Month: August 2025

“De Euclidische meetkunde heeft niets te vrezen van nieuwe waarnemingen” (Henri Poincaré, 1902)

Op geen enkel terrein doordringen wiskunde, natuurwetenschap en filosofie elkaar op zo’n intieme wijze als waar het gaat over de problemen rondom het begrip ruimte.

Wanneer Hermann Weyl deze woorden in het begin van de vorige eeuw schrijft (in Philosophy of Mathematics and Natural Science dat deels in het Duits in het Handbuch der Philosophie in 1929 verscheen) dan kan hij dit doen op grond van een moeizame worsteling waarin het mathematische zich van het fysische en het metafysische heeft bevrijd. Immers pas daardoor is het mogelijk te constateren hoe het mathematische, het fysische en het metafysische in onze huidige wetenschap en werkelijkheid op elkaar betrokken zijn.

De wiskunde wordt tegenwoordig gezien als de wetenschap van de structuren. Ze levert kennis gebaseerd op inzicht in het structureerbare, construeerbare aspect van de werkelijkheid. De wiskunde heeft haar eigen methode en haar eigen objectgebied. In de mathematische fysica betrekken we het mathematische op de natuur door het structurele los te maken van de natuur, waarbij er voortdurend geabstraheerd wordt van de werking van de natuur zelf. De werking als werking is niet van belang voor de moderne natuurwetenschapper. De interesse gaat uit naar de wetmatigheid van die werking. In een experiment objectiveren we de natuur als een “uitwendig” proces en trekken als het ware de subjectiviteit, de “innerlijkeid” naar ons zelf: ‘ik’ die een experiment uitvoert. De wetmatigheid is een hypothese van ons; die hebben wij bedacht. Voordat we inhoudelijk weten hoe de natuur werkt hebben we de vorm waarin het zich uitdrukt al bedacht: er is een of andere mathematische relatie die het verband tussen bepaalde fysische grootheden beschrijft. Volgens de mathematische fysica is iedere fysische relatie tussen grootheden ook een mathematische relatie. De natuur heeft volgens deze opvatting geen eigen wil. Natuurkrachten zijn uit de mathematische fysica verbannen als zijnde onwetenschappelijke emoties. Het krachtbegrip is te “antropomorf” omdat het een relativering inhoudt van de idee dat de natuur op zuiver kwantitatieve wijze, dat is: in de vorm der uitwendigheid, begrepen kan worden.

We kennen niet de natuur ‘in zich’, maar de natuur zoals we deze als waarnemend, metend wezen doen verschijnen, de natuur relatief aan onze systematische waarneming. Kant vroeg wat die “werkelijkheid voor ons” is en stelde dat we de werkelijkheid “an sich” niet kunnen kennen.

Inmiddels weten we waartoe de analytische methode in de mathematische natuurwetenschap, die de materie in als maar kleinere deeltjes opdeelt, geleid heeft. De natuur toont zich nu eens als deeltje dan als golf. De materie lost op in statistische golfvergelijkingen. Hoe verhouden deel en geheel zich tot elkaar? De wetenschap kan niets zeggen over het gedrag van een deeltje, dat gemathematiseerd wordt als een positie in een meer-dimensionale toestandsruimte. Vanwege de onzekerheid over hun positie zijn de sub-atomaire deeltjes ‘verdeeld over de ruimte’. Maar wat is het eigenlijk wat verdeeld is? En over welke ‘ruimte’ gaat het hier? We moeten het doen met waarschijnlijkheden: er is een kansverdeling. Doet het er nog toe wat de theoretische noties van de kwantummechanica in de realiteit voorstellen? Het debat tussen Einstein en Bohr werd op typisch modern pragmatische wijze beslecht. Wat telt is de herhaalbaarheid van experimenten, een voorwaarde voor het gebruik van de experimentele resultaten in nieuwe technologie, want een herhaalbaar experiment levert een technische mogelijkheid. De kwantummechanica werkt. En daar gaat het om. De neveneffecten van het gebruik van deze kennis op ‘de natuur’ zijn voor toekomstige generaties.

Er is heel wat water door de Nijl gegaan voordat we, niet meer gebonden aan de wereld waarin wij van nature geworpen zijn, als soort van Goden, onze eigen (virtuele) werelden konden creëren en uitprogrammeren. Daarbij gebruik makend van een door ons zelf bedachte uitwendige correspondentie tussen de gemathematiseerde denkprocessen en de fysische toestanden van een natuurproces in informatieverwerkende machines. Machines die we vervolgens als ‘kunstmatig intelligente’ wezens weer een ‘eigen werking’ toedichten. Maar nu een die door onze kennis van de natuur bemiddeld is. We hebben zo ons de natuur toegeeigend. En omgekeerd heeft de natuur zich de menselijke intelligentie toegeëigend. We zeggen dat de robot vanzelf, autonoom, volgens eigen wetten, werkt. Maar werkt deze ook uit zichzelf? Zoals de koe “uit zichzelf” stopt met grazen en niet van zelf.

Terug naar de ruimte. We maken onderscheid tussen de ruimte zoals we die waarnemen en de ruimte van de wiskunde. Kijken we in de verte dan zien we de rails naar elkaar toelopen. Hoe kan de trein daar nog tussen? Omdat de trein daar in de verte ook steeds kleiner wordt. En de mensen in de trein? Die worden ook steeds kleiner. Merken ze daar dan niets van? Nee, want alles wordt kleiner. Ze blijven voor hun zelf even groot. We weten dat dit niet zo is; dat het maar schijn is. We weten dat de sporen parallel lopen. We weten dat de hoeken van de kamer nagenoeg recht zijn, ook al lijken ze vaak kleiner of juist groter.

Wat bewoog Euclides toen hij in de derde eeuw voor Christus zijn meetkunde schreef? In zijn Elementen noemt hij een punt “iets dat geen delen heeft”. Wat beoogde hij daarmee? Is dit een definitie van een begrip of de beschrijving van iets werkelijk bestaands? Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. Op analoge wijze definieert Euclides de lijn: wat lengte heeft, maar geen breedte. Wat een punt en een lijn zijn dat wordt door Euclides vastgelegd door de relaties die er tussen punten en lijnen bestaan.

In zijn essay “Constanten van het wiskundig denken” deelt Evert W. Beth de ontwikkeling van het wiskundige denken in een viertal fasen in. De empirische wiskunde: hierin zijn de wiskundige inzichten gebonden aan concrete dagelijkse verrichtingen zoals tellen, meten, wegen en rekenen. De naïeve wiskunde: vertegenwoordigd door Euclides’ elementen heeft een aanschouwelijk en elementair karakter. De begripsvorming is nog weinig exact, de bewijsvoering daardoor niet zeer streng. “De banden met de ervaringswereld zijn echter verbroken.” (Beth p. 147) Er is een scheiding van zuivere en toegepast wiskunde. In de fase van de kritische wiskunde ontstond meer belangstelling voor de zuivere wiskunde en de fundering van de infinitesimaalrekening. Het bestaan van een limiet van een wiskundige reeks ligt niet in de natuur. De hedendaagse wiskunde is abstract. Het resultaat van unificatie van de verschillende gebieden van de wiskunde. Dit begon met de ontwikkeling van de analytische meetkunde. In de abstracte wiskunde, zoals de categorie-theorie, zijn de banden met specifieke toepassingsgebieden doorbroken. Daarmee drong zich de vraag op naar de grondslag van de wiskunde. Hoe kunnen exactheid van de wiskunde en haar toepasbaarheid samen gaan?

De wiskunde streeft ernaar kennis uit te drukken in de vorm van een axiomatische theorie. Zo’n theorie bevat een beperkt aantal definities van basisbegrippen en een aantal axiomas of postulaten. Een axioma is de uitdrukking van een onbewijsbaar (intuitief) inzicht dat ten grondslag ligt aan de theorie.

Euclides ‘Elementen’ bevat een eerste poging tot een axiomatische meetkunde, een theorie van de ruimte. Basisbegrippen zijn punt, gedefinieerd als ‘wat geen deel heeft´´´’ , lijn: ‘een lengte die geen breedte heeft’ en ‘rechte lijn’: dat is ‘een lijn die gelijk ligt met de punten er op’. Twee rechte lijnen heten parallel wanneer ze ‘in het zelfde platte vlak gelegen naar weerszijden onbeperkt verlengd elkaar niet ontmoeten’.

