Wat is het verschil tussen een getal en een cijfer?
“Eerlijkheid gebiedt me te zeggen: ik had nooit goed nagedacht over het verschil tussen ‘getal’ en ‘cijfer.’” schreef Sanne Blauw. Als ‘Correspondent Ontcijferen’ moest ze toch eigenlijk wel weten wat dat verschil is. Ze vroeg het aan de Taaladviesdienst van het Genootschap Onze Taal. “Ik mailde ze over mijn kleine identiteitscrisis en kreeg al snel antwoord: ‘Een cijfer is […] in beginsel een teken, een symbool; één of meer cijfers samen vormen een getal.’ “
Eerlijk gezegd schrok ik een beetje van dit antwoord. “Eén of meer cijfers vormen samen een getal” ? Volgens het Genootschap is dus 123 een getal, terwijl 7 een cijfer is. Is dit de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal? Ik ging op onderzoek uit.
Omdat veel mensen tegenwoordig gebruik maken van een zoekmachine om antwoord te krijgen op hun vragen is het interessant om te kijken wat zo’n machine als antwoord geeft op onze vraag. Google presenteerde met AI de volgende tekst:
In het Nederlands is een getal de aanduiding van een hoeveelheid, terwijl een cijfer een symbool is waarmee een getal wordt geschreven. Getallen kunnen uit één of meer cijfers bestaan.
Een cijfer is een symbool dat gebruikt wordt om een hoeveelheid weer te geven. Er zijn tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.
Een getal is de notatie van een hoeveelheid. Het kan uit één of meer cijfers bestaan. Bijvoorbeeld, het getal 123 bestaat uit de cijfers 1, 2 en 3.
Samenvattend: Cijfers zijn de bouwstenen voor getallen, en getallen zijn de symbolen die gebruikt worden om hoeveelheden weer te geven.
AI produceert zijn teksten door combinatie van stukken tekst die het op het internet vindt. Of die fragmenten een consistent geheel vormen, dat kan AI niet beoordelen. Daarvoor is kennis nodig van de betekenis van de woorden. Gebruikers van AI die zelf geen idee hebben wat het verschil is tussen cijfer en getal zullen het antwoord dat het Genootschap Onze Taal of Google geeft voor zoete koek nemen. Kunnen we chocola maken van de door Google geproduceerde fragmenten? Google zegt:
Een getal is een aanduiding of notatie van een hoeveelheid. Een getal bestaat uit cijfers. Een cijfer is een symbool waarmee een getal wordt geschreven.
Dit komt overeen met het antwoord dat Onze Taal gaf. Zowel cijfers als getallen zijn talige dingen (symbolen, notaties) om hoeveelheden mee aan te duiden. Het verschil tussen getal en cijfer wordt aangegeven door hun relatie: een getal bestaat uit één of meerdere cijfers. De bouwstenen van de getallen zijn de cijfers.
Op Wikipedia vinden we een mogelijke bron van de AI tekst:
“Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid.” en “Een getal verschilt van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.”
Op de website van Expertis – Onderwijsadviseurs, een andere bron van de AI tekst, schrijft Jitske Zwart:
“Cijfers zijn eigenlijk de ‘letters’ van ons getallensysteem. Dit getallensysteem wordt opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9. Het cijfer 1 is de notatie van het aantal 1, het getal 1 of het nummer 1. Je kunt cijfers dus vergelijken met letters. Met letters schrijf je een woord. De letters krijgen dan een betekenis. Met cijfers schrijf je een getal of nummer. De cijfers krijgen dan een betekenis. Het getal 143 bestaat uit de cijfers 1, 4 en 3.”
Een getal is ‘samengesteld uit cijfers’. Ik las ergens dat 10 een getal is ‘dat wordt gevormd door de cijfers 1 en 0’.
In het taalgebruik lijkt ‘getal’ dus vaak gebruikt te worden voor de aanduiding van een aantal of hoeveelheid. Met ‘getal’ wordt een cijferrijtje bedoeld. En wat het cijferrijtje aanduidt is ‘een hoeveelheid’.
Als deze teksten representatief zijn voor het normale spraakgebruik dan is volgens dat gebruik een getal iets heel anders dan wat in de wiskunde onder een getal wordt verstaan. Voor mij – wiskundedocent met enige kennis van de filosofie en de geschiedenis van de wiskunde – gaat wiskunde over wiskundige objecten, structuren. Getallen zijn een speciaal soort wiskundige objecten. De wiskunde bestudeert de eigenschappen van deze objecten die ze zelf construeert.
