Tag: Wiskunde

Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië zijn Elementen. Het werk wordt beschouwd als het begin van de axiomatisering van de meetkunde. Het oorspronkelijk in het Grieks geschreven document is in vele talen vertaald en verschenen. Het bevat de basis van de meetkundige kennis zoals die nog steeds op de middelbare school onderwezen wordt als onderdeel van het wiskunde-curriculum.

De opbouw van de inhoud van de Elementen is axiomatisch en Euclides begint met het definiëren van de grondbegrippen punt en lijn. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan komt de vierde, Euclides’ definitie van de rechte lijn.

“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Dit is de ‘raadselachtige’ formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).

In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke Euclidische tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)

De vraag die onmiddellijk opkomt is: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Mogen we concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde (‘krommen’). Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen.

Wanneer we meetkunde beoefenen dan stellen we een lijn voor door een zo recht mogelijke (potlood)streep op papier, eventueel met behulp van een liniaal. De meetkunde gaat niet over de getekende lijnen. Dat zijn slechts voorstellingen van de eigenlijke objecten waar het over gaat. Ook Euclides was zich daarvan bewust. In de meetkunde gebruiken we tekeningen van lijnen, driehoeken en circels om de redeneringen waarmee we een meetkundige stelling bewijzen te ondersteunen. Euclides gaat het om de logische opbouw van de kennis van de relaties tussen de wiskundige objecten.

Velen hebben zich afgevraagd hoe we Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn moeten begrijpen. Wat had Euclides voor ogen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die lijkt ons indirect te wijzen naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Maar afgezien daarvan, Euclides wist dat hij geen natuurwetenschap bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste.

Dijksterhuis’ ‘verklaring’ van de ‘raadselachtige’ formulering lijkt op die van de Franse natuurkundige en filosoof Henri Poincaré. Deze merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden, zonder deze te bewijzen. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.

“Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn.” (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). 

Wanneer je twee punten van een star lichaam, zoals een houten lat vastzet en vervolgens het lichaam zodanig draait dat de beide punten op hun plaats blijven dan blijven ook de tussenliggende punten van het lichaam op hun plaats. Deze liggen op een rechte lijn door de twee vaste punten.

Maar had Euclides werkelijk zoiets in gedachten toen hij zijn definitie gaf? Wij kunnen het hem niet vragen. Met zijn ‘negatieve’ formuleringen van de definities van de grondbegrippen punt en lijn: een punt is “dat wat geen delen heeft“, een lijn is “een lengte zonder breedte“, lijkt Euclides uitdrukkelijk aan te geven dat deze begrippen niet verwijzen naar de zintuiglijk waarneembare werkelijkheid van de lichamelijke dingen.

Opmerkelijk is dat Euclides Plato’s definitie van de punt, zoals Aristoteles die geeft niet overneemt. Plato’s omschrijft de punt als: “een punt is een object met een positie in de ruimte maar zonder afmetingen”. Euclides definitie heeft het niet over positie, alleen over ondeelbaarheid. Vond hij Plato’s definitie nog te fysisch, niet mathematisch genoeg? Zoals hij ook de definities van de rechte lijn nog te onzuiver vond, te veel gebonden aan de waarneembare werkelijkheid?

Euclides definieert de rechte niet door lengte, afstand of optimaliteit, maar door een soort interne consistentie: de lijn ligt “op dezelfde wijze” ten opzichte van al haar punten.

Toen in de tijd van de Grieken de mathematiek onderwerp van filosofisch onderzoek werd, was de belangrijkste ontdekking dat zij geen natuurwetenschap is. De meetkundige lichamen en figuren zijn zelfstandige, primaire beelden van de ideeënwereld en geen afbeeldingen, die door het kopiëren of beschrijven van meetkundige eigenschappen van materiële lichamen van de natuurlijke buitenwereld zouden zijn ontstaan (Imre Tóth, 1972).

Maar hoe moeten we de raadselachtige definitie dan verstaan? Hebben we tot nu toe niet teveel vastgehouden aan de standaard voorstelling van lijnen door middel van een zo recht mogelijke getekende streep, een voorstelling zoals we die kennen uit de schoolboeken. Moeten we die voorstelling niet los laten om de bedoeling van Euclides definitie van de rechte lijn te verstaan? Maar waar moeten we dan aan denken? Toen ik met deze vraag worstelde las ik een notitie van Dijkgraaf, de minister van OCW aan de kamer over het mbo onderwijs.

Het kortste kronkelpaadje van de levenslijn

De fysicus en voormalig Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf merkte in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) op: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.”

Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht, en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en voor schoolse curricula.

Het woordje ‘achteraf’ is van belang. Vooraf of nog onderweg is het eindpunt niet bekend. ‘Wat is de kortste weg van a naar b als je niet weet wat b is?’ Dat is de vraag die Dijkgraaf opwerpt in zijn boek “Het nut van nutteloos onderzoek” (2012), waarin hij een lans breekt voor het creëren van ruimte voor zuiver wetenschappelijk onderzoek. Voor het zoekend gedrag van wetenschappers en kunstenaars die niet weten of slechts een vaag idee hebben waar ze naar zoeken en of het resultaat nuttig zal zijn.

Dijkgraafs kortste kronkelpaadje opent een geheel nieuw perspectief op Euclides’ definitie van de rechte lijn. Daarbij neem ik aan dat de rechte lijn die twee punten met elkaar verbindt ook de kortste lijn is. Maar betekent dat ook dat de kortste weg tussen twee punten ook een, of zelfs dé enige, rechte weg is? Maar wat is kort?

Het kortste pad tussen twee punten is niet altijd een ‘recht’ pad te zijn in meetkundige zin. Het hangt af van de ruimte waarin we de zaak beschouwen. Als het gaat om de kortste tijdsduur waarin de afstand tussen de punten overbrugd wordt, spreken we van een brachistochrone kromme. Deze kromme van snelste daling is de lijn tussen twee punten A en B, waarbij B lager dan, maar niet recht onder A ligt, waarover een wrijvingloos glijdend voorwerp binnen zo kort mogelijke tijd van het begin- naar het eindpunt beweegt, onder invloed van de zwaartekracht.

Heath bespreekt oude interpretaties van het begrip rechte lijn, vooral die van Proclus, die probeerde de definitie te verbinden met het idee dat een rechte lijn de minst mogelijke afstand tussen twee punten inneemt. Proclus legt uit dat rechte lijnen niet meer lengte opnemen dan strikt noodzakelijk tussen twee punten, wat aansluit bij latere vormen van het “kortste pad”-begrip.

Heath noemt ook de beschrijving van Plato (bijv. in Parmenides) als “dat waarvan het midden de uiteinden bedekt”. Deze visuele manier om rechtheid te karakteriseren doet denken aan de formulering van Dijksterhuis. Heath verwijst ook naar Aristoteles’ gebruik van een soortgelijke omschrijving in zijn Topics.

Heath betoogt dat Euclides’ woorden niet geïsoleerd staan, maar deel uitmaken van een bredere Griekse traditie waarin “rechtheid” nog niet werd geassocieerd met het moderne idee van kortste afstand.

Heath benadrukt dat de precieze betekenis van ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ’ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται niet eenvoudig te vatten is in moderne termen — en dat latere commentators soms verschillende interpretaties probeerden. Sommige leggen nadruk op gelijkmatige ligging. Anderen, zoals Proclus, proberen er het idee van geen extra afstand of geen onnodige buiging in te zien. (zie Heath over Euclides)

Is de rechte lijn de kortste verbinding tussen twee punten? Archimedes beschouwde het als een eigenschap van de rechte lijn tussen twee punten de kortste afstand te zijn. Volgens Heath gebruikte Legendre deze Archimedische eigenschap als definitie.