Euclides meetkundige theorie kent vijf postulaten of axiomas.

Het eerste postulaat luidt: Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan precies één rechte lijn getrokken worden.

De formulering ‘een lijn trekken’ suggereert wellicht dat de rechte lijn resultaat is van deze aktiviteit en dat het trekken van twee rechte lijnen twee dezelfde punten twee verschillende lijnen oplevert. Die lijnen zouden dan samen moeten vallen. Maar dan zijn het dezelfde lijnen. Een lijn moet niet verward worden met de tekening of voorstelling van een lijn.

Het tweede postulaat: Elk lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte lijn. (Een lijnstuk wordt door twee punten begrensd)

Het derde postulaat: Bij elk punt en elk lijnstuk bestaat een cirkel met dat punt als middelpunt en dat lijnstuk als straal.

Het vierde postulaat: Alle rechte hoeken zijn gelijk.

Je vraagt je af waarom dit gesteld moet worden. Kennelijk zijn er volgens Euclides verschillende rechte hoeken. Een vierkant heeft vier rechte hoeken. Die hoeken zijn verschillend, maar toch gelijk. Waarin zou het verschil tussen twee hoeken die recht zijn moeten bestaan? In hun positie als onderdeel van een figuur. En als we er over redeneren, in de naam (identifier) die we gebruiken om er naar te verwijzen. Het vierkant met hoeken A, B, C en D.

Het vijfde postulaat is wat ingewikkelder. Het luidt in zijn oorspronkelijke vorm: Wanneer een rechte lijn twee andere rechte lijnen snijdt, en de binnenhoeken aan dezelfde kant van de eerste lijn zijn samen kleiner dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee lijnen elkaar snijden aan die kant van de eerste lijn, waaraan de hoeken liggen die opgeteld kleiner zijn dan twee rechte hoeken.

De eerste eis die aan een axiomatische theorie gesteld wordt is dat deze consistent is. Het mag niet zo zijn dat zowel een bewering A als ook de ontkenning ervan uit de axiomas bewezen kunnen worden. Een theorie die niet consistent is kan nergens over gaan. Zo’n theorie ‘heeft geen model’. Bij voorkeur is een theorie volledig, dat wil zeggen dat alles wat waar is in een bepaald model ook bewezen kan worden uit de axioma’s. De onvolledigheidsstellingen van Kurt Gödel bewijzen (wiskundig!) dat er geen volledige en consistente axiomatiseerbare theorie bestaat die als rotsvaste bodem kan dienen voor het funderen van de wiskunde. Dat een theorie van enig belang, zoals de meetkunde of de rekenkunde, consistent is moeten we dus geloven totdat het tegendeel blijkt doordat we op een tegenspraak stuiten.

Een gewenste eigenschap van een axioma-stelsel is dat elk van de axiomas onafhankelijk is van de overige axiomas.

Het vijfde postulaat kent een aantal alternatieve formuleringen. De eerste hebben we te danken aan Proklos, commentator van Euclides levend in de vijfde eeuw na Christus. Van iedere driehoek is de hoekensom gelijk aan de som van twee rechte hoeken (‘een gestrekte hoek’). De tweede: is wanneer twee lijnen door een derde worden gesneden en de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn samen een gestrekte hoek dan lopen de twee eerstgenoemde lijnen evenwijdig. Dit is het befaamde parallellenpostulaat van Euclides.

De ruimte van de meetkunde zit vast aan de voorstellingsruimte. Een punt is een punt op papier en lijn is een getrokken lijn tussen twee punten. ook al weten we dat de getekende driehoek geen bewijskracht heeft. Tussen twee punten kunnen we precies één rechte lijn trekken, stelt Euclides. Waarom zouden we geen twee rechte lijnen kunnen trekken tussen twee punten? Of oneindig veel? Omdat het niet gaat over lijnen zoals we die op papier of in het zand tekenen. Dat is slechts een voorstelling van dat waar het in de meetkunde om gaat. In de wiskunde kunnen we het alleen via de tekens en de voorstellingen over de objecten hebben waar het over gaat.

Als het besef optreedt dat het in de meetkunde niet om de voorstelling gaat maar om de relaties tussen de objecten, dan ontstaat er ruimte tussen punt en lijn en datgene waar ze betrekking op hebben. De punt is een locatie vastgelegd door coördinaten ten opzicht van een gekozen assenstelsel, een lijn een relatie tussen coördinaten uitgedrukt in een algebraïsche vergelijking. De aanzet tot de analytische meetkunde werd gegeven door Descartes die dankbaar gebruik maakte van de techniek om de onbekende gootheid in een geometrisch probleem, zoals een lengte (‘variabelen’ of ‘parameters’) door een letter (x, y, z) voor te stellen. De lineaire vergelijking 2 x + 3 y = 6 is een rechte. We zijn dan al in de 17de eeuw.

Vanuit deze kennis terugkijkend naar Euclides definities en postulaten vragen we ons af of daarin ook al niet een ander aspect van het begrip punt dan het niet uit delen bestaan blijkt. Is het Euclidische punt ook al niet een locatie in de ruimte en een rechte lijn de kortste verbinding tussen twee locaties?

Waaraan refereren we met een ‘punt’ en met een ‘lijn’? Door de termen van een theorie en de ‘dingen’ waar ze op betrekking hebben uit elkaar te denken ontstaat er ruimte voor een andere ‘interpretatie’ van de termen en daarmee van een andere theorie dan we gewoon zijn. Dat is precies wat Riemann deed met de termen “punt” en “lijn” van de meetkunde.

Zoals gezegd is een formulering van het parallellenpostulaat: Door een punt buiten een lijn gaat precies één lijn die de oorspronkelijke lijn niet snijdt. Riemann kwam tot een interpretatie van punt en lijn zodanig dat geldt: Elke twee lijnen snijden elkaar in een punt. Die interpretatie gaat zo:

“lijn” wordt: een grote cirkel op een bol.

“punt”: een paar diametraal tegenover elkaar liggende punten op een bol.

“hoek”: de hoek tussen de vlakken waarin de benen (“lijnen”: grote cirkels) liggen.

“cirkel: een paar diametrale kleine cirkels op de bol.

“lijnstuk”: het paar kortste grote-cirkelsegmenten tussen twee “punten”.

Met deze interpretatie gelden de eerste vier postulaten van Euclides. Zo gaat (1ste postulaat) door elk tweetal “punten” precies een “lijn”. Maar in plaats van het vijfde postulaat geldt nu het alternatief: Elke twee “lijnen” snijden elkaar in een “punt”.

Laat T1 de Euclidische en T2 de niet-Euclidische theorie (van Riemann) zijn.

Laat I1 de ‘normale’ interpretatie zijn in het platte vlak en I2 de interpretatie van “punt” en “lijn” zoals hierboven gegeven in termen van de bol.

De bol en het platte vlak zijn delen van de 3 dimensionale ruimte beschreven door een Euclidische stereometrie, zeg T3. De interpretaties I1 van T1 in het platte vlak en I2 van T2 in de bol kunnen beschreven worden in T3. zodat bij een ware interpretatie I2 de axiomas van de geinterpreteerde theorie T2 stellingen van T3 worden. De theorie T2 wordt zo door I2 binnen T3 geinterpreteerd. D.w.z dat een niet-Euclidische theorie T2 binnen een Euclidische T3 wordt geinterpreteerd. Stel nu dat T2 een tegenspraak bevat. Dan zou deze via I2 om te zetten zijn in een tegenspraak in T3. Dus, als de (Riemannse) theorie T2 tegenstrijdig (inconsistent) zou zijn zou de Euclidische dat ook zijn. Daarmee is bewezen dat als een Euclidische meetkunde mogelijk is de niet-Euclidische ook mogelijk is.

Dit bewijs is van Henri Poincaré.

