daar misschien nog geen algoritme genoemd. In de rekenkunde bestaat er op deze manier een eenzinnig verband tussen de notatie en de betekenis ervan. Die betekenis is het getal zelf (dat is in dit voorbeeld het getal 234).

Zo’n notatiesysteem werd nodig toen de schaapherder aan iemand door wilde geven hoeveel schapen hij had. Zo’n tekensysteem bestaat in eerste instantie uit een bak met steentjes, voor elk schaap één steentje. Dat is handig wanneer de herder wilde weten of het aantal schapen dat ‘s avonds de stal inging hetzelfde was als het aantal dat ‘s ochtends de stal uitging. Voor elk schaap legde hij een steentje in een bak. Maar zo’n bak met steentjes is onhandig als de herder het aantal moet doorgeven aan een ander. Het steentje wordt vervangen door een streepje, een kerf op een stok, een kras in een steen. Het is het begin van een notatiesysteem. Later werd het tientallig positionele stelsel bedacht, waar de positie van de cijfers in een cijferrijtje de waarde (de betekenis) bepaalt. Dit systeem gebruiken we in West-Europa vanaf de 15de eeuw. Bij 234 heeft de 3 de waarde 30 vanwege de positie van de 3 in het rijtje.

Het is nog een kleine stap om de machine ook de waarde van tekenrijtjes (formules) als (12+5) x 23 te laten berekenen. Ook daar is een algoritme voor. Rekenen doen we met tekens en denken doen we in taal. Om de computer te laten denken moeten we het denken wiskundig modelleren, zodat het rekenen wordt. De vorm of structuur van het denken wordt gescheiden van de inhoud en de wiskundige neemt de vorm als inhoud. Zoals hij ook de taaltekens als wiskundige objecten ziet die staan voor hun inhoud, de eigenlijke wiskundige objecten. Als de wiskundige het over een ‘taal’ heeft bedoelt hij vaak een formele taal, een wiskundig taalmodel.

In zijn essay Over de zogenaamde ‘denkmachine’ wijst de bekende logicus en filosoof Evert W. Beth (1909-1964) er op dat Aristoteles reeds bekend was met de analogie tussen rekenen en redeneren. In De sophisticis elenchis (On Sophistical Refutations) wijst Aristoteles op de verschillende denk- en redeneerfouten die mensen maken veroorzaakt door de veelzinnigheid van teksten en de ambiguiteit van de woorden.

Beth geeft de Nederlandse vertaling van een passage uit het eerste deel, sectie 1 van De sophisticis elenchis waarin Aristoteles wijst op de analogie tussen het redeneren met woorden en het werken met rekensteentjes (calculi).

“Want omdat het niet mogelijk is, bij het redeneren de dingen zelf mee te brengen, maar wij in plaats van de dingen de woorden als symbolen gebruiken, menen wij dat wat voor de symbolen geldt ook voor de dingen opgaat, zoals dat bij de rekenaars met de rekensteentjes het geval is. Maar die vergelijking gaat niet op, want de woorden en de uitspraken zijn begrensd, de dingen echter zijn oneindig in aantal. Het is derhalve onvermijdelijk dat één en dezelfde uitdrukking en één en hetzelfde woord meer dan één ding aanduidt. Zoals derhalve de in het hanteren van de rekensteentjes onbedrevenen door de daarin bedrevenen worden beetgenomen, zo misrekenen ook zij zich die niet op de hoogte zijn van de draagwijdte van uitdrukkingen en van de woorden, zowel wanneer ze zelf redeneren als wanneer ze anderen aanhoren.“

De Stagiriet waarschuwt voor de sofist die bedreven in de taal de luisteraar misleidt door misbruik te maken van de verschillende betekenissen van de woorden en uitdrukkingen.

Aristoteles wijst op de handigheid van de woorden. Je hoeft de leeuw niet mee te nemen om het erover te hebben. Daar zijn woorden voor. Hij waarschuwt er echter voor dat anders dan in de wiskunde, de woorden niet eenduidig zijn. De sofist maakt misbruik, zo stelt Aristoteles, van de verwarring door te doen alsof de woorden eenduidig betekenen, alsof het wiskundige tekens zijn.

Dit lijkt me een wijze les die van toepassing is nu veel mensen denken dat generatieve AI (zoals ChatGPT) onze woorden spreekt terwijl de teksten die het produceert resultaat zijn van wiskundige berekeningen. Het verwarrende is dat de woorden die als tekens voor de wiskundige objecten door de makers, de wiskundigen, gebruikt worden, lijken op onze woorden, de woorden die wij dagelijks gebruiken. En dat is natuurlijk niet voor niets. Daar is het juist om te doen bij deze taaltechnologie: dat de gebruiker, de lezer, betekenis kan geven aan de tekens, door ze te herkennen. Het wiskundig model is een model van onze taal en de tekens die de wiskundigen gebruiken om de objecten in het model aan te duiden zijn de woorden waar de wiskundige objecten voor staan. Om het object dat staat voor het woord leeuw aan te duiden wordt het teken ‘leeuw’ gebruikt. Niet zo vreemd natuurlijk dat dit gemakkelijk leidt tot de gedachte dat de woorden en de wiskundige objecten waar ze voor staan gelijk aan elkaar zijn. Toch zijn het twee verschillende dingen. Net zo goed als de tekening van een pijp zelf geen pijp is, ook al lijkt deze er nog zo op.

In onze wereld kunnen we met het woord leeuw in verschillende situaties gebruikt verschillende dingen aanduiden. En daarin zijn wij creatief. Onze taal is gastvrij; een taal die open staat voor nieuwe woorden en nieuwe woordgebruiken. In de modellenwereld van de wiskundige is dat niet het geval. Daarin legt de statistische structuur precies vast in welke contexten het woord gebruikt kan worden. Die structuur (de ‘Large Language Models’) heeft de machine gebouwd uit heel veel woordgebruiken zoals die in documenten op het internet te vinden zijn. In die modellen wordt door de wiskunde onze taal vastgelegd.

Teksten dringen zich op aan ons lezers. De kritische vraag aan de lezer van de geproduceerde tekst is dan ook of hij de betekenis die hij erin leest als waarheid ziet omdat hij de waarheid erin herkent, of dat hij de tekst voor de waarheid zelf houdt, omdat het de computer, dat is de wiskundige, is die het zegt. We noemen deze figuur tegenwoordig vaak AI, kunstmatige intelligentie. De wiskundige kaapt onze taal. Zoals hij de werkelijkheid kaapt door deze in zijn modellen vast te leggen en deze voor ‘de werkelijkheid’ te houden.

We gaan nog even terug gaan naar de herder met zijn bak met steentjes, voor elk schaap eentje. Wanneer hij de bak meeneemt naar de markt neemt elk steentje de plaats in van een schaap. Het schaap is de concrete waarde van het steentje. Als hij een schaap verkoopt geeft hij een steentje aan de koper. Zo wordt het steentje geld. Het schaap is de waarde van een geldstuk. De relatie tussen de steentjes die teken zijn van de waarde enerzijds en de kudde die de werkelijke waarde is anderzijds, is abstract. Het geld is de abstracte waarde, zoals de getallen de abstracte aantallen zijn. In de geldeconomie wordt er met geld gehandeld alsof het zelfstandige waarden zijn. Het geld wordt verplaatst van de ene bankrekening naar de ander door computers die tekens manipuleren. Het zicht op de werkelijke wereld van de waren is uit het zicht verdwenen, zoals de werkelijke wereld van alledag voor de wiskundige wetenschapper achter zijn modellen verdwenen is. En zoals de taalgenererende machines de abstracte ‘woorden’ manipuleren, waarbij het zicht op de oorspronkelijke waarden, de gedachten van de mens die er zijn relatie tot de werkelijkheid in verwoordde, is verdwenen. Waarheid is niet meer wat gemodelleerd wordt. De modellen, die door de overheden en bedrijven op de markt worden gebruikt, definiëren wat waar is.

Vanwege de typisch afstandelijke houding van de mathematicus brengt mathematisering het gevaar van dehumanisering met zich mee. “When the person appears on screen as a result of algorithmic visualization, the Other as a “face” (in Levinas’ sense of “an authority without force” that demands a moral response) disappears completely and moral responsibility for the Other is suspended and rendered ineffective.” zegt Weiskopf (2020) in een artikel over het effect van ‘algorithmic governmentality’ op de wijze waarop vanuit de onpersoonlijke ander (het systeem) de persoon verschijnt. De ambtenaar van de belastingdienst ziet op zijn beeldscherm slechts gedataficeerde burgers, elk met hun eigen BSN, geen mensen van vlees en bloed. Het toeslagenschandaal is mede gevolg van deze abstracte werkwijze volgens procedures in mathematische virtuele werelden.

Daarom zeg ik: pas op voor de wiskundige! Verwar zijn produkten niet met de werkelijkheid.

Bronnen:

D’Amato, K. (2024) ChatGPT: towards AI subjectivity. AI & Soc (2024). https://doi.org/10.1007/s00146-024-01898-z

“A fundamental theme organising much current scholarship in the ethics of AI is the so-called alignment problem, or “the challenge of ensuring that AI systems pursue goals that match human values or interests rather than unintended and undesirable goals”

“I will argue that we may be on the verge of enacting not the death of the Author (or Man), but the birth of a nonhuman subjectivity, and that to make intellectual and practical progress we must interrogate this subjectivity as such.”

“In contrast with Coeckelbergh and Gunkel (2023), I will not be arguing whether technology is or is not human, but whether this particular instance of technology can relate to knowledge and power in a way that can plausibly be thought of as a new subjectivity.”

“The ability to respond to the concrete other is a precondition for exercising
or enacting moral responsibility” (Weiskopf 2020).”

“A technology conceived as purely instrumental to human objectives cannot be responsible for the consequences of its actions.”

The paper suggest four linked research themes that would help take us towards a self-conducting AI subjectivity: 1) embodied self-care 2) embodied intentionality 3) imagination 4) reflexivity: the ability to interrogate one’s knowledge and attitudes.

“An AI system that fulfils these criteria would therefore be at once inventive,
participating, self-forming and responsive. In short, it would be a “self-conducting AI subject” that is sensitive to its social and historical milieu.”

“That is, ethics requires freedom, but it is also more than that: ethics
“is the conscious [réfléchie] practice of freedom” (Foucault 1997, 284; emphasis added). That is, ethics and the practice of freedom are analytically inseparable; although freedom may constitute an ontological condition of ethics, the practice
of freedom is ethical in and of itself. This suggests one potential diagnosis for the failure of the analytic project to specify the preconditions of responsibility: in isolating distinct, prior conditions one erects a false dichotomy between these conditions and morality and, as it were, commits violence to the concepts being discussed. Foucault further qualifies the practice of freedom: it is a conscious practice of freedom. This reflexivity is in part an epistemic process of “knowing thyself”—gnōthi seauton—as noted by Foucault in the context of Greek ethics. Indeed, Deleuze interpreted Foucault’s ethics as “nothing else than the reflexive work of the self upon self” (Villadsen 2023).

Vergelijk Meeuwissen Inleiding in de Rechtsfilosofie: ethiek is de sfeer waarin het gaat om de verwerkelijking van de vrijheid, de mens als persoon, de samenleving als open.

“… a moral AI subject must be one that can craft itself.”

Een keyword in dit paper is ‘dispositif’. Wat is het?

“This concept of apparatus or dispositif can be explicated as a “system of relations” (dat is een structuur, RodA) formed between elements of a “heterogeneous ensemble” organised around a strategic function or “urgent need”; it consists of discourses, institutions, techniques, practices, architectures, legislation, and so on.” (Foucault 1980).

“Das Wahre ist das Ganze” (Hegel)

The dispositif is a key analytical tool in Foucault’s thought that ties together various parts of his work and presents a framework for the analysis of societal problems. It is a systematism that cuts across categories, involving large swaths of social reality.

“An important observation is that the dispositif is not fixed or deterministic, but a “moving ‘battlefield’ shaped by perpetual struggle, unfolding through the tactics that individuals pursue in their self-constitutive practice” (Villadsen 2023).