Legendre uses the Archimedean property of a straight line as the shortest
distance between two points. Van Swinden observes (Elemente der Geometrie,
1834, p. 4), that to take this as the de nition involves assuming the proposition
that any two sides of a triangle are greater than the third and proving
that straight lines which have two points in common coincide throughout
their length (cf. Legendre Elements de Geometrie, i. 3, 8).
The above definitions all illustrate the observation of Unger (Die Geometrie
des Euklid, 1833): Straight is a simple notion, and hence all definitions
of it must fail. . . . But if the proper idea of a straight line has once been
grasped, it will be recognised in all the various de nitions usually given of
it; all the de nitions must therefore be regarded as explanations, and among
them that one is the best from which further inferences can immediately be
drawn as to the essence of the straight line.”

Terug naar Euclides raadselachtige definitie

De oorspronkelijke Griekse formulering is:

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

( Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai )

Vertaald: A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.

Het Griekse εὐθεῖα wordt vertaald als recht, wat een veel ruimere betekenis heeft dan alleen in de zin van ‘een rechte lijn’ in meetkundige zin. In de Griekse versie van Handelingen 8.21 komt het voor in een tekst die vertaald wordt als: “Gij hebt geen deel noch lot in dit woord, want uw hart is niet recht voor God.”

Bij Aristoteles komen we op verschillende plaatsen omschrijvingen tegen van het begrip recht. In Ethica Nicomachea V (over rechtvaardigheid) gebruikt Aristoteles expliciet geometrische beelden. Hier is “recht” niet metrisch, maar normatief: de rechte lijn staat voor datgene wat zonder afwijking met de maat overeenkomt. Rechtvaardigheid is handelen “langs de rechte lijn”. Een rechte lijn is een goede lijn.

De volgende definitie is overgeleverd via Aristoteles.

“Een rechte lijn is dat waarvan het midden de uiteinden bedekt.”
(τὸ τὸ μέσον τὰ ἄκρα κρύπτει)

Aristoteles schrijft deze formulering expliciet toe aan Plato. Heath merkt hierover op: “This definition is ingenious, but implicitly appeals to the sense of sight and involves the postulate that the line of sight is straight.“

Euclides’ definitie: “Een rechte lijn is een lijn die gelijkmatig ligt ten opzichte van haar punten,” past in het Aristotelische denken. Het gaat niet om de kortste afstand, maar om innerlijke consistentie, niet-afwijkend. Een rechte lijn is die lijn waarvan elke punt noodzakelijk is voor het geheel.

Bij Aristoteles is “recht / rechtlijnig” (εὐθύς, euthys) geen louter geometrisch begrip, maar ook een normatief idee. Dat maakt duidelijk waarom Euclides’ definitie in de Griekse denkwereld zo natuurlijk kon klinken.

Het idee dat een rechte lijn de “kortste weg” is, lijkt vanzelfsprekend te zijn geweest voor Griekse wiskundigen en filosofen. Het werd gebruikt zonder expliciete definitie of bewijs. Aristoteles zegt expliciet dat: de rechte lijn de kortste is tussen twee punten (o.a. in Physica). Voor hem is dit geen stelling die bewezen moet worden, maar iets dat zo evident is dat het als uitgangspunt dient.

Uit het feit dat Euclides in geen enkel bewijs in de Elementen direct gebruik maakt van zijn definitie van de rechte lijn, – Proclus merkte dit al op -, mogen we opmaken dat voor hem definities geen definities zijn in de moderne logische zin, maar bedoeld als verhelderende beschrijvingen. Niet de definities, maar de postulaten vormen de basis voor bewijzen van theorema’s.

Waar gaat Euclides’ Elementen eigenlijk over?

Wie de geschiedenis van de wetenschap beschrijft hoede zich ervoor het verleden te lezen als voorbereiding op het heden. Wie hedendaagse betekenissen van woorden kritiekloos gebruikt om vroegere verschijnselen te beschrijven maakt zich schuldig aan het bedrijven van Whig-history. Een treffend voorbeeld daarvan geeft Kuhn, de historicus van ‘de revolutie in de wetenschap’. De vraag ‘hoeveel van de zeventiende-eeuwse mechanica reeds bekend was bij Aristoteles’ deugt volgens hem niet. Waarom niet? Omdat het kernbegrip van de mechanica, ‘beweging’, een heel andere inhoud heeft, namelijk verandering van plaats, dan het had voor Aristoteles. Voor de laatste had beweging een veel ruimere betekenis. Het heeft betrekking op de ontwikkeling van het leven, de groei van planten en dieren. Vragen die betrekking hebben op de kennis die voor het begin van de periode van de mathematisering van de wetenschap heerste kunnen niet in termen van tegenwoordig gesteld worden.

Een ander voorbeeld is het gebruik van de termen ‘feit’ en ‘informatie’. Volgens de historicus David Wootton bestonden feiten, zoals wij die kennen, niet voor 1700. In de Invention of Science schrijft hij:

“We take facts so much for granted that there have been few attempts to write their history, and none of them satisfactory. Yet, our culture is as dependent on facts as it is on gasoline. It is almost impossible to imagine doing without facts, and yet there was a time when facts did not exist.” (Wootton, 2016, p.252)

Ook het nauw aan het begrip ‘feit’ gerelateerde begrip ‘informatie’ bestond niet in de zin waarin wij het nu kennen. Het begrip heeft een meer technische lading gekregen, dan het informeren in de ‘letterlijke’ zin van ‘vorm geven aan iets materieels’.

Bedrijven wij geen ‘Whig-history’ wanneer we proberen het werk van Euclides te zien als voorbereiding van de huidige meetkunde en wanneer we het onderwerp van zijn studie identificeren met dat van de moderne meetkunde? In de ontwikkeling van de wetenschap hebben wiskunde, fysica en biologie elk hun eigen terrein af proberen te bakenen. Ze kregen elk hun eigen onderwerp. Wiskunde is geen fysica en fysica is geen biologie. Voor de Griekse tijd bestonden deze verschillende disciplines niet als zodanig. Had Euclides niet een veel ruimer begrip van punt en lijn, zoals ook het begrip beweging bij Aristoteles een veel ruimere betekenis heeft dan in de hedendaagse mathematische mechanica?

In Euclides tijd waren wiskunde en filosofie zeer nauw met elkaar verweven. Sommige denkers, waaronder Plato, werd door Aristoteles verweten dat ze wiskunde voor de ware filosofie hielden. Het verhaal gaat dat een voordracht van de Akademie die volgens de aankondiging over ‘het Goede’ zou gaan, over getallen, meetkunde en astronomie bleek te gaan. Het goede is één, aldus Plato.

Maar wat is één? Een traditioneel Grieks filosofisch probleem betreft de verhouding tussen eenheid en veelheid. Euclides’ moeten we in die Griekse traditie plaatsen.

De rechte lijn als de identiteit van eenheid en veelheid van punten

Op enig moment kijkt iemand terug naar de beslissende momenten in zijn leven en vraagt zich af hoe zijn leven was verlopen als hij anders had gekozen dan hij heeft gedaan. Maar had hij anders gekozen dan was hij ook iemand anders geweest dan hij nu is.

