een boekbespreking van Victor Gijsbers, Oneindigheid – een filosofische gids, verschenen bij uitgeverij Boom, 2025.
“From time immemorial, the infinite has stirred men’s emotions more than any other question. Hardly any other idea has stimulated the mind so fruitfully. Yet, no other concept needs clarification more than it does.” (D. Hilbert, On the infinite, 1925)
“In de beperking toont zich de meester.” Victor Gijsbers, universitair docent metafysica en wetenschapsfilosofie aan de Universiteit Leiden, heeft in 220 bladzijden het oneindige geprobeerd uit te leggen. Over het oneindige kun je oneindig veel nadenken en schrijven. Je ziet al gauw in dat er geen einde aan dit denken komt. Zoveel dat je er moedeloos van zou worden. Er is lef voor nodig om dan toch ergens een punt te zetten, om je gedachtenspinsels aan de wereld toe te vertrouwen.
De wiskundige David Hilbert refereert er al aan in bovenstaand citaat. Oneindigheid is een beladen onderwerp dat verschillende emoties bij de mens oproept. Het wordt geassocieerd met God, het Al, het Helaal, het Zijn in zijn Totaliteit. Sommige mensen moet je niet over het oneindige beginnen. Ze hebben er een diepe afkeer van. Wat moeten wij met die transfiniete getallen! Hebben we aan de natuurlijke getallen niet genoeg! Anderen kunnen er eindeloos over filosoferen, voorzover de tijd het toelaat. Oneindig ook lijken de voorraden raketten en drones waarmee de grootmachten der aarde elkaars land, steden en volk bestoken. Waarom? Om zich van hun eigen toekomst en die van hun natie te verzekeren? Om het hun door God of de Historie beloofde land te verdedigen tegen het Kwaad, dat zijn de Anderen. Oneindig is het leed dat de mensen zich in de strijd op leven en dood wordt aangedaan. Wat nou, eeuwig leven! Wat motiveert de hedendaagse filosoof temidden van deze roerige tijden een boek te schrijven over de Oneindigheid?
Gijsbers schreef een heel persoonlijk boek dat je kunt lezen als een verslag van een zoektocht naar de zin van het leven, tegen de stroom van de tijd in, tegen het nihilisme, tegen de neiging de ogen te sluiten voor het leed, omdat het simpelweg te veel is om te bevatten, omdat we er mee overvoerd worden door de media. Het boek getuigt van een denken tegen de eindigheid die zich in de geopolitieke strijd om de grondstoffen, waar we maar niet genoeg van hebben, aan ons opdringt. Gijsbers vindt dat we moeten leren leven tegen de stroom en de dreiging van de dood en het sterven in. Daarvoor gaat hij te rade bij grote filosofen in het verleden, zoals Epicurus en Nietzsche.
Een filosofieboek is meer geslaagd naarmate de lezer tijdens het lezen de behoefte voelt met de schrijver in gesprek te gaan over het onderwerp dat hij aan de orde brengt. De filosofie leeft in de gesprekken tussen filosofen. Gijsbers boek nodigt uit tot gesprek. Hij is in dit boek in gesprek met een paar ‘grote’ filosofen, die nagedacht hebben over oneindigheid: Aristoteles, Descartes, Nietzsche, Wittgenstein en Kant. In die a-historische volgorde. Die gesprekken, of het nu over de (on)eindigheid van de wiskunde, over de natuurlijke getallen, de mens, de tijd, de ruimte, of over de oneindigheid van God gaat, ze leiden allemaal tot tegenstrijdigheden, paradoxen. De lezer die aan deze dialogen begint, is dan ook gewaarschuwd. “Ik zou de paracetamol maar alvast klaarleggen, want dit wordt een hoofdpijndossier.” (p. 21). Zo blijkt wat eindig lijkt bij nader inzien oneindig en wat in eerste instantie als iets oneindigs werd beschouwd, blijkt eindig te zijn. “Wanneer we nadenken over het oneindige, komen we al snel terecht in paradoxen.” Volgens Gijsbers zijn ze de handvatten om grip te krijgen op de oneindigheid. Hoe dat werkt dat wordt in de verschillende hoofdstukken uitgespeld.
Het begint al in de Inleiding, waarin de dochter, die net heeft leren tellen, aan de keukentafel vader Victor vraagt hoever deze kan tellen. De reviewer herinnert zich dat zijn kleindochter, die net het getalsysteem door had, haar opa vroeg hoeveel getallen er zijn. Daar moest opa even over nadenken, antwoordde hij, maar ze was al weer naar buiten gerend om verder te spelen. Kennelijk stelde ze zich de verzameling van de getallen al als een eenheid, een geheel, voor. Een verzameling is weliswaar een eindige, van buiten begrensd iets, hij is immers bepaald door het begrip natuurlijk getal. Toch zijn er oneindig veel getallen in bevat. Je kunt immers altijd verder tellen. Het begrip getal blijkt zowel oneindig als eindig te zijn. En dat ze dat is dat ligt in de aard van het getal opgesloten.
Gijsbers onderscheidt twee vormen van oneindigheid. Als we zeggen dat we eindeloos door kunnen tellen dan bedoelen we de idee van het potentieel oneindige. Daarvan onderscheiden is de idee van oneindigheid als een hoeveelheid, door Gijsbers het ‘werkelijk oneindige’ genoemd. De naam is enigszins misleidend. Je krijgt althans de indruk dat Gijsbers van mening is dat wat hij ‘het werkelijk oneindige’ noemt niet werkelijk bestaat. Wat werkt, en in die zin werkelijk bestaat, is juist het potentieel oneindige, het is de wijze waarop wat in eerste instantie eindig lijkt te zijn verwijst en streeft naar verwerkelijking van mogelijkheden. ‘Het eindige is oneindig.’ Hier, en niet alleen hier, maar overal in de filosofie, doet zich het probleem voor van de meerzinnigheid van de taal. Die meerzinnigheid is een probleem dat onvermijdelijk samengaat met de ‘gastvrijheid’ van de taal. Want wat verstaat de filosoof onder ‘bestaan’ als hij vraagt of het oneindige ‘echt bestaat’? Bestaan de dingen niet allemaal op hun eigen wijze? Bestaan getallen zoals stoelen bestaan? Bestaan gebreken, een gemis? En kunnen we al deze verschillende wijzen van bestaan wel in één en hetzelfde woord vangen? Afijn, Wittgenstein komt later.