Voor de wiskundige zijn de stellingen van Pythagoras, van Pappos, van Tales waar. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. Deze stellingen zijn bewijsbaar in de Euclidische meetkunde. Maar zijn ze ook waar in onze wereld? Is dat een zinnige vraag? Gaan ze wel over onze wereld? Wat bedoelen we met ‘onze wereld’? Is de fysisische ruimte Euclidisch?

Riemann bracht de verschillende geometrieën onder in een algemeen schema door middel van het begrip ‘kromming van de ruimte’. Fysici spreken van de gekromde ruimte die door een niet-Euclidische meetkunde beschreven wordt.

Gauss was kennelijk van mening dat we door een meting van driehoeken in onze wereld kunnen verifiëren of onze fysische ruimte voldoet aan de axioma’s van de Euclidische meetkunde. Hij berekende de hoekensom van de driehoek tussen drie bergtoppen. Zijn conclusie was dat die niet significant afweek van 180 graden. Dat was in het begin van de 19de eeuw. Was de driehoek misschien nog te klein? Lobatsjewsi was van mening dat astronomische metingen zouden aantonen dat de ruimte niet-Euclidisch is.

Toen in 2018 de definitieve gegevens van de Europese Planck missie werden gepubliceerd, de ruimteverkenner die de kosmische microgolf-achtergrondstraling had bestudeerd, waren de meeste sterrenkundigen ervan overtuigd dat de ruimte in het heelal vlak is. Dat betekende dat de ruimte ‘Euclidisch’ is. Dit wordt geconcludeerd uit metingen van de dichtheid Ω₀ (omega nul) van de materie in het heelal. Deze dichtheid bepaalt de kromming van de ruimte. Er zijn grofweg drie vormen. Zie figuur (bron: Wikipedia)

Kant was van mening dat de meetkundige axiomas synthetisch a priori zijn. Ze zijn niet empirisch, niet analytisch.

Het volgende citaat uit de Kritik der Reinen Vernunft (p. 86, voetnoot 6).

“Auf diese Notwendigkeit a priori gründet sich die apodiktische Gewissheit aller geometrischen Grundsätze, und die Möglichkeit ihrer Konstruktionen a priori.”

Wanneer de voorstelling van de ruimte een a posteriori verworven begrip was, dat uit de algemene uiterlijke ervaring gemaakt werd, dan zouden de eerste axiomas van de geometrie niets anders zijn dan waarnemingen.

“Sie hätten also alle Zufälligheit der Wahrnehmung, und es wäre eben nicht notwendig, dass zwischen zwei Punkten nur eine gerade Linie sei, sondern die Erfahrung würde es so jederzeit lehren.”

Dat tussen twee punten slechts één rechte lijn getrokken kan worden is een onderscheidend kenmerk van een Euclidische ruimte. Kant lijkt hier dus van mening dat het a priori karakter van de ruimte dat ten grondslag ligt aan de verschijnselen direct tot de conclusie moet leiden dat de hem bekende axiomas van de meetkunde een noodzakelijk karakter hebben. En wel omdat deze niet afhankelijk zijn van de waarneming.

Maar sluit dit uit dat er ook andere axiomas, andere meetkundes, mogelijk zijn?

Zowel Gauss als Lobatsjewsky stonden kritische tegenover de opvatting van Kant over het a priori karakter van de meetkunde. Henri Poincaré deelt deze kritiek, maar volgens hem betekent dat niet, zoals Gauss en Lobatsjewsky dachten, dat die axiomas uitdrukking zijn van empirische kennis van onze fysische waarnemingsruimte.

“Kan men volhouden dat sommige verschijnselen die mogelijk zijn in de euclidische ruimte, in de niet-euclidische ruimte onmogelijk zouden zijn, zodat de ervaring als ze die verschijnselen constateerde, regelrecht de niet-euclidische hypothese zou tegenspreken?” Volgens Poincaré kan deze vraag helemaal niet gesteld worden. Hij vergelijkt het met de vraag of we door ervaring vast kunnen stellen of we een lengte in meters of in voet moeten meten. (Poincaré, p. 102). Volgens Poincaré is het puur conventioneel welke meetkunde we gebruiken.

Waarnemingen leren ons betrekkingen tussen lichamen. Aldus Kant. Geen waarneming kan betrekking hebben op de betrekking tussen lichamen en de ruimte of tussen delen van de ruimte. De huidige fysica leert echter dat er wel degelijk een betrekking bestaat tussen lichamen en de ruimte: de dichtheid van de materie bepaalt de kromming van de ruimte. Ook zijn ruimte en tijd niet meer altijd als onafhankelijke dimensies te beschouwen: snelheden zijn relatief ten op zichte van de waarnemer.

Wat we ons voorstellen bij een punt is een ding, een vlekje op papier. Hoe weten we dat een ding zich op een bepaalde plek bevindt en dat een ander ding even later dezelfde plek inneemt ? Waarnaar verwijst die ‘zelfde plek’?

Wat we onder een punt verstaan is volgens Poincaré gebaseerd op onze tastzin en onze innerlijke gewaarwording van de spierbewegingen die we voltrekken wanneer we een punt in de ruimte aanwijzen. Aanwijzen is een vorm van meten. “De testzin kan niet op afstand werken.” (p. 112) Ik weet uit ervaring dat de wijsvinger eerst dit, dan dat aanraakt en dat die twee op dezelfde plaats zijn.

Volgens de euclidische meetkunde kunnen twee gelijkvormige driehoeken verschillende groottes hebben. In de meetkunde van Lobatsjewsky kan dat niet. De posities van punten in de ruimte onderling wordt beschreven door de meetkunde. Deze vormen een figuur. Een lijn in een starre figuur is recht wanneer bij draaiing om die lijn alle punten ervan op hun plaats blijven, terwijl alle andere punten verplaatst worden.

Er zijn vele meetkunden en welke meetkunde we gebruiken is volgens Poincaré een kwestie van conventie. Het gaat erom welke het handigst is. Wat het handigst is, dat is echter niet volstrekt arbitrair. Dat moet toch ook weer door de werkelijkheid zoals we die waarnemen bepaald worden. We lijken weer terug te zijn bij de vraag in hoeverre de werkelijkheid zelf aangelegd is op een bepaalde geometrie. Voor Poincaré moeten we onder werkelijkheid hier verstaan de interaktie van de menselijke geest die zich door natuurlijke selectie heeft aangepast aan de omstandigheden in de buitenwereld met de wereld. Door evolutie heeft de mens de nuttigste meetkunde voor de soort aanvaard. “De meetkunde is niet waar, ze is nuttig.”

Toen Immanuel Kant zijn gedachten opschreef over de wiskunde ging de meetkunde als vanzelfsprekend over de fysische ruimte. Volgens Kant hebben we immers geen directe toegang tot de werkelijkheid, zoals de metafysici dachten. Volgens Kant hebben wij alleen kennis van de “fenomenale” wereld van de verschijnselen. De “noumenale” wereld ‘achter’ de verschijnselen is voor ons niet kenbaar.

In zijn essay Kant en de niet-Euclidische meetkunde stelt de Amsterdamse filosoof Emanuel Rutten:

“De filosofische positie die Kant ten aanzien van de wiskunde ontwikkelde in zijn kritische periode laat zich beknopt omschrijven als het zowel a priori als synthetisch zijn van wiskundige oordelen.” De axioma’s van de Euclidische meetkunde werden aan het begin van de negentiende eeuw door zowel wetenschappers als filosofen gezien als noodzakelijke zelf-evidente waarheden a priori, onafhankelijk van elke zintuiglijke ervaring.

In deze periode was het bestaan of zelfs maar de mogelijkheid van niet-Euclidische meetkunden volstrekt ondenkbaar. Maar de waarheid van deze axioma’s was niet zuiver logisch. Vandaar dat Kant ze als synthetische oordelen beschouwde.

Volgens Kant kan de ruimte geen voorwerp zijn van uiterlijke gewaarwordingen en dus kan het geen empirische voorstelling zijn. De ruimte is een fundamenteel begrip dat de uiterlijke gewaarwording mogelijk maakt. De idee van het bestaan van een absolute ruimte, die tegenover het kennend subject staat, waarvoor Newton pleitte, werd door Kant afgewezen omdat de vraag of deze begrensd of onbegrensd is zowel bevestigd als ontkend kan worden en wel met even goede argumenten.