De veelheid van punten enerzijds en de eenheid van de lijn anderzijds verhouden zich bij Euclides zoals de momenten van het leven tot dat van de levenslijn, de identiteit die in het unieke levende individue tot uiting komt. Dat leven is zijn eigen maat. Er zijn geen momenten die niet op die lijn liggen omdat de identiteit van de lijn achteraf door de momenten bepaald is. Hier herkennen we de noodzakelijkheid van de punten van de lijn, waar Aristoteles op wijst. De ‘rechte rede’ is de redenering waarin iedere stap noodzakelijk is. De veelheid van punten van een lijn en de eenheid van de lijn zijn twee perspectieven op eenzelfde fenomeen. Recht is wanneer deze twee samenvallen, wanneer de punten samenvallen met de lijn. De rechte weg is de eigenlijke weg.

Wanneer we Euclides’ definitie van de rechte lijn vergelijken met de definitie die Cantor vele eeuwen later gaf van het wiskundig begrip verzameling (‘Menge’) dan zien we een overeenkomst, maar ook een belangrijk verschil. Ook het wiskundig begrip verzameling duidt zowel een eenheid als een veelheid aan. De verzameling is een eenheid die samenvalt met de elementen die er toe behoren. Toch is een lijn als object in een ruimte iets anders dan een willekeurige verzameling. De punten van een lijn zijn immers geordend. De lijn is als verhouding tussen eenheid en veelheid iets concreters dan de verzameling. Bij de laatste zijn de elementen immers ongeordend. We stellen de verzameling voor door een cirkel of ei-vorm waarin op willekeurige posities een aantal punten zijn getekend. De punten op een lijn hebben als punten van de lijn een ordeningsrelatie: punt C ligt tussen de punten A en B. Het midden ligt tussen de uiteinden van een lijnstuk. Een definitie van het lijnbegrip op basis van het moderne verzamelingbegrip zal die ordeningsrelatie moeten vastleggen.

Er zijn in de loop van de geschiedenis ‘alternatieve’ interpretaties van de Euclidische grondbegrippen punt en lijn onderzocht. Veelal in verband met pogingen de onafhankelijk van het parallellenpostulaat te bewijzen. Volgens Euclides’ parallellenpostulaat gaat door een punt buiten een gegeven lijn slechts één lijn die evenwijdig is aan die lijn.

Er zijn niet-euclidische ruimtes waarin geldt dat door een punt buiten een gegeven lijn geen lijn gaat parallel aan die lijn (hyperbolische ruimtes) en niet-euclidische ruimtes (elliptische) waarin geldt dat door een punt buiten een gegeven lijn er twee (en dus oneindig veel) lijnen gaan die parallel lopen aan de gegeven lijn. De euclidische meetkunde heet ook wel parabolische meetkunde.

Riemann kwam tot een interpretatie van punt en lijn zodanig dat geldt: Elke twee lijnen snijden elkaar in een punt. Dit levert een meetkunde die niet-Euclidisch is: het parallellenpostulaat geldt niet. Die interpretatie gaat zo:

“lijn” wordt: een grote cirkel op een bol.

“punt”: een paar diametraal tegenover elkaar liggende punten op een bol.

Poincaré bewees dat Riemanns bolmeetkunde consistent is als Euclides ‘vlakke ‘ meetkunde dat is.

Als de kortste verbinding tussen twee punten een rechte lijn is, dan geldt dit ook op een boloppervlak. Maar wat voor een bewoner van het boloppervlak een ‘rechte’ lijn is, is vanuit het perspectief van iemand die de bol van buiten bekijkt een kromme lijn. Voor deze buitenstaander is het kortste pad tussen twee punten op een bol, de lineaalrechte lijn tussen A en B. Maar deze lijn bestaat in de ruimte van het boloppervlak helemaal niet! Wat het kortste pad is tussen twee punten dat wordt bepaald door de vorm van de ruimte. En als we vasthouden aan de idee dat het kortste pad de rechte lijn is dan is dus wat een rechte lijn heet relatief met betrekking tot de vorm van de ruimte.

Er zijn allerlei modellen geconstrueerd om de onafhankelijkheid of de equivalentie van verschillende axioma’s te bewijzen. Bijvoorbeeld: of Euclides 5de postulaat equivalent is met de bewering dat de hoekensom 180 graden is (of beter: gelijk is aan twee rechte hoeken – Euclides kent geen metriek) hangt af van de vraag welke andere axioma’s je mag aannemen. Dit soort vragen wordt beantwoord door de constructie van een model waarin bepaalde axioma’s wel, andere niet gelden. Hilbert heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan dit soort onderzoek. Er zijn dus meetkundige modellen (een Hilbert plane) waarin de hoekensom 180 graden is maar waarin Euclides’ parallellenpostulaat niet geldt.

Een reiziger die zich optimaal door de ruimte beweegt laat het pad dat hij volgt door de structuur van de ruimte bepalen. Het pad dat deze aflegt wordt bepaald door allerlei factoren die samen een soort ‘krachtenveld’ vormen. Zo wordt het pad dat de grutto op weg naar het zuiden in het najaar en weer terug naar het noorden in het voorjaar, bepaald door de lokaal heersende winden, de termiek, en door de aanwezigheid van voedsel en vijanden. Deze krachten maken de ruimte waarin de trekvogel zich beweegt. Gegeven de vorm van dit krachtenveld is de door de trekvogel afgelegde weg de kortste weg van de zuidelijke streken waar deze overwintert naar de noordelijke broedgebieden in de zomer.

Conclusie

Concluderend kunnen we zeggen dat Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn: ‘een rechte lijn is een lijn die samenvalt met alle punten die er op liggen’ – voortbouwt op de Griekse traditie ten tijde van Plato, maar geheel in lijn met de zelfbewustwording van de mathematische geest die toen plaats vond, poogt te abstraheren van de concrete waarneming (zichtlijn) om de nadruk te leggen op de inhoudelijke relatie tussen punt en lijn. Geheel in lijn met de Griekse traditie duidt ‘recht’ niet alleen een geometrisch begrip, maar tevens een ethisch/normatief begrip aan. Wat recht is, is juist. De definitie van Euclides’ rechte lijn is invariant geldig voor iedere ruimte, welke metriek we daar ook aan opleggen. Hij drukt uit dat de rechte lijn zowel eenheid is van de lijn als continue lijn en de lijn als bepaald door de veelheid van punten die erop liggen. Voor Euclides is de rechte lijn niet de kortste verbinding tussen twee punten. Afstand wordt gemeten met een maat die aan het gemetene als het ware van buiten wordt opgelegd. Voor Euclides bestond zo’n maat niet. De rechte is haar eigen maat. Het Euclidische van zijn meetkunde zit hem in de propositie dat in iedere driehoek de directe lijn tussen twee hoekpunten korter is dan de som van de twee lijnstukken die deze twee via het derde hoekpunt verbinden. Imre Tóth vond in de werken van Aristoteles verschillende teksten waaruit blijkt dat vóór Euclides er al niet-euclidische ideeën speelden. We kunnen concluderen dat Euclides definitie van de rechte lijn reeds de ruimte bood voor niet-euclidische meetkundes.

Bronnen en noten

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.

Prachtig boek waarin de psychiater Van den Berg een metabletische studie presenteert naar de ontwikkeling van de niet-euclidische meetkundes. De metableticus stelt de vraag waarom een bepaalde ontwikkeling zich juist toen en juist daar in de geschiedenis plaats vond en legt verbanden met nieuwe stromingen in bijvoorbeeld de architectuur en de beeldende kunst.

E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.

R. Dijkgraaf (2012). Het nut van nutteloos onderzoek. Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam. Een bundel essays over wetenschappelijk onderzoek.

De paradoxale uitdrukking ‘het nut van nutteloos onderzoek’ is volgens Dijkgraaf afkomstig van de Amerikaanse onderwijskundige Abraham Flexner (1866-1959). Die gebruikte de term in 1921 in een ‘gepassioneerde verdediging van de waarde van de vrij rondwarende scheppende geest.’

