Het wiskundig universum van de fysica en de mathematische biologie
“Hoe komt het dat de wiskunde zo goed onze werkelijkheid beschrijft?”. In Our Mathematical Universe geeft de fysicus, cosmoloog en oprichter van het Future of Life Institute Max Tegmark antwoord op deze prangende vraag.
Zijn antwoord is kort gezegd: ons universum, ons heelal, inclusief ons zelf, is een wiskundige structuur. Wie zijn stelling betwijfelt en er de tijd voor neemt om zijn 400 pagina’s lange bewijs door te ploegen, die zegt wellicht: Max zou best eens gelijk kunnen hebben. Maar de vraag is allereerst: wat bedoelt hij met “ons Universum”? Wiens Universum? Is dat mijn werkelijkheid? Het blijkt het Universum van de fysica te zijn, en dan nog van een heel bepaalde opvatting binnen de fysica, die zowel de kosmologie als de kwantummechanica omvat. Tegmark’s boek geeft een boeiend overzicht van de hedendaagse fysica en is daarom al waard om gelezen te worden. Maar gaat Tegmark met zijn stelling de grenzen van de fysica niet te buiten? Is dit geen metafysica? Is Tegmark misschien een representant van de moderne opvatting die de wiskunde als de metafysica beschouwt?
De wiskunde geldt nog steeds als leverancier van zekere kennis. Misschien is het daarom dat veel wetenschappers en leken van mening zijn dat kennis pas echt kennis is wanneer deze op mathematische wijze, dat is in de vorm van wiskundige modellen kan worden uitgedrukt. Omdat de werkelijkheid voor zover we die kunnen kennen volgens deze opvatting wiskundig is. Die modellen zijn soms uiterst complex, zoals die in de verschillende takken van de biologie. Denk aan epidemiologische of bio-moleculaire modellen die de verspreiding van een virus of de werking van een medicijn beschrijven.
Maar in hoeverre beschrijven die modellen die de wetenschap produceert de werkelijkheid van alledag? Gaan de mathematische fysica en de mathematische biologie wel over de werkelijkheid waarin we leven?
De externe werkelijkheid van de wetenschap
Het kenmerk van de moderne wetenschap is dat deze hypothetisch van karakter is. Al onze kennis is van de vorm “als dit en dat dan is het zus en zo”. Tegmark poneert twee hypotheses. Ze zijn niet experimenteel te toetsen. Hij wil ze aannemelijk maken.
De eerste is de Externe Realiteit Hypothese (ERH): Er bestaat een externe fysische werkelijkheid onafhankelijk van ons mensen.
De meeste fysici zijn het volgens Tegmark hier wel mee eens. Behalve wellicht solipsisten en de aanhangers van de Copenhagen interpretatie van de quantummechanica. Een niet te verwaarlozen groep overigens.
Wat is een ‘externe’ werkelijkheid? Hoe ziet een werkelijkheid eruit die niet door mensen gezien wordt? Dat kan toch niet het leven zijn. Want mijn leven bestaat niet onafhankelijk van mij. En leven bestaat niet zonder dat het voor iets of iemand, voor een zeker individu, ‘zijn leven’ is.
Het is een vreemde vraag. Moeten we het waarnemend en kennend subject, de observer, meenemen in het object van onze kennis van de natuur? Het antwoord is de algemene relativiteitstheorie. Meten is weten, maar door te meten beïnvloeden we dat wat we meten. Het resultaat is dus dat we een eigenschap van het meetproces kennen. Of kunnen we toch iets over de objectieve werkelijkheid zelf zeggen? Wat is het werkelijkheidsgehalte van de wiskundige vergelijkingen waarin we de meetresultaten uit onze experimenten proberen te vangen.
