“De mens wil de natuur niet ontmoeten, maar beheersen” (F. de Graaff, Als goden sterven)
“… that learning is nothing else than the soul’s recollection of her inherent reasons.” (Proclus, Commentary on Euclid)
Inleiding: wat de lezer mag verwachten
In dit blog probeer ik verbanden aan te geven tussen drie onderwerpen, die respectievelijke betrekking hebben op het (1) mathematische, (2) het fysische en (3) het biologische. De boodschap is dat als we naar de geschiedenis van de wetenschap kijken we ons moeten realiseren dat deze indeling en haar onderwerpen niet zo van elkaar waren onderscheiden als nu het geval is. Hadden deze wetenschappen ieder hun duideliijk van elkaar onderscheiden onderwerp?
In het eerste deel gaat het over de bepalingen van de meetkundige grondbegrippen: punt en lijn door Euclides in zijn Elementen. In het tweede deel gaat het over de identiteit en de loop van het elementaire deeltje zoals daar in de kwantumfysica over gedacht wordt. In het derde deel gaat het over de bepaling van de identiteit van de persoon, uitgedrukt in het persoonlijke verhaal van de geschiedenis die de eenheid van de verschillende levensmomenten creëert. Over de rechtheid van de levenslijn.
Wie de geschiedenis van de wetenschap beschrijft hoede zich ervoor het verleden te lezen als voorbereiding op het heden. Wie hedendaagse betekenissen van woorden kritiekloos gebruikt om vroegere verschijnselen te beschrijven bedrijft Whig-history. Een treffend voorbeeld geeft Kuhn, de historicus van ‘de revolutie in de wetenschap’. De vraag ‘hoeveel van de zeventiende-eeuwse mechanica reeds bekend was bij Aristoteles’ deugt volgens hem niet. Waarom niet? Omdat het kernbegrip van de mechanica, ‘beweging’, een heel andere inhoud heeft, namelijk verandering van plaats, dan het had voor Aristoteles. Voor de laatste had beweging een veel ruimere betekenis. Het heeft betrekking op de ontwikkeling van het leven, de groei van planten en dieren. Vragen die betrekking hebben op de kennis die voor het begin van de periode van de mathematisering van de wetenschap heerste kunnen niet in termen van tegenwoordig gesteld worden.
Een ander voorbeeld is het gebruik van de termen ‘feit’ en ‘informatie’. Volgens de historicus David Wootton bestonden feiten, zoals wij die kennen, niet voor 1700. In de Invention of Science schrijft hij:
“We take facts so much for granted that there have been few attempts to write their history, and none of them satisfactory. Yet, our culture is as dependent on facts as it is on gasoline. It is almost impossible to imagine doing without facts, and yet there was a time when facts did not exist.” (Wootton, 2016, p.252)
Ook ‘informatie’ bestond niet in de zin waarin wij het kennen, ook al zijn er begripsmatige relaties aan te geven met ‘informeren’ in de zin van het vorm geven aan iets materieels.
Hier gaat het over een belangrijk moment in de geschiedenis van de wiskunde. Hoe kijken we met de kennis van nu naar de Elementen van Euclides? Bedrijven wij geen Whig-history wanneer we de betekenis hiervan zien in het licht van de ontwikkeling en de verzelfstandiging van de geometrie, zoals we die nu kennen? Met andere woorden: wat was eigenlijk het onderwerp van Euclides’ Elementen voor de Griekse denker zelf?
De Elementen begint met definities van de grondbegrippen, punt en lijn. Euclides definieert rechte lijn in Definitie 4 als volgt:
Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
( Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai )
A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.
“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”
De definitie heeft heel wat hoofdbrekens gekost. Is dan niet iedere lijn recht? Hoe verhouden de punten die op de lijn liggen zich tot de lijn waarop ze liggen?
Het Griekse εὐθεῖα wordt vertaald als ‘recht’. Maar deze term heeft een veel ruimere betekenis dan alleen in de zin van een rechte lijn in meetkundige zin.