Volgens Hegel is het kenmerk van de tijd van de verlichting dat ‘alles nuttig is’. Zelfs nutteloos onderzoek moet als nuttig worden gezien om als zinvol gekwalificeerd te kunnen worden. Theoretici als Dijkgraaf wijzen op het belang van ‘schijnbaar nutteloos onderzoek’ om tegenwicht te bieden tegen de heersende opvatting volgens welke er concrete praktische toepassingen moeten worden aangegeven om onderzoek gefinancierd te krijgen. Op de achterkant van het boek wordt het thema van de essays aangeduid met: “Wat is de kortste weg van A naar B, als je niet weet wat B is of waar het ligt?”

Dijkgraaf was minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen in het kabinet Rutte IV. In die hoedanigheid zette hij zich in voor een herwaardering van het middelbaar beroepsonderwijs. In een nota aan de Tweede Kamer pleitte hij voor meer keuzeruimte in het curriculum. Want iedere student moet de ruimte hebben om zijn eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn‘.

Het was deze uitdrukking die mij, toen ik met Euclides’ definitie van de rechte lijn bezig was, op de gedachte bracht dat ook de levenslijn een lijn is en dat Euclides ‘recht’ zou kunnen wijzen op het noodzakelijk zijn van de momenten van een goed leven.

Euclides. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick. This edition of Euclid’s Elements presents the definitive Greek text—i.e., that edited by J.L. Heiberg (18831885)—accompanied by a modern English translation, as well as a Greek-English lexicon.

Jeremy Gray (2000). The Hilbert challenge. Oxford; New York: Oxford University Press.

Marvin Jay Greenberg (2010). Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries. In: The Mathematical Association of America, March 2010.

Greenberg geeft een historisch overzicht van de ontwikkelingen in de meetkunde vanaf Euclides tot 2010. Daarin speelt de nieuwe axiomatisering door Hilbert een centrale rol. Hilbert’s meta-mathematisch onderzoekingen waren gericht op de logische samenhang en onafhankelijkheid van verschillende begrippen uitgedrukt in stellingen en axioma’s van Euclides elementaire meetkunde. Greenberg brengt naar voren dat de geometrie fundamenteler is dan de getaltheorie. Dat je elementaire meetkunde in de stijl van Euclides kan bedrijven zonder gebruik te maken van de reeële getallen (die ten tijde van Euclides inderdaad niet bestonden, alles werd in termen van lengte van lijnstukken en hun verhoudingen gemeten.) is een belangrijke verdienste van Hilbert. De continuumhypothese en alternatieve definities voor de reeële getallen (Dedekind was de eerste die ze definieerde) maken volgens Greenberg deze getallen ‘controversieel’.

“Robin Hartshorne explains how ‘the true essence of geometry can develop most
naturally and economically’ without real numbers.”

Robin Hartshorne, Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS, Volume 47, Nr. 4, pp 460-465, 2000)

Euclides ontwikkelde een meetkunde zonder gebruik te maken van getallen die lijn segmenten, hoeken en oppervlakken meten. Hartshorne pleit voor meetkunde-onderwijs op basis van puur meetkundige begrippen, zoals in Euclides’ Elementen. Dat is: zonder de meetkundige analyse en de reële getallen. In Euclides tijd waren er nog geen andere getallen dan gehelen.

“In Greek mathematics, as we saw, the only numbers were (positive) integers. What we call a rational number was represented by a ratio of integers. Any other quantity was represented as a geometrical magnitude. This point of view persisted even to the time of Descartes.” (Robin Hartshorne, Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS, Volume 47, Nr. 4, pp 460-465, 2000)

Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.

“Euclid’s work will live long after all the text-books of the present day are superseded and forgotten. It is one of the noblest monuments of antiquity; no mathematician worthy of the name can afford not to know Euclid, the real Euclid as distinct from any revised or rewritten versions which will serve for schoolboys or engineers.” (Thomas L. Heath in het voorwoord van de Engelse vertaling van de Elementen)

D. Hilbert (1895). “Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte,” Math. Annalen, 46 (1895), 91-96.

Probleem nummer 4 van de 23 problemen van David Hilbert, waarvan hij er tien presenteerde in 1900, in Parijs, gaat over de kwestie of de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten. Van de 23 problemen zijn een aantal inmiddels opgelost, over een aantal gepubliceerde oplossingen zijn de geleerden het nog niet eens. Probleem 4 wordt als onoplosbaar beschouwd omdat het te vaag zou zijn. (Grey).

Euclides’ theorema stelt dat in elke driehoek de som van twee zijden groter is dan de derde zijde.

Hilbert stelt: The theorem of the straight line as the shortest distance between two points and the essentially equivalent theorem of Euclid about the sides of a triangle, play an important part not only in number theory but also in the theory of surfaces and in the calculus of variations.

For this reason, and because I believe that the thorough investigation of the conditions for the validity of this theorem will throw a new light upon the idea of distance, as well as upon other elementary ideas, e. g., upon the idea of the plane, and the possibility of its definition by means of the idea of the straight line, the construction and systematic treatment of the geometries here possible seem to me desirable.

Hilbert stelt: De stelling van de rechte lijn als de kortste afstand tussen twee punten en de in wezen equivalente stelling van Euclides over de zijden van een driehoek (bewezen in Elementen Book I propositie 20) spelen een belangrijke rol, niet alleen in de getaltheorie, maar ook in de oppervlaktentheorie en de variatierekening.

Om deze reden, en omdat hij gelooft dat een grondig onderzoek naar de voorwaarden voor de geldigheid van deze stelling een nieuw licht zal werpen op het begrip afstand, evenals op andere elementaire begrippen, zoals het begrip vlak en de mogelijkheid om dit te definiëren met behulp van het begrip rechte lijn, lijkt de constructie en systematische behandeling van de hier mogelijke meetkundes hem wenselijk.

Hilbert definieert op basis van een meetkunde van Hermann Minkowski (1864-1909) een meetkundige ruimte waarin niet voldaan wordt aan het parallellenpostulaat en waarin de som van de lengtes van twee zijden van een driehoek gelijk kan zijn aan de lengte van de derde zijde. Dit betekent dat er oneindig veel kortste verbindingen zijn tussen twee punten.

De stelling van Euclides over de zijden van een driehoek kent een generalisatie. The triangle inequality can be extended by mathematical induction to arbitrary polygonal paths, showing that the total length of such a path is no less than the length of the straight line between its endpoints. Consequently, the length of any polygon side is always less than the sum of the other polygon side lengths.

Hilbert, David (1902). Mathematical Problems. Bulletin of the American Mathematical Society. 8 (10): 437–479. doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3. Lecture delivered before the international congress of mathematicians at Paris in 1900. Bulletin of the American Math. Soc. Translated for the Bulletin, with the author’s permission, by Dr. Mary Winston Newson. The original appeared in the Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 253-297, and in the Archiv der Mathematik und Physik, 3d ser., vol. 1 (1901), pp. 44-63 and 213-237.

Hilbert’s inleiding:

“Wie van ons zou niet graag de sluier oplichten waarachter de toekomst schuilgaat; een blik werpen op de volgende stappen in onze wetenschap en op de geheimen van haar ontwikkeling in de komende eeuwen? Welke specifieke doelen zullen de toonaangevende wiskundigen van de komende generaties nastreven? Welke nieuwe methoden en nieuwe feiten in het brede en rijke veld van het wiskundig denken zullen de nieuwe eeuwen onthullen? De geschiedenis leert ons de continuïteit van de wetenschapsontwikkeling. We weten dat elk tijdperk zijn eigen problemen kent, die het volgende tijdperk ofwel oplost, ofwel als nutteloos terzijde schuift en vervangt door nieuwe. Als we een idee willen krijgen van de waarschijnlijke ontwikkeling van de wiskundige kennis in de nabije toekomst, moeten we de onopgeloste vraagstukken voor ons laten gaan en kijken naar de problemen die de wetenschap van vandaag stelt en waarvan we de oplossing in de toekomst verwachten. Voor zo’n overzicht van problemen lijkt het heden, dat zich op het kruispunt van de eeuwen bevindt, mij uitermate geschikt. Want het einde van een groot tijdperk nodigt ons niet alleen uit om terug te kijken naar het verleden, maar richt onze gedachten ook op de onbekende toekomst.”