“Niet alléén Kant, maar al zijn tijdgenoten waren overtuigd van het feit dat er maar één meetkunde bestond en kon bestaan. Dit was de Euclidische meetkunde.” schrijft Rutten.

Dit is een explicitering van een ‘overtuiging’ die bij Kant en zijn tijdgenoten slechts impliciet was. Kant was zich vermoedelijk niet bewust van het feit dat hij geloofde dat de meetkunde Euclidisch is. ‘Vermoedelijk’: de niet-Euclidische meetkunde hing al wel een tijdje in de lucht. Was Kant op de hoogte van het werk van Saccheri en de twijfels van anderen zoals Gauss in de noodzakelijkheid van het vijfde postulaat van Euclides?

Niettemin is de vraag van Rutten interessant: past de mogelijkheid van alternatieve meetkunden in de Kantiaanse opvatting over het synthetisch a priori zijn van de kennis van de ruimte?

We moeten bij de vraag naar ‘de mogelijkheid van alternatieve meetkunden’ onderscheid maken tussen de mogelijkheid van alternatieve consistente wiskundige theorieën enerzijds en de mogelijkheid van alternatieve ‘fysische ruimtes‘ anderzijds.

Is het zo dat de ontdekking van de niet-Euclidiche meetkundes door onder andere Bolyai, Lobatsjewski en Riemann feitelijk het einde betekent van Kants filosofie van de meetkunde? Dit is de vraag die Rutten in zijn essay stelt. Zijn conclusie is kort gezegd: het hangt af van hoe je Kant interpreteert. Rutten bespreekt twee mogelijke interpretaties van het synthetisch a priori karakter van meetkundige en in het algemeen van wiskundige oordelen.

De cognitief-gedomineerde en de logisch-gedomineerde interpretatie. In de eerste speelt de voorstelling een rol, bij de tweede niet. Voor wie de eerste interpretatie aanhangt moet volgens Rutten concluderen dat Kants theorie van de wiskunde onhoudbaar is geworden door het bestaan van niet-Euclidische meetkundes. Dat geldt niet voor de logische interpretatie.

Rutten over Kants synthetisch a priori

Er bestaat volgens Rutten “een coherente interpretatie van Kant’s filosofie van de wiskunde die laat zien dat ook ná de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde zinvol gesproken kan worden over het ‘a priori synthetisch’ zijn van de wiskunde. Aan de andere kant is het zeker niet zo dat genoemde ontwikkeling geheel zonder gevolgen kan blijven voor Kant’s opvattingen over de aard van de wiskunde.”

De cognitief-gedomineerde interpretatie gaat uit van de gedachte dat de ruimtelijke structuur van de fenomenale wereld noodzakelijk Euclidisch is. Volgens de ‘cognitief-gedomineerde interpretatie’ van Kants synthetisch a priori van de meetkunde verruimt het oordeel dat de som van de driehoeken van een driehoek 180º is onze kennis van de ervaren wereld en moet dus een synthetisch oordeel zijn. Dergelijke oordelen kunnen niet het resultaat zijn van uitsluitend een conceptuele begripsanalyse volgens algemeen logische principes. Meetkundige oordelen zijn derhalve noodzakelijk Euclidisch en tegelijkertijd ware uitspraken over de fysieke ruimte van de fenomenale wereld.

Meetkundige oordelen zijn in de cognitief-gedomineerde interpretatie ook a priori omdat de herkomst het kenvermogen van het kennend subject betreft en niet de empirische zintuiglijkheid. Volgens deze interpretatie zouden meetkundige oordelen ‘los van iedere empirische ervaring’ door het kennend subject gekend kunnen worden.

In de logisch-gedomineerde interpretatie zijn meetkundige oordelen a priori vanwege het feit dat de vereiste aanschouwelijkheid (het onmiddellijk betrokken zijn op een singulier object) in het geval van meetkunde komt van de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Voor de rechtvaardiging van deze oordelen is dus geen beroep op de zintuiglijke ervaring nodig. Zoals bekend verbindt Kant ‘a priori’ steeds aan noodzakelijkheid en algemeen geldigheid. Wiskundige oordelen zijn onder de logisch-gedomineerde interpretatie inderdaad noodzakelijk en algemeen geldig. We dienen deze noodzakelijkheid dan echter niet langer te betrekken op wat er in de fenomenale wereld het geval moet zijn (zoals gebeurd in de eerste interpretatie) maar juist op de apodictische geldigheid van het oordeel binnen de context van een bepaald meetkundig stelsel.

In een voetnoot: De cognitief-gedomineerde interpretatie veronderstelt feitelijk dat alle meetkundige oordelen categorisch zijn terwijl de logisch-gedomineerde interpretatie juist tot de conclusie moet leiden dat meetkundige oordelen hypothetisch zijn (naast a priori en synthetisch).

De conclusie van Rutten

“Het ‘kritiekloos’ verwerpen van Kant’s filosofie van de wiskunde of zelfs (grote delen van) Kant’s kritische transcendentaal filosofie op basis van het enkele feit van het bestaan van alternatieve (niet-euclidische) meetkundige stelsels dient dan ook als voorbarig te worden gekwalificeerd.”

Kants filosofie van het ‘synthetisch a priori’ karakter van de wiskunde (en in het bijzonder van de meetkunde) is volgens Rutten voor meerdere uitleg vatbaar.

Het komt er op neer dat volgens de cognitief-gedomineerde interpretatie het synthetisch a priori karakter van de wiskunde de inhoudelijke bepaaldheid van de structuur van de ruimte betreft terwijl in de logisch-gedomineerde interpretatie de inhoudelijke bepaaldheid als louter hypothetisch wordt beschouwd. Gegeven een theorie van de ruimte kunnen we in dat geval zonder verdere verwijzingen naar inhoudelijke argumenten logische afleidingen voltrekken die tot noodzakelijke en algemene conclusies leiden. Die inhoudelijke argumenten zijn als het ware al in de hypothetisch aangenomen axioma’s van de theorie opgenomen.

De waarheid van de meetkunde

Waaraan ontleent Euclides theorie van de meetkunde zijn waarheidsgehalte? Als theorie die iets zegt over aan de zintuiglijke waarneming ontleende objecten ontleent het deze aan de wereld van de objecten. Als wiskundige theorie waarin ons begrip van de ruimte wordt uitgedrukt berust de waarheid op de consistentie van de theorie. Ze mag geen tegenspraken bevatten.

Maar kunnen we die twee wel zo tegenover elkaar plaatsen? Een theorie, hoe logisch ook, moet toch ergens over gaan? Ook al gaat deze over zichzelf dan toch altijd nog over zich als over iets anders?

Redelijkheid en feitelijkheid worden bij Kant tegenover of naast elkaar geplaatst en als aparte factoren van kennis en werkelijkheid gezien. Rutten volgt Kant in deze.

Het is typisch mathematisch om redelijkheid en feitelijkheid van elkaar te scheiden. In de formele logica worden algemene regels voor het redeneren opgesteld die worden toegepast op concrete gevallen. Zoals een functie toegepast wordt op een argument. Het resulterende ‘begrip’ valt dan samen met de uitdrukking in een oordeelszin, waarin een predikaat wordt uitgezegd van een subject.

Pogingen de wiskunde op de logica te baseren (zie Freges logicisme) zijn gemotiveerd door de gedachte dat er in de zuivere wiskunde logisch geredeneerd moet worden en dat de wiskundige dingen zuivere gedachtedingen zijn. De idee was dat dit voldoende is als grondslag voor wiskunde. De wiskunde is echter de wetenschap die berust op het principe van uitwendigheid, het stelbare, dat we alleen kunnen kennen door iets te stellen.

Een logische wet zegt dat iets niet tegelijk aan A en aan niet-A kan voldoen.