In de Griekse versie van Handelingen 8.21 komt εὐθεῖα voor in een tekst die vertaald wordt als: “Gij hebt geen deel noch lot in dit woord, want uw hart is niet recht voor God.” Recht betekent ook rechtvaardig of volgens het recht.
De neiging om het onderwerp van Euclides Elementen te vereenzelvigen met het onderwerp van de latere meetkunde, een kennisgebied dat als zelfstandig onderdeel van de wiskunde nog niet bestond, staat het begrip van Euclides Elementen in de weg. Er zijn heel wat meer gebieden waar de begrippen lijn en punt en recht betrekking op hebben. Bijvoorbeeld als het gaat over het leven en de ontwikkeling van een persoon. Hoe verhouden de momenten in de geschiedenis en de ontwikkeling van een proces zich tot het geheel waarvan het de momenten zijn? Kunnen we een levenslijn ‘recht’ noemen wanneer de lijn samenvalt met de momenten die erop liggen?
Deel 1: De Geometrie
Zo’n 300 jaar voor Christus schreef Euclides van Alexandrië in zijn Elementen wat hij onder een punt en wat hij onder een lijn verstaat. Een punt is “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“. De derde definitie is: “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan komt de vierde, de meest opmerkelijke:
“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”
Dit is de formulering zoals J.H. van den Berg die geeft in zijn Metabletica van de Materie (1969).
In de Engelse vertaling van Sir Thomas L. Heath, die bekend staat als de beste vertaling van de oorsponkelijke Euclidische tekst: “A straight line is a line which lies evenly with the points on itself”. (The thirteen Books of Euclid’s Elements. Sir Thomas Little Heath. New York. Dover. 1956.)
De vraag die onmiddellijk opkomt is: is dan niet iedere lijn een rechte lijn? Maar waarom dan een aparte definitie van een rechte lijn? Na de definities volgen de postulaten waarvan de eerste is: “Van elk willekeurig punt naar elk ander punt kan één rechte lijn getrokken worden.” Daaruit zouden we kunnen concluderen dat Euclides wel degelijk ook niet-rechte lijnen als lijnen beschouwde (‘krommen’). Daarvan is het kenmerk kennelijk dat ze niet samenvallen met de punten die erop liggen. Het is duidelijk dat Euclides geworsteld moet hebben met deze tekst om dit begrip uit te drukken.
Deze worsteling moeten we zien als een uiting van één van de belangrijkste ontdekkingen die de ‘oude Grieken’ hebben gedaan: de ontdekking dat wiskunde geen natuurwetenschap is. Het is onderdeel van de eerste grote revolutie in het Europese denken die de moderne wetenschap en techniek in leidde.
We staan met Euclides aan de wieg van de zuivere wiskunde. Dat Euclides zich ervan bewust was, en dat ook wilde benadrukken, dat hij het niet over aanwijsbare, waarneembare, dingen in de natuur had, dat blijkt uit zijn ‘negatieve’ formuleringen: “dat wat geen delen heeft”, “een lengte zonder breedte”. Een punt is geen punt zoals je die met een potlood op papier tekent. Dat is slechts hoe wij een punt soms voorstellen. Een punt is ook geen geheel, want een geheel bestaat uit delen. In dat licht moeten we die merkwaardige definitie van de rechte lijn zien. Hoe kun je zo’n begrip uitleggen wanneer je niet kunt verwijzen naar iets bekends in de waarneembare wereld, naar iets dat buiten de wereld die in de Elementen geconstrueerd wordt, al bekend is?
Het zou nog eeuwen duren voordat het bewustzijn van de eigenaard van de wiskunde, de bevrijding van de natuurwetenschappen, volledig bewaarheid zou worden. De vraag is óf de wiskunde zich wel volledig van de ervaring kan bevrijden.