An old French mathematician said: “A mathematical theory is not to be considered complete until you have made it so clear that you can explain it to the first man whom you meet on the street.” This clearness and ease of comprehension, here insisted on for a mathematical theory, I should still more demand for a mathematical problem if it is to be perfect ; for what is clear and easily comprehended attracts, the complicated repels us.

Een Franse wiskundige heeft eens gezegd: “Een wiskundige theorie is pas compleet als ze zo helder is dat je haar kunt uitleggen aan de eerste de beste die je op straat tegenkomt.” De helderheid en begrijpelijkheid, die hier zo belangrijk worden geacht voor een wiskundige theorie, zou ik nog sterker eisen van een wiskundig probleem als het perfect wil zijn; want wat helder en gemakkelijk te begrijpen is, trekt aan, wat ingewikkeld is, stoot ons af.

Ondanks de eis die Hilbert oplegde aan de helderheid in de formulering van wiskundige problemen werden sommige van zijn 23 problemen als te vaag beschouwd. (Grey) En één van die vage problemen is probleem 4.

PROBLEM OF THE STRAIGHT LINE AS THE SHORTEST DISTANCE BETWEEN TWO POINTS.

Another problem relating to the foundations of geometry is this : If from among the axioms necessary to establish ordinary euclidean geometry, we exclude the axiom of parallels, or assume it as not satisfied, but retain all other axioms, we obtain, as is well known, the geometry of Lobachevsky (hyperbolic geometry). We may therefore say that this is a geometry standing next to euclidean geometry. If we require further that that axiom be not satisfied whereby, of three points of a straight line, one and only one lies between the other two, we obtain Biemann’s (elliptic) geometry, so that this geometry appears to be the next after Lobachevsky’s. If we wish to carry out a similar investigation with respect to the axiom of Archimedes, we must look upon this as not satisfied, and we arrive thereby at the non-archimedean geometries which have been investigated by Veronese and myself. The more general question now arises : Whether from other suggestive standpoints geometries may not be devised which, with equal right, stand next to euclidean geometry. Here I should like to direct your attention to a theorem which has, indeed, been employed by many authors as a definition of a straight line, viz., that the straight line is the shortest distance between two points. The essential content of this statement reduces to the theorem of Euclid that in a triangle the sum of two sides is always greater than the third side—a theorem which, as is easily seen, deals solely with elementary concepts, i. e., with such as are derived directly from the axioms, and is therefore more accessible to logical investigation. Euclid proved this theorem, with the help of the theorem of the exterior angle, on the basis of the congruence theorems. Now it is readily shown that this theorem of Euclid cannot be proved solely on the basis of those congruence theorems which relate to the application of segments and angles, but that one of the theorems on the congruence of triangles is necessary. We are asking, then, for a geometry in which all the axioms of ordinary euclidean geometry hold, and in particular all the congruence axioms except the one of the congruence of triangles (or all except the theorem of the equality of the base angles in the isosceles triangle), and in which, besides, the proposition that in every triangle the sum of two sides is greater than the third is assumed as a particular axiom. One finds that such a geometry really exists and is no other than that which Minkowski constructed in his book, Geometrie der Zahlen (Leipzig, 1896), and made the basis of his arithmetical investigations. Minkowski’s is therefore also a geometry standing next to the ordinary euclidean geometry; it is essentially characterized by the following stipulations : 1. The points which are at equal distances from a fixed point 0 lie on a convex closed surface of the ordinary euclidean space with 0 as a center. Two segments are said to be equal when one can be carried into the other by a translation of the ordinary euclidean space. In Minkowski’s geometry the axiom of parallels also holds. By studying the theorem of the straight line as the shortest distance between two points, I arrived (Math. Annalen, Vol. 46, p.91 ) at a geometry in which the parallel axiom does not hold, while all other axioms of Minkowski’s geometry are satisfied. The theorem of the straight line as the shortest distance between two points and the essentially equivalent theorem of Euclid about the sides of a triangle, play an important part not only in number theory but also in the theory of surfaces and in the calculus of variations. For this reason, and because I believe that the thorough investigation of the conditions for the validity of this theorem will throw a new light upon the idea of distance, as well as upon other elementary ideas, e. g. upon the idea of the plane, and the possibility of its definition by means of the idea of the straight line, the construction and systematic treatment of the geometries here possible seem to me desirable.

Om het belang van het probleem 4 te onderstrepen wijst Hilbert op het feit dat het niet alleen om een meetkundige kwestie gaat, maar dat er een verband is met onderzoekgebieden, zoals de variatie-rekening, een gebied dat veel aandacht trok.

Poincaré, Henri  (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.

Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020.

Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat: de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek. Proclus noemt de rechte lijn de kortste lijn. Bij de pre-Eucliden werd stilzwijgend aangenomen dat de rechte lijn de kortste verbinding is tussen twee punten. Maar ‘kort’ betreft afstand of lengte en een maat waarmee die gemeten wordt. Het begrip ‘recht’ heeft volgens Euclides zo’n maat die van buiten wordt opgelegd niet nodig. Euclides geeft een ‘definitie’ geheel in termen van punt, lijn en de incidentie-relatie tussen punt en lijn. Het wil uitdrukken dat de lijn precies gelijk is aan de punten die erop liggen. De twee ‘momenten’ van de lijn vallen samen.

Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.

De ontdekking van de Grieken dat de wiskunde geen natuurwetenschap is, zo betoogt Tóth, “ein Resultat des Selbstbewustwerdens des Geistes, eine Gedanke, in dem das Denken sich selbst denkt, ein natürliches Produkt der Phänomenologie des Geistes.” (p. XX/4)

Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktische omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).

Tóth wijst erop dat Aristoteles in zijn tijd en lang daarna de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan.

Wootton, David (2015). The Invention of Science. A new history of the scientific revolution. Penguin Book, 2015.

De historicus Wootton wijst net als de filosoof Hacking erop dat we woorden en begrippen in hun tijd moeten interpreteren. Feiten en tekens zijn niet altijd wat ze nu zijn. Voor 1700 bestond het ‘feit’ niet.

Hoe presenteren de universitaire wiskundeopleidingen in Nederland zich naar de belangstellende student? Waarom zou iemand wiskunde gaan studeren? Op de websites van de wiskundeopleidingen van de Nederlandse universiteiten komen drie kanten van de wiskundeopleiding naar voren. Je leert op een wiskundige manier denken, wiskunde is leuk voor mensen die van puzzelen houden en wiskunde kun je overal, op heel veel gebieden van het leven, toepassen. In dit stuk pleit ik ervoor dat iedere opleiding waarin het wiskundig denken wordt onderwezen aandacht besteedt aan filosofie van het wiskundig denken.

“In de bachelor Wiskunde aan de UvA maak je kennis met de veelzijdigheid van wiskunde en leer je om op een wiskundige manier te denken en oplossingen te verzinnen.”

Soms wordt nog extra benadrukt dat je leert om logisch te denken. Wiskundig denken is denken volgens de regels van de logica.