Dit is de kern van Coeckelberghs ‘growing moral relations’.

Evert W. Beth (1969). Moderne Logica. Uitgeverij Van Gorkum & Comp. N.V. Assen, 1969. Hoofdstuk V: ‘Over de zogenaamde denkmachine.’

Villadsen, K. (2023). Goodbye Foucault’s ‘Missing Human Agent’? Self-formation, Capability and the Dispositifs. European Journal of Social Theory, 26(1), 67–89. https://doi.org/10.1177/13684310221125350

Over Foucaults verschillende opvattingen betreffende de relatie subject-machtsstructuren.

Vwb ‘bio-power’ vergelijk L Fleischhacker over Kapteins metafysische onderbouwing van René Girard’s mimesis theorie. (In: Hegel, zelfbewustzijn, begeerte en de ander)

Weiskopf, Richard (2020). “Algorithmic Decision-Making, Spectrogenic Profiling, and Hyper-Facticity in the Age of Post-Truth.” Le foucaldien 6, no. 1 (2020): 1–37. DOI: https://doi.org/10.16995/lefou.62

Meten en kwantificeren heeft een nieuwe dimensie gekregen in de vorm van ‘dataficatie’ (dataïsme, Harari, Homo Deus, 2019). Dit artikel onderzoekt de aannames die ten grondslag liggen aan de transformatie van het nemen van besluiten naar een rekenprocedure. Deze leidt tot demoralisering en ontpoliticering.

Cambridge Analytica verzamelde persoonsgegevens en gegevens over het (internet) gedrag voor het maken van ‘persoonlijkheidsprofielen’. Deze werden gebruikt door commerciële en politieke organisaties om het (koop- of kiezers-) gedrag van burgers te sturen.

“A theoretical basis for Cambridge Analytica‘s work can be found in a paper published in 2015. Here, the authors attempt to show “that computer’s judgments of people’s personalities based on their digital footprints are more accurate and valid than judgments made by their close others or acquaintances (friend, family, spouse, colleagues).”

“I start with a discussion of “algorithmic decision-making” in the context of Derrida’s view on decisions that deserve the name. This opens the space for problematizing assumptions on which algorithmic decision-making and profiling rely. In transforming decisions into calculations, they create “ghostly demarcations” that discriminate and sort in/out based on abstractions and make the ethics and politics involved in these processes disappear.”

“In fact, algorithmic procedures that produce a decision (or rather a yes/no switch) as the outcome of a calculated series of steps (e.g. decision trees) reframe ethical and political questions as technical problems of systems engineering.”

“For Derrida, a decision that deserves the name presupposes “undecidability” and requires going through the “ordeal of the undecidable.” Algorithmic decisions are in his sense not decisions at all since “a decision that didn’t go through the ordeal of the undecidable […] would only be a programmable application or unfolding of a calculable process.”

“Derrida reminds us that the undecidability is “not a moment to be traversed and overcome.” It continues to inhabit the decision “as an essential ghost.””

Ik denk dat de substitutie van het begrip vrijheid door keuzevrijheid ten grondslag ligt aan de idee dat ‘machines (algoritmes) beslissingen kunnen nemen’.

Algorithms are performative. They generate objects of knowledge that loop back and shape the world. Profiling and classification algorithms make up people.

However, such fictions (created by the mathematicians, RodA) are not simply illusions, but rather social objects and artefacts that have concrete material effects in the world.

“… taking some inspiration from Derrida’s analysis of the ghost and the “ghost effect” in The Specters of Marx, I suggest that profiles can be understood as ghosts that are the outcome of a “spectrogenic process.”

In Specters of Marx, Derrida explains that the production of the ghost, or the “constitution of the ghost effect” is more than the autonomization of thoughts, ideas, data, etc. “For there to be ghost, there must be a return to the body, but to a body that is more abstract than ever. The spectrogenic process corresponds therefore to a paradoxical incorporation. Once ideas or thoughts (Gedanken) are detached from their substratum, one engenders some ghost by giving them a body. Not by returning to the living body from which ideas and thoughts have been torn loose, but by incarnating the latter in another artifactual body, a prosthetic body“

Dit is precies wat de mathematische houding doet: structuren abstraheren van de werkelijkheid en deze als zelfstandige objecten aan andere materialen en processen opleggen (implementeren).

… it can also be argued that the emerging regime of truth creates conditions that are related to a specific mode of subjectification which Žižek has called “proto-paranoiac”:

“My very awareness of the fact that ‘the truth is out there’, that files on me circulate which, even if they are factually ‘inaccurate’, none the less performatively determine my socio-symbolic status, is what gives rise to the specific proto-paranoiac mode of subjectivization characteristic of today’s subject: it constitutes me as a subject “inherently related to and hassled by an elusive piece of database in which, beyond my reach, ‘my fate is writ large’. ( Žižek 1999, p. 260)

Slavoj Žižek (1999), The Ticklish Subject: The Absent Centre of Political Ontology. London: Verso, 1999.

De wiskundige modellen vanuit het religieuze besef van Ronald Meester

“De betekenis van de individuele denker is tot op zekere hoogte afhankelijk van het toeval” (A.N. Whitehead)

De wiskundige en historicus Gerard Alberts eindigt zijn historie van het wiskundig modelleren in Nederland (2002) met:

“Nu het Centraal Planbureau en het RIVM inderdaad met mathematische modellen werken en adviezen geven komt de kritiek. De waarheid zou in het gedrang komen, de onzekerheden zouden te groot zijn. Maar was dat nu niet de quintessens van het wiskundig modelleren ten opzichte van vroegere wetenschapsidealen? In de modellerende wetenschappen is het waarheidsstreven gerelativeerd. Een model is niet “waar” en een goed model dient een doel.” (Gerard Alberts 2002)

Eén van de criticasters van de wijze waarop door het RIVM en sommige politici met modellen wordt omgegaan is Ronald Meester. Deze hoogleraar statistiek aan de Vrije Universiteit laat regelmatig van zich horen in de media. Hij steekt zijn kritiek op de overheid die haar beleid teveel laat bepalen door cijfertjes, modellen en statistieken en te weinig oog heeft voor “de waarden waar het in het leven om gaat” niet onder stoelen of banken.

In het onlangs verschenen rapport van het Wetenschappelijk Instituut voor het CDA Leren van Corona schrijft hij:

“Cijfers zijn nooit zomaar cijfers. Wetenschap is niet objectief. De bepalende stem van het RIVM in de coronamaatregelen was dan ook ongelukkig. Wetenschap en cijfers moeten pandemiebeleid voeden in plaats van dicteren. Het CDA kan maar beter uit de mallemolen van de cijfers stappen en stoppen met andersdenkenden uitsluiten.” (In: Leren van Corona, naar een nieuw vertrouwen in samenleving en democratie. Uitgave van het Wetenschappelijk Instituut voor het CDA, 2023) .

In zijn nieuwste boek legt hij getuigenis af van zijn visie op wetenschap en de manier waarop we en de politiek daarmee tegenwoordig omgaan. Daarin presenteert hij wetenschap als producent van verhalen. Niet onvergelijkbaar met de verhalen in de Bijbel, een boek waarin hij als christelijk kerkganger goed thuis is.

Wetenschap als nieuwe religie.

Dit is de titel van het nieuwste boek van Ronald Meester. De ondertitel van het boek is “hoe corona de spirituele schaarste in de samenleving blootlegde.” Het is geen kroniek van de pandemie. De interesse in het boek gaat uit naar ‘de grote vragen’ die niet door de wetenschap aan de orde worden gesteld, maar die wel voortdurend onder de oppervlak meedoen als het gaat om hoe de wetenschap in de politieke beleidsbeslissingen gebruikt wordt.

“Waar vinden we houvast in moeilijke tijden?” De wetenschap wordt door velen als een soort religie gezien. “Maar wetenschap vertelt ons niet wat ‘beter’ is, ‘omdat ‘beter’ een waardeordeel is. En daar gaat wetenschap niet over.” (p. 9). We hebben geen collectief ‘verhaal’ meer dat ons vertelt wat we waardevol en cruciaal vinden. We lijden aan spirituele armoede.

Het thema is geenszins nieuw. Het is het thema van Edmund Husserls “Krisis der Europäischen Wissenschaften” waarover hij vanaf 1935 regelmatig sprak. De filosoof zag het al gebeuren. “Denn diese Krisis betrifft keineswegs ihre niemals angezweifelte Wissenschaflichtkeit, sondern das, was Wissenschaft überhaupt dem menschlichen Dasein bedeutet hatte und zu bedeuten kann.”

In onze levensnood – zo horen wij – heeft deze wetenschap ons niets te zeggen. De meest brandende vragen zijn: de vragen naar zin of zinloosheid van het menselijk bestaan. Wetenschap is verworden tot ‘blosse Tatsachenwissenschaft’, een wetenschap van louter feiten. Het subject is uit deze objectiverende wetenschap verdwenen. “Tatsachenwissenschaften machen blosse Tatsachenmenschen.”

Voor Husserl een reden om terug te kijken in de geschiedenis van het Europese denken. En hij ziet dan in de 16de eeuw de idee opkomen van een ‘idealisering van de wereld’. Deze idealisering is een mathematisering. De werkelijkheid wordt met mathematische structuren bekleed en ontdekt. De wereld is wat kenbaar is volgens de wiskundige methode, door meten en het ontdekken van wetten. Onze wetenschap is fundamenteel hypothetisch van karakter.

Edmund Husserl is filosoof. Naast Martin Heidegger en Jan Hollak, één van de grote filosofen van de moderne tijd die een poging hebben gedaan de mathematisering van de wetenschap, de technologisering van de cultuur en de functionalisering van het denken van de moderne westerse mens te begrijpen en in taal uit te drukken.

Meester is geen filosoof. Meester is wiskundige, hoogleraar statistiek, de wiskunde die gaat over hoe met data wordt gerekend om daar informatie uit te halen. De wetenschap die gaat over het testen van hypotheses opgesteld in de vorm van een wiskundig model. Ik had al eens een paar artikelen van hem gelezen over de problematiek van de toepassing van statistiek in de rechtspraak. Ik schreef daarover in Bewijzen en Bewijzen is Twee.

“Wij horen regelmatig over rechterlijke dwalingen. In de zaak Lucia de B. wisten ook heel veel mensen zeker te weten dat ze schuldig was aan de dood van wel zeven oudjes en een paar babies. Later bleek het bewijs niets waard te zijn. Een misrekening van een stelletje getuige “deskundigen” gesteund door foute statistische modellen.”

Meester schreef over de dwaling in de zaak Lucia de B. en pleitte voor een andere aanpak in de statistiek, de Bayesiaanse methode, volgens Bayesianen (zoals de fysicus E.T. Jaynes) de manier om met onzekerheid te rekenen. In zijn nieuwste boek schrijft hij er ook over. Maar ook die methode heeft slechts beperkte toepassingen. Het NFI, het Nederlands Forensisch Instituut, maakt er veelvuldig gebruik van bij het sporenonderzoek, maar een stelling in de rechtspraak kan niet wiskundig worden bewezen. We kunnen niet uitrekenen wie er gelijk heeft en of iemand wel of niet schuldig is aan het ten laste gelegde. Aannemelijk maken is iets anders dan wiskundig bewijzen.

Meester vergelijkt wetenschap niet alleen met religie: “beide leveren verhalen”, maar ook regelmatig met de rechtspraak. Ook haalt hij met instemming mensen aan die van mening zijn dat wetenschap een persoonlijke kwestie is. Je bent volgens hem vrij om als individuele burger een standpunt in te nemen over wat je van een wetenschappelijke uitspraak vindt. De wetenschap werkt met door haar gemaakte modellen en die zijn altijd beperkt. Hij wijst er herhaaldelijk op dat we die modellen niet moeten verwarren met de werkelijkheid (‘het sceptische standpunt’). Iets wat politici doen die hun beleid op modellen van het CBS of RIVM baseren.