“Die Weltgeschichte ist der Fortschritt im Bewusstsein der Freiheit.” schreef de grote filosoof G.W.F. Hegel in zijn Philosophie der Geschichte. Bij de Grieken is het bewustzijn van de vrijheid van de geest ontstaan, waardoor deze ook in potentie vrij werd. Maar dat betekent nog niet dat alle Grieken meteen vrije mensen waren. Zo is het met de vrijheid van de wiskunde. Lange tijd werden wiskunde, natuurwetenschap en metafysica niet onderscheiden. Pas in de 17-de en 18de eeuw werd de wiskunde als een zuivere wetenschap gezien. En daarmee werd ze geleidelijk aan ook de maat voor wat wetenschap mag heten. De inspanningen van Lagrange en tijdgenoten de dynamica, als uitbreiding van de mechanica, te baseren op fundamentele principes en deze van metafysische invloeden (zoals het vitale krachtbegrip) te bevrijden uiten zich in de mathematisering van de mechanica, in die zin dat de natuurkundige inhoud op mathematische wijze werd geformuleerd. Bij Kant vinden we de uitspraak dat de kennisinhoud van de natuurwetenschap (waarbij hij de Newtonse mechanica op het oog had) bepaald wordt door de hoeveelheid wiskunde. “… das in jeder besondere Naturlehre nur so viel eigentliche Wissenschaft angetroffen werden könne, als darin Mathematik anzutreffen ist.” (Kant, Metaphysische Anfangsgründe, 14 (A VIII).
Kan de wiskunde de last van de werkelijkheid wel dragen? De vraag naar de fundamenten van de wiskundige kennis werd steeds prangender. Als er niet iets buiten de wiskunde is waarop ze zich kan funderen kan ze dan misschien die fundering in zichzelf vinden? We weten inmiddels wat de pogingen daartoe ons gebracht hebben: de hoofdpijn van de paradoxen (zoals de Russell Paradox), de Gödelstellingen. De geest van de wiskunde kan haar eigen waarheid en zinvolheid niet bewijzen. Uit deze metamathematische zelfreflectie, die verliep via de omweg van de mathematisering van de taal van de wiskunde, kwam als een aap uit de mouw de informatica, de kunstmatige intelligentie. Zoals de uurwerken voor het aanduiden van de tijd onstonden als bijvangst uit de modellering van de kosmos zo is de computer ontstaan als bijvangst uit de zelfreflectie van de wiskunde, de mathematische modellering van het (rekenende) denken zelf.
Terug naar Euclides definitie van de rechte lijn: een lijn die samenvalt met de punten die erop liggen. Velen hebben zich afgevraagd hoe we Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn moeten begrijpen. Bij de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis vinden we de volgende definitie van de rechte lijn. Die lijkt ons indirect te wijzen naar de oplossing van dit raadsel. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is, houdt hij deze op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt ervan. Als er geen tussenliggende punten van de lat zichtbaar zijn is de lat recht. Dan liggen alle punten ervan op die lijn. Deze ‘definitie’ maakt echter gebruik van een zichtlijn en veronderstelt dat de zichtlijn recht is. Mogen we dat zomaar aannemen? Volgt het licht een rechte lijn? Volgens de huidige inzichten in de fysica niet. De materie zou de ruimte krom trekken. Euclides wist dat hij geen fysica bedreef en kon dus geen beroep doen op zoiets als een zichtlijn, die als maat zou kunnen dienen voor de rechtheid van een meetkundige rechte. Die laatste was juist maat voor de eerste. Hoe moest hij zich hier uit redden?
Een lijn(stuk) is een continuum, een geheel dat deelbaar is in delen die zelf ook weer continue gehelen zijn. (“deelbaar in delen gelijksoortig aan het geheel” zou de Hollakiaanse definitie luiden volgens Harm Boukema in een notitie over deel en geheel bij Angelinus.) Zou Euclides gebruik hebben kunnen maken van een middel waarvan in zijn tijd wel vaker door de filosofen gebruik was gemaakt? Denk maar aan de paradoxen van Zenon. Die bedacht een constructie waarmee hij ‘bewees’ dat Achilles de schildpad nooit in kon halen. Een recursieve definitie zou als volgt kunnen luiden. Om te beginnen is een lijn(stuk) waarvan begin- en eindpunt samenvallen vanzelfsprekend recht: alle punten liggen er op. Als begin en eindpunt niet samenvallen, dan is een lijn recht als je deze op ieder willekeurig punt, zeg p, ervan op kunt delen in twee rechte (deel)lijnen. Een stel punten, die een lijn vormen, vormen een rechte lijn wanneer voor elk tweetal punten ervan geldt dat als je er een rechte lijn tussen trekt, de andere er allemaal op liggen. Dat geldt dus ook voor elk tweetal punten waarvan eentje op de ene deellijn, de andere op de andere deellijn ligt. Als je daar een rechte lijn tussen trekt dan moet het deelpunt p op die lijn liggen.