Studenten die wiskunde studeren doen dat om verschillende redenen.

“Ik vind het fijn dat wiskunde zo waterdicht is. Als je iets hebt bewezen, is dat gewoon een waarheid aangezien het berust op logische stappen waar je niet tegen in kan gaan.” zegt studente Wiskunde, Chinook Felix op de website van de UvA.

Iedereen die na veel gepuzzel wel eens een bewijs van een lastige wiskundestelling heeft gevonden of begrepen die kan het enthousiasme voor de onbetwijfelbaarheid van de wiskundige waarheid begrijpen.

Voor anderen is de toepassing van de wiskunde op problemen en vragen uit het dagelijkse leven belangrijk. Mariska Heemskerk doet promotieonderzoek naar sociale netwerken. Op de website van de UvA lezen we de volgende vraag uit haar onderzoek.

“Hoe kan het dat onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij?“

Toen ik het las was de eerste gedachte die bij mij opkwam: is dat zo? Je hebt namelijk de neiging om dat ‘onze’ en dat ‘wij’ op jezelf te betrekken. Je leest het als:

Hoe kan het dat je vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan jij?

En dat hoeft natuurlijk helemaal niet zo te zijn, want iemand, degene die zich met dat ‘je’ aangesproken voelt, kan meer vrienden hebben dan zijn of haar vrienden gemiddeld.

Als je het zo leest dan vat je dat ‘je’ op als verwijzend naar een concreet persoon, een ik die dit leest. Maar een andere lezing is die waarin we ‘je’ niet de re maar de dicto opvatten, als algemene term, varierend over alle individuen in het sociale netwerk. Het is dus niet voor niets dat Mariska het over ‘wij’ heeft en niet over ‘je’. En toch lukt het niet echt om de interpretatie met ‘je’ weg te nemen. Ze zal dan ook ongetwijfeld een logische formule met kwantoren hebben die w`el precies zegt wat ze met de stelling bedoeld. Het toepassen van de wiskunde vereist altijd een precisering van het probleem en een mathematisering van de werkelijkheid waar het over gaat. Wiskundigen maken daar altijd weer iets anders van. Sociale netwerken worden mathematische netwerken, grafen.

Strikt genomen is het ook niet altijd waar dat in ‘ons’ netwerk van vrienden onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij. Het is namelijk niet waar in netwerken die volledig zijn, netwerken waarin iedereen iedereen als vriend heeft. Heeft zo’n volledig netwerk n leden dan heeft iedereen n-1 vrienden en dat is tevens het gemiddelde over alle vrienden. En dat geldt voor iedereen in het netwerk. Dus iedereen heeft dan evenveel vrienden als het gemiddelde over al zijn vrienden. In K5, de volledige graaf op vijf punten is dat vier.

Maar er hoeft maar één paar vrienden in zo’n volledig netwerk hun vrienschap te verbreken en de stelling is waar in het resterende netwerk. Waarom ? Omdat er dan twee individuen zijn die een vriend minder hebben dan de rest van het netwerk. En dat maakt dat het gemiddeld over alle individuen zo is dat het gemiddeld aantal vrienden groter is dan het aantal vrienden van het individue zelf.

Het is dan niet moeilijk in te zien dat in elk niet volledig samenhangend netwerk de stelling waar is.

Het is van belang dat vriend-zijn-van een symmetrische relatie is: als A vriend is van B, dan is B vriend van A. In een netwerk met slechts twee individuen (knopen) die vriend van elkaar zijn, is het triviaal waar dat voor elk individu geldt dat het gemiddelde aantal van zijn vrienden (verbindingen met andere knopen) gelijk is aan het aantal vrienden van hem zelf.

Omdat een relatie symmetrisch is, hebben al mijn vrienden in elk geval mij als vriend. De stelling sluit niet uit dat er individuen zijn die veel meer vrienden hebben dan ieder ander in het netwerk. Neem een stervormig netwerk met n punten. Het middelpunt van de ster heeft n-1 vrienden, maar al die anderen hebben er slechts één.

De echte wiskundige zal pas overtuigd zijn van de juistheid van de stelling wanneer er een formeel bewijs wordt gegeven, volgens de regels van de logica.

Anderen zullen analoge stellingen proberen te poneren en te bewijzen voor bi-partiete netwerken, waarin mannen en vrouwen, onderscheiden worden. Het zijn bijzondere netwerken waarin de stelling zowel waar is voor man-man, vrouw-vrouw als voor vrouw-vrouw relaties. Maar misschien zijn binaire netwerken in deze non-binaire tijden wel heel erg bedenkelijk.

Het probleem is een aardig voorbeeld van zowel de toepassing van wiskunde als van wiskundig modelleren. ‘Toepassen’ omdat inzichten en stellingen uit de grafentheorie gebruikt kunnen worden. ‘Modelleren’ omdat een concreet aandachtsgebied in onze werkelijkheid, hier: het sociale netwerk, als een mathematische structuur wordt gezien bestaande uit welbepaalde objecten en hun relaties. Zodra van het sociale netwerk een mathematische weergave is gemaakt kunnen er stellingen over bewezen worden.

“Graaftheorie is de ruggengraat van hoe we theoretiseren over sociale netwerk dynamieken in de sociologie.” schreef Bas Hofstra, universitait docent sociologie aan de Radboud universiteit in een reactie op dit stukje over wat kennelijk de vriendschapsparadox heet. Dat doet vermoeden dat de sociologie niet zonder wiskunde kan. De vraag naar de rol van de wiskunde in de natuurwetenschap is een thema in de filosofie van de wiskunde.

Het ligt wel voor de hand om sociaal gedrag tussen mensen als een dynamisch proces in een netwerk te zien en dat netwerk weer als een wiskundige graaf te modelleren. Vaak is het modelleren van een gebied van de werkelijkheid echter minder triviaal. Soms wordt de werkelijkheid door de wiskundige denkwijze erop los te laten min of meer geweld aangedaan. De werkelijkheid is nu eenmaal niet zo waterdicht en laat zich ook niet zo eenvoudig waterdicht maken.

Het wiskundig denken heeft iets imperialistisch. Je kunt het overal toepassen en wanneer het é´´en keer ergens wordt toegepast dan worden er steeds meer zaken in het model opgenomen omdat die blijken ermee interaktie te hebben in de werkelijkheid. Met als ultiem verschijnsel: de pogingen die gedaan worden om alles in een wereldmodel te stoppen.

De vraag is of er een grens is aan het wiskundig denken. Omdat voor het wiskundig denken een object, een verschijnsel of gegeven, slechts van waarde is in onderscheid van en in relatie tot andere objecten (het getal 2 ontleent zijn identiteit aan de realties met de andere getallen), ligt het voor de hand die grens van het wiskundig denken te zoeken waar het in onze kenrelatie met de werkelijkheid om het bijzondere, unieke van dit object, dit verschijnsel, dit individu gaat. Niet om de kwantiteit, niet om de structuur, maar om de eigen kwaliteit van iets. Mathematisme is de opvatting dat we met de structuur van iets de essentie, de kwaliteit ervan, uitputtend te pakken hebben.

In het alledaagse leven vatten we een individu in ons sociale netwerk meestal niet op als een geval als vele anderen, maar als een persoon die zich op vele manieren onderscheid van andere personen die we kennen.