In zijn kritische houding tegenover de wetenschappers gaat Meester ver.

Meester heeft een nogal dubieuze opvatting over de betekenis en waarde van zijn eigen vakgebied, de statistiek. Terecht waarschuwt hij voor de oppervlakkige wijze waarop in de media met cijfers en statistieken wordt omgesprongen.

Maar als het over kansen en kansrekening gaat slaat hij de plank behoorlijk mis. Dat komt omdat hij een probleem heeft met oneindigheid. Dat begrip komt zowel voor in de wiskunde als in de religie. Meester is religieus en wiskundige. Hij haalt die twee regelmatig door elkaar. Het lijkt er soms op dat hij vanwege zijn geloof wetenschap niet helemaal serieus neemt.

Ik ga terug naar zijn inaugurele rede bij de aanvaarding van zijn ambt als hoogleraar aan de Vrije Universiteit. Daarin legt hij zijn geloofsbrieven neer. Het volgende citaat gaat over het begrip kans en de kansrekening, de basis van de statistiek.

“Het is in een kanstheoretisch model heel gewoon dat er een gebeurtenis plaatsvindt hoewel deze kans nul heeft. Dat klinkt vreemd, maar ik kan u hiervan met een eenvoudig voorbeeld wellicht overtuigen. Neem een cirkelrand in gedachten en kies een willekeurig punt op die rand. Elk punt heeft hierbij even grote kans om gekozen te worden. Wat is nu de kans dat u een bepaald punt heeft gekozen? Kan die kans bijvoorbeeld 1/1000 zijn? Nee dat kan niet, want elk punt heeft evenveel kans en er zijn meer dan 1000 punten op de cirkel. De kans kan ook geen 1/10.000 zijn omdat er meer dan 10.000 punten op de cirkel zijn, etcetera. De enige mogelijkheid die niet tot een tegenspraak leidt is dat de kans op elk specifiek punt nul moet zijn. Elk punt heeft dus kans nul om gekozen te worden, ook het punt dat u gekozen heeft. Kans nul betekent dus niet dat een gebeurtenis niet kan plaatsvinden. 
(Uit: De inaugurele rede van professor Ronald Meester)

Wat is hier aan de hand? Het begrip ‘gebeurtenis’ is veelzinnig. `Wat is dat voor gebeurtenis die ‘in een model plaats vindt’? Wanneer we het hebben over het optreden van een gebeurtenis dan onderscheiden we twee aspecten aan de gebeurtenis. Laat ik ze het formele en het materiële aspect noemen. Het formele aspect is de inhoudelijke bepaaldheid van het gebeuren: hoe het gebeuren beschreven wordt en onderscheiden is van andere gebeurtenissen. Het materiële aspect is het feitelijk voorkomen van het gebeuren. Aan een feit, een feitelijk voorkomen van een gebeurtenis, in de werkelijkheid zijn beide aspecten te onderscheiden’, maar niet gescheiden aanwezig. Het wiskundig kansmodel is een model, waarin de formele gebeurtenissen als gedachte objecten (‘events’) worden vastgelegd. Meester vraagt zijn goedgelovige gehoor zich een cirkel voor te stellen. Een cirkel is een wiskundig object, net als een rechte lijn. Ze zijn niet opgebouwd uit punten (want een punt heeft geen dikte en geen lengte), maar uit lijnstukken. Wanneer we het over het ‘aanwijzen van een punt’ hebben moeten we goed onderscheiden of we daarmee het kiezen van een wiskundig punt op een cirkel bedoelen of het daadwerkelijk aanwijzen van een positie (een punt) op een werkelijk fysieke locatie, wat iets anders is dan een meetkundig punt. In de redenering van Meester gaat hij over van een situatie met een eindig aantal punten naar een situatie met oneindig veel punten. Dat is typisch wiskundig: een sprong naar het oneindige als voltooid gedachte limiet van een reeks. Om dan te concluderen dat de kans op het selecteren van een punt nul is: 1 gedeeld door oneindig. Wiskundig is het echter zo dat die kans per definitie nul is bij een continue verdeling. In de werkelijkheid komt het aanwijzen van een punt niet voor, omdat een mathematisch punt in werkelijkheid niet voorkomt. Meester verwart een werkelijke gebeurtenis met een gebeurtenis in de kansrekening.

Meester stelt de werkelijkheid voor als limiet die in mathematische zin benaderd kan worden door een reeks. Dit idee is pre-19de eeuws en werd door Lagrange en opvolgende wiskundigen terecht verworpen als een ontoelaatbare verwarring van mathematiek en metafysica. De historische worsteling waarin de wiskunde zich bevrijd heeft van de metafysica lijkt aan de leerstoel van Meester voorbij te zijn gegaan.

Meester houdt zo zijn toehoorders regelmatig voor de gek. Nu zou je ter verdediging kunnen aanvoeren dat een inaugurele rede een soort lekenpraatje is waarin het toegestaan is van wetenschap een verhaaltje te maken, waarin je het gehoor uitnodigt zich in de fictie te verplaatsen (“kies een punt op de cirkel”). Dat mag zijn, maar dat betekent niet dat je de leek in de zaal voor een onnozele goedgelovige kerkganger kunt houden. Het nare is dat veel mensen denken dat de professor weet wat wiskunde is en hoe de wiskunde zich verhoudt tot de werkelijkheid van alledag en tot de metafysica omdat hij immers hoogleraar statistiek is aan een universiteit. Wiskunde is geen fictie, zoals een roman, en moet dan ook niet als zodanig gepresenteerd worden.

In het hoofdstuk “De Interpretatie van Getallen” van zijn boek staat hij nog weer eens stil bij “de omgang met cijfers en statistieken”. Daarin schrijft hij dat het een misvatting is dat deze niets met spiritualiteit te maken zouden hebben. “Ik denk dat ons rationele denken onze metafysica in de weg zit. Onze ratio is te belangrijk geworden.” “Cijfers, getallen en statistieken hoeven ons gevoel, onze emotie niet zomaar te overrulen.” “Een reëler beeld van cijfers helpt ons dus ook in levensbeschouwelijke zin.”

Wat bedoelt hij daar nou mee?

Meester onderscheidt verschillende types cijfers. Hij onderscheidt cijfers die uitkomsten zijn van een ‘statistisch experiment’ zoals de cijfers die het RIVM of Pfizer gaven over de efficiëntie van een Corona-vaccin. “Een heel ander type cijfers komt niet uit een statistisch onderzoek maar uit een berekening binnen een wiskundig model.” De vraag is dan of het model de werkelijkheid wel voldoende adequaat weergeeft. Alsof modellen bij een statistisch experiment geen rol spelen. Ook daarin worden immers modellen gebruikt om van de data, de tellingen, tot een statistische uitspraak te komen. De betrouwbaarheidsintervallen worden immers berekend op basis van een aangenomen statistisch model.

Wanneer Meester zijn kritiek op de cijfers geeft dan blijkt dat het gaat over dat men het niet eens kan zijn over de definitie van de begrippen. Wat is een IC-bed? of: wat is een patiënt die met Corona in het ziekenhuis terecht is gekomen? Voordat je gaat tellen moet je wel weten wat je telt. Men kan terechte kritiek hebben op de presentatie van een modeluitkomst omdat het niet goed duidelijk is wat er precies geteld is. Ook politicus en econometrist Pieter Omtzigt heeft regelmatig in de kamer en daarbuiten kritiek geuit op de ondoorzichtigheid van de modellen op basis waarvan de regering besluiten neemt. De kranten, de politici en de (farmaceutische) industrie zijn vaak niet helder over hun data en de manier waarop die in hun modellen verwerkt worden. Maar dat heeft niets te maken met kritiek op wiskundig modelleren als zodanig.

Meester verwart die twee voortdurend. Hij heeft veel (vaak terechte) kritiek op de manier waarop met modellen wordt omgesprongen, maar ziet dat als kritiek op het gebruik van modellen in de wetenschap zonder meer. Natuurlijk heeft hij geen alternatief voor modellen in de wetenschap, natuurlijk weet hij dat de wetenschap hypothetisch is en dat je modellen moet testen, maar hij springt voortdurend naar een meta-niveau en gebruikt dit als kritiek op de wetenschap. Hij pretendeert de werkelijkheid te kennen buiten de wetenschap om. Daarmee komt hij akelig dicht in de buurt van de ongefundeerde kretologie van criticasters die er allerlei complottheorieën op na houden. Zo meende Forum voor Democratie kamerlid Gideon van Meijeren in de VU-hoogleraar een enthousiast medestander te vinden.

De antropoloog en wetenschapsfilosoof Bruno Latour constateerde dat hij terecht was gekomen in het kamp van diegenen die de wetenschap de rug toekeren, waaronder complotdenkers en klimaatontkenners. Mensen die het met de feiten niet zo nauw nemen. Alsof Latour’s onderzoek naar het wetenschappelijke feit als sociale constructie van wetenschappers de intentie had de feiten te negeren. Terwijl hij integendeel door zijn onderzoek juist dichterbij de feiten wenste te komen. (zie Latour 2004).

Hier ligt een schone taak voor Meester: helder te maken wat zijn positie is ten opzichte van degenen die zich tegen de wetenschap keren en deze afdoen met “wetenschap is ook maar een mening” of “wetenschap is ook maar een verhaal”. Wat bedoelt Meester wanneer hij “het individuele karakter van de wetenschap” benadrukt, “in de zin dat het kan voorkomen dat voor de ene wetenschapper een theorie wel en voor de ander niet acceptabel is.” ? Menig complotdenker en scepticus trekt hieruit de conclusie dat zijn meningen net zo goed feiten zijn en net zoveel waard als de elkaar tegensprekende zienswijzen van de individuele wetenschappers. Alsof het in de wetenschappelijke arena om persoonlijke meningen gaat in plaats van om door middel van debat en experiment tot inzicht in de zaak zelf te komen.

Meester houdt ook van filosofie, maar heeft duidelijk voorkeur voor de ideeën van filosofen die zijn standpunt over het vaccinatiebeleid van de overheid delen. Dat is vast geen toeval.

Zijn inaugurele rede besloot Meester met:

“De wetenschap zal zich tevreden moeten stellen met zeggingskracht over slechts een beperkt gedeelte van de realiteit. Uitspraken van wetenschappers die zich buiten dat gebied begeven zijn betekenisloos. Wetenschap en religie zijn niet elkaars vijand, maar vullen elkaar juist aan. Ze hebben het simpelweg over verschillende dingen. Dat besef zou iedere wetenschapper moeten hebben.” 

Deze woorden zou hij zich ter harte moeten nemen.

Ik denk dat Ronald Meester er verstandig aan doet zich bij zijn leest te houden. Hij toont eens te meer met zijn boek aan dat je als expert in de statistiek beschouwd kunt worden, maar dat dit nog niet wil zeggen dat je ook het wiskundige, het fysische en het metafysische (of religieuze) uit elkaar kunt houden. Dat is overigens een groot tekort in de opleidingen waarin wel wiskunde: statistiek en wiskundig modelleren worden onderwezen, maar waarin geen aandacht besteed wordt aan de vraag wat wiskunde is en hoe deze zich verhoudt tot (natuur)wetenschap, technologie en de ‘metafysische vragen van alledag’.

Tot slot. Wie een onderhoudend maar degelijk boek wil lezen over cijfers en statistieken en hoe daar mee om wordt gegaan die kan beter John Allen Poulos A Mathematician Reads the Newspaper lezen.

Bronnen

Gerard Alberts (2002). De opkomst van het wiskundig modelleren. NAW 5/1, nr. 1, maart 2000.

Fleischhacker, Louk E. (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Over de mathematisering van het denken en hoe de moderne filosoof zich vaak door de uitwendigheid laat misleiden tot deze wijze van denken.

Grünwald, P. (2011). Over het bedrijven van statistiek in kansloze situaties. Voordracht Zwolle, 18 mei 2011. Dit gaat over de zaak Lucia de B.

Jan Hollak en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.