De informaticus definieert iets door gebruik te maken van het enige wat hem al definierend ter beschikking staat, via de uitwendigheid van de taal, de uitdrukkingen die hij in zijn definitie gebruikt. (Zo wordt de lengte van een eindige lijst gedefinieerd in termen van de lengte van zijn deellijsten.) Merk op dat zonder gebruik te maken van eenzinnige tekens (identifiers) we wiskundige objecten niet kunnen identificeren en er dus ook niet over na kunnen denken. In de programmeerbare automaat wordt de natuur, de tijdelijke en ruimtelijke uitwendigheid van de geest, gebruikt om de wiskundige tekens hun werk te laten doen: rekenen. De succesvolle werking van de rekenmachine is nu het enige ‘bewijs’ van de waarheid van de wiskunde.
Twee opmerkingen moeten nog gemaakt worden bij mijn voorstel voor een recursieve definitie van de rechte lijn. Ten eerste: de Grieken zouden met het basis-geval, de situatie waarin begin- en eindpunt van de lijn samenvallen en de lijn dus gedegenereerd is tot een punt, serieuze problemen hebben. Zo iets kon net zo min bestaan als het vacuum kon bestaan. (Met dank aan Albert Visser die me hier op wees). Men zat nog teveel vast aan de materiële werkelijkheid. Merk daarbij op dat een lijn niet bestaat uit punten. Een punt heeft geen lengte en kan dus geen deel zijn van een lijn. Ten tweede eindigt de recursie niet, vanwege de oneindige dichtheid van het continuum. Die reductie houdt niet op; een lijnstuk bevat immers oneindig veel punten. Zenons paradox van Achilles en de schildpad is juist een paradox omdat je inziet dat je oneindig door kunt gaan zonder dat Achilles de schildpad inhaalt, terwijl je uit ervaring weet dat dit wel gebeurt.
Wat tegelijk continue en discreet is, zoals de reële rechte die we als oneindige puntenverzameling en als continue lijn denken, is niet zonder meer voorstelbaar. De klassieke wiskundigen wisten al wel dat er tussen het zuiver mathematische en het voorstelbare een benaderingsrelatie bestaat. Maar omdat het benaderde continuüm en de discrete benadering in verschillende categorieën vielen (en vallen ?) konden zij de onbeperkte benaderbaarheid zelf niet mathematisch uitdrukken. Pas in de infinitesimaalrekening waarin het mathematisch oneindige als mathematische limietobject wordt ingevoerd kan dit benaderingsproces als voltooid gedacht worden. Iets wat de Grieken niet konden. Omdat vanaf de 16de eeuw de natuur steeds meer zelf als mathematisch geheel werd gezien, dat zich aan wiskundige wetmatigheden gehoorzaamde, kon deze als legitimatie gezien worden voor het bestaan van de wiskundige limiet. Maar voor Euclides en zijn tijdgenoten kon de rechte lijn niet als limiet van een kromme gezien worden.
Niettemin geeft de recursive definitie meer inhoud aan de definitie van Euclides die we als een soort van conclusie van deze denkbeweging kunnen zien. De abstracte idee van de rechtheid is een transcendentale limiet van de recursieve definitie. Wiskundig kunnen we de stap naar het oneindige, naar de limiet, wel denken, maar we kunnen deze niet daadwerkelijk uitvoeren. Alleen ‘in het oneindige’ zal de fles waaruit we telkens de helft van wat er nog in zit opdrinken leeg zijn.
Henri Poincaré merkt op dat men bij het onderzoek van de definities en bewijzen van de meetkunde zich genoodzaakt ziet, niet alleen de mogelijkheid van de beweging van een onveranderlijke figuur, maar ook enkele van haar eigenschappen te aanvaarden, zonder deze te bewijzen. Dat blijkt volgens Poincaré uit de definitie van de rechte lijn. “Daarvan zijn er vele gegeven die onjuist zijn.” De juiste is volgens hem de volgende.