Mocht de lezer de behoefte voelen aan een heldere definitie van de verschillende begrippen alvorens hij heen en weer geslingerd wordt tussen het enerzijds en het anderzijds, dan moet Gijsbers hem teleurstellen. Hij haalt daarvoor Kant aan: de wiskunde begint met definities, de filosofie eindigt ermee. Ook daar valt wel iets op af te dingen. Ook Gijsbers komt daar later weer op terug, zonder de eigen aard van het wiskundig denken expliciet te maken. In de wiskunde, vroeger wel ‘stelkunde’ genoemd, omdat wiskundigen stellen dat iets zus en zo is, worden begrippen gedefinieerd door een eindig aantal axioma’s. De axiomatische theorie is de ideaalvorm waarin de wiskundige kennis wordt uitgedrukt. Zo begint Euclides, de eerste die een poging doet tot het formuleren van een axiomatische theorie van de ruimte, zijn Elementen met definities van punt (“dat wat geen delen heeft”) en lijn. Ook definieert hij de rechte lijn: “de lijn die samenvalt met de punten die erop liggen”. Een ‘raadselachtige definitie’ (J.H. Van der Berg). Maar Euclides maakt nergens gebruik van deze definities. De begrippen punt en lijn worden vastgelegd door de relaties die er tussen de objecten bestaan en deze relaties worden uitgedrukt in postulaten en axioma’s. Twee duizend jaar later geeft Hilbert in zijn meetkunde dan ook geen definities meer. Hij vat – geheel volgens de moderne ontwikkeling in de wiskunde – een lijn op als een verzameling punten. Maar dat is nog geen definitie. Een stel axioma’s moet uitdrukken dat een lijn niet zomaar een verzameling punten is, maar dat ze op een nette manier geordend zijn als ze op een lijn liggen. Zo werd het begrip natuurlijk getal in de negentiende eeuw door Peano in vijf axiomas vastgelegd. Waarvan Gijsbers er overigens maar vier noemt.
Nog even terugkomend op de rechte lijn: bij de bespreking van de ruimte bij Einstein geeft Gijsbers een definitie van ‘recht’, als volgt: “een lijn in een bepaalde ruimte is recht wanneer deze in die ruimte de kortste weg tussen twee punten is.” (p. 61). Met de kwalificatie ‘in een bepaalde ruimte‘ wijkt deze definitie af van de naïeve opvatting van de oude Grieken die de rechte lijn zonder meer als ‘de kortste’ verbinding tussen twee punten definieerden. Een ‘rechte’ lijn kan dus best een kromme lijn zijn. Zoals in de meetkundige ruimte van het boloppervlak. Maar dan beschouwen we de lijn in twee verschillende ruimtes. De bolvormige ruimte is een (mathematisch) object binnen een andere (euclidische) ruimte. Voor de mier die leeft op het boloppervlak is de kromme lijn een rechte lijn.
Het begrip ‘kort’ refereert naar een afstandsmaat. De definitie zegt dus dat wat het ‘rechte’ pad is afhangt van een afstand-definitie. Of een lijn tussen twee punten lijn recht is hangt nu af van de paden die in de gegeven ruimte die wie beschouwen ‘mogelijk’ zijn. En ‘kortste’ zegt dat er een minimum moet zijn van de lengtes van de mogelijke paden. De variatiecalculus is de wiskundige theorie waarin gekeken wordt naar de voorwaarden onder welke voorwaarden een extreme waarde (minumum of maximum) van een functie bestaat. Hilberts probleem nummer 4 van zijn beroemde 23 problemen (gepubliceerd in 1900) vraagt naar het verband tussen de begrippen rechte lijn en kortste verbinding.
Gijsbers stapt dan over van de meetkunde naar de natuurkunde. “Het tegenintuïtieve aan Einsteins algemene relativiteitstheorie is dat er gekromde ruimtes zijn die niet gekromd zijn in een andere ruimte.” (p. 62) Wat een ‘mogelijk’ pad is hangt af van het object dat in de ruimte een pad aflegt. Zo’n object kan een vliegtuig zijn, of een mier. De ‘kortste’ weg kan dan ook gemeten worden in termen van de tijd die het object erover doet om het pad af te leggen. Maar ook andere afstandsmaten zijn mogelijk. Of ‘onze ruimte’ gekromd is, is dus afhankelijk van de meetmethode.
De wiskunde van het oneindige
“Een boek over de filosofie van het oneindige kan niet zonder een duik in de wiskunde.” Hoofdstuk 5 gaat over het oneindige in de wiskunde. Het hoofdstuk bevat een heldere presentatie van Cantors theorie van de transfiniete getallen, de kardinaalgetallen en de ordinaargetallen. Kardinaliteit (hoeveelheid) en ordelijkheid (de positie in een geheel) zijn de twee te onderscheiden aspecten van het natuurlijk getal. Het getal 5 wordt gebruikt om een hoeveelheid aan te geven. Het is ook het vijfde getal dat we gebruiken bij het bepalen van een hoeveelheid (althans wanneer we bij 1 beginnen). De wiskunde maakt daar weer aparte hiërarchieën en verzamelingen van. Ter motivering voor de behandeling van het onderwerp voert Gijsbers aan: “Ons huidige denken over het oneindige is namelijk sterk beïnvloedt door wat wiskundigen hier vanaf het eind van de negentiende eeuw over gezegd hebben.” Hier past een kritische noot. Wordt het huidige denken van de westerse mens over de relatie tussen het eindige en het oneindige niet beheersd door de typische verhouding van subject (denken) en object (werkelijkheid) die kenmerk is van het wiskundige denken, een verhouding die in de mathematische metafysica van Descartes tot uitdrukking komt in het dualisme, de twee substanties: res cogito en res extensa? Wat is die wiskundige denkhouding en hoe onderscheidt die zich van het ‘niet-wiskundig denken’?
