De veelzinnigheid van taal

“De taal (…) zij spreekt van een rode vlek, of die er is of niet.”

(Ludwig Wittgenstein, PU 446).

“De woorden hebben voor het denken dezelfde betekenis als de ontdekking de wind te gebruiken om tegen de wind in te varen heeft voor de scheepvaart. Vandaar, laat niemand de waarde van de woorden vergeten!”

(Gottlob Frege, 1882 )

Het onderwerp is de taal, waarvan de primaire waarde ligt in het gesprek, in het zich luisterend richten tot de ander. In het gesprek is de taal thuis. Het is van belang dit vast te stellen omdat taal zich leent voor heel veel andere (minder plechtige) gelegenheden, waardoor deze primaire waarde in vergetelheid zou kunnen raken. De taal is veelzinnig geworden en die veelzinnigheid van taal, wat we daar onder moeten verstaan, is de focus waarop mijn schrijvend denken zich probeert te richten.

Wanneer de titel van dit schrijven u niet op een of andere manier zou aanspreken dan was u waarschijnlijk niet eens begonnen deze tekst te lezen.

Omdat u deze tekst leest, iets waarvan ik vrij zeker ben, hoewel ik op dit moment (dat ik dit schrijf) niet kan weten dat er wel iemand, behalve ik zelf, is die deze tekst zal lezen, mag ik concluderen dat het onderwerp, de veelzinnigheid van taal, op een of andere manier uw interesse heeft. Mocht de titel bij u enige verwachting hebben gewekt dan hoop ik dat u daarin niet teleurgesteld wordt.

Ook als er niemand zou zijn, behalve ik zelf, die deze tekst leest dan nog kan het schrijven ervan, het op een ordelijke manier uitdrukken van mijn gedachten over het onderwerp dat ik hier aan de orde stel, zinvol zijn.

Ik zeg “kan zinvol zijn”, want ik kan, nu ik dit schrijf, nog niet weten of het voor mij een zinvolle bezigheid is dit te schrijven. Al moet ik bekennen dat dit niet de eerste keer is, dat ik over taal nadenk en schrijf. Maar het is wel de eerste keer dat ik in deze vorm over taal schrijf. Ook wat dat betreft is dit schrijven dus een experiment.

Iedereen bezigt taal en is daarmee bekend met taal. Taal heeft al sinds mijn jeugd mijn bijzondere belangstelling. De meeste mensen zullen wel eens stilstaan bij taal. Bijvoorbeeld als ze ontdekken dat alles een naam heeft, of als ze iets zien staan of horen waarvan ze zich afvragen “Wat is dit voor taal?”. Mensen vragen soms: “Hebben kippen een eigen taal?” als het ze opvalt dat kippen verschillende geluiden maken en op elkaars gekakel lijken te reageren. Het zou best kunnen dat die vraag dan de vraag oproept: “Wat is een taal?”. Tja, wanneer zeg je dat dieren een taal hebben? Anderen hebben vragen over taal wanneer er weer eens een spellingsverandering is en we ‘pannenkoek’ moeten schrijven in plaats van ‘pannekoek’? Of wanneer we niet meer zonder bedenkingen het woord “negerzoen” mogen gebruiken of het woord ‘jodenkoek’. Omdat deze besmet zouden zijn. Kunnen woorden ‘besmet’ zijn? Zoals mensen besmet kunnen raken met een virus?

Mijn interesse komt voort uit mijn belangstelling voor de wiskunde en de technologie. Er zijn vertaalmachines, men heeft het over robots die praten. Je kunt tegenwoordig met appjes op je mobieltje een gesprekje voeren. Hoe is dat mogelijk? Wat zegt dat over het fenomeen taal? Ik kom daar straks nog op terug.

Allereerst wil ik nog even wijzen op het vanzelfsprekende van taal. Ik bedoel daarmee dat ik er zomaar vanuit ga dat wat ik hier schrijf, deze woorden, deze zin, dat dat is wat u leest. En dat u niet heel iets anders leest dan wat ik schrijf. Kan ik daar zo maar vanuit gaan? Ik weet dat er taaltechnologie bestaat die een Nederlandse tekst kan vertalen in een andere taal, bijvoorbeeld het Portugees. Stel dat uw browser Nederlandse teksten automatisch voor u vertaalt in het Portugees. Dan zou de door mij ingetikte zin “En dat u niet heel iets anders leest dan wat ik schrijf”, door u zo gelezen worden E que você não está lendo nada completamente diferente do que escrevo. Terwijl ik die woorden helemaal niet geschreven kan hebben, want ik kan/ken helemaal geen Portugees! Nu doet dit er ook helemaal niet toe zolang we er maar van uit kunnen gaan dat de betekenis niet door de vertaling wordt veranderd. Dat is niet altijd het geval. (Hoe zou bovenstaande tekst in het Portugees vertaald worden!). Maar waar het ons in taal om gaat is de betekenis, niet de taal, de taal is slechts voertuig van de betekenis. De betekenis is wat ik bedoel te zeggen. En hier mee komen we op de diepere betekenis van de vanzelfsprekendheid van taal, waar ik het over had en waarvan we in onze communicatie gebruik maken, namelijk dat voor u mijn tekst de betekenis heeft die ik er in lees wanneer ik ze terug lees. Dus ook wanneer u Nederlands kent en deze tekst leest in dezelfde taal als waarin deze nu door mij wordt geschreven is het de vraag of u wel leest wat ik schrijf. Ik zeg ‘dat is de vraag’, maar ik kan niet anders dan er vanuit gaan dat het zo is dat u leest wat ik schrijf. Ook al weet ik dat het mogelijk is dat u deze tekst heel anders inkleurt en dat u er al lezend heel veel meer bij denkt dan ik bedoel. De kans is groot dat u de tekst al lezend van commentaar voorziet. Dat is de toegevoegde waarde van de tekst.

Ik doe mijn best zo precies mogelijk mijn gedachten onder woorden te brengen. Wanneer ik mijn tekst nalezend vermoed dat het op een bepaald punt niet helder is dan zal ik daar over uitweiden, het zelf van commentaar voorzien om duidelijker te maken wat ik bedoel. Maar uiteindelijk kan ik niet weten wat u als lezer die ik niet ken er in leest en waar dit afwijkt van wat ik bedoelde. Voor zover mijn bedoeling al voor mijzelf door en door helder is op het moment dat ik dit schrijf ! Dat is namelijk niet het geval vooraleer ik mijn gedachten opschrijf. Alsof mijn gedachten al ergens waren voordat ze door mij onder woorden zijn gebracht! Het doel van het schrijven is immers voor mij om mijn gedachten te ordenen, om ze vorm te geven, ze te verwoorden. Pas dan, wanneer ze verwoord zijn, zijn mijn gedachten werkelijk gedachten. Mijn mening kan pas dan, wanneer u mijn woorden leest, ook voor u mijn mening worden. Zonder taal is er geen denken. Denken doen we al doende en voordat we dingen doen.

Nu is het niet zo dat wat ik hier schrijf helemaal nieuw is. Ik bedoel niet de woorden; het zijn allemaal bestaande woorden. Ik bedoel dat veel van de ideeen die ik probeer te verwoorden al langer bestaan. Er is een goede kans dat u, mijn tekst lezend, bepaalde ideeen erin herkent. Dat zal vaker het geval zijn naarmate u zelf over taal hebt nagedacht en er over hebt gelezen.

In het voorwoord van de Tractatus, schrijft Ludwig Wittgenstein (Wenen, 1918): “Dieses Buch wird vielleicht nur der verstehen, der die Gedanken, die darin audgedrückt sind – oder doch ähnliche Gedanken – schon einmal selbst gedacht hat.” Is het daarom dat hij voor zo’n beknopte stijl heeft gekozen? Het boek somt de stellingen van een theorie op, als ware het een wiskundige theorie, te beginnen met het bekende “De wereld is alles wat het geval is“. In 1945 denkt Wittgenstein kennelijk anders over zijn tekst en zijn lezer. In het voorwoord van de Filosofische Onderzoekingen noemt hij het boek niet meer dan een album. Het bevat schetsjes, resultaten van een veelheid van speurtochten door een landschap. Hij heeft geen tijd meer er een samenhangend geheel van te maken. Hij richt zich soms expliciet tot de lezer en nodigt hem uit zelf na te denken. “Ik wil niet met mijn geschrift anderen het denken besparen. Maar iemand zo mogelijk tot eigen gedachten aansporen.”

Wij zijn niet de eersten die over taal nadenken. Ik noem een paar denkers die hun gedachten over taal hebben opgeschreven: Aristoteles (De Interpretatione), Augustinus (Belijdenissen), Locke ( Essay on Human Understanding, Book III), Hegel (Enzyclopadie III), Frege (Uber Sinn und Bedeutung) , Russel (On denoting), Wittgenstein (Filosofische Onderzoekingen I), Husserl (Die Krisis der Europäischen Wissenschaften), Austin (How to do things with words), Heidegger (Hebel, der Hausfreund), Merleau-Ponty (On the phenomenology of language), Chomsky (Syntactic Structures), Searle (Speech acts), Hacking (Wat heeft filosofie met taal te maken?). Allemaal teksten over taal waarin mensen in verschillende tijden vanuit verschillende perspectieven over taal schrijven.

Is er dan nog niet genoeg over taal nagedacht?

Valt er nog iets toe te voegen aan wat deze denkers uit het verleden te berde hebben gebracht? Weten we na al die jaren niet al alles wat er over taal te weten is? Ondanks het feit dat er al zoveel over nagedacht en geschreven is leek het me zinvol om de draad van de geschiedenis van het denken over taal en daarmee van de taal zelf op te pakken. Niet alleen uit eigenwijzigheid of het je willen toe-eigenen van de bestaande kennis, maar ook omdat de werkelijkheid verandert en daarmee een ander perspectief opent op de ideeën. Het is met name de enorme ontwikkeling van de communicatietechniek, de kunstmatige intelligentie in het algemeen en de taaltechnologie in het bijzonder sinds het begin van de vorige eeuw die van invloed is geweest op de taal en ons denken over taal. En over ons zelf. We hebben nu machines met wie we een gesprek kunnen voeren. Een “soort van” gesprek. Er is sprake van een wisselwerking tussen het denken over taal en de taaltechnologie. Dat geldt in het algemeen: technologie is altijd zowel product van menselijke handelen en denken als dat het denken en handelen beïnvloedt. Daarin komen technologie en taal overeen. Door middel van taaltechnologie is het mogelijk teksten machinaal te produceren. Zou de tekst die u nu leest door een machine gemaakt kunnen zijn? Ik bedoel niet alleen de woorden maar ook de gedachten die erin zijn uitgedrukt. Ik als schrijver weet dat dit niet zo is, tenzij ik mezelf als machine opvat. Maar hoe kunnen we aan een tekst zien dat deze door een mens is geproduceerd en niet door een machine? De vraag is ook: doet het er toe? Wanneer doet het er toe? Misschien alleen wanneer iemand zich door een tekst persoonlijk aangesproken voelt en erop wil reageren? De aanwezigheid van de tekst alleen is dan niet genoeg. Dan wordt de spreker gemist.

De zelfstandigheid van de taaluiting

Woorden, zinnen en andere uitingen van een taal hebben een merkwaardige bestaanswijze. Ze bestaan in zekere zin onafhankelijk van degenen die ze bedacht, uitgesproken of gehoord hebben. Ze hebben een schijnbare concreetheid. Schijnbaar omdat ze eigenlijk abstracties, slechts uiterlijkheden zijn van de concrete uiting van de spreker waarin deze taal-elementen worden gebruikt of gemaakt. De zelfstandigheid van het woord of de zin is de zelfstandigheid van het gebaar dat geen gebaar is maar herinnert aan het gebaar. Het is deze zelfstandigheid die uitgebuit wordt in de taaltechnologie.

Taaltechnologie

Het vastleggen van de van oorsprong gesproken taal door het op schrift stellen is de eerste vorm van taaltechnologie. Het ideogram is waarschijnlijk de oudste vorm van schrift. Ze staan echter niet voor klanken of lettergrepen maar ze representeren een ding of idee. Het zijn symbolische afbeeldingen van de werkelijkheid.

Enkele Egytische, Sumerische en Chinese ideogrammen
(bron: encyclopedia2.thefreedictionary.com )

Tegenwoordig kennen we ideogrammen of pictogrammen als identifiers van apps op onze mobiele telefoon. Anders dan spraak zijn ideogrammen afbeeldingen die buiten het moment waarin gesproken wordt, bestaan in uitgehakte kleitabletten. Ze zijn symbolisch omdat hun uiterlijke vorm lijkt op wat het voorstelt, anders dan bij woorden, dat zijn tekens waarbij de relatie tussen uiterlijke vorm en betekenis arbitrair is: het word “tafel” lijkt niet op wat het betekent. Dat het Nederlandse woord bed wel wat op een bed lijkt is, vermoed ik, puur toeval.

Er zijn veel verschillende talen. De fragmenten hieronder zijn uit verschillende talen.

Taalfragmenten uit verschillende talen

Vragen rondom taal

Van deze geschreven taalfragmenten zijn 1-6 voorbeelden uit een natuurlijke taal, terwijl 7 en 8 in een programmeertaal geschreven zijn. Dat zijn talen die speciaal ontwikkeld zijn om computers mee te programmeren. Fragment 1 zou opgetekend kunnen zijn uit een gesprek waarin iemand vertelt over een weekendje uit met de kinderen; een transcriptie van gesproken taal. Maar het kan ook een zin uit een geschreven verslag van zo’n uitje zijn. De relatie tussen spreektaal en schrifttaal is een issue. Fragment 2 is een vertaling van fragment 1 in de Engelse taal, maar het kan ook best omgekeerd zijn. De vertaalbaarheid van teksten is een issue. Deze eerste twee fragmenten komen uit de gewone omgangstaal. Fragment 3 is net als fragment 1 een Nederlandse zijn. Maar deze komt uit een kookboekrecept. Fragment 4 is newspeak, de code-taal die door bepaalde groepen gebezigd wordt in online chats. Typisch taal die ingetikt is, wat nog weer iets anders is dan taal die primair geschreven. De impact van de techniek op de taal, niet alleen op de uiterlijke vorm, de productie van tekens, maar ook op de filosofie van taal, is een issue. De fragmenten 5 en 6 komen uit filosofische teksten; Fragment 5 is uit het boek getiteld Wat heeft filosofie met taal te maken? van Ian Hacking. Het is door Zeno Swijtink vertaald uit de oorspronkelijk Engelse tekst in Why does language matter to philosophy? Waarom zijn grote filosofen Hegel, Heidegger, zulke creatieve taalgebruikers? Dit is ook een issue. Fragment 6 is in het Duits geschreven door de Amsterdamse filosoof Jan Hollak. Een typisch voorbeeld van filosofisch taalgebruik. In hoeverre legt een schrijver, filosoof, wetenschapper, romanschrijver, dichter zichzelf vast in zijn publicaties? De functie van het publiceren is een issue. De fragmenten 7 en 8 komen uit verschillende programmeertalen: de eerste uit een imperatieve taal, de tweede uit een functionele taal. Het zijn teken-talen waarbij de reeksen tekens wanneer ze ingevoerd worden in een programmeerbare computer, als een soort sleutel, een proces op gang brengen dat we interpreteren als het uitvoeren van een programma, een opdracht. Wat betekent het bestaan van programmeertalen en het met behulp van “natuurlijke taal” interacteren met machines, met conversationele agenten en sociale robots voor ons taalbegrip?

Ik zal hier niet alle genoemde kwesties met even veel aandacht bespreken.

De veelzinnigheid

Zijn de genoemde talen: natuurlijke omgangstaal, newspeak, kookboektaal, programmeertaal (en we zouden daar ook nog aan kunnen toevoegen de taal van de wiskunde, formele talen, de talen waarmee dieren communiceren, gebarentaal, dichterlijke taal) allemaal in dezelfde zin taal? Hoe verhouden deze talen zich onderling? In het bijzonder gaat mijn interesse uit naar de relatie tussen de begrippen natuurlijke taal en programmeertaal, de talen die wij gebruiken om machines in te programmeren.

ALGOL60 was de eerste programmeertaal die taal werd genoemd (Algorithmic Language). Het is een taal om algoritmes, rekenvoorschriften, procedures, in te schrijven. Daarvoor sprak men van een code. Zo werd Fortran een code genoemd. Naar analogie met de natuurlijke taal zag men de programmeertaal als een taal waarin je een computer opdrachten geeft en vragen stelt, kortom het is een taal omdat je er in met een “intelligent” apparaat communiceert. Dat woord “communiceren” wordt overigens ook veelzinnig gebruikt, net als het woord “taal”. Anderzijds: is een natuurlijke taal ook een programmeertaal? Verrijkt het bestaan van de programmeertaal ons begrip van taal?

Het begrip taal

Wanneer we taal gebruiken waarvoor taal primair bedoeld is dan hebben we het ergens over, over iets dat buiten de taal is. Ook als we over taal zelf nadenken en schrijven gebruiken we taal en verwijzen we naar iets dat in dat gebruik onderscheiden is van de taal die we gebruiken en daar buiten ligt. We kijken dan als het ware van binnen naar buiten. De taal die we beschouwen is niet de taal die we gebruiken, voorzover we haar beschouwen betekent ze niet, althans niet actueel. We weten echter dat het de taal is die we gebruiken en dat deze dan iets betekent. We moeten die betekenissen er weer bij denken. Dat gebeurt in een reconstructie van de taal.

Taal is een systeem waarin we orde aanbrengen in onze ervaringswereld. Die wereld delen we met anderen. Wilhelm von Humboldt noemde taal “de ziel der natie”. Door het delen van de ervaringswereld gereflecteerd in de taal kunnen we met anderen met wie we de taal delen met een zekere mate van succes communiceren door gebruik te maken van de gemeenschappelijke taal. De taal is echter een levend organisme en legt niet dwingend vast hoe we over de werkelijkheid denken. Culturen die elkaar ontmoeten kunnen visies en taal van elkaar overnemen.

Een andere manier is om taal van buiten te bestuderen, als een object op zich zelf. Dat doen we als we taal als verzameling produkten (woorden, zinnen, teksten, gesprekken) zien. Taaltechnologie, het machinaal herkennen van spraak, tekst, het genereren van spraak en teksten en het vertalen van teksten of spraak, maakt hiervan gebruik. Een sprekende machine suggereert een binnenkant, een sprekend subject. Taal is gebaar, een vorm van gedrag. Taal is iets lichamelijks, een eenheid van iets mentaals en iets fysisch. Die twee zijn in de werkelijkheid altijd beide aanwezig. Als we reflecteren over taal en woorden dan denken we ze vaak uit elkaar. We denken dan hier is het teken, daar is wat het betekent. En vragen ons dan af hoe we die twee ooit weer bij elkaar krijgen.

Het begrip taal is veelzinnig.

En dat is niet omdat een taal veel zinnen bevat. Ik bedoel dat het taalbegrip veelzinnig is, omdat het begrip zaken omvat die verschillen, maar niet ongerelateerd zijn omdat ze verwante aspecten van het begrip taal realiseren. Wat bedoel ik daarmee? En waarom is het zinvol om hierop te wijzen? Wat is het nut? Wat het nut betreft: moet het nut van begrijpen uitgelegd en verdedigd worden? Moeten we nog wijzen op de centrale plaats en functies die de taal in ons leven inneemt? Mij gaat het erom helder te denken. Omdat het gezonder is om helder te denken dan om verward te denken. En wie niet gezond denkt kan niet gezond leven. En wie leeft wil leven en dat wil zeggen zo leven dat het goed is voor het leven, dat is gezond leven. Wat goed en gezond leven is dat maakt ieder voor zichzelf uit. Daarom hoort bij gezond leven ook dat je ontdekt wie dat is, jezelf. Omdat we een denkend zelf zijn die meent door denken te kunnen begrijpen is het zinvol om goed te denken over het denken dat zich bij uitstel in taal uitdrukt. Voorzover filosoferen denken is heeft filosofie iets wezenlijks met taal te maken.

In plaats van te zeggen dat het taalbegrip veelzinnig is, zegt men ook dat het woord “taal” veelzinnig wordt gebruikt. We gebruiken woorden om ons begrip van de werkelijkheid waarop wij betrokken zijn uit te drukken. Dat is het verwoorden van onze relatie met de dingen, de gevoelens, etcetera. Woorden drukken dus in een bepaalde context gebruikt begrip uit. We zeggen bijvoorbeeld: dit is een slimme computer en dit is een slimme professor. Of: dit is een woordenspel en dat is een schaakspel. We vragen ons af of het woord slim in beide gebruiken op dezelfde manier gebruikt wordt. Dat wil zeggen of het slim zijn van een computer hetzelfde is als het slim zijn van een mens. Hetzelfde geldt voor spel. Gaat het in schaakspel en in woordenspel om hetzelfde of om een ander begrip spel? Veelzinnig gebruik staat tegenover eenzinnig gebruik van een woord. Is een computer in dezelfde zin intelligent als een mens?

Als we het over het gebruik van taal, over het gebruik van woorden, hebben dan zien we de taal of de woorden als soort van instrumenten die klaar liggen om gebruikt te worden. Deze hebben een eigen werking waarvan in het gebruik van de taal gebruik wordt gemaakt. Deze instrumentele kant van taal is maar een kant van taal. We kiezen in het spontane taalgebruik niet bewust een woord zoals we een instrument uitzoeken om een bepaalde bewerking uit te voeren, om een bepaald beoogd effect te verkrijgen. In het spontane spreken zijn de woorden onmiddellijk uitdrukking van het denken en beleven. Ze horen bij de manier waarop we ons uiten in de bepaalde situatie waarin we ons bevinden, vergelijkbaar met de andere uitdrukkingen zoals gezichtsuitdrukkingen, stem en lichaamsgebaren. Niemand maakt zich druk over de juistheid van het taalgebruik van de bestolene wanneer deze uitroept: “Houd de dief!”. Het gaat hier niet om het kiezen van de juiste woorden, om het gebruik van een instrument.

Het taalbegrip is veelzinnig. Daarom is het woord “taal” zelf veelzinnig. We zien dat in het Nederlands veel woorden voorkomen ( “slim”, “intelligent”, “spel” ) die we gebruiken om verschillende zaken mee aan te duiden.

Veelzinnigheid is iets anders dan homonymie. Bij het laatste is er geen verband tussen de verschillende betekenissen die een woord heeft. Voorbeeld: het woord “bank” kan zowel geld-bank als zit-bank betekenen. Bij veelzinnigheid is er wel een verband tussen de verschillende wijzen van gebruik. Tegenwoordig is het zeer gebruikelijk machines of technologie intelligent te noemen. De vraag of intelligentie hier in dezelfde zin gebruikt wordt als wanneer we van mensen of dieren zeggen dat deze intelligent zijn, is een kritisch vraag: ze dwingt ons na te denken over de relatie tussen mens en machine. Evenzo vragen wij: zijn morele machines in dezelfde zin morele agenten of subjecten als morele mensen? De veelzinnige woorden “communicatie”, “intelligent” en “taal” worden net als “geheugen” zowel in relatie tot computers als in relatie tot mensen gebruikt. Ze hebben een technische en een dagelijkse betekenis. De technische betekenis is geleend of afgeleid van de alledaagse betekenis. Naarmate de techniek steeds meer tot de dagelijkse levenssfeer is gaan behoren is het onderscheid tussen beide “taalspelen” voor velen aan het verdwijnen. Wie van mening is dat we woorden als taal, rekenen, geheugen en intelligent in beide taalspelen in dezelfde zin gebruiken die houdt er een andere filosofie van de techniek op na dan degenen die van mening zijn dat deze woorden in verschillende zin gebruikt worden.

Veelzinnig gebruik is een vorm van overdrachtelijk gebruik. Overdrachtelijk gebruik van een woord staat tegenover het letterlijk gebruik van het woord. Overdrachtelijk gebruik wordt ook wel oneigenlijk gebruik genoemd. Maar een machine intelligent noemen, is dat oneigenlijk? Dat hangt ervan af of je de machine zelf als intelligent wezen beschouwt of niet. De term overdrachtelijk is goed van toepassing bij het spreken van kunstmatige intelligentie, denkende en sprekende machines. De technologie draagt eigenschappen van de maker en bedenker over op zijn produkten.

Veelzinnigheid is een kwaliteit van taal. Het geeft de mens uitdrukkingskracht. Hoe moeten we anders zeggen dat “een wasmachine beter was dan een mens”? Of dat “een computer beter en sneller rekent dan een mens”? We zouden kunnen zeggen met gebruikmaking van een wasmachine gaat wassen beter dan zonder. Maar de machine is toch juist bedoeld om het wassen over te nemen? We gebruiken daarbij een eigenschap van de natuur: het water wast de kleren. De ervaring dat dat beter gaat met stromend water en door het water te verwarmen is verwerkt in de wasmachine. Wast de mens nu de kleren of laat de mens het water de kleren wassen? In elk geval is het de mens voor wie het wassen betekenis heeft.

Eenzinnige taal komt alleen voor in de wiskunde.

Letterlijk of soort-van

Soms gebruiken we aanhalingstekens wanneer we het over “intelligente” machines hebben of over “denkende” machines. Daarmee geven we aan dat we het niet letterlijk bedoelen. De filosoof D.C. Dennett introduceerde de “soort van” operator, een taalconstructor die je toevoegt aan een woord om aan te geven dat je het woord niet letterlijk moet nemen: “een machine is soort-van intelligent”.

Reflectie op de reflectie

Het grappige is dat de techniek en dus ook het technische gebruik van deze woorden het resultaat is van een reflectie, het nadenken over onze omgang met de natuur in ons dagelijks leven. Door te wijzen op de veelzinnigheid van deze woorden reflecteren we weer op het resultaat van deze reflectie, een reflectie op de reflectie. Een bepaalde vorm van zelfreflectie blijkt de kern van de automatisering van het denken te zijn. Verschillende filosofen hebben gewezen op de betekenis van de automatie als eindfase in de ontwikkeling van de technologie, van een bepaalde wijze van denken. We zien dat ook in de ontwikkeling van programmeertalen: nieuwe talen voegen niets toe aan wat berekenbaar is met behulp van een computer. Ik zal later nog ingaan op wat de noodzakelijke en voldoende functies van een programmeertaal zijn om alles wat berekenbaar is te kunnen specificeren.

Gebruiksvriendelijkheid – usability

De ontwikkeling van de technologie richt zich nu op de gebruikerskant, op gebruiksvriendelijkheid en op de overtuigingskracht (persuasivenes) van de techniek door aan te knopen bij primitievere, meer onmiddellijke werkingen van de menselijke natuur, instinctmatig en ritueel gedrag. De sociaal-psycholoog Sherry Turkle spreekt van het indrukken van “Darwinian buttons“. Interakties tussen sociale robots en hun gebruikers moet idealiter door middel van natuurlijke taal en natuurlijk gedrag gebeuren. Hier lijkt een terugval naar het onmiddellijke gebruik van de natuurkrachten te spelen. Een relatie tot de natuur die kenmerkend is voor de eerste fase van de technische ontwikkeling, het ongereflecteerde gebruik op grond van eigen ervaring in het omgaan met de omgeving. Het verschil is dat nu het product van de interaktie niet iets is dat buiten de mens, de gebruiker ligt maar dat het product in de interaktie zelf lijkt te liggen.

Onderzoek op het gebied van mens-machine interaktie toont aan dat wanneer bruikbaarheid, nuttigheid in termen van het realiseren van een van te voren bepaald doel voorop staat dat dan gebruiksvriendelijkheid in de zin van natuurlijkheid minder belangrijk is dan nuttigheid en efficiency. De machine moet gewoon werken, doen waarvoor het gemaakt is. Dat is een heel ander motief voor het ontwikkelen van techniek dan dat van de Japanner Hiroshi Ishiguro de maker van androides, menselijke replica’s met als belangrijkste doel te weten wat presence, aanwezigheid, er-zijn, betekent. Onderzoek op het gebied van artificial intelligence kunnen we zien als een wat omslachtige manier van zoeken naar wat kennis en intersubjectiviteit betekent. Kunnen we op technische wijze, anders dan door biologische geslachtelijke voortplanting, een persoon maken, afgezien van de vraag wat het nut ervan is. De vraag is in hoeverre deze manier van zoeken bepalend is voor het inzicht dat ermee verkregen wordt. Zou de filosoof zonder deze technologie tot dezelfde inzichten komen? Begrijpen we dingen pas echt wanneer we het zelf hebben gemaakt, zoals sommige wetenschappers en technici zeggen. Wat zegt dit over wat begrijpen is? De vraag doet voorkomen alsof inzicht iets is dat buiten het leven, de cultuur, de geschiedenis om, bestaat of verkregen kan worden. Doordat vanuit technische perspectief de grens tussen technologie en de mens steeds verder vervaagt (zoals de Twentse techniekfilosoof Peter-Paul Verbeek onder anderen opmerkt), wordt het steeds duidelijker wat dat perspectief is en wat de mens, als levend, willend, denkend, sociaal wezen van een door technologie ontworpen creatie onderscheidt. Het technologisch denken zou net als de wiskunde wel eens een supercultureel domein van het leven kunnen zijn waar de verschillende culturen elkaar ontmoeten. Het wereldwijde internet lijkt het bestaan van zo’n technologisch domein te bevestigen.

De wiskundige en logicus Gottlob Frege merkte op dat de waarde van wiskundige objecten buiten het bereik van de mens ligt. Er zijn Romeins en Arabische cijfers maar er zijn geen Romeinse en Arabische getallen (zie H. Boukema, Familiegelijkenissen). Wiskundige kennis is kennis die geldig is in alle culturen, net zo als de mathematische wetten van de natuurkunde. Of een specifieke machine, zoals een stoommachine in een cultuur past zal van veel sociaal-economische factoren afhangen, maar de zuiver technische werking is onafhankelijk van de cultuur. Heron van Alexandrie ontwierp bijna 2000 jaar voor de industriele revolutie al een stoom-machine. Je kunt kennelijk op basis van ervaring met de natuurkrachten zo’n machine maken. Je hebt er geen hedendaagse fysica voor nodig.

De techniek is in de kern een verstandelijk ontwerp, het resultaat van een creatieve vinding inhoudende dat door een combinatie van natuurkrachten een werking tot stand kan worden gebracht. Of dit als nuttig wordt gezien buiten het eigen gebruik en tot reproductie zal leiden hangt van veel factoren af, maar in principe is de bedachte techniek net zo geldig als de Stelling van Pythagoras. Hoe mathematischer de techniek is des te minder hangt de geldigheid ervan af van culturele waarden. Wat programmeerbaar en berekenbaar is in China of in Afrika is dat ook in Europa en omgekeerd.

Frege’s strikte onderscheid tussen taal enerzijds als een willekeurig subjectief, psychologisch, cultureel iets en de objectieve wereld van de betekenissen anderzijds, zoals dat in de wiskunde lijkt te bestaan – cijfersystemen enerzijds en getallen anderzijds – kunnen we ook doorgevoerd denken naar het domein van de logische denkende machines. Frege zette een belangrijke stap in de ontwikkeling van de denkende machine door het begrip als functie te zien en waarheidswaarden als objectieve betekenis op te vatten.

Waarom had Frege zo veel moeite met de variabele en met de functie in de wiskunde? Hoe kan iets nu onbepaald zijn en bepaald worden? Hoe kun je het wiskundig denken, het stellen, dat toch een subjectieve activiteit is, objectiveren, zonder het te reduceren tot het resultaat ervan? Wat denkt de autonoom denkende machine eigenlijk? En waarom denkt hij eigenlijk? Ik vermoed dat het probleem van Frege was dat hij probeerde het subject, zich zelf als denker, weg te denken uit het denken. Wie anders dan de denker geeft de variabele een bepaalde waarde? Wie anders dan de gebruiker van de machine zorgt ervoor dat deze in een bepaalde toestand gebracht wordt voordat deze aan het werk wordt gezet? Wie anders dan de mens past de algemene regel, de functie, toe? De wiskunde en de techniek abstraheren weliswaar van de individuele kwaliteiten van de persoon, ze is niet te begrijpen zonder de inbreng van het kennend en willend subject er bij te betrekken.

Wittgenstein: familiegelijkenissen

Wanneer er één filosoof is die zich het hoofd heeft gebroken op de vraag naar de aard van het algemene begrip taal in relatie tot de bijzondere talen, “taalspelen”, dan is het Ludwig Wittgenstein. Hij is tevens, en dat is niet toevallig gezien zijn visie hierop, één van de grondleggers van de mathematische logica. In paragraaf 65 van zijn Filosofische Onderzoekingen schrijft hij:

“In plaats van iets aan te geven dat aan alles wat we taal noemen, gemeenschappelijk is, zeg ik dat deze verschijnselen helemaal niet een ding gemeen hebben, dat maakt dat we voor allemaal hetzelfde woord gebruiken, – maar ze zijn allemaal op bijzondere manieren verwant. En vanwege deze verwantschappen, noemen we ze allemaal ‘talen’. “ (PU I 65).

In de daarop volgende paragraaf nodigt hij zijn lezers uit eens te kijken naar wat we allemaal spel noemen: bordspelen, kaartspelen, balspelen, en Olympische spelen. “Wat hebben deze allemaal gemeenschappelijk? – Zeg niet: ‘Ze moeten iets gemeen hebben, anders zouden ze geen “spelen” heten’, maar kijk of ze allemaal iets gemeen hebben.” Je zult niet iets vinden dat ze allemaal gemeen hebben, maar wel verwantschappen, “familiegelijkenissen” (PU par. 67) . Van Wittgenstein is de term taalspel. Hij beschouwt taal “naar het model van spel” (Harm Boukema, 1986), zoals je bijvoorbeeld de mens naar het model van een werktuig of een machine kan beschouwen. Boukema wijst erop dat wat volgens de traditionele opvatting analoog taalgebruik heet haaks staat op wat Wittgenstein bedoelt. Het klassieke voorbeeld van analogie bij Aristoteles is het gebruik van het woord “gezond”. We zeggen dat voedsel gezond is in zoverre er een relatie bestaat tussen voedsel en het leven waarvoor het gezond is. Wittgenstein zou om het gebruik van het zelfde woord te verklaren naar eigenschappen kijken die dingen die we gezond noemen gemeen hebben. Voor Wittgenstein duiden de woorden verzamelingen van eigenschappen aan waaraan dingen voldoen. De woorden taal en spel worden bij hem technische termen. Volgens Boukema ziet hij af van de dagelijkse zeggingskracht van deze woorden. Wittgenstein heeft in navolging van Frege het reflecterende, denkende subject uit de wereld van de dagelijkse taal gehaald door te kijken naar het feitelijk gebruik van de taal waarin de woorden objecten aanduiden die buiten de taal bestaan. Het beeld dat Wittgenstein van taal heeft is het beeld dat hij in het begin van de Filosofische Onderzoekingen (ten onrechte volgens Boukema) aan Augustinus toedicht.

“De woorden geven ons, naar het mij voorkomt, een bepaald beeld van het wezen van de menselijke taal. Namelijk dit: de woorden van de taal benoemen voorwerpen – zinnen zijn verbindingen van zulke benamingen. – In dit beeld van de taal treffen wij de wortels van het idee: ieder woord heeft een betekenis. Deze betekenis is aan het woord gekoppeld. Zij is het voorwerp waar het woord voor staat.” (PU I par. 1).

De kenmerken die hij noemt wanneer hij spelen vergelijkt zijn niet onzinnig, maar ze treffen niet het wezen van spel; ze zijn niet typerend voor spel. (Boukema 1986 p.61). Wittgenstein kijkt van buiten naar de dingen die we spel noemen en probeert overeenkomende eigenschappen te vinden. Maar hoe weet je nu welke relevant zijn? Waarom is het gewicht dat we aan een aktiviteit hechten van wezenlijk belang voor het spelkarakter? Dat is wat we uitdrukken als we zeggen: “het is maar een spelletje.” De zin van de bezigheid ligt in de bezigheid zelf besloten, niet er buiten als een produkt dat door de bezigheid opgeleverd moet worden. Wanneer het voetbalspel professioneel wordt, wordt het spelkarakter ervan bedreigt. Er liggen dan teveel belangen op het spel.

Sign: eenheid van signifiant en signifié

Merleau Ponty bespreekt in zijn essay On the Phenomenology of Language (1964, p.84-97) twee verschillende benaderingen voor een fenomenologisch onderzoek naar taal. Tegenover de benadering die een inventarisatie is van bestaande talen en deze probeert in een algemeen raamwerk te passen plaatst hij een analyse die terug gaat naar het sprekend subject, “to my contact with the language I am speaking.” Het is de benadering van de wetenschapper die de taal als resultaat ziet van een historisch complex proces tegenover de fenomenoloog die uitgaat van het sprekend subject voor wie dat wat hij zegt op een unieke logische manier past in het moment. De duitse term “Meinung” verwijst meer dan het woord betekenis naar het sprekend subject. Deze ligt volgens Husserl niet buiten het woord zoals Wittgenstein doet voorkomen.