Het is deze vraag die nogal wat stof deed opwaaien toen Erwin Schrödinger met zijn kwantumvergelijkingen kwam. Die had hij bedacht toen hij, geveld door een tuberculoseaanval, in een sanatorium in de Zwitserse bergen lag. Wat moet je anders doen. Deze wiskundige vergelijkingen (ze staan in zijn grafsteen gebeiteld) beschrijven de kwantumtoestand van een systeem. De grote vraag was: hoe moeten we deze interpreteren? Waar gaat dit over? De Copenhagen interpretatie komt erop neer dat je zegt: vaagheid en onzekerheid zijn een kenmerk van de werkelijkheid zelf. De dingen zijn vaag en er is onzekerheid. Een deeltje bevindt zich niet op één bepaalde positie maar op meerdere een beetje. Het zijn eigenlijk wolkjes. Zoals de wolkjes om de temperatuurgrafiek waarmee de weerman ons zijn voorspelling voor het weer voor de komende week laat zien.
Maar geldt dat dan ook niet voor de toestand van dingen die we in ons dagelijkse ervaringswereld observeren, zoals de stoel of de kat van Schrödinger? Die bestaan, net als Schrödinger zelf, immers volgens de fysici uit kwantumdeeltjes. Maar die kat is dood of levend. Niet een beetje dood en een beetje levend tegelijk. De tegenstanders zeggen: vaagheid en onzekerheid wordt door ons mensen gemaakt. Dat komt door onze waarneming. Als we afzien van observaties dan zien we een werkelijkheid die geen onzekerheden kent. Tegmark huldigt deze visie. Hij is aanhanger van de Veel Werelden Interpretatie van de kwantummechanica. Alle mogelijke fysische toestanden bestaan ook daadwerkelijk. Het zijn de vele mogelijke voorspellingen van een theorie. De toestand van de wereld van de observaties is één van deze mogelijke werelden. Alles tezamen genomen vormen deze een gigantisch complexe mathematische structuur, een Hilbert ruimte, waarin ieders leven een pad is langs een trajectorie, een baan door Einsteins tijdruimte, een ruimte waarin tijd een dimensie is zoals hoogte, breedte en lengte. De fysici en alle andere mensen moeten in deze immense ruimte ergens te identificeren zijn als Self-Aware Substructures (SAS). Maar wat betekent het dat we sommige subsystemen in deze ruimte kunnen identificeren als “levende organismen” en andere als “niet-levende organismen”? Moeten we dan niet onze dagelijkse kennis (common sense) begrippen gebruiken om zo’n subsysteem aan te wijzen als deze “hond”, “de kat van Schrödinger” of deze “wetenschapper”? Maar dan moeten we de termen die we normaal gebruiken toevoegen aan de wiskundige theorie. Op deze manier scheiden we de werkelijkheid als datgene wat door de wiskundige structuur beschreven wordt van de dagelijkse leefwereld. En is die wiskundige structuur de echte werkelijkheid en is onze dagelijkse ervaringswereld dan slechts een schijnwereld? (zie voor commentaar op de mathematische biologie, Fleischchacker 1995, p. 58).
De vraag die Tegmark wilde beantwoorden had juist betrekking op de relatie tussen de dagelijkse leefwereld van de ervaring en de wereld van de mathematische objecten. Dat het leven bestaat in de vorm van levende individuen (in verschillende stadia van ontwikkeling) dat ontsnapt aan de algemene beschrijving van de levensprocessen als dynamische systemen. Die individuen komen in de externe realiteit van Tegmark, in zijn mathematisch universum niet voor. Althans, ze zijn niet identificeerbaar.
De opvatting die Tegmark huldigt (zijn Veel Werelden Interpretatie) impliceert dat wat feitelijk is in dezelfde zin mogelijk is als de andere logische mogelijkheden. Deze opvatting behoort tot het hypothetische karakter van de moderne wetenschap. Het factische is in deze opvatting slechts mijn hypothese; het had net zo goed anders kunnen zijn. “Het contingente bij een factische toedracht wordt hier gemaakt tot een puur formeel logische mogelijkheid: het kan even goed zo en anders zijn.” zegt de filosoof Jan Hollak hierover in zijn afscheidsrede over de hypothetische samenleving. (Hollak 2010, p.436) Maar inzoverre het feitelijk zo is dat Ceasar de Rubicon is over gestoken is het tegendeel dat hij dit niet heeft gedaan niet mogelijk. We hebben het dan over een historisch feit, een gebeuren dat zich werkelijk heeft voorgedaan. Zoiets is niet slechts mogelijk. En het tegendeel van dit feitelijk is onmogelijk. Dat wat zich feitelijk voordoet dezelfde zijnswijze geven als wat zich mogelijk, theoretisch, voor kan doen, dat is een typisch kenmerk van het mathematiserende denken. Tegmark drukt dit uit in zijn tweede ‘hypothese’.