Wat is de relatie tussen het mathematische denken van Descartes en de moderne Godsidee, causa sui. De God van Descartes is de mathematicus die naar eigen wil kan stellen hoe de wereld eruitziet. In het hoofdstuk over Kant presenteert Gijsbers een karikatuur van het denken van Descartes om de tegenstelling met het denken van Kant zo scherp mogelijk neer te zetten. Descartes is de scepticus die zegt wij kunnen de werkelijkheid niet kennen, ook al doen we nog zo ons best. Kant zegt: de werkelijkheid is zoals wij die kennen, maar onze kennis ontwikkelt zich en daarmee onze werkelijkheid. (Denk aan de virtuele wereld die in beeld komt bij het spelen van een videospel). De naïeve opvatting dat Kant zou denken dat er een ‘echte’ werkelijkheid (de ‘noumenale wereld’ van ‘Dinge-an-sich’) achter de verschijnselen zou bestaan, werpt Gijsbers verre van zich. De ware oneindigheid zit in het voortdurende geworstel van de wetenschapper in zijn zoektocht naar ‘de waarheid’. De tragiek is dat dit ideaal onbereikbaar is. We herkennen hier de wijze waarop de techneuten van BigTech hun AI produkten aan de wereld proberen te verkopen. AI heeft de toekomst en de toekomst is AI. De technologie in de vorm van AI lijkt de rol van Descartes’ God overgenomen te hebben als garantie voor de waarheid van het denken. In de informatieverwerkende machine vormen wiskundig denken en natuurproces samen een voor de mens betekenisvolle eenheid.
De relatie tussen het eindige en het oneindige in het potentieel oneindige is anders dan een stricte tegenstelling tussen beide. Het eindige is oneindig, potentieel oneindig. Er zijn mogelijkheden, die blijken zodra ze – door ons of door anderen – werkelijkheid worden.
De vraag wordt gesteld wat al de verschillende gebruiken van ‘het oneindige’ in de voorafgaande hoofdstukken met elkaar te maken hebben. Daarin ging het over de oneindigheid van ruimte, van tijd, van het tellen, en over de oneindigheid van de goddelijke perfectie. Bedoelen we in de gebruiken van hetzelfde woord wel steeds hetzelfde? Heeft het praten over oneindigheid sowieso wel zin? In hoofdstuk 6 wordt Wittgenstein opgevoerd om nog eens kritisch de taal van de filosofen van de wiskunde tegen het licht te houden. Zit er achter de ‘familieverwantschappen’ nog een bloedverwantschap, een werkelijk begripvol inzicht dat in het dagelijkse gebruik van hetzelfde woord in verschillende gebruikssituaties tot uitdrukking komt? Praten de filosofen geen onzin als ze zeggen dat je moet zwijgen waarover je niet kunt praten? De vraag is dan of er wel een werkelijkheid bestaat buiten ons begrip van de werkelijkheid. In het laatste hoofdstuk geeft Kant een voor de auteur sluitend antwoord op deze vraag. Zowel ons begrip als onze werkelijkheid zijn dynamisch: de werkelijkheid is zoals wij die begrijpen en beide zijn voorlopig.
Bestaat het mathematisch oneindige?
In hoofdstuk 1 staat Gijsbers uitvoerig stil bij de paradoxen van Zeno van Elea. Het zijn klassieke paradoxen van het oneindige die menigeen hoofdbrekens heeft gekost en die zelfs hedendaagse hoogleraren in de statistiek doen struikelen. Zeno’s verhaal, een gedachtenexperiment, over een hardloopwedstrijd gaat zo. Achilles en de schildpad houden een hardloopwedstrijd. Om het nog een beetje spannend te houden start Achilles pas wanneer de schildpad al 100 meter heeft gelopen. Op welk punt haalt Achilles de schildpad in? Zeno redeneert nu als volgt. Dat punt zal zeker voorbij de 100 meter liggen, want als Achilles dat punt na enige tijd bereikt heeft is de schildpad in dezelfde tijd al voorbij dat punt. Zeg dat de schildpad dan 110 meter heeft afgelegd. In deze nieuwe situatie, zal om dezelfde reden het punt waar Achilles de schildpad inhaalt voorbij het 110 meter punt liggen, want de schildpad is inmiddels al weer iets verder opgeschoten. Dit herhaalt zich: telkens wanneer Achilles bij het punt komt waar de schildpad was, is de schildpad al weer iets verder. Achilles zal de schildpad nooit inhalen. Waarom niet? Omdat de oneindige reeks van stappen die Achilles moet maken, hoe klein die ook worden, niet voltooid kan worden.