“Het kan voorkomen dat een onveranderlijke figuur zodanig bewogen wordt, dat alle punten van een lijn die tot die figuur behoort op hun plaats blijven, terwijl alle punten die buiten die lijn liggen verplaatst worden. Een dergelijke lijn heet een rechte lijn.” (Poincaré, Wetenschap en Hypothese, p. 77). Twee figuren zijn congruent wanneer men ze op elkaar kan leggen. Maar dit veronderstelt dat ze verplaatsbaar zijn zonder hun vorm te veranderen en wel op de manier zoals we een onveranderlijk vast lichaam verplaatsen. We blijven dus als wiskundigen vast zitten aan onze ervaring van de natuurlijke vaste lichamen. Volgens Poincaré veronderstellen de Euclidische definities impliciet het bestaan van onveranderlijke vaste figuren. Zonder die vaste voorstellingen kunnen we geen wiskunde bedrijven.
Na de laatste grote revolutie in de relatie tussen wiskunde en natuur die tot de informatisering heeft geleid zal het wiskundig teken de functie van ‘vaste voorstelling’ overnemen.
Wat Euclides doet is wiskunde bedrijven. Althans, zo zien we het nu, achteraf. In een tijd waarin het voor de mens nog alles behalve gesneden koek is dat wiskundige objecten niet op dezelfde wijze bestaan als de waarneembare dingen om hem heen. Getallen zijn geen dingen zoals stoelen en tafels. Het zijn ‘gedachtedingen’. Een punt is niet een waarneembaar object, zoals een steen of een appel. Een appel is deelbaar, uitgebreid. Een punt is dat niet. “Een lijn is een lengte zonder dikte.” Negatieve bepalingen. Dit is geen fysica! zo wil Euclides ons zeggen. Van een ‘fysische’ lijn kunnen we soms zeggen dat de dikte verwaarloosbaar is, maar niet dat deze geen dikte heeft. Het is een vorm van mathematisme (zeer populair overigens) te denken dat de mathematische lijn door een ‘limietproces’ uit een fysische lijn kan ontstaan, namelijk door de dikte naar nul af te laten nemen. Fysische objecten en mathematische objecten behoren tot verschillende zijnsordes.
Zolang de wiskunde bestaat is het een probleem hoe die zich tot de waarneembare werkelijkheid verhoudt; hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is, maar ook wat de grenzen aan die toepasbaarheid zijn. Zie daarover het proefschrift van L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit (Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982) of zijn Beyond Structure. Ook zijn filosofiecollege ging daarover.
Hoe kun je een definitie van iets geven dat niet voorstelbaar is en dat ook niet refereert naar iets dat al bij de lezer bekend is? Dan moet die definitie wel naar iets in die definitie zelf verwijzen. Zo’n definitie moet het dus van de woorden of tekens hebben waarin het begrip dat door de definitie wordt uitgedrukt zelf wordt uitgedrukt. “Zo’n circulaire definitie, dat mag niet”, zeiden de filosofen. “We doen het toch”, zeggen de informatici en ze schrijven programma’s met recursieve definities van functies die zichzelf aanroepen. Wat is het probleem! Het werkt toch! In iedere zuivere wiskundige schuilt een informaticus. En deze vraagt zich vervolgens verbaasd af hoe het toch mogelijk is dat zijn wiskundige structuren werken.
Deel 2: Fysica: De identiteit van het deeltje
“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”
Leibniz dacht dat wanneer we de begintoestand van een systeem kennen we met behulp van de wetten der natuur, zoals Huygens en Newton die hebben geformuleerd, de toekomst ervan kunnen berekenen. Dat blijkt niet zo te zijn. “Je moet niet alleen de begintoestand maar ook de eindtoestand voorschrijven” om de baan van een deeltje te berekenen. (Vincent Icke, De Principes van Huygens, p. 114).