In deze bundel het transcript van de opname van het Afscheidscollege over de hypothetische samenleving, door Jan Hollak gehouden in Nijmegen op 21 februari 1986.

Edmund Husserl (1936/1977). Die Krisis der Europäischen Wissenschaften und die transzendentale Phänomenologie. Philosophische Bibliothek Band 292 Felix Meiner Verlag, Berlin, 1977.

Bruno Latour (2004). Why Has Critique Run out of Steam? From Matters of Fact to Matters of Concern. Critical Inquiry 30 (2):225-248 (2004).

“I myself have spent some time in the past trying to show “‘the lack of scientific certainty’” inherent in the construction of facts. I too made it a “‘primary issue.’” But I did not exactly aim at fooling the public by obscuring the certainty of a closed argument—or did I? After all, I have been accused of just that sin. Still, I’d like to believe that, on the contrary, I intended to emancipate the public from prematurely naturalized objectified facts. Was I foolishly mistaken?”

Ronald Meester (2000). 100%- Zin en onzin van de waarschijnlijkheidsrekening. Inaugurele rede Vrije Universiteit van Amsterdam. Verscheen in Nieuw Archief Wiskunde van het Koninklijk Wiskundig Genootschap. 2000.

Op 24 maart 2000 sprak Ronald Meester zijn oratie uit bij de aanvaarding van het ambt van hoogleraar in de waarschijnlijkheidsrekening aan de Vrije Universiteit.

Hij besluit met:

“Om dit zelfbeeld (van de VU) te begrijpen is het nodig om eerst te citeren uit de doelstelling van de Vrije Universiteit: “al haar arbeid in gehoorzaamheid aan het Evangelie van Jezus Christus te richten op het dienen van God en zijn wereld”. Dat is nogal wat, en velen onder u zullen hier niet mee uit de voeten kunnen. Persoonlijk zou ik ook een iets bredere omschrijving toejuichen waarin de nadruk ligt op werken vanuit een bepaald religieus besef in het algemeen.”

Ronald Meester (2022). Wetenschap als nieuwe religie: hoe corona de spirituele schaarste in de samenleving blootlegde. Uitgeverij Ten Have, Utrecht, 2022.

R. Meester, M. Collins, R. Gill, and M. van Lambalgen (2007). On the (ab)use of statistics in the legal case against the nurse Lucia de B. Law, Probability & Risk, 5(3-4):233–250, 2007.

Hendrik Prakken en Ronald Meester (2017). Bayesiaanse analyses van complexe strafzaken door deskundigen. Betrouwbaar en zo ja: nuttig? Expertise en Recht, 2017(5), 185-197.

De vrienden van onze vrienden en de eigen aard van het wiskundig denken

Hoe presenteren de universitaire wiskundeopleidingen in Nederland zich naar de belangstellende student? Waarom zou iemand wiskunde gaan studeren? Op de websites van de wiskundeopleidingen van de Nederlandse universiteiten komen drie kanten van de wiskundeopleiding naar voren. Je leert op een wiskundige manier denken, wiskunde is leuk voor mensen die van puzzelen houden en wiskunde kun je overal, op heel veel gebieden van het leven, toepassen. In dit stuk pleit ik ervoor dat iedere opleiding waarin het wiskundig denken wordt onderwezen aandacht besteedt aan filosofie van het wiskundig denken.

“In de bachelor Wiskunde aan de UvA maak je kennis met de veelzijdigheid van wiskunde en leer je om op een wiskundige manier te denken en oplossingen te verzinnen.”

Soms wordt nog extra benadrukt dat je leert om logisch te denken. Wiskundig denken is denken volgens de regels van de logica.

Studenten die wiskunde studeren doen dat om verschillende redenen.

“Ik vind het fijn dat wiskunde zo waterdicht is. Als je iets hebt bewezen, is dat gewoon een waarheid aangezien het berust op logische stappen waar je niet tegen in kan gaan.” zegt studente Wiskunde, Chinook Felix op de website van de UvA.

Iedereen die na veel gepuzzel wel eens een bewijs van een lastige wiskundestelling heeft gevonden of begrepen die kan het enthousiasme voor de onbetwijfelbaarheid van de wiskundige waarheid begrijpen.

Voor anderen is de toepassing van de wiskunde op problemen en vragen uit het dagelijkse leven belangrijk. Mariska Heemskerk doet promotieonderzoek naar sociale netwerken. Op de website van de UvA lezen we de volgende vraag uit haar onderzoek.

“Hoe kan het dat onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij?“

Toen ik het las was de eerste gedachte die bij mij opkwam: is dat zo? Je hebt namelijk de neiging om dat ‘onze’ en dat ‘wij’ op jezelf te betrekken. Je leest het als:

Hoe kan het dat je vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan jij?

En dat hoeft natuurlijk helemaal niet zo te zijn, want iemand, degene die zich met dat ‘je’ aangesproken voelt, kan meer vrienden hebben dan zijn of haar vrienden gemiddeld.

Als je het zo leest dan vat je dat ‘je’ op als verwijzend naar een concreet persoon, een ik die dit leest. Maar een andere lezing is die waarin we ‘je’ niet de re maar de dicto opvatten, als algemene term, varierend over alle individuen in het sociale netwerk. Het is dus niet voor niets dat Mariska het over ‘wij’ heeft en niet over ‘je’. En toch lukt het niet echt om de interpretatie met ‘je’ weg te nemen. Ze zal dan ook ongetwijfeld een logische formule met kwantoren hebben die w`el precies zegt wat ze met de stelling bedoeld. Het toepassen van de wiskunde vereist altijd een precisering van het probleem en een mathematisering van de werkelijkheid waar het over gaat. Wiskundigen maken daar altijd weer iets anders van. Sociale netwerken worden mathematische netwerken, grafen.

Strikt genomen is het ook niet altijd waar dat in ‘ons’ netwerk van vrienden onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij. Het is namelijk niet waar in netwerken die volledig zijn, netwerken waarin iedereen iedereen als vriend heeft. Heeft zo’n volledig netwerk n leden dan heeft iedereen n-1 vrienden en dat is tevens het gemiddelde over alle vrienden. En dat geldt voor iedereen in het netwerk. Dus iedereen heeft dan evenveel vrienden als het gemiddelde over al zijn vrienden. In K5, de volledige graaf op vijf punten is dat vier.

K5, de volledige graaf op 5 punten

Maar er hoeft maar één paar vrienden in zo’n volledig netwerk hun vrienschap te verbreken en de stelling is waar in het resterende netwerk. Waarom ? Omdat er dan twee individuen zijn die een vriend minder hebben dan de rest van het netwerk. En dat maakt dat het gemiddeld over alle individuen zo is dat het gemiddeld aantal vrienden groter is dan het aantal vrienden van het individue zelf.

Het is dan niet moeilijk in te zien dat in elk niet volledig samenhangend netwerk de stelling waar is.

Het is van belang dat vriend-zijn-van een symmetrische relatie is: als A vriend is van B, dan is B vriend van A. In een netwerk met slechts twee individuen (knopen) die vriend van elkaar zijn, is het triviaal waar dat voor elk individu geldt dat het gemiddelde aantal van zijn vrienden (verbindingen met andere knopen) gelijk is aan het aantal vrienden van hem zelf.

Omdat een relatie symmetrisch is, hebben al mijn vrienden in elk geval mij als vriend. De stelling sluit niet uit dat er individuen zijn die veel meer vrienden hebben dan ieder ander in het netwerk. Neem een stervormig netwerk met n punten. Het middelpunt van de ster heeft n-1 vrienden, maar al die anderen hebben er slechts één.

De echte wiskundige zal pas overtuigd zijn van de juistheid van de stelling wanneer er een formeel bewijs wordt gegeven, volgens de regels van de logica.

Anderen zullen analoge stellingen proberen te poneren en te bewijzen voor bi-partiete netwerken, waarin mannen en vrouwen, onderscheiden worden. Het zijn bijzondere netwerken waarin de stelling zowel waar is voor man-man, vrouw-vrouw als voor vrouw-vrouw relaties. Maar misschien zijn binaire netwerken in deze non-binaire tijden wel heel erg bedenkelijk.

Het probleem is een aardig voorbeeld van zowel de toepassing van wiskunde als van wiskundig modelleren. ‘Toepassen’ omdat inzichten en stellingen uit de grafentheorie gebruikt kunnen worden. ‘Modelleren’ omdat een concreet aandachtsgebied in onze werkelijkheid, hier: het sociale netwerk, als een mathematische structuur wordt gezien bestaande uit welbepaalde objecten en hun relaties. Zodra van het sociale netwerk een mathematische weergave is gemaakt kunnen er stellingen over bewezen worden.

“Graaftheorie is de ruggengraat van hoe we theoretiseren over sociale netwerk dynamieken in de sociologie.” schreef Bas Hofstra, universitait docent sociologie aan de Radboud universiteit in een reactie op dit stukje over wat kennelijk de vriendschapsparadox heet. Dat doet vermoeden dat de sociologie niet zonder wiskunde kan. De vraag naar de rol van de wiskunde in de natuurwetenschap is een thema in de filosofie van de wiskunde.

Het ligt wel voor de hand om sociaal gedrag tussen mensen als een dynamisch proces in een netwerk te zien en dat netwerk weer als een wiskundige graaf te modelleren. Vaak is het modelleren van een gebied van de werkelijkheid echter minder triviaal. Soms wordt de werkelijkheid door de wiskundige denkwijze erop los te laten min of meer geweld aangedaan. De werkelijkheid is nu eenmaal niet zo waterdicht en laat zich ook niet zo eenvoudig waterdicht maken.

Het wiskundig denken heeft iets imperialistisch. Je kunt het overal toepassen en wanneer het é´´en keer ergens wordt toegepast dan worden er steeds meer zaken in het model opgenomen omdat die blijken ermee interaktie te hebben in de werkelijkheid. Met als ultiem verschijnsel: de pogingen die gedaan worden om alles in een wereldmodel te stoppen.

De vraag is of er een grens is aan het wiskundig denken. Omdat voor het wiskundig denken een object, een verschijnsel of gegeven, slechts van waarde is in onderscheid van en in relatie tot andere objecten (het getal 2 ontleent zijn identiteit aan de realties met de andere getallen), ligt het voor de hand die grens van het wiskundig denken te zoeken waar het in onze kenrelatie met de werkelijkheid om het bijzondere, unieke van dit object, dit verschijnsel, dit individu gaat. Niet om de kwantiteit, niet om de structuur, maar om de eigen kwaliteit van iets. Mathematisme is de opvatting dat we met de structuur van iets de essentie, de kwaliteit ervan, uitputtend te pakken hebben.

In het alledaagse leven vatten we een individu in ons sociale netwerk meestal niet op als een geval als vele anderen, maar als een persoon die zich op vele manieren onderscheid van andere personen die we kennen.

Het is niet voor niets dat Aristoteles in zijn kritiek op de naar mathematisme neigende Ideeënleer van Plato het verschijnsel leven als voorbeeld gebruikte. Het is niet voor niets dat in onze West-Europese cultuur waarin het individualisme hoogtij viert er een conflict ontstaat met een wetenschappelijke en technologische cultuur waarin het wiskundig denken prevaleert en haar grootste successen viert. Hoe moet de individuele burger, de individuele boer, de individuele patient, de statistische uitspraken van de wetenschap interpreteren, dat is: op zichzelf als individu betrekken? De medische wetenschap gaat niet over een particulier individu, niet over Socrates, merkte Aristoteles al op. Het gaat over verschijnselen en ziektes. En dat geldt voor alle wetenschappen en voor de politiek. Vanuit wetenschappelijk en technische standpunt zijn er alleen abstracte gebruikers, burgers, individuen die tot een bepaalde welgedefinieerde klasse behoren.