Wat is er mis met deze redenering? Is er iets mis mee? Gijsbers gebruikt de paradox om een groot aantal problemen aan de orde te stellen. Is de ruimte discreet of continue? Bestaat een beweging uit oneindig veel discrete stapjes? Bestaat een lijn (bedoeld wordt een meetkundige lijn) uit punten? Wat is fundamenteler het geheel of de delen? Gijsbers onderscheidt twee vormen van oneindigheid. Het oneindige als iets dat echt bestaat, iets wat er is. Dit noemt hij het ‘werkelijk oneindige’. Daarvan onderscheiden is er het oneindige als kenmerk van een proces dat altijd doorgaat. Dit ‘potentieel oneindige’ is het oneindige gedacht als een onuitputtelijke mogelijkheid. Zeno’s experiment schetst een onuitputtelijk proces, een proces dat niet tot een eind komt. We hebben de neiging te denken dat er iets mis is omdat in werkelijkheid Archilles wel degelijk de schildpad inhaalt. Gijsbers bespreekt vervolgens de 19de eeuwse wiskundige formulering van een limietproces. De som van de oneindige reeks 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … is gelijk is aan 1. Dit heet de limiet van de som. De betekenis is dat je willekeurig dicht bij 1 kan komen door maar genoeg termen aan de som toe te voegen. Potentieel oneindig dus. Voor de wiskundige bestaat de limiet natuurlijk wel, hij heeft er ook wel een teken voor en hij kan er mee rekenen, maar dat ‘bestaan’ is een totaal ander ‘bestaan’ dan het bestaan van ons gewone mensen. Je kunt wel denken dat je een appel, of een lijn, oneindig vaak in stukken kan verdelen, maar doe het maar eens.
Zeno houdt al denkend Achilles aan het lijntje. Hij loopt als het ware met Achilles mee als een hedendaags journalistiek fotograaf die de toestand in de wereld vastlegt op de fotografische plaat. Achilles zou kunnen proberen van Zeno’s greep los te komen, maar zoiets komt in de wereld van dit denken niet voor. Dit denken is het mathematische denken. Een denken dat gekenmerkt wordt door een stricte scheiding van een subject (cogito) dat stelt hoe het is en de objectieve werkelijkheid die daarin wordt vastgesteld: De activiteit van het mathematisch denkende subject, het ik denk, staat daarbij volledig buiten spel. De mathematicus Zeno overziet de toestand van de wereld in zijn gehele uitgestrekheid. Die wereld is zoals hij die ziet. We stellen ons een ontmoeting met Einstein voor waarin die Zeno erop wijst dat hij er onbewust van uitgaat dat hij tegelijkertijd alles in de wereld op één en hetzelfde moment op het punt waar Zeno staat waarneemt zoals het op dat moment is. Voor de mathematicus bestaat er geen beweging. Het licht (dat de oude Griek zich voorstelde als uit te gaan van het oog naar de dingen toe) heeft een oneindige snelheid (als men zich licht al voorstelde als iets dat een snelheid heeft). Maar die snelheid is eindig. Zo weet Einstein hem te vertellen. Ook wij kunnen ons dat moeilijk voorstellen. Want dit is moderne fysica. Zonder die eindigheid van de snelheid van het licht, zou er geen duur zijn. En daarmee ook geen tijd. De wereld zou in één punt samenvallen. Het probleem dat de wiskundige denkhouding met beweging, verandering, met de overgang van potentie naar akt, heeft, is van alle tijden. Newton probeerde de verschillende posities die de vallende appel in het verloop van de tijd op de foto’s van de valbeweging inneemt te vangen in een formule. Een functie die als wetmatigheid werd voorgesteld, waaraan de natuur zich hield. De natuur laat zich beschrijven in mathematische functies. Dat is de hypothese en hypotheses verzinnen we niet. De functie is de objectivatie in de wiskunde van het stellende en tellende ik, van Zeno als fotograaf die de momenten van de tijd afbeeldt op de situatie, zoals hij die aantreft. Het wiskundig denken negeert de eigen aard van de natuur. Zeno heeft geen boodschap aan Achilles die zegt “laat mij mijn eigen gang gaan!”. Het mathematische ik houdt de wereld in haar greep. De waarheid van de formules wordt bevestigd door de werking van de informatieverwerkende machines, waarin de wiskundige tekens werken volgens hun betekenis. Zoals de waarheid van de Schrödinger vergelijkingen bevestigd wordt door de herhaalbaarheid van de experimenten in de kernfysica. Experimenten die we uitbuiten in de technologie van onze energiecentrales, rekenmachines en atoombommen.
Met de praktijk van het tellen begint het mathematiseren van de werkelijkheid. Tellen is een vorm van meten, het vergelijken van het een met het ander. Voor elk schaap dat ‘s ochtends de stal verlaat doet de herder een steentje in een kom, om zich er ‘s avonds van te overtuigen dat alle schapen weer terug zijn gekeerd. Tellen is echter geen wiskunde. Die begint zodra de mens getallen en figuren maakt en bestudeert. Het getal is het getelde aantal. Niet steentjes, niet schapen, niet zandkorrels, maar abstracte eenheden: aanwijsbare dit en dit en dit… Het getal is een teken van het aantal getelde dingen. Maar het teken is voor de wiskunde niet het getal. Het teken stelt nu een getal voor. Het wordt gebruikt om het over getallen te hebben en erover te redeneren. Zoals de getekende lijn en de getekende driehoek slechts tekens zijn van de mathematische lijn en de mathematische driehoek, zo zijn de drie streepjes, of de drie steentjes niet het mathematische getal. Ze zijn voor de wiskundige slechts voorstellingen van de eigenlijke objecten die ermee bedoeld worden. De vraag hoeveel getallen er zijn is daarom een stap verder omdat het de tekens die staan voor de getelde aantallen als te tellen objecten voorstelt. Het vraagt het tellen op het resultaat van zijn eigen aktiviteit toe te passen.
Geen wonder dat we daar hoofdpijn van krijgen! Pijn maakt ons bewust van onze lichamelijkheid. “Pain, in particular, gives us the most compelling awareness of the power or force of reality.” (Hermann Helmholtz, The Facts of Perception, 1878). Die lichamelijkheid maakt dat we eindige wezens zijn. Als geestelijke en denkende wezen zijn wij oneindig, maar de lichamelijkheid legt als het ware van buitenaf een grens op aan die oneindigheid. Zowel ons denken als aktiviteit zit vast aan de lichamelijke, historische gesitueerdheid, de taal en cultuur waarin we leven, als ook de inhoud van het denken, wordt door de zintuigelijke lichamelijkheid bepaald.