Dat iets niet zowel A als niet A kan zijn dat is niet werkelijk zo. Dat is reeds een inhoudelijke bepaaldheid. Waarom zou dit ‘logisch’ zijn? Dat is het helemaal niet. Dat iets A is of niet A, dat is het resultaat van een stellen, een vaststellen. Het begin van wiskunde. Zonder het vast stellen, het in definities vastleggen van begrippen komt de wiskundige echter niet op gang. Daarom moet ze de dingen voorstellen. Het pure feit van de verandering in de werkelijkheid toont aan dat iets zowel A als niet A kan zijn. De wiskunde kan de verandering slechts zien als tegenstelling, van een variabele grootheid en een waarde die er aan wordt toegekend.

Een rechte lijn valt wel en niet samen met de verzameling punten die erop liggen. Wanneer we mathematisch beide tegenover elkaar stellen dan krijgen we een paradox.

We verhouden ons op verschillende wijzen tot de werkelijkheid.

De wiskunde heeft betrekking op onze werkelijkheid als meetbaar en telbaar, waarbij het laatste een specifieke vorm is van het eerste: het tellen is een vorm van meten en het eerste een vorm van het tweede: het tellen is het meten van het aantal diskrete eenheden van iets. De meetkunde houdt zich bezig met de wereld als meetbaar. Oorspronkelijk aansluitend bij de directe ervaringsruimte. In de loop van de geschiedenis heeft deze zich door een vorm van zelf-reflectie ontwikkeld tot de abstracte wetenschap van meetbaarheid en berekenbaarheid. Een ruimte is niet meer noodzakelijk driedimensionaal en Euclidisch.

Zoals kenbaarheid een relatie zegt tot een kennend subject en zintuiglijk waarneembaar een zintuiglijk waarnemend subject veronderstelt, zeggen telbaarheid en meetbaarheid een relatie tot een tellend of metend subject.

De werkelijkheid als zintuiglijk waarneembaar of als structureerbaar sluit een verhouding tot ons als subject in. Deze werkelijkheid is dus niet iets puur objectiefs dat tegenover ons staat.

Het wiskundig denken sluit aan bij een aktieve praktische doelmatige omgang met de werkelijkheid. Het telbare en meetbare toont zich door feitelijk te tellen en te meten. Alleen door te doen leren we wat die telbaarheid en meetbaarheid van de werkelijkheid inhoudt. De wiskunde is creatief, de werkelijkheid schrijft niet eenduidig voor wat en hoe er gemeten moet worden.

Is de bewering dat 5 plus 7 gelijk is aan 12 synthetisch a priori?

Is de som van 5 en 7 gelijk aan 12 omdat 5 appels en 7 appels samen twaalf appels zijn? Of is het andersom: zijn 5 appels en 7 appels samen 12 appels omdat 5 + 7 gelijk is aan 12? Is 2 keer 3 gelijk aan 6 omdat 2 rijen van elk 3 tegels 6 tegels zijn, of is het zo dat 2 rijen van elk 3 tegels samen 6 tegels zijn omdat 2 keer 3 gelijk is aan 6 ?

Deze vragen brengen ons in verlegenheid omdat het een relatie suggereert die er niet is. Is een appel 1 appel omdat wij het als 1 appel zien of omdat het 1 appel is? We kunnen de appel ook als twee halve appels zien. Waar we aan vasthouden bij het tellen van de appels is dat we iedere appel als eenheid zien onderscheiden van de andere appels en toch ook appel zoals de andere appels. We houden ons aan het gekozen opzicht dat de gebruikte maateenheid voor het tellen bepaalt. We hadden ook halve appels of fruitstukken kunnen tellen. De zintuiglijk aanwezige aanwijsbare appels worden tekens van het tellen, wanneer we de apples tellen om daarmee de getallen som te maken. Het kind gebruikt de vingers als tekens om te tellen. Het getal is het getelde aantal eenheden. De steentjes van de abacus zijn de tekens voor het getal.

Typisch voor de wiskundige denkhouding is dat het een stricte scheiding maakt tussen het denkende subject en het object van het denken. De wiskundige objecten trekken zich niets aan van de bepalingen die het subject er aan geeft. Het object staat volstrekt onverschillig tegenover het subject. Dat wat volstrekt onverschillig staat tegenover zijn onderscheidingen en bepalingen is wat we zuivere uitgebreidheid noemen of ook de zuivere kwantiteit. De zuivere uitgebreidheid bestaat uit delen die niets met elkaar te maken hebben, die volstrekt buiten elkaar liggen. De relatie die het deel met het geheel heeft is volstrekt uitwendig. Zoals de relatie tussen de elementen van een verzameling in de wiskunde volstrekt uitwendig, van buiten af gesteld, is. De “uitwendigheid” is de verschijningsvorm waarin we vanuit de mathematische denkhouding de werklijkheid ontmoeten. Deze verschijningsvorm is de vorm van het aanwijsbaar zintuiglijk aanwezig zijn van iets. Wiskunde gaat over de zintuiglijk aanwezige werkelijkheid maar niet als zintuigelijk, maar als louter aanwijsbare aanwezigheid: dit, dit en dat hier en nu. Ruimte en tijd zijn de dimensies van deze aanwezigheid van het zintuiglijk waarneembare. Zo vooronderstelt de wiskunde onze zelf-ervaring als lichamelijk in de wereld aanwezig zijn. De idee van een objectieve werkelijkheid buiten ons denken is ontleent aan deze zintuiglijke waargenomen afstand tussen ons lichaam en dat wat daar buiten is en aangeraakt wordt: het andere van ons zelf is primair het tastbaar lichamelijk andere.

Bij Descartes zijn subject en object twee gescheiden werkelijkheden, ‘substanties’: res cogitans (het denken) en res extensa (de uitgebreidheid). Het subject wordt in de reflectie die Descartes voltrekt op de willekeur van de mening, volgens welke wat geschreven staat waar is, tot object, een zelfstandige entiteit. De overeenkomst tussen de subjectieve gedachte en de objectieve inhoud moet van buiten af komen. Deze bestaat in God, die tevens de oorzaak (causa sui) is van dit onderscheid. God staat voor Descartes garant voor de waarheid, de overeenkomst van subject en inhoud van denken. Die waarheid is de waarheid van het wiskundig inzicht: inzicht dat op basis van heldere, zuiver van elkaar onderscheiden eenzinnige begrippen tot stand is gekomen. God is een metafysisch wiskundige of een mathematisch metafysicus. En dat is niet alleen bij Descartes het geval, maar ook bij Spinoza, Leibniz en bij Hume. Zij denken metafysisch. Dat wil zeggen dat ze pogen te begrijpen hoe de werkelijkheid voor ons is vanuit een denkbeeld over hoe de werkelijheid in zich is.

Maar wat is de grond van dit denkbeeld? Volgens Kant is dat pure speculatie. De mens kan dat helemaal niet weten. Bij Kant daalt God af van het metafysische naar het menselijk subject, bij Kant de oorsprong van het ‘transcendentale inzicht’, het inzicht dat de ervaring te boven gaat.

Kant vraagt naar de mogelijkheidsvoorwaarden van onze kennis. Over welke vermogens beschikt de mens om de werkelijkheid te kennen?

Bij Kant is weliswaar de werkelijkheid zoals we die ervaren de grondslag van ons leven en kennen, maar deze werkelijkheid is alleen voor ons toegankelijk als zijnde voor ons, als verschijning. Voor Kant is dus de vraag hoe redelijkheid, denken, en feitelijkheid in onze ervaring op elkaar betrokken zijn.

Als we het over een werkelijkheid ‘an sich’ hebben (die voor ons onkenbaar zou zijn) dan is dat wel een werkelijkheid ‘an sich’ voor ons.

Kant denkt nog steeds in de Cartesiaanse traditie van een onderscheid tussen redelijkheid en feitelijkheid, tussen denken en wereld. Volgens Hegel is de redelijkheid dáárom onderscheiden van de feitelijkheid omdat deze verhouding tot de feitelijkheid is. Het zijnde is verhouding zijn. Wij zijn ons lichaam, onze natuur, ons milieu, onze maatschappelijke en historische bepaaldheid op de wijze van ons er toe te verhouden.