De tweede hypothese is de Wiskundig Universum Hypothese (WUH). Deze luidt: Onze externe fysische realiteit is een wiskundige structuur.
Het bewijs van WUH volgt in twee stappen uit de aanname ERH.
De eerste stap is dat een volledige beschrijving van de ‘externe’ werkelijkheid (iets waar de fysici naar streven, een Theorie van Alles) ook voor aliens en supercomputers, wezens die niet begrijpen zoals wij mensen begrijpen, een volledige beschrijving moet zijn. Anders gezegd: iedere vorm van taalgebruik in zo’n beschrijving dat refereert aan de typisch menselijke bestaansvorm (‘human bagage’ noemt Tegmark dat), moet uitgesloten zijn van de beschrijving van de externe werkelijkheid.
Hiermee snijdt Tegmark zorgvuldig alle banden tussen de externe werkelijkheid en onze dagelijkse ervaringswereld door. Het is een gedachte die doet denken aan de Godsidee uit de klassieke metafysica, zoals de God van de mathematicus en filosoof Leibniz.
De tweede stap is dat er geen onderscheid gemaakt wordt tussen de beschrijving van een wiskundig object en dat object zelf. De beschrijving van de externe realiteit is simpelweg deze realiteit.
Daarmee lijkt het bewijs rond. In feite is Tegmark stelling daarmee een tautologie. Hoe kan het ook anders?
De idee van het bestaan van een externe werkelijkheid doet denken aan de Cartesiaanse scheiding tussen het denkende subject en de wereld, waarvan het karakteristieke kenmerk de uitgebreidheid is. De res extensa van Descartes is de externe realiteit van Tegmark, de wereld waaruit het subject als denkend is weggedacht. Wanneer Tegmark zich realiseert dat de observaties (metingen) medebepalend zijn voor hoe de natuur verschijnt, moet hij het observerend subject ook opnemen in zijn universum. Wij mensen worden self-aware substructures van de mathematische structuur die onze externe realiteit is. Maar dit zo geobjectiveerde denkende subject is juist niet het actuele denkende subject. Dat blijft voorondersteld. Hoe kunnen we deze SAS-en vinden ? Het korte antwoord van Tegmark is dat “science hasn’t simply advanced to that point.” (Tegmark, p.293). Het is dus volgens Tegmark aan de toekomst van de wetenschap de levende en de niet-levende entiteiten te onderscheiden als ook de concrete individuen in deze externe werkelijkheid te identificeren.
Er is een relatie tussen Tegmark’s these over het wiskundig karakter van de externe werkelijkheid en de kunstmatige intelligentie, een onderwerp dat zijn bijzondere interesse heeft. Voor Tegmark is de externe werkelijkheid een Turing-machine, een computer die de werkelijkheid niet simuleert, maar die de echte werkelijkheid is. “Are we living in a simulation?” is de vraag die hij aan het eind van zijn boek zich stelt. Maar als die simulatie de werkelijkheid is dan zou het antwoord toch bevestigend moeten zijn! Maar wat doet het er toe als dit zo is? Er is immers geen verschil meer.
Zonder de mens voor wie de machine rekent en allerlei intelligente dingen doet, is de machine echter geen zinvol instrument. We zullen de invoer en uitvoer van de machine moeten interpreteren aan zaken in onze leefwereld, anders heeft de informatieverwerking geen zin.