Dat de natuurlijke getallen in zekere zin eindig zijn, dat is volgens Gijsbers omdat we door middel van een eindig aantal regels een procedure kunnen schrijven die bij uitvoering alle natuurlijke getallen kan produceren. De axioma’s van Peano zijn zo’n stel regels die het begrip natuurlijke getallen op endige wijze kan vatten. Gijsbers geeft wat hij noemt ‘een versimpelde weergave’ van Peano’s axioma’s. In feite geeft hij er vier, Het vijfde en laatste axioma laat hij weg. En dat is nu juist wanneer het gaat om het oneindige het meest interessante axioma. Het vijfde axioma is het principe van volledige inductie. Het gaat zo: als een eigenschap geldt voor het getal 0 en uit de geldigheid van die eigenschap voor een bepaald getal volgt dat deze ook geldt voor de opvolger ervan, dan geldt deze eigenschap voor alle natuurlijke getallen. Het is een zeer krachtig bewijsmiddel dat gebruikt wordt om te bewijzen dat eigenschappen voor de hele verzameling van natuurlijke getallen geldt. Zo kun je eenvoudig bewijzen dat iedere verzameling van natuurlijke getallen eindig is. Als je ten minste accepteert dat een verzameling die eindig is en n elementen bevat eindig blijft als je er één element aan toevoegt. Dit is een variant van de aloude sorites paradox, zoals ook de paradox van de kaalkop: iemand die één haar op zijn hoofd heeft is kaal, en iemand die kaal is en er één haar bij krijgt blijft kaal. Dus iedereen is kaal, hoeveel haren die ook op zijn hoofd heeft. Wat is hier mis mee? Kennelijk mogen we het principe van volledig inductie niet op alle eigenschappen straffeloos toepassen. Tenzij we de conclusie accepteren. Eindigheid van een verzameling en kaalheid laten zich niet uitdrukken als eigenschappen van een natuurlijke getal: uit een aantal haren of uit een aantal elementen bestaan. We stuiten hier op de grenzen van de kwantiteit. Waar die grens ligt, dat is voor ons mathematisch verstand het onbegrijpelijke. Dat is de inhoud van de natuurwetenschap. Over de relatie tussen vorm en inhoud van ons kennen gaat het laatste hoofdstuk.
Kant heeft het echt begrepen
Het laatste hoofdstuk voor de conclusie heet ‘Kant en de eindigheid’. Het wordt al diverse keren in eerdere hoofdstukken aangekondigd als sluitstuk van de problemen waarmee het oneindige het denken tart. Voor Gijsbers is Kant “de filosoof die onze relatie tot het oneindige echt heeft begrepen.” Kant is namelijk de grote verdediger van ‘het eindige als het potentieel oneindige’. Het potentieel oneindige dat door de auteur in vrijwel alle voorgaande hoofdstukken als sleutelbegrip naar voren komt.
Nu moeten we de jeugd hun idolen niet ontzeggen. (Nadat de moeder van Victor zijn boek had gelezen, merkte ze, niet geheel zonder voorkennis van de leeftijd van de auteur, op, dat je wel kon zien dat het door een jong iemand geschreven is. De reviewer houdt het erop dat ze daarmee doelde op het feit dat de jeugd de smarten die de lichamelijkheid, de vaak pijnlijke, niet te negeren, confrontatie met onze eindigheid, nog niet in die mate heeft ervaren als de ouderen.)
Maar hoe kan een hedendaags filosoof een stoffige boekhouder als Kant opvoeren als de filosoof die het probleem van het oneindige echt begrepen heeft! Kant, de man kwam niet verder dan de hoek van de straat waar hij bij de lokale bakker zijn kadetjes haalde. Kant, die niet in de gaten had dat overal om hem heen, niet alleen door Sacheri, geleerden bezig waren de poten onder zijn stoel weg te zagen. Hoe kan iemand die meer van de natuurwetenschappen weet dan de Newtonse mechanica, die Maxwells theorieën tot zich heeft genomen en bekend is met het feit dat de snelheid van het licht eindig is, en die, zo mogen wij aannemen, bekend is met de kritiek van Fichte en Marx (die God is projectie van de autonome mens) op de mathematische Godsidee, nog een filosoof aanhangen die nog geheel in de traditie denkt van het Cartesiaanse transcendentale idealisme? Of is Kant’s filosofie, waarin het denken over de verhouding van het mathematische subject tot de wereld een centraal thema is, bestand tegen de ontdekking van de niet-euclidische meetkundes, van de onafhankelijkheid van de Continuumhypothese, van het bankroet van Hilberts finitistisch programma? Voor Kant is de mathematische God neergedaald in het spontane denkende mathematisch denkende subject. Zodat, inderdaad, zoals Gijsbers uitlegt het verschil tussen Descartes en Kant is dat de maat voor de wiskundige waarheid van de natuurwetenschap (het mathematische is de ware inhoud van deze wetenschap) niet meer buiten bij God ligt maar in de menselijke natuur. In het lichtend verstand van de Verlichting. Sapere aude! Durf te denken, zo herhaalt Kant de roep van de Cartesiaanse geest nog maar eens. Het is geen toeval dat Gijsbers ook wel iets ziet in het denken van Wittgenstein, de transcendentale taalfilosofische variant van het Kantiaanse denken.