Het is niet voor niets dat Aristoteles in zijn kritiek op de naar mathematisme neigende Ideeënleer van Plato het verschijnsel leven als voorbeeld gebruikte. Het is niet voor niets dat in onze West-Europese cultuur waarin het individualisme hoogtij viert er een conflict ontstaat met een wetenschappelijke en technologische cultuur waarin het wiskundig denken prevaleert en haar grootste successen viert. Hoe moet de individuele burger, de individuele boer, de individuele patient, de statistische uitspraken van de wetenschap interpreteren, dat is: op zichzelf als individu betrekken? De medische wetenschap gaat niet over een particulier individu, niet over Socrates, merkte Aristoteles al op. Het gaat over verschijnselen en ziektes. En dat geldt voor alle wetenschappen en voor de politiek. Vanuit wetenschappelijk en technische standpunt zijn er alleen abstracte gebruikers, burgers, individuen die tot een bepaalde welgedefinieerde klasse behoren.

Het karakter van het wiskundig denken, en dat is wijder verbreid dan onder wiskundigen en wetenschappers, komt tot uiting in haar toepassingen. Een treffend voorbeeld daarvan zien we in het protocol dat medici en ethici hadden opgesteld voor wanneer er een tekort is aan IC-bedden. Wanneer de regering code zwart heeft afgekondigd (zoiets dreigde tijdens de corona pandemie) moeten alle patiënten die in aanmerking komen voor een IC-bed centraal geadministreerd worden bij een landelijk platform. Een centrale computer bepaalt dan of een patiënt een beschikbaar IC-bed krijgt toegewezen. Ieder ziekenhuis moet een zorgmedewerker aanstellen die verantwoordelijk is voor het doorgeven van de informatie over de patiënten ter plaatse. Zo’n protocol werd wenselijk geacht omdat het niet van het toeval mag afhangen of een bepaalde patiënt verder behandeld kan worden. Dat vinden we onrechtvaardig. Uitsluitend medische factoren mogen een rol spelen bij de toekenning van een IC-bed aan een patient en niet of iemand toevallig dicht bij een onbezet IC-bed woont of tot een bepaalde bevolkingsgroep behoort. De medische kenmerken van de patiënt worden gekwantificeerd zodat van iedere gegadigde uitgerekend kan worden wat de toegevoegde waarde is wanneer aan deze patiënt een bed wordt toegewezen. Of leeftijd een rol mag spelen, daarover was niet iedereen het eens.

In het protocol staat dat de lokale ziekenhuismedewerker die voor het contact met de centrale registratie verantwoordelijk is, niet zelf betrokken mag zijn bij de verpleging van de patienten in zijn of haar ziekenhuis. Betrokkenheid bij de patient past niet in het ethische protocol dat bedoeld is om iedereen gelijke kansen op behandeling te geven. Voor de verpleegkundige die betrokken is bij zijn patiënt is het moeilijk deze als een willekeurig iemand te zien.

Er zijn legio andere voorbeelden te vinden waar de toepassing van het wiskundig denken tegen de grens aan loopt, althans voor wie er oog voor heeft.

Statistici hebben het over populaties. Een populatie is iets anders dan een samenleving. In het model van de promovendus telt alleen het aantal relaties, niet de kwaliteit ervan. Maar ook die kan wel weer wiskundig gemodelleerd worden. Ook de kwaliteit van een mensenleven wordt al door wiskundigen gekwantificeerd.

We kunnen niet zonder wiskunde en wiskundige modellen. Maar de modellen mogen niet de rol van de werkelijkheid overnemen. De voortdurend veranderende realiteit moet de toetssteen zijn en blijven waaraan we de waarde van de modellen afmeten. De praktische toepassing vereist dat we geloven in de modellen. We moeten echter kritisch blijven kijken naar de effecten ervan in de praktijk.

Het wiskundig denken heeft iets natuurlijks maar haar produkten zijn iets bovennatuurlijks, onwerkelijks. We moeten oog houden voor het onwerkelijke van de wiskunde. Iedere opleiding die haar studenten leert wiskundig te denken, of dat nu op mbo, hbo of universitair niveau is, moet expliciet aandacht besteden aan het inzicht in de eigen aard en de grens van dit denken. Daarom moet Filosofie van het Wiskundig Denken en de Technologie een verplicht onderdeel zijn van het curriculum. Daarin zal de vraag naar de relatie tussen wiskunde en de zintuiglijke werkelijkheid een belangrijke rol spelen. Want als wiskunde een wetenschap is waarvan is het dan een wetenschap? Een kwestie die daarin aan de orde zou kunnen komen is hoe je een rechte lijn of de planariteit van een graaf definieert.

Vanwege Corona was de Nederlandse taalles aan mijn Syrische ‘taalmaatje’ online. Deze keer ging het over de constructie ‘zijn + aan het + infinitief’, zoals in het antwoord op de vraag “Wat doe je daar?”: “Ik ben televisie aan het kijken”.

“Docent, ik heb een vraag. Wat zijn die tekens ?” (Mohammed maakt met twee vingers naast zijn oren het bekende aanhalingsteken-gebaar.)

“Dat zijn aanhalingstekens”, antwoord ik. Waarop de vraag volgt wat dat dan betekent en wanneer je die gebruikt.

Ik vraag hem: Amsterdam, die mooie stad met hoeveel letters schrijf je dat?

“Negen”, antwoordt hij, nadat hij hardop de letters heeft geteld. Fout !, zeg ik (ik draai er niet om heen als mijn student iets fout doet). Hij kijkt verbaasd op.

“Ik zal het even opschrijven”, zeg ik. En ik tik in de chat box:

Amsterdam die mooie stad, met hoeveel letters schrijft je ‘dat’ ?

“Let op de aanhalingstekens!” roep ik, terwijl ik op de zend-knop druk.

Na enige verbaasde blikken op het scherm geworpen te hebben, turend naar de tekst die ik heb ingetikt, zegt ie: “Ha, drie!”.

Precies! Heel goed!

Je plaatst die aanhalingstekens om een woord heen wanneer je in een zin niet het woord gebruikt, maar wanneer je het woord zelf aan wil wijzen. Probeer ik.

Het woordje ‘dat’ verwijst in de zin niet naar het woord Amsterdam. Ik gebruik dat woord in de zin om naar de mooie stad te verwijzen. Anders dan in de zin:

De naam Amsterdam, met hoeveel letters schrijf je dat (de naam)?

Okay, zegt hij. “En wanneer gebruik je die andere uuh …” Oh, je bedoelt die dubbele aanhalingstekens? “Ja die.” “Hoe heet dat?” “Dat noem je dubbele aanhalingstekens”, zeg ik, en ik tik het even in de chatbox.

En wanneer gebruik je die dan? Wanneer je schrijft wat door iemand gezegd of geschreven is. Bijvoorbeeld: Gisteren zei je: “ik doe het morgen.”

Dat is overigens iets anders dan: Gisteren zei je dat je het morgen zal doen. (Dit voorbeeld heb ik van de wiskundige en filosoof Gottlob Frege, die over de betekenis van taal en de indirecte rede heeft nagedacht. Met zijn Begriffschrift is hij de grondlegger van wat later de mathematische logica zou worden. De bewering: “Gisteren is morgen vandaag.” drukt geen historisch feit uit, want dan zou ik moeten zeggen ‘gisteren was…’. Ze drukt een logische relatie uit tussen de begripsinhouden.)

Zo modderen we nog een tijdje door over het gebruik van aanhalingstekens. En dan is de tijd alweer om. Genoeg stof om over na te denken.

Wat bedoelen mensen wanneer ze iets een “taal” noemen?

Er is nog een ander gebruik van de aanhalingstekens. Namelijk wanneer je wilt aangeven dat je een woord niet letterlijk moet nemen, maar in analoge of metaforische zin.

Op Twitter schreef iemand

“In mijn begrip van mijn vak natuurkunde is wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. Wiskunde is dus een “taal”, die we in de natuurkunde graag gebruiken.”

