Hoe presenteren de universitaire wiskundeopleidingen in Nederland zich naar de belangstellende student? Waarom zou iemand wiskunde gaan studeren? Op de websites van de wiskundeopleidingen van de Nederlandse universiteiten komen drie kanten van de wiskundeopleiding naar voren. Je leert op een wiskundige manier denken, wiskunde is leuk voor mensen die van puzzelen houden en wiskunde kun je overal, op heel veel gebieden van het leven, toepassen. In dit stuk pleit ik ervoor dat iedere opleiding waarin het wiskundig denken wordt onderwezen aandacht besteedt aan filosofie van het wiskundig denken.
“In de bachelor Wiskunde aan de UvA maak je kennis met de veelzijdigheid van wiskunde en leer je om op een wiskundige manier te denken en oplossingen te verzinnen.”
Soms wordt nog extra benadrukt dat je leert om logisch te denken. Wiskundig denken is denken volgens de regels van de logica.
Studenten die wiskunde studeren doen dat om verschillende redenen.
“Ik vind het fijn dat wiskunde zo waterdicht is. Als je iets hebt bewezen, is dat gewoon een waarheid aangezien het berust op logische stappen waar je niet tegen in kan gaan.
” zegt studente Wiskunde, Chinook Felix op de website van de UvA.
Iedereen die na veel gepuzzel wel eens een bewijs van een lastige wiskundestelling heeft gevonden of begrepen die kan het enthousiasme voor de onbetwijfelbaarheid van de wiskundige waarheid begrijpen.
Voor anderen is de toepassing van de wiskunde op problemen en vragen uit het dagelijkse leven belangrijk. Mariska Heemskerk doet promotieonderzoek naar sociale netwerken. Op de website van de UvA lezen we de volgende vraag uit haar onderzoek.
“Hoe kan het dat onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij?“
Toen ik het las was de eerste gedachte die bij mij opkwam: is dat zo? Je hebt namelijk de neiging om dat ‘onze’ en dat ‘wij’ op jezelf te betrekken. Je leest het als:
Hoe kan het dat je vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan jij?
En dat hoeft natuurlijk helemaal niet zo te zijn, want iemand, degene die zich met dat ‘je’ aangesproken voelt, kan meer vrienden hebben dan zijn of haar vrienden gemiddeld.
Als je het zo leest dan vat je dat ‘je’ op als verwijzend naar een concreet persoon, een ik die dit leest. Maar een andere lezing is die waarin we ‘je’ niet de re maar de dicto opvatten, als algemene term, varierend over alle individuen in het sociale netwerk. Het is dus niet voor niets dat Mariska het over ‘wij’ heeft en niet over ‘je’. En toch lukt het niet echt om de interpretatie met ‘je’ weg te nemen. Ze zal dan ook ongetwijfeld een logische formule met kwantoren hebben die w`el precies zegt wat ze met de stelling bedoeld. Het toepassen van de wiskunde vereist altijd een precisering van het probleem en een mathematisering van de werkelijkheid waar het over gaat. Wiskundigen maken daar altijd weer iets anders van. Sociale netwerken worden mathematische netwerken, grafen.
Strikt genomen is het ook niet altijd waar dat in ‘ons’ netwerk van vrienden onze vrienden gemiddeld meer vrienden hebben dan wij. Het is namelijk niet waar in netwerken die volledig zijn, netwerken waarin iedereen iedereen als vriend heeft. Heeft zo’n volledig netwerk n leden dan heeft iedereen n-1 vrienden en dat is tevens het gemiddelde over alle vrienden. En dat geldt voor iedereen in het netwerk. Dus iedereen heeft dan evenveel vrienden als het gemiddelde over al zijn vrienden. In K5, de volledige graaf op vijf punten is dat vier.
Maar er hoeft maar één paar vrienden in zo’n volledig netwerk hun vrienschap te verbreken en de stelling is waar in het resterende netwerk. Waarom ? Omdat er dan twee individuen zijn die een vriend minder hebben dan de rest van het netwerk. En dat maakt dat het gemiddeld over alle individuen zo is dat het gemiddeld aantal vrienden groter is dan het aantal vrienden van het individue zelf.
Het is dan niet moeilijk in te zien dat in elk niet volledig samenhangend netwerk de stelling waar is.