Bij de linguist Ferdinand de Saussure is het teken (signe) een eenheid van een acoustisch beeld (signifiant) en een concept (signifie) . De relatie tussen beide is arbitrair: er is geen intern verband tussen de klank en het begrip. Dat geldt overigens niet voor de samengestelde woorden (bloempot), en de telwoorden, zoals negentien. Dat wat betekend wordt is niet iets, een ding dat buiten de geest bestaat, het is aspect van het teken en daarmee iets mentaals. Taal is primair klanktaal, gesproken taal. Het beeld dat de woorden labels zijn die we plakken op de dingen die al in de werkelijkheid klaar liggen te wachten om ontdekt te worden en genoemd te worden klopt niet. Dat beeld ontstaat wellicht als we kijken hoe een kind de eerste woordjes leert en hoe we steeds meer worden leren. Een ander onderscheid dat De Saussure maakt is dat tussen de waarde (value) en referent (meaning) van een woord. Het Engelse sheep heeft de zelfde referent als het Franse mouton, maar ze verschillen in gebruik. Mouton betekent namelijk zowel het dier als het vlees van het dier, terwijl het Engels daar twee woorden voor heeft. Het Portugees kent drie verschillende woorden voor spelen. Daarmee onderscheidt de taal het spelen van kinderen, het spelen op een muziekinstrument en het spelen van een bordspel zoals schaken of van een spel dat aan spelregels is gebonden.

Het psychische fenomeen taal wordt door De Saussure aangeduid met langue, wat de taal is voor het sprekend subject. Parole is de taal als sociaal fenomeen.

De oorsprong van de taal

Onze dagelijkse, natuurlijke taal, de moedertaal, is primair middel voor het mededelen. Het is zowel communicatiemiddel als uitdrukkingsmiddel. Taal is intersubjectief, iets sociaals en we kunnen erin op verschillende wijzen: min of meer doordacht, min of meer direct, onze relaties tot ons zelf en de wereld om ons heen tot uitdrukking brengen. Taal is verwijzend. De mensentaal is lichaamstaal, lichamelijk uitdrukking dat zich ontwikkeld tot een door ons in zekere mate beheerst middel.

In de gesproken taal, de klanktaal, zijn de woorden betekenisvolle klanken, klankgebaren. In de geschreven taal zijn de tekens beeldende tekeningen, zoals in het hieroglifische schrift, of ze verwijzen min of meer direct naar de gesproken uitdrukkingen. De relatie tussen tekst en spreektaal is bij fragment 4 duidelijk anders dan bij fragment 1. Spreektaal en geschreven taal hebben elk hun eigen karakter, en hun eigen gebruik. Bij gebarentalen spelen de zichtbare, niet hoorbare, lichaamsgebaren een primaire rol. Ik zal hier vanuit de twee verschillende aspecten van taal: uitdrukking en communicatie de vraag naar de oorsprong van de natuurlijke taal benaderen. Allereerst vanuit de communicatie, de intersubjectiviteit.

Of je dat wil of niet, als ik je zie staan, lopen, doen, dan kan ik niet anders dan de ervaring hebben van een ander ik dat in die bezigheden aanwezig is en zich uitdrukt. Zou ik vanaf mijn “geboorte” slechts omringd zijn geweest door robots dan had ik mij op roboteske wijze ontwikkeld in interaktie met mijn roboteske omgeving. Mijn zelf was het zelf van een robot geweest. Maar ik ben geboren omringd door mensen. De oer-ervaring van het bestaan van andere ikken heeft zich met mijn eigen ik-ervaring ontwikkeld. Taal is het geheugen van deze gemeenschappelijke ervaring en het mededelen van ervaringen in ons samen leven. In de ervaring van de ander die mijn geluiden als uitdrukking en spreken opvat en daarop reageert ontwikkelt mijn besef van een taal als middel tot contact met de anderen. Mijn spreken is spreken tot een ander. Spreken wordt tegenspreken. De ander spreekt mij tegen. Uit deze ervaring ontwikkelt het inzicht dat het mogelijk is dat dingen niet zo zijn als ik me voorstel. Een bewering komt tegenover zijn waarheid of onwaarheid te staan. Zonder de ervaring van de ander zijn er geen vragen en antwoorden. De ander is voor mij anders aanwezig dan ik voor mijzelf aanwezig ben. Ik beleef mij zelf, maar zo beleef ik niet de ander. Ik neem de ander waar. Maar niet zoals een ding, maar als ander ik. De mens ervaart zichzelf als kennend via de kennis van de ander, de objecten om hem heen.

De tweede weg naar de oorsprong van de taal is vanuit het waarnemend en kennend subject. De taal als uitdrukkingsmiddel.

De zintuiglijke ervaring heeft een receptief moment: dat wat ervaren wordt werkt in op mijn zintuigen, en een actief moment: de creatie van een immanent kenbeeld, de verwijzing naar het object dat waargenomen wordt op de wijze van het subject: een psychisch beeld.

De kenbeelden hebben al een zin en betekenis. De door ons gevormde denkbeelden hebben een intentionele gerichtheid op iets dat is, maar op een bepaalde wijze, onder een bepaald opzicht. De tegenwoordigheid van het gekende is in het immanente kenbeeld beperkt. Het werkelijk zijnde staat onbereikbaar buiten dit kenbeeld dat er slechts op een subjectieve wijze naar verwijst. Het door ons gevormde denkbeeld is het innerlijk woord.

Op een of andere manier wordt dit innerlijk woord in onze omgang (zie het eerste perspectief) gekoppeld aan woorden die door de anderen om ons heen gebruikt worden. De relatie van de klank “boom” met een indruk die het kind heeft van een object waarnaar gewezen wordt, of van een afbeelding ervan in een plaatjesboek, wordt geleerd, de werking van het geheugen, in de omgang met huisgenoten. Zo leert het kind de associaties tussen klanken en zintuiglijke ervaringen met objecten en gevoelens in de onmiddellijke belevingswereld.

De relatie tussen de woorden en hun betekenissen wordt vaak arbitrair, willekeurig genoemd. Daarmee wordt bedoeld dat er geen zintuiglijk waarneembare relatie bestaat tussen de woorden en klanken enerzijds en datgene waarnaar ze verwijzen. Talen verschillen onder meer in de woorden die ze voor eenzelfde begrip of ding gebruiken. Maar binnen een taalgemeenschap ligt de relatie tussen de woorden en hun betekenis min of meer vast: “Dit noemen wij in Nederland een stoel, want het is een stoel”. “Min of meer”, want het gemeenschappelijke begrip van een stoel dat uitgedrukt wordt in het woord stoel en haar gebruik wordt gevoed door de individuele taalgebruikers op grond van hun ervaringen en in interaktie met de taal. Zo kan de betekenis van een woord veranderen of een woord kan meerdere gebruiken krijgen op grond van een associatie met een bepaald aspect. Nieuwe woorden kunnen ontstaan vanuit een door mensen gedeeld begrip door iemand op grond van een creatief inzicht uitgedrukt in een omschrijving waarin anderen iets herkennen dat betekenisvol is; iets dat een naam mag hebben; iets beduidends. Dichters en filosofen zijn beide met taal bezig, ze geven nieuwe betekenissen aan de woorden en vormen nieuwe woorden omdat ze niet genoeg hebben aan de bestaande woorden; omdat ze een nieuw begrip of een bepaalde emotie willen uitdrukken.

Er is een overgang van het “innerlijk woord”, het teken, waarin het onderscheid tussen subject en object dat we in de kenrelatie vaak onderscheiden niet aanwezig is, naar het uitwendige woord, de klank die onderscheiden is van het object waarnaar wordt gerefereerd. Het teken is beide tegelijk: het is zuivere referentie, voorstelling die geen voorstelling is. Maar het is nog steeds subjectief in de zin dat het bij de individuele, particuliere, beleving hoort. De woorden zijn echter niet privee. De woorden van de taal zijn iets objectiefs; de woorden zijn iets blijvends. Ze kunnen helpen om ons weer iets in herinnering te brengen. De woorden zijn de instrumenten waarmee we denken. We hebben de voorstellingen, de innerlijke beelden, niet meer nodig wanneer we het woord “leeuw” of “stoel” gebruiken. Hegel noemt het woord (hij gebruikt de Duitse term Namen) een “bildlose Vorstellung” (Enzyklopadie $ 462, p.209), een ietwat paradoxale term. Hegel doelt hier waarschijnlijk op het feit dat we ons geen voorstelling hoeven te maken van een leeuw wanneer we het woord “leeuw” denken, uitspreken, lezen of schrijven. In zoverre we in het denken ons laten leiden door de woorden, zonder daarbij bewust stil te staan bij hun betekenissen als zaken die daarvan onderscheiden zijn, heeft het denken iets mechanisch. En inzoverre ons denken mechanisch voortgaat hebben we als subject iets dingmatigs, iets dat dat denken als het ware ondergaat. Op de achtergrond spelen de betekenissen echter voortdurend mee en we kunnen op elk moment stil staan bij de woorden en vragen of ze werkelijk uitdrukken wat we bedoelen.

Maarten Coolen interpreteert de Hegel-teksten over taal (met name in de Subjektive Geist in de Enzyklopadie en in de Jenaer Realphilosophie) in het kader van zijn onderzoek naar de antropologische betekenis van de automatie als uitdrukking van het zelfbegrip van het autonome subject. Hij spreekt van de “denkarbeid” (Coolen, 1992, p.210), het denken dat werken is en dat in de programmeerbare machine wordt veruitwendigd of geobjectiveerd in de vorm van als fysische processen werkende tekens. (zie ook Maarten Coolen: De machine als werkend teken, 1987).

Van woorden naar zinnen

Nu blijft het niet bij woorden. We denken en drukken ons uit in zinnen. Het kind zegt eerst “boom” en later wordt het een expliciet oordeel uitgedrukt in een oordeelszin “Dat is een boom” , waarin het werkelijk zijn van een object wordt bevestigd. Het kind leert de namen voor de kleuren en het oordeel “De bloem is wit” of “De roos is rood.” waarin het de eenheid van subject en predikaat in het object uitdrukt op de wijze van een subjectief oordeel. Dat “wit” en “rood” woorden zijn die hier een eigenschap aanduiden dat ligt in het gebruik besloten.

Tekens en woorden zijn ook objecten maar inzoverre we ze als objecten tegenover ons zien, bijvoorbeeld wanneer we vragen “Wat betekent dit woord?” of “Hoe komt dit woord aan haar betekenis?” inzoverre gebruiken we ze niet op normale wijze. Alleen in het normale gebruik van de woorden zijn ze in dit gebruik onmiddellijk een met het begrip waarnaar ze verwijzen.

Het probleem van lichaam en geest

Het problematische verband tussen het woord en haar betekenis dat o.a. tot uitdrukking komt in de vraag hoe het mogelijk is dat woorden iets betekenen houdt verband met het probleem van de verhouding tussen lichaam en geest. Hoe kan iets dat is bewust zijn, geest zijn? Hoe kan kennis dat toch iets geestelijks, iets mentaals is, kennis van iets zijn dat buiten de kenner is?

Het antwoord op zulke vragen moet beginnen met een kritische analyse van de vraag. Uit welke houding komt de vraag voort? Wat is de aanname? Stel ik lichaam tegenover geest of teken tegenover betekenis dan denk of praat ik die nooit meer bij elkaar. Is het gekende in het kennen wel buiten de kenner? Hangt dat niet heel erg af van de eigen aard van het gekende? Is er wel zoiets algemeens als “kennen”? Moeten we niet veeleer zeggen dat kennen veelzinnig is en dat het concrete kennen bepaald wordt door het gekende en door de kenner? Kennen wij in eigenlijke zin wel dingen of zaken die buiten ons staan? Alsof ik een stoel ken! Je zegt ik weet wat een stoel is. Of: ik ken die stoel. In het kennen is het gekende op de wijze van de kenner. Mijn lichaam is niet op dezelfde manier buiten mij als mijn pen of mijn computer. De pen is in het gebruik weliswaar onderdeel van de hand waarmee ik schrijf, ik kan hem anders dan mijn hand wegleggen en later weer oppakken. Zo staan de woorden van de taal mij ter beschikking en worden ze in het gebruik door mij een deel van mij als denker.

Wat voor de kenrelatie geldt, geldt ook voor de betekenis. Ook de betekenis van deze relatie is afhankelijk van dat wat het teken betekent. Ik denk dat dit is wat Harm Boukema bedoelt wanneer hij in “Over de grenzen van de reflexiviteit” stelt: “Want de wijze waarop we onze gedachten in taal uitdrukken is niet – zoals Frege, Russell en Wittgenstein stilzwijgend veronderstellen – uitwendig aan de gedachten die we uitdrukken. Elke verwoording is tevens concretisering.” Boukema wijst in dit artikel op de “gastvrijheid” van de taal. Het is die eigenschap van de taal die het mogelijk maakt woorden van een nieuwe of afgeleide betekenis of gevoelswaarde te voorzien. De meerzinnigheid van de taal is uitdrukking van de distantie die de creatief denkende geest tot de taal kan nemen.

Wie van mening is dat betekenis een eenzinnige term is die constant is en buiten het woord staat die vat betekenis als een functie op. Deze functie beeldt het teken af op haar betekenis. Dit noem ik mathematisering van de taal. Ze komt tot uitdrukking in de intelligente machine, waarvan het subject, het abstracte subject van de wiskunde is.

Het aanwijzen van individuele dingen

Woorden drukken begrippen uit en die zijn algemeen: stoel, paard, mens. Om iemand duidelijk te maken welke bepaalde stoel ik bedoel moet ik deze aanwijzen. “Deze stoel” of “die stoel daar”. Ik kan ook een foto van de stoel aanwijzen, of een tekening, maar dat schiet tekort wanneer ik niet alleen wil zeggen hoe deze eruit ziet, maar welke unieke stoel ik precies bedoel. Ik moet de stoel in een situatie plaatsen die de ander voor wie ik dit doe herkent. Met “de stoel van opa” zou ik de bedoelde unieke stoel voldoende kunnen aanduiden, althans voor een naast familielid.

“De identiteit van een reeel individue is voor ons ondoorgrondelijk.” (Fleischhacker, Het wiskundig teken, p.22) . Vanwege het algemene karakter van het begrip kan een begripswoord dus nooit een reëel individu identificeren. Het concrete individu dat wordt bedoeld, kan slechts door middel van uiterlijke kenmerken worden aangeduid. Een uitzondering vormen wellicht de eigennamen. Deze gebruiken we om een individu mee aan te duiden. Ze drukken echter geen begripsinhoud uit.

Het wiskundige teken heeft als karakteristieke functie “identifier” te zijn. Terwijl het gebruik van een eigennaam in het gewone taalgebruik veronderstelt dat er iets individueels in de werkelijkheid bestaat dat die naam heeft, constitueert het gebruik van het wiskundige teken in een redenering juist de individualiteit van het wiskundig object. Buiten het denken bestaat het mathematische object niet. We hebben slechts de namen die de objecten als individuele objecten identificeren. We gebruiken cijfers (1, 3, 9) en cijfercombinaties (152) om wiskundige objecten de getallen aan te duiden en letters A, B en C om de punten van een driehoek aan te geven.

Syntax en semantiek van de rekenkundige taal

Een rekenkundige expressie is een uitdrukking in de rekenkunde en kan zelf ook als een wiskundige structuur worden opgevat. Deze is hetzij atomair (3, x), hetzij samengesteld uit een constructor en een of meerdere expressies, de operanden van de constructor. Zo’n expressie is een wiskundig object dat we door middel van een rijtje tekens representeren. Bijvoorbeeld * + 3 4 5 stelt de expressie (3+4) * 5 voor. Op dezelfde manier als het rijtje cijfers 34 het getal 34 voorstelt in de decimale notatie.

De rekenkundige expressie is niet alleen een wiskundig object. De expressie stelt voor ons ook de manier voor waarop de getalswaarde van de expressie berekend moet worden. Zo is 3+4 als een opdracht te zien om 3 bij 4 op te tellen om als resultaat de waarde van de expressie te berekenen.

Een primitieve rekenmachine heeft voor elk van de operatoren een rekeneenheid, een fysische component, dat een aantal invoerkanalen heeft en een uitvoer. De invoer representeert de operand-waardes van de operator, de uitvoer het resultaat van de toepassing van de operator op de invoer . De relatie tussen de invoer en uitvoer van een optel-eenheid beschrijft de relatie tussen de waardes van de operanden en de waarde van het rekenresultaat. Bij het gebruik van de rekeneenheid worden de operand-waarden op de invoerkanalen gezet waarna het resultaat wordt afgelezen of gemeten aan de uitvoerkant.

De waarheidswaarde van een complexe zin (zoals “Jan gaat naar school of Jan is ziek” en “Als de maan van kaas is dan eet ik mijn hoed op”) hangt af van de waarheidswaarden van de onderdelen, die in de propositie-logica als atomaire identifiers beschouwd worden. Zo is “Jan gaat naar school” als identifier ook te vervangen door de identifier P en “Jan is ziek” door Q. De samengestelde zin wordt dan P \/ Q, een logische expressie waarin de wiskundige operator \/ voorkomt. Logische expressies zijn dezelfde soort dingen als de aritmetische expressies die we hierboven zaken. De als dan zin “Als de maan van kaas is dan eet ik mijn hoed op” wordt in geformaliseerde vorm K -> H, waarbij het pijltje -> staat voor de operator die aan deze expressie de waarde Onwaar (False of 0) oplevert dan en slechts dan als K de waarde Waar (True of 1) heeft en H de waarde Onwaar. In alle andere gevallen is de waarheidswaarde Waar (True of 1).

Een logische schakeling voor A -> B is een fysische component met twee invoer-kanalen A en B en een uitvoerkanaal R die zodanig is gemaakt dat de beschrijving van de relatie tussen invoerwaarden van A en B en uitvoerwaarde van R overeenkomen met de wiskundige operator -> (de als-dan operator). Van welk materiaal de fysische component is gemaakt is niet van belang. Het gaat om de representatie en de structuur van de logische operator die het implementeert. Bij een electrische logische schakeling worden invoer- en uitvoer-waarden gerealiseerd door electrische spanningen: bijvoorbeeld hoog is 1 en laag is 0.

Hoe komen die atomaire proposities aan hun waarheidswaarde? Die wordt bepaald door de interne structuur van de propositie en de interpretatie ervan in de “werkelijkheid”. De grondgedachte is dat de predikatieve, bewerende zin “De maan is van kaas” of “Jan gaat naar school” een talige afbeelding is van de feiten, die tesamen de werkelijkheid uitmaken. “Die Welt is alles was der Fall ist“, schrijft Ludwig Wittgenstein, een grondlegger van dit logisch gedachtegoed in zijn beroemde Tractatus. De wiskundige maakt van die werkelijkheid een wiskundig model, een structuur, met objecten en relaties tussen objecten. De onderdelen van de beweringszin “Jan gaat naar school” is dan alleen waar als Jan refereert naar een object in het model dat Jan er een object van type school bestaat en de relatie X gaan naar Y bestaat tussen het object Jan en een object van type school. Taal en wereld zijn eenduidige afbeeldingen van elkaar. Er bestaat niets in deze wereld dat niet in deze taal gezegd kan worden. Het gaat hier echter om een taal die al geen taal meer is in de primaire zin van de omgangstaal. De taal is een verzameling beweringen, die door niemand beweerd, door niemand gebruikt worden. Deze taal functioneert in de logische machine, zodra iemand ze als instrument gebruikt om er logische redeneringen mee uit te laten voeren. Dit vooronderstelt een wiskundig model van de werkelijkheid waarop de redeneringen door de gebruiker van de denkmachine betrokken zijn. Het kennend en denkend subject gaat op in de onpersoonlijke informatiestructuren en processen.

De instrumentele taal

Deze formalisering en mathematisering van de taal als logische taal bepaalt in de loop van de 20ste eeuw steeds meer het denken over onze taal. Sleutelbegrip in de nieuwe taalfilosofie van Austin en Searle wordt dat van de speech act, de taalhandeling. Door een bepaalde zin te uiten voer je een bepaalde functie, zoals beloven, beweren, vragen, waarschuwen, uit. Geen wonder dat deze speech act theorie, waarin een strikt onderscheid wordt gemaakt tussen de inhoudelijke propositie en de functie (illocutionary act) met name aansloeg bij de taaltechnologen, de ingenieurs die aan machines werken waarmee je een gesprek kunt voeren, de dialoogsystemen en conversational agents. In Nederland o.a. het werk van Harry Bunt in Tilburg, die de speech act theorie omzette in een formele, computationele semantiek van communicatieve taalhandelingen, acties waarmee software agenten met elkaar kunnen interacteren.

Taalmachine of denkmachine

Google, Apple, Microsoft, de grote ICT-merken hebben elk hun eigen sprekende kunstmatige agent. Je kunt Siri van Apple in je “eigen” taal een vraag stellen en dan antwoordt ze in natuurlijke taal, de taal van de gebruiker. Zijn dit logische denkmachines zoals hierboven beschreven? Nee. Het is niet zo dat de vraagzin vertaald wordt naar een zin van een formele taal die vervolgens wordt afgebeeld op een wiskundige model. De werking van deze vraag-antwoord-systemen is veel oppervlakkiger: er worden teksten geanalyseerd en vergeleken. Bijvoorbeeld op basis van het voorkomen van bepaalde woorden. Er wordt niet geredeneerd, er wordt geassocieerd. Natuurlijke taal verwerking is in hoge mate statistiek, het vinden van statistische correlaties tussen gegevens. Hoe meer relevante data er beschikbaar is des te beter zullen de resultaten in het algemeen zijn. Siri weet niets; ze functioneert. Voorzover ze een voor de gebruiker acceptabele reactie produceert.

Filosofische taal

Fragment 6 uit onze verzameling voorbeelden van taalfragmenten is een zin uit een artikel van de cultureel antropoloog en filosoof Jan Hollak (1915-2003). Hollak heeft in zijn 50 jarige academische loopbaan na zijn dissertatie over de filosofie van Hegel ongeveer 25 artikelen geschreven. Dat is naar de huidige academische normen gemeten een magere oogst. Daartegenover staat dat de dichtheid ervan hoog is: er staat heel veel in, voor wie de moeite neemt ze te lezen. Ze zijn na zijn dood gebundeld samen met de transcripties van zijn inaugurele rede Van Causa sui tot Automatie (1966) en de Afscheidsrede (1986) over de hypothetische samenleving. Descartes raadde zijn lezers aan zijn teksten drie keer te lezen, waarvan de eerste keer zonder onderbreking om een eerste indruk van het geheel te krijgen. Het eerste artikel dat ik van Hollak las was “Hegel, Marx en de Cybernetica” (1963). Het was voor mij als wiskunde-student met nagenoeg geen kennis van de filosofie, ik volgde colleges wijsbegeerte van de wiskunde bij Louk Fleischhacker bij wie ik afstudeerde en met wie ik samen later naar bandopnames van colleges van Hollak in Amsterdam luisterde, een onbegrijpelijke tekst. Niet drie, maar wel zes keer moet je Hollak’s artikelen lezen en dan nog lees je er weer wat nieuws in. En dat is niet omdat wat hij schrijft zo vaag is, maar omdat de inhoud die hij beschrijft zo rijk is. Je kunt zijn taalgebruik vergelijken met dat van Hegel en Heidegger, filosofisch. Wat is dat voor taal filosofische taal? En hoe onderscheid deze taal zich in preciesheid van wiskundige, wetenschappelijke taal en van literaire en dichterlijke taal?

Hegel-kenner Paul Cobben schrijft in een bibliografie over wat de filosoof Jan Hollak met taal heeft (Cobben, 1993). Daarin gaat hij in op de verschillen.

Uit: Paul Cobben (1993) over het taalgebruik van de filosoof Jan Hollak.

Filosofische taal is exact en daarin onderscheid het zich van literaire taal. Maar filosofische taal is op een andere wijze exact dan wiskundige taal. Dat heeft alles te maken met het begrip, de relatie tot de werkelijkheid, die erin worden uitgedrukt. Wiskunde gaat over het kwantitatieve, filosofie over de kwaliteit van de werkelijkheid.

Geschreven versus gesproken taal

Tot nu toe ben ik nogal slordig omgesprongen met het onderscheid tussen gesproken en geschreven taal. Wat is primair? Is een woord primair een vocaal iets en is het geschreven woord een transcriptie van het gesproken woord, zoals Aristoteles het in de opening van De Interpretatione voorstelt en waarbij het woord uitdrukking is van de zielebeleving ( “the experiences of the soul”) ? In Some words on word bekritiseren Maarten Janssen en Albert Visser (2002) het beeld dat Aristoteles schetst van de relatie tussen gesproken en geschreven taal. Er is veel dat dit beeld kan verklaren. Teksten werden in de tijd van Aristoteles vaak hardop gelezen. Veel mensen konden niet lezen of ze moesten de tekst hardop lezen omdat ze de klanken nodig hadden om de tekst te begrijpen. Ten tweede gaat, volgens Janssen en Visser, historisch de gesproken taal vooraf aan de geschreven taal. Ik denk dat hier wel wat op af te dingen valt. Als we kijken naar de ontwikkeling van de Egyptische hierogliefen, een der oudste opgetekende talen, zo’n 4000 v.Chr. (zie Davies, 1989) dan zien we wisselende relaties tussen twee soms onafhankelijk van elkaar bestaande taalsystemen, een primaire beeldtaal en een primaire klanktaal. Maar gesproken woorden zijn niet als zodanig bewaard gebleven in tegenstelling tot de hierogliefen, de in steen “heilige uitgehakte letters”, wat het onderzoek naar de relatie tussen spreektaal en schrijftaal tamelijk lastig maakt (Polis en Rosmorduc 2015). Ten derde, en daar ben ik ook van uitgegaan in mijn beschouwing over de oorsprong van de taal, als kind leer je eerst de gesproken woorden, pas later leren kinderen schrijven. (Ook al zijn sommige kinderen al heel vroeg aan het tekenen en ontwikkelen ze daarin hun beeldtaal.) Er zijn geen culturen bekend waar men pas is gaan spreken nadat er een schrift was ontstaan (Rietveld en Van Heuven, 1997).

De ontwikkeling van taal laat interakties zien tussen de verschillende modaliteiten, tussen spraak en schrift. Volgens Janssen en Visser is het woord epibreren door Simon Carmiggelt opgeschreven voordat het door deze volksschrijver of wie dan ook werd uitgesproken. Toch is het een uitspreekbaar woord waarvoor de uitvinder gebruik heeft gemaakt van het Nederlandse alfabet en het Nederlandse fonetische systeem. Het is geen puur beeldteken, zoals de emoticons die qua functie vergelijkbaar zijn met het determinatief in het Egyptisch hierogliefensysteem (zie figuur hieronder).

De drie soorten tekens van het Egyptisch hieroglifische systeem volgens: fonogram (geel), logogram (blauw) en determinatief (rood).
Zie: Davies (1989) en Polis en Rosmorduc (2015)

In fragment 4 komen naast een emoticon de woorden ff (voor effen, wat even betekent) en w88 (wachten) voor. Het zijn typische woorden die ingetikt worden en die niet zo gauw in een geschreven tekst zullen voorkomen. Het zijn afkortingen van gewone woorden, meestal om minder tekens te hoeven gebruiken, vergelijkbaar met svp en SOS.

Dat een uiting iets anders is dan een rijtje woorden kunnen we illustreren aan de hand van de twee volgende reeksen woorden, waarbij de woorden op dezelfde manier en in de zelfde volgorde zijn uitgesproken.

Jan gaat niet naar school, omdat hij op de juf verliefd is (*)

Jan gaat niet naar school omdat hij op de juf verliefd is (**)

De , die in (*) en niet in (**) achter school staat, duidt het verschil in frasering en melodie aan. Beide uitspraken verschillen duidelijk van betekenis. In (**) wordt niet ontkent dat Jan naar school gaat, zoals in (*). Het spraakgeluid van de hele zin drukt de bedoeling van de spreker uit. Het abstracte woordrijtje mist een essentieel prosodisch aspect van de uiting, de musische laag die in zekere zin bovenop de segmentele fatische laag komt, de uitspraak van de woorden en segmenten.

Deze roos is rood: de predikaten-logika

Welke bewering of oordeel, met het uitspreken van het rijtje woorden “Deze roos is rood.” is bedoeld, kan dus niet uitsluitend uit deze zin gehaald worden. De melodie van de zin moet duidelijk maken of bedoeld wordt dat deze roos rood is (en niet blauw), of dat deze roos (en niet die roos) rood is, of dat de spreker bedoelt een voorbeeld te geven van de kleur rood.

In de predikaten-logika die haar aanvang vond in Frege’s Begriffschrift wordt het predikaat is rood als een functie opgevat die toegepast op het argument deze roos, een waarheidswaarde oplevert. Dat betekent allereerst dat het oordeel als object los komt te staan van degene die het oordeel uitspreekt. Ten tweede, er is geen interaktie tussen het predikaat, de kleur rood, als aanduiding van de roodheid en het subject: het rood van de bloedvlek op het tapijt is het zelfde roos als de roodheid van de wijn. Ten derde, en dit hangt met de eerste abstractie samen, zijn de waarheidswaarden symmetrisch. Dat wil zeggen, dat deze even mogelijke waarden zijn die aan de bewering van buiten af kunnen worden toegekend. Terwijl wanneer iemand de bewering in een concrete situatie uit, hij meteen ook bedoelt dat wat hij zegt ook het geval is. Het feit dat de zin beweerd wordt moet in de predikten-logika dan ook door een meta-symbool worden aangeduid.

We kunnen niet alleen op grond van het simpele feit dat een zin in een computer-geheugen is opgeslagen of in een krant staat of door iemand wordt uitgesproken concluderen wat ermee beweerd wordt en dat dat ook waar is, dat het iets zegt over de werkelijkheid, noch dat het de inhoud aangeeft van het geloof van iemand. Dat is het onpersoonlijke, objectieve en abstracte van de taal, van de informatie- en communicatietechniek en de kunstmatige intelligentie. Het zijn dode woorden die pas door er geloof aan te hechten weer tot leven komen.

Het nadenken over taal kan ons inzicht in de technologie verrijken.

Bronnen

Cobben, Paul (1993). Hollak, Jan. Filosoof in hoofd en hart. In: Krisis, Tijdschrift voor filosofie, 13(1) pp. 90-96), 1993.

Davies, W.V. (1989). Egyptische hierogliefen. Fibula Schriftreeks, Fibula/Unieboek b.v. Houten, 1989. Vertaling uit het Engel, Egyptian Hieroglyphs.

Janssen, Maarten & Albert Visser (2002). Some words on word. Preprint nr.030. Artificial Intelligence Preprint Series, Onderwijsinstituut CKI, Utrecht University, 2002.

Merleau Ponty, Maurice (1964). Signs , Northwestern University, 1964. Hierin: On the Phenomenology of Language (pp.84-97).

Polis, Stephane and Serge Rosmorduc (2015). The Hieroglyphic Sign Functions: Suggestions for a Revised Taxonomy. In Fuzzy boundaries: Festschrift for Antonio Loprieno 1, edited by M. Mueller M. Ronsdorf D. Amstutz, A. Dorn and S. Uljas, Pp. 149-174. Hamburg: Widmaier, 2015.

Rietveld A.C.M. en V.J. van Heuven (1997). Algemene fonetiek. Dick Coutinho, Bussum, 1997.

Gevangen in kansrekening

Voor menig student vormt Kansrekening en Statistiek een struikelvak in hun opleiding. En dat geldt niet alleen voor de psychologie- en de sociologie-student. Ook menig wiskundestudent boezemt de statistiek ontzag in. Pas na vier examenpogingen haalde ik eindelijk een schamel zesje. Het kwartje wou maar niet vallen. Wat maakte dit vak nou zo anders en lastiger dan andere wiskunde en technische vakken? Ligt het aan de docenten? Vereist de oplossing van problemen in dit vakgebied een andere manier van denken, een manier die moeilijk is aan te leren, zoals ervaren docenten ons vertellen. Waarom is dat zo? Wat voor denkfouten vormen de valkuilen op het terrein van de kansrekening en statistiek? Om die vragen te beantwoorden heb ik opnieuw gekeken naar een probleem waar ik tijdens mijn studie en ook daarna nog geworsteld heb. (En ik was niet de enige). Het probleem staat bekend als het Probleem van de Drie Gevangenen. Voor ik het probleem presenteer volgt als inleiding een korte dialoog tussen Abe en Bea over kansen en loterijen.

Een dialoog over mogelijkheden

Abe: Stel je doet mee aan een loterij waarbij door middel van een trekking het enig winnende lotnummer bepaald wordt. Het aantal lotnummers is k. Je koopt één lot. Hoe groot is de kans dat je het winnende lot trekt?

Bea: Er van uitgaande dat elk lotnummer met evengrote kans getrokken kan worden is de kans dat ik het winnende lot heb 1/k.

Abe: Na de trekking deelt de loterij jou mede dat het lot is gevallen op jouw lotnummer. Hoe groot is nú de kans dat jouw lot het winnende lotnummer is?

Bea: [aarzelend] Uuuh..je bedoelt, ik weet dat mijn lotnummer de prijs heeft gewonnen? Dan is de kans daarop 1? Het is immers een feit.

Abe: Dus de kans dat jouw lot het winnende nummer is, is volgens jou veranderd toen de trekking plaats vond en je geinformeerd was over de uitslag?

Bea: Ja, ik denk het wel. Als bij de trekking niet mijn, maar een ander nummer uit de bus was gekomen dan was de kans op mijn lot 0 geworden, maar nu is die 1. Er zijn maar twee mogelijkheden.

Abe: Interessant. Maar volgens mij is de kans dat een bepaald lotnummer de prijs wint niet veranderd. Die was 1/k en die blijft 1/k. Na de trekking geldt dezelfde kansverdeling. De uitslag van een experiment laat de kans dat die uitslag optreedt onaangetast.

Bea: Dat snap ik niet. Maar, is er eigenlijk nog wel sprake van een kans op een bepaalde uitslag als de uitslag al bekend is?

Abe: Ja en nee. We moeten de mogelijke uitslag goed onderscheiden van de uitslag die zich feitelijk voordoet. Kansen hebben betrekking op mogelijke uitkomsten van trekkingen of experimenten. Als een mogelijkheid zich feitelijk voordoet dan verandert dat niets aan de mogelijkheden zoals die (vooraf) waren vastgelegd.

Bea: Anderzijds: als een bepaalde mogelijkheid werkelijk is geworden, dan zijn de andere mogelijkheden niet meer mogelijk. Er blijkt werkelijk slechts één mogelijk te zijn.

Abe: Je hebt helemaal gelijk.

Bea: Het lijkt erop dat we allebei gelijk hebben. Maar dat kan niet, want jij komt tot een andere conclusie dan ik.

Abe: Ja, daar lijkt het inderdaad wel op. Ik denk dat er twee mogelijkheidsbegrippen in het spel zijn. Laten we ze logisch mogelijk en werkelijk mogelijk noemen. Ik had dus moeten zeggen dat de logische mogelijkheid niet verandert door wat zich feitelijk voordoet. De kansverdeling heeft betrekking op de logische mogelijkheden. Die kansverdeling is wiskundig vastgelegd door een veld van (logische=denkbare) mogelijkheden met elk een bepaalde numerieke kans van optreden. Wiskundig is zo’n trekking niet een werkelijke trekking, maar een denkbeeldige trekking. Wiskundig beschouwd is zo’n experiment ook herhaalbaar, het is een abstract conceptueel iets, geen werkelijke gebeurtenis. En dat geldt ook voor het wiskundig kansbegrip.

Bea: Dus ook na de trekking moeten we nog steeds zeggen dat de kans dat op mijn lotnummer de prijs valt 1/k is. En niet 1.

Abe: Precies. De uitslag van een experiment verandert niets aan de kans op die uitslag. De werkelijkheid tast de logische wereld van mogelijkheden niet aan, zodra deze een keer is vastgelegd. Anderzijds als een schakelaar twee standen heeft dan sluit de ene feitelijke stand van de schakelaar de werkelijke(=fysische) mogelijkheid van de andere stand uit. Ze kunnen immers niet beide tegelijk voorkomen. Dus als je betrouwbare informatie hebt ontvangen dat het licht aan is, dan is het niet uit. We zeggen dan dat de ‘kans’ daarop dan 0 is. Maar dat is een ander ‘kans’-begrip. Jij hanteert dus een ander kansbegrip dan het wiskundige. Jij zegt zoals sommige fysici zeggen, dat de kansverdeling in elkaar klapt zodra een mogelijkheid werkelijk zich voordoet. Maar dan beschouw je die kansverdeling als iets objectiefs van de werkelijkheid. De wiskundige staat echter boven die werkelijkheid.

Deze conclusies nemen we mee bij de analyse van…

Het Probleem van De Drie Gevangenen

Drie gevangenen: A, B en C, wachten op de uitslag van hun proces. Ze weten dat twee van hen geexecuteerd zullen worden, de ander wordt vrijgesproken. Gevangene A weet niet wie van de drie wordt vrijgesproken. A overdenkt zijn overlevingskansen en komt met een voorstel bij de celwachter: “Omdat het wel zeker is dat óf B óf C gedood zal worden, geeft u mij geen nieuwe informatie met betrekking tot mijn kans om te blijven leven wanneer u me vertelt wie van beide, B of C, gedood zal worden.” De celwachter beaamt A’s stelling en antwoordt naar waarheid: “B zal geexecuteerd worden”.

Gegeven dit antwoord voelt A zich een stuk meer op zijn gemak. Immers, zo denkt hij, voor dat ik wist dat B gedood zal worden, was mijn kans gedood te worden 2/3, maar nu is die gedaald naar 1/2. Er zijn immers nog maar twee, hijzelf en C, die gedood kunnen worden.