Wat kunnen we van Wittgenstein leren? Volgens Gijsbers vooral dat we moeten waken voor de beheksing van ons verstand door de taal. We hebben van nature de neiging groots te denken over de betekenissen van de woorden en symbolen. Wat we met de woorden bedoelen dat zit in het gebruik ervan. En dat gebruik is een taalspel, weliswaar een serieus spel, want het hoort bij een levensvorm, het geheel van praktijken waarin mensen de woorden en uitdrukkingen gebruiken. Over de transcendentale formele, grammaticale, relatie tussen de woorden en de dingen kunnen we niets zinnigs zeggen. Wanneer we dus maar voldoende van het taalgebruik kennen dan weten we ook wat begrijpen is. Wittgensteins denken is zo de wegbereider voor de LLMs (de grote taalmodellen), waarmee BigTech onze vrijheid aan banden probeert te leggen via ChatGPT en andere taalsprekende machines. Ook Wittgenstein is een mathematicus, een techneut. In zijn idee van de familieverwantschappen (als antwoord op de vraag wat al die verschillende dingen die we ‘spel’ noemen gemeen hebben) herkennen we de neurale netwerken, die als modellen van ons taalgebruik fungeren in onze kunstmatige intelligentie, de voor ons denkende en sprekende automaten.
Kortom: Victor Gijsbers heeft een boek over het oneindige geschreven dat aanzet tot een vervolg. Een vervolg waarin opnieuw een poging wordt gedaan te ontsnappen aan de mathematische, technocratische geest van onze tijd. Ik hoop in deze review een paar aanzetten tot zo’n vervolg te hebben gegeven.
Naschrift (14-03-2026)
Het potentieel oneindige is sleutelbegrip in Gijsbers denken over het oneindige.
“Het oneindige bestaat alleen als onuitputtelijke mogelijkheid, als ‘potentiële oneindigheid‘. Ik denk dat deze laatste vorm van oneindigheid cruciaal is, niet alleen om Zeno’s paradox op te lossen, maar om het hele menselijk leven te begrijpen.” (Victor Gijsbers in een interview met Thomas Velvis, verschenen in het Filosofie Magazine, 11-2025)
In hoeverre biedt de idee van ‘potentiële oneindigheid’ een ‘oplossing voor de paradox van Zeno’? Kunnen we alleen mathematisch over het potentieel oneindige denken?
Bij herlezing van Gijsbers presentatie van Aristoteles’ oplossing van Zeno’s paradox meen ik dat een zekere vorm van mathematisme, het niet altijd goed onderscheiden van het mathematische en het fysische, het denken van Gijsbers beheerst.
Wat ik daarmee bedoel dat leg ik hieronder aan de hand van zijn presentatie van Aristoteles’ analyse van Zeno’s paradox uit. Anderzijds schrijft Gijsbers in het hoofdstuk over Wittgenstein dat er niets mis is met oneindigheid in de wiskunde en dat de wiskundigen evenveel recht hebben op die term als filosofen. “Het wordt pas echt verwarrend wanneer we verkeerd nadenken over of met die wiskunde – wanneer we wiskundige symbolen als maatgeven gaan zien voor de werkelijkheid of voor ons niet-wiskundig denken.” (p. 188). Niet de zuivere wiskunde is het probleem maar de toepassing van de wiskunde op de werkelijkheid van de natuur of van ons denken. Het blijft echter onduidelijk wat dat denken van de mathematicus, want daar gaat dit over, nu precies onderscheid van dat ‘niet-wiskundig denken’. Volgens Gijsbers moeten we het antwoord op die vraag bij Kant zoeken.
Hoe dacht Aristoteles over de wiskunde?
“De ruimte, zegt Aristoteles, kan je inderdaad oneindig opdelen.” (p. 44)
Over welke ruimte gaat het hier?
“Hoe klein het deel van de ruimte ook is dat je in gedachten hebt, het is mogelijk omdat in gedachten weer in tweeën te delen.”
Daaruit begrijp ik dat het hier om de mathematische ruimte gaat.
Maakt Aristoteles geen onderscheid tussen de mathematische en de fysische ruimte? Niet zoals wij dat tegenwoordig doen. En we moeten oppassen het huidige denken niet op het denken van de tijd van Aristoteles te projecteren.
Wanneer Gijsbers vraagt naar de relatie tussen een lijnstuk en de punten die op dat lijnstuk liggen, dan zegt hij dat zo’n lijnstuk ‘abstract’ mag zijn (bedoeld wordt mathematisch?), maar het mag ook fysiek zijn, “bijvoorbeeld het lijnstuk dat van het puntje van de Eiffeltoren naar het puntje van je neus loopt.” (p. 44)
Maar wat is het verschil tussen een mathematisch lijnstuk en een ‘fysiek lijnstuk’?
Een mathematisch object zien we als iets dat bestaat, onderscheiden van de mentale akt van het creeëren of zien ervan. In de fysieke werkelijkheid bestaat niet zoiets als een punt. Het verschil tussen een open en een gesloten interval is mathematisch en bestaat fysisch niet.
“Maar wat werkelijk bestaat is de racebaan, het lijnstuk dus, en de punten zijn alleen maar constructies in mijn gedachten.”
Maar als ik de racebaan als lijnstuk beschouw, dat is als mathematisch iets, is het toch ook ‘een constructie in mijn gedachten’ ! De racebaan wordt net als het lijnstuk tussen de punt van de neus en de top van de toren als een mathematisch object beschouwd. Je zou nog kunnen zeggen dat er tussen de fysische wereld en de wereld van de mathematische objecten nog een tussenvorm is die onstaat door een abstractie van de zintuiglijkheid van de waarneembare werkelijkheid en die vooraf gaat aan de objectiverende fase van het mathematiseren. Het is de circelvorm van het wiel, of de eenheid van de zandkorrel. Het is deze tussenvorm die als symbolische representatie van het mathematische object dienst doet: de getekende driehoek stelt een wiskundige driehoek voor omdat het de vorm van een driehoek heeft.