In de kwantumfysica kunnen we van elk individueel deeltje pas achteraf inzien waarom het de baan volgt die het heeft afgelegd. Wat bepaalt of een lichtdeeltje weerkaatst wordt door de ruit, of erdoor heen gaat? Niets. Dat is het antwoord dat Icke geeft op die vraag. Het is nog onbepaald. Het natuurproces is het bepaald worden van de natuur, van de deeltjes. Het is dus niet zo dat vóór dat er werkelijk iets gebeurt het al vastligt wat dat is dat er gaat gebeuren. Zo te denken is alsof er een ontwerp ten grondslag ligt aan de natuur. Van vrijheid en creativieit is dan geen sprake meer. Alles is dan al bedacht.
Deel 3: Een levenslijn
De kortste lijn van A naar B is de rechte lijn. En daarvan is er maar één.
Een levenslijn is een rechte lijn volgens de definitie van Euclides. De enige rechte en ook de kortste. De discrete momenten in het verleden vallen samen met de eenheid, de continue levenslijn, die de identiteit van de persoon uitmaakt.
Ondanks alle onzekerheden van de keuzemomenten, ondanks al die zaken die de aandacht trekken en het ik af doet wijken van het voorgeschreven curriculum, de rechte lijn die als maat moet dienen voor een op een bepaalde toekomst gerichte studie, kunnen we stellen dat deze momenten liggen op ‘het kortste kronkelpaadje’ dat ik tijdens mijn studie heb afgelegd. Had ik op enig moment anders gekozen dan ik gedaan heb, dan was ik nu immers een ander geweest. Maar gegeven wie ik nu ben, liggen achteraf de momenten vast en konden ze niet tot iets anders leiden dan tot het moment van nu.
De fysicus en voormalig Minister van Onderwijs en Wetenschappen Robbert Dijkgraaf merkte in zijn nota Inzet Werkagenda mbo over het Middelbaar Beroeps Onderwijs (20 oktober 2022) op: “Voor mij staat voorop dat elke student een duurzame toekomst met perspectief verdient. Ongeacht achtergrond, sociaal-economische positie van hun ouders of ondersteuningsbehoefte moet iedereen mee kunnen doen in de maatschappij en op de arbeidsmarkt. Iedereen heeft bij zijn studie de rust en ruimte nodig om z’n eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.”
Daarmee wil hij, denk ik, zeggen dat hij liefst geen lijn (curriculum) zou willen opleggen voor de levenslijn (studie) die de student zou moeten volgen en die zou moeten dienen als maat om te bepalen of deze succesvol (recht en daarmee de kortste) is. ‘De bestemming’ wordt door iedere student zelf tijdens zijn leven bepaald en is niet een punt in de toekomst dat al van te voren vastgelegd kan worden. Zoals je van een deeltje in de fysica ook pas achteraf de weg kan berekenen die het is gegaan. De kortste, rechte, levenslijn is die waarop alle momenten van het leven tot aan het nu liggen. Dat geldt niet alleen voor studenten en schoolse curricula.
Het zal duidelijk zijn dat deze stelling ethische consekwenties heeft voor het beoordelen van het ‘nut’ van de momenten van een mensenleven.
Ieder individueel leven heeft zijn eigen geometrie. Je daarvan bewust te zijn dat is het begin van de (soms als een verschrikkelijke last ervaren) vrijheid. Reeds Aristoteles sloot niet uit dat euclidische en niet-euclidische meetkundes naast elkaar als logische systemen kunnen bestaan. Dat zou alleen een probleem zijn wanneer met die logica’s ook één universele ontologie zou moeten bestaan. Niet alle levens hoeven elkaar echter te ontmoeten. Maar zonder de ontmoetingen zou het leven niet de moeite waard zijn. Ja, zonder die momenten zou dat leven zelfs inhoudloos zijn.
Bronnen en noten
Beason, Michael (2022). On the notion of equal figures.