Het is van belang dat vriend-zijn-van een symmetrische relatie is: als A vriend is van B, dan is B vriend van A. In een netwerk met slechts twee individuen (knopen) die vriend van elkaar zijn, is het triviaal waar dat voor elk individu geldt dat het gemiddelde aantal van zijn vrienden (verbindingen met andere knopen) gelijk is aan het aantal vrienden van hem zelf.
Omdat een relatie symmetrisch is, hebben al mijn vrienden in elk geval mij als vriend. De stelling sluit niet uit dat er individuen zijn die veel meer vrienden hebben dan ieder ander in het netwerk. Neem een stervormig netwerk met n punten. Het middelpunt van de ster heeft n-1 vrienden, maar al die anderen hebben er slechts één.
De echte wiskundige zal pas overtuigd zijn van de juistheid van de stelling wanneer er een formeel bewijs wordt gegeven, volgens de regels van de logica.
Anderen zullen analoge stellingen proberen te poneren en te bewijzen voor bi-partiete netwerken, waarin mannen en vrouwen, onderscheiden worden. Het zijn bijzondere netwerken waarin de stelling zowel waar is voor man-man, vrouw-vrouw als voor vrouw-vrouw relaties. Maar misschien zijn binaire netwerken in deze non-binaire tijden wel heel erg bedenkelijk.
Het probleem is een aardig voorbeeld van zowel de toepassing van wiskunde als van wiskundig modelleren. ‘Toepassen’ omdat inzichten en stellingen uit de grafentheorie gebruikt kunnen worden. ‘Modelleren’ omdat een concreet aandachtsgebied in onze werkelijkheid, hier: het sociale netwerk, als een mathematische structuur wordt gezien bestaande uit welbepaalde objecten en hun relaties. Zodra van het sociale netwerk een mathematische weergave is gemaakt kunnen er stellingen over bewezen worden.
“Graaftheorie is de ruggengraat van hoe we theoretiseren over sociale netwerk dynamieken in de sociologie.” schreef Bas Hofstra, universitait docent sociologie aan de Radboud universiteit in een reactie op dit stukje over wat kennelijk de vriendschapsparadox heet. Dat doet vermoeden dat de sociologie niet zonder wiskunde kan. De vraag naar de rol van de wiskunde in de natuurwetenschap is een thema in de filosofie van de wiskunde.
Het ligt wel voor de hand om sociaal gedrag tussen mensen als een dynamisch proces in een netwerk te zien en dat netwerk weer als een wiskundige graaf te modelleren. Vaak is het modelleren van een gebied van de werkelijkheid echter minder triviaal. Soms wordt de werkelijkheid door de wiskundige denkwijze erop los te laten min of meer geweld aangedaan. De werkelijkheid is nu eenmaal niet zo waterdicht en laat zich ook niet zo eenvoudig waterdicht maken.
Het wiskundig denken heeft iets imperialistisch. Je kunt het overal toepassen en wanneer het é´´en keer ergens wordt toegepast dan worden er steeds meer zaken in het model opgenomen omdat die blijken ermee interaktie te hebben in de werkelijkheid. Met als ultiem verschijnsel: de pogingen die gedaan worden om alles in een wereldmodel te stoppen.
De vraag is of er een grens is aan het wiskundig denken. Omdat voor het wiskundig denken een object, een verschijnsel of gegeven, slechts van waarde is in onderscheid van en in relatie tot andere objecten (het getal 2 ontleent zijn identiteit aan de realties met de andere getallen), ligt het voor de hand die grens van het wiskundig denken te zoeken waar het in onze kenrelatie met de werkelijkheid om het bijzondere, unieke van dit object, dit verschijnsel, dit individu gaat. Niet om de kwantiteit, niet om de structuur, maar om de eigen kwaliteit van iets. Mathematisme is de opvatting dat we met de structuur van iets de essentie, de kwaliteit ervan, uitputtend te pakken hebben.
In het alledaagse leven vatten we een individu in ons sociale netwerk meestal niet op als een geval als vele anderen, maar als een persoon die zich op vele manieren onderscheid van andere personen die we kennen.