Tegmark’s maakt een elementaire denkfout wanneer hij beweert dat “if our external reality is isomorphic to a mathematical structure, it therefore fits the definition of a mathematical structure.” (p. 280). En dus is het een mathematische structuur. Inderdaad vanuit het mathematisch perspectief is het niet mogelijk twee zaken (‘structuren’) te onderscheiden wanneer ze dezelfde wiskundige structuur hebben. De structuur is immers het object. Hieruit volgt volgens Tegmark dat er geen zinvol onderscheid bestaat tussen de werkelijkheid en haar beschrijving als wiskundige structuur waarin ze niet één en hetzelfde zijn.
Je kunt twee identieke cirkels alleen onderscheiden door ze een naam te geven (identifier). Maar die naam behoort niet tot de structuur zelf.
Woorden als ‘bal’ of ‘molecuul’ behoren volgens Tegmark tot de ‘bagage’ die niet thuis hoort in een wiskundige beschrijving van de externe werkelijkheid. Voor Tegmark zijn het handzame afkortingen voor zekere wiskundige structuren. Maar zoals gezegd: er rest dan nog een klein probleempje: hoe vinden we die objecten zoals deze bal, die stoel of deze mens, weer terug in dit mathematisch universum?
Is de wetenschap ‘ook maar een mening’?
De meeste fysici hebben ondertussen wel ingezien dat de natuur niet op bevredigende wijze in wiskundige structuren en formules te vatten is. (Niet zo gek als je bedenkt dat de wiskunde niet in staat is verandering als verandering te begrijpen. Toch een belangrijk natuurverschijnsel. Lees Tegmark’s boek hoe hij dit probleem met behulp van het begrip ‘ruimte-tijd’ van Einstein ‘oplost’.) Maar in tal van andere domeinen (sociale wetenschappen) wordt de wiskundige modellering (o.a. statistiek) door velen nog steeds als de ideale vorm gezien waarin de wetenschappelijke kennis zou moeten worden uitgedrukt om voor ‘wetenschappelijk’ te worden aangezien.
Al zien we ook daar een kentering; een kentering die wel haast onmiddellijk lijkt om te slaan in een radicaal tegenoverliggende stellingname: een onbezonnen relativering en zelfs verwerpen van de vruchten van de wetenschap.
Wanneer de bekende Enschedese politicus Pieter Omtzigt tekeer gaat tegen het gebruik van modellen in de politiek, dan bedoelt hij niet dat we de modellen in de wetenschap moeten afschaffen. Als econometrist weet hij heel goed dat de wetenschap niet zonder theoretische modellen kan. Wat hij bekritiseert is het gebruik van modellen alsof het heilige koeien zijn die zonder meer de waarheid spreken. Als het volgens het model zo is, dan wordt kritiekloos aangenomen dat het zo is en niet anders. Het model komt in plaats van de werkelijkheid die achter de modellen uit het zicht verdwijnt. Het kritiekloos denken in termen van en reken met de gegevens opgeslagen in de systemen van de Belastingdienst zonder te bedenken dat het om berekenbare modellen van echte personen, individuele burgers, gaat, is mede oorzaak van de toeslagenaffaire.
Het zou helpen wanneer we ons realiseren dat onze wetenschappelijke waarheden een hypothetisch karakter hebben. En dat dat een noodzakelijkheid is. De werkelijkheid schrijft niet voor eens en voor altijd voor hoe deze gemodelleerd moet worden. Dat mag echter geenszins een reden zijn om de wetenschap te devalueren tot ‘ook maar een mening’.
In Beyond structure leidt Louk Fleischhacker (1995) ons in een zoektocht naar de grenzen van het mathematische denken. Dit denken denkt (actief en passief) de werkelijkheid als structureerbaar. De vraag is dan: “what is not reducible to structurability in this world?” Het meest voor de hand liggende (‘most obvious’) antwoord op deze vraag is: het leven. (p. 56). De mathematische biologie (o.a. René Thom) probeert net als de fysicus Max Tegmark een wiskundige beschrijving van het leven te geven. Maar als deze mathematische dynamische structuren, waarin het leven een realisatie is van een trajectorie in de tijdruimte, de realiteit is, wat is dan de status van onze dagelijkse ervaringswereld?