Getal als wiskundig object
Als een getal de aanduiding is van een hoeveelheid, zoals het gewone taalgebruik zegt, hoe moeten we dan de deelbaarheid van getallen zien? De deelbaarheid is immers niet een eigenschap van de aanduiding, niet van de notatie, maar eerder van de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. Maar dat strookt niet met de opvatting dat het getal de aanduiding is. En is de optelling van getallen dan een operatie op getallen opgevat als cijferrijtjes? Dat lijkt me toch niet.
Als we het over de verschillende eigenschappen van getallen hebben, zoals deelbaar zijn door 2 of even zijn, dan zijn dat geen eigenschappen van aanduidingen, van cijferrijtjes, maar van de dingen die met die cijfers worden aangeduid, van de hoeveelheden.
Als we dus zeggen dat het getal 4 deelbaar is door het getal 2 dan bedoelen niet het cijfer 4, maar dat wat wordt aangeduid met 4, het eigenlijke getal. Getallen zijn wiskundige objecten, pure gedachtendingen, constructies. Geen concrete hoeveelheden van dingen, maar een abstracte hoeveelheid. Het getal drie is als object zowel eenheid als veelheid. Het is een veelheid van eenheden. Maar het is ook twee plus een.
Anders dan de tekens, de cijfers, zijn de wiskundige objecten niet zichtbaar. We maken een onderscheid tussen een tekening van een driehoek en het wiskundig object, de driehoek die ermee wordt aangeduid. Het is de bijzondere bestaanswijze van de wiskundige objecten, zuivere gedachtedingen te zijn die we ons op een of andere manier moeten voorstellen om het erover te kunnen hebben, die mogelijk maakt dat we geneigd zijn de voorstelling: de wijze waarop we ernaar refereren, te verwarren met de dingen waarover we het hebben.
Dat is misschien de oorzaak van de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal. Terwijl, als we zeggen “het getal 4 is deelbaar door 2” we met het getal 4 juist niet het cijfer 4 bedoelen, maar het getal dat we daarmee aanduiden.
We hebben een voorstelbaar teken nodig als representatie om over de puur denkbeeldige objecten van de wiskunde te denken.
De representatie of voorstelling van getallen (en andere wiskundige objecten zoals figuren in de meetkunde) heeft een geschiedenis waarin de relatie tussen gebruikte tekens en de objecten een ontwikkeling heeft doorgemaakt. De verschillende gestalten die de representatie aanneemt worden aangegeven met: natuurlijk teken, conventioneel teken en formeel systeem. De eerste gestalte van de representatie van de getallen is op directe wijze gebonden aan de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. De voorstelling van een meetkundige driehoek door een tekening van een driehoek, van het getal drie ging door middel van drie streepjes. Volgens deze onmiddellijke representatie is er geen onderscheid tussen het getal als hoeveelheid en de voorstelling ervan door een hoeveelheid objecten. Als we denken dat rekenkunde gaat over voorstelbare hoeveelheden dan ligt het voor de hand getal en notatie te identificeren: een getal is dan inderdaad opgebouwd uit primitieve tekens.
Vanwege deze directe binding tussen teken en hoeveelheid is het begrijpelijk dat er enige tijd over heen ging voordat nul als een getal werd gezien. Nul dingen is immers geen hoeveelheid. Het is een leegte die op een gegeven moment door een speciaal teken werd aangegeven. Later werden ook meer abstracte symbolen, conventionele tekens gebruikt voor de getallen en andere wiskundige objecten. De volgende stap in de ontwikkeling van representaties van getallen is die van een systeem van representaties. De betekenis van een teken wordt nu bepaald door de positie van het teken in het systeem.
Ons tientallig positioneel Arabisch-Indische cijfersysteem (‘cijfer’ komt van het Arabisch ‘sifr’, dat 0 of leeg betekent) gebaseerd op de tien cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 door Fibonacci in de dertiende eeuw ingevoerd in Europa is geschikt om oneindig veel getallen aan te duiden. Wat we met die 10 cijfers maken zijn cijferrijtjes, niet de getallen, maar aanduidingen van getallen. Het cijfer 7 duidt net zo goed als het rijtje 10 een getal aan: 7 is ook een cijferrijtje, namelijk een die bestaat uit een enkel cijfer, een rijtje met lengte 1. Maar wanneer de door AI geleverde tekst zegt: “Een getal kan uit 1 of meer cijfers bestaan.”, dan wordt ‘getal’ opgevat als een cijferrijtje en niet als een wiskundig object.