Het karakter van het wiskundig denken, en dat is wijder verbreid dan onder wiskundigen en wetenschappers, komt tot uiting in haar toepassingen. Een treffend voorbeeld daarvan zien we in het protocol dat medici en ethici hadden opgesteld voor wanneer er een tekort is aan IC-bedden. Wanneer de regering code zwart heeft afgekondigd (zoiets dreigde tijdens de corona pandemie) moeten alle patiënten die in aanmerking komen voor een IC-bed centraal geadministreerd worden bij een landelijk platform. Een centrale computer bepaalt dan of een patiënt een beschikbaar IC-bed krijgt toegewezen. Ieder ziekenhuis moet een zorgmedewerker aanstellen die verantwoordelijk is voor het doorgeven van de informatie over de patiënten ter plaatse. Zo’n protocol werd wenselijk geacht omdat het niet van het toeval mag afhangen of een bepaalde patiënt verder behandeld kan worden. Dat vinden we onrechtvaardig. Uitsluitend medische factoren mogen een rol spelen bij de toekenning van een IC-bed aan een patient en niet of iemand toevallig dicht bij een onbezet IC-bed woont of tot een bepaalde bevolkingsgroep behoort. De medische kenmerken van de patiënt worden gekwantificeerd zodat van iedere gegadigde uitgerekend kan worden wat de toegevoegde waarde is wanneer aan deze patiënt een bed wordt toegewezen. Of leeftijd een rol mag spelen, daarover was niet iedereen het eens.

In het protocol staat dat de lokale ziekenhuismedewerker die voor het contact met de centrale registratie verantwoordelijk is, niet zelf betrokken mag zijn bij de verpleging van de patienten in zijn of haar ziekenhuis. Betrokkenheid bij de patient past niet in het ethische protocol dat bedoeld is om iedereen gelijke kansen op behandeling te geven. Voor de verpleegkundige die betrokken is bij zijn patiënt is het moeilijk deze als een willekeurig iemand te zien.

Er zijn legio andere voorbeelden te vinden waar de toepassing van het wiskundig denken tegen de grens aan loopt, althans voor wie er oog voor heeft.

Statistici hebben het over populaties. Een populatie is iets anders dan een samenleving. In het model van de promovendus telt alleen het aantal relaties, niet de kwaliteit ervan. Maar ook die kan wel weer wiskundig gemodelleerd worden. Ook de kwaliteit van een mensenleven wordt al door wiskundigen gekwantificeerd.

We kunnen niet zonder wiskunde en wiskundige modellen. Maar de modellen mogen niet de rol van de werkelijkheid overnemen. De voortdurend veranderende realiteit moet de toetssteen zijn en blijven waaraan we de waarde van de modellen afmeten. De praktische toepassing vereist dat we geloven in de modellen. We moeten echter kritisch blijven kijken naar de effecten ervan in de praktijk.

Het wiskundig denken heeft iets natuurlijks maar haar produkten zijn iets bovennatuurlijks, onwerkelijks. We moeten oog houden voor het onwerkelijke van de wiskunde. Iedere opleiding die haar studenten leert wiskundig te denken, of dat nu op mbo, hbo of universitair niveau is, moet expliciet aandacht besteden aan het inzicht in de eigen aard en de grens van dit denken. Daarom moet Filosofie van het Wiskundig Denken en de Technologie een verplicht onderdeel zijn van het curriculum. Daarin zal de vraag naar de relatie tussen wiskunde en de zintuiglijke werkelijkheid een belangrijke rol spelen. Want als wiskunde een wetenschap is waarvan is het dan een wetenschap? Een kwestie die daarin aan de orde zou kunnen komen is hoe je een rechte lijn of de planariteit van een graaf definieert.

Over welke werkelijkheid gaat onze wetenschap eigenlijk ?

Het wiskundig universum van de fysica en de mathematische biologie

“Hoe komt het dat de wiskunde zo goed onze werkelijkheid beschrijft?”. In Our Mathematical Universe geeft de fysicus, cosmoloog en oprichter van het Future of Life Institute Max Tegmark antwoord op deze prangende vraag.

Zijn antwoord is kort gezegd: ons universum, ons heelal, inclusief ons zelf, is een wiskundige structuur. Wie zijn stelling betwijfelt en er de tijd voor neemt om zijn 400 pagina’s lange bewijs door te ploegen, die zegt wellicht: Max zou best eens gelijk kunnen hebben. Maar de vraag is allereerst: wat bedoelt hij met “ons Universum”? Wiens Universum? Is dat mijn werkelijkheid? Het blijkt het Universum van de fysica te zijn, en dan nog van een heel bepaalde opvatting binnen de fysica, die zowel de kosmologie als de kwantummechanica omvat. Tegmark’s boek geeft een boeiend overzicht van de hedendaagse fysica en is daarom al waard om gelezen te worden. Maar gaat Tegmark met zijn stelling de grenzen van de fysica niet te buiten? Is dit geen metafysica? Is Tegmark misschien een representant van de moderne opvatting die de wiskunde als de metafysica beschouwt?

De wiskunde geldt nog steeds als leverancier van zekere kennis. Misschien is het daarom dat veel wetenschappers en leken van mening zijn dat kennis pas echt kennis is wanneer deze op mathematische wijze, dat is in de vorm van wiskundige modellen kan worden uitgedrukt. Omdat de werkelijkheid voor zover we die kunnen kennen volgens deze opvatting wiskundig is. Die modellen zijn soms uiterst complex, zoals die in de verschillende takken van de biologie. Denk aan epidemiologische of bio-moleculaire modellen die de verspreiding van een virus of de werking van een medicijn beschrijven.

Maar in hoeverre beschrijven die modellen die de wetenschap produceert de werkelijkheid van alledag? Gaan de mathematische fysica en de mathematische biologie wel over de werkelijkheid waarin we leven?

De externe werkelijkheid van de wetenschap

Het kenmerk van de moderne wetenschap is dat deze hypothetisch van karakter is. Al onze kennis is van de vorm “als dit en dat dan is het zus en zo”. Tegmark poneert twee hypotheses. Ze zijn niet experimenteel te toetsen. Hij wil ze aannemelijk maken.

De eerste is de Externe Realiteit Hypothese (ERH): Er bestaat een externe fysische werkelijkheid onafhankelijk van ons mensen.

De meeste fysici zijn het volgens Tegmark hier wel mee eens. Behalve wellicht solipsisten en de aanhangers van de Copenhagen interpretatie van de quantummechanica. Een niet te verwaarlozen groep overigens.

Wat is een ‘externe’ werkelijkheid? Hoe ziet een werkelijkheid eruit die niet door mensen gezien wordt? Dat kan toch niet het leven zijn. Want mijn leven bestaat niet onafhankelijk van mij. En leven bestaat niet zonder dat het voor iets of iemand, voor een zeker individu, ‘zijn leven’ is.

Het is een vreemde vraag. Moeten we het waarnemend en kennend subject, de observer, meenemen in het object van onze kennis van de natuur? Het antwoord is de algemene relativiteitstheorie. Meten is weten, maar door te meten beïnvloeden we dat wat we meten. Het resultaat is dus dat we een eigenschap van het meetproces kennen. Of kunnen we toch iets over de objectieve werkelijkheid zelf zeggen? Wat is het werkelijkheidsgehalte van de wiskundige vergelijkingen waarin we de meetresultaten uit onze experimenten proberen te vangen.

Het is deze vraag die nogal wat stof deed opwaaien toen Erwin Schrödinger met zijn kwantumvergelijkingen kwam. Die had hij bedacht toen hij, geveld door een tuberculoseaanval, in een sanatorium in de Zwitserse bergen lag. Wat moet je anders doen. Deze wiskundige vergelijkingen (ze staan in zijn grafsteen gebeiteld) beschrijven de kwantumtoestand van een systeem. De grote vraag was: hoe moeten we deze interpreteren? Waar gaat dit over? De Copenhagen interpretatie komt erop neer dat je zegt: vaagheid en onzekerheid zijn een kenmerk van de werkelijkheid zelf. De dingen zijn vaag en er is onzekerheid. Een deeltje bevindt zich niet op één bepaalde positie maar op meerdere een beetje. Het zijn eigenlijk wolkjes. Zoals de wolkjes om de temperatuurgrafiek waarmee de weerman ons zijn voorspelling voor het weer voor de komende week laat zien.

Maar geldt dat dan ook niet voor de toestand van dingen die we in ons dagelijkse ervaringswereld observeren, zoals de stoel of de kat van Schrödinger? Die bestaan, net als Schrödinger zelf, immers volgens de fysici uit kwantumdeeltjes. Maar die kat is dood of levend. Niet een beetje dood en een beetje levend tegelijk. De tegenstanders zeggen: vaagheid en onzekerheid wordt door ons mensen gemaakt. Dat komt door onze waarneming. Als we afzien van observaties dan zien we een werkelijkheid die geen onzekerheden kent. Tegmark huldigt deze visie. Hij is aanhanger van de Veel Werelden Interpretatie van de kwantummechanica. Alle mogelijke fysische toestanden bestaan ook daadwerkelijk. Het zijn de vele mogelijke voorspellingen van een theorie. De toestand van de wereld van de observaties is één van deze mogelijke werelden. Alles tezamen genomen vormen deze een gigantisch complexe mathematische structuur, een Hilbert ruimte, waarin ieders leven een pad is langs een trajectorie, een baan door Einsteins tijdruimte, een ruimte waarin tijd een dimensie is zoals hoogte, breedte en lengte. De fysici en alle andere mensen moeten in deze immense ruimte ergens te identificeren zijn als Self-Aware Substructures (SAS). Maar wat betekent het dat we sommige subsystemen in deze ruimte kunnen identificeren als “levende organismen” en andere als “niet-levende organismen”? Moeten we dan niet onze dagelijkse kennis (common sense) begrippen gebruiken om zo’n subsysteem aan te wijzen als deze “hond”, “de kat van Schrödinger” of deze “wetenschapper”? Maar dan moeten we de termen die we normaal gebruiken toevoegen aan de wiskundige theorie. Op deze manier scheiden we de werkelijkheid als datgene wat door de wiskundige structuur beschreven wordt van de dagelijkse leefwereld. En is die wiskundige structuur de echte werkelijkheid en is onze dagelijkse ervaringswereld dan slechts een schijnwereld? (zie voor commentaar op de mathematische biologie, Fleischchacker 1995, p. 58).

De vraag die Tegmark wilde beantwoorden had juist betrekking op de relatie tussen de dagelijkse leefwereld van de ervaring en de wereld van de mathematische objecten. Dat het leven bestaat in de vorm van levende individuen (in verschillende stadia van ontwikkeling) dat ontsnapt aan de algemene beschrijving van de levensprocessen als dynamische systemen. Die individuen komen in de externe realiteit van Tegmark, in zijn mathematisch universum niet voor. Althans, ze zijn niet identificeerbaar.

De opvatting die Tegmark huldigt (zijn Veel Werelden Interpretatie) impliceert dat wat feitelijk is in dezelfde zin mogelijk is als de andere logische mogelijkheden. Deze opvatting behoort tot het hypothetische karakter van de moderne wetenschap. Het factische is in deze opvatting slechts mijn hypothese; het had net zo goed anders kunnen zijn. “Het contingente bij een factische toedracht wordt hier gemaakt tot een puur formeel logische mogelijkheid: het kan even goed zo en anders zijn.” zegt de filosoof Jan Hollak hierover in zijn afscheidsrede over de hypothetische samenleving. (Hollak 2010, p.436) Maar inzoverre het feitelijk zo is dat Ceasar de Rubicon is over gestoken is het tegendeel dat hij dit niet heeft gedaan niet mogelijk. We hebben het dan over een historisch feit, een gebeuren dat zich werkelijk heeft voorgedaan. Zoiets is niet slechts mogelijk. En het tegendeel van dit feitelijk is onmogelijk. Dat wat zich feitelijk voordoet dezelfde zijnswijze geven als wat zich mogelijk, theoretisch, voor kan doen, dat is een typisch kenmerk van het mathematiserende denken. Tegmark drukt dit uit in zijn tweede ‘hypothese’.

De tweede hypothese is de Wiskundig Universum Hypothese (WUH). Deze luidt: Onze externe fysische realiteit is een wiskundige structuur.