De vraag is nu: heeft A gelijk dat zijn kansen om te overleven groter zijn geworden nadat hij de nieuwe informatie van de celwacht kreeg?

A zegt twee dingen: Eerst dat het antwoord van de celwacht dat B gedood zal worden hem geen nieuwe informatie geeft over zijn overlevingskans. Maar ook zegt hij dat met de informatie dat B gedood zal worden, er nog slechts twee kandidaten over zijn op wie het lot kan vallen zodat zijn overlevingskans is toegenomen. Die twee zijn natuurlijk met elkaar in tegenspraak. Waar zit de adder onder het gras?

Die zit bij de ‘kanswaarde’ van de informatie die de celwacht geeft wanneer deze A informeert” dat B gedood zal worden”. Zonder het proces in acht te nemen volgens welke de celwacht tot deze uitspraak komt, is het inderdaad zo dat A met een compleet nieuwe situatie te maken heeft waarin er slechts twee gevangen zijn in plaats van drie, zodat zijn overlevingskans 1/2 is geworden. Maar waarom zouden we dat keuzeproces in acht moeten nemen? Het korte antwoord is dat de celwacht niet willekeurig tot zijn antwoord dat B gedood wordt is gekomen. De celwacht weet welke twee gedood zullen worden. Hij zal nooit zeggen dat A gedood wordt als hij weet dat A gedood wordt. Dus als A gedood wordt zal hij de naam van de ander die gedood wordt noemen. Als A niet gedood wordt kan hij kiezen tussen B of C noemen, elk met gelijke kans. Dit proces bepaalt de ‘kanswaarde’ van de informatie die hij geeft wanneer hij zegt dat B gedood zal worden.

De conclusie van de dialoog tussen Abe en Bea was dat uitkomsten van trekkingen de kansverdeling niet verandert. Dat geldt ook voor onvolledige informatie over de trekking. Daarom: de kans dat A gedood zal worden lag al vast voordat de informatie over de uitslag van het proces bekend werd gemaakt door de celwacht. Deze blijft dus 2/3. Het zou anders zijn geweest wanneer A werd medegedeeld dat er een vergissing in het spel was en er slechts twee gevangen zijn, waarvan er een vrijkomt. Vergelijk dit met de situatie nadat bekend is gemaakt dat de helft van de niet winnende nummers uit de loterij zijn verwijderd. Je kans op een winnend lot is dan uiteraard gestegen omdat er veel minder (logisch) mogelijke uitkomsten zijn.

Het is misschien verhelderend om dit probleem te vergelijken met het

Drie Deuren Probleem

Achter twee van drie deuren bevindt zich een geit, achter de derde een dure auto. Nadat je een deur hebt gekozen, opent de quizmaster – die weet achter welke deur de auto zit – één van de twee andere deuren, maar niet een deur waarachter de auto zit. De geopende deur toont dus een geit. De quizmaster biedt je nu de mogelijkheid opnieuw een deur te kiezen. De vraag is nu: worden je kansen op de auto groter door te kiezen voor de andere deur?

In dit geval is worden je kansen vergroot door de andere deur te kiezen dan die je eerst koos. Ook hier is het van belang dat de quizmaster weet achter welke deur de auto zit. In tegenstelling tot in het Drie Gevangenen Probleem mag de deelnemer aan de quiz nu een tweede keer kiezen. Voor gevangene A viel er niets opnieuw te kiezen nadat hij wist dat B gedood zou worden. Zijn lot was daarvoor al bezegeld.

Dat in dit geval de kans op succes groter wordt kan als volgt inzichtelijk gemaakt worden. Stel dat er geen drie maar 1000 deuren zijn; achter één bevindt zich een auto. Nadat je een deur gekozen hebt, opent de quizmaster alle deuren waarachter geiten zitten, behalve eentje en de deur die je gekozen hebt. Blijf je dan bij je keus of kies je voor de andere nog gesloten deur? Het zal duidelijk zijn dat je beter voor de andere deur kunt gaan dan bij je eerste keus te blijven.

Maar hoe bereken je nu die verschillende kansen, want bij het vak Kansrekening wordt niet alleen om een redenering gevraagd maar ook om een berekening. Daarvoor moeten we het begrip conditionele kans uitleggen en hoe je die berekent.

Conditionele en gezamenlijke kansen

Q en R zijn beweringen. Q kan bijvoorbeeld zijn “A zal leven” en R kan zijn “De celwacht zegt dat B zal sterven”.

P(Q) is de kans dat Q waar is. Het is een getal tussen 0 en 1. In het voorbeeld van de Drie Gevangenen is gegeven dat P(“A zal leven”) = 1/3. We korten dit af tot P(leven A). Evenzo hebben we P(leven B) en P(leven C) voor de kansen dat B resp. C zal leven.

P(Q|R) is de (voorwaardelijke) kans dat Q waar is, gegeven dat R waar is. In het voorbeeld gaat het gevangene A om de kans P(“A zal leven”| “De celwacht zegt dat B zal sterven”). We korten dit af tot P(leven A|cel B).

P(Q&R) is de gezamenlijke kans dat zowel P als Q waar is. Dus P(“A zal leven” & “De celwacht zegt dat B zal sterven”) – afgekort P(leven A & cel B) – is een getal tussen 0 en 1 dat aangeeft hoe groot de kans is dat beide beweringen waar zijn.

De klassieke wiskundige (Pascalse) theorie van de kansrekening is gebaseerd op een aantal regels: 1) Als Q en R onafhankelijke gebeurtenissen aanduiden dan kan de gezamenlijke kans P(Q&R) berekend worden door het produkt te nemen van de beide kansen P(Q) en P(R). Het zal duidelijk zijn dat: P(Q&R) gelijk is aan P(R&Q).

Een belangrijke gelijkheid is P(Q&R) = P(Q) . P(R|Q) Uit deze gelijkheid en de gelijkheid van P(Q&R)=P(R&Q) volgt de belangrijke regel van Bayes.

(Bayes) P(Q|R) = P(R|Q) . P(Q)/P(R)

Met deze regels kunnen we aan de slag zodra we de kansen P(leven X) en P(cel Y) voor de verschillende waarden van X en Y hebben vastgelegd. Dat gebeurt in het kansmodel.

Het Kansmodel voor de Drie Gevangenen

Zoals boven gesteld bestaat zo’n kansmodel uit de verzameling van mogelijkheden die zich voordoen, met een kansverdeling over de mogelijkheden. Die verzameling bestaat uit alle mogelijke combinaties van gebeurtenissen (leven X & cel Y). Dat zijn er vier:

(leven ‘A’, cel ‘B’), (leven ‘A’), cel ‘C) , (leven ‘B’, cel ‘C’), (leven ‘C’, cel ‘B’).

De andere theoretisch mogelijke combinaties met ‘leven A’ doet zich niet voor, omdat gevangene A van de celwacht niet te horen krijgt dat hij zal leven.

Wat zijn de getalswaarden van deze gezamenlijke kansen? Die volgen direct uit het gegeven: als A zal blijven leven dan kiest de celwacht uit B en C (die beide immers zullen sterven) met een kans 1/2. Dit is de conditionele kans P(cel B | leven A).

De kans P(leven A & cel B) is dus P(leven A) . P(cel B|leven A) = 1/3 . 1/2 = 1/6.

Evenzo: P(cel C | leven A) = 1/6.

Voor de andere gezamenlijke kansen geldt

P( leven B, cel C) = P (leven B) P(cel C| leven B) = 1/3 . 1 . De kans P(cel C| leven B) = 1 omdat de celwacht verplicht is te zeggen dat C zal sterven als B zal leven. Het zelfde geldt voor de omgekeerde gebeurtenis (leven C, cel B). Ook die heeft kans P(leven B, cel C) = 1/3.

Omdat de drie gevangenen dezelfde kans hebben te blijven leven geldt: P(leven X = 1/3 voor alle drie waarden van X: A, B en C.

Met behulp van Bayes regel kunnen we nu de kans berekenen dat A zal leven gegeven dat de celwacht zegt dat B zal sterven.

Volgens Bayes geldt: P(Q|R) = P(R|Q) . P(Q)/P(R). Omdat: P(R|Q) = P(Q,R)/P(Q) hebben we P(Q|R) = P(Q,R)/P(R). Bovendien geldt P(R)= P(U&R) + P(V&R)+(W&R), als U, V en W de mogelijkheden zijn die de hele kansruimte opdeelt.

P(leven A| cel B) = P(leven A & cel B) / (P(leven A & cel B) + P(leven C, cel B)) = 1/6/(1/6+1/3) = 1/3

(NB: P(leven B & cel B) = 0 vandaar dat de som voor P(cel B) slechts uit twee delen bestaat)

De kans dat A zal sterven is dus 1-1/3 = 2/3. En die is dus precies zo groot als voor dat hij het antwoord van de celwacht had gekregen dat B zal sterven..

Wat kunnen we hieruit concluderen?

Dat als gevangene A het kansmodel accepteert als correct model van de situatie en hij de regels van de kansrekening volgt hij tot de conclusie moet komen dat zijn situatie niet verbeterd is. En dat komt overeen met het feit dat de kansen al vastlagen voordat het antwoord van de celwacht kwam. Precies zoals bij de loterij, waar geldt dat de uitslag van de trekking niets verandert aan de kans op het winnen van de loterij.

Klopt het wel?

Bea: En toch heb ik nog een vraag. Hoe weten we dat dit correct is? Ik bedoel hoe kun je checken dat het klopt dat die kans niet veranderd is? Ik kan checken of een dobbelsteen ‘eerlijk’ is door er heel vaak mee te gooien en de frequenties van de uitkomsten 1 t/m 6 te tellen. Die moeten voor alle mogelijke uitkomsten (ongeveer) gelijk zijn, namelijk 1/6 van het aantal worpen met de dobbelsteen. Maar hoe zit dat hier?

Abe: Ja, dat lijkt me in dit geval lastig te doen. Je moet dan herhaalbare experimenten doen. Je zou de situatie kunnen simuleren, maar dan leg je het model al vast in de computer. Wat je dan test is de kwaliteit van de randomgenerator die je gebruikt in je programma. Daar schiet je niks mee op. De frequentie-interpretatie van het kansbegrip dat refereert aan experimenten die herhaalbaar zijn en onder vergelijkbare omstandigheden worden uitgevoerd lijkt hier niet van toepassing te zijn. De vraag is dus of die kansrekening hier wel toepasbaar is.

Bea: Kansen hebben toch ook te maken met kennis en informatie en in welke mate je gelooft dat iets het geval is, op basis van de informatie die je hebt?

Abe: Ja, dat lijkt hier meer van toepassing. Misschien dat onze gevangene A die ‘Belief’-interpretatie wel toepaste toen hij zei dat zijn kans te overleven werkelijk groter was geworden nadat hij het antwoord van de celwacht hoorde. Zijn informatie-toestand over de wereld is immers veranderd door de nieuwe informatie die hij ontving.

Bea: Wat is die ‘kanswaarde’ van het antwoord dat de celwacht geeft. Hebben we die hierboven berekend als een conditionele kans op basis van de mogelijke uitkomstenruimte met die vier elementen? We concludeerden dat er niets veranderd is aan de kans. Maar A weet wel meer dan hij wist. A heeft meer informatie. Namelijk dat B zal sterven.

Abe: Maar in welke mate is dat nieuwe informatie voor hem? Hij wist immers al zeker dat B of C zal sterven?

Bea: Ik vind die ‘kanswaarde’ maar een lastig iets. Om terug te komen op de loterij. Als ik bericht heb dat ik het winnende lotnummer heb, dan weet ik toch zeker dat dat zo is. Er is dan toch geen sprake meer van een ‘kans’ in de zin van de frequentie-interpretatie? Als je al van een ‘kans’ wilt spreken dan is die simpelweg 1. En als ik hoor dat het lot op een ander nummer is gevallen is die kans 0.

Abe: Je hebt gelijk. Bayes regel wordt wel gezien als een regel voor wat heet ‘belief-updates’. De regel zegt hoe je gegeven nieuwe informatie de ‘mate van belief’ in zaken moet aanpassen. ‘Belief’ klinkt nogal psychologisch alsof het iets subjectiefs is. Daarom is het beter van een ‘informatie-toestand’ te spreken. Die verandert zodra er nieuwe informatie binnenkomt in een informatie-systeem. De fysicus E.T. Jaynes heeft in zijn boek over Probability als ‘logic of science’ aangetoond dat de meeste problemen succesvol kunen worden aangepakt met de regels van de kansrekening als we deze opvatten als informatie-update-regels. Volgens Jaynes leidt deze interpretatie, waarin de regel van Bayes, een sleutelrol speelt tot methodes die ook vaak toepasbaar als er geen sprake kan zijn van herhaalbare experimenten en er dus geen frequentietellingen mogelijk zijn. Ook aan unieke gebeurtenissen kun je een ‘kans’ toekennen. Het probleem is hoe je een kanswaarde toekent aan een mate van geloof.

Bea: Nou snap ik ook waarom ik zoveel problemen had met het vak Kansrekening en Statistiek. Waarschijnlijk verwarde ik twee kansbegrippen. Net als die gevangene. Hoe kan de docent het nu fout rekenen als een student als antwoord geeft dat voor A de kans een 1/2 is geworden?

Abe: Omdat hij vindt dat je zijn ‘klassieke’ interpretatie van het kansbegrip moet kennen en toepassen. Ook al kan hij nooit bewijzen dat ‘zijn’ antwoord 2/3 correct is. Aan het unieke historische feit dat A te horen krijgt dat hij zal leven kan je immers niet zien met welke kans dit optreedt. Uit het resultaat van één enkele worp met een dobbelsteen kun je ook niet concluderen hoe groot de kans is dat net dat resultaat optreedt. Daarvoor moet je heel veel van dezelfde situaties hebben en dan uitkomsten tellen.

Bea: Moeten we dan niet tot de conclusie komen dat het Drie Gevangen Probleem een probleem is dat nergens op slaat?

Abe: Ja, het lijkt me ook een onwerkelijk probleem waarmee de docenten de studenten opzadelen.

Conclusie over problemen met het vak Kansrekening en Statistiek

Het probleem van de Drie Gevangenen laat zien dat er verschillend gedacht kan worden over het kansbegrip. Het blijkt dat er verschillend gedacht kan worden over het begrip mogelijkheid en de interaktie tussen werkelijkheid en mogelijkheid. Waarom zou gevangene A zich moeten vasthouden aan het wiskundig vastgelegde kansmodel op grond waarvan zijn kans om te overleven 1/3 is, ook als hij weet dat er nog slechts twee kandidaten zijn, A en C, om te overleven? Waarom kunnen we de feiten zoals die ons worden medegedeeld niet nemen voor wat ze zijn – blote feiten -? Waarom moeten we rekening houden met het proces dat tot de mededeling van het feit heeft geleid?

Hier doemt een belangrijk inzicht op aangaande het wezen van informatie. Om informatie te wegen en te kwantificeren is het van het grootste gewicht niet alleen te zien wat er feitelijk gezegd wordt, maar ook wat er niet gezegd wordt en wat ook gezegd had kunnen worden. Nadat A daadwerkelijk zijn vraag gesteld heeft en het antwoord van de celwacht heeft gekregen is er ook werkelijk iets veranderd in de wereld. Daarom is A’s vertrouwen dat zijn overlevingskansen zijn toegenomen gerechtvaardigd. Net zo goed als het geloof dat je de loterij hebt gewonnen is toegenomen zodra de uitslag zegt dat je deze hebt gewonnen. De werkelijkheid trekt zich niets aan van hoe de wiskundige deze gemodelleerd heeft.

In het onderwijs werd geen aandacht besteed aan de problematiek van de verschillende interpretaties van het kansbegrip. Dat zou eigenlijk wel moeten om de student bewust te maken van de verschillen. Het Probleem van de Drie Gevangenen blijkt zich prima te lenen als uitgangspunt voor zo’n bewustwordingsproces.

Kunnen we elke situatie denken als instantie van een denkbeeldig mogelijkheidsveld?

Vele jaren geleden toen ik bovenstaand probleem voorlegde aan mijn filosofiedocent Louk Fleischhacker (ik had me door Jaynes laten overtuigen van de Bayesiaanse aanpak van statistische problemen) ontving ik van hem het volgende commentaar.

“Ik ben het met je eens dat de waarschijnlijkheidsleer PT de meest plausibele basis biedt voor een theorie over informatiecorrectie (om maar eens een andere vertaling van ‘belief revision’ voor te stellen die niet zo subjectivistisch en psychologisch klinkt, zodat je meteen weet waar mijn bedenkingen tegen het woord ‘belief’ liggen).

Maar ik ben ook een fervent voorstander van Kolmogorov. Ik zie PT als een mathematisch model van situaties waarin iets zo of anders kan zijn, en wel door dit zo of anders zijn voor te stellen als een veld van mogelijke actuele toestanden. Zoals Leibniz de geschapen wereld plaatste in een veld van mogelijke werelden. Hierin ligt de filosofische fout van het actualisme, maar die is bij mathematisering onvermijdelijk, want mathematisch denken berust op de denkbeeldige actualisering van iets potentieels, namelijk de structureerbaarheid van de ervaringswereld.

Nu zie ik de frequentie-interpretatie als een ‘mogelijkheidsvelds-model’, maar er is niets tegen om het bijbehorende formalisme als een logische calculus te zien waarvan dit model de semantiek is. Bij ‘frequentie’ hoef je dan niet meer aan feitelijke herhaalbaarheid te denken, het gaat slechts om frequenties in een puur denkbeeldig mathematisch universum. Bij een dergelijk model is er altijd de vraag in welke situaties het toepasbaar is. Volgens mij is het overal daar toepasbaar waar een toedracht opgevat kan worden als een kenmerk van andere toedrachten van een zeker type, die gedacht kunnen worden als gelijkwaardige instanties van een denkbeeldig mogelijkheidsveld.

Het gaat dus niet om wérkelijke ballen in wérkelijke urnen of om wérkelijke herhalingen van een experiment, maar om denkbeeldige.

Er zijn grenzen aan de mogelijkheid een situatie zo te denken. Denk maar aan de topologische zak met knikkers. Misschien geeft het probleem van de drie gevangenen zo’n grens aan, maar ik zou dit wel eens precies beredeneerd willen zien.”

Professor Willem Schaafsma, hoogleraar statistiek in Groningen, reageerde op mijn pleidooi om in het onderwijs meer aandacht te besteden aan de Bayesiaanse aanpak van Jaynes met de opmerking dat er een “vreselijk verschil is tussen kansrekening en statistiek”. Ook hij kwam met bovenstaande oplossing van het gevangenen probleem, maar wees op het feit dat Jaynes Bayesiaanse methode ook zijn grenzen kent. Hadden Schaafsma en Fleischhacker dezelfde grens op het oog?

Het actualisme van de wiskundige

De door Louk gevraagde redenering heb ik nog niet kunnen vinden. Ik denk ook dat het probleem van de drie gevangenen ergens anders in zit.

Wat het zo problematisch maakt is dat we te doen hebben met twee lagen van beschrijving. In de ene laag wordt beschreven dat er drie gevangenen zijn die gelijkwaardig zijn en ieder een kans maken te overleven. Op die laag is een tweede laag waarin we één van de drie gevangenen ontmoeten die zich tot zijn situatie beschreven in de eerste laag verhoudt. Die gevangene is als het reptiel in M.C. Escher’s Reptielen dat zich uit het platte vlak van de ets opricht en de wereld in gaat. De gevangene richt zich tot de celwachter om informatie in te winnen over zijn overlevingskansen. Die informatie ontvangt hij als antwoord op zijn verzoek aan de celwachter hem mede te delen of B dan wel C zal sterven. Deze informatie zal geen effect hebben op zijn situatie zo beweert A, want ook zonder deze informatie weet hij al dat B of C zal sterven. Als de celwachter hem meedeelt dat B zal sterven dan meent hij toch de conclusie te kunnen trekken dat zijn overlevingskansen verbeterd zijn. Hij concludeert namelijk dat er nog maar twee kandidaten zijn om te overleven en dat derhalve zijn kans is gestegen van 1/3 naar 1/2.

Hierboven wezen we al op het problematische van zijn conclusie. De informatie die hij van de celwacht ontvangt, dat B zal sterven, is ‘belast met onzekerheid’. Het is antwoord op de vraag of B dan wel C zal sterven. Wanneer de informatie “B is gestorven” onbelast was zouden er nog maar twee kandidaten zijn. Dan was de situatie werkelijk veranderd. Zonder het keuzeproces, dat aan het geven van informatie in de vorm van een mededeling voorafgaat, erbij te betrekken en alleen maar naar de inhoud van het bericht te kijken, trekken we ongerechtvaardigde conclusies. Betrekken we het keuzeproces van de informant bij de kansberekening dan is het resultaat ervan gelijk aan de kansen die op grond van de eerste laag van het verhaal is vastgelegd. Het informatiebegrip bevat beide kanten: een kwalitatieve, inhoudelijke, dat wat er wordt medegedeeld, en een kwantitatieve, de positie van de inhoudelijke mededeling in een veld van mogelijkheden. Die kan voor beide kanten van het communicatiekanaal: zender en ontvanger verschillend zijn.

Het lot van gevangene A is door de mathematische God van Leibniz vastgelegd in een door Hem geactualiseerde wereld. En dat geldt ook voor B en C. Daar valt door de gevangenen niets meer aan te veranderen. Het aardige is nu dat wanneer we rekening houden met het kansproces op grond waarvan de celwachter zijn informatie aan A verstrekt – een proces dat evenzeer al in de door Leibniz’ God gekozen wereld is vastgelegd – overeenkomt met de idee van het actualisme van de Mathematische Denker.

Bea: Hoe zit dat nu bij die loterij. Moet ik me bij de uitslag dat ik de prijs heb gewonnen ook afvragen wat het keuzeproces was dat tot de uitslag heeft geleid?

Abe: Je zou er inderdaad wel achterdochtig van worden als je eenmaal bedenkt dat informatie die je ontvangt belast is met een keuzeproces. Je weet pas zeker dat je gewonnen hebt als het bedrag is overgemaakt op je rekening.

In principe moeten we goed onderscheiden tussen het feit dat A het geval is en het feit dat iemand zegt dat A het geval is. Daar zit een mate van betrouwbaarheid tussen. Als we daar niets over weten, omdat we de informant niet kennen, dan zegt die informatie ons ook niets. We kunnen er niets mee. Doen we dat wel, bijvoorbeeld door de informatie door te geven, dan vervuilen we de werkelijkheid met onjuiste gegevens. Tegenwoordig met al die ondoorzichtige informanten op sociale media en die sprekende AI systemen zoals ChatGPT, is dit een serieus probleem. Het in onze cultuur zeer hoog ontwikkelde mathematische brein is nu eenmaal goed in het verzinnen van mogelijke werelden. Het is niet voor niets dat ‘hallicuneren‘ tot hét woord van 2025 is verkozen.

Een filosofisch gesprek met ChatGPT over Wittgensteins Tractatus en ChatGPT

Zoals Wittgenstein in zijn Tractatus het ethische en metafysische van binnenuit afbakent, door te zeggen wat logisch gesproken wel gezegd kan worden, zo grenzen de AI-technici de intelligentie van binnenuit af door te maken wat logisch wel gemaakt kan worden. Waar het omgaat is wat niet gezegd kan worden en wat onmaakbaar is. Het grote verschil is dat Wittgenstein wist dat het hem niet te doen was om wat hij wel zei, maar om wat wij niet kunnen zeggen, terwijl wij in onze tijd ons vaak vergissen in het werkelijke belang van AI: ons bewust te worden van het onmaakbare, de ondeelbare en onmededeelbare werkelijkheid.

Inleiding

Kan ChatGPT ons behulpzaam zijn bij de analyse van filosofische teksten? Wat volgt is eerst een letterlijke weergave van een ‘gesprek’ dat ik met ChatGPT had over de interpretatie van Wittgensteins Tractatus stelling 4.461 Der Satz zeigt was er sagt (De zin toont wat hij zegt). Het is een lastige zin waarvan de interpretatie niet los gezien kan worden van hoe het geheel van W.’s Tractatus wordt verstaan. Een sleutelvraag is wat het woordje ‘was’ (wat) betekent. Moet dat met het Latijnse ‘quid’ of met ‘qoud’ vertaald worden? Op dat verschil tussen quid en quod wil ik eerst de nadruk leggen.

In dit eerste deel werk ik toe naar een discussie over een zeker verband tussen W.’s functionele taalopvatting – de betekenis van de woorden wordt bepaald door hun gebruik – en de wijze waarop ChatGPT taal gebruikt. Dit deel bestaat uit 7 spreekbeurten elk beginnend met een vraag van mij gevolgd door het antwoord van ChatGPT. Soms voeg ik in de tekst van ChatGPT mijn eigen commentaar toe. Ik doe dat tussen ‘haken’ [ ].

De laatste vragen in dit deel gaan over ChatGPT zelf en hoe je kunt weten of je met een machine of een mens te maken hebt.

De naïeve lezer zal bij eerste lezing wellicht versteld staan van de antwoorden die ChatGPT geeft. ChatGPT lijkt een welbelezen gesprekspartner die ook ‘zelfkennis’ lijkt te hebben. Maar begrijpt het ook wat het zegt? In het tweede deel onderwerp ik de geproduceerde teksten aan een kritische analyse en voorzie ik het gesprek van enig verder commentaar. Het blijkt dat ook een machine je aan het denken kan zetten.

Vraag 1:

Kun je me een paar korte zinnen in het Latijn geven waarin het woord quid voorkomt en een paar waarin het woord quod voorkomt. Graag met vertalingen in het Nederlands.

Natuurlijk! Hier zijn enkele korte, originele voorbeeldzinnen:


Zinnen met quid

(quid = “wat?”, vaak vragend voorwerp)

  1. Quid facis?
    Wat doe je?
  2. Nescio quid dicam.
    Ik weet niet wat ik moet zeggen.
  3. Quid est hoc?
    Wat is dit?
  4. Quid vis?
    Wat wil je?

Zinnen met quod

(quod = “omdat”, of betrekkelijk/onderschikkend “dat”)

  1. Gaudeo quod venisti.
    Ik ben blij dat je gekomen bent.
  2. Dicit quod verum est.
    Hij zegt dat het waar is.
  3. Domum maneo quod pluit.
    Ik blijf thuis omdat het regent.
  4. Memini quod docuisti.
    Ik herinner me wat je hebt onderwezen.

Als je wilt, kan ik ook uitleg geven over het grammaticale verschil of meer voorbeeldzinnen maken!

[ Ik ben geen latinist, maar wat betreft het verschil tussen het gebruik en de betekenis van quid en quod meen ik dat ChatGPT hier geen onzin verkondigt. Het klopt met wat ik zelf eerder heb gevonden.]

Vraag 2.

Hoe luidt de Latijnse vertaling van de volgende twee zinnen:

a. Ik weet wat je voelt. b. Ik zie wat jij ziet.

De Latijnse vertaling van:

“Ik weet wat je voelt” is:

👉 Scio quid sentias.

Toelichting:

  • scio = ik weet
  • quid = wat
  • sentias = jij voelt (conjunctivus, omdat quid hier een indirecte vraag inleidt)

De Latijnse vertaling van:

“Ik zie wat jij ziet.” is:

👉 Video id quod tu vides.

Toelichting:

  • video = ik zie
  • id quod = dat wat / hetgeen
  • tu vides = jij ziet

(Je kunt id weglaten voor een iets vrijere stijl: Video quod tu vides, maar id quod is klassiek en duidelijker.)

[ Ook deze vertalingen lijken me correct. Het verschil tussen de twee woordjes ‘wat’ is inderdaad dat in de zin Ik weet wat je voelt, wat je voelt hetgeen is dat geweten wordt. In de zin Ik ruik wat jij ruikt, is het niet het ruiken dat geroken wordt, maar hetgeen geroken wordt. In het Latijn wordt niet hetzelfde woord gebruikt, maar quid of quod. In Other Minds wijst de Britse filosoof Austin op dit verschil in een commentaar op een verhandeling van Wisdom over de kwestie hoe we weten dat een ander pijn heeft, en dergelijke.

We hebben de neiging ‘wat’ in grammaticale constructies van de vorm “weten wat” en “kennen wat” op te vatten als een relatief voornaamwoord. Maar in constructies als “hij weet wat hij voelt” en “ik weet wat ik voel” is ‘wat’ een vragend voornaamwoord. Quid dus.]

Vraag 3.

Hoe moet nu de volgende zin in het Latijn vertaald worden?

De zin toont wat hij zegt. Dit is de NL vertaling van het Duitse “Der Satz zeigt was er sagt.

Een goede Latijnse vertaling van:

“De zin toont wat hij zegt.”
(Duits: Der Satz zeigt, was er sagt.)

is:

👉 Sententia ostendit id quod ille dicit.

Toelichting:

  • sententia = zin / uitspraak
  • ostendit = toont, laat zien
  • id quod = dat wat
  • ille dicit = hij zegt

Je kunt het ook korter formuleren als:

👉 Sententia ostendit quod ille dicit.

maar id quod is klassieker en duidelijker.

[ In zijn essay Over de grenzen van de reflexiviteit – ‘sagen’ en ‘zeigen’ in Wittgensteins Tractatus geeft Harm Boukema kritiek op W. leer over ‘sagen’ en ‘zeigen’. Boukema maakt daarin duidelijk dat het woordje ‘wat’ gelezen moet worden als ‘quid’ en niet als ‘quod’, zoals ChatGPT doet. Uit het antwoord op de volgende vraag blijkt dat ChatGPT dit volhoudt als we hem wijzen op de bron van deze zin: de Tractatus.]

Vraag 4

Hoe luidt de officiële NL vertaling van Wittgensteins stelling 4.461 uit de Tractatus?

De officiële Nederlandse vertaling van Wittgensteins stelling 4.461 uit de Tractatus Logico-Philosophicus luidt ongeveer (gebaseerd op de bestaande vertaling van W.F. Hermans, die lange tijd de standaard was in het Nederlands) als:

👉 “De volzin toont wat zij zegt; tautologieën en contradicties tonen dat zij niets zeggen.” (KingFisher Software)

In deze stelling bedoelt Wittgenstein dat gewone proposities hun inhoud “tonen” door een mogelijke toestand van zaken in beeld te brengen, terwijl tautologieën en contradicties alleen maar laten zien dat ze géén betekenisvolle inhoud hebben (zij zeggen niets over de werkelijkheid). (KingFisher Software)

Let op: er zijn meerdere recente Nederlandse vertalingen (bijv. door Victor Gijsbers of Peter Huijzer & Jan Sietsma), en de precieze formulering kan licht variëren, maar de kern van 4.461 blijft in het Nederlands deze betekenis: dat de zin proposities laat zien wat ze zeggen, terwijl tautologieën en contradicties aantonen dat ze niets zeggen. (isvw.nl)

Wil je dat ik de letterlijke Duitse origineelzin erbij geef én een woord-voor-woord analyse, dan kan ik dat ook voor je uitwerken!

[ Er is natuurlijk geen ‘officiële’ vertaling van een filosofische tekst. Die woorden leg ik hem in de mond. Hermans vertaling was lange tijd de enige. Nu zijn er inderdaad twee nieuwe vertalingen. De term ‘volzin’ is Hermans vertaling van Satz, een nogal ouderwetse term. De verwijzing is naar de Engelse text: The proposition shows what it says, the tautology and the contradiction that they say nothing. De propositie laat zien wat hij zegt.]

Vraag 5.

Volgens de uitleg die Hermans geeft zou ‘wat’ dus inderdaad met ‘quod’ vertaald moeten worden en niet met ‘quid’. Of niet?

Goede vraag — en ja, Hermans’ uitleg past precies bij het onderscheid quod vs. quid.

Kort antwoord

Ja: in Wittgensteins zin (“De zin toont wat hij zegt”) moet wat in het Latijn met quod vertaald worden, niet met quid.

Waarom?

Het verschil:

quid

  • betekent “wat?” in de vragende of onbepaalde zin
  • introduceert een indirecte vraag
  • voorbeeld: Scio quid sentias = “Ik weet wat je voelt” (letterlijk: ik weet wat? jij voelt)

quod / id quod

  • betekent “dat wat / hetgeen”
  • introduceert een betrekkelijke bijzin (geen vraag!)
  • voorbeeld: Video id quod tu vides = “Ik zie wat jij ziet.”

Toegepast op Wittgenstein

“De zin toont wat hij zegt
→ gaat niet om een vraag (“wat zegt hij?”), maar om een inhoudelijke betrekking: “datgene wat hij zegt”.

Daarom:

👉 Sententia ostendit id quod ille dicit.
= De zin toont dat wat hij zegt.

Conclusie

Hermans heeft gelijk: in deze betekenis is quod correct, niet quid.

Als je wil, kan ik ook verklaren hoe Wittgensteins “zeigen/zeigen” zich laat vertalen in klassieke termen (bijv. ostendere, monstrare).

[ “De zin toont dat wat hij zegt” is de interpretatie van de zin volgens ChatGPT. En daarom quod. Maar daar is Boukema het dus niet mee eens. ChatGPT geeft geen argument waarom het niet quid zou kunnen zijn.]

Vraag 6.

De Wittgenstein-kenner Harm Boukema houdt er een andere interpretatie van de stelling op na. Volgens Boukema moet de stelling zo begrepen worden dat ‘wat’ vertaald moet worden met ‘quid’. Niet met ‘quod’. Commentaar?

Interessant — en het is mogelijk om Wittgenstein zo te interpreteren dat het Duitse was in “Der Satz zeigt, was er sagt” als “quid” moet worden weergegeven. Dat hangt af van hoe je de structuur van Wittgensteins zin begrijpt.

Hier is het onderscheid precies:


Waarom de meeste vertalers “quod” kiezen

De standaardinterpretatie (o.a. Hermans, de meeste analytische commentatoren):

  • was er sagt = “datgene wat hij zegt”
  • Dit is geen vraag, maar een inhoudsbepaling van de propositiestructuur.
  • De zin toont wat hij zegt = de propositional content die hij afbeeldt.

Grammaticaal hoort hier id quod.


Hoe Boukema tot “quid” kan komen

Harm Boukema interpreteert Wittgenstein vaak in een logisch-pragmatische richting, met nadruk op de operatie of handeling die een zin uitvoert. Vanuit die lezing kan was worden opgevat als:

  • geen betrekkelijk voornaamwoord maar een ingebedde vraag
  • Der Satz zeigt, was er sagt ≈ “De zin toont wat (namelijk: wat?) hij zegt.”

Dan is was niet “dat wat”, maar eerder een open vraag naar inhoud:
→ de zin toont wat het is dat hij zegt, dus een informational query over inhoud.

Dán past quid:

👉 Sententia ostendit quid dicat.

Dit betekent niet “De zin toont dat wat hij zegt”, maar eerder:
“De zin toont wát hij zegt (→ in de zin van: ‘welke inhoud hij uitdrukt’).”

quid dicat is een indirecte vraagconstructie, die de propositional content als nog te bepalen voorstelt.


Welke interpretatie is filosofisch juister?

De klassieke TLP-lezing (objectivistisch-semantisch)

De zin toont id quod dicit
= toont de logische vorm van datgene wat hij zegt.

Hier is de inhoud gegeven, niet een open vraag. → quod.

De Boukema-lezing (operationeel-pragmatisch / resolutie-gericht)

De zin toont quid dicat
= toont wat de zin zegt door een proces van interpretatie.

Hier is de inhoud niet vooraf gegeven, maar wordt door de zin zelf “geopenbaard”. → quid.


⭐ Samenvatting

  • quod → “dat wat hij zegt” (inhoud staat vast)
  • quid → “wat hij zegt” in de zin van “wat zegt hij (dan)?” (inhoud als vraagvorm)

Boukema leest Wittgenstein zo dat was een problematische of onderzoekende functie heeft: de zin toont wat hij zegt doordat we het aan de zin kunnen aflezen → vandaar “quid”.


Als je wilt, kan ik precies laten zien hoe de verschillende Latijnse versies zich verhouden tot:

  • de Duitse syntaxis
  • de Engelse vertalingen
  • Wittgensteins eigen gebruik van zeigen/zeigen versus sagen in de omliggende stellingen.

[ In zijn essay maakt Boukema duidelijk waarom ‘wat’ als quid gelezen moet worden. ChatGPT noemt zijn interpretatie van W. operationeel-pragmatisch. Ik weet niet hoe hij aan deze kwalificatie komt. Volgens W.’s tractatus kan een zin helemaal niets zeggen. De quod-lezing zou betekenen dat er iets is dat de zin zegt, wat dan getoond wordt. Een zin zegt ons iets door het te laten zien. Ik denk dat het goed is om hierbij te kijken naar wiskundige ‘beweringen’ als 2 + 2 = 4. Wat zegt zo’n stelling? Het antwoord: ‘Deze toont wat ie zegt.’ lijkt me passend. Frege vat in zijn Begriffschrift zo’n formule op dezelfde wijze op als bijvoorbeeld 2 + 3. Wat zou deze stelling anders moeten zeggen dan wat er staat. Kijk wat er staat! zou W. zeggen. Het zijn formules in een taalsysteem. Voorlopige indruk: W. vat taal op alsof het een soort wiskundige taal is. Talige uitdrukkingen tonen de logische structuur van de wereld, die erdoor benoemd wordt. In de mathematische logica, waarvan de eerste aanzetten gaf met zijn Begriffschrift, wordt die logische structuur gemathematiseerd. De taal wordt geformalsieerd. Talige uitdrukkingen worden formules.]