Het onderscheid tussen potentieel (mogelijk) en aktueel (werkelijk) is helder. Dat je een appel in drieën kan delen betekent niet dat deze al werkelijk in drieën gedeeld is. Maar de deelbaarheid van de appel is ook iets werkelijks. En dat geldt ook voor oneindige deelbaarheid. Het gaat echter om het verschil tussen het voltooid denken van het verdelen enerzijds en het werkelijk voltooien van het verdelen. Mathematisch wordt dat voltooid denken tegenwoordig geobjectiveerd in het bestaan van de limiet van een reeks. Terwijl het proces van verdelen mathematisch wordt gemodelleerd als een reeks punten of getallen, als een geheel.
Potentieel of werkelijk?
“We kunnen met zekerheid zeggen dat Zeno’s redenering incoherent is. Om te stellen dat een object dat beweegt in die beweging oneindig veel dingen doet, moet hij aannemen dat het oneindige het werkelijk oneindige is.” (p. 48)
Waarom werkelijk? Omdat het object werkelijk beweegt. Het gaat hier om de werkelijke beweging. Net zo goed als het werkelijk zo is dat Achilles de schildpad inhaalt. (Op het punt x waar Achilles en de schildpad tegelijkertijd zijn.) Maar zodra Zeno het heeft over de beweging als iets dat oneindig opgedeeld kan worden dan is hij bezig de beweging als een mathematische lijn, dan wel gebeuren te beschouwen. En dan bevinden we ons in de mathematische wereld en hebben we de werkelijke wereld van de beweging verlaten. In de mathematische wereld komen geen bewegende objecten voor. Een cirkel heeft een vaste straal-lengte. Een cirkel wordt nooit een rechte lijn. De koorde zal nooit samenvallen met de crikelboog, hoe groot de cirkel ook is. Dit is ook het commentaat dat Aristoteles heeft op de demonstratie van Antiphon die de oppervlakte van de circel benaderde met een serie regelmatige polygonen binnen de cirkel. We kunnen ons wel een reeks cirkels voorstellen met een steeds grotere straal, zoals Cusanus dat doet. (Zoals de klompenmaker ter demonstratie de verschillende stadia in het maakproces van de klomp laat zien door een aantal blokken hout achterelkaar te leggen, waarbij elk blok in de rij weer wat meer op het eindresultaat lijkt dan de vorige. De illusie is dat het steeds om hetzelfde blok hout gaat, maar het materiaal waaruit de klomp bestaat is echt ander materiaal dan dat van de voorgaande blokken!) Wij zijn bij machte de sprong in het oneindige te maken en te denken dat deze reeks eindigt wanneer cirkel en raaklijn samenvallen.
“Maar om te stellen dat het onmogelijk is om oneindig veel dingen te doen, moet hij aannemen dat het oneindige het potentieel oneindige is.”
Het ‘doen van oneindig veel dingen’ is niet iets dat in die mathematische wereld voorkomt. Het is Achilles die beweegt en het is Zeno die de aktiviteit van het denken uitvoert en stapsgewijs de beweging in gedachten uitvoert. Zeno voelt intuitief aan dat hij deze denkstap (eindeloos) kan herhalen. Omdat hij dezelfde blijft en de verschillende stadia als gelijksoortige stadia van hetzelfde proces kan zien. In die zin bestaat de potentiële oneindigheid in de ‘oneindige potentialiteit’ (p.173) van het creatief subject.
De oplossing van Zeno’s paradox vinden we in de bewustwording van het onderscheid tussen het mathematische model dat ons wordt voorgesteld en het werkelijk gebeuren. Het onderscheid tussen potentieel en aktueel oneindig moet niet verward worden met het onderscheid tussen het werkelijke en het mathematische.
De continuumhypothese gaat niet over de werkelijkheid van alledag, maar over de mathematische realiteit die in een mathematische theorie wordt bedoeld (dat dit niet eenduidig kan staat bekend als ‘paradox’van Skolem-Löwenheim). Of iet sdaarin waar is of niet (of iets daarin bestaat of niet) hangt af van de axioma’s van de theorie. Het zegt niets over de werkelijkheid van alledag, buiten de wiskunde. De continuumhypothese is een interne aangelegenheid van wiskundigen. Zoals Wittgenstein zegt: er bestaat geen wiskundige werkelijkheid buiten ons wiskundig denken om (p. 186).
In Zeno’s tijd was het niet mogelijk een oneindige reeks te objectiveren, dat is: als object voor te stellen. Het was daarom ook niet mogelijk in zijn tijd een limiettheorie te ontwikkelen, zoals die noodzakelijk is voor de infinitesimaalcalculus. Een limiet hangt namelijk af van een oneindige reeks als geheel. Zo’n reeks is wiskundig een functie, maar in Zeno’s tijd is het iets dat wij doen, niet als iets objectiefs.
In mijn review hierboven heb ik dit willen aangeven door te zeggen dat Zeno Achilles aan het lijntje houdt. Zeno is de denkende mathematicus. Terwijl voor Descartes het mathematische denken bestaat in Gods wezen, haalt Kant het mathematische denken vanuit de cartesiaanse metafysische hemel naar beneden, waar het als “de transcendentale eenheid van de apperceptie” indaalt in de menselijke geest.
Bij Kant is “apperceptie” de mentale eenheid (het ik denk) dat de veelheid van verschillende gewaarwordingen in een coherent, georganiseerd geheel samenbindt.
“Omdat datgene waarin zich die gewaarwordingen alleen ordenen, en in een zekere vorm vastgelegd kunnen worden, niet zelf wederom een gewaarwording kan zijn, daarom is ons weliswaar die materie van de verschijnselen slechts a posteriori gegeven, de vorm ervan moet daarentegen in het geheel a priori in ons gemoed klaar liggen, en daarom ook afgezonderd van alle gewaarwordingen beschouwd kunnen worden.” (Kant, Kritik der Reinen Vernunft, Die Transzendentale Ästetik, par. 1).