Het is niet voor niets dat Aristoteles in zijn kritiek op de naar mathematisme neigende Ideeënleer van Plato het verschijnsel leven als voorbeeld gebruikte. Het is niet voor niets dat in onze West-Europese cultuur waarin het individualisme hoogtij viert er een conflict ontstaat met een wetenschappelijke en technologische cultuur waarin het wiskundig denken prevaleert en haar grootste successen viert. Hoe moet de individuele burger, de individuele boer, de individuele patient, de statistische uitspraken van de wetenschap interpreteren, dat is: op zichzelf als individu betrekken? De medische wetenschap gaat niet over een particulier individu, niet over Socrates, merkte Aristoteles al op. Het gaat over verschijnselen en ziektes. En dat geldt voor alle wetenschappen en voor de politiek. Vanuit wetenschappelijk en technische standpunt zijn er alleen abstracte gebruikers, burgers, individuen die tot een bepaalde welgedefinieerde klasse behoren.
Het karakter van het wiskundig denken, en dat is wijder verbreid dan onder wiskundigen en wetenschappers, komt tot uiting in haar toepassingen. Een treffend voorbeeld daarvan zien we in het protocol dat medici en ethici hadden opgesteld voor wanneer er een tekort is aan IC-bedden. Wanneer de regering code zwart heeft afgekondigd (zoiets dreigde tijdens de corona pandemie) moeten alle patiënten die in aanmerking komen voor een IC-bed centraal geadministreerd worden bij een landelijk platform. Een centrale computer bepaalt dan of een patiënt een beschikbaar IC-bed krijgt toegewezen. Ieder ziekenhuis moet een zorgmedewerker aanstellen die verantwoordelijk is voor het doorgeven van de informatie over de patiënten ter plaatse. Zo’n protocol werd wenselijk geacht omdat het niet van het toeval mag afhangen of een bepaalde patiënt verder behandeld kan worden. Dat vinden we onrechtvaardig. Uitsluitend medische factoren mogen een rol spelen bij de toekenning van een IC-bed aan een patient en niet of iemand toevallig dicht bij een onbezet IC-bed woont of tot een bepaalde bevolkingsgroep behoort. De medische kenmerken van de patiënt worden gekwantificeerd zodat van iedere gegadigde uitgerekend kan worden wat de toegevoegde waarde is wanneer aan deze patiënt een bed wordt toegewezen. Of leeftijd een rol mag spelen, daarover was niet iedereen het eens.
In het protocol staat dat de lokale ziekenhuismedewerker die voor het contact met de centrale registratie verantwoordelijk is, niet zelf betrokken mag zijn bij de verpleging van de patienten in zijn of haar ziekenhuis. Betrokkenheid bij de patient past niet in het ethische protocol dat bedoeld is om iedereen gelijke kansen op behandeling te geven. Voor de verpleegkundige die betrokken is bij zijn patiënt is het moeilijk deze als een willekeurig iemand te zien.
Er zijn legio andere voorbeelden te vinden waar de toepassing van het wiskundig denken tegen de grens aan loopt, althans voor wie er oog voor heeft.
Statistici hebben het over populaties. Een populatie is iets anders dan een samenleving. In het model van de promovendus telt alleen het aantal relaties, niet de kwaliteit ervan. Maar ook die kan wel weer wiskundig gemodelleerd worden. Ook de kwaliteit van een mensenleven wordt al door wiskundigen gekwantificeerd.
We kunnen niet zonder wiskunde en wiskundige modellen. Maar de modellen mogen niet de rol van de werkelijkheid overnemen. De voortdurend veranderende realiteit moet de toetssteen zijn en blijven waaraan we de waarde van de modellen afmeten. De praktische toepassing vereist dat we geloven in de modellen. We moeten echter kritisch blijven kijken naar de effecten ervan in de praktijk.
Het wiskundig denken heeft iets natuurlijks maar haar produkten zijn iets bovennatuurlijks, onwerkelijks. We moeten oog houden voor het onwerkelijke van de wiskunde. Iedere opleiding die haar studenten leert wiskundig te denken, of dat nu op mbo, hbo of universitair niveau is, moet expliciet aandacht besteden aan het inzicht in de eigen aard en de grens van dit denken. Daarom moet Filosofie van het Wiskundig Denken en de Technologie een verplicht onderdeel zijn van het curriculum. Daarin zal de vraag naar de relatie tussen wiskunde en de zintuiglijke werkelijkheid een belangrijke rol spelen. Want als wiskunde een wetenschap is waarvan is het dan een wetenschap? Een kwestie die daarin aan de orde zou kunnen komen is hoe je een rechte lijn of de planariteit van een graaf definieert.