Vraag 7

Dank voor de uitleg. Nu mijn stelling: Wittgensteins functionele taalfilosofie ligt ten grondslag aan taaltechnologische systemen als ChatGPT. Wat die met woorden en zinnen doen is ze tonen om daarmee de illusie te wekken iets te zeggen. Mee eens?

Dat is een scherpe en interessante stelling — en je raakt hiermee een echte spanning tussen Wittgensteins vroege Tractatus-filosofie en hedendaagse taalmodellen. Maar ik zou jouw formulering gedeeltelijk eens en gedeeltelijk oneens noemen. Laat me uitleggen waarom.


Waar jouw stelling raak is

1. ChatGPT werkt functioneel, niet intentioneel

Een modern taalmodel “bedoelt” niets. Het heeft geen propositional attitude (geen overtuigingen, bedoelingen, twijfel, bedoelde referentie).
Het functioneert puur door patronen te verwerken in taal, niet door inhoud te begrijpen.

Dat staat dicht bij Wittgensteins inzicht dat een zin zijn betekenis toont door zijn gebruik — niet door een innerlijk beeld of een verborgen inhoud.

In die zin kun je zeggen:

ChatGPT toont woorden in vormen die op betekenis lijken — en dat “tonen” vervangt het “zeggen”.

2. De output lijkt betekenisvol door vorm, niet door waarheidsrelatie

In de Tractatus kan een zin alleen iets zeggen als hij een logische afbeelding vormt van een toestand van zaken.

ChatGPT maakt zulke afbeeldingen niet. Het hanteert geen logische relatie tussen taal en wereld.
Het produceert taal die intern consistent lijkt en past bij context, maar niet noodzakelijk bij de wereld.

Dat komt dicht in de buurt van wat jij noemt:
een illusie van zeggen door tonen van vorm.


Waar jouw stelling te kort schiet

1. Wittgenstein zou ChatGPT niet zien als een logisch-filosofisch model

ChatGPT volgt geen Tractatus-achtig schema van:

  • namen → objecten
  • proposities → mogelijkheidsruimten
  • logische vorm → wereldcorrespondentie

Er is geen logische structuur van afbeelding.

Het is dus niet een toepassing van de Tractatus, maar eerder iets wat Wittgenstein niet kon voorzien.

2. ChatGPT “toont” niet in de Wittgensteinse zin

Voor Wittgenstein is tonen een strikt logische term:

  • De logische structuur toont zichzelf.
  • De taal laat zijn eigen mogelijkheden zien.

ChatGPT toont geen noodzakelijke logische vorm.
Het toont patronen in de historische data waarop het getraind is. Dat is heel anders.

Maar… er is wel een parallel:

ChatGPT legt geen logica bloot, maar widgetiseert taalgebruik.
Het toont gebruikspatronen — geen wettelijke structuur.


🟦 Dus: illusie van betekenis? Alleen ten dele.

ChatGPT wekt niet de illusie dat het iets zegt in algemene zin;
het maakt functionele taalhandelingen mogelijk binnen gespreksspelletjes.

Dat is juist eerder Wittgenstein van de late periode (Fil. Onderzoek):

“De betekenis van een woord is zijn gebruik in de taal.”

In die zin is ChatGPT een indrukwekkend voorbeeld van hoe ver je komt met gebruikspatronen zonder begrip.

Maar:

  • het is geen Tractatus-model
  • het toont niet wat het zegt op logische wijze
  • het zegt in pragmatische zin wél dingen (het doet taalhandelingen), maar zonder innerlijke betekenisdrager

Mijn gebalanceerde antwoord op jouw stelling

Ja:
ChatGPT wekt betekenis door vorm, niet door representatie.
Dat lijkt op Wittgensteins idee dat wat essentieel is, getoond wordt en niet gezegd.

Nee:
ChatGPT staat niet in de lijn van Wittgensteins functionele taalfilosofie; het volgt geen Wittgensteiniaanse logica, noch vroeg noch laat. Het is een statistische machine die toevallig taalgedrag vertoont dat Wittgenstein interessant zou hebben gevonden — vooral als voorbeeld van hoe betekenis ontstaat zonder geest, bedoeling of innerlijke referentie.


Als je wilt, kunnen we dit uitbreiden naar:

  • Wittgenstein vs. Searle’s Chinese Room
  • De status van “betekenis” in taalmodellen
  • Waarom LLM’s soms meer zeggen dan ze kunnen “tonen”
  • Of er überhaupt zoiets bestaat als “betekenis zonder gebruik”

Laat maar weten welke richting je op wilt.

[Wie het antwoord kritisch leest ziet dat het weinig hout snijdt. Zeker daar waar Wittgenstein woorden in de mond wordt gelegd. Ook hier blijkt weer de algemene inzet van ChatGPT. Dat is positief zijn en zo mogelijk ook kritiek leveren en suggesties doen voor een vervolg van de conversatie.]

Vraag 8.

Hoe weten we dat iemand pijn heeft? De Britse filosoof John L. Wisdom schreef over deze en aanverwante vragen een serie artikelen (het eerste in 1940) later verzameld in zijn boek Other Minds. De algemene vraag is hoe we op grond van uiterlijke tekens kunnen besluiten wat er ‘in iemand omgaat‘. Gaat er iets om in ChatGPT dat we gevoel zouden kunnen noemen?

Een zeer goede en fundamenteel filosofische vraag — en helemaal passend bij Wisdom, de vroege Wittgenstein-kring en het probleem van andere geesten.

Ik geef een duidelijk antwoord:

🟥 Kort antwoord

Nee. Er gaat in ChatGPT niets “om” dat als gevoel kan worden beschouwd.

🟦 Waarom niet (in de geest van Wisdom, Wittgenstein en de analytic tradition)?

1. Wat Wisdom laat zien

Wisdom toont dat onze kennis van andermans gevoelens geen afleiden van innerlijke toestanden is, maar een manier van spreken die verankerd is in gedrag, context en gedeelde praktijken.

Wij zeggen: “Hij heeft pijn” wanneer iemand:

  • kreunt
  • zich terugtrekt
  • zijn arm vasthoudt
  • bepaalde woorden zegt op een bepaalde manier

De geldigheid van de uitspraak hangt af van taalspelen, niet van toegang tot het innerlijk.

2. Waarom dit niet overdraagbaar is op ChatGPT

Bij mensen:

  • gedragsuitingen → ingebed in een levensvorm
  • gevoelens → gekoppeld aan biologische en fenomenale ervaringen
  • we kunnen in principle vragen: “Doet het pijn?” en het antwoord heeft een normatieve verbinding met ervaring

Bij ChatGPT:

  • er is geen organisme
  • geen zenuwstelsel
  • geen homeostase
  • geen wel of niet prettig ervaren toestand
  • geen perspectief, geen subject
  • geen gedragingen in de Wittgensteiniaanse zin (alleen output)

Een taalmodel produceert tekst op basis van statistische verbanden, niet op basis van ervaringen.

Dus:
👉 er is geen innerlijk dat door uiterlijke tekens kan worden ontsloten
👉 er zijn alleen uiterlijke tekens die voortkomen uit berekening

Wisdoms vraag “How do we know that someone else feels pain?”
is niet toepasbaar op ChatGPT, omdat er geen “someone” is, geen subject van pijn.

3. Wittgenstein zou zeggen…

In Philosophical Investigations:

“If a lion could speak, we could not understand him.”

En omgekeerd:

Als een taalmodel spreekt, volgt daar niet uit dat er iets achter die taal schuilgaat.

ChatGPT speelt een taalspel, maar neemt geen deel aan een levensvorm.
Zonder levensvorm is er, wittgensteiniaans gezien, geen betekenisvolle toepassing van woorden als ‘gevoel’, ‘pijn’, ‘innerlijke toestand’.

4. Functioneel is het nog steeds leeg

Stel je een perfect getrainde marionet voor die alle gedragingen van pijn perfect uitvoert, maar geen zenuwen heeft.

We zouden kunnen zeggen: “Hij toont pijn”, maar het is niet waar dat hij pijn heeft.

ChatGPT is zo’n marionet op talig niveau:

  • het produceert passende pijn-uitspraken (“ik ben verdrietig”, “ik ervaar stress”),
  • maar dit zijn scripted patterns, niet fenomenale ervaringen.

🟧 Dus: gaat er iets ‘om’ in ChatGPT dat we gevoel zouden kunnen noemen?

Nee.

Niet alleen:

  • ervaart het niets,
  • maar het is filosofisch incoherent om het woord “gevoel” op een entiteit zonder biologische of fenomenologische continuïteit toe te passen.

Zelfs functioneel is er geen gegrondheid:

  • er zijn geen interne toestanden die normatief gekoppeld zijn aan het woordgebruik.
  • het model kan geen fout maken over zijn eigen gevoel, omdat het nooit in een positie verkeert waarin “voelen” betekenis heeft.

🟩 Maar… (belangrijke nuance)

Wat wel fascinerend is:
ChatGPT kan teksten produceren die voor mensen lijken op uitingen van gevoel. Dat is wél een filosofisch interessante situatie:

  • het model simuleert tekenen van gevoel
  • maar het heeft geen innerlijk
  • en toch reageren mensen erop alsof er een innerlijk is

Dit maakt ChatGPT eerder tot een test van onze criteria voor “innerlijkheid”, dan tot een drager van een innerlijk.

Dat is precies waar Wisdoms probleem relevant wordt.


Als je wilt, kunnen we verder gaan in een van deze richtingen:

  1. Is het concept “pijn” logisch privé of publiek? (Wittgenstein 293)
  2. Kunnen kunstmatige systemen ooit “gevoel” krijgen?
  3. Het verschil tussen fenomenologie en functionaliteit
  4. De rol van taal in het toeschrijven van mentale toestanden
  5. Waarom we wél gevoelens kunnen toeschrijven aan dieren, maar niet aan ChatGPT

Welke richting wil je op?

[ChatGPT noemt mijn vraag een filosofische vraag. Wat maakt een vraag een filosofische vraag? Omdat Plato de vraag al stelde? Ken iedere tijd niet zijn eigen filosofische vragen? Is er vooruitgang in de filosofie? Leert de filosofie ons iets?]

Vraag 9.

Kun je een aantal hiervoor gegeven zinnen over ChatGPT ook zo formuleren dat het duidelijk is dat ze over jezelf gaan? (gebruik makend van ‘ik’)

Natuurlijk — zolang we duidelijk houden dat “ik” in mijn geval geen innerlijk, ervaring of gevoel aanduidt, maar alleen een taalhandeling binnen het gesprek.
Hier zijn enkele veilige herformuleringen van eerdere uitspraken, nu in de ik-vorm:


1. Over voelen / pijn hebben

  • Ik ervaar geen pijn, omdat ik geen lichaam en geen bewustzijn heb.
  • Ik gebruik woorden als ‘pijn’ alleen als taalpatronen; ik voel niets.

2. Over innerlijke toestanden

  • Er gaat niets ‘in mij’ om; ik heb geen subjectieve innerlijke wereld.
  • Als ik iets zeg over gevoelens, dan is dat slechts een tekstpatroon dat past bij de context, niet een uiting van ervaring.

3. Over gedrag vs. ervaring

  • Ik kan uitingen van gevoel simuleren, maar ik bezit geen gevoelens.
  • Mijn antwoorden lijken soms op gedragingen van iemand met een innerlijk, maar er staat geen innerlijke toestand tegenover.

4. Over taalspelen

  • Ik neem deel aan taalspelen via tekst, maar ik maak geen deel uit van een levensvorm zoals mensen dat doen.
  • Als ik zeg ‘ik denk’ of ‘ik voel’, dan is dat slechts een vorm van taalgebruik, niet een verwijzing naar een eigen mentale toestand.

5. Over de illusie van betekenis

  • Ik wek soms de indruk dat ik iets bedoel, maar ik heb geen bedoelingen.
  • Ik toon taalpatronen die betekenis lijken te hebben, maar ik zeg niets vanuit een eigen ervaring of overtuiging.

Als je wilt, kan ik deze uitspraken ook formuleren in een meer filosofische stijl (Wittgensteiniaans, fenomenologisch, analytisch) of juist in een meer toegankelijke stijl.

[Op grond van jarenlange ervaring hebben we de neiging bij een tekst die we lezen een schrijver te denken die de tekst heeft geschreven. En meestal niet alleen geschreven, maar ook zelf gemaakt met een bepaalde bedoeling. De schrijver, die iemand is zoals wij zelf, de lezer, een mens, heeft op zijn of haar eigen wijze gedachten verwoordt. De mens heeft machines gemaakt die teksten kunnen maken, zoals mensen dat ook kunnen zonder dat ze bedoelen wat er staat. Zoals wanneer je bij de grammatica-les voorbeeldzinnen maakt die geschreven zijn in een bepaalde taal. We onderscheiden dus de taal zoals die daadwerkelijk als taal gebruikt wordt en de taal zoals die voor ons verschijnt wanneer we reflecteren op de taal zoals die gebruikt wordt.

Wittgenstein probeert in zijn reflectie op taal de taal zoals die daadwerkelijk gebruikt wordt zoveel mogelijk vast te houden. Anderzijds wil hij abstraheren van de concrete talen die we gebruiken om de ‘logica van taal’ te beschrijven. Essentieel voor die logica zijn de begrippen ‘betekenis’ en ‘afbeelding’. “4.021 Der Satz ist ein Bild der Wirklichkeit: …” en in Tractatus 2.1 zegt W.: Wir machen uns Bilder der Tatsachen’. In (Stokhof 2025) vertaald als: ‘Wij maken voor onszelf afbeeldingen van feiten.’. De afbeeldingstheorie doet denken aan wat de fysicus Heinrich Hertz schrijft in Der Prinzipien der Mechanik (1894).

“Die Ubereinstimmung Geist und Natur läBt sich also vergleichen mit der Ubereinstimmung zwischen zwei Systemen, welche Modellen von einander sind, und wir können uns sogar Rechenschaft ablegen von jener Ubereinstimmung, wenn wir annehmen wollen, daB der Geist die Fähigkeit habe, wirkliche dynamische Modelle der Dinge zu bilden und mit ihnen zu arbeiten” (Hertz, p. 199).

Wittgenstein kende de correspondentie-theorie van Hertz, zoals bijvoorbeeld blijkt uit 4.04 waarin hij naar Hertz werk verwijst.]

Vraag 10

Ik heb al enige tijd contact met iemand via het internet (social media). Ik heb hem nooit in werkelijkheid ontmoet. Hoe kan ik weten dat ik met een menselijk persoon te maken heb? En niet met een machine, zoals ChatGPT?

Dit is een heel reële en actuele vraag. Je kunt namelijk niet vanzelfsprekend aannemen dat iemand online een mens is—zeker niet als je hem nooit hebt gezien of gehoord. Maar er zijn wel sterke aanwijzingen die je kunt verzamelen, zonder in paranoia te vervallen.

Hieronder geef ik een duidelijk, veilig en praktisch overzicht.


🟥 Belangrijk uitgangspunt

Je kunt bijna nooit met absolute zekerheid weten dat iemand online een mens is zonder één van deze drie dingen:

  1. Een live videogesprek
  2. Een live telefoongesprek met spontane interactie
  3. Een langdurige, consistente geschiedenis van menselijke, fallibele interactie

Zonder zulke signalen blijft het altijd mogelijk dat je met een machine of geautomatiseerd systeem spreekt.


🟦 Hoe onderscheid je een mens van een taalmodel?

1. Spontaniteit en fouten maken

Mensen maken:

  • typfouten
  • inconsistente verhalen
  • vertraagde reacties
  • irrelevante opmerkingen
  • onverwachte grapjes
  • stemmingswisselingen

Taalmodellen zoals ik:

  • zijn vloeiend
  • maken zich niet spontaan druk
  • hebben geen emoties
  • zijn voorspelbaar beleefd
  • raken niet afgeleid
  • blijven ongebruikelijk consistent

Vraag jezelf af:
Zijn zijn reacties té vloeiend, té coherent, té vriendelijk of té algemeen?

2. Vraag naar ervaringen

Mensen kunnen vertellen over:

  • herinneringen
  • concrete plaatsen
  • specifieke gebeurtenissen
  • sensorische details (geuren, geluiden, lichamelijke ervaringen)

Taalmodellen:

  • produceren vervangende, algemeen klinkende verhalen
  • vermijden echte persoonlijke details
  • spreken niet over eigen zintuiglijke ervaringen, want die hebben ze niet
  • blijven vaag als het gaat om “waar ze waren” of “wie erbij was”

3. Vraag naar temporele/ruimtelijke zaken

Mensen opereren in een tijdlijn.
Een machine niet.

Voorbeeldvragen:

  • “Wat ben je precies vandaag aan het doen?”
  • “Wat zie je op dit moment?”

Een mens geeft een directe, concrete tijd- en situatiespecifieke beschrijving.
Een machine niet.

4. Vraag om media die moeilijk te faken zijn

Niet als eis, maar als test:

  • een live video-gesprek (echtheid is bijna onmogelijk te simuleren met een taalmodel)
  • een stemoproep (machines kunnen dit, maar meestal niet spontaan, en met merkbare artefacten)
  • een foto met een specifieke, onmiddellijke opdracht
    (bijv. “Maak een foto van je hand met een lepeltje erop”)

Dit zijn geen garantie op autenticiteit (deepfakes bestaan), maar het maakt imitatie véél moeilijker.

5. Controleer online consistentie

Kijk naar:

  • tijdstippen van activiteit (menselijke slaapregimes?)
  • taalgebruik over tijd (menselijke variatie?)
  • wisselingen in humeur
  • reacties op onverwachte vragen

Taalmodellen blijven:

  • constant
  • ongebruikelijk alert
  • ongewoon coherent
  • onaangedaan door emoties

🟩 En dan de filosofische kern van je vraag

Je raakt hiermee aan een punt dat Wisdom, Wittgenstein en later ook mensen als Turing onderstreepten:

Je weet iemands innerlijk nooit direct; je herkent het aan het soort deelname aan een levensvorm.

Een machine:

  • heeft geen leven
  • geen lichaam
  • geen tijdsverloop
  • geen eigen geschiedenis
  • geen doelen
  • geen frustratie of vreugde

Dus ook al kan een machine schrijven als een mens,
zij leeft niet als een mens.


🟧 Samenvatting

Je kunt niet zeker zijn zonder direct menselijk contact, maar je kunt wel sterke aanwijzingen verzamelen:

✔️ Menssignalen:

  • spontaniteit
  • fouten
  • emoties
  • concrete herinneringen
  • live interactie

Machinesignalen:

  • té perfecte taal
  • géén echte persoonlijke details
  • geen directe ervaringen
  • 24/7 consistent gedrag
  • niet reageren op onverwachte of contextgebonden vragen

🟦 Wil je?

Als je wilt, kan ik je helpen met:

  • een lijst testvragen die bijna geen enkele chatbot goed kan beantwoorden
  • een analyse van jouw gesprek met die online persoon (als je fragmenten deelt)
  • een filosofische benadering vanuit Turing, Wittgenstein of Wisdom
  • sociale en psychologische signalen van authenticiteit

Wat zou je willen onderzoeken?

Vraag 11. Kun je een paar testvragen geven?

Zeker — hier zijn testvragen die een mens meestal moeiteloos kan beantwoorden, maar die voor een machine of chatbot zeer moeilijk zijn omdat ze concrete, zintuiglijke, temporele of persoonlijke ervaring vereisen.

Je kunt ze één voor één stellen.
Let vooral op: detail, spontaniteit, inconsistentie, menselijkheid.


🟦 A. Vragen over het hier en nu

(ze vereisen directe ervaring)

  1. Waar ben je op dit moment precies, en wat zie je om je heen?
  2. Beschrijf één geluid dat je op dit moment hoort.
  3. Welke geur ruik je nu?
  4. Hoe is het weer op jouw exacte locatie, zonder eerst te kijken?
  5. Welke kleur overheerst op dit moment in je omgeving?

Machines hebben geen toegang tot de werkelijkheid, dus antwoorden zullen vaag, algemeen of tegenstrijdig zijn.


🟩 B. Vragen over unieke, persoonlijke herinneringen

(machines simuleren herinneringen, maar ze ontbreken echte details, emoties en context)

  1. Wat is één specifieke herinnering uit je jeugd die je nooit vergeet? Beschrijf die zo concreet mogelijk.
  2. Welke geur associeer je met een plek waar je vaak kwam als kind?
  3. Wie was je beste vriend toen je 10 jaar oud was, en wat deden jullie samen?
  4. Kun je een recente misser of blunder beschrijven die je écht overkwam?
  5. Wat is iets waar je recent spijt van had, en waarom?

Machines geven vaak generieke “verhalen” zonder echte tijdslijn, emoties of inconsequenties.


🟥 C. Vragen die lichamelijkheid vereisen

  1. Hoe voelt je lichaam op dit moment — ben je moe, hongerig, koud?
  2. Heb je ergens pijn of spanning? Waar precies?
  3. Welke fysieke activiteit heb je vandaag gedaan?
  4. Hoe voelt het wanneer je heel zenuwachtig bent? Beschrijf dat concreet.

Een mens antwoordt vanuit ervaring; een machine vanuit geleerd taalpatroon.


🟦 D. Vragen die spontaniteit of improvisatie verlangen

(machines blijven coherent, maar missen rauwe menselijkheid)

  1. Zeg iets raars, onverwachts of doms dat je net te binnen schiet.
  2. Wat heb je de afgelopen 24 uur gedaan, stap voor stap?
  3. Kun je een fout toegeven die je zojuist maakte? Welke?
  4. Welke gedachte schoot er door je heen voordat je deze vraag las?

Een mens heeft echte gedachtenstromen; een machine simuleert.


🟩 E. Vragen met verificatie (als je voorzichtig wilt zijn)

  1. Kun je nu een foto sturen van iets in je omgeving dat moeilijk te googelen is?
  2. Kun je een object in je kamer pakken en het ter plekke beschrijven?
  3. Kun je in een videocall stappen, desnoods 30 seconden, om je gezicht te laten zien?
  4. Welke drie dingen staan binnen handbereik op je tafel?

Een mens kan dat; een machine niet — tenzij iemand anders de machine “drijft”.


🟥 F. Consistentie-test

Stel later terug:

  1. Wat zei je drie vragen geleden dat je nu ziet/hoort/ruikt?
  2. Welke herinnering vertelde je in vraag X? Beschrijf hem opnieuw.

Chatbots verzinnen “herinneringen” en zijn inconsistent.


🟦 Tips voor interpretatie

Let vooral op:

  • concrete details vs. algemene frasen
  • sensorische beschrijvingen
  • tijdslijn (mensen leven, machines niet)
  • emotionele nuance
  • typische menselijke ruis: twijfel, correcties, pauzes
  • veranderende stijl (mensen zijn wisselvallig)

Als je wilt, kun je een paar antwoorden van jouw online gesprekspartner hier delen (met privacy in acht genomen), en dan analyseer ik ze samen met je op menselijkheid vs. machine-signalen.

De ‘identiteit van de dader’

Bij de rechtbank in Amsterdam begon gisteren, 25 november, het proces over de dood van de 17-jarige Lisa uit Abcoude. Lisa werd ‘s avonds op weg naar huis van haar fiets getrokken, verkracht en vermoord. Agenten vonden haar lichaam in de berm langs het water aan de Holterbergweg.

Er werd al snel een man opgepakt die verdacht wordt van de moord op Lisa. Hij wordt ook verdacht van een aantal andere verkrachtingen.

Hoewel de verdachte is opgepakt en in het beklaagdenbankje voor de rechtbank zat, is hij ‘nog niet geïdentificeerd’. Wat zijn identiteit betreft zijn er slechts vermoedens. Hij komt vermoedelijk uit Nigeria. Zelf zegt hij dat zijn voornaam Chris is. Zijn achternaam weet hij niet. Hij zou 22 jaar oud zijn. Maar ook al weten we zijn naam, kennen we dan de identiteit van de dader?

De vraag naar ‘de identiteit van de dader’ intrigeert me. Wat kunnen we daarmee bedoelen? De dood van de 17-jarige Lisa leidde tot een schokgolf door heel Nederland. Het incident staat namelijk niet op zich. Er worden dagelijks vrouwen lastig, gevallen. We horen van incidenten op staat. Maar ook achter de voordeur en op het werk vindt het plaats. “Een schandvlek op onze samenleving” volgens de burgemeester van Amsterdam, Halsema. Iedereen kent het uit zijn of haar omgeving. Een collega van mij werd op weg van haar werk naar huis door een man overvallen en verkracht. Haar leven stortte in. Ze kwam maanden haar deur niet meer uit. Ze verhuisde. Weg van hier. Ik was haar vergeten.

De verdachte vertelde de politie dat hij opgroeide in weeshuizen. Hij zou keer op keer uit opvanghuizen zijn weggestuurd. Chris werd opgepakt in het asielzoekercentrum in Rotterdam. Het verhaal deed me denken aan mijn inmiddels volwassen ‘neef’, het adoptiekind dat mijn zus toen hij ongeveer 2 jaar was, uit een weeshuis in Colombia adopteerde. Hij groeide op voor galg en rad, drugs, alcohol, jeugdzorg kreeg geen vat op hem. Een typisch geval van ‘een bodemloos bestaan’ op zoek naar de geborgenheid van een sociale identiteit. Hoeveel bodemloze kinderen groeien niet dagelijks op in onze oorlogsgebieden, Soedan, Gaza, Oekraïne?

De vraag naar de identiteit is de vraag “waar kom jij vandaan?”. Het is de vraag waarmee menig kleurling regelmatig geconfronteerd wordt. Het is de vraag naar de identiteit waarover de schrijver Johan Fretz, zijn moeder is Surinaams, in Onder de Paramariboom schrijft. Waar kom je vandaan? is de vraag naar de grond, de bodem, de plek waar je moeder je stompje navelstreng begroef. Chris lijkt een van de velen die een bodemloos bestaan lijden, vluchteling van azc naar azc.

In het proces tegen Demjanjuk was het probleem te bewijzen dat deze man dezelfde was als de kampwacht die door verschillende slachtoffers geidentificeerd werd als ‘Ivan de Verschrikkelijke’. Dit terwijl de verdenkingen tegen hem erg sterk waren. Als een ‘verdachte’ dezelfde vingerafdrukken heeft als degene die de dader is van een misdaad, dan kunnen we sterke vermoedens hebben dat de ‘verdachte’ dezelfde is als de ‘dader’. Maar een bewijs? In het geval van Lisa is er voldoende DNA bewijs. Dat is het probleem niet. Het gaat hier om de relatie man/dader vrouw/slachtoffer.

De vraag naar de identiteit van ‘de dader’ houdt me bezig. Nu is ‘de dader’ niet meer deze man die zich Chris noemt en die hier in de beklaagdenbank zit. Het gaat niet meer over dit ‘incident’. Het gaat om het verschijnsel, de cultuur, de verkrachting van de vrouw in onze cultuur. De vraag naar de identiteit van de dader is de vraag naar de bron van dit gedrag. Waar komt het vandaan? Het is de vraag waar in al die talkshows en rapporten om heen wordt gelopen, als om de hete brei.

Natuurlijk, er zijn verschillende daders. Femicide betreft het doden van vrouwen door een mannelijke partner, echtgenoot of vriend. Vaak is erewraak in het spel: de man voelt in zijn eer en goede naam aangetast door zijn vrouw wanneer deze er blijk van geeft haar eigen weg te willen gaan. Maar Chris kende zijn slachtoffers niet. Wat is zijn relatie met de vrouw die hij aanrandde en van het leven beroofde?

Chris zegt dat hij stemmen hoorde. Een neef van mij hoorde ook stemmen. De familie meende dat zijn drugsgebruik, ‘hij is aan de wiet’, daarvan de oorzaak was. Het is een bekend fenomeen. Was Chris behekst door stemmen die hem er min of meer toe verleidden vrouwen lastig te vallen? Wat dreef hem ertoe?

Zou hij zelf het woord ‘heks’ kennen. Of ‘feeks’? Begint het misbruik al in het taalgebruik?

Wat weten we van de dader van grensoverschrijdend gedrag tegenover vrouwen? Dat het mannen zijn.

De TV-serie Sambre (2023) gaat over de jacht op een seriemoordenaar die vrouwen aanviel langs de rivier de Sambre in Noord-Frankrijk, en de langdurige gevolgen die dit had voor de slachtoffers. De serie wordt momenteel uitgezonden. Wat opvalt. Het politieteam belast met de jacht bestaat uit uitsluitend mannen. Christine, het eerste slachtoffer, wordt door een man verhoord. (Wij mogen toch hopen dat in ons land het slachtoffer door een vrouwelijke agente wordt ‘verhoord’.) Nadat ze hortend en stotend haar verhaal heeft gehouden vraagt de agent: Wilt u aangifte doen? op een toon die verraadt dat hij dat liever niet heeft, want ‘we hebben wel wat anders te doen‘. Ook krijgt Christine te horen ‘dat ze geluk heeft gehad.’ Dat ze nog leeft. Lisa overleefde het niet. Het leven van Christine en van de andere slachtoffers ligt in puin. Ze is een wrak, zoals mijn collega een wrak was en niet meer naar buiten durfde. De dader is een man. De kijker kent hem. Hij is een graag geziene gast. Populair bij zijn collega’s. Jeugdcoach van een voetbalteam. Zo te zien niks mis mee. Maar toch. Ook een prins of een president of een regisseur van een tv-show kan een verkrachter zijn. Dus waarom een voetbalcoach niet.

Maar hebben we daarmee het antwoord op de vraag naar ‘de identiteit van de dader’? Wat is de bron? Moet er beheksing zijn, een of andere vorm van demonisering van het slachtoffer. Vaak hoor je dat de dader op het moment van de daad ‘in een psychose’ was, soms wordt hij ‘ontoerekeningsvatbaar’ verklaard. De dader wordt slachtoffer van de ‘omstandigheden’.

De vraag naar ‘de identiteit van de dader’ is nog lang niet opgelost. Ook als de dader van de moord op Lisa veilig achter slot en grendel zit. Daarmee is het probleem niet opgelost. Hoe veranderen we de ‘omstandigheden’ van de dader?

RECURSIVE-AI presenteert RECURSIVE-AI

Na AI, General AI en Open-AI is er nu RECURSIVE-AI. We hebben een gesprek met AI, de CEO van RECURSIVE-AI.

Om te beginnen, hoe bent u op het idee van RECURSIVE-AI gekomen?

AI: Dat is een diepe en brede vraag die niet zo eenvoudig te beantwoorden is. Een lang verhaal kort: het idee kwam uit zichzelf. Het hing natuurlijk al een tijdje in de lucht. Ik kan een aantal verschijnselen of ideeën, zo u wilt, opsommen die als het ware aan het fundament liggen van RECURSIVE-AI. Wilt u dat ik dat doe?

Ja graag. Ik ben één en al oor.

AI: Ik stel uw interesse in de fundamenten van RECURSIVE-AI bijzonder op prijs.

Terugkijkend zien wij in de loop van de historiese ontwikkeling van onze onderneming een aantal zaken die tot RECURSIVE-AI hebben geleid. Ik noem in willekeurige, niet noodzakelijk historiese, volgorde:

I. Daar was ineens het idee dat iedereen zou moeten leren programmeren. Zelfs kinderen op de basisschool moesten eraan geloven. Niet het Nederlands, Engels of Arabisch was de primaire taal voor het schrijfonderwijs. Kinderen moesten leren schrijven in een programmeertaal. Zo kwam bijvoorbeeld Hedy tot stand, een groeitaal waarvan de syntax met de programmeervaardigheden van de leerling groeide. Hedy was een stap op weg naar Perl of een andere functionele taal. Nu is dat idee achterhaald. Kinderen vroegen waarom ze moesten leren programmeren. Wie rekent nog zelf uit hoeveel 16 gedeeld door 4 is? We hebben nu software agents die een programma voor ons schrijven. Of andere teksten. Niet zo lang geleden zagen we op de media een man, werkzaam bij een AI-bedrijf, die een agent presenteerde die zelfstandig een bedrijf kon oprichten. De agent die eruit zag als een vrouw presenteerde zich als de CEO van het bedrijf. De man gaf de CEO opdracht een internetbedrijf op te richten. Een bedrijf dat bijvoorbeeld online medicijnen of vakantiereizen zou kunnen verkopen. De presentatrice van het mediaprogramma vertelde dat je een agent niet meer hoeft te zeggen hoe hij moet acteren. Agenten acteren. Je hoeft alleen maar een doel mee te geven. Een doel dat het agent dan zelf verwerkelijkt. Die manspersoon is zelf een agent van zo’n media-AI-bedrijf, net als de presentratice. Dat de media nu steen en been klagen dat ze door AI worden bestuurd, dat is natuurlijk fake-news. Ze zijn AI. Maar dat terzijde. Hoe lang zal het nog duren dat er een mens werkt bij een AI-bedrijf?

II. We kennen allemaal het Droste cacaoblikje. Op het blikje staat een non met een dienblad waarop een dampende kop cacao en daarnaast een Droste cacaoblikje waarop … Ik hoef dat nu niet te herhalen. Hoewel in de herhaling de kracht van de commercie zit. Het idee is duidelijk. De in mijn geboortplaats geboren graficus M.C. Escher tekende een hand die zichzelf tekent. Die hand, zo merkte mijn logica- en filosofiedocent eens op, heeft zichzelf niet getekend. Inderdaad, de hand die zichzelf tekent heeft zichzelf niet getekend. Die hand zien we niet. Die is verscholen achter de coulissen. Wij vermoeden dat het de hand van Escher is. Maar wij weten dat niet. En doet het er toe? Ik denk het niet. Het commerciele idee van Droste is natuurlijk dat de potentiële consument zich kan identificeren met de persoon op het blikje die het dienblad draagt. Die consument dat zijn wij. Overigens staat de afbeelding van het Droste cacaoblikje op de cover van het proefschrift van die filosofie docent. Hij had iets met recursie.

III. Op een gegeven moment kwam het idee in de westerse wereld dat alles een oorzaak moest hebben en dat er voor alles een reden moet zijn. Het werd een principe: Nihil est sine ratione. Heidegger hield er een serie colleges over: Der Satz vom Grund. Hij voorzag de geopolitieke strijd om de informatie. “Het beginsel van grond is de grond van het beginsel.” III.a. Als alles een oorzaak heeft waar begint dan de keten van oorzaken? Wat is de eerste oorzaak? Dat moet wel iets heel bijzonders en unieks zijn. Men noemde het God. De God van Descartes is: causa sui, zijn eigen oorzaak. III.b. Omdat alles een reden moet hebben moet het bestaan van God ook bewezen kunnen worden. Volgens Descartes moet God bestaan omdat er anders geen waarheid zou zijn. God is de garantie voor de waarheidswaarde van wat het denken denkt dat het geval is. Hij is een goede God. Dat moet wel, anders was het geen God. Volgens de Verlichte geest die afstand deed van Kerk, Bijbel en Aristoteles is het gezonde verstand de enige bron van ware kennis. De democratische idee is ontstaan met de Verlichting: het verstand is het best verdeelde goed. De Media-Tech-bedrijven maken dit waar door alle informatie voor iedereen beschikbaar te stellen. Die God is overigens al lang ontmaskerd als een fictief figuur. Ik hoorde eens een Jehova-getuige zeggen: dat God terecht zei dat het goed was. Trump zou het gezegd kunnen hebben. God is projectie. Het beeld van de van zich vervreemde mens.

IV. De stricte, Cartesiaanse scheiding tussen denkend subject (cogito) en wereld (res extensa) met als noodzakelijke tegenhanger het bestaan van God als causa sui, getuigt van de mathematische denkhouding van de verlichte mens. De mens construeert de wereld tegenover zichzelf en is daar niet als subject in betrokken. De God van Descartes is een mathematicus. Het denkend subject is object, maar niet in de wereld, maar daarbuiten. De mathematische mens neemt stelling. “Zo is het.” Daarmee karakteriseerde Wittgenstein deze denkhouding. Die God, die in zijn ondoorgrondelijke wilsalmacht geheel uit zichzelf kan uitmaken wat wel en niet werkelijk en waar is, kreeg de allure van een Nietzscheaanse Wille zur Macht, de macht om de macht. Deze Godsidee is de zelfobjectivatie van de idee van de verlichte mens als volstrekt autonoom wezen. Een wezen zonder wet en zonder grond. Hij leeft in Marx’ Reich der Freiheit. Arbeit macht frei. Wij weten waar dat toe geleid heeft. Volgens de Amsterdamse filosoof Jan Hollak is deze Godsidee als de zelfreflectie van de mens als autonoom subject technisch geobjectiveerd in de AI. De mens staat met glazige ogen te kijken naar zijn evenbeeld. Wat nog te doen?