Wat is metafysica bij Kant? Bij Aristoteles is metafysica de wetenschap van het zijnde als zijnde. Dat zijnde is primair substantie of als eigenschap betrokken op substantie. In de moderne natuurwetenschap is het substantie-begrip verdwenen. Daarin gaat het over materie, energie en krachten, en meer en meer over hoe de dingen ingebed zijn in structuren: de in- en uitwerking van de dingen op de omgeving. Kant leefde in een overgangstijd, de tijd van de successen van de Newtonse mechanica. Een helder onderscheid tussen het mathematische, het fysische en het metafysisiche was nog niet gemaakt.

De filosoof probeert het denken van zijn tijd uit te drukken, maar is zelf daarbij aan die tijd gebonden. Waarom heeft het tot de 19de eeuw moeten duren voordat er niet-Euclidische meetkundes ontstonden? Het is een metabletische vraag, waarvan het antwoord ligt in het verhaal dat een wereldbeschouwing en een mensbeeld schetst.

Ruimte en tijd

De aanschouwingsvormen ruimte en tijd worden door Kant beschouwd als structurele en constitutieve voorwaarden van onze zintuiglijke gewaarwording.

“In der Erscheinung nenne ich das, was der Empfindung korrespondiert, die Materie derselben, dasjenige aber welches macht, dass der Mannigfaltige der Erscheinung in gewissen Verhältnisse geordnet werden kann, nenne ich die Form der Erscheinung. Da das worin sich die Empfindungen allein ordnen, und in geistige Form gestellet werden können, nich selbst wiederum Empfindung sein kann, so ist uns zwar die Materie aller Erscheinung nur a posteriori gegeben, die Form derselben aber muss zu ihnen insegesamt im Gemüte, a priori bereits liegen, und daher abgesondert von aller Empfindungen können betrachtet werden”. (Kant, Kritik der Reinen Vernunft, Die Transzendentalen Ästhetik, par. 1, p. 81)

Volgens Kant zijn die “aanschouwingsvormen” vormen van het kennend subject, die “im Gemüte a priori bereits liegen”. Hegel bekritiseert Kant: de dingen zijn zelf ruimtelijk en tijdelijk.

“Wenn wir aber gesagt habben, dass das Empfundene vom anschauenden Geiste die Form des Räumlichen und Zeitlichen erhalte, so darf dieser Satz nicht so vertsnaden werden als ob Raum und Zeit nur subjektive Formen seien. Zu solchen hat Kant den Raum und Zeit machen wollen. Die Dinge sind jedoch in Wahrheit selber räumlich und zeitlich: jene doppelte Form des Aussereinander wird ihnen nicht einseitigerweise von unserer Anschauung angetan, sondern ist ihnen von dem an sich seienden und unendlichen Geiste, von der schöpferischen ewigen Idee schon ursprüngliche angeschaffen.” (Hegel, Enzyklopädie, par. 448, Zusatz).

Ruimte en tijd zijn bijzondere vormen van de algemene kwantitatieve structurele aspecten van het zintuiglijk waarneembare. De wiskunde beschouwt deze kwantitatieve aspecten op zich en objectiveert ze in mathematische objecten, getallen, figuren, in het algemeen: structuren.

Uit het feit dat aan ieder zintuiglijke waarneembaar zijnde een structureel aspect zit volgt niet zonder meer hoe dit in een mathematische theorie wordt beschreven.

De vraag naar de waarheid

Zijn de beweringen van de meetkunde van Euclides waar? Om die vraag te kunnen beantwoorden moeten we weten waar die meetkunde over gaat. Over punten en lijnen en over driehoeken en cirkels. Maar wat zijn dat voor dingen? We kunnen wel allerlei definities geven van dingen maar dat wil nog niet zeggen dat ze ook werkelijk bestaan. Zijn dat dingen die in onze dagelijke ruimte voorkomen? ‘Dagelijkse ruimte’, dit is nogal een dubbelzinnig begrip. Is het de voorstellingsruimte, de bewegingsruimte, de visuele ruimte, de tastruimte? De ruimte om ons heen? Maken de dingen in de ruimte de ruimte, of bestaat de ruimte buiten de dingen die in de ruimte zijn? Is de ruimte een object?

Wat had Euclides voor ogen toen hij de punt omscheef als ‘dat wat geen deel heeft‘ en de lijn als ‘een lengte zonder breedte‘ ? Verwijzen deze omschrijvingen indirect niet naar materiële objecten in de ruimte om ons heen? Een stoel en een steen, die zijn deelbaar, ze hebben delen. Maar een punt heeft geen delen. Euclides wil kennelijk dit verschil benadrukken. Euclides lijkt de punt als object te zien (wat weliswaar geen deel heeft) en niet als positie, als plaats in een ruimte. Dat aspect komt pas naar voren wanneer het over de rechte lijn gaat. Wanneer van een punt naar een ander punt een lijn getrokken wordt, dan is de punt een plaats in de ruimte. De ondeelbaarheid van de punt staat dan voor de exactheid van de locatie.

We zien hier het typisch mathematische karakter van de entiteiten: dat hun zijn volledig bepaald wordt door de relaties die ze tot elkaar hebben. Elke verwijzing naar iets buiten deze gedefinieerde bepalingen leidt tot verwarring. Het punt als object is identiek aan de plaats in de ruimte die bepaald wordt door de relatie met andere objecten, punten en lijnen. Merk op dat een lijn niet bestaat uit punten: een punt heeft geen lengte. Wat iets anders is dan te zeggen dat het een lengte heeft die nul is. De idee lengte en de idee breedte zijn er volkomen vreemd aan.

Punt en lijn worden bepaald door aan te geven wat ze niet zijn, welke eigenschap ze niet hebben. Het zijn geen waarneembare materiële dingen.

Het mathematisch subject stelt de objecten voor als te bestaan in een ruimte. Het subject zelf staat buiten de ruimte waarin de objecten gelocaliseerd gedacht worden. Het subject als zodanig kan in geen enkele ruimte gelocaliseerd worden. (Fleischhacker, voetnoot op pagina 111.) Het subject kan zich zelf en zijn activiteiten wel projecteren in een ruimte, maar dat is dan juist niet het subject als subject dat zichzelf projecteert. “De hand die zichzelf tekent heeft zichzelf niet getekend”.

De constructie van niet-euclidische meetkunden

In de 19de eeuw werden niet-euclidische meetkundige stelsels ontdekt. Of moeten we zeggen: ‘geconstrueerd’? De wiskunde heeft als eigenaardigheid dat het zowel een theoretische wetenschap is, waarin exacte kennis wordt nagestreefd, als ook dat het de objecten van zijn kennis zelf voortbrengt. De ontwikkelingen in de meetkunde van de 19de eeuws wierpen opnieuw de vraag op hoe we deze eigenaardigheid moeten begrijpen.

Kant heeft deze ontwikkeling nooit meegemaakt. Hij overleed in 1804 ruim vóór de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde.

Maar de niet-Euclidische meetkunde hing wel in de lucht.

De Italiaanse wiskundige Giovanni Saccheri werd geboren in 1667. In zijn sterfjaar 1733 verscheen zijn werk “Euclides ab Omni Naevo Vindicatus” (“Euclides van elke blaam gezuiverd“). Daarin beschrijft Saccheri zijn pogingen de onafhankelijkheid van het vijfde postulaat van Euclides aan te tonen.

Wist Kant van de pogingen van Saccheri om de onafhankelijkheid van het parallellenpostulaat te bewijzen? Saccheri gebruikte daarvoor de methode die bekend staat als ‘bewijs uit het ongerijmde’. Hij nam aan dat het postulaat, of een daarmee gelijkwaardige bewering, niet waar is. Wanneer met behulp daarvan een tegenspraak kan worden afgeleid dan mogen we concluderen dat het postulaat onafhankelijk is. Saccheri slaagde niet in zijn pogingen, maar zijn methode leverde een aantal beweringen op die we nu niet-Euclidisch kunnen noemen. Bijvoorbeeld dat de som van de hoeken in een driehoek groter of kleiner is dan een gestrekte hoek. Of dat door een punt buiten een rechte lijn er geen of oneindig veel lijnen parallel aan de gegeven rechte lopen.