Het bewijs van WUH volgt in twee stappen uit de aanname ERH.

De eerste stap is dat een volledige beschrijving van de ‘externe’ werkelijkheid (iets waar de fysici naar streven, een Theorie van Alles) ook voor aliens en supercomputers, wezens die niet begrijpen zoals wij mensen begrijpen, een volledige beschrijving moet zijn. Anders gezegd: iedere vorm van taalgebruik in zo’n beschrijving dat refereert aan de typisch menselijke bestaansvorm (‘human bagage’ noemt Tegmark dat), moet uitgesloten zijn van de beschrijving van de externe werkelijkheid.

Hiermee snijdt Tegmark zorgvuldig alle banden tussen de externe werkelijkheid en onze dagelijkse ervaringswereld door. Het is een gedachte die doet denken aan de Godsidee uit de klassieke metafysica, zoals de God van de mathematicus en filosoof Leibniz.

De tweede stap is dat er geen onderscheid gemaakt wordt tussen de beschrijving van een wiskundig object en dat object zelf. De beschrijving van de externe realiteit is simpelweg deze realiteit.

Daarmee lijkt het bewijs rond. In feite is Tegmark stelling daarmee een tautologie. Hoe kan het ook anders?

De idee van het bestaan van een externe werkelijkheid doet denken aan de Cartesiaanse scheiding tussen het denkende subject en de wereld, waarvan het karakteristieke kenmerk de uitgebreidheid is. De res extensa van Descartes is de externe realiteit van Tegmark, de wereld waaruit het subject als denkend is weggedacht. Wanneer Tegmark zich realiseert dat de observaties (metingen) medebepalend zijn voor hoe de natuur verschijnt, moet hij het observerend subject ook opnemen in zijn universum. Wij mensen worden self-aware substructures van de mathematische structuur die onze externe realiteit is. Maar dit zo geobjectiveerde denkende subject is juist niet het actuele denkende subject. Dat blijft voorondersteld. Hoe kunnen we deze SAS-en vinden ? Het korte antwoord van Tegmark is dat “science hasn’t simply advanced to that point.” (Tegmark, p.293). Het is dus volgens Tegmark aan de toekomst van de wetenschap de levende en de niet-levende entiteiten te onderscheiden als ook de concrete individuen in deze externe werkelijkheid te identificeren.

Er is een relatie tussen Tegmark’s these over het wiskundig karakter van de externe werkelijkheid en de kunstmatige intelligentie, een onderwerp dat zijn bijzondere interesse heeft. Voor Tegmark is de externe werkelijkheid een Turing-machine, een computer die de werkelijkheid niet simuleert, maar die de echte werkelijkheid is. “Are we living in a simulation?” is de vraag die hij aan het eind van zijn boek zich stelt. Maar als die simulatie de werkelijkheid is dan zou het antwoord toch bevestigend moeten zijn! Maar wat doet het er toe als dit zo is? Er is immers geen verschil meer.

Zonder de mens voor wie de machine rekent en allerlei intelligente dingen doet, is de machine echter geen zinvol instrument. We zullen de invoer en uitvoer van de machine moeten interpreteren aan zaken in onze leefwereld, anders heeft de informatieverwerking geen zin.

Tegmark’s maakt een elementaire denkfout wanneer hij beweert dat “if our external reality is isomorphic to a mathematical structure, it therefore fits the definition of a mathematical structure.” (p. 280). En dus is het een mathematische structuur. Inderdaad vanuit het mathematisch perspectief is het niet mogelijk twee zaken (‘structuren’) te onderscheiden wanneer ze dezelfde wiskundige structuur hebben. De structuur is immers het object. Hieruit volgt volgens Tegmark dat er geen zinvol onderscheid bestaat tussen de werkelijkheid en haar beschrijving als wiskundige structuur waarin ze niet één en hetzelfde zijn.

Je kunt twee identieke cirkels alleen onderscheiden door ze een naam te geven (identifier). Maar die naam behoort niet tot de structuur zelf.

Woorden als ‘bal’ of ‘molecuul’ behoren volgens Tegmark tot de ‘bagage’ die niet thuis hoort in een wiskundige beschrijving van de externe werkelijkheid. Voor Tegmark zijn het handzame afkortingen voor zekere wiskundige structuren. Maar zoals gezegd: er rest dan nog een klein probleempje: hoe vinden we die objecten zoals deze bal, die stoel of deze mens, weer terug in dit mathematisch universum?

Is de wetenschap ‘ook maar een mening’?

De meeste fysici hebben ondertussen wel ingezien dat de natuur niet op bevredigende wijze in wiskundige structuren en formules te vatten is. (Niet zo gek als je bedenkt dat de wiskunde niet in staat is verandering als verandering te begrijpen. Toch een belangrijk natuurverschijnsel. Lees Tegmark’s boek hoe hij dit probleem met behulp van het begrip ‘ruimte-tijd’ van Einstein ‘oplost’.) Maar in tal van andere domeinen (sociale wetenschappen) wordt de wiskundige modellering (o.a. statistiek) door velen nog steeds als de ideale vorm gezien waarin de wetenschappelijke kennis zou moeten worden uitgedrukt om voor ‘wetenschappelijk’ te worden aangezien.

Al zien we ook daar een kentering; een kentering die wel haast onmiddellijk lijkt om te slaan in een radicaal tegenoverliggende stellingname: een onbezonnen relativering en zelfs verwerpen van de vruchten van de wetenschap.

Wanneer de bekende Enschedese politicus Pieter Omtzigt tekeer gaat tegen het gebruik van modellen in de politiek, dan bedoelt hij niet dat we de modellen in de wetenschap moeten afschaffen. Als econometrist weet hij heel goed dat de wetenschap niet zonder theoretische modellen kan. Wat hij bekritiseert is het gebruik van modellen alsof het heilige koeien zijn die zonder meer de waarheid spreken. Als het volgens het model zo is, dan wordt kritiekloos aangenomen dat het zo is en niet anders. Het model komt in plaats van de werkelijkheid die achter de modellen uit het zicht verdwijnt. Het kritiekloos denken in termen van en reken met de gegevens opgeslagen in de systemen van de Belastingdienst zonder te bedenken dat het om berekenbare modellen van echte personen, individuele burgers, gaat, is mede oorzaak van de toeslagenaffaire.

Het zou helpen wanneer we ons realiseren dat onze wetenschappelijke waarheden een hypothetisch karakter hebben. En dat dat een noodzakelijkheid is. De werkelijkheid schrijft niet voor eens en voor altijd voor hoe deze gemodelleerd moet worden. Dat mag echter geenszins een reden zijn om de wetenschap te devalueren tot ‘ook maar een mening’.

In Beyond structure leidt Louk Fleischhacker (1995) ons in een zoektocht naar de grenzen van het mathematische denken. Dit denken denkt (actief en passief) de werkelijkheid als structureerbaar. De vraag is dan: “what is not reducible to structurability in this world?” Het meest voor de hand liggende (‘most obvious’) antwoord op deze vraag is: het leven. (p. 56). De mathematische biologie (o.a. René Thom) probeert net als de fysicus Max Tegmark een wiskundige beschrijving van het leven te geven. Maar als deze mathematische dynamische structuren, waarin het leven een realisatie is van een trajectorie in de tijdruimte, de realiteit is, wat is dan de status van onze dagelijkse ervaringswereld?

Bij het structureren van de wereld doen we alsof deze bestaat uit ideale, intelligibele, materie, ontvankelijk voor het toekennen van zuivere structurele vormen. Materie en vorm zijn principes die buiten elkaar bestaan. De mathematische sfeer is de sfeer van de uitwendigheid: het stellende mathematische subject staat buiten de wereld van de gedachte, geconstrueerde, structuren, de mathematische objecten. De onderscheiden delen bestaan buiten elkaar, zoals de elementen van een verzameling. Zodra we het leven op een wetenschappelijke manier proberen te begrijpen en dat houdt in levensprocessen als complexe multi-level systemen modelleren (Van den Berg 2017), zoals Tegmark en Thom dat proberen, dan herkennen we ons leven en in het algemeen onze werkelijkheid niet in de resultaten. Deze systemen beschrijven het leven op het niveau van de ontwikkeling of evolutie van de soorten. Bijvoorbeeld de verspreiding van een virus of bacterie in epidemiologische en microbiologische studies, of de invloed van medicijnen op vitale neurale of hormonale levensprocessen in de moleculaire biologie (Motta 2013). Wat aan deze modellen en dit mathematische begrip ontsnapt zijn de wezenlijke kenmerken van het leven: de individualiteit van levende organismen in onderscheid van de soort (“die hond”, “deze mens”), de betekenis die de kennis van het leven voor dit individu heeft en het feit dat het leven zijn doel en oorzaak in zichzelf heeft, in die zin van buiten onbegrensd is. Het leven realiseert zijn eigen grens en laat zich dat niet van buitenaf aanmeten. Het individu is betrokken op wat er buiten zichzelf bevindt en wat is dus in zekere zin tot het eigen leven behoort.

Het leven is zijn eigen oorzaak als ook zijn eigen doel (zie over de Idee Leben, Hegel Wissenschaft der Logik II, p. 469 e.v.). Het zijn begrippen die de biologie vooronderstelt, maar die ze niet als zodanig als onderwerp beschrijft. Ze moet zich vanwege haar karakter als wetenschap beperken tot de levensprocessen, zonder te kunnen verantwoorden waarom dit levensprocessen zijn in onderscheid van de niet-levende processen van de fysica.

In de moderne wetenschap betekent oorzakelijk gedrag wetmatig gedrag. In mathematische modellen zijn het functionele samenhangen beschreven door stelsels van vergelijkingen tussen variabelen. Vanuit filosofisch perspectief impliceert het begrip leven dat een organisme de grenscondities voor zijn bestaan veroorzaakt waardoor het in staat is zelfstandig dit veroorzakend vermogen in stand te houden. Het begrip oorzaak dat we nodig hebben om dit betekenis te geven is niet in overeenstemming met het begrip oorzaak zoals dat in de moderne wetenschap, als wetmatig, wordt opgevat (zie Fleischhacker 1998, p. 145).

Bronnen:

Hugo A. van Den Berg (2017). Inceptions of Biomathematics from Lotka to Thom. Science Progress. March 2017:45-62.

Louk Fleischhacker (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.

Louk Fleischhacker (1998). On the notion of life. Theor. Biosci. (1998) 117; 139-160.

G.W.F. Hegel (1969). Wissenschaft der Logik II, Deel 6 van de Werke in Zwanzig Bänden. Theorie Werkausgabe Suhrkamp Verlag, 1969.

Jan Hollak en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.

Santo Motta en Francesco Pappalardo (2013). Mathematical modeling of biological systems, Briefings in Bioinformatics, Volume 14, Issue 4, July 2013, Pages 411–422, Different types of models that have been used in biology for knowledge discovery
and predictions are described. Biological Models are multilevel complex systems.

 Max Tegmark 2014. Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, Penguin Books, 2014.

Over aanhalingstekens in onze taal

Vanwege Corona was de Nederlandse taalles aan mijn Syrische ‘taalmaatje’ online. Deze keer ging het over de constructie ‘zijn + aan het + infinitief’, zoals in het antwoord op de vraag “Wat doe je daar?”: “Ik ben televisie aan het kijken”.

“Docent, ik heb een vraag. Wat zijn die tekens ?” (Mohammed maakt met twee vingers naast zijn oren het bekende aanhalingsteken-gebaar.)

“Dat zijn aanhalingstekens”, antwoord ik. Waarop de vraag volgt wat dat dan betekent en wanneer je die gebruikt.

Ik vraag hem: Amsterdam, die mooie stad met hoeveel letters schrijf je dat?

“Negen”, antwoordt hij, nadat hij hardop de letters heeft geteld. Fout !, zeg ik (ik draai er niet om heen als mijn student iets fout doet). Hij kijkt verbaasd op.