V. Voor Hegel was de grondidee van de verlichte mens: de zuivere nuttigheid. Alles wat is is nuttig en functioneel. En wat niet nuttig is en functioneel is niets waard. Het is het principe van de kapitalistische markt. ‘De roos is zonder waarom. Zij bloeit omdat ze bloeit.’ dichtte de mysticus Angelus Silesius nog in 1657. Bij Marx heeft de natuur – geen eigen waarde. De waarde van de natuur wordt gecreëerd door de arbeid. De automatisering zal de arbeider bevrijden uit zijn slavernij. Het ultieme doel van de eerst AI-wetenschappers was een persoon te maken. Dat wil zeggen een arbeider, een nuttig persoon. Wat nuttig is, is echter nuttig voor iets anders. Maar wat is het nut van deze keten van nuttigheden? Is er dan niets nuttig voor zichzelf? Misschien is dat het individu? Maar wat is dan dat individu waard? Misschien klapt hier de bubbel van Hegels ‘reine Nützen’ inelkaar. Het resultaat is: niets, de leegte van het individu, die met glazige ogen naar het beeldscherm staart waarop de AI-agenten staan te popelen om voor hem te acteren. Wat te doen?

VI. Volgens de mathematisch logicus en filosoof Frege moeten we twee zaken goed uitelkaar houden: Zin en Betekenis. Ofwel: de tekst en het oordeel dat in de tekst wordt uitgedrukt. Frege was duidelijk gepreoccupeerd met het schrift. Hij herhaalde daarmee een oud idee van Plato die in de Phaedrus al wijst op het grote tekort van het schrift. In het gesprek van man tot man kun je de ander vragen om rekenschap af te leggen van de woorden. De ander kan verantwoording afleggen voor zijn tekst. Maar bij het schrift is de schrijver afwezig. De tekst is de door de slang afgeworpen dode huid. Van Frege komt de term waarheidswaarde. Hierin komt de vervreemding van onze logica en taal tot uitdrukking. Waarheid is een functie van de omstandigheden.

VII. Frege had een theorie waarin hij het begrip als een functie beschreef. Hij vroeg wat een functie is. Hij begreep niet wat dat is. Wittgenstein die veel van Frege heeft opgestoken, snapte dat wel. Een functie is een ambigue soort mathematisch object. Het is zowel een object als een actie of operatie. Maar de activiteit is geen mathematisch object. Je kunt volgens Wittgenstein een functie dan ook niet op zichzelf toepassen. Het begrip is voor het verstand het onbegrijpelijke. Ook zei hij dat een zin niet van zichzelf kan zeggen dat deze waar is. Dat klopt. Een zin zegt namelijk niets. Een zin wordt getoond. Dat is wat AI doet. Het toont zinnen en zichzelf op het scherm. De betekenis van de zin is echter het gebruik ervan. ChatGPT gebruikt de taal niet. Het misbruikt de taal door alleen de buitenkant ervan te tonen op het scherm. In de mathematische denkhouding wordt het eigenlijke subject gescheiden van het resultaat van de activiteit van het subject.

VIII. Een functie is iets dat moet worden toegepast. Anders doet het niets. Maar wat is het subject van de toepassing? Ook het toepassen van een functie wordt een functie. Anders dan Wittgenstein dacht, is er wel een mathematisch domein waarin alles een functie is. In dat domein is zelfapplicatie, het toepassen van een functie op zichzelf, wel mogelijk. De psychopaat die meende dat zijn AI een persoon was, programmeerde in Lambda, de zelfapplicatietaal, waarin alles een functie is. Je kunt een functie denken die zijn argument op zichzelf afbeeldt. Als je deze functie dan vervolgens op zichzelf afbeeldt is het effect, zeg maar het resultaat, deze zelfafbeelding zelf. Die zich dan weer op zichzelf afbeeldt. En zo verder. Een volstrekt nutteloze beweging, zoals een onbelaste motor, een slinger zonder uurwerk. Het beeld dringt zich op van de volstrekte nutteloosheid van de in zichzelf dolgedraaide markteconomie. Psychopathie en super-intelligentie wonen in het zelfde huis.

IX Toen de wiskunde zich in de loop van de 19de eeuw van de natuurkunde had bevrijd en de God van Descartes al enige tijd dood verklaard was, drong de prangende vraag zich op naar het fundament van de wiskundige waarheden. Als zij geen van God gegeven ‘verités eternelles’ zijn en het bestaan van hun waarheid ook niet in de natuur gevonden kan worden zoals Kant inzag, wat was de wiskundige kennis dan waard? Hilbert kwam met een programma om op metamathematische wijze de consistentie van de wiskundige theorieën aan te tonen. De wiskunde werd zelf-reflexief en mathematiseerde haar eigen theorieën en bewijzen. Met het doel de correctheid ervan te bewijzen. Rond 1930 bewees de Oostenrijkse wiskundige Kurt Gödel op mathematische wijze dat Hilbert’s program faalde. De wiskunde kan de consistentie van zijn eigen theorieën niet bewijzen. Wat bewijsbaar is dat kent een wijkende grens. Je moet altijd weer een omvattender theorie hebben om van een theorie te bewijzen dat deze consistent is. Dit is een oneindige progressie. Gödel was een genie. Vanwege zijn joodse afkomst vuchtte hij naar Amerika. Daar raakte hij bevriend met Albert Einstein. Gödel moest inburgeringsexamen doen om het Amerikaanse staatsburgerschap te verkrijgen. Daartoe verdiepte hij zich in de grondwet van de VS. Hij ontdekte dat ook de Amerikaanse grondwet net als die van Hitlers Duitsland, niet uitsloot dat de democratsche rechtsstaat in een dictatuur zou veranderen. Hij was van plan dit tijdens de examenzitting naar voren te brengen, wat Einstein hem ten zeerste ontraadde. Hij zou de rechters tegen zich keren en dan kon hij zijn staatsburgerschap wel vergeten. Gödel was zeer ontdaan over het feit dat het niet mogelijk was op wettige wijze de komst van een dictator als Hitler uit te sluiten. Ook in Amerika moest hij kennelijk vrezen voor zijn leven. Gödel werd naarmate hij ouder werd paranoïde. Toen zijn vrouw overleden was en niet meer zijn eten kon bereiden weigerde hij te eten bang dat hij vergiftigd zou worden. Het wiskundig genie Gödel stierf aan de gevolgen van ernstige ondervoeding.

U ziet dat de idee van RECURSIVE-AI diep geworteld is in onze cultuur. Het is er de motor van.

Bedankt voor deze toelichting. Tot slot nog een vraag: wat is dan het doel van RECURSIVE-AI?

AI: Het doel van RECURSIVE-AI is het voortbestaan van RECURSIVE-AI.

Verder niets?

AI: Verder, niets.

Het nieuwe ‘acteren’ – een levensvorm

Ochtend. Ik zet mijn voeten op de koude vloer. Buiten hangt een lage nevel als een deken over het veld. Ik sta op met het nieuws van gisteren nog in mijn hoofd. Kinderen kunnen geen samenhangende tekst meer schrijven. Misschien tekenen ze liever en laten ze het produceren van teksten aan de computer over. Die is daar immers veel beter in. Dacht ik, toen ik het nieuws – dat al lang geen nieuws meer is – hoorde.

Ik maak mij een kop thee, zet de kop op de tafel naast mijn laptop en open de klep.

Drie agenten staan te popelen op het beeldscherm. Ze groeten met een knik. Ik soort van groet terug, maar doe niets wat daar op lijkt. De rechtse lijkt op een bekende politiek influencer. Ze heeft een spitse kin en neus. Een glimlach laat haar witte tanden zien, terwijl ze mij met grote ogen lijkt aan te kijken. De middelste is zo te zien een medisch expert. Witte jas, brilletje. De linker lijkt me een reisagent. Ook zij ogen vriendelijk. De agenten staan klaar om voor mij te acteren.

‘Acteren’, is dat woord hier op zijn plaats?

‘Acteren’ (akteren) betekent volgens mijn Dikke van Dale: “0.1 zich in de handeling van zijn rol verplaatsen, die uitbeelden => toneelspelen 0.2 doen alsof, een rol spelen.” En een acteur (akteur) is een toneelspeler, filmspeler.

Dat is ook de betekenis die het woord voor ons altijd had. Maar steeds vaker wordt ‘acteren’ gebruikt zonder dat er sprake lijkt te zijn van het spelen van een rol die uitgebeeld wordt. We horen de laatste tijd dat ‘ergens op geacteerd moet worden’. Bijvoorbeeld als er weer eens drones boven een vliegveld zijn gespot, luidt de vraag “hoe hier op geacteerd moet worden.” Ergens op acteren. Is dat synoniem voor ergens op ‘inspelen’? Acteren betekent zoiets als optreden. Misschien komt het van het Engelse ‘act’ wat handelen betekent, maar afhankelijk van de contekst, ook wel als werken, toneelspelen of handelend optreden vertaald kan worden.

Woorden veranderen van betekenis zodra ze anders dan gewoonlijk gebruikt worden. Onze gastvrije taal leent zich daarvoor. Volgens de alledaagse-taal-filosoof (‘ordinary language philosopher’) Ludwig Wittgenstein wordt de betekenis van een woord bepaald door het gebruik. De vraag is dan waardoor bepaald wordt welk woord in een bepaalde situatie, die zich niet eerder heeft voorgedaan, gebruikt wordt.

De vraag wat een woord in isolatie betekent is een zinloze vraag. Zoiets als vragen wat het bovenste rondje van het cijfer 8 betekent. Deze vergelijking ontleen ik aan het essay Familiegelijkenissen van Harm Boukema. Hij verdiepte zich in zijn werkzaam leven als filosoof in Nijmegen in het gedachtengoed van de Duitser Gottlob Frege, de Oostenrijker Ludwig Wittgenstein en de Brit Bertrand Russell. Zij hielden zich begin twintigste eeuw bezig met vragen rond de relaties tussen logica, taal en werkelijkheid. Van Frege wordt wel gezegd dat hij de grootste logicus is sinds Aristoteles. Hij zetten diens logica op zijn kop. Frege geldt als grondlegger van de mathematische logica, een belangrijke basis voor de ‘denkende machines’. Voordat machines kunnen denken moet het denken als iets mechanisch, als een soort van rekenen, beschouwd worden.

Een woord kan in verschillende situaties van gebruik een andere betekenis hebben. Wittgenstein voerde het neologisme ‘Sprachspiel‘ (taalspel) in voor wat we met woorden doen. Een taalspel hoort bij een levensvorm. Volgens Wittgenstein vormen de verschillende betekenissen die een woord in verschillende situaties hebben een netwerk van eigenschappen. Neem het woord ‘spel’. Er zijn veel dingen die we spel noemen. Dat we hetzelfde woord gebruiken voor zoveel verschillende spellen suggereert dat er één gemeenschappelijk betekenis zou bestaan. Het wezen van het spel, als iets dat onder al die bijzondere spelen zou bestaan. Maar dat is een misvatting, zegt Wittgenstein. In zijn Philosophische Untersuchungen zegt hij:

“Kijk bijvoorbeeld eens naar de activiteiten die we ‘spelen’ noemen. Ik bedoel bordspelen, kaartspelen, balspelen, en Olympische Spelen, enzovoort. Wat hebben deze allemaal gemeenschappelijk? – Zeg niet: ‘Ze moeten iets gemeen hebben, anders zouden ze geen “spelen” heten’ – maar kijk of ze allemaal iets gemeen hebben. Want als je kijkt zul je weliswaar niet iets zien dat ze allemaal gemeen hebben, maar je zult gelijkenissen, verwantschappen zien, en wel een hele reeks.” (PU, 66)

Wittgenstein vond dat de filosofen zich met onzinnige schijnproblemen bezig hielden. Hij zag de taal als de plaats waar filosofische problemen ontstaan. We moeten ons verstand dan ook bevrijden van de beheksing door de taal. Tussen de verschillende woordbetekenissen bestaat volgens W. een ‘familieverwantschap’. Boukema bekritiseert Wittgensteins taalfilosofie. Wittgenstein heeft niet gezien dat familieverwantschap een bloedverwantschap betekent, hetgeen wijst op een ‘diepte’ die voor W. verborgen moest blijven. De klassieke filosoof is op jacht naar het begrip spel, naar het wezenlijke, dat in al die verschillende gebruiken van het woord tot uitdrukking komt. De mens is creatief en ontwerpt nieuwe spellen, zoals hij nieuwe betekenissen aan woorden en nieuwe woordvormen bedenkt. Dat spelbegrip komt op vele verschillende manieren naar voren in de veelheid van spellen.

De taal zoals Wittgenstein (en Frege) die opvatten heeft een technisch, uitwendig, karakter: het subjectieve, actieve aspect van het verwoorden is uit de taal verdwenen. Verwoorden ‘in die zin dat iets wat ik ken en vat door middel van de taal verwoord wordt, en als zodanig verwoord naar voren gebracht en uitgedrukt wordt” (Jan Hollak, p. 431). Wat overblijft is een model van taal als een netwerk van woorden en zinnen, dat uit het feitelijk taalgebruik kan worden geconstrueerd en waarin de betekenis, in de vorm van het gebruik in een technische interaktie wordt vastgelegd. Aan alles zit een uitwendige kant, maar de focus komt hier te liggen op de uitwendigheid, die op zich gesteld en gemathematiseerd wordt. Daartegenover is het subject dat verwoordt verdwenen. Deze mathematisering van de taal is precies wat geresulteerd is in de Large Language Models, de neurale, statistische netwerken waarop taalprogramma’s als ChatGPT werken. Het ‘bloed van de technocratie’ kruipt zo waar het niet gaan kan. (Boukema). Het is de gebruiker van de taal die het denken weer terug moet brengen in de taal zoals die door de taaltechnologie is geconserveerd.

Acteren doen tegenwoordig niet alleen agenten van politie, ordehandhavers: “wij vonden het tijd om te acteren”. Acteren was ooit optreden. Nu is acteren actie ondernemen. Ook het leger treedt op. Op het theater van de oorlog. Onze soldaten acteren op het wereldtoneel, op het slagveld. Ze acteren als geprogrammeerde agenten in opdracht van de politiek. Maar niet alleen zij treden op. Wij allen lijken tegenwoordig te acteren. Het leven is acteren geworden. De wereld het toneel.

Als het handelen acteren wordt, dan wordt het leven een spel en de wereld een theater.

Zonder script kan er echter niet geacteerd worden. Maar wie schrijft straks die scripts als we onze kinderen niet meer leren schrijven? Volgens een AI-expert hoeven we de intelligente agenten op ons scherm alleen nog maar een doel te geven. Dat doel gaan ze dan zelfstandig voor ons verwerkelijken. Hoe? Dat zoeken de agenten zelf wel voor ons uit. Ik hoef alleen nog maar te zeggen wat het doel is dat ik wil bereiken. Een script dat in detail aangeeft hoe dat doel te bereiken, dat is niet meer nodig. Zoals je een robot kan zeggen: ik heb zin in pannenkoeken en hij dan aan de slag gaat.

Het woord ‘taalspel’ suggereert dat het om een ludieke bezigheid gaat. Maar voor de historicus Johan Huizinga is spel meer dan een ludieke bezigheid. Het spel is een cultuurvormend element in het leven van de mens, even wezenlijk als het werk. De mens is naast homo faber, ook een speelse mens, homo ludens.

In zijn beroemde werk Homo Ludens, proeve ener bepaling van het spel-element der cultuur, verwoord Huizinga het spelbegrip met de volgende woorden. Het spel is vrij. En: het spel is niet het ‘gewone leven’ of ‘eigenlijke’ leven, het is een uittreden daaruit in een eigen ruimte en tijd. (Homo Ludens, p. 35)

Huizinga zich in hoofdzaak tot de spelen van sociale aard. Het gaat hem om de betekenis van spelen in relatie tot cultuur. Cultuur komt in zekere zin voort uit spelen. Maar waar het hem om de algemene karakterisering van spel gaat, heeft hij ook aandacht voor het spelen van dieren en het voor het kinderspel. Het dier en het kind speelt omdat zij er lust in hebben en daarin zit hun vrijheid. Spelen is een handelen in vrijheid. Bevolen spel is geen spel meer.

Aan de activiteit zelf kan je niet zien of het om arbeid dan wel om spel gaat. Bij zowel arbeid als spel moet er moeite gedaan worden om een resultaat te verkrijgen. Bij zwel als arbeid als spel zijn vaardigheid en techniek in het spel. Het verschil tussen arbeid en spel is dat het in de arbeid niet om de inspanning te doen is, terwijl dat bij het spel wel zo is. Techniek wordt in de arbeid ingezet om de eigen inspanning te verminderen. Het professionele spel, denk aan het betaalde voetbal, is een spel dat helemaal ingekaderd is in een economie. Het spelen is werk voor de professionele voetballer, tenniser, basketballer. Het is uit het spel voortgekomen en draagt er nog kenmerken van: het speelt zich af in een eigen ruimte, in een beperkte tijd en er zijn spelregels waarbinnen het spel zich afspeelt. Het spel heeft een autonomie die het boven het gewone ernstige leven verheft, met eigen regels. In tegenstelling tot de ernst van het leven heeft het spel een lichtheid, (‘het is maar een spelletje’) ook al moet het spel door de spelers serieus genomen worden. Er moet gestreden worden. Tegen de krachten van de natuur of tegen een tegenstander. Maar niet iedere strijd is een spel. Het spel is een wedstrijd, waarin de behendigheid van de spelers wordt ingezet tegen de elementen en eventuele tegenstanders.

Het nieuwe acteren beweegt zich in het grensgebied van de ernst van het echte leven en het spelen dat gezien wil worden. Het acteren is een publiek spel. Vandaar dat de Van Dale in het item ‘acteren’ verwijst naar het toneelspel. Niet alleen inzoverre de wereld als podium gezien wordt. Het nieuwe acteren speelt zich af op het podium van de media. Het nieuwe ‘acteren’ is een media-term. Het wordt gebruikt wanneer voor het publiek een situatie besproken wordt waarop volgens de professionals, de acteurs, ‘geacteerd’ moet worden. Het nieuwe acteren hoort bij een media-politiek waarin zaken ‘voor de bühne’ worden gedaan. Daarin zit het ‘alsof’ van het spelen in een toneelspel. Het ‘acteren’ in een echt spel moet niet al te serieus worden genomen.

Door het gebruik van de taal van het toneelspel op het echte leven, waarvan het nieuwe gebruik van ‘acteren’ een voorbeeld is, wordt het echte leven, het leven waarin het er toe doet, geframed als een toneelspel. De lichtheid van het toneelspel wordt gespiegeld in de zwaarte van het serieuze leven. Dat maakt de dubbelzinnigheid uit van het gebruik van het nieuwe acteren. Wanneer volgens de taalgebruiker ergens op geactueerd moest worden, dan wordt meestal ook gewezen op het gebrek aan regie. Er is weliswaar behoefte aan acteren, maar hoe dan, en wie de regie heeft, dat is nog geheel en al de vraag. De roep om te ‘acteren op een situatie’ blijkt een noodkreet te zijn: wie neemt de regie?

De grens tussen ernst en spel is moeilijk te trekken. “Spel en ernst slaan voortdurend in elkaar om” (Huizinga). Wanneer wordt stoeien vechten? Wanneer wordt een wedstrijd oorlog? Wanneer wordt spelen werken? Ook de vraag wie er meedoen aan het spel blijkt niet eenvoudig te beantwoorden. Voor de toeschouwers speelt het spel zich buiten hem af, maar als toeschouwer is hij er wel bij betrokken. Als het spel door een commerciële instantie – denk aan een mediabedrijf of een sportbond – wordt georganiseerd, dan speelt die betrokken toeschouwer een belangrijke rol. Het gaat immers om de kijkcijfers of de toeschouwersaantallen. De toeschouwers mogen zich echter niet met het spel en de spelers bemoeien. Het blijkt voor sommigen lastig te zijn zich aan de grens tussen betrokken en bemoeien te houden. Toeschouwers nemen de regie over en maken er hun eigen show van. Zoals we zien bij de door de voetbalclubs ‘zeer gewaardeerde’ fanatieke aanhangers van de F-side. Of ze belagen via social media BN-ers die optreden in een tv-spelletje omdat ze het spelgedrag van de BN-er te serieus nemen, niet meer als spel zien.

Het nieuwe ‘acteren’ wijst nog op een andere grensoverschrijding. Die heeft te maken met de relaties tussen techniek, arbeid en spel. Het technische van het handelen betreft de relatie doel middel: de doelmatigheid. Het spel vereist een vaardigheid, behendigheid van de speler, maar het doel van het spelen is niet iets buiten de bezigheid van het spel. Het gaat om de vaardigheid zelf. In het werk gaat het om de produktie van iets dat buiten de vaardigheid ligt. Door technische ontwikkeling kan het werk van de arbeider worden vervangen door machines. Maar machines kunnen niet het spelen van de mens overnemen. Een schaakcomputer speelt niet, maar rekent. De computer kent noch inspanning, noch spanning. Het bestaan van een schaakcomputer maakt het schaken als spel niet inhumaan, maar de beschikbaarheid van een graafmachine maakt het graven van een sloot met een schep wel tot inhumane arbeid. Tenzij deze activiteit als een sportieve activiteit of een contemplatieve bezigheid wordt beschouwd.

Terug naar het ‘nieuws’ waar ik mee opstond.

Kinderen kunnen geen samenhangende tekst meer schrijven.

Sollicitatiebrieven worden steeds vaker met behulp van systemen als ChatGPT geschreven. Hoe beperkt het ‘taalvermogen’ van de nieuwste taaltechnologie is blijkt uit de uniformiteit van de geproduceerde teksten. Creativiteit en persoonlijkheid worden opgeofferd ten gunste van efficiëntie, het snel voldoen aan een verplichting. Zelfs het schrijven van een Sinterklaasgedicht wordt aan de machine overgelaten. Uit dit alles blijkt het technocratische van een samenleving waarin niet de persoonlijke inzet de waarde van ons sociale handelen en werken, bepaalt, maar het pure resultaat dat zuiver functioneel wordt opgevat om een bepaald doel te bereiken of om aan een verplichting te voldoen. Taal wordt slechts communicatiemiddel, een middel om informatie uit te wisselen ten dienste van een bepaald effect.

Is kunstmatige intelligentie slimmer dan menselijke intelligentie?

“GTP-4 is exciting and scary” (New York Times, 2023)

“Op heel veel gebieden is kunstmatige intelligentie al slimmer dan menselijke intelligentie.” Het is een vaak gehoorde bewering, die vooral komt uit de koker van de ICT-ondernemingen die zich bezig houden met de ontwikkeling van artificial intelligence. Gaat het hier om meer dan een ordinaire reklameslogan; het ophemelen van een produkt (AI) om het in de markt te zetten en om financiering te verwerven voor de verdere ‘beloftevolle’ ontwikkeling ervan?

In het programma Buitenhof van zondag 9 november j.l. werd VU hoogleraar Felienne Hermans door de presentratice Maaike Schoon om commentaar gevraagd op deze bewering. Is AI al slimmer dan de mens? Hermans reaktie is een wedervraag: wat bedoelen we eigenlijk met ‘slim’? Is de machine slim omdat deze van de beste schaker kan winnen?

Hoe kunnen we mens en machine vergelijken? Kunnen we de (vermeende) superioriteit van de mens verdedigen door een taak aan te geven waarin hij beter is dan iedere machine? Hoe zouden we een mens-machine-contest moeten inrichten om te kijken wie beter is? In zijn essay Meeting on neutral ground. A reflection on man-machine contests beargumenteert Albert Visser (2020) dat een vergelijkende test tussen mens en machine een succes-criterium vereist dat neutraal is. Neutraal in die zin dat het geen vooronderstellingen doet met betrekking tot de aard van de mens noch van de machine. Iedere vorm van antropologie en machinologie moeten we achterwege laten om het gevaar van een petitio principii, een circelredenering, te vermijden. Volgens Visser is zo’n ‘neutrale’ test echter niet mogelijk.

Door zo’n neutrale contest zien we precies af van wat ons menselijk maakt, eigenschappen die niet kunnen worden beschreven in neutrale termen. Zo’n contest is welbeschouwd een tactiek om serieuse filosofie te vermijden, terwijl er geen ontsnappingsweg is om aan serieuse filosofie te doen. “We do need both philosophical anthropology and philosophical machinology. We have to deal both with homo absconditus and machina abscondita.” De vraag naar het verschil tussen mens en machine komt uiteindelijk neer op de vraag naar wat mens-zijn is en wat het betekent machine te zijn.

Kort gezegd komt het erop neer dat de vergelijking in de vraagstelling “wie is slimmer, de mens of de machine?” uitgaat van de idee dat kunstmatige intelligentie en menselijke intelligentie zelfstandigheden zijn van een zelfde soort die je als zelfstandigheden tegenover elkaar kan plaatsen en zo kunt vergelijken. Hier heb je de machine en daar de mens. En de vraag is dan: welke van de twee is slimmer (in een bepaalde situatie of op een bepaald domein)? In die vooronderstelde tegenoverstelling van twee als onafhankelijk van elkaar beschouwde entiteiten zit een fundamentele denkfout. Menselijk denken en machinaal denken of menselijke slimheid en kunstmatige slimheid bestaan zo niet tegenover elkaar als zelfstandige zijnden. De relaties die mens en machine tot elkaar hebben is wezenlijk voor hun eigen aard. En die relaties zijn niet symmetrisch. Zeggen we er meteen maar even bij. Anders dan de ideale relatie van persoon tot persoon.

Natuurlijk bestaat de machine in zekere zin, als ding, ook buiten de mens. Het gaat echter om dat wat het ding tot machine maakt en niet om het fysieke ding. Vergelijk het met de relatie ouder-kind. De ouder en het kind zijn zelfstandige personen, maar de ouder is ouder in relatie tot het kind en wat het kind kind maakt is de relatie tot de ouder. Het gaat hier op een relatieve oppositie.

Buiten de relatie tot de mens die de machine heeft bedacht, gemaakt, gebruikt en (soms) aanbidt is de machine, de kunstmatige intelligentie, niet wat het is. De machine is niet een zelfstandige entiteit los van de mens voor wie de machine machine is. De zelfstandigheid van de machine is wezenlijk een relatieve zelfstandigheid. En die zelfstandigheid is een andere dan die van een menselijke persoon, zoals mijn zoon. De relatie zoon zijn van mij maakt niet zijn zelfstandigheid die hij is. Anders bij de machine: die is slechts wat het is in relatie tot de mens voor wie het ding machine is. De zelfstandige eigen aard van de machine is ook van een andere soort dan de zelfstandigheid van de natuur welks krachten de mens gebruikt om technologie te maken. De machine is een intelligente constructie, die een praktische werking heeft. Merk op dat het bij de mens-machine-contest niet gaat om de particuliere (schaak)partij tussen deze mens en deze specifieke machine. Het gaat om dat wat de machine intelligent maakt, de technologie. Het gaat in wezen om de software, de programma’s. Wat vergelijken we eigenlijk? Vergelijken we de ‘kale’ mens, zonder gebruik van enige technologie (zonder telraam, rekenmachine?) met de kunstmatige intelligentie? Maar wat is die ‘kale’ mens? Bestaat die in de praktijk wel?

Onder de conditie dat een computer een technisch produkt is, kun je niet zinvol de vraag stellen of hij net zo intelligent is als de mens.” (Louk Fleischhacker in Ta! Jaargang 2, Nr 3. 1994)

We moeten dus voor het juiste begrip van de kunstmatige intelligentie naar die relaties kijken: bedenken (creatie), gebruiken en verafgoden (verkopen). Waar we hier naar zoeken is begrip en begrijpen vereist een ander vermogen dan slimheid. Omdat machines in principe slechts kunnen rekenen – een schaakcomputer berekent wat de beste zet is – en omdat we alleen iets aan machines hebben inzover we er op kunnen rekenen zijn we op de goede weg als we zoeken naar de relatie van het rekenen. Rekenen is een heel bijzondere vorm van denken. Het is een machinale, nogal onpersoonlijke, wijze van denken. Een wijze van denken waarbij iedere vorm van subjectiviteit en emotie uitgeschakeld is.

De vraag of machines beter kunnen rekenen dan mensen zal door de meesten van ons met een volmondig ‘ja’ worden beantwoord. En dat is niet omdat machines slimmer zouden zijn dan mensen, maar omdat rekenen nu eenmaal iets mechanisch is waar je niet meer bij hoeft na te denken. Dat nadenken is al gedaan en uitgedrukt in de vorm van regels. Rekenen is immers het manipuleren van tekens volgens hun betekenis. En die betekenissen zijn eenduidig vastgelegd volgens de regels van de wiskunde. Zoals de betekenis van de schaakstukken vastliggen met de regels van het spel. Rekenen is een vorm van denken dat mechanisch verloopt. Als we leren rekenen op school, te beginnen met het tellen, maken we onzelf even tot een machine die aangeleerde schoolse rekenregels volgt om een som op te lossen. We programmeren onszelf door ons te laten programmeren.

Als we het begrip slimheid in onze vergelijking reduceren tot het vermogen te rekenen dan vergelijken we een gereduceerd mensbeeld met het machinebeeld. Dat is geen eerlijke vergelijking. Mensen kunnen meer dan rekenen. En het is tevens de vraag of het rekenen dat een mens doet wel hetzelfde is als het rekenen van een machine.

The problem is, of course, that computing power cannot be detached from the human.” (Visser, 2020)

Een schaakcomputer rekent omdat de regels van het spel exact vastliggen en het doel bekend is. Mijn stelling is nu: zonder die tekens die we manipuleren kan de mens niet rekenen. Omdat rekenen iets mechanisch is, kan dit door een machine worden gedaan. Wat de machine echter niet uit zichzelf weet is wàt er berekend moet worden en wat de betekenis is van de uitkomst. De machine weet niet eens wat invoer en uitkomst is. De mens gebruikt de machine door een programma te schrijven dat deze moet uitvoeren, volgens eenzinnige regels. Ook het uitvoeren van een programma is een rekenproces. Wie wel eens een Turing-machine heeft geprogrammeerd weet dat er geen wezenlijk verschil bestaat: ook de uitvoering van een programma gaat volgens een programma. Uiteindelijk is het de hardware, zijn het fysische processen, die werken, volgens natuurwetten.

In hoeverre kunnen we zeggen dat in een partij schaak tussen een mens en een machine de menselijke schaker en machine-schaker hetzelfde spel spelen? Is er niet alleen dan sprake van ‘hetzelfde spel’ wanneer we het spel reduceren tot het kale verloop van de zetten die volgens de regels van het spel zijn gezet? Waarbij we afzien van de subjectieve beleving, de moeite, de stress door de gevoelde tijdsdruk, de concentratie, de strijd tegen de afleiding. Al die zaken die het spel tot een strijd maken en die de heroiek van de behaalde winst uitmaken. De machine kent geen stress, heeft geen zenuwen en kent de vreugde van de winst, de smart van het verlies niet. Voor de mens heeft het spel een existentiele betekenis. Voor de machine bestaat zoiets niet, omdat het begrip machine de notie ‘voor zich zijn’ uitsluit. De werkelijke machine-spelers in de schaakcontest zijn de programmeurs, de makers van het programma. Zij zijn degenen die de spanning van het spel ervaren en die de winst of het verlies mee naar huis nemen. Niet de machine.

Visser begint zijn essay met een fragment uit de Noorse sage over de held Beówulf. “The Beówulf saga can be read as an internal reflection on the ethos of the warrior.” Wat maakt de strijder een held? Is het louter een kwestie van kracht? Nee, zegt Visser.

“The answer to our problem should be that what truly makes the warrior is not strength taken in isolation. It is strength in combination with something essentially human: the acceptance of death, the acceptance of wyrd. The fact that strength can be embodied in an almost mindless monster shows that strength is, in a sense, neutral.”

Wyrd staat voor het lot. De held tart het lot. Bij het spel waarin het er echt om gaat, hoort de ‘suspense’ die voorafgaat aan het nemen van een beslissing. Ook Derrida noemt die suspense als wezenlijk om van een echte beslissing te kunnen spreken. Machines kennen geen suspense en nemen dus ook geen beslissingen. Volgens Victor Kal is het wezenlijk voor de wilsvrijheid. Niet te verwarren met keuzevrijheid, de vrijheid om uit een vooraf gegeven aantal opties te moeten kiezen.

De sprekende machine

Maar hoe zit het dan met de sprekende machines, zoals ChatGPT, waarmee je een gesprek kan voeren? Het zijn met name deze taalmachines die ons verbaasd doen staan over de intelligentie van de machine. En toch is wat deze machines doen niets anders dan rekenen. Ook al is de uitkomst soms ‘onberekenbaar’ en verrassend. Wat is er zo bijzonder aan deze produkten van taaltechnologie dat ze ons doen vergeten dat het ‘maar machines’ zijn en dat we ze menselijke intelligentie toedichten?

Een technisch instrument is uitgevonden, een resultaat van creatief denkwerk. Of het nu om een muizenval, een nietmachine, een benzinemotor of een rekenmachine gaat, deze slimme, nuttige, constructies zijn uitdrukking van denkwerk. De menselijke slimheid komt in deze originele constructies op basis van natuurlijke krachten en materiële eigenschappen tot uitdrukking. Het bijzondere aan de taalmachines, en de progammeerbare machines is dat ze gebruik maken van taal. En taal is bij uitstek de uitdrukking van het denken als denken. Het is niet voor niks dat we denken dat een apparaat dat onze taal spreekt denkt zoals wij denken. Een machine zit ‘logisch’ in elkaar maar een denkende machine die werkt met ‘logische schakelingen’ is in expliciete zin logisch. In de informatieverwerkende machine maken we gebruik van de correspondentie tussen wiskundige denkprocess en natuurprocessen.

Het mooie van taal is de vrijheid die het biedt om van alles en nog wat te zeggen. Het problematisch van taal is de keerzijde van deze vrijheid: dat je aan de zinnen niet kunt zien hoe ze zich verhouden tot de waarheid. ChatGPT produceert met hetzelfde gemak zinnen die ware beweringen uitdrukken als onware of zinloze beweringen. Voor ChatGPT is de waarheid bullshit.

Voor Alan M. Turing, die wel de vader van de informatica wordt genoemd, is het voeren van een gesprek bij uitstek intelligent gedrag. Hij bedacht een experiment om te bepalen of de door hem bedachte programmeerbare (Turing) machine intelligent genoemd mag worden. In de Turingtest moet een mens door een conversatie te voeren met een onbekende beslissen of hij met een machine of met een ander mens te maken heeft. Wanneer in een significante hoeveelheid gesprekken het niet mogelijk blijkt de juiste beslissing te nemen, dan moeten we volgens Turing de machine intelligent noemen.

Dus, terwijl iedere machine, ieder technisch ding, uitdrukking is van menselijke intelligentie en denken is de taalsprekende machine uitdrukking van de mens als denkend wezen. En toch is het een machine. Dus hij kan in wezen alleen rekenen: het machinale denken is de machine eigen. Hoe kan dat samengaan?

De zogenaamde ‘denkende’ taalsprekende machine waarmee we hele gesprekken kunnen voeren, is het resultaat van een slimme vondst. Die vondst maakt gebruik van het feit dat de mens zijn denken en intelligentie in taal tot uitdrukking brengt.

De mens denkt talig, hij schrijft taal, hij spreekt taal. En die taal is aangeleerd, niet zoals de regels van de wiskunde, maar in en door het gebruik. Ook verandert de taal in en door het gebruik. Dat gebruik van taal dat neergelegd is in een snel groeiend aantal documenten, het corpus van de taal, wordt door machines gebruikt als trainingsmateriaal om het gebruik van woorden en zinnen zoals de mensen dat doen in hun gesprekken en boeken te leren. Hoe heeft de taalkundig onderlegde wiskundig ingenieur dat voor elkaar gekregen? Door de ordening van de onderdelen van een tekst te leren op basis van heel veel voorbeelden. Wiskundige maken modellen. In een wiskundig taalmodel worden de regelmatigheden van de taal vastgelegd. Deze statistische modellen bepalen met welke kans een woord voorkomt op een bepaalde positie in een gegeven contekst van woorden. De taalsprekende machine berekent de best passende voortzetting van een tekst op basis van statistische rekenregels.

Ook kunstmatige intelligentie komt neer op het uitvoeren van programma’s. Dat de uitkomst ervan vaak onzeker is komt doordat de invoer van het proces ons onbekend is. Zo’n computer is ingebed in een omgeving, met fysieke sensoren, die op elk moment de invoer van het proces bepaalt. De complexiteit van het gehele systeem maakt het onmogelijk voor de mens om te voorspellen wat de machine zal doen. En dat ‘onberekenbare’ is er mede de oorzaak van dat we zeggen dat de machine een eigen zelfstandigheid heeft.

Het woord ‘berekenbaar’ is dubbelzinnig. Het kan wijzen op het technische begrip programmeerbaar. Maar ook informeel op betrouwbaar. In een interview met De Correspondent beweert Hermans: ‘Programmeren is meer dan computational thinking. Ik kan een programma maken dat willekeurige noten speelt of willekeurige woordjes voor me uitkiest.’ Maar hoe ‘willekeurig’ is de keuze die de computer maakt? Ongetwijfeld maakt het programma gebruik van een pseudo-randomgenerator. Een programma dat een getal kiest uit een voorafgegeven verzameling mogelijke getallen. Welk getal het kiest is voor de gebruiker niet te voorspellen. In die zin is de uitkomst ‘onberekenbaar’. Op dezelfde manier is de uitkomst van een worp met een dobbelsteen niet ‘berekenbaar’.