Een belangrijk kenmerk van de cijfertaal van de wiskunde is dat een cijferrijtje ondubbelzinnig is: het heeft slechts één getal als betekenis. Twee verschillende rijtjes van cijfers duiden bovendien verschillende getallen aan. Daarin verschilt deze taal van de gewone omgangstalen. Het letterrijtje bank heeft in het Nederlands verschillende betekenissen en afhankelijk van de uitspraak van het ‘woord’ kantelen duidt het een ander woord aan. Ligt de klemtoon op de eerste lettergreep dan is het een werkwoord, ligt de klemtoon op de tweede lettergreep dan is het de meervoudsvorm van het woord kanteel. Een woord is dus niet het rijtje letters, maar het woord dat daarmee in een specifieke tekst bedoeld wordt. In het spraakgebruik bedoelen we met ‘woord’ vaak het letterrijtje en niet iets abstracts dat ermee wordt aangeduid. We zeggen dan ‘het woord bank heeft twee betekenissen’. We kunnen woord, het gebruik van een woord en de betekenis niet uitelkaar halen, zonder in de problemen te geraken. De betekenis van het woord komt tot stand in het gebruik.
De belangrijke les van onze speurtocht naar het verschil tussen cijfer en getal is dat het gangbare gebruik van het woord getal verschilt van het gebruik ervan in de wiskunde. Dat wordt een probleem zodra de alledaagse wereld in contact komt met de wereld van de wiskunde, zoals in het rekenonderwijs. Wanneer we ten behoeve van het reken- en wiskundeonderwijs menen iets te moeten zeggen over het verschil tussen cijfer en getal moeten we ons bewust zijn van het grote verschil in gebruik van het woord getal in de wiskunde met het gangbare gebruik ervan zoals Google en Onze Taal dat ons presenteert.
Het gangbare gebruik is nog steeds gebaseerd op de naieve, natuurlijke representatievorm van getallen waarin notatie en betekenis: hoeveelheid, worden gelijkgesteld.
Verder werden we in dit onderzoek opnieuw herinnerd aan het feit dat een woord zelf niet kan zeggen wat het betekent.
“Wat is het getal 1, of wat betekent het symbool ‘1’?”, Met deze vraag begint Gottlob Frege zijn essay The Foundations of Arithmetic waarin hij zijn onderzoek presenteert naar de aard van de getallen. Frege acht het een schandaal dat we deze simpele vraag naar de aard van het meest eenvoudige en eerste begrip van de wiskunde niet op bevredigende wijze kunnen beantwoorden. Daarom herneemt hij nog maar eens de vraag naar de aard van de getallen. Ieder grondig onderzoek naar het getalbegrip zal altijd een filosofisch karakter hebben. Stelt Frege. Het is een taak die zowel tot de wiskunde als tot de filosofie behoort om te bepalen wat de getallen voor dingen zijn.
Frege was zeker niet de eerste die een studie wijdde aan het getalbegrip. De discussie over de aard van de getallen neemt een belangrijke plaats in in de boeken M en N van de Metafysica van Aristoteles, waarin hij vooral in debat is met zijn leermeester Plato.
“De exactheid en het dwingende karakter van het wiskundig redeneren stellen ons voor een raadsel dat noch Plato noch Aristoteles geheel bevredigend hebben kunnen oplossen” schrijft H. Oosthoud in de Inleiding tot de Nederlandse vertaling van Boek M, dat gaat over de getallen en de dingen.
De vraag naar de eigen aard van de getallen en de wiskundige objectiviteit blijft boeien. Het is meer dan ooit een vraag die van belang is om te hernemen in een tijd waarin alles, inclusief onze taal, gemathematiseerd lijkt te moeten worden en waarin het mathematisme – de idee dat kennis pas echt kennis is wanneer we deze in getallen en systemen kunnen uitdrukken – onze technocratische werkelijkheid doordringt en beheerst.
Het mathematiseren van ons taalgebruik zoals die neergeslagen is in de enorme hoeveelheden taaldata op het internet ligt aan de basis van de taaltechnologische AI producten zoals ChatGPT. Die basis bestaat uit mathematische taalmodellen waarmee op statistische wijze teksten worden gegenereerd. Teksten zoals Google die levert als antwoord op onze vraag naar het verschil tussen cijfer en getal. Uit bovenstaande blijkt hoe beperkt deze modellen zijn. En dat is geen toeval, het is een wezenlijk kenmerk van het taalmodel een abstractie te zijn van het werkelijk taalgebruik.
Voetnoot
Wanneer we een getal als aanduiding van een aantal gebruiken dan gebruiken we het kardinale aspect van het getal-begrip. Als telgetal gebruiken we het ordinale aspect (zeven als het zevende). Als meetgetal het meetaspect (3 kilo). En als rekengetal het rekenaspect. Daarnaast is er het gebruik van een getal als naam of label (huisnummer). Dan gebruiken we het coderingsaspect.