“Ik zal het even opschrijven”, zeg ik. En ik tik in de chat box:

Amsterdam die mooie stad, met hoeveel letters schrijft je ‘dat’ ?

“Let op de aanhalingstekens!” roep ik, terwijl ik op de zend-knop druk.

Na enige verbaasde blikken op het scherm geworpen te hebben, turend naar de tekst die ik heb ingetikt, zegt ie: “Ha, drie!”.

Precies! Heel goed!

Je plaatst die aanhalingstekens om een woord heen wanneer je in een zin niet het woord gebruikt, maar wanneer je het woord zelf aan wil wijzen. Probeer ik.

Het woordje ‘dat’ verwijst in de zin niet naar het woord Amsterdam. Ik gebruik dat woord in de zin om naar de mooie stad te verwijzen. Anders dan in de zin:

De naam Amsterdam, met hoeveel letters schrijf je dat (de naam)?

Okay, zegt hij. “En wanneer gebruik je die andere uuh …” Oh, je bedoelt die dubbele aanhalingstekens? “Ja die.” “Hoe heet dat?” “Dat noem je dubbele aanhalingstekens”, zeg ik, en ik tik het even in de chatbox.

En wanneer gebruik je die dan? Wanneer je schrijft wat door iemand gezegd of geschreven is. Bijvoorbeeld: Gisteren zei je: “ik doe het morgen.”

Dat is overigens iets anders dan: Gisteren zei je dat je het morgen zal doen. (Dit voorbeeld heb ik van de wiskundige en filosoof Gottlob Frege, die over de betekenis van taal en de indirecte rede heeft nagedacht. Met zijn Begriffschrift is hij de grondlegger van wat later de mathematische logica zou worden. De bewering: “Gisteren is morgen vandaag.” drukt geen historisch feit uit, want dan zou ik moeten zeggen ‘gisteren was…’. Ze drukt een logische relatie uit tussen de begripsinhouden.)

Zo modderen we nog een tijdje door over het gebruik van aanhalingstekens. En dan is de tijd alweer om. Genoeg stof om over na te denken.

Wat bedoelen mensen wanneer ze iets een “taal” noemen?

Er is nog een ander gebruik van de aanhalingstekens. Namelijk wanneer je wilt aangeven dat je een woord niet letterlijk moet nemen, maar in analoge of metaforische zin.

Op Twitter schreef iemand

“In mijn begrip van mijn vak natuurkunde is wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. Wiskunde is dus een “taal”, die we in de natuurkunde graag gebruiken.”

Met de aanhalingstekens rond het woordje ‘taal’ bedoelt de schrijver dat je dit woord niet letterlijk moet nemen. (Achter dat ‘letterlijk’ schuilt overigens op zich al weer een niet-triviale opvatting over betekenis.)

Ooit gaf ik wiskunde-les en dan vroeg ik wel eens aan de student wat wiskunde voor wetenschap is, waar wiskunde over gaat. Diverse keren kreeg ik dan als antwoord dat wiskunde een taal is. De natuurkundige in het Twitter-bericht plaatst er aanhalingstekens om. Ik vat dat “taal” zo op: dat het niet echt een taal is maar ‘een soort van’ taal ( ik haal hier de ‘soort van’ operator van de filosoof D.C. Dennett aan, die maakt hier veelvuldig gebruik van wanneer hij het over de eigenschappen van machines heeft. Die zijn soort van intelligent). Hoe moeten we dat “taal” begrijpen? Bovendien ziet de natuurkundige deze ‘taal’ als een middel dat we “in de natuurkunde graag gebruiken”. Het heeft iets van: we hadden ook andere middelen kunnen gebruiken, maar dit leek ons wel handig. Ik kom daar later nog op terug.

Is wiskunde een taal?

Dat wiskunde een taal is, daar zit wel wat waars in. Deze opvatting dringt zich kennelijk aan ons op. Wiskunde gaat weliswaar over wiskundige objecten, zoals getallen, verzamelingen, in het algemeen: over structuren, maar deze bestaan slechts in ons denken en om het daar over te hebben, bijvoorbeeld in een stelling, in een bewijs, of in een berekening moeten we deze objecten toch aanduiden met tekens. Je kunt het getal 235 niet anders aanwijzen, zoals ik deze tafel aan kan wijzen. We voeren tekens in zoals voor het getal “235”, de driehoek ABC of (3+6)/2. Zonder de tekens, waarmee we de wiskundige objecten aanduiden, bestaan ze niet als voor ons onderscheiden dingen. Door middel van tekens moeten we de objecten identificeren (die tekens zijn namen; het zijn ‘rigid designators’ in de zin van Saul Kripke) Wiskundige objecten zijn weliswaar dingen, maar slechts gedachte dingen. Dingen die buiten het bedacht zijn niet bestaan. In onze ervaringswereld onderkennen we weliswaar eenheden, tweetallen, de vier benen van een paard, maar getallen komen we in deze wereld niet tegen. En dat geldt ook voor de ideële objecten van de meetkunde: punten, lijnen, driehoeken, etc.

Omdat de wiskundige objecten zo gebonden zijn aan ons denken (het zijn creaties van ons denken) ligt het voor de hand ze met de tekens die we gebruiken bij het denken, bewijzen en rekenen, te vereenzelvigen. De balletjes van de abacus, de formules, het zijn tekens die we manipuleren als we rekenen.

We kunnen de werkelijkheid ordenen, waardoor ze een wiskundige structuur heeft. Dat wijst op een zekere potentie, geschiktheid, van de werkelijkheid: deze is telbaar, deelbaar in delen, we kunnen dingen groeperen, classificeren, etc. Door deze onderdelen vast te houden door ze te benoemen kunnen ze komen te staan voor ideële wiskundige objecten. Een verzameling of rijtje balletjes, of een rijtje cijfers op papier, staat voor een bepaald getal. Van de structurele correspondentie tussen de fysische werkelijkheid en de mathematische objecten maken we technisch gebruik. Door de natuur op een bepaalde manier in te richten kunnen we deze voor ons laten werken. Vanwege het feit dat het werktuig of het teken een representatie is voor ons van een wiskundige constructie kunnen we er mee rekenen. Daarmee heeft het werktuig een zelfstandige eigen werking (het ontwerp ervan), zoals de getekende driehoek een driehoek is omdat wij dat zo zien.

In de rekenmachines, werken de wiskundige tekens voor ons. Zonder de ‘taal-revolutie’ in de wiskunde en de filosofie, die zich eind 19de, begin 20ste eeuw voltrok (Frege, Russell, Hilbert, Wittgenstein) als reactie op de grondslagencrisis; zonder de meta-mathematica en de mathematische logica, waarin het wiskundig denken zelf onderwerp van wiskunde werd (via de formalisering van de taal van de wiskunde en de logica), hadden we nu geen programmeerbare automaten.

Natuurlijk is wiskunde geen taal. Hooguit construeert de wiskunde een taal om over haar zaken te kunnen redeneren. Een echte taal is iets waarin mensen met elkaar communiceren en zich voor elkaar verstaanbaar maken. De wiskunde taal kan hooguit gebruikt worden om met machines te communiceren. Het is een machine-taal waarin de tekens en expressies een eenduidige betekenis hebben, zodat je kunt rekenen op de werking van de machine wanneer je die een opdracht geeft. In die zin is deze taal een werktuig.

Een mens is geen machine en daarom is de wiskunde taal geen taal. Hooguit een “taal”. De aanhalingstekens wijzen op een belangrijke eigenschap van onze taal, namelijk dat de woorden en uitdrukkingen erin, niet eenzinnig zijn, zoals in de wiskunde, maar veelzinnig. Die veelzinnigheid is geen gebrek van de taal, maar een wezenlijk kenmerk van het open karakter dat de openheid van de menselijke geest reflecteert.

Dat de mens geen machine is, dat heeft niet zozeer te maken met het feit dat de mens niet zo goed kan rekenen als een machine, maar eerder nog omdat hij een lichamelijk wezen is dat zich lichamelijk in een wereld, waarover hij kan denken en praten, gesitueerd weet. Machines hebben dat niet. Dat zijn geen lichamelijke wezens zoals wij mensen en andere levende wezens. Probeer met een machine maar eens een gesprek te voeren waarin je gebruik maakt van zoiets als “Gisteren zei je dat je het “morgen” zou doen?” Gisteren? Hoe laat is het? Waar ben ik? zal die machine ‘zich’ afvragen.

De natuurkundige van het Twitterbericht merkt op dat wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap is om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. De vraag is waarom dit zo is.

De gedachte dat wiskunde een taal is en dat rekenen en bewijzen manipuleren van taaleenheden is (‘formule manipulatie’) volgens bepaalde formele regels, deze idee is vooronderstelt in de ‘intelligente’, rekenende en denkende machines. Dat zijn processen die zich afspelen in constructies die we zodanig gemaakt hebben dat ze door ons gezien kunnen worden als denk- en rekenprocessen. De opdracht “3 + 4” ingetikt op het toetsenbord brengt een proces tot stand (‘toestandovergangen’ van het machinesysteem) dat resulteert in een toestand waarin tekens op het scherm staan die we zien als antwoord op deze wiskundige som. De wiskunde taal past op de rekenmachine als de sleutel op het slot.

Een goed begrip van de kunstmatige intelligentie vereist inzicht in de uitwendigheid en de kenmerkende eenzinnigheid van de taal van de wiskunde. In de programmeerbare machine komt de zelfreflectie van het wiskundige denken, een reflectie via de tekentaal van de wiskunde op fysische wijze tot uitdrukking. In die zin is de computer een ‘werkend teken’.

De machine kent het fenomeen aanhalingsteken niet. Alles wat de machine zegt moeten we zien als tekst die tussen aanhalingstekens staat. De machine kent slechts eenzinnige tekens, ze kan niet denken in analogieën en metaforen.

De machine toont de zin. Het is aan ons, aan de lezer of hoorder, de zin erin te herkennen.

Het gelijkheidsbeginsel

In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het nu over het gelijkheidsbeginsel.

Gelijkheid

“De ervaring is de enige bron van de waarheid: zij alleen kan ons iets nieuws leren; zij alleen kan ons zekerheid geven.” Aldus de wiskundige en fysicus Henri Poincaré (1854-1912) in zijn essay De Hypothesen in de Fysica (1902). De vraag die Poincaré aan de orde stelt is wat de mathematische fysica toe te voegen heeft aan de ervaringen die in de experimentele fysica worden opgedaan. Kan de fysica niet zonder wiskunde? Kunnen we ons niet tevreden stellen met de onverwerkte ervaring? Zijn antwoord is: nee. De reden die Poincaré hiervoor geeft is dat de wetenschapper de feiten moet ordenen, zoals men een huis bouwt door de bouwstenen te ordenen. Een verzameling feiten is geen wetenschap, net zo min als een stapel stenen een huis is.

Het is de taak van de wiskundige uit de feiten een algemene theorie op te stellen door generalisatie. Maar waarom neemt in de natuurwetenschappen de generalisatie zo gemakkelijk een wiskundige vorm aan? Dat komt, zegt Poincaré, “omdat het waarneembare feit veroorzaakt wordt door superpositie van een groot aantal elementaire verschijnselen, die allemaal op elkaar lijken“. Het is niet voldoende dat ieder elementair verschijnsel aan eenvoudige wetten gehoorzaamt; het is ook nodig dat alle te combineren verschijnselen aan dezelfde wet gehoorzamen. Dan alleen kan de hulp van de wiskunde nuttig zijn. De wiskunde leert ons inderdaad het gelijke met het gelijke te combineren. Wiskunde, ooit weleens stelkunde genoemd, wordt wel de wetenschap van het gelijkteken (=) genoemd.

Kort gezegd: de toepassing van de wiskunde in de natuurwetenschap berust op het gelijkheidsbeginsel. Door toepassing van de wet van de grote aantallen die we als hypothese aannemen, kunnen we nu algemene wetten opstellen, zoals bijvoorbeeld de wetten van Boyle en Gay-Lussac van de gastheorie. Op dezelfde manier komen we door eerst in te zoemen op atomair niveau en vervolgens te generaliseren tot wetten die de verspreiding van een virus beschrijven of het transport van warmte.