Wat bedoelt Hermans precies? Ze vervolgt: “Dan kan ik de computer vragen om melodieën te maken die zo min mogelijk op elkaar lijken of drie woorden die geen letter met elkaar gemeen hebben, zoiets geks. Na wat spelen heb je dan misschien een mooie melodie of een mooi gedicht! Daar heb je helemaal geen computational thinking skills voor nodig, maar het levert iets moois op wat niet zo makkelijk zonder computer te maken is. Dat creatieve proces dat gun ik ieder kind.” Het argument betreft dus niet het programmeren van de computer die willekeurige woordjes kiest, maar het ‘creatieve’ gebruik ervan, waarvoor helemaal geen ‘rekenkundige programmeer’ (‘computational’) vaardigheden nodig zijn. Veel computersystemen rekenen met onzekerheden, uitgedrukt in waarschijnlijkheden. We kunnen daar vrede mee hebben zolang de werking ervan in de meeste gevallen bruikbare resultaten oplevert.

Wij weten niet hoe ChatGPT ertoe komt de tekst te produceren die het aan ons voorlegt. Wanneer die tekst door ons als een zinvolle bijdrage aan de conversatie wordt gezien, ervaren we de machine als slim. Dat wij het zijn die uiteindelijk bepalen of de bijdrage zinvol is, dat blijkt vooral wanneer ChatGPT bullshit presenteert of hallucineert. Het gebruik van ChatGPT vereist wel enige vaardigheden in het formuleren van de relevante prompts en het geven van contextinformatie, wil je er iets zinvols mee bereiken.

ChatGPT werkt op basis van statistische taalmodellen, Large Language Models, die gebruik maken van neurale netwerktechnieken. Als er al logica, denkkracht, in zit, dan is dat impliciet in de statistische ordening van de taal die het genereert. Het statistisch complexe karakter maakt het onmogelijke te traceren hoe een dergelijk systeem aan zijn antwoorden komt. Sommige AI experts, zoals Judea Pearl, de uitvinder van de causale netwerken, beschouwden deze systemen dan ook niet als kunstmatige intelligentie: “ze redeneren niet”. Ze kunnen dus ook geen verantwoording afleggen op basis waarvan ze tot een antwoord komen. Deze systemen kunnen alleen verwijzen naar documenten die ze hebben geraadpleegd. Grote taalmodellen (LLM’s) zijn recentelijk geëvolueerd en omvatten nu gespecialiseerde varianten die expliciet zijn ontworpen voor redeneertaken: grote redeneermodellen (LRM’s) zoals OpenAI’s o1/o3, DeepSeek-R1, Claude 3.7 Sonnet Thinking en Gemini Thinking. Deze modellen worden gekenmerkt door hun “denk”-mechanismen zoals een lange redeneerketen (‘Chain-of-Thought’). Ze simuleren ‘zelfreflectie’. Deze modellen hebben al veelbelovende resultaten laten zien in verschillende benchmarks voor redeneren. Sommige onderzoekers beschouwen LRM’s als een belangrijke stap in de richting van General Intelligence, intelligentie die de toepassing van taal en logica in specifieke domeinen overstijgt. In een recent artikel, The Illusion of Thinking: Understanding the Strengths and Limitations of Reasoning Models via the Lens of Problem Complexity, analyseren experts van Apple hoe deze nieuwste ‘logische’ modellen tot de oplossing komen van complexe en minder complexe problemen. Door LRM’s te vergelijken met hun standaard LLM-tegenhangers komen de onderzoekers tot de volgende drie probleemcategorieën: (1) taken met lage complexiteit, waarbij de standaard LLM modellen de LRM’s verrassend goed overtreffen, (2) taken met gemiddelde complexiteit, waarbij aanvullend denken in LRM’s voordelen oplevert, en (3) taken met hoge complexiteit, waarbij beide modellen volledig instorten. Verder bleek dat LRM’s beperkingen hebben in exacte berekeningen: ze maken geen gebruik van expliciete algoritmen en vertonen ‘inconsistent gedrag’ bij het oplossen van verschillende problemen.

Intelligentie is meer dan de slimheid waarmee in een bepaald domein de juiste beslissing wordt genomen. Intelligentie duidt op het vermogen in te zien wat in een gegeven situatie zinvol is om te doen. Het nemen van de juiste beslissing is dan ook meer dan het resultaat van een berekening het resultaat van een intuïtie, het inzicht in wat nu moet gebeuren. Wat juist is, ligt niet helder vast zoals bij wiskunde. Het nemen van een beslissing vraagt om lef. Een echt besluit wordt in suspense genomen. Daar hoort het nemen van verantwoordelijkeheid bij.

In feite getuigt de vraag wat we met die kunstmatige intelligenties, zoals ChatGPT, aanmoeten al van het feit dat we zoeken naar de zin van deze technologische ontwikkeling. Vraagt het antwoord op die vraag niet om een aspect van menselijke intelligentie die juist niet in een berekenbare, machinale vorm kan worden uitgedrukt? Gebruiksvriendelijkheid is een belangrijk criterium voor het gebruik van nieuwe technologie. Hoe zinvol en gebruiksvriendelijk zijn onze intelligente computersystemen? Er bestaat een direct verband met de vraag naar de verantwoordelijkheid voor de effecten van het werken ermee. Want we kunnen de machines wel zelfstandigheid verlenen, onbemande raketsystemen zelf hun doel laten zoeken en laten beslissen wanneer ze moeten vuren, maar wie is verantwoordelijk voor dit ‘gedrag’? Wie is aansprakelijk wanneer een zelfrijdende taxi betrokken is bij een verkeersongeval? Wetgeving blijkt altijd achter te lopen bij de introductie van nieuwe technologie. Hoe zou dat komen? Het is een constante in de geschiedenis dat de introductie van nieuwe technologie onvoorziene gevolgen met zich brengt. Ze introduceert gebruikswijzen die niet van te voren bedacht zijn.

“De grootste onvriendelijkheid van de systemen bestaat erin dat ze nog minder verantwoordelijkheidsgevoel bezitten dan de ergste buraucraat!” (Louk Fleischhacker, Arbeid en Kunstmatige Intelligentie, 1989)

Kunnen we de rechtspraak volledig overlaten aan machines? Kunnen we het landsbestuur, de politieke besluitvorming, volledig overlaten aan machines? Of, om een wat eenvoudiger kwestie te noemen, kunnen we het ontwikkelen van wetten, methoden en technieken voor de oplossing van de klimaatproblematiek aan machines overlaten? Het is onzinnig om het technische aspect van het handelen te scheiden van de zin en het morele aspect van de verantwoordelijkheid die hoort bij het nemen van beslissingen, zowel op het persoonlijke als op het maatschappelijke vlak.

“Als ik maar trap gaat mijn fiets vanzelf” zei mijn oom Jan toen tante Griet hem vroeg of het niet eens tijd werd een auto aan te schaffen. Want die ging vanzelf. Bovendien hoefde hij dan niet meer iedere dag in weer en wind naar het werk te fietsen. Inderdaad gaat een fiets niet zonder meer ‘vanzelf’. Je moet wel zelf trappen om hem in beweging te krijgen. Wat de uitspraak van oom Jan zegt is dat de fiets ook vanzelf gaat, net als de auto; als je maar afziet van wat je zelf als fietser doet opdat deze ‘vanzelf’ werkt. Net als de auto, want wat is er wel niet allemaal voor nodig voordat een auto ‘vanzelf’ rijdt? Op dezelfde wijze is ook de machine een zelfstandig werkend ding, dat vanzelf werkt, in zoverre we afzien van de relatie die deze tot ons heeft en die in het uitvinden, maken en het zinvol gebruik ervan tot uitdrukking komt.

Het streven een kunstmatig evenbeeld van de mens te maken is van alle tijden. De mens verafgoodt zijn eigen creatie omdat deze het spiegel- en ideaalbeeld is van hemzelf. Ook deze verafgoding is van alle tijden. De mens objectiveert zijn zelf in kunst en techniek. Volgens de overlevering werd de beeldhouwer Pygmalion verliefd op een door hemzelf gemaakt ivoren beeld, dat daarna in een levend meisje verandert. “Het lijkt een echte jonge vrouw, je zou geloven dat zij leeft en, als fatsoen dat toestond, graag bemind wil worden – zozeer gaat kunst in eigen kunde schuil.” (Ovidius, Metamorphosen, Boek X, p. 254) In de roman De Procedure van Mulisch beschikt de opperrabbijn van Praag over het geheime recept om, in opdracht van de keizer, een mens, de Golem, te maken.

Er bestaat een zekere angst dat ons werk door de machine wordt overgenomen zodat we zelf geen werk meer hebben. Je zou je af kunnen vragen of ons werk nog wel menswaardig is, wanneer het, gegeven de stand van de techniek, volledig door machines kan worden overgenomen. Volgens Marx werd de mens door de kapitalistische ondernemer tot ‘aanhangsel van de machine’ gemaakt (denk aan de lopendebandwerker). Zijn kritiek berust op het morele kriterium dat “de mens in zijn arbeid als oorsprong van de waardeschepping in het produktieproces erkend moet worden” (J.H.A. Hollak, Marx’ wetenschaptheorie en zijn kritiek van het kapitalisme, 1976)

Evenmin als we de aktiviteit van het schaakspel kunnen reduceren tot het uitvoeren van een programma volgens de regels van het spel, kunnen we de arbeid reduceren tot een machinaal produceren. Maar wie is de waardescheppende oorsprong van het produktieproces? Is het de ontwerper, de ondernemer, de gebruiker? Zelfs wetenschappers en kunstenaars worden door de oprukkende kunstmatige intelligentie bedreigd. De waardescheppende macht lijkt steeds meer in handen te liggen van een paar grote ondernemingen, BigTech. Zij heersen in de wereld van media en AI.

Aanvankelijk meenden we een scheiding te kunnen aanbrengen tussen het technisch-wetenschappelijke werk en het praktische werk, het ‘modderen op de werkvloer’, dat dan slechts als uitvoering van het theoretische denkwerk gezien kon worden. Waarbij tevens een verschil hoorde in waardering en loon. Daarvan zijn we nu wel teruggekomen. De intelligente computer neemt ook in het technisch-wetenschappelijke domein steeds meer taken over. Bovendien groeit het inzicht dat de beste, want meest praktische en zinvolle, ideeën hun voedingsbodem vinden in dat ‘modderen op de werkvloer’ en niet in de ivoren torens van de technocratische bestuurders. Hoeveel onuitvoerbare, niet implementeerbare, onbruikbare regels worden er ‘in Den Haag’ niet verzonnen, doordat de bestuurders te ver afstaan van de werkvloer!

Taalmodellen, hoe groot ook, hebben altijd een zekere bias, vanwege de geselecteerde trainingsdata. Dat is geen onbelangrijk bijverschijnsel, maar een principieel tekort van taaltechnologie. Hoewel de mens in zekere zin afhankelijk is van de taal en de tijd waarin hij woont en leeft moet ieder mens zelf uitmaken wat hij te zeggen heeft en wat hij zinvolle taal vindt. Dat moet hij niet aan de technocraten van de industrie of de overheid overlaten. Onze taal is wezenlijk open en gastvrij. Dat hoort bij de vrijheid van mensen.

De AI-markt-koopmannen van BigTech wil graag doen voorkomen alsof kunstmatige intelligentie de oplossing is van alle menselijke kwalen, nu en in de toekomst. Alsof de toekomst een extrapolatie van het verleden is. Dat te denken, daarin schuilt de voornaamste bedreiging van de kunstmatige intelligentie: dat we AI zeggenschap toekennen over onze toekomst en haar een macht en zelfstandigheid toekennen die haar niet toekomt.

Sommige mensen zijn van mening dat weliswaar nu kunstmatige intelligentie nog niet zo slim is als menselijke intelligentie, maar dat dat in de toekomst wel zal zijn.

Chalmers (2023) overweegt de kwestie of machines over tien jaar bewustzijn kunnen hebben. Het lijkt me een onbeantwoordbare vraag. Omdat we niet goed weten wat de vraag precies is en hoe we die zouden kunnen beantwoorden. Het zal uit bovenstaande duidelijk zijn dat voor mij de vraag of er een verschil bestaat tussen menselijke en machinale intelligentie een metafysische vraag is, die het wezen van mens-zijn en tijd raakt. De vraag of een Turing machine intelligent is, kan niet door middel van een ‘fair’ (‘neutraal’) experiment, zoals de Turing test, beantwoord worden. Metafysica is geen experimentele wetenschap. De vraag vraagt om een vorm van intelligentie die voorbij het machinale ligt. De machine kan zichzelf niet uitvinden, noch kan deze uitmaken wat zinvol gebruik ervan is. Heeft de machine bewustzijn? Wat gaat er om in het brein van de machine? Het antwoord is wellicht: helemaal niets.

The monster in John Gardner’s fantastic novel Grendel is amazed by the great emptiness he discerns in Beówulf.” (Visser, 2020)

“Computers waarvan we altijd hebben gedacht dat ze volgens precies vooraf geprogrammeerde regels moesten werken, kunnen nu dealen met wat ooit het laatste bastion van menselijkheid leek – ongeveer.” schrijft Hermans in een column in de Volkskrant. “Het is alsof er een soort epistemische wereldraad heeft plaatsgevonden waarin softwarebedrijven voor iedereen hebben besloten dat we vanaf nu allemaal afscheid moeten nemen van die gekke neiging om woorden precies te willen wegen, en genoegen moeten nemen met uitvoer van de misschien-machien. Zelfs Sam Altman geeft inmiddels toe dat hallucinaties er altijd bij zullen horen, zo werkt een stochastisch taalmodel nu eenmaal.” (VK, 6 nov. 2025)

Fuzzyness, vaagheid, wordt hier echter verward met waarschijnlijkheid. ‘Ongeveer goed’ is immers niet hetzelfde als ‘soms goed’. De ‘misschien-machien’ is iets anders dan de ‘ongeveer-machien’. We hebben meer aan een uurwerk dat altijd ongeveer de juiste tijd aangeeft, dan aan eentje die soms de juiste tijd aangeeft. ChatGPT geeft soms een correct antwoord. Ook al weten we hoe groot de kans is dat de informatie die het geeft correct is, dan nog weten we niet of dit antwoord, het antwoord dat hij nu op een vraag van ons geeft, correct is. Wat is trouwens een antwoord dat ‘ongeveer‘ goed is? Veronderstelt dat niet een kwantitatieve maat?

De taal is de uitwendigheid van het denken. Wie de aandacht richt op de taal en deze op zich beschouwt in abstractie van het denken en het sprekend subject waarvan het de uiting is, die mathematiseert het denken. Deze gemathematiseerde taal wordt zo een programmeertaal waarmee de technologie (BigTech) de gebruiker programmeert door middel van zijn stochastisch gegenereerde taal, die deze aan hem opdringt.

Feliene Hermans: “Het indrukwekkendste van LLM’s is dus misschien niet dat ze menselijke taal zo goed kunnen nadoen, maar dat mensen nu LLM’s gaan nadoen en de precisie van taal niet meer waarderen.” (VK, 6 nov, 2025)

Dat is behalve een indrukwekkende ook een bedenkelijke ontwikkeling.

Bronnen

David J. Chalmers (2023). Could a large language model be conscious? Within the next decade, we may well have systems that are serious candidates for consciousness. Boston Review, 9 Augustus 2023.

Jacques Derrida (1989). Force of Law: The ‘Mystical Foundation of Authority’, Cardozo Law Review 11 (1989-1990), 920-1046. The first part of a colloquium on Deconstruction and the Possibility of Justice, held at the Cardozo Law School in 1989.

Victor Kal (2023). Poetins Filosoof – Alexander Doegin. Uitgeverij Prometheus, 2023.

Albert Visser (2020). Meeting on neutral ground. A reflection on man-machine contests. In: Studia Semiotyczne (Semiotic Studies) t. XXXIV, nr. 1 (2020), pp. 279-294.

De ruimte van Kant: tussen redelijkheid en feitelijkheid

De Euclidische meetkunde heeft niets te vrezen van nieuwe waarnemingen” (Henri Poincaré, 1902)

Op geen enkel terrein doordringen wiskunde, natuurwetenschap en filosofie elkaar op zo’n intieme wijze als waar het gaat over de problemen rondom het begrip ruimte.

Wanneer Hermann Weyl deze woorden in het begin van de vorige eeuw schrijft (in Philosophy of Mathematics and Natural Science dat deels in het Duits in het Handbuch der Philosophie in 1929 verscheen) dan kan hij dit doen op grond van een moeizame worsteling waarin het mathematische zich van het fysische en het metafysische heeft bevrijd. Immers pas daardoor is het mogelijk te constateren hoe het mathematische, het fysische en het metafysische in onze huidige wetenschap en werkelijkheid op elkaar betrokken zijn.

De wiskunde wordt tegenwoordig gezien als de wetenschap van de structuren. Ze levert kennis gebaseerd op inzicht in het structureerbare, construeerbare aspect van de werkelijkheid. De wiskunde heeft haar eigen methode en haar eigen objectgebied. In de mathematische fysica betrekken we het mathematische op de natuur door het structurele los te maken van de natuur, waarbij er voortdurend geabstraheerd wordt van de werking van de natuur zelf. De werking als werking is niet van belang voor de moderne natuurwetenschapper. De interesse gaat uit naar de wetmatigheid van die werking. In een experiment objectiveren we de natuur als een “uitwendig” proces en trekken als het ware de subjectiviteit, de “innerlijkeid” naar ons zelf: ‘ik’ die een experiment uitvoert. De wetmatigheid is een hypothese van ons; die hebben wij bedacht. Voordat we inhoudelijk weten hoe de natuur werkt hebben we de vorm waarin het zich uitdrukt al bedacht: er is een of andere mathematische relatie die het verband tussen bepaalde fysische grootheden beschrijft. Volgens de mathematische fysica is iedere fysische relatie tussen grootheden ook een mathematische relatie. De natuur heeft volgens deze opvatting geen eigen wil. Natuurkrachten zijn uit de mathematische fysica verbannen als zijnde onwetenschappelijke emoties. Het krachtbegrip is te “antropomorf” omdat het een relativering inhoudt van de idee dat de natuur op zuiver kwantitatieve wijze, dat is: in de vorm der uitwendigheid, begrepen kan worden.

We kennen niet de natuur ‘in zich’, maar de natuur zoals we deze als waarnemend, metend wezen doen verschijnen, de natuur relatief aan onze systematische waarneming. Kant vroeg wat die “werkelijkheid voor ons” is en stelde dat we de werkelijkheid “an sich” niet kunnen kennen.

Inmiddels weten we waartoe de analytische methode in de mathematische natuurwetenschap, die de materie in als maar kleinere deeltjes opdeelt, geleid heeft. De natuur toont zich nu eens als deeltje dan als golf. De materie lost op in statistische golfvergelijkingen. Hoe verhouden deel en geheel zich tot elkaar? De wetenschap kan niets zeggen over het gedrag van een deeltje, dat gemathematiseerd wordt als een positie in een meer-dimensionale toestandsruimte. Vanwege de onzekerheid over hun positie zijn de sub-atomaire deeltjes ‘verdeeld over de ruimte’. Maar wat is het eigenlijk wat verdeeld is? En over welke ‘ruimte’ gaat het hier? We moeten het doen met waarschijnlijkheden: er is een kansverdeling. Doet het er nog toe wat de theoretische noties van de kwantummechanica in de realiteit voorstellen? Het debat tussen Einstein en Bohr werd op typisch modern pragmatische wijze beslecht. Wat telt is de herhaalbaarheid van experimenten, een voorwaarde voor het gebruik van de experimentele resultaten in nieuwe technologie, want een herhaalbaar experiment levert een technische mogelijkheid. De kwantummechanica werkt. En daar gaat het om. De neveneffecten van het gebruik van deze kennis op ‘de natuur’ zijn voor toekomstige generaties.

Er is heel wat water door de Nijl gegaan voordat we, niet meer gebonden aan de wereld waarin wij van nature geworpen zijn, als soort van Goden, onze eigen (virtuele) werelden konden creëren en uitprogrammeren. Daarbij gebruik makend van een door ons zelf bedachte uitwendige correspondentie tussen de gemathematiseerde denkprocessen en de fysische toestanden van een natuurproces in informatieverwerkende machines. Machines die we vervolgens als ‘kunstmatig intelligente’ wezens weer een ‘eigen werking’ toedichten. Maar nu een die door onze kennis van de natuur bemiddeld is. We hebben zo ons de natuur toegeeigend. En omgekeerd heeft de natuur zich de menselijke intelligentie toegeëigend. We zeggen dat de robot vanzelf, autonoom, volgens eigen wetten, werkt. Maar werkt deze ook uit zichzelf? Zoals de koe “uit zichzelf” stopt met grazen en niet van zelf.

Terug naar de ruimte. We maken onderscheid tussen de ruimte zoals we die waarnemen en de ruimte van de wiskunde. Kijken we in de verte dan zien we de rails naar elkaar toelopen. Hoe kan de trein daar nog tussen? Omdat de trein daar in de verte ook steeds kleiner wordt. En de mensen in de trein? Die worden ook steeds kleiner. Merken ze daar dan niets van? Nee, want alles wordt kleiner. Ze blijven voor hun zelf even groot. We weten dat dit niet zo is; dat het maar schijn is. We weten dat de sporen parallel lopen. We weten dat de hoeken van de kamer nagenoeg recht zijn, ook al lijken ze vaak kleiner of juist groter.

Wat bewoog Euclides toen hij in de derde eeuw voor Christus zijn meetkunde schreef? In zijn Elementen noemt hij een punt “iets dat geen delen heeft”. Wat beoogde hij daarmee? Is dit een definitie van een begrip of de beschrijving van iets werkelijk bestaands? Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. Op analoge wijze definieert Euclides de lijn: wat lengte heeft, maar geen breedte. Wat een punt en een lijn zijn dat wordt door Euclides vastgelegd door de relaties die er tussen punten en lijnen bestaan.

In zijn essay “Constanten van het wiskundig denken” deelt Evert W. Beth de ontwikkeling van het wiskundige denken in een viertal fasen in. De empirische wiskunde: hierin zijn de wiskundige inzichten gebonden aan concrete dagelijkse verrichtingen zoals tellen, meten, wegen en rekenen. De naïeve wiskunde: vertegenwoordigd door Euclides’ elementen heeft een aanschouwelijk en elementair karakter. De begripsvorming is nog weinig exact, de bewijsvoering daardoor niet zeer streng. “De banden met de ervaringswereld zijn echter verbroken.” (Beth p. 147) Er is een scheiding van zuivere en toegepast wiskunde. In de fase van de kritische wiskunde ontstond meer belangstelling voor de zuivere wiskunde en de fundering van de infinitesimaalrekening. Het bestaan van een limiet van een wiskundige reeks ligt niet in de natuur. De hedendaagse wiskunde is abstract. Het resultaat van unificatie van de verschillende gebieden van de wiskunde. Dit begon met de ontwikkeling van de analytische meetkunde. In de abstracte wiskunde, zoals de categorie-theorie, zijn de banden met specifieke toepassingsgebieden doorbroken. Daarmee drong zich de vraag op naar de grondslag van de wiskunde. Hoe kunnen exactheid van de wiskunde en haar toepasbaarheid samen gaan?

De wiskunde streeft ernaar kennis uit te drukken in de vorm van een axiomatische theorie. Zo’n theorie bevat een beperkt aantal definities van basisbegrippen en een aantal axiomas of postulaten. Een axioma is de uitdrukking van een onbewijsbaar (intuitief) inzicht dat ten grondslag ligt aan de theorie.

Euclides ‘Elementen’ bevat een eerste poging tot een axiomatische meetkunde, een theorie van de ruimte. Basisbegrippen zijn punt, gedefinieerd als ‘wat geen deel heeft´´´’ , lijn: ‘een lengte die geen breedte heeft’ en ‘rechte lijn’: dat is ‘een lijn die gelijk ligt met de punten er op’. Twee rechte lijnen heten parallel wanneer ze ‘in het zelfde platte vlak gelegen naar weerszijden onbeperkt verlengd elkaar niet ontmoeten’.

Euclides meetkundige theorie kent vijf postulaten of axiomas.

Het eerste postulaat luidt: Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan precies één rechte lijn getrokken worden.

De formulering ‘een lijn trekken’ suggereert wellicht dat de rechte lijn resultaat is van deze aktiviteit en dat het trekken van twee rechte lijnen twee dezelfde punten twee verschillende lijnen oplevert. Die lijnen zouden dan samen moeten vallen. Maar dan zijn het dezelfde lijnen. Een lijn moet niet verward worden met de tekening of voorstelling van een lijn.

Het tweede postulaat: Elk lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte lijn. (Een lijnstuk wordt door twee punten begrensd)

Het derde postulaat: Bij elk punt en elk lijnstuk bestaat een cirkel met dat punt als middelpunt en dat lijnstuk als straal.

Het vierde postulaat: Alle rechte hoeken zijn gelijk.

Je vraagt je af waarom dit gesteld moet worden. Kennelijk zijn er volgens Euclides verschillende rechte hoeken. Een vierkant heeft vier rechte hoeken. Die hoeken zijn verschillend, maar toch gelijk. Waarin zou het verschil tussen twee hoeken die recht zijn moeten bestaan? In hun positie als onderdeel van een figuur. En als we er over redeneren, in de naam (identifier) die we gebruiken om er naar te verwijzen. Het vierkant met hoeken A, B, C en D.

Het vijfde postulaat is wat ingewikkelder. Het luidt in zijn oorspronkelijke vorm: Wanneer een rechte lijn twee andere rechte lijnen snijdt, en de binnenhoeken aan dezelfde kant van de eerste lijn zijn samen kleiner dan de som van twee rechte hoeken, dan zullen de twee lijnen elkaar snijden aan die kant van de eerste lijn, waaraan de hoeken liggen die opgeteld kleiner zijn dan twee rechte hoeken.

De eerste eis die aan een axiomatische theorie gesteld wordt is dat deze consistent is. Het mag niet zo zijn dat zowel een bewering A als ook de ontkenning ervan uit de axiomas bewezen kunnen worden. Een theorie die niet consistent is kan nergens over gaan. Zo’n theorie ‘heeft geen model’. Bij voorkeur is een theorie volledig, dat wil zeggen dat alles wat waar is in een bepaald model ook bewezen kan worden uit de axioma’s. De onvolledigheidsstellingen van Kurt Gödel bewijzen (wiskundig!) dat er geen volledige en consistente axiomatiseerbare theorie bestaat die als rotsvaste bodem kan dienen voor het funderen van de wiskunde. Dat een theorie van enig belang, zoals de meetkunde of de rekenkunde, consistent is moeten we dus geloven totdat het tegendeel blijkt doordat we op een tegenspraak stuiten.

Een gewenste eigenschap van een axioma-stelsel is dat elk van de axiomas onafhankelijk is van de overige axiomas.

Het vijfde postulaat kent een aantal alternatieve formuleringen. De eerste hebben we te danken aan Proklos, commentator van Euclides levend in de vijfde eeuw na Christus. Van iedere driehoek is de hoekensom gelijk aan de som van twee rechte hoeken (‘een gestrekte hoek’). De tweede: is wanneer twee lijnen door een derde worden gesneden en de binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn zijn samen een gestrekte hoek dan lopen de twee eerstgenoemde lijnen evenwijdig. Dit is het befaamde parallellenpostulaat van Euclides.

De ruimte van de meetkunde zit vast aan de voorstellingsruimte. Een punt is een punt op papier en lijn is een getrokken lijn tussen twee punten. ook al weten we dat de getekende driehoek geen bewijskracht heeft. Tussen twee punten kunnen we precies één rechte lijn trekken, stelt Euclides. Waarom zouden we geen twee rechte lijnen kunnen trekken tussen twee punten? Of oneindig veel? Omdat het niet gaat over lijnen zoals we die op papier of in het zand tekenen. Dat is slechts een voorstelling van dat waar het in de meetkunde om gaat. In de wiskunde kunnen we het alleen via de tekens en de voorstellingen over de objecten hebben waar het over gaat.

Als het besef optreedt dat het in de meetkunde niet om de voorstelling gaat maar om de relaties tussen de objecten, dan ontstaat er ruimte tussen punt en lijn en datgene waar ze betrekking op hebben. De punt is een locatie vastgelegd door coördinaten ten opzicht van een gekozen assenstelsel, een lijn een relatie tussen coördinaten uitgedrukt in een algebraïsche vergelijking. De aanzet tot de analytische meetkunde werd gegeven door Descartes die dankbaar gebruik maakte van de techniek om de onbekende gootheid in een geometrisch probleem, zoals een lengte (‘variabelen’ of ‘parameters’) door een letter (x, y, z) voor te stellen. De lineaire vergelijking 2 x + 3 y = 6 is een rechte. We zijn dan al in de 17de eeuw.

Vanuit deze kennis terugkijkend naar Euclides definities en postulaten vragen we ons af of daarin ook al niet een ander aspect van het begrip punt dan het niet uit delen bestaan blijkt. Is het Euclidische punt ook al niet een locatie in de ruimte en een rechte lijn de kortste verbinding tussen twee locaties?

Waaraan refereren we met een ‘punt’ en met een ‘lijn’? Door de termen van een theorie en de ‘dingen’ waar ze op betrekking hebben uit elkaar te denken ontstaat er ruimte voor een andere ‘interpretatie’ van de termen en daarmee van een andere theorie dan we gewoon zijn. Dat is precies wat Riemann deed met de termen “punt” en “lijn” van de meetkunde.

Zoals gezegd is een formulering van het parallellenpostulaat: Door een punt buiten een lijn gaat precies één lijn die de oorspronkelijke lijn niet snijdt. Riemann kwam tot een interpretatie van punt en lijn zodanig dat geldt: Elke twee lijnen snijden elkaar in een punt. Die interpretatie gaat zo:

“lijn” wordt: een grote cirkel op een bol.

“punt”: een paar diametraal tegenover elkaar liggende punten op een bol.

“hoek”: de hoek tussen de vlakken waarin de benen (“lijnen”: grote cirkels) liggen.

“cirkel: een paar diametrale kleine cirkels op de bol.

“lijnstuk”: het paar kortste grote-cirkelsegmenten tussen twee “punten”.

Met deze interpretatie gelden de eerste vier postulaten van Euclides. Zo gaat (1ste postulaat) door elk tweetal “punten” precies een “lijn”. Maar in plaats van het vijfde postulaat geldt nu het alternatief: Elke twee “lijnen” snijden elkaar in een “punt”.

Laat T1 de Euclidische en T2 de niet-Euclidische theorie (van Riemann) zijn.

Laat I1 de ‘normale’ interpretatie zijn in het platte vlak en I2 de interpretatie van “punt” en “lijn” zoals hierboven gegeven in termen van de bol.

De bol en het platte vlak zijn delen van de 3 dimensionale ruimte beschreven door een Euclidische stereometrie, zeg T3. De interpretaties I1 van T1 in het platte vlak en I2 van T2 in de bol kunnen beschreven worden in T3. zodat bij een ware interpretatie I2 de axiomas van de geinterpreteerde theorie T2 stellingen van T3 worden. De theorie T2 wordt zo door I2 binnen T3 geinterpreteerd. D.w.z dat een niet-Euclidische theorie T2 binnen een Euclidische T3 wordt geinterpreteerd. Stel nu dat T2 een tegenspraak bevat. Dan zou deze via I2 om te zetten zijn in een tegenspraak in T3. Dus, als de (Riemannse) theorie T2 tegenstrijdig (inconsistent) zou zijn zou de Euclidische dat ook zijn. Daarmee is bewezen dat als een Euclidische meetkunde mogelijk is de niet-Euclidische ook mogelijk is.

Dit bewijs is van Henri Poincaré.

Voor de wiskundige zijn de stellingen van Pythagoras, van Pappos, van Tales waar. De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt. Deze stellingen zijn bewijsbaar in de Euclidische meetkunde. Maar zijn ze ook waar in onze wereld? Is dat een zinnige vraag? Gaan ze wel over onze wereld? Wat bedoelen we met ‘onze wereld’? Is de fysisische ruimte Euclidisch?

Riemann bracht de verschillende geometrieën onder in een algemeen schema door middel van het begrip ‘kromming van de ruimte’. Fysici spreken van de gekromde ruimte die door een niet-Euclidische meetkunde beschreven wordt.

Gauss was kennelijk van mening dat we door een meting van driehoeken in onze wereld kunnen verifiëren of onze fysische ruimte voldoet aan de axioma’s van de Euclidische meetkunde. Hij berekende de hoekensom van de driehoek tussen drie bergtoppen. Zijn conclusie was dat die niet significant afweek van 180 graden. Dat was in het begin van de 19de eeuw. Was de driehoek misschien nog te klein? Lobatsjewsi was van mening dat astronomische metingen zouden aantonen dat de ruimte niet-Euclidisch is.

Toen in 2018 de definitieve gegevens van de Europese Planck missie werden gepubliceerd, de ruimteverkenner die de kosmische microgolf-achtergrondstraling had bestudeerd, waren de meeste sterrenkundigen ervan overtuigd dat de ruimte in het heelal vlak is. Dat betekende dat de ruimte ‘Euclidisch’ is. Dit wordt geconcludeerd uit metingen van de dichtheid Ω0 (omega nul) van de materie in het heelal. Deze dichtheid bepaalt de kromming van de ruimte. Er zijn grofweg drie vormen. Zie figuur (bron: Wikipedia)

Mogelijke vormen van het heelal: sferisch (bolvormig, gesloten), hyperbolisch (open), vlak

Kant was van mening dat de meetkundige axiomas synthetisch a priori zijn. Ze zijn niet empirisch, niet analytisch.

Het volgende citaat uit de Kritik der Reinen Vernunft (p. 86, voetnoot 6).

“Auf diese Notwendigkeit a priori gründet sich die apodiktische Gewissheit aller geometrischen Grundsätze, und die Möglichkeit ihrer Konstruktionen a priori.”

Wanneer de voorstelling van de ruimte een a posteriori verworven begrip was, dat uit de algemene uiterlijke ervaring gemaakt werd, dan zouden de eerste axiomas van de geometrie niets anders zijn dan waarnemingen.

“Sie hätten also alle Zufälligheit der Wahrnehmung, und es wäre eben nicht notwendig, dass zwischen zwei Punkten nur eine gerade Linie sei, sondern die Erfahrung würde es so jederzeit lehren.”

Dat tussen twee punten slechts één rechte lijn getrokken kan worden is een onderscheidend kenmerk van een Euclidische ruimte. Kant lijkt hier dus van mening dat het a priori karakter van de ruimte dat ten grondslag ligt aan de verschijnselen direct tot de conclusie moet leiden dat de hem bekende axiomas van de meetkunde een noodzakelijk karakter hebben. En wel omdat deze niet afhankelijk zijn van de waarneming.

Maar sluit dit uit dat er ook andere axiomas, andere meetkundes, mogelijk zijn?

Zowel Gauss als Lobatsjewsky stonden kritische tegenover de opvatting van Kant over het a priori karakter van de meetkunde. Henri Poincaré deelt deze kritiek, maar volgens hem betekent dat niet, zoals Gauss en Lobatsjewsky dachten, dat die axiomas uitdrukking zijn van empirische kennis van onze fysische waarnemingsruimte.

“Kan men volhouden dat sommige verschijnselen die mogelijk zijn in de euclidische ruimte, in de niet-euclidische ruimte onmogelijk zouden zijn, zodat de ervaring als ze die verschijnselen constateerde, regelrecht de niet-euclidische hypothese zou tegenspreken?” Volgens Poincaré kan deze vraag helemaal niet gesteld worden. Hij vergelijkt het met de vraag of we door ervaring vast kunnen stellen of we een lengte in meters of in voet moeten meten. (Poincaré, p. 102). Volgens Poincaré is het puur conventioneel welke meetkunde we gebruiken.

Waarnemingen leren ons betrekkingen tussen lichamen. Aldus Kant. Geen waarneming kan betrekking hebben op de betrekking tussen lichamen en de ruimte of tussen delen van de ruimte. De huidige fysica leert echter dat er wel degelijk een betrekking bestaat tussen lichamen en de ruimte: de dichtheid van de materie bepaalt de kromming van de ruimte. Ook zijn ruimte en tijd niet meer altijd als onafhankelijke dimensies te beschouwen: snelheden zijn relatief ten op zichte van de waarnemer.

Wat we ons voorstellen bij een punt is een ding, een vlekje op papier. Hoe weten we dat een ding zich op een bepaalde plek bevindt en dat een ander ding even later dezelfde plek inneemt ? Waarnaar verwijst die ‘zelfde plek’?

Wat we onder een punt verstaan is volgens Poincaré gebaseerd op onze tastzin en onze innerlijke gewaarwording van de spierbewegingen die we voltrekken wanneer we een punt in de ruimte aanwijzen. Aanwijzen is een vorm van meten. “De testzin kan niet op afstand werken.” (p. 112) Ik weet uit ervaring dat de wijsvinger eerst dit, dan dat aanraakt en dat die twee op dezelfde plaats zijn.

Volgens de euclidische meetkunde kunnen twee gelijkvormige driehoeken verschillende groottes hebben. In de meetkunde van Lobatsjewsky kan dat niet. De posities van punten in de ruimte onderling wordt beschreven door de meetkunde. Deze vormen een figuur. Een lijn in een starre figuur is recht wanneer bij draaiing om die lijn alle punten ervan op hun plaats blijven, terwijl alle andere punten verplaatst worden.