Met de aanhalingstekens rond het woordje ‘taal’ bedoelt de schrijver dat je dit woord niet letterlijk moet nemen. (Achter dat ‘letterlijk’ schuilt overigens op zich al weer een niet-triviale opvatting over betekenis.)

Ooit gaf ik wiskunde-les en dan vroeg ik wel eens aan de student wat wiskunde voor wetenschap is, waar wiskunde over gaat. Diverse keren kreeg ik dan als antwoord dat wiskunde een taal is. De natuurkundige in het Twitter-bericht plaatst er aanhalingstekens om. Ik vat dat “taal” zo op: dat het niet echt een taal is maar ‘een soort van’ taal ( ik haal hier de ‘soort van’ operator van de filosoof D.C. Dennett aan, die maakt hier veelvuldig gebruik van wanneer hij het over de eigenschappen van machines heeft. Die zijn soort van intelligent). Hoe moeten we dat “taal” begrijpen? Bovendien ziet de natuurkundige deze ‘taal’ als een middel dat we “in de natuurkunde graag gebruiken”. Het heeft iets van: we hadden ook andere middelen kunnen gebruiken, maar dit leek ons wel handig. Ik kom daar later nog op terug.

Is wiskunde een taal?

Dat wiskunde een taal is, daar zit wel wat waars in. Deze opvatting dringt zich kennelijk aan ons op. Wiskunde gaat weliswaar over wiskundige objecten, zoals getallen, verzamelingen, in het algemeen: over structuren, maar deze bestaan slechts in ons denken en om het daar over te hebben, bijvoorbeeld in een stelling, in een bewijs, of in een berekening moeten we deze objecten toch aanduiden met tekens. Je kunt het getal 235 niet anders aanwijzen, zoals ik deze tafel aan kan wijzen. We voeren tekens in zoals voor het getal “235”, de driehoek ABC of (3+6)/2. Zonder de tekens, waarmee we de wiskundige objecten aanduiden, bestaan ze niet als voor ons onderscheiden dingen. Door middel van tekens moeten we de objecten identificeren (die tekens zijn namen; het zijn ‘rigid designators’ in de zin van Saul Kripke) Wiskundige objecten zijn weliswaar dingen, maar slechts gedachte dingen. Dingen die buiten het bedacht zijn niet bestaan. In onze ervaringswereld onderkennen we weliswaar eenheden, tweetallen, de vier benen van een paard, maar getallen komen we in deze wereld niet tegen. En dat geldt ook voor de ideële objecten van de meetkunde: punten, lijnen, driehoeken, etc.

Omdat de wiskundige objecten zo gebonden zijn aan ons denken (het zijn creaties van ons denken) ligt het voor de hand ze met de tekens die we gebruiken bij het denken, bewijzen en rekenen, te vereenzelvigen. De balletjes van de abacus, de formules, het zijn tekens die we manipuleren als we rekenen.

We kunnen de werkelijkheid ordenen, waardoor ze een wiskundige structuur heeft. Dat wijst op een zekere potentie, geschiktheid, van de werkelijkheid: deze is telbaar, deelbaar in delen, we kunnen dingen groeperen, classificeren, etc. Door deze onderdelen vast te houden door ze te benoemen kunnen ze komen te staan voor ideële wiskundige objecten. Een verzameling of rijtje balletjes, of een rijtje cijfers op papier, staat voor een bepaald getal. Van de structurele correspondentie tussen de fysische werkelijkheid en de mathematische objecten maken we technisch gebruik. Door de natuur op een bepaalde manier in te richten kunnen we deze voor ons laten werken. Vanwege het feit dat het werktuig of het teken een representatie is voor ons van een wiskundige constructie kunnen we er mee rekenen. Daarmee heeft het werktuig een zelfstandige eigen werking (het ontwerp ervan), zoals de getekende driehoek een driehoek is omdat wij dat zo zien.

In de rekenmachines, werken de wiskundige tekens voor ons. Zonder de ‘taal-revolutie’ in de wiskunde en de filosofie, die zich eind 19de, begin 20ste eeuw voltrok (Frege, Russell, Hilbert, Wittgenstein) als reactie op de grondslagencrisis; zonder de meta-mathematica en de mathematische logica, waarin het wiskundig denken zelf onderwerp van wiskunde werd (via de formalisering van de taal van de wiskunde en de logica), hadden we nu geen programmeerbare automaten.

Natuurlijk is wiskunde geen taal. Hooguit construeert de wiskunde een taal om over haar zaken te kunnen redeneren. Een echte taal is iets waarin mensen met elkaar communiceren en zich voor elkaar verstaanbaar maken. De wiskunde taal kan hooguit gebruikt worden om met machines te communiceren. Het is een machine-taal waarin de tekens en expressies een eenduidige betekenis hebben, zodat je kunt rekenen op de werking van de machine wanneer je die een opdracht geeft. In die zin is deze taal een werktuig.

Een mens is geen machine en daarom is de wiskunde taal geen taal. Hooguit een “taal”. De aanhalingstekens wijzen op een belangrijke eigenschap van onze taal, namelijk dat de woorden en uitdrukkingen erin, niet eenzinnig zijn, zoals in de wiskunde, maar veelzinnig. Die veelzinnigheid is geen gebrek van de taal, maar een wezenlijk kenmerk van het open karakter dat de openheid van de menselijke geest reflecteert.

Dat de mens geen machine is, dat heeft niet zozeer te maken met het feit dat de mens niet zo goed kan rekenen als een machine, maar eerder nog omdat hij een lichamelijk wezen is dat zich lichamelijk in een wereld, waarover hij kan denken en praten, gesitueerd weet. Machines hebben dat niet. Dat zijn geen lichamelijke wezens zoals wij mensen en andere levende wezens. Probeer met een machine maar eens een gesprek te voeren waarin je gebruik maakt van zoiets als “Gisteren zei je dat je het “morgen” zou doen?” Gisteren? Hoe laat is het? Waar ben ik? zal die machine ‘zich’ afvragen.

De natuurkundige van het Twitterbericht merkt op dat wiskunde gewoon een zeer bruikbaar en handig stuk gereedschap is om de fysische werkelijkheid mee te kunnen beschrijven. De vraag is waarom dit zo is.

De gedachte dat wiskunde een taal is en dat rekenen en bewijzen manipuleren van taaleenheden is (‘formule manipulatie’) volgens bepaalde formele regels, deze idee is vooronderstelt in de ‘intelligente’, rekenende en denkende machines. Dat zijn processen die zich afspelen in constructies die we zodanig gemaakt hebben dat ze door ons gezien kunnen worden als denk- en rekenprocessen. De opdracht “3 + 4” ingetikt op het toetsenbord brengt een proces tot stand (‘toestandovergangen’ van het machinesysteem) dat resulteert in een toestand waarin tekens op het scherm staan die we zien als antwoord op deze wiskundige som. De wiskunde taal past op de rekenmachine als de sleutel op het slot.

Een goed begrip van de kunstmatige intelligentie vereist inzicht in de uitwendigheid en de kenmerkende eenzinnigheid van de taal van de wiskunde. In de programmeerbare machine komt de zelfreflectie van het wiskundige denken, een reflectie via de tekentaal van de wiskunde op fysische wijze tot uitdrukking. In die zin is de computer een ‘werkend teken’.

De machine kent het fenomeen aanhalingsteken niet. Alles wat de machine zegt moeten we zien als tekst die tussen aanhalingstekens staat. De machine kent slechts eenzinnige tekens, ze kan niet denken in analogieën en metaforen.

De machine toont de zin. Het is aan ons, aan de lezer of hoorder, de zin erin te herkennen.