Maar op grond waarvan weten we dat het gelijkheidsbeginsel van kracht is? Hoe weten we dat twee dingen of verschijnselen gelijk zijn? Is niet ieder feit uniek? In hoeverre dringen we de natuur dit beginsel niet op; als een soort wet waaraan ze zich moet houden. Maar kan dat zo maar, zonder de natuur geweld aan te doen?

Hoe natuurlijk is gelijkheid? Als we zeggen dat ieder feit uniek is dan hebben we ze al wel als feit aan elkaar gelijk gesteld. Is het gelijkheidsbeginsel niet noodzakelijk om te kunnen voortbestaan? Het onderscheid tussen dit en dat, tussen wat wel en niet er toe doet, veronderstelt immers al de continuiteit en daarmee de gelijkheid van dat wat waarin het verschil bestaat. Zonder gelijkheid zouden we elk moment opnieuw moeten beginnen. En zelfs dat is dan onmogelijk, want waaraan zouden we beginnen als er geen vervolg is. Het gelijkheidsbeginsel is uiterst nuttig.

Niet alleen in de natuurwetenschappen stellen we dat het gelijkheidsbeginsel geldt. Dat doen we ook in de samenleving. Niet in de eerste plaats omdat het nuttig is om van dit beginsel uit te kunnen gaan, maar omdat het rechtvaardig zou zijn. Hoe rechtvaardig is het?

Politiek

Het gelijkheidsbeginsel is zowel in de mathematische fysica als in de politiek een beginsel waarvan we uitgaan zolang de natuur zich er niet tegen verzet. Wij hebben een goed ontwikkeld gevoel voor de rechtvaardigheid van regels die de overheid ons oplegt. Die moeten gebaseerd zijn op het gelijkheidsbeginsel, gelijke monniken gelijke kappen. Bovendien moeten de regels consistent zijn. Net als de gestelde axioma’s van een wiskundige theorie mogen de regels die de overheid opstelt niet tot tegenstrijdigheden leiden. De regels bepalen wat wel en wat niet als gelijk beschouwd wordt. Zo zijn er corona-maatregels die gelden voor alle kapperszaken en andere regels voor alle fysiotherapeuten en weer andere voor werkenden in verzorgingshuizen. De regels mogen niet willekeurig zijn. Ze moeten logisch zijn, dat wil zeggen ze moeten redelijk zijn gegeven het doel dat de regels dienen.

Dat doel is zowel in de wetenschap als in de politiek dat we gezond voort kunnen bestaan als gezond denkende mensen. Men zegt mens sana in corpore sano, maar een gezond lichaam kan evenmin zonder een gezonde geest. We moeten dus onze gezonde geest gebruiken om in te zien waar de grenzen liggen van het gelijkheidsbeginsel dat we hanteren. Ofwel: wat we nog redelijkerwijs als gelijk mogen stellen.

Broederschap

De gelijkheid die we in de samenleving nastreven is een meer ontwikkelde vorm van gelijkheid dan die van de mathematische fysica. Deze ontwikkelde vorm van gelijkheid is die van de broederschap. De broers willen gelijk behandeld worden door de vader maar ze willen zich ten opzichte van elkaar onderscheiden en daarin zijn ze gelijk. Voor de moeder zijn de broers totaal verschillend. Niettemin vindt ze dat ze de broers gelijk moet behandelen ook al kost haar dat erg veel moeite omdat ze zo verschillend zijn. De vader is van mening dat de broers zelf onderling maar moeten uitzoeken wat rechtvaardig is en wat ieder van hen toekomt. De jongere claimt dezelfde rechten als de oudere bij de vader, maar tevens de bescherming van de moeder. De oudere voelt zich verantwoordelijkheid voor de jongere en claimt de vrijheid van de volwassene.

Lokaliteit en Globalisering

In de fysica gaan we vaak uit van het principe van lokaliteit. Zo nemen we aan dat atomen in een gas slechts beinvloed worden door atomen die dicht in de buurt liggen. Ook bij de verspreiding van een virus gaan we uit van dit principe: alleen mensen die in de buurt van elkaar komen kunnen het virus op elkaar overdragen. Deze lokale interacties op atomaire schaal vormen de basis voor een theorie en model voor het grotere geheel. Door gebruik te maken van de wet van de grote aantallen kunnen we algemene statistische wetten opstellen over het totale verschijnsel op macro-niveau.

Toepassing van het gelijkheidsbeginsel in de politiek moet rekening houden met de beperkte mate waarin het principe van lokaliteit in de samenleving nog geldig is. Dat komt door de globalisering. De mensen kijken over de grenzen van de natie heen. De burger wordt meer en meer wereldburger. De broeders verschillen van huidskleur en traditie. Het Maxwell-duiveltje heeft de sluizen tussen de verschillende nationale compartimenten van de wereld al open gezet. De politiek kan daar niet bij achter blijven.

Bronnen

Henri Poincaré (1902). De Hypothesen in de Fysica. In de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, Amsterdam, 1979.

Even voorstellen

Ik ben van 1952.

Het jaar waarin Aad van Wijngaarden, directeur van het Mathematisch Centrum de ARRA = Automatische Relais Rekenmachine Amsterdam, de eerste Nederlandse rekenmachine, aan pers en politiek laat zien.  (zie de documentaire De ARRA herinnerd  van o.a. computerhistoricus Gerard Alberts: “die ARRA deed het niet”).

In 1952 wist ik nog niet hoe zeer de computer mijn leven en denken zou gaan bepalen. Ik ging naar de Rijks Hogere Burger School aan het Zaailand in Leeuwarden. De belangrijkste prestatie in vijf jaar was het winnen van het Zilveren Schildtoernooi, een jaarlijks voetbaltoernooi tussen schoolteams van een aantal Friese HBS-en en  lycea. Voetbal was mijn lust en mijn leven maar ik besloot te gaan studeren aan de Technische Hogeschool Twente. Na de tweejarige algemene propedeuse besloot ik bij Toegepaste Wiskunde te gaan studeren mede gestimuleerd door mijn buurman Rouke Henstra. Na mijn baccalaureaats in de diskrete wiskunde en grafentheorie (ook ik heb vele uren geworsteld met het vierkleurenprobleem) ging ik theoretische informatica studeren. Ik volgde colleges digitale techniek bij Gerrit Blaauw, medeontwikkelaar van de ARRA II, een echt werkende opvolger van de ARRA, en programmeertalen bij Arie Duijvestein, eerst Algol60, later Algol68. In het college Informatietheorie van Dirk Kleima maakte ik voor het eerst kennis met het statistisch entropiebegrip in het kader van de communicatietheorie van Shannon en Weaver en leerde ik het Maxwell-duiveltje kennen. Colleges formele talen en automatentheorie en semantiek van programmeertalen volgde ik bij Joost Engelfriet en Leo Verbeek. Ik volgde verschillende colleges bij de onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen: ethiek (Paul van Dijk) , wetenschapsfilosofie (Errit  van der Velde).  Met docent Pieter Tijmes gingen we op studiereis (we lazen ter voorbereiding Marx en Engels en de staatskrant Neues Deutschland) naar de DDR waar we o.a. Buchenwald bezochten. De colleges van Louk Fleischhacker, wiskundige, logicus en filosoof, spraken mij erg aan:  klassieke en mathematische logica, axiomatische verzamelingenleer en filosofie van wiskunde en techniek.  Hij stimuleerde mij om af te studeren op een theoretisch onderwerp: de betekenis van de zelf-applicatie van functies, een fenomeen in de theoretische informatica dat volgens Louk de wiskundige uitdrukking is van de als autonoom gedachte techniek.  Via Louk maakte ik kennis met het werk van een van de belangrijkste Nederlandse filosofen:  Jan Hollak (zijn inaugurele rede “Van Causa Sui tot Automatie” uitgesproken bij de aanvaarding van ambt als hoogleraar wijsbegeerte in Nijmegen (1968) is een bron van inspiratie voor inzicht in de betekenis van techniek vanuit antropologisch perspectief.)  De studiebijeenkomsten “filosofie van de techniek” onder leiding van fysicus en filosoof Maarten Coolen aan de universiteit van Amsterdam waren voor mij een welkome afwisseling met de technische colleges aan de TH in Twente.   Ik liep stage bij IBM in Tel Aviv. “Is er ook zoiets als niet toegepaste wiskunde?” vroeg de man die mij bij IBM verwelkomde, toen ik vertelde dat ik toegepaste wiskunde studeerde. Van de wiskunde vakken had ik het meeste moeite met het vak kansrekening en statistiek dat aan de TH Twente door wiskundigen werd gegeven. Pas na vier pogingen had ik eindelijk een voldoende voor het tentamen.  Vaak proberen vergroot de kans op een voldoende. Wat weerstand biedt en moeite kost te begrijpen heeft kennelijk een bijzondere aantrekkingskracht: dat geldt zowel voor het werk van Hollak en Fleischhacker (die bij Hollak promoveerde: “Over de grenzen van de kwantiteit”)   als voor de statistiek.

Na mijn afstuderen deed ik vervangende dienst waartoe ik als erkend gewetensbezwaarde verplicht was. Daarna was ik vier jaar docent wiskunde en natuurkunde aan het Kottenpark College in Enschede, waar ik samen met collega Henry Ruizenaar de eerste lessen programmeren voor enthousiaste leerlingen ontwikkelde.  Ik werkte twee jaar bij de onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen. Hoewel het onderwijs geven me goed beviel trok de wetenschap me meer en ik werd promotiemedewerker bij Anton Nijholt hoogleraar theoretische informatica aan de THTwente. Vier jaar sloot ik me op om mij te bekwamen in het bewijzen van de correctheid van algoritmes voor het ontleden en implementeren van computerprogramma’s. Een saaier proefschrift dan mijn “Parsing Attribute Grammars” is nooit verschenen.

Na mijn promotie werd ik docent aan de Universiteit Twente: compilerbouw, functioneel programmeren (in Miranda) en formele analyse van natuurlijke taal. Mijn belangstelling ging vooral uit naar taal en techniek.  De Parlevink groep die zich in eerste instantie vooral bezig hield met talige interaktie tussen mens en machine ontwikkelde zich onder aanvoering van Anton Nijholt tot de groep Human Media Interaction waarin alle mogelijke vormen van interaktie tussen mens en computer werden bestudeerd. De computer interface kreeg geleidelijk aan een steeds menselijker gedaante.  Want zoals Louk eens tegen me zei: als je de taal van de mens wil formaliseren dan moet je de hele mens formaliseren. Sociologen en sociaal psychologen als Schegloff, Goffman (“The presentation of self in everyday life”) en Argyle hadden in de jaren vijftig de kleine gedragingen (tiny behaviours, zoals het ophalen van de schouders of wenkbrauwen, het lachen, kijkgedrag ) geconstrueerd (of geidentificeerd, hoe je het ook wilt zien) als onderwerp van een nieuw wetenschappelijk domein. Het zijn de observeerbare buitenkanten die we los kunnen denken van de persoon en waarbij we afzien van de persoon.  Op dezelfde manier waarop in de taalwetenschap al veel eerder de talige zinnen los kwamen te staan van de spreker en de concrete situatie waarin deze wordt geproduceerd. Deze abstractie is de mogelijkheidsvoorwaarde voor de natuurlijke interfaces in de vorm van avatars, voor de machines die onze taal gaan spreken, de robots die onze gebaren overnemen. Van dit uitwendige karakter van de taal van de techniek worden we ons meer en meer bewust. De autonome kunstmatig intelligente techniek is tegelijkertijd hoogtepunt en eindpunt van de in onze westerse cultuur die beheerst wordt door het mathematische denken en een kenniseconomie.

De bruikbaarheid van technische systemen is vakgebied geworden. Mijn belangstelling gaat uit naar die plekken waar mens en technisch systeem elkaar ontmoeten.