Er zijn vele meetkunden en welke meetkunde we gebruiken is volgens Poincaré een kwestie van conventie. Het gaat erom welke het handigst is. Wat het handigst is, dat is echter niet volstrekt arbitrair. Dat moet toch ook weer door de werkelijkheid zoals we die waarnemen bepaald worden. We lijken weer terug te zijn bij de vraag in hoeverre de werkelijkheid zelf aangelegd is op een bepaalde geometrie. Voor Poincaré moeten we onder werkelijkheid hier verstaan de interaktie van de menselijke geest die zich door natuurlijke selectie heeft aangepast aan de omstandigheden in de buitenwereld met de wereld. Door evolutie heeft de mens de nuttigste meetkunde voor de soort aanvaard. “De meetkunde is niet waar, ze is nuttig.”

Toen Immanuel Kant zijn gedachten opschreef over de wiskunde ging de meetkunde als vanzelfsprekend over de fysische ruimte. Volgens Kant hebben we immers geen directe toegang tot de werkelijkheid, zoals de metafysici dachten. Volgens Kant hebben wij alleen kennis van de “fenomenale” wereld van de verschijnselen. De “noumenale” wereld ‘achter’ de verschijnselen is voor ons niet kenbaar.

In zijn essay Kant en de niet-Euclidische meetkunde stelt de Amsterdamse filosoof Emanuel Rutten:

“De filosofische positie die Kant ten aanzien van de wiskunde ontwikkelde in zijn kritische periode laat zich beknopt omschrijven als het zowel a priori als synthetisch zijn van wiskundige oordelen.” De axioma’s van de Euclidische meetkunde werden aan het begin van de negentiende eeuw door zowel wetenschappers als filosofen gezien als noodzakelijke zelf-evidente waarheden a priori, onafhankelijk van elke zintuiglijke ervaring.

In deze periode was het bestaan of zelfs maar de mogelijkheid van niet-Euclidische meetkunden volstrekt ondenkbaar. Maar de waarheid van deze axioma’s was niet zuiver logisch. Vandaar dat Kant ze als synthetische oordelen beschouwde.

Volgens Kant kan de ruimte geen voorwerp zijn van uiterlijke gewaarwordingen en dus kan het geen empirische voorstelling zijn. De ruimte is een fundamenteel begrip dat de uiterlijke gewaarwording mogelijk maakt. De idee van het bestaan van een absolute ruimte, die tegenover het kennend subject staat, waarvoor Newton pleitte, werd door Kant afgewezen omdat de vraag of deze begrensd of onbegrensd is zowel bevestigd als ontkend kan worden en wel met even goede argumenten.

“Niet alléén Kant, maar al zijn tijdgenoten waren overtuigd van het feit dat er maar één meetkunde bestond en kon bestaan. Dit was de Euclidische meetkunde.” schrijft Rutten.

Dit is een explicitering van een ‘overtuiging’ die bij Kant en zijn tijdgenoten slechts impliciet was. Kant was zich vermoedelijk niet bewust van het feit dat hij geloofde dat de meetkunde Euclidisch is. ‘Vermoedelijk’: de niet-Euclidische meetkunde hing al wel een tijdje in de lucht. Was Kant op de hoogte van het werk van Saccheri en de twijfels van anderen zoals Gauss in de noodzakelijkheid van het vijfde postulaat van Euclides?

Niettemin is de vraag van Rutten interessant: past de mogelijkheid van alternatieve meetkunden in de Kantiaanse opvatting over het synthetisch a priori zijn van de kennis van de ruimte?

We moeten bij de vraag naar ‘de mogelijkheid van alternatieve meetkunden’ onderscheid maken tussen de mogelijkheid van alternatieve consistente wiskundige theorieën enerzijds en de mogelijkheid van alternatieve ‘fysische ruimtes‘ anderzijds.

Is het zo dat de ontdekking van de niet-Euclidiche meetkundes door onder andere Bolyai, Lobatsjewski en Riemann feitelijk het einde betekent van Kants filosofie van de meetkunde? Dit is de vraag die Rutten in zijn essay stelt. Zijn conclusie is kort gezegd: het hangt af van hoe je Kant interpreteert. Rutten bespreekt twee mogelijke interpretaties van het synthetisch a priori karakter van meetkundige en in het algemeen van wiskundige oordelen.

De cognitief-gedomineerde en de logisch-gedomineerde interpretatie. In de eerste speelt de voorstelling een rol, bij de tweede niet. Voor wie de eerste interpretatie aanhangt moet volgens Rutten concluderen dat Kants theorie van de wiskunde onhoudbaar is geworden door het bestaan van niet-Euclidische meetkundes. Dat geldt niet voor de logische interpretatie.

Rutten over Kants synthetisch a priori

Er bestaat volgens Rutten “een coherente interpretatie van Kant’s filosofie van de wiskunde die laat zien dat ook ná de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde zinvol gesproken kan worden over het ‘a priori synthetisch’ zijn van de wiskunde. Aan de andere kant is het zeker niet zo dat genoemde ontwikkeling geheel zonder gevolgen kan blijven voor Kant’s opvattingen over de aard van de wiskunde.”

De cognitief-gedomineerde interpretatie gaat uit van de gedachte dat de ruimtelijke structuur van de fenomenale wereld noodzakelijk Euclidisch is. Volgens de ‘cognitief-gedomineerde interpretatie’ van Kants synthetisch a priori van de meetkunde verruimt het oordeel dat de som van de driehoeken van een driehoek 180º is onze kennis van de ervaren wereld en moet dus een synthetisch oordeel zijn. Dergelijke oordelen kunnen niet het resultaat zijn van uitsluitend een conceptuele begripsanalyse volgens algemeen logische principes. Meetkundige oordelen zijn derhalve noodzakelijk Euclidisch en tegelijkertijd ware uitspraken over de fysieke ruimte van de fenomenale wereld.

Meetkundige oordelen zijn in de cognitief-gedomineerde interpretatie ook a priori omdat de herkomst het kenvermogen van het kennend subject betreft en niet de empirische zintuiglijkheid. Volgens deze interpretatie zouden meetkundige oordelen ‘los van iedere empirische ervaring’ door het kennend subject gekend kunnen worden.

In de logisch-gedomineerde interpretatie zijn meetkundige oordelen a priori vanwege het feit dat de vereiste aanschouwelijkheid (het onmiddellijk betrokken zijn op een singulier object) in het geval van meetkunde komt van de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Voor de rechtvaardiging van deze oordelen is dus geen beroep op de zintuiglijke ervaring nodig. Zoals bekend verbindt Kant ‘a priori’ steeds aan noodzakelijkheid en algemeen geldigheid. Wiskundige oordelen zijn onder de logisch-gedomineerde interpretatie inderdaad noodzakelijk en algemeen geldig. We dienen deze noodzakelijkheid dan echter niet langer te betrekken op wat er in de fenomenale wereld het geval moet zijn (zoals gebeurd in de eerste interpretatie) maar juist op de apodictische geldigheid van het oordeel binnen de context van een bepaald meetkundig stelsel.

In een voetnoot: De cognitief-gedomineerde interpretatie veronderstelt feitelijk dat alle meetkundige oordelen categorisch zijn terwijl de logisch-gedomineerde interpretatie juist tot de conclusie moet leiden dat meetkundige oordelen hypothetisch zijn (naast a priori en synthetisch).

De conclusie van Rutten

“Het ‘kritiekloos’ verwerpen van Kant’s filosofie van de wiskunde of zelfs (grote delen van) Kant’s kritische transcendentaal filosofie op basis van het enkele feit van het bestaan van alternatieve (niet-euclidische) meetkundige stelsels dient dan ook als voorbarig te worden gekwalificeerd.”

Kants filosofie van het ‘synthetisch a priori’ karakter van de wiskunde (en in het bijzonder van de meetkunde) is volgens Rutten voor meerdere uitleg vatbaar.

Het komt er op neer dat volgens de cognitief-gedomineerde interpretatie het synthetisch a priori karakter van de wiskunde de inhoudelijke bepaaldheid van de structuur van de ruimte betreft terwijl in de logisch-gedomineerde interpretatie de inhoudelijke bepaaldheid als louter hypothetisch wordt beschouwd. Gegeven een theorie van de ruimte kunnen we in dat geval zonder verdere verwijzingen naar inhoudelijke argumenten logische afleidingen voltrekken die tot noodzakelijke en algemene conclusies leiden. Die inhoudelijke argumenten zijn als het ware al in de hypothetisch aangenomen axioma’s van de theorie opgenomen.

De waarheid van de meetkunde

Waaraan ontleent Euclides theorie van de meetkunde zijn waarheidsgehalte? Als theorie die iets zegt over aan de zintuiglijke waarneming ontleende objecten ontleent het deze aan de wereld van de objecten. Als wiskundige theorie waarin ons begrip van de ruimte wordt uitgedrukt berust de waarheid op de consistentie van de theorie. Ze mag geen tegenspraken bevatten.

Maar kunnen we die twee wel zo tegenover elkaar plaatsen? Een theorie, hoe logisch ook, moet toch ergens over gaan? Ook al gaat deze over zichzelf dan toch altijd nog over zich als over iets anders?

Redelijkheid en feitelijkheid worden bij Kant tegenover of naast elkaar geplaatst en als aparte factoren van kennis en werkelijkheid gezien. Rutten volgt Kant in deze.

Het is typisch mathematisch om redelijkheid en feitelijkheid van elkaar te scheiden. In de formele logica worden algemene regels voor het redeneren opgesteld die worden toegepast op concrete gevallen. Zoals een functie toegepast wordt op een argument. Het resulterende ‘begrip’ valt dan samen met de uitdrukking in een oordeelszin, waarin een predikaat wordt uitgezegd van een subject.

Pogingen de wiskunde op de logica te baseren (zie Freges logicisme) zijn gemotiveerd door de gedachte dat er in de zuivere wiskunde logisch geredeneerd moet worden en dat de wiskundige dingen zuivere gedachtedingen zijn. De idee was dat dit voldoende is als grondslag voor wiskunde. De wiskunde is echter de wetenschap die berust op het principe van uitwendigheid, het stelbare, dat we alleen kunnen kennen door iets te stellen.

Een logische wet zegt dat iets niet tegelijk aan A en aan niet-A kan voldoen.

Dat iets niet zowel A als niet A kan zijn dat is niet werkelijk zo. Dat is reeds een inhoudelijke bepaaldheid. Waarom zou dit ‘logisch’ zijn? Dat is het helemaal niet. Dat iets A is of niet A, dat is het resultaat van een stellen, een vaststellen. Het begin van wiskunde. Zonder het vast stellen, het in definities vastleggen van begrippen komt de wiskundige echter niet op gang. Daarom moet ze de dingen voorstellen. Het pure feit van de verandering in de werkelijkheid toont aan dat iets zowel A als niet A kan zijn. De wiskunde kan de verandering slechts zien als tegenstelling, van een variabele grootheid en een waarde die er aan wordt toegekend.

Een rechte lijn valt wel en niet samen met de verzameling punten die erop liggen. Wanneer we mathematisch beide tegenover elkaar stellen dan krijgen we een paradox.

We verhouden ons op verschillende wijzen tot de werkelijkheid.

De wiskunde heeft betrekking op onze werkelijkheid als meetbaar en telbaar, waarbij het laatste een specifieke vorm is van het eerste: het tellen is een vorm van meten en het eerste een vorm van het tweede: het tellen is het meten van het aantal diskrete eenheden van iets. De meetkunde houdt zich bezig met de wereld als meetbaar. Oorspronkelijk aansluitend bij de directe ervaringsruimte. In de loop van de geschiedenis heeft deze zich door een vorm van zelf-reflectie ontwikkeld tot de abstracte wetenschap van meetbaarheid en berekenbaarheid. Een ruimte is niet meer noodzakelijk driedimensionaal en Euclidisch.

Zoals kenbaarheid een relatie zegt tot een kennend subject en zintuiglijk waarneembaar een zintuiglijk waarnemend subject veronderstelt, zeggen telbaarheid en meetbaarheid een relatie tot een tellend of metend subject.

De werkelijkheid als zintuiglijk waarneembaar of als structureerbaar sluit een verhouding tot ons als subject in. Deze werkelijkheid is dus niet iets puur objectiefs dat tegenover ons staat.

Het wiskundig denken sluit aan bij een aktieve praktische doelmatige omgang met de werkelijkheid. Het telbare en meetbare toont zich door feitelijk te tellen en te meten. Alleen door te doen leren we wat die telbaarheid en meetbaarheid van de werkelijkheid inhoudt. De wiskunde is creatief, de werkelijkheid schrijft niet eenduidig voor wat en hoe er gemeten moet worden.

Is de bewering dat 5 plus 7 gelijk is aan 12 synthetisch a priori?

Is de som van 5 en 7 gelijk aan 12 omdat 5 appels en 7 appels samen twaalf appels zijn? Of is het andersom: zijn 5 appels en 7 appels samen 12 appels omdat 5 + 7 gelijk is aan 12? Is 2 keer 3 gelijk aan 6 omdat 2 rijen van elk 3 tegels 6 tegels zijn, of is het zo dat 2 rijen van elk 3 tegels samen 6 tegels zijn omdat 2 keer 3 gelijk is aan 6 ?

Deze vragen brengen ons in verlegenheid omdat het een relatie suggereert die er niet is. Is een appel 1 appel omdat wij het als 1 appel zien of omdat het 1 appel is? We kunnen de appel ook als twee halve appels zien. Waar we aan vasthouden bij het tellen van de appels is dat we iedere appel als eenheid zien onderscheiden van de andere appels en toch ook appel zoals de andere appels. We houden ons aan het gekozen opzicht dat de gebruikte maateenheid voor het tellen bepaalt. We hadden ook halve appels of fruitstukken kunnen tellen. De zintuiglijk aanwezige aanwijsbare appels worden tekens van het tellen, wanneer we de apples tellen om daarmee de getallen som te maken. Het kind gebruikt de vingers als tekens om te tellen. Het getal is het getelde aantal eenheden. De steentjes van de abacus zijn de tekens voor het getal.

Typisch voor de wiskundige denkhouding is dat het een stricte scheiding maakt tussen het denkende subject en het object van het denken. De wiskundige objecten trekken zich niets aan van de bepalingen die het subject er aan geeft. Het object staat volstrekt onverschillig tegenover het subject. Dat wat volstrekt onverschillig staat tegenover zijn onderscheidingen en bepalingen is wat we zuivere uitgebreidheid noemen of ook de zuivere kwantiteit. De zuivere uitgebreidheid bestaat uit delen die niets met elkaar te maken hebben, die volstrekt buiten elkaar liggen. De relatie die het deel met het geheel heeft is volstrekt uitwendig. Zoals de relatie tussen de elementen van een verzameling in de wiskunde volstrekt uitwendig, van buiten af gesteld, is. De “uitwendigheid” is de verschijningsvorm waarin we vanuit de mathematische denkhouding de werklijkheid ontmoeten. Deze verschijningsvorm is de vorm van het aanwijsbaar zintuiglijk aanwezig zijn van iets. Wiskunde gaat over de zintuiglijk aanwezige werkelijkheid maar niet als zintuigelijk, maar als louter aanwijsbare aanwezigheid: dit, dit en dat hier en nu. Ruimte en tijd zijn de dimensies van deze aanwezigheid van het zintuiglijk waarneembare. Zo vooronderstelt de wiskunde onze zelf-ervaring als lichamelijk in de wereld aanwezig zijn. De idee van een objectieve werkelijkheid buiten ons denken is ontleent aan deze zintuiglijke waargenomen afstand tussen ons lichaam en dat wat daar buiten is en aangeraakt wordt: het andere van ons zelf is primair het tastbaar lichamelijk andere.

Bij Descartes zijn subject en object twee gescheiden werkelijkheden, ‘substanties’: res cogitans (het denken) en res extensa (de uitgebreidheid). Het subject wordt in de reflectie die Descartes voltrekt op de willekeur van de mening, volgens welke wat geschreven staat waar is, tot object, een zelfstandige entiteit. De overeenkomst tussen de subjectieve gedachte en de objectieve inhoud moet van buiten af komen. Deze bestaat in God, die tevens de oorzaak (causa sui) is van dit onderscheid. God staat voor Descartes garant voor de waarheid, de overeenkomst van subject en inhoud van denken. Die waarheid is de waarheid van het wiskundig inzicht: inzicht dat op basis van heldere, zuiver van elkaar onderscheiden eenzinnige begrippen tot stand is gekomen. God is een metafysisch wiskundige of een mathematisch metafysicus. En dat is niet alleen bij Descartes het geval, maar ook bij Spinoza, Leibniz en bij Hume. Zij denken metafysisch. Dat wil zeggen dat ze pogen te begrijpen hoe de werkelijkheid voor ons is vanuit een denkbeeld over hoe de werkelijheid in zich is.

Maar wat is de grond van dit denkbeeld? Volgens Kant is dat pure speculatie. De mens kan dat helemaal niet weten. Bij Kant daalt God af van het metafysische naar het menselijk subject, bij Kant de oorsprong van het ‘transcendentale inzicht’, het inzicht dat de ervaring te boven gaat.

Kant vraagt naar de mogelijkheidsvoorwaarden van onze kennis. Over welke vermogens beschikt de mens om de werkelijkheid te kennen?

Bij Kant is weliswaar de werkelijkheid zoals we die ervaren de grondslag van ons leven en kennen, maar deze werkelijkheid is alleen voor ons toegankelijk als zijnde voor ons, als verschijning. Voor Kant is dus de vraag hoe redelijkheid, denken, en feitelijkheid in onze ervaring op elkaar betrokken zijn.

Als we het over een werkelijkheid ‘an sich’ hebben (die voor ons onkenbaar zou zijn) dan is dat wel een werkelijkheid ‘an sich’ voor ons.

Kant denkt nog steeds in de Cartesiaanse traditie van een onderscheid tussen redelijkheid en feitelijkheid, tussen denken en wereld. Volgens Hegel is de redelijkheid dáárom onderscheiden van de feitelijkheid omdat deze verhouding tot de feitelijkheid is. Het zijnde is verhouding zijn. Wij zijn ons lichaam, onze natuur, ons milieu, onze maatschappelijke en historische bepaaldheid op de wijze van ons er toe te verhouden.

Wat is metafysica bij Kant? Bij Aristoteles is metafysica de wetenschap van het zijnde als zijnde. Dat zijnde is primair substantie of als eigenschap betrokken op substantie. In de moderne natuurwetenschap is het substantie-begrip verdwenen. Daarin gaat het over materie, energie en krachten, en meer en meer over hoe de dingen ingebed zijn in structuren: de in- en uitwerking van de dingen op de omgeving. Kant leefde in een overgangstijd, de tijd van de successen van de Newtonse mechanica. Een helder onderscheid tussen het mathematische, het fysische en het metafysisiche was nog niet gemaakt.

De filosoof probeert het denken van zijn tijd uit te drukken, maar is zelf daarbij aan die tijd gebonden. Waarom heeft het tot de 19de eeuw moeten duren voordat er niet-Euclidische meetkundes ontstonden? Het is een metabletische vraag, waarvan het antwoord ligt in het verhaal dat een wereldbeschouwing en een mensbeeld schetst.

Ruimte en tijd

De aanschouwingsvormen ruimte en tijd worden door Kant beschouwd als structurele en constitutieve voorwaarden van onze zintuiglijke gewaarwording.

“In der Erscheinung nenne ich das, was der Empfindung korrespondiert, die Materie derselben, dasjenige aber welches macht, dass der Mannigfaltige der Erscheinung in gewissen Verhältnisse geordnet werden kann, nenne ich die Form der Erscheinung. Da das worin sich die Empfindungen allein ordnen, und in geistige Form gestellet werden können, nich selbst wiederum Empfindung sein kann, so ist uns zwar die Materie aller Erscheinung nur a posteriori gegeben, die Form derselben aber muss zu ihnen insegesamt im Gemüte, a priori bereits liegen, und daher abgesondert von aller Empfindungen können betrachtet werden”. (Kant, Kritik der Reinen Vernunft, Die Transzendentalen Ästhetik, par. 1, p. 81)

Volgens Kant zijn die “aanschouwingsvormen” vormen van het kennend subject, die “im Gemüte a priori bereits liegen”. Hegel bekritiseert Kant: de dingen zijn zelf ruimtelijk en tijdelijk.

“Wenn wir aber gesagt habben, dass das Empfundene vom anschauenden Geiste die Form des Räumlichen und Zeitlichen erhalte, so darf dieser Satz nicht so vertsnaden werden als ob Raum und Zeit nur subjektive Formen seien. Zu solchen hat Kant den Raum und Zeit machen wollen. Die Dinge sind jedoch in Wahrheit selber räumlich und zeitlich: jene doppelte Form des Aussereinander wird ihnen nicht einseitigerweise von unserer Anschauung angetan, sondern ist ihnen von dem an sich seienden und unendlichen Geiste, von der schöpferischen ewigen Idee schon ursprüngliche angeschaffen.” (Hegel, Enzyklopädie, par. 448, Zusatz).

Ruimte en tijd zijn bijzondere vormen van de algemene kwantitatieve structurele aspecten van het zintuiglijk waarneembare. De wiskunde beschouwt deze kwantitatieve aspecten op zich en objectiveert ze in mathematische objecten, getallen, figuren, in het algemeen: structuren.

Uit het feit dat aan ieder zintuiglijke waarneembaar zijnde een structureel aspect zit volgt niet zonder meer hoe dit in een mathematische theorie wordt beschreven.

De vraag naar de waarheid

Zijn de beweringen van de meetkunde van Euclides waar? Om die vraag te kunnen beantwoorden moeten we weten waar die meetkunde over gaat. Over punten en lijnen en over driehoeken en cirkels. Maar wat zijn dat voor dingen? We kunnen wel allerlei definities geven van dingen maar dat wil nog niet zeggen dat ze ook werkelijk bestaan. Zijn dat dingen die in onze dagelijke ruimte voorkomen? ‘Dagelijkse ruimte’, dit is nogal een dubbelzinnig begrip. Is het de voorstellingsruimte, de bewegingsruimte, de visuele ruimte, de tastruimte? De ruimte om ons heen? Maken de dingen in de ruimte de ruimte, of bestaat de ruimte buiten de dingen die in de ruimte zijn? Is de ruimte een object?

Wat had Euclides voor ogen toen hij de punt omscheef als ‘dat wat geen deel heeft‘ en de lijn als ‘een lengte zonder breedte‘ ? Verwijzen deze omschrijvingen indirect niet naar materiële objecten in de ruimte om ons heen? Een stoel en een steen, die zijn deelbaar, ze hebben delen. Maar een punt heeft geen delen. Euclides wil kennelijk dit verschil benadrukken. Euclides lijkt de punt als object te zien (wat weliswaar geen deel heeft) en niet als positie, als plaats in een ruimte. Dat aspect komt pas naar voren wanneer het over de rechte lijn gaat. Wanneer van een punt naar een ander punt een lijn getrokken wordt, dan is de punt een plaats in de ruimte. De ondeelbaarheid van de punt staat dan voor de exactheid van de locatie.

We zien hier het typisch mathematische karakter van de entiteiten: dat hun zijn volledig bepaald wordt door de relaties die ze tot elkaar hebben. Elke verwijzing naar iets buiten deze gedefinieerde bepalingen leidt tot verwarring. Het punt als object is identiek aan de plaats in de ruimte die bepaald wordt door de relatie met andere objecten, punten en lijnen. Merk op dat een lijn niet bestaat uit punten: een punt heeft geen lengte. Wat iets anders is dan te zeggen dat het een lengte heeft die nul is. De idee lengte en de idee breedte zijn er volkomen vreemd aan.

Punt en lijn worden bepaald door aan te geven wat ze niet zijn, welke eigenschap ze niet hebben. Het zijn geen waarneembare materiële dingen.

Het mathematisch subject stelt de objecten voor als te bestaan in een ruimte. Het subject zelf staat buiten de ruimte waarin de objecten gelocaliseerd gedacht worden. Het subject als zodanig kan in geen enkele ruimte gelocaliseerd worden. (Fleischhacker, voetnoot op pagina 111.) Het subject kan zich zelf en zijn activiteiten wel projecteren in een ruimte, maar dat is dan juist niet het subject als subject dat zichzelf projecteert. “De hand die zichzelf tekent heeft zichzelf niet getekend”.

De constructie van niet-euclidische meetkunden

In de 19de eeuw werden niet-euclidische meetkundige stelsels ontdekt. Of moeten we zeggen: ‘geconstrueerd’? De wiskunde heeft als eigenaardigheid dat het zowel een theoretische wetenschap is, waarin exacte kennis wordt nagestreefd, als ook dat het de objecten van zijn kennis zelf voortbrengt. De ontwikkelingen in de meetkunde van de 19de eeuws wierpen opnieuw de vraag op hoe we deze eigenaardigheid moeten begrijpen.

Kant heeft deze ontwikkeling nooit meegemaakt. Hij overleed in 1804 ruim vóór de ontdekking van de niet-Euclidische meetkunde.

Maar de niet-Euclidische meetkunde hing wel in de lucht.

De Italiaanse wiskundige Giovanni Saccheri werd geboren in 1667. In zijn sterfjaar 1733 verscheen zijn werk “Euclides ab Omni Naevo Vindicatus” (“Euclides van elke blaam gezuiverd“). Daarin beschrijft Saccheri zijn pogingen de onafhankelijkheid van het vijfde postulaat van Euclides aan te tonen.

Wist Kant van de pogingen van Saccheri om de onafhankelijkheid van het parallellenpostulaat te bewijzen? Saccheri gebruikte daarvoor de methode die bekend staat als ‘bewijs uit het ongerijmde’. Hij nam aan dat het postulaat, of een daarmee gelijkwaardige bewering, niet waar is. Wanneer met behulp daarvan een tegenspraak kan worden afgeleid dan mogen we concluderen dat het postulaat onafhankelijk is. Saccheri slaagde niet in zijn pogingen, maar zijn methode leverde een aantal beweringen op die we nu niet-Euclidisch kunnen noemen. Bijvoorbeeld dat de som van de hoeken in een driehoek groter of kleiner is dan een gestrekte hoek. Of dat door een punt buiten een rechte lijn er geen of oneindig veel lijnen parallel aan de gegeven rechte lopen.

Janis Bolyai en Nicolai Lobatsjewski kwamen onafhankelijk van elkaar in 1823 tot het formuleren van een niet-Euclidische meetkunde waarin de hoekensom van een driehoek kleiner is dan een gestrekte hoek. Een eigenschap van de ruimte zoals die beschreven wordt door deze theorie is dat er een grens aan is. In de Euclidische ruimte is er bij ieder oppervlak, hoe groot ook, een driehoek die het oppervlak bevat. Volgens de niet-Euclidische meetkunde ‘van de scherpe hoek’ is dat niet zo. Wanneer je de driehoek groter maakt worden de hoeken ervan steeds scherper en de oppervlakte groeit steeds minder. Uiteindelijk groeit de oppervlakte helemaal niet meer en zijn de hoeken nul graden.

Wie het werk van Saccheri vermoedelijk wel kende was de grote wiskundige Gauss Hij had zich al op jeugdige leeftijd verdiept in de meetkunde. Hij twijfelde aan het vijfde postulaat. Hij was van mening dat de waarheid van de meetkunde bepaald wordt door de ervaring en niet door een inzicht. We moeten dus door meten te weten komen of het vijfde postulaat geldig is. Hij vermoedde dat de som van de hoeken van een driehoek afhankelijk is van de grootte ervan. Hij ondernam een driehoeksmeting tussen drie bergtoppen op onderlinge afstanden van 69, 85 en 107 kilometer. Helaas voor hem bleek de hoekensom niet significant te verschillen van 180 graden. Dat was zo’n veertig jaren voordat Bolyais vader, die ook wiskundige was, Gauss de door zoon Janos Bolyai ontdekte meetkunde stuurde. Gauss reactie was dat als hij het werk van Janos zou prijzen hij zijn eigen werk zou prijzen want hij had het zelfde veertig jaar eerder al bedacht. Lobatsjewski was net als Gauss van mening dat het inzicht in de meetkunde berust op ervaring alleen en niet uit een transcendentaal begrip dat de ervaring te boven gaat.

Henri Poincaré bewees door de niet-Eucidische theorie binnen de Euclidische stereometrie (van de driedimensionale ruimte) te interpeteren dat deze meetkunde van de bol (of van de stompe hoek) consistent is als de meetkunde van Euclides dat is. Want als de niet-Euclidische theorie een tegenstrijdigheid bevat dan bevat via de interpretatie van Riemann de stereometrische Euclidische theorie die ook.

Er wordt wel beweerd dat Kants filosofie van de ruimte steunt op een Euclidisch beschreven ruimte en omdat de komst van niet-Euclidische meetkundes betekent dat de ruimte niet meer noodzakelijk Euclidisch hoeft te zijn, we Kants notie van transcendentale ruimte kunnen verwerpen.

Wat houdt die notie van de transcendentale ruimte in?

Synthetische oordelen a priori

Is wiskunde deductief? Waar komt dan die zekerheid vandaan?

Is ze puur analytisch? Is ze onderdeel van logica? Leert ze ons dan nog iets nieuws? Is niet de hele wiskunde een tautologie? A = A .

“As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, as far as they are certain, they do not refer to reality.” (Einstein)

Of is er een derde optie? Zijn sommige delen van de wiskunde analytisch, andere niet? Is er een ‘zuivere wiskunde’ die puur analytisch is? Welk deel is dat dan?

Om wat voor abstractie gaat het, waaruit de wiskundige kennis ontstaat?

Wiskundige oordelen zijn volgens Kant allemaal synthetisch. Verder zijn ze a priori en niet empirisch, omdat zij een noodzakelijkheid in zich dragen die niet uit de ervaring kan worden gehaald.

Poincaré noemt het Principe van Volledige Inductie (noodzakelijk voor de overgang van eigenschappen van eindige naar die van oneindige verzamelingen) het ‘ schoolvoorbeeld van het synthetisch a priori’. “Het dringt zich aan ons op met een onweerstaanbare evidentie.” Omdat ze “een bevestiging van de geest zelf is” (Poincare, p. 47).

Dat de rechte lijn tussen twee punten de kortste is, dat is een synthetische stelling. Want het begrip rechte houdt niets van grootte in. Men moet hier zijn toevlucht nemen tot aanschouwing waardoor de synthese alleen mogelijk is. (Kant, Prolegomena p.53). En dit geldt voor alle axiomas uit de zuivere wiskunde. Wat wezenlijk is voor de zuivere wiskundige kennis en wat haar onderscheidt van alle andere kennis a priori is dat zij volstrekt niet uit begrippen volgt, maar steeds slechts door constructie van de begrippen moet worden ontwikkeld.

Dat wiskundige kennis mogelijk is daarvan is Kant overtuigd. Maar hoe is dat mogelijk? Hij gaat op zoek naar de voorwaarden van deze kennis.

Er moet een of andere zuivere aanschouwing aan de zuivere wiskundige kennis ten grondslag liggen, waarin de wiskunde al haar begrippen in concreto en toch a priori kan voorstellen of, zoals men dat noemt, construeren.

Bronnen

Evert W. Beth (1969). Moderne Logica. Uitgeverij Van Gorkum & Comp. N.V. Assen, 1969.

Fleischhacker, Louk (1974). Inleiding Logica (I en II). Collegedictaat Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen, Vakgroep Wijsbegeerte, 1974

In apodictische redeneringen gaat het om zekere kennis. Dialectische redeneringen zijn die waarin er meningen tegen elkaar worden uitgespeeld, waaruit geprobeerd wordt de meest waarschijnlijke conclusie te trekken.

Poincaré, Henri (1979). Wetenschap en hypothese. Boom Uitgevers, Meppel. Vertaling uit de oorspronkelijke franse uitgave van La science et l’hypothèse, 1902.

De principes van de meetkunde zijn geen ervaringsfeiten.

De euclidische meetkunde heeft niets te vrezen van nieuwe waarnemingen. (p. 102)

Rutten, Emanuel (2020). Contra Kant. KokBoekencdentrum, Uitgevers. Utrecht, 2020.

Rutten, G.J.E. (2020). De gevolgen van de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde voor Kant’s filosofie van de wiskunde.

Hierin betoogt Rutten “dat Kant’s filosofie van de wiskunde niet als volledig weerlegd hoeft te worden beschouwd door de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde.” Er bestaat volgens Rutten “een coherente interpretatie van Kant’s filosofie van de wiskunde die laat zien dat ook ná de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde zinvol gesproken kan worden over het a priori synthetisch zijn van de wiskunde. Aan de andere kant is het zeker niet zo dat genoemde ontwikkeling geheel zonder gevolgen kan blijven voor Kant’s opvattingen over de aard van de wiskunde.”

In het eerste deel van de transcendentale hoofdvraag van de Prolegomena motiveert Kant dat de ruimte een zuivere a priori aanschouwingvorm is die noodzakelijk aan de meetkunde ten grondslag ligt. Deze aanschouwingsvorm stelt de meetkundige namelijk in staat om meetkundige begrippen ‘in concreto’ en geheel a priori te construeren (P7). Meetkunde wordt dan ook beschouwd als een zuiver produkt van de rede en berust derhalve niet op empirisch zintuiglijke ervaring.

In feite doet de metafysische uiteenzetting helemaal géén beroep op een specifiek meetkundig stelsel. Uiteraard kan volgehouden worden dat dit zo is omdat Kant impliciet uitgaat van het noodzakelijk bestaan van slechts één meetkunde (namelijk de Euclidische).

In dit artikel gaat het niet om Kant’s impliciete opvattingen maar om de vraag in hoeverre de in zijn kritische werk beschreven transcendentaal filosofie ruimte laat voor alternatieve meetkundige stelsels.

Kant stelt in zijn Transcendentale Esthetica dat ruimte een zuivere a priori aanschouwingsvorm van de waarneming is en dat a posteriori gewaarwordingen de materie van de waarneming uitmaken, dat ruimte zich in de zintuiglijkheid van het kennend subject bevindt en reeds gekend wordt voor alle mogelijke ervaring, dat ruimte alle ervaring eerst mogelijk maakt, dat ruimte geen eigenschap van de dingen op zichzelf is, dat ruimte zonder kennend subject een geheel leeg begrip zou zijn en dat de dingen zoals ze op zichzelf zijn voor het kennend subject (daarom) totaal onkenbaar zijn.

Géén van deze claims en ook andere meer fenomenologisch getinte claims, zoals bijvoorbeeld Kant’s uitspraak dat de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte ons leert dat in de fenomenale wereld alle dingen ‘buiten ons’ bestaan en bovendien ‘naast elkaar in de ruimte bestaan vereisen volgens Rutten dat de ruimte als a priori aanschouwingsvorm Euclidisch moet zijn.

Dit doet hij met name om te laten zien dat meetkundige oordelen niet louter door begripsanalyse (en toepassing van PNC) afgeleid kunnen worden en het kennend subject dus wel zijn toevlucht tot de aanschouwing moet nemen. Opnieuw kan opgemerkt worden dat géén van genoemde voorbeelden steunt op het Euclidisch zijn van de ruimte.

De cognitief-gedomineerde interpretatie gaat uit van de gedachte dat de ruimtelijke structuur van de fenomenale wereld noodzakelijk euclidisch is.

Volgens de ‘cognitief-gedomineerde interpretatie’ van Kants synthetisch a priori van de meetkunde verruimt het oordeel dat de som van de driehoeken van een driehoek 180º is onze kennis van de ervaren wereld en moet dus een synthetisch oordeel zijn. Dergelijke oordelen kunnen niet het resultaat zijn van uitsluitend een conceptuele begripsanalyse volgens algemeen logische principes.

Meetkundige oordelen zijn derhalve noodzakelijk Euclidisch en tegelijkertijd ware uitspraken over de fysieke ruimte van de fenomenale wereld.

Meetkundige oordelen zijn in de cognitief-gedomineerde interpretatie ook a priori omdat de herkomst het kenvermogen van het kennend subject betreft en niet de empirische zintuiglijkheid. Meetkundige oordelen kunnen door het kennend subject los van iedere empirische ervaring gekend worden. Hiertoe beschikt ieder kennend subject over de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Doordat deze zuivere aanschouwingsvorm zich volledig in het kenvermogen van het kennend subject bevindt is het kennend subject in staat om geheel los van de ervaring meetkundige begrippen (zoals een driehoek) te construeren en oordelen over deze begrippen te demonstreren. Dit doet het kennend subject door zich in de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte een concreet aanschouwelijke geometrische voorstelling te maken van objecten van mogelijke ervaring en vervolgens in concreto meetkundige eigenschappen van deze objecten te demonstreren aan de hand van aanschouwelijke geometrische bewerkingen. Overigens zijn in deze interpretatie meetkundige oordelen ook a priori omdat zij los van de ervaring gerechtvaardigd kunnen worden en dus noodzakelijk geldig zijn. Ze zijn noodzakelijk omdat ze niet door toekomstige empirische ervaringen kunnen worden weerlegd. Kant gebruikt hiervoor ook wel de aanduidingen algemeen geldig of apodictisch.