Bij het structureren van de wereld doen we alsof deze bestaat uit ideale, intelligibele, materie, ontvankelijk voor het toekennen van zuivere structurele vormen. Materie en vorm zijn principes die buiten elkaar bestaan. De mathematische sfeer is de sfeer van de uitwendigheid: het stellende mathematische subject staat buiten de wereld van de gedachte, geconstrueerde, structuren, de mathematische objecten. De onderscheiden delen bestaan buiten elkaar, zoals de elementen van een verzameling. Zodra we het leven op een wetenschappelijke manier proberen te begrijpen en dat houdt in levensprocessen als complexe multi-level systemen modelleren (Van den Berg 2017), zoals Tegmark en Thom dat proberen, dan herkennen we ons leven en in het algemeen onze werkelijkheid niet in de resultaten. Deze systemen beschrijven het leven op het niveau van de ontwikkeling of evolutie van de soorten. Bijvoorbeeld de verspreiding van een virus of bacterie in epidemiologische en microbiologische studies, of de invloed van medicijnen op vitale neurale of hormonale levensprocessen in de moleculaire biologie (Motta 2013). Wat aan deze modellen en dit mathematische begrip ontsnapt zijn de wezenlijke kenmerken van het leven: de individualiteit van levende organismen in onderscheid van de soort (“die hond”, “deze mens”), de betekenis die de kennis van het leven voor dit individu heeft en het feit dat het leven zijn doel en oorzaak in zichzelf heeft, in die zin van buiten onbegrensd is. Het leven realiseert zijn eigen grens en laat zich dat niet van buitenaf aanmeten. Het individu is betrokken op wat er buiten zichzelf bevindt en wat is dus in zekere zin tot het eigen leven behoort.
Het leven is zijn eigen oorzaak als ook zijn eigen doel (zie over de Idee Leben, Hegel Wissenschaft der Logik II, p. 469 e.v.). Het zijn begrippen die de biologie vooronderstelt, maar die ze niet als zodanig als onderwerp beschrijft. Ze moet zich vanwege haar karakter als wetenschap beperken tot de levensprocessen, zonder te kunnen verantwoorden waarom dit levensprocessen zijn in onderscheid van de niet-levende processen van de fysica.
In de moderne wetenschap betekent oorzakelijk gedrag wetmatig gedrag. In mathematische modellen zijn het functionele samenhangen beschreven door stelsels van vergelijkingen tussen variabelen. Vanuit filosofisch perspectief impliceert het begrip leven dat een organisme de grenscondities voor zijn bestaan veroorzaakt waardoor het in staat is zelfstandig dit veroorzakend vermogen in stand te houden. Het begrip oorzaak dat we nodig hebben om dit betekenis te geven is niet in overeenstemming met het begrip oorzaak zoals dat in de moderne wetenschap, als wetmatig, wordt opgevat (zie Fleischhacker 1998, p. 145).
Bronnen:
Hugo A. van Den Berg (2017). Inceptions of Biomathematics from Lotka to Thom. Science Progress. March 2017:45-62.
Louk Fleischhacker (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.
Louk Fleischhacker (1998). On the notion of life. Theor. Biosci. (1998) 117; 139-160.
G.W.F. Hegel (1969). Wissenschaft der Logik II, Deel 6 van de Werke in Zwanzig Bänden. Theorie Werkausgabe Suhrkamp Verlag, 1969.
Jan Hollak en Wim Platvoet (red.) 2010. Denken als bestaan: Het werk van Jan Hollak. Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.
Santo Motta en Francesco Pappalardo (2013). Mathematical modeling of biological systems, Briefings in Bioinformatics, Volume 14, Issue 4, July 2013, Pages 411–422, Different types of models that have been used in biology for knowledge discovery
and predictions are described. Biological Models are multilevel complex systems.
Max Tegmark 2014. Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, Penguin Books, 2014.