Janis Bolyai en Nicolai Lobatsjewski kwamen onafhankelijk van elkaar in 1823 tot het formuleren van een niet-Euclidische meetkunde waarin de hoekensom van een driehoek kleiner is dan een gestrekte hoek. Een eigenschap van de ruimte zoals die beschreven wordt door deze theorie is dat er een grens aan is. In de Euclidische ruimte is er bij ieder oppervlak, hoe groot ook, een driehoek die het oppervlak bevat. Volgens de niet-Euclidische meetkunde ‘van de scherpe hoek’ is dat niet zo. Wanneer je de driehoek groter maakt worden de hoeken ervan steeds scherper en de oppervlakte groeit steeds minder. Uiteindelijk groeit de oppervlakte helemaal niet meer en zijn de hoeken nul graden.

Wie het werk van Saccheri vermoedelijk wel kende was de grote wiskundige Gauss Hij had zich al op jeugdige leeftijd verdiept in de meetkunde. Hij twijfelde aan het vijfde postulaat. Hij was van mening dat de waarheid van de meetkunde bepaald wordt door de ervaring en niet door een inzicht. We moeten dus door meten te weten komen of het vijfde postulaat geldig is. Hij vermoedde dat de som van de hoeken van een driehoek afhankelijk is van de grootte ervan. Hij ondernam een driehoeksmeting tussen drie bergtoppen op onderlinge afstanden van 69, 85 en 107 kilometer. Helaas voor hem bleek de hoekensom niet significant te verschillen van 180 graden. Dat was zo’n veertig jaren voordat Bolyais vader, die ook wiskundige was, Gauss de door zoon Janos Bolyai ontdekte meetkunde stuurde. Gauss reactie was dat als hij het werk van Janos zou prijzen hij zijn eigen werk zou prijzen want hij had het zelfde veertig jaar eerder al bedacht. Lobatsjewski was net als Gauss van mening dat het inzicht in de meetkunde berust op ervaring alleen en niet uit een transcendentaal begrip dat de ervaring te boven gaat.

Henri Poincaré bewees door de niet-Eucidische theorie binnen de Euclidische stereometrie (van de driedimensionale ruimte) te interpeteren dat deze meetkunde van de bol (of van de stompe hoek) consistent is als de meetkunde van Euclides dat is. Want als de niet-Euclidische theorie een tegenstrijdigheid bevat dan bevat via de interpretatie van Riemann de stereometrische Euclidische theorie die ook.

Er wordt wel beweerd dat Kants filosofie van de ruimte steunt op een Euclidisch beschreven ruimte en omdat de komst van niet-Euclidische meetkundes betekent dat de ruimte niet meer noodzakelijk Euclidisch hoeft te zijn, we Kants notie van transcendentale ruimte kunnen verwerpen.

Wat houdt die notie van de transcendentale ruimte in?

Synthetische oordelen a priori

Is wiskunde deductief? Waar komt dan die zekerheid vandaan?

Is ze puur analytisch? Is ze onderdeel van logica? Leert ze ons dan nog iets nieuws? Is niet de hele wiskunde een tautologie? A = A .

“As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, as far as they are certain, they do not refer to reality.” (Einstein)

Of is er een derde optie? Zijn sommige delen van de wiskunde analytisch, andere niet? Is er een ‘zuivere wiskunde’ die puur analytisch is? Welk deel is dat dan?

Om wat voor abstractie gaat het, waaruit de wiskundige kennis ontstaat?

Wiskundige oordelen zijn volgens Kant allemaal synthetisch. Verder zijn ze a priori en niet empirisch, omdat zij een noodzakelijkheid in zich dragen die niet uit de ervaring kan worden gehaald.

Poincaré noemt het Principe van Volledige Inductie (noodzakelijk voor de overgang van eigenschappen van eindige naar die van oneindige verzamelingen) het ‘ schoolvoorbeeld van het synthetisch a priori’. “Het dringt zich aan ons op met een onweerstaanbare evidentie.” Omdat ze “een bevestiging van de geest zelf is” (Poincare, p. 47).

Dat de rechte lijn tussen twee punten de kortste is, dat is een synthetische stelling. Want het begrip rechte houdt niets van grootte in. Men moet hier zijn toevlucht nemen tot aanschouwing waardoor de synthese alleen mogelijk is. (Kant, Prolegomena p.53). En dit geldt voor alle axiomas uit de zuivere wiskunde. Wat wezenlijk is voor de zuivere wiskundige kennis en wat haar onderscheidt van alle andere kennis a priori is dat zij volstrekt niet uit begrippen volgt, maar steeds slechts door constructie van de begrippen moet worden ontwikkeld.

Dat wiskundige kennis mogelijk is daarvan is Kant overtuigd. Maar hoe is dat mogelijk? Hij gaat op zoek naar de voorwaarden van deze kennis.

Er moet een of andere zuivere aanschouwing aan de zuivere wiskundige kennis ten grondslag liggen, waarin de wiskunde al haar begrippen in concreto en toch a priori kan voorstellen of, zoals men dat noemt, construeren.

Bronnen

Evert W. Beth (1969). Moderne Logica. Uitgeverij Van Gorkum & Comp. N.V. Assen, 1969.

Fleischhacker, Louk (1974). Inleiding Logica (I en II). Collegedictaat Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen, Vakgroep Wijsbegeerte, 1974

In apodictische redeneringen gaat het om zekere kennis. Dialectische redeneringen zijn die waarin er meningen tegen elkaar worden uitgespeeld, waaruit geprobeerd wordt de meest waarschijnlijke conclusie te trekken.

Poincaré, Henri (1979). Wetenschap en hypothese. Boom Uitgevers, Meppel. Vertaling uit de oorspronkelijke franse uitgave van La science et l’hypothèse, 1902.

De principes van de meetkunde zijn geen ervaringsfeiten.

De euclidische meetkunde heeft niets te vrezen van nieuwe waarnemingen. (p. 102)

Rutten, Emanuel (2020). Contra Kant. KokBoekencdentrum, Uitgevers. Utrecht, 2020.

Rutten, G.J.E. (2020). De gevolgen van de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde voor Kant’s filosofie van de wiskunde.

Hierin betoogt Rutten “dat Kant’s filosofie van de wiskunde niet als volledig weerlegd hoeft te worden beschouwd door de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde.” Er bestaat volgens Rutten “een coherente interpretatie van Kant’s filosofie van de wiskunde die laat zien dat ook ná de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde zinvol gesproken kan worden over het a priori synthetisch zijn van de wiskunde. Aan de andere kant is het zeker niet zo dat genoemde ontwikkeling geheel zonder gevolgen kan blijven voor Kant’s opvattingen over de aard van de wiskunde.”

In het eerste deel van de transcendentale hoofdvraag van de Prolegomena motiveert Kant dat de ruimte een zuivere a priori aanschouwingvorm is die noodzakelijk aan de meetkunde ten grondslag ligt. Deze aanschouwingsvorm stelt de meetkundige namelijk in staat om meetkundige begrippen ‘in concreto’ en geheel a priori te construeren (P7). Meetkunde wordt dan ook beschouwd als een zuiver produkt van de rede en berust derhalve niet op empirisch zintuiglijke ervaring.

In feite doet de metafysische uiteenzetting helemaal géén beroep op een specifiek meetkundig stelsel. Uiteraard kan volgehouden worden dat dit zo is omdat Kant impliciet uitgaat van het noodzakelijk bestaan van slechts één meetkunde (namelijk de Euclidische).

In dit artikel gaat het niet om Kant’s impliciete opvattingen maar om de vraag in hoeverre de in zijn kritische werk beschreven transcendentaal filosofie ruimte laat voor alternatieve meetkundige stelsels.

Kant stelt in zijn Transcendentale Esthetica dat ruimte een zuivere a priori aanschouwingsvorm van de waarneming is en dat a posteriori gewaarwordingen de materie van de waarneming uitmaken, dat ruimte zich in de zintuiglijkheid van het kennend subject bevindt en reeds gekend wordt voor alle mogelijke ervaring, dat ruimte alle ervaring eerst mogelijk maakt, dat ruimte geen eigenschap van de dingen op zichzelf is, dat ruimte zonder kennend subject een geheel leeg begrip zou zijn en dat de dingen zoals ze op zichzelf zijn voor het kennend subject (daarom) totaal onkenbaar zijn.