De aanschouwingsvormen: ruimte en tijd, die het hier en nu van de waarneming bepalen, worden door Kant dus beschouwd als structurele voorwaarden van onze zintuiglijke gewaarwording. Wat we zintuiglijk waarnemen, nemen we waar in tijd en ruimte, maar die vormen zelf zijn onderscheiden van de zintuiglijke kwaliteiten (kleuren, geuren) die de ‘materie’ van de gewaarwordingen uitmaken. Wat bij Kant “im Gemüte, a priori bereit liegen”, ruimte en tijd, dat zijn bij Aristoteles geen subjectieve voorwaarden, maar kwantitatieve aspecten die eigen zijn aan het zintuiglijke gegevene zelf. Het zijn die aspecten die door ons intellect gevat kunnen worden. Zowel volgens Kant als volgens Aristoteles vormt de kwantiteit het eigenlijke object van de wiskunde. Ook voor Hegel liggen ruimte en tijd niet als zuivere verstandvormen aan de kant van het subject. Ruimte en tijd zijn niet slechts subjectieve vormen.
“Zu solchen hat Kant den Raum und Zeit machen wollen. Die Dingen sind jedoch in Wahrheit selber räumlich und zeitlich; jeder doppelter Form des Aussereinander wird ihnen nicht einseitigerweise von unserer Anschauung angetan, sonders ist ihnen von dem an sich seiendes unendlichen Geiste, von der schöpferische ewigen Idee schon ursprünglich angeschaffen” (Hegel, Enzyklopädie, par. 448 Zusatz).
Die “Form des Aussereinander” duidt op de aard van de kwantiteit: de uitwendigheid, waarin alles uitelkaar, onsamenhangend is. De vorm die door Descartes als res extensa, uitgebriedheid, de werkelijkheid uitmaakt, en die radikaal tegenover het cogito (ik denk) bestaat.
Bij Hegel zijn ruimte en tijd noch zuiver subjectief, noch zuiver objectief. Voorzover er iets begrepen wordt is er juist een overeenstemming tussen het denken en de werkelijkheid, tussen het subjectieve en het objectieve.
Ook bij Kant is de wetenschapper net als bij Descartes, primair en tegen wil en dank, mathematicus. Dat Gijsbers Kant ziet als de filosoof die het echt heeft begrepen, is dan ook goed te begrijpen.
Pas in de loop van de 17de eeuw werd er serieus gekeken naar de som van oneindige reeksen als mathematische objecten die al dan niet convergeerden naar een limiet. Een monnik in Pisa meende uit het feit dat de som van de oneindige reeks 1-1+1-1+1… zowel 0 als 1 kan zijn (afhankelijk van hoe je de haakjes zet) af te kunnen leiden dat God de wereld uit het niets kon scheppen. God komt regelmatig als een aap uit de mouw wanneer de wiskundig denkende mens met de potentiële oneindigheid van zijn denken in aanraking komt.
Pas in de loop van de 20ste eeuw kreeg de functie de status van een wiskundig object, waarmee gerekend kon worden (functiecompositie). Pas toen werd het mogelijk de applicatie van de functie als functie op te vatten. Ook werd het mogelijk de functie op zich zelf toe te passen. (Iets wat Wittgenstein voor onmogelijk hield. Tractatus 3.333) De overgang van ‘mogelijke oneindigheid naar oneindige mogelijkheid’ die Gijsbers maakt (zie pagina 173), zien we in het proces dat we mathematisch kunnen voorstellen als de zelfapplicatie van de zelfapplicatie, de toepassing van de functie f = λ x. x(x) op zichzelf resulteert in deze zelfapplicatie zelf, een oneindige proces: f(f) = f(f) = f(f) = …. Dit is de mathematische uitdrukking van de werking van de geprogrammeerde machine. De machine die zichzelf als potentie (programma) reproduceert in de uitvoering van het programma. De zuivere vorm van de zelfapplicatie van de zelfapplicatie drukt de nutteloosheid van de waanzinnige idee uit dat “alles nuttig moet zijn”, dat we moeten functioneren.
Zien we onszelf naar het model van de automaat of zien we de automaat naar ons model?
In de bespreking van Wittgenstein treedt de regel op als het transcendente ik dat we in het hoofdstuk over de paradox van Zeno al als het mathematische subject tegen zijn gekomen. Die puntjes in 1,2,3… staan niet voor oneindig veel getallen, maar voor het onuitputtelijke procedé (de regel, het programma) dat ons in staat stelt steeds weer een nieuw getal te scheppen.” stelt Gijsbers (p. 177). Maar dat procedé is een creatie van ons, de programmamakers. Het is de objectivering van het mathematische ik, dat in het daadwerkelijk uitvoeren van het programma de potentie van de werkelijkheid het programma uit te voeren verwerkelijkt in een fysisch proces. In die zin is de automatie de moderne technische uitdrukking van de zelfapplicatie van de zelfapplicatie, de zelfverwerkelijking van het mathematische subject, via een onderscheid tussen het aktieve (subject) en het passieve moment, waarin vanuit de potentiële oneindigheid, uitgedrukt in het programma de verwerkelijk ervan tot stand komt, inclusief de verwerkelijking van deze potentialiteit zelf.
Mathematisme: de werkelijkheid begrijpen vanuit zijn verdeeldheid en structuren, en holisme: de werkelijkheid begrijpen vanuit zijn ‘geheel zijn’ zijn beide overdrijvingen. Deel en geheel zijn twee kanten van dezelfde medaille. De wetenschapper zal ervoor waken in een van beide overdrijvingen te vallen. Over deel en geheel zie mijn “God dobbelt niet en hij laat zich niet in de kaart kijken.”
Volgens Plato begint de filosofie met de kennis van de wiskundige objecten. Om uiteindelijk te komen tot de idee van het goede. Het inzicht daarin zal de inhoud en de werkende kracht moeten zijn die ons aanstuurt.