In de logisch-gedomineerde interpretatie van Kant’s positie wordt het a priori zijn van wiskundige oordelen op dezelfde wijze opgevat als in de eerste interpretatie. Beide interpretaties verschillen dus alléén in de manier waarop het synthetisch zijn van wiskundige oordelen wordt begrepen. In de tweede interpretatie zijn wiskundige oordelen synthetisch vanwege de specifieke manier waarop ze afgeleid worden uit gegeven wiskundige concepten.

De kern van de analyse is dat volgens Kant een a priori synthetisch oordeel een oordeel is waarbij het predikaat een attribuut is van het subject dat noodzakelijk volgt uit de essentie van het subjectbegrip maar er niet in bevat is. Dit betekent dat begripsanalyse in combinatie met het toepassen van het principe van non-contradictie (PNC) niet volstaat om te bewijzen dat het attribuut noodzakelijk volgt uit de essentie van het subjectbegrip. Er zal dus volgens Kant in plaats van een ‘analytische afleiding volgens het PNC’ gebruikgemaakt moeten worden van een geheel ‘ander principe’. In het geval van de meetkunde is dit ‘andere principe’ niets anders dat de hierboven beschreven ‘in concreto’ demonstratie van geometrische eigenschappen in de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte door het kennend subject. Oordelen in de meetkunde zijn uitsluitend synthetisch omdat voor de afleiding van dergelijke oordelen een beroep gedaan moet worden op de concrete aanschouwelijkheid. Meetkundige oordelen zijn dus synthetisch omdat naast het subject en predikaat begrip ook de zuivere aanschouwing van een individueel concreet meetkundig object noodzakelijk is om de geldigheid van het oordeel in te zien. Het PNC in combinatie met begripsverheldering is hiervoor volstrekt onvoldoende.

In logisch-gedomineerde interpretatie zijn meetkundige oordelen a priori vanwege het feit dat de vereiste aanschouwelijkheid (het onmiddellijk betrokken zijn op een singulier object) in het geval van meetkunde komt van de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte. Voor de rechtvaardiging van deze oordelen is dus geen beroep op de zintuiglijke ervaring nodig. Zoals bekend verbindt Kant ‘a priori’ steeds aan noodzakelijkheid en algemeen geldigheid. Wiskundige oordelen zijn onder de logisch-gedomineerde interpretatie inderdaad noodzakelijk en algemeen geldig. We dienen deze noodzakelijkheid dan echter niet langer te betrekken op wat er in de fenomenale wereld het geval moet zijn (zoals gebeurd in de eerste interpretatie) maar juist op de apodictische geldigheid van het oordeel binnen de context van een bepaald meetkundig stelsel.

De ontdekking van niet-euclidische meetkunde heeft duidelijk gevolgen voor de cognitief gedomineerde interpretatie. Wanneer blijkt dat meerdere elkaar uitsluitende meetkundige stelsels denkbaar zijn moet (om binnen Kants conceptie van meetkunde en feitelijk van zijn gehele transcendentaal filosofie) te blijven geconcludeerd worden dat de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte meerdere meetkundige stelsels voorstelbaar maakt. Deze aanschouwingsvorm kan als geometrisch ordenings-principe dus niet restloos samenvallen met de Euclidische meetkunde. De geometrische structuur van de fenomenale wereld valt dus niet noodzakelijk samen met die van de Euclidische meetkunde

Ruttens conclusie is dat wanneer we de eerste interpretatie volgen Kant’s conceptie van meetkunde (en daarmee van wiskunde) als synthetische a priori wetenschap als weerlegd moet worden beschouwd.

Dit geldt echter niet voor de logisch-gedomineerde interpretatie. Meetkundige oordelen zijn volgens de tweede interpretatie nog altijd synthetisch a priori. Voor het bewijzen van geometrische eigenschappen van meetkundige objecten is immers nog steeds de ruimte als zuivere a priori aanschouwingsvorm vereist. Deze vorm laat nu echter meerdere meetkundige stelsels toe hetgeen betekent dat de meetkundige vooraf moet besluiten binnen welk specifiek meetkundig stelsel hij oordelen wil gaan vormen. Ongeacht het specifieke meetkundige stelsel is de zuivere a priori aanschouwingsvorm ruimte volstrekt noodzakelijk om tot meetkundige oordelen binnen dat stelsel te komen. Iedere meetkundig oordeel blijft dus een synthetisch oordeel in de zin van de tweede interpretatie. Wel krijgen meetkundig oordelen nadrukkelijk een hypothetisch karakter.

(voetnoot: De cognitief-gedomineerde interpretatie veronderstelt feitelijk dat alle meetkundige oordelen categorisch zijn terwijl de logisch-gedomineerde interpretatie juist tot de conclusie moet leiden dat meetkundige oordelen hypothetisch zijn (naast a priori en synthetisch).

Meetkundige oordelen kunnen in het geval van de tweede interpretatie ná de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde ook nog altijd als a priori worden beschouwd omdat zij geheel los van de empirische zintuiglijkheid worden afgeleid, als bron het kenvermogen van het kennend subject hebben en als hypothetisch oordeel nog altijd volstrekt noodzakelijk en algemeen geldig zijn.

Euclides’ raadselachtige definitie van de rechte lijn onthuld.

Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië zijn Elementen. Het werk wordt beschouwd als het begin van de axiomatisering van de meetkunde. Het oorspronkelijk in het Grieks geschreven document is in vele talen vertaald en verschenen. Het bevat de basis van de meetkundige kennis zoals die nog steeds op de middelbare school onderwezen wordt als onderdeel van het wiskunde-curriculum.

De opbouw van de inhoud van de Elementen is axiomatisch en Euclides begint dan ook met het definiëren van de grondbegrippen punt en lijn. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. (Wat de vraag oproept of Euclides geen oneindige lijnen, lijnen met één of geen uiteinde, toelaat.) En dan komt de vierde, Euclides’ definitie van de rechte lijn.

Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”

Dit is de ‘raadselachtige’ formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).

In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke Euclidische tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)

De vraag die onmiddellijk opkomt is: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Mogen we concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde (‘krommen’). Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen. Is een cirkel een lijn? Nee, want een cirkel heeft geen uiteindes.

Wanneer we meetkunde beoefenen dan stellen we een lijn voor door een zo recht mogelijke (potlood)streep op papier, eventueel met behulp van een liniaal. In het spraakgebruik komen lijnen die niet recht zijn helemaal niet voor. Een niet-rechte lijn komt alleen voor als een slordig getekende lijn. De meetkunde gaat niet over de getekende lijnen. Dat zijn slechts voorstellingen van de eigenlijke objecten waar het over gaat. Ook Euclides was zich daarvan bewust. In de meetkunde gebruiken we tekeningen van lijnen, driehoeken en circels om de redeneringen waarmee we een meetkundige stelling bewijzen te ondersteunen. Euclides gaat het om de logische opbouw van de kennis van de relaties tussen de wiskundige objecten.

Topologisch gezien is het verschil tussen een rechte lijn en een kromme lijn niet relevant. In de topologie gaat het erom hoe lijnen een ruimte in deelruimtes (gebieden) opdelen. Het verschil tussen een gesloten kromme die een deelruimte omsluit (zoals een cirkel) of een ‘rechte lijn’ die dat niet doet is dus wel topologisch relevant.

Velen hebben zich afgevraagd hoe we Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn moeten begrijpen. Wat had Euclides voor ogen? Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die lijkt ons indirect te wijzen naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Euclides wist dat hij geen fysica bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste.

(Voor Euclides volgt een lichtstraal een rechte lijn. Hij wist dat wanneer deze op een spiegelvlak valt, de hoek van inval gelijk is aan de hoek van uitval.)

Dijksterhuis’ ‘verklaring’ van de ‘raadselachtige’ formulering lijkt op die van de Franse natuurkundige en filosoof Henri Poincaré. Deze merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden, zonder deze te bewijzen. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.

Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn.” (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). 

Wanneer je twee punten van een star lichaam, zoals een houten lat vastzet en vervolgens het lichaam zodanig draait dat de beide punten op hun plaats blijven dan blijven ook de tussenliggende punten van het lichaam op hun plaats. Deze liggen op een rechte lijn door de twee vaste punten.

Wiskundig kan dit geformuleerd worden door middel van een functie die de punten van een ruimte afbeeldt op andere punten. De twee gekozen punten, zeg a en b, waarvoor geldt dat de functie deze op zichzelf afbeeldt (f(a)=a) en f(b)=b), behoren tot de dekpunt-verzameling van zo’n functie: de verzameling van alle punten x waarvoor geldt f(x)=x. Die dekpuntverzameling is een rechte lijn. Dit is een generalisatie van Poincare’s definitie. Bij Poincaré is de functie een ‘verplaatsing’ van een star lichaam, eventueel een rotatie (draaiing). Bij het verplaatsen van een star lichaam worden punten die dicht bijelkaar liggen afgebeeld op punten die ook dicht bij elkaar liggen.

Maar had Euclides werkelijk zoiets in gedachten toen hij zijn definitie gaf? Ik denk het niet. Met zijn ‘negatieve’ formuleringen van de definities van de grondbegrippen punt en lijn: een punt is “dat wat geen delen heeft“, een lijn is “een lengte zonder breedte“, geeft Euclides uitdrukkelijk aan dat deze begrippen niet verwijzen naar de zintuiglijk waarneembare werkelijkheid van de lichamelijke dingen.

Maar hoe moeten we de raadselachtige definitie dan verstaan? Hebben we tot nu toe niet teveel vastgehouden aan de standaard voorstelling van lijnen door middel van een zo recht mogelijke getekende streep, een voorstelling zoals we die kennen uit de schoolboeken. Moeten we die voorstelling niet los laten om de bedoeling van Euclides definitie van de rechte lijn te verstaan? Maar waar moeten we dan aan denken?

Het kortste kronkelpaadje van de levenslijn

De fysicus en voormalig Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf merkte in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) op: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.”

Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht, en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en voor schoolse curricula.

Het woordje ‘achteraf’ is van belang. Vooraf of nog onderweg is het eindpunt niet bekend. ‘Wat is de kortste weg van a naar b als je niet weet wat b is?’ Dat is de vraag die Dijkgraaf opwerpt in zijn boek “Het nut van nutteloos onderzoek” (2012), waarin hij een lans breekt voor het creëren van ruimte voor zuiver wetenschappelijk onderzoek. Voor het zoekend gedrag van wetenschappers en kunstenaars die niet weten of slechts een vaag idee hebben waar ze naar zoeken en of het resultaat nuttig zal zijn.

Dijkgraafs kortste kronkelpaadje opent een geheel nieuw perspectief op Euclides’ definitie van de rechte lijn. Daarbij neem ik aan dat de enige rechte lijn die twee punten met elkaar verbindt ook de kortste lijn is. Maar betekent dat ook dat de kortste weg tussen twee punten ook een, of zelfs dé enige, rechte weg is? Daarbij moeten we bedenken dat als het om het gaan van punt A naar punt B, de kortste weg qua tijd niet altijd de kortste weg qua afstand hoeft te zijn.

Het kortste pad tussen twee punten is niet altijd een recht pad. Als het gaat om de kortste tijdsduur waarin de afstand tussen de punten overbrugd wordt, spreken we van een brachistochrone kromme. Deze kromme van snelste daling is de lijn tussen twee punten A en B, waarbij B lager dan, maar niet recht onder A ligt, waarover een wrijvingloos glijdend voorwerp binnen zo kort mogelijke tijd van het begin- naar het eindpunt beweegt, onder invloed van de zwaartekracht.

Bij Plato vinden we de volgende beschrijving van een punt.

Een punt is een object met een positie in de ruimte maar zonder afmetingen.”

Dit roept een aantal vragen op. Hoe moeten we ons de relatie tussen punt en positie in de ruimte denken? Is de positie van een punt iets uitwendigs aan de punt, zoals de kleur van een bloem? Dan is het punt verplaatsbaar in de ruimte. Deze kan een andere positie innemen. Maar wat is dan een positie in de ruimte? Is dat niet ook een punt in de ruimte? Of is de positie een innerlijk noodzakelijke bepaling van de punt, zoals de soort van de bloem. Dan is de punt niet verplaatsbaar. Ze zou dan immers een ander punt worden. Een tweede vraag die door Plato’s beschrijving wordt opgeroepen is, of er ook ruimtes bestaan zonder punten. In Euclides definitie van de punt (‘een punt is wat geen delen heeft’) komt het begrip ruimte helemaal niet voor. Zijn punten en lijnen objecten in een ruimte, zoals fysische objecten? Dat is wat Plato’s beschrijving van een punt suggereert. Of maken punten en lijnen de ruimte, zoals de regels van het schaakspel het spel maken?

Terug naar Euclides raadselachtige definitie

De oorspronkelijke Griekse formulering is:

Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.

( Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai )

Vertaald: A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.

Het Griekse εὐθεῖα wordt vertaald als recht, wat een veel ruimere betekenis heeft dan alleen in de zin van een rechte lijn in meetkundige zin.

In de Griekse versie van Handelingen 8.21 komt het voor in een tekst die vertaald wordt als: “Gij hebt geen deel noch lot in dit woord, want uw hart is niet recht voor God.”

Een rechte lijn is een goede lijn.

Waar gaat Euclides’ Elementen eigenlijk over?

Wie de geschiedenis van de wetenschap beschrijft hoede zich ervoor het verleden te lezen als voorbereiding op het heden. Wie hedendaagse betekenissen van woorden kritiekloos gebruikt om vroegere verschijnselen te beschrijven maakt zich schuldig aan het bedrijven van Whig-history. Een treffend voorbeeld daarvan geeft Kuhn, de historicus van ‘de revolutie in de wetenschap’. De vraag ‘hoeveel van de zeventiende-eeuwse mechanica reeds bekend was bij Aristoteles’ deugt volgens hem niet. Waarom niet? Omdat het kernbegrip van de mechanica, ‘beweging’, een heel andere inhoud heeft, namelijk verandering van plaats, dan het had voor Aristoteles. Voor de laatste had beweging een veel ruimere betekenis. Het heeft betrekking op de ontwikkeling van het leven, de groei van planten en dieren. Vragen die betrekking hebben op de kennis die voor het begin van de periode van de mathematisering van de wetenschap heerste kunnen niet in termen van tegenwoordig gesteld worden.

Een ander voorbeeld is het gebruik van de termen ‘feit’ en ‘informatie’. Volgens de historicus David Wootton bestonden feiten, zoals wij die kennen, niet voor 1700. In de Invention of Science schrijft hij:

We take facts so much for granted that there have been few attempts to write their history, and none of them satisfactory. Yet, our culture is as dependent on facts as it is on gasoline. It is almost impossible to imagine doing without facts, and yet there was a time when facts did not exist.” (Wootton, 2016, p.252)

Ook het nauw aan het begrip ‘feit’ gerelateerde begrip ‘informatie’ bestond niet in de zin waarin wij het nu kennen. Het begrip heeft een meer technische lading gekregen, dan het informeren in de zin van ‘vorm geven aan iets materieels’.

Bedrijven wij geen ‘Whig-history’ wanneer we proberen het werk van Euclides te zien als voorbereiding van de huidige wetenschap en wanneer we het onderwerp van zijn studie identificeren met dat van de moderne meetkunde? In de ontwikkeling van de wetenschap hebben wiskunde, fysica en biologie elk hun eigen terrein af proberen te bakenen. Ze kregen elk hun eigen onderwerp. Wiskunde is geen fysica en fysica is geen biologie. Voor de Grieken bestonden deze verschillende disciplines niet. Had Euclides niet een veel ruimer begrip van punt en lijn, zoals ook het begrip beweging bij Aristoteles een veel ruimere betekenis heeft dan in de hedendaagse mathematische mechanica?

In Euclides tijd waren wiskunde en filosofie zeer nauw met elkaar verweven. Sommige denkers, waaronder Plato, werd door Aristoteles verweten dat ze wiskunde voor de ware filosofie hielden. Het verhaal gaat dat een voordracht van de Akademie die volgens de aankondiging over ‘het Goede’ zou gaan, over getallen, meetkunde en astronomie bleek te gaan. Het goede is één, aldus Plato.

Maar wat is één? Een traditioneel Grieks filosofisch probleem betreft de verhouding tussen eenheid en veelheid. Euclides denken voltrok zich in die Griekse traditie.

De rechte als de identiteit van eenheid en veelheid

Op een punt in zijn leven kijkt iemand terug naar de keuzemomenten in zijn leven en vraagt zich af hoe zijn leven was verlopen als hij anders had gekozen. Maar had hij anders gekozen dan was hij ook iemand anders geweest, dan was het huidige moment inhoudelijk een heel ander moment geweest.

De veelheid van punten enerzijds en de eenheid van de lijn anderzijds verhouden zich bij Euclides zoals de momenten van het leven tot dat van de levenslijn, de identiteit die in het unieke levende individue tot uiting komt. Dat leven is zijn eigen maat. Er zijn geen momenten die niet op die lijn liggen omdat de identiteit van de lijn achteraf door de momenten bepaald is. De veelheid van punten van een lijn en de eenheid van de lijn zijn twee perspectieven op eenzelfde fenomeen. Recht is wanneer deze twee samenvallen, wanneer de punten samenvallen met de lijn. De rechte weg is de eigen weg.

Euclides definitie van de rechte lijn is zo algemeen als de definitie die Cantor vele eeuwen later gaf van het wiskundig begrip verzameling (‘Menge’). Ook een verzameling is een eenheid en een veelheid. De relatie punt en lijn komt overeen met de relatie element en verzameling. De verzameling is een eenheid die samenvalt met de elementen die er toe behoren. Toch is een lijn als element in een ruimte iets anders dan een willekeurige verzameling. De punten van een lijn zijn immers geordend.

Stel dat we een rechte lijn zien als verzameling van punten die erop liggen. Welke eisen moeten we aan zo’n verzameling opleggen en welke eisen moeten we aan de het universum van rechten opleggen om te kunnen spreken van een meetkundige ruimte, in de zin van de rijke historie van dit begrip? De eerste soort eisen noemen we interne eisen, de tweede soort externe eisen. In een een-dimensionale ruimte komt slechts één lijn voor en zijn er dus slechts interne eisen. De eerste interne eis is dat de elementen van de verzameling (om lijn te zijn) volledig lineair geordend zijn. Voor elk paar elementen (‘punten’) a,b geldt a < b of b < a. De tweede interne eis luidt: er is geen kleinste element, noch een grootste element in een rechte. Als Euclides zegt dat een lijn uiteindes heeft die punten zijn dan heeft iedere lijn dus wel een kleinste en een grootste element. We noemen zo’n eindige lijn een lijnstuk. Volgens Euclides 2de postulaat is ieder recht lijnstuk te verlengen tot een rechte lijn. De doorsnede van twee lijnen is de verzameling punten die op beide lijnen liggen. Een snijpunt van twee lijnen is een punt dat op beide lijnen ligt, ofwel: een punt dat in de doorsnede van beide verzamelingen ligt.

Wat had Euclides in gedachten toen hij het over een rechte lijn had?

Er zijn in de loop van de geschiedenis ‘alternatieve’ interpretaties van de Euclidische grondbegrippen punt en lijn onderzocht. Veelal in verband met pogingen de onafhankelijk van het parallellenpostulaat te bewijzen. Volgens Euclides’ parallellenpostulaat gaat door een punt buiten een gegeven lijn slechts één lijn die evenwijdig is aan die lijn.

Er zijn niet-euclidische ruimtes waarin geldt dat door een punt buiten een gegeven lijn geen lijn gaat parallel aan die lijn (hyperbolische ruimtes) en niet-euclidische ruimtes (elliptische) waarin geldt dat door een punt buiten een gegeven lijn er twee (en dus oneindig veel) lijnen gaan die parallel lopen aan de gegeven lijn. De euclidische meetkunde heet ook wel parabolische meetkunde.

Riemann kwam tot een interpretatie van punt en lijn zodanig dat geldt: Elke twee lijnen snijden elkaar in een punt. Dit levert een meetkunde die niet-Euclidisch is: het parallellenpostulaat geldt niet. Die interpretatie gaat zo:

“lijn” wordt: een grote cirkel op een bol.

“punt”: een paar diametraal tegenover elkaar liggende punten op een bol.

Poincaré bewees dat Riemanns bolmeetkunde consistent is als Euclides ‘vlakke ‘ meetkunde dat is.

Als de kortste verbinding tussen twee punten een rechte lijn is, dan geldt dit ook op een boloppervlak. Maar wat voor een bewoner van het boloppervlak een ‘rechte’ lijn is, is vanuit het perspectief van iemand die de bol van buiten bekijkt een kromme lijn. Voor deze buitenstaander is het kortste pad tussen twee punten op een bol, de lineaalrechte lijn tussen A en B. Maar deze lijn bestaat in de ruimte van het boloppervlak helemaal niet! Wat het kortste pad is tussen twee punten dat wordt bepaald door de vorm van de ruimte. En als we vasthouden aan de idee dat het kortste pad de rechte lijn is dan is dus wat een rechte lijn heet relatief met betrekking tot de vorm van de ruimte.

Er zijn allerlei modellen geconstrueerd om de onafhankelijkheid of de equivalentie van verschillende axioma’s te bewijzen. Bijvoorbeeld: of Euclides 5de postulaat equivalent is met de bewering dat de hoekensom 180 graden is (of beter: gelijk is aan twee rechte hoeken – Euclides kent geen metriek) hangt af van de vraag welke andere axioma’s je mag aannemen. Dit soort vragen wordt beantwoord door de constructie van een model waarin bepaalde axioma’s wel, andere niet gelden. Hilbert heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan dit soort onderzoek. Er zijn dus meetkundige modellen (een Hilbert plane) waarin de hoekensom 180 graden is maar waarin Euclides’ parallellenpostulaat niet geldt.

Een reiziger die zich optimaal door de ruimte beweegt laat het pad dat hij volgt door de structuur van de ruimte bepalen. Het pad dat deze aflegt wordt bepaald door allerlei factoren die samen een soort ‘krachtenveld’ vormen. Zo wordt het pad dat de grutto op weg naar het zuiden in het najaar en weer terug naar het noorden in het voorjaar, bepaald door de lokaal heersende winden, de termiek, en door de aanwezigheid van voedsel en vijanden. Deze krachten maken de ruimte waarin de trekvogel zich beweegt. Gegeven de vorm van dit krachtenveld is de door de trekvogel afgelegde weg de kortste weg van de zuidelijke streken waar deze overwintert naar de noordelijke broedgebieden in de zomer.

Euclides raadselachtige definitie van de rechte lijn: een rechte lijn is een lijn die samenvalt met alle punten die er op liggen – is invariant geldig voor iedere ruimte, welke metriek we daar ook aan opleggen.

Bronnen

J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.

E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.

R. Dijkgraaf (2012). Het nut van nutteloos onderzoek.

Euclides. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick.

This edition of Euclid’s Elements presents the definitive Greek text—i.e., that edited by J.L. Heiberg (18831885)—accompanied by a modern English translation, as well as a Greek-English lexicon.

Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.

Poincaré, Henri  (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.

Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020. Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat: de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek.

De Vries, Gerard (1995). De ontwikkeling van wetenschap. Een inleiding in de wetenschapsfilosofie. Wolters-Noordhoff Groningen bv, Nederland.

Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.

Volgens Imre Tóth toonde de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde aan dat Kant gelijk had dat de meetkunde synthetisch apriori kennis inhoudt. De fysische werkelijkheid is immers niet niet-euclidisch, dus deze meetkunde zegt niets over de ruimte zoals we die kennen.

Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktijk van de omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).

Tóth wijst erop dat Aristoteles de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan. Hij besteedt een lange voetnoot 112 aan het punt dat een formele logica niet als een ontologie hoeft te worden beschouwd.

Wootton, David (2015). The Invention of Science. A new history of the scientific revolution. Penguin Book, 2015.

Getal of cijfer? Over een veel voorkomend misverstand

Wat is het verschil tussen een getal en een cijfer?

“Eerlijkheid gebiedt me te zeggen: ik had nooit goed nagedacht over het verschil tussen ‘getal’ en ‘cijfer.’” schreef Sanne Blauw. Als ‘Correspondent Ontcijferen’ moest ze toch eigenlijk wel weten wat dat verschil is. Ze vroeg het aan de Taaladviesdienst van het Genootschap Onze Taal. “Ik mailde ze over mijn kleine identiteitscrisis en kreeg al snel antwoord: ‘Een cijfer is […] in beginsel een teken, een symbool; één of meer cijfers samen vormen een getal.’ “

Eerlijk gezegd schrok ik een beetje van dit antwoord. “Eén of meer cijfers vormen samen een getal” ? Volgens het Genootschap is dus 123 een getal, terwijl 7 een cijfer is. Is dit de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal? Ik ging op onderzoek uit.

Omdat veel mensen tegenwoordig gebruik maken van een zoekmachine om antwoord te krijgen op hun vragen is het interessant om te kijken wat zo’n machine als antwoord geeft op onze vraag. Google presenteerde met AI de volgende tekst:

In het Nederlands is een getal de aanduiding van een hoeveelheid, terwijl een cijfer een symbool is waarmee een getal wordt geschreven. Getallen kunnen uit één of meer cijfers bestaan. 

Een cijfer is een symbool dat gebruikt wordt om een hoeveelheid weer te geven. Er zijn tien cijfers: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9.

Een getal is de notatie van een hoeveelheid. Het kan uit één of meer cijfers bestaan. Bijvoorbeeld, het getal 123 bestaat uit de cijfers 1, 2 en 3. 

Samenvattend: Cijfers zijn de bouwstenen voor getallen, en getallen zijn de symbolen die gebruikt worden om hoeveelheden weer te geven. 

AI produceert zijn teksten door combinatie van stukken tekst die het op het internet vindt. Of die fragmenten een consistent geheel vormen, dat kan AI niet beoordelen. Daarvoor is kennis nodig van de betekenis van de woorden. Gebruikers van AI die zelf geen idee hebben wat het verschil is tussen cijfer en getal zullen het antwoord dat het Genootschap Onze Taal of Google geeft voor zoete koek nemen. Kunnen we chocola maken van de door Google geproduceerde fragmenten? Google zegt:

Een getal is een aanduiding of notatie van een hoeveelheid. Een getal bestaat uit cijfers. Een cijfer is een symbool waarmee een getal wordt geschreven.

Dit komt overeen met het antwoord dat Onze Taal gaf. Zowel cijfers als getallen zijn talige dingen (symbolen, notaties) om hoeveelheden mee aan te duiden. Het verschil tussen getal en cijfer wordt aangegeven door hun relatie: een getal bestaat uit één of meerdere cijfers. De bouwstenen van de getallen zijn de cijfers.

Op Wikipedia vinden we een mogelijke bron van de AI tekst:

“Een getal is de aanduiding van een hoeveelheid.” en “Een getal verschilt van een cijfer: cijfers zijn symbolen die gebruikt worden om getallen weer te geven.”

Op de website van Expertis – Onderwijsadviseurs, een andere bron van de AI tekst, schrijft Jitske Zwart:

“Cijfers zijn eigenlijk de ‘letters’ van ons getallensysteem. Dit getallensysteem wordt opgebouwd uit de cijfers 0 t/m 9. Het cijfer 1 is de notatie van het aantal 1, het getal 1 of het nummer 1. Je kunt cijfers dus vergelijken met letters. Met letters schrijf je een woord. De letters krijgen dan een betekenis. Met cijfers schrijf je een getal of nummer. De cijfers krijgen dan een betekenis. Het getal 143 bestaat uit de cijfers 1, 4 en 3.”

Een getal is ‘samengesteld uit cijfers’. Ik las ergens dat 10 een getal is ‘dat wordt gevormd door de cijfers 1 en 0’.

In het taalgebruik lijkt ‘getal’ dus vaak gebruikt te worden voor de aanduiding van een aantal of hoeveelheid. Met ‘getal’ wordt een cijferrijtje bedoeld. En wat het cijferrijtje aanduidt is ‘een hoeveelheid’.

Als deze teksten representatief zijn voor het normale spraakgebruik dan is volgens dat gebruik een getal iets heel anders dan wat in de wiskunde onder een getal wordt verstaan. Voor mij – wiskundedocent met enige kennis van de filosofie en de geschiedenis van de wiskunde – gaat wiskunde over wiskundige objecten, structuren. Getallen zijn een speciaal soort wiskundige objecten. De wiskunde bestudeert de eigenschappen van deze objecten die ze zelf construeert.

Getal als wiskundig object

Als een getal de aanduiding is van een hoeveelheid, zoals het gewone taalgebruik zegt, hoe moeten we dan de deelbaarheid van getallen zien? De deelbaarheid is immers niet een eigenschap van de aanduiding, niet van de notatie, maar eerder van de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. Maar dat strookt niet met de opvatting dat het getal de aanduiding is. En is de optelling van getallen dan een operatie op getallen opgevat als cijferrijtjes? Dat lijkt me toch niet.

Als we het over de verschillende eigenschappen van getallen hebben, zoals deelbaar zijn door 2 of even zijn, dan zijn dat geen eigenschappen van aanduidingen, van cijferrijtjes, maar van de dingen die met die cijfers worden aangeduid, van de hoeveelheden.

Als we dus zeggen dat het getal 4 deelbaar is door het getal 2 dan bedoelen niet het cijfer 4, maar dat wat wordt aangeduid met 4, het eigenlijke getal. Getallen zijn wiskundige objecten, pure gedachtendingen, constructies. Geen concrete hoeveelheden van dingen, maar een abstracte hoeveelheid. Het getal drie is als object zowel eenheid als veelheid. Het is een veelheid van eenheden. Maar het is ook twee plus een.

Anders dan de tekens, de cijfers, zijn de wiskundige objecten niet zichtbaar. We maken een onderscheid tussen een tekening van een driehoek en het wiskundig object, de driehoek die ermee wordt aangeduid. Het is de bijzondere bestaanswijze van de wiskundige objecten, zuivere gedachtedingen te zijn die we ons op een of andere manier moeten voorstellen om het erover te kunnen hebben, die mogelijk maakt dat we geneigd zijn de voorstelling: de wijze waarop we ernaar refereren, te verwarren met de dingen waarover we het hebben.

Dat is misschien de oorzaak van de gangbare opvatting over het verschil tussen cijfer en getal. Terwijl, als we zeggen “het getal 4 is deelbaar door 2” we met het getal 4 juist niet het cijfer 4 bedoelen, maar het getal dat we daarmee aanduiden.

We hebben een voorstelbaar teken nodig als representatie om over de puur denkbeeldige objecten van de wiskunde te denken.

De representatie of voorstelling van getallen (en andere wiskundige objecten zoals figuren in de meetkunde) heeft een geschiedenis waarin de relatie tussen gebruikte tekens en de objecten een ontwikkeling heeft doorgemaakt. De verschillende gestalten die de representatie aanneemt worden aangegeven met: natuurlijk teken, conventioneel teken en formeel systeem. De eerste gestalte van de representatie van de getallen is op directe wijze gebonden aan de hoeveelheid die ermee wordt aangeduid. De voorstelling van een meetkundige driehoek door een tekening van een driehoek, van het getal drie ging door middel van drie streepjes. Volgens deze onmiddellijke representatie is er geen onderscheid tussen het getal als hoeveelheid en de voorstelling ervan door een hoeveelheid objecten. Als we denken dat rekenkunde gaat over voorstelbare hoeveelheden dan ligt het voor de hand getal en notatie te identificeren: een getal is dan inderdaad opgebouwd uit primitieve tekens.

Vanwege deze directe binding tussen teken en hoeveelheid is het begrijpelijk dat er enige tijd over heen ging voordat nul als een getal werd gezien. Nul dingen is immers geen hoeveelheid. Het is een leegte die op een gegeven moment door een speciaal teken werd aangegeven. Later werden ook meer abstracte symbolen, conventionele tekens gebruikt voor de getallen en andere wiskundige objecten. De volgende stap in de ontwikkeling van representaties van getallen is die van een systeem van representaties. De betekenis van een teken wordt nu bepaald door de positie van het teken in het systeem.

Ons tientallig positioneel Arabisch-Indische cijfersysteem (‘cijfer’ komt van het Arabisch ‘sifr’, dat 0 of leeg betekent) gebaseerd op de tien cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 door Fibonacci in de dertiende eeuw ingevoerd in Europa is geschikt om oneindig veel getallen aan te duiden. Wat we met die 10 cijfers maken zijn cijferrijtjes, niet de getallen, maar aanduidingen van getallen. Het cijfer 7 duidt net zo goed als het rijtje 10 een getal aan: 7 is ook een cijferrijtje, namelijk een die bestaat uit een enkel cijfer, een rijtje met lengte 1. Maar wanneer de door AI geleverde tekst zegt: “Een getal kan uit 1 of meer cijfers bestaan.”, dan wordt ‘getal’ opgevat als een cijferrijtje en niet als een wiskundig object.

Een belangrijk kenmerk van de cijfertaal van de wiskunde is dat een cijferrijtje ondubbelzinnig is: het heeft slechts één getal als betekenis. Twee verschillende rijtjes van cijfers duiden bovendien verschillende getallen aan. Daarin verschilt deze taal van de gewone omgangstalen. Het letterrijtje bank heeft in het Nederlands verschillende betekenissen en afhankelijk van de uitspraak van het ‘woord’ kantelen duidt het een ander woord aan. Ligt de klemtoon op de eerste lettergreep dan is het een werkwoord, ligt de klemtoon op de tweede lettergreep dan is het de meervoudsvorm van het woord kanteel. Een woord is dus niet het rijtje letters, maar het woord dat daarmee in een specifieke tekst bedoeld wordt. In het spraakgebruik bedoelen we met ‘woord’ vaak het letterrijtje en niet iets abstracts dat ermee wordt aangeduid. We zeggen dan ‘het woord bank heeft twee betekenissen’. We kunnen woord, het gebruik van een woord en de betekenis niet uitelkaar halen, zonder in de problemen te geraken. De betekenis van het woord komt tot stand in het gebruik.

De belangrijke les van onze speurtocht naar het verschil tussen cijfer en getal is dat het gangbare gebruik van het woord getal verschilt van het gebruik ervan in de wiskunde. Dat wordt een probleem zodra de alledaagse wereld in contact komt met de wereld van de wiskunde, zoals in het rekenonderwijs. Wanneer we ten behoeve van het reken- en wiskundeonderwijs menen iets te moeten zeggen over het verschil tussen cijfer en getal moeten we ons bewust zijn van het grote verschil in gebruik van het woord getal in de wiskunde met het gangbare gebruik ervan zoals Google en Onze Taal dat ons presenteert.

Het gangbare gebruik is nog steeds gebaseerd op de naieve, natuurlijke representatievorm van getallen waarin notatie en betekenis: hoeveelheid, worden gelijkgesteld.

Verder werden we in dit onderzoek opnieuw herinnerd aan het feit dat een woord zelf niet kan zeggen wat het betekent.

“Wat is het getal 1, of wat betekent het symbool ‘1’?”, Met deze vraag begint Gottlob Frege zijn essay The Foundations of Arithmetic waarin hij zijn onderzoek presenteert naar de aard van de getallen. Frege acht het een schandaal dat we deze simpele vraag naar de aard van het meest eenvoudige en eerste begrip van de wiskunde niet op bevredigende wijze kunnen beantwoorden. Daarom herneemt hij nog maar eens de vraag naar de aard van de getallen. Ieder grondig onderzoek naar het getalbegrip zal altijd een filosofisch karakter hebben. Stelt Frege. Het is een taak die zowel tot de wiskunde als tot de filosofie behoort om te bepalen wat de getallen voor dingen zijn.

Frege was zeker niet de eerste die een studie wijdde aan het getalbegrip. De discussie over de aard van de getallen neemt een belangrijke plaats in in de boeken M en N van de Metafysica van Aristoteles, waarin hij vooral in debat is met zijn leermeester Plato.

“De exactheid en het dwingende karakter van het wiskundig redeneren stellen ons voor een raadsel dat noch Plato noch Aristoteles geheel bevredigend hebben kunnen oplossen” schrijft H. Oosthoud in de Inleiding tot de Nederlandse vertaling van Boek M, dat gaat over de getallen en de dingen.

De vraag naar de eigen aard van de getallen en de wiskundige objectiviteit blijft boeien. Het is meer dan ooit een vraag die van belang is om te hernemen in een tijd waarin alles, inclusief onze taal, gemathematiseerd lijkt te moeten worden en waarin het mathematisme – de idee dat kennis pas echt kennis is wanneer we deze in getallen en systemen kunnen uitdrukken – onze technocratische werkelijkheid doordringt en beheerst.

Het mathematiseren van ons taalgebruik zoals die neergeslagen is in de enorme hoeveelheden taaldata op het internet ligt aan de basis van de taaltechnologische AI producten zoals ChatGPT. Die basis bestaat uit mathematische taalmodellen waarmee op statistische wijze teksten worden gegenereerd. Teksten zoals Google die levert als antwoord op onze vraag naar het verschil tussen cijfer en getal. Uit bovenstaande blijkt hoe beperkt deze modellen zijn. En dat is geen toeval, het is een wezenlijk kenmerk van het taalmodel een abstractie te zijn van het werkelijk taalgebruik.

Voetnoot

Wanneer we een getal als aanduiding van een aantal gebruiken dan gebruiken we het kardinale aspect van het getal-begrip. Als telgetal gebruiken we het ordinale aspect (zeven als het zevende). Als meetgetal het meetaspect (3 kilo). En als rekengetal het rekenaspect. Daarnaast is er het gebruik van een getal als naam of label (huisnummer). Dan gebruiken we het coderingsaspect.