Géén van deze claims en ook andere meer fenomenologisch getinte claims, zoals bijvoorbeeld Kant’s uitspraak dat de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte ons leert dat in de fenomenale wereld alle dingen ‘buiten ons’ bestaan en bovendien ‘naast elkaar in de ruimte bestaan vereisen volgens Rutten dat de ruimte als a priori aanschouwingsvorm Euclidisch moet zijn.

Dit doet hij met name om te laten zien dat meetkundige oordelen niet louter door begripsanalyse (en toepassing van PNC) afgeleid kunnen worden en het kennend subject dus wel zijn toevlucht tot de aanschouwing moet nemen. Opnieuw kan opgemerkt worden dat géén van genoemde voorbeelden steunt op het Euclidisch zijn van de ruimte.

De cognitief-gedomineerde interpretatie gaat uit van de gedachte dat de ruimtelijke structuur van de fenomenale wereld noodzakelijk euclidisch is.

Volgens de ‘cognitief-gedomineerde interpretatie’ van Kants synthetisch a priori van de meetkunde verruimt het oordeel dat de som van de driehoeken van een driehoek 180º is onze kennis van de ervaren wereld en moet dus een synthetisch oordeel zijn. Dergelijke oordelen kunnen niet het resultaat zijn van uitsluitend een conceptuele begripsanalyse volgens algemeen logische principes.

Meetkundige oordelen zijn derhalve noodzakelijk Euclidisch en tegelijkertijd ware uitspraken over de fysieke ruimte van de fenomenale wereld.

Meetkundige oordelen zijn in de cognitief-gedomineerde interpretatie ook a priori omdat de herkomst het kenvermogen van het kennend subject betreft en niet de empirische zintuiglijkheid. Meetkundige oordelen kunnen door het kennend subject los van iedere empirische ervaring gekend worden. Hiertoe beschikt ieder kennend subject over de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Doordat deze zuivere aanschouwingsvorm zich volledig in het kenvermogen van het kennend subject bevindt is het kennend subject in staat om geheel los van de ervaring meetkundige begrippen (zoals een driehoek) te construeren en oordelen over deze begrippen te demonstreren. Dit doet het kennend subject door zich in de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte een concreet aanschouwelijke geometrische voorstelling te maken van objecten van mogelijke ervaring en vervolgens in concreto meetkundige eigenschappen van deze objecten te demonstreren aan de hand van aanschouwelijke geometrische bewerkingen. Overigens zijn in deze interpretatie meetkundige oordelen ook a priori omdat zij los van de ervaring gerechtvaardigd kunnen worden en dus noodzakelijk geldig zijn. Ze zijn noodzakelijk omdat ze niet door toekomstige empirische ervaringen kunnen worden weerlegd. Kant gebruikt hiervoor ook wel de aanduidingen algemeen geldig of apodictisch.

In de logisch-gedomineerde interpretatie van Kant’s positie wordt het a priori zijn van wiskundige oordelen op dezelfde wijze opgevat als in de eerste interpretatie. Beide interpretaties verschillen dus alléén in de manier waarop het synthetisch zijn van wiskundige oordelen wordt begrepen. In de tweede interpretatie zijn wiskundige oordelen synthetisch vanwege de specifieke manier waarop ze afgeleid worden uit gegeven wiskundige concepten.

De kern van de analyse is dat volgens Kant een a priori synthetisch oordeel een oordeel is waarbij het predikaat een attribuut is van het subject dat noodzakelijk volgt uit de essentie van het subjectbegrip maar er niet in bevat is. Dit betekent dat begripsanalyse in combinatie met het toepassen van het principe van non-contradictie (PNC) niet volstaat om te bewijzen dat het attribuut noodzakelijk volgt uit de essentie van het subjectbegrip. Er zal dus volgens Kant in plaats van een ‘analytische afleiding volgens het PNC’ gebruikgemaakt moeten worden van een geheel ‘ander principe’. In het geval van de meetkunde is dit ‘andere principe’ niets anders dat de hierboven beschreven ‘in concreto’ demonstratie van geometrische eigenschappen in de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte door het kennend subject. Oordelen in de meetkunde zijn uitsluitend synthetisch omdat voor de afleiding van dergelijke oordelen een beroep gedaan moet worden op de concrete aanschouwelijkheid. Meetkundige oordelen zijn dus synthetisch omdat naast het subject en predikaat begrip ook de zuivere aanschouwing van een individueel concreet meetkundig object noodzakelijk is om de geldigheid van het oordeel in te zien. Het PNC in combinatie met begripsverheldering is hiervoor volstrekt onvoldoende.

In logisch-gedomineerde interpretatie zijn meetkundige oordelen a priori vanwege het feit dat de vereiste aanschouwelijkheid (het onmiddellijk betrokken zijn op een singulier object) in het geval van meetkunde komt van de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Voor de rechtvaardiging van deze oordelen is dus geen beroep op de zintuiglijke ervaring nodig. Zoals bekend verbindt Kant ‘a priori’ steeds aan noodzakelijkheid en algemeen geldigheid. Wiskundige oordelen zijn onder de logisch-gedomineerde interpretatie inderdaad noodzakelijk en algemeen geldig. We dienen deze noodzakelijkheid dan echter niet langer te betrekken op wat er in de fenomenale wereld het geval moet zijn (zoals gebeurd in de eerste interpretatie) maar juist op de apodictische geldigheid van het oordeel binnen de context van een bepaald meetkundig stelsel.

De ontdekking van niet-euclidische meetkunde heeft duidelijk gevolgen voor de cognitief gedomineerde interpretatie. Wanneer blijkt dat meerdere elkaar uitsluitende meetkundige stelsels denkbaar zijn moet (om binnen Kants conceptie van meetkunde en feitelijk van zijn gehele transcendentaal filosofie) te blijven geconcludeerd worden dat de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte meerdere meetkundige stelsels voorstelbaar maakt. Deze aanschouwingsvorm kan als geometrisch ordenings-principe dus niet restloos samenvallen met de Euclidische meetkunde. De geometrische structuur van de fenomenale wereld valt dus niet noodzakelijk samen met die van de Euclidische meetkunde

Ruttens conclusie is dat wanneer we de eerste interpretatie volgen Kant’s conceptie van meetkunde (en daarmee van wiskunde) als synthetische a priori wetenschap als weerlegd moet worden beschouwd.

Dit geldt echter niet voor de logisch-gedomineerde interpretatie. Meetkundige oordelen zijn volgens de tweede interpretatie nog altijd synthetisch a priori. Voor het bewijzen van geometrische eigenschappen van meetkundige objecten is immers nog steeds de ruimte als zuivere a priori aanschouwingsvorm vereist. Deze vorm laat nu echter meerdere meetkundige stelsels toe hetgeen betekent dat de meetkundige vooraf moet besluiten binnen welk specifiek meetkundig stelsel hij oordelen wil gaan vormen. Ongeacht het specifieke meetkundige stelsel is de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte volstrekt noodzakelijk om tot meetkundige oordelen binnen dat stelsel te komen. Iedere meetkundig oordeel blijft dus een synthetisch oordeel in de zin van de tweede interpretatie. Wel krijgen meetkundig oordelen nadrukkelijk een hypothetisch karakter.

(voetnoot: De cognitief-gedomineerde interpretatie veronderstelt feitelijk dat alle meetkundige oordelen categorisch zijn terwijl de logisch-gedomineerde interpretatie juist tot de conclusie moet leiden dat meetkundige oordelen hypothetisch zijn (naast a priori en synthetisch).

Meetkundige oordelen kunnen in het geval van de tweede interpretatie ná de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde ook nog altijd als a priori worden beschouwd omdat zij geheel los van de empirische zintuiglijkheid worden afgeleid, als bron het kenvermogen van het kennend subject hebben en als hypothetisch oordeel nog altijd volstrekt noodzakelijk en algemeen geldig zijn.