Dit artikel bespreekt de notie ‘area’ (oppervlak, of ruimte die een figuur inneemt) een notie die bij Euclides niet expliciet voorkomt. Maar het bewijs dat Euclides geeft van de stelling van Pythagoras gaat wel uit van het deelbaar zijn (knippen) van een vierkant of driehoek en het verplaatsen ervan. Euclides meet geen lengtes en oppervlakte, kent er geen getal aan toe. Meetkundige figuren krijgen daardoor iets fysisch, materieels. Verplaatsen wordt dan ook beschouwd als een mechanische notie, niet als een mathematische. Poincaré bespreekt dit punt ook. Tegenwoordig wordt dit door middel van een afbeelding (functie) beschreven. De dekpunt-verzameling van een functie van de punten van een vlak in dat vlak zelf die twee punten a en b bevat vormt een rechte lijn tussen a en b. Dit veronderstelt echter de notie ‘plat vlak’. Bij Descartes krijgen de punten een locatie t.o.v. een als vast gedacht assenstelsel. Punten en lijnen, geometrische objecten, zijn dan dingen die in een reeds bestaande ruimte lijken voor te komen.
J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.
J. Christiaan Boudri (1994). Het mechanische van de mechanica – Het krachtbegrip tussen mechanica en metafysica van Newton tot Lagrange. Proefschrift Universiteit Twente. Promotor: Prof. dr. H.F. Cohen.
E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.
Euclides. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick.
This edition of Euclid’s Elements presents the definitive Greek text—i.e., that edited by J.L. Heiberg (18831885)—accompanied by a modern English translation, as well as a Greek-English lexicon.
Definitie 4 luidt:
Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
( Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai )
Vertaald: A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.
Het Griekse εὐθεῖα wordt vertaald als recht, wat een veel ruimere betekenis heeft dan alleen in de zin van een rechte lijn in meetkundige zin.
In de Griekse versie van Handelingen 8.21 komt het voor in een tekst die vertaald wordt als: “Gij hebt geen deel noch lot in dit woord, want uw hart is niet recht voor God.”
L.E. Fleischhacker, Over de grenzen van de kwantiteit, Proefschrift, Uitgave Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982.
Fleischhacker, Louk E. (1995). Beyond structure; the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europäischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.
Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond, Springer-Verlag, New York, 2000.
Th. L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.
G.W.F.Hegel (1837). Vorlesungen über die Philosophie der Geschichte. Philipp Reclam Jun. Stuttgart. Universal Bibliothek, 1961.
Poincaré, Henri (1979). De niet-euclidische meetkunden. Opgenomen in de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, 1979.
Proclus (1792). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid’s Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020.
Proclus Diadochus (412-485 na Chr.) . Hij schreef uitvoerig commentaar op het werk van Euclides van Alexandrië (300 v Chr). Bij hem vinden we een stelling die gelijkwaardig is aan het parallellenpostulaat; de som van de drie hoeken van een driehoek is gelijk aan een gestrekte hoek.
Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.
Volgens Imre Tóth toonde de ontdekking van de niet-euclidische meetkunde aan dat Kant gelijk had dat de meetkunde synthetisch apriori kennis inhoudt. De fysische werkelijkheid is immers niet niet-euclidisch, dus deze meetkunde zegt niets over de ruimte zoals we die kennen.
Tóth betoogt dat de meetkunde ontstaan is uit de praktijk van de omgang met de natuur. Ook al is het een ‘zuivere wetenschap’ (Kant). De niet-euclidische axioma’s zijn in feite negaties van dezelfde inhoud waar ook de euclidische meetkunde over gaat. De inhoud is het begrip, driehoek. Euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is 2R. Niet-euclidisch: de hoekensom van alle driehoeken is niet 2R. Het is niet mogelijk dat sommige driehoeken een som hebben van 2R en andere niet. Maar dit sluit niet uit dat er zowel euclidische als niet-euclidische meetkundes kunnen bestaan. (p.16).
Tóth wijst erop dat Aristoteles de enige was voor wie het een ‘reeële’ mogelijkheid was dat een driehoek een hoekensom heeft die niet gelijk 2R is. Tóth sluit niet uit dat er zowel, naast elkaar, euclidische als niet-euclidische ruimtes kunnen bestaan. Hij besteedt een lange voetnoot 112 aan het punt dat een formele logica niet als een ontologie hoeft te worden beschouwd.
