Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (David Hilbert, 1926).
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over Het Paradijs.
Hoelang blijf je besmettelijk?
Stel je bent positief getest op COVID-19 en je bent thuis herstellend van de ziekte. Na een paar weken zijn de verschijnselen: hoesten, snotteren, lamlendig zijn, vrijwel over en je wilt wel weer eens onder de mensen. Dan rijst de vraag: “Wanneer mag ik weer naar buiten?”. Kan ik nog steeds anderen besmetten? Vandaag stond er een artikel over in de Volkskrant van Ronald Veldhuizen (VK 01-09-2020). Het blijkt dat de geleerden het er niet helemaal over eens zijn en dat er in verschillende landen verschillende richtlijnen gelden. Het RIVM zegt na zeven dagen klachtenvrij mag je weer uit quarantaine. Maar wat is precies klachtenvrij? Mag een kuchje nog? Daarover schrijft Veldhuizen:
Voor thuiszitters bestaat er helaas geen handige test om na te gaan of je nog besmettelijk bent. Nog een keer naar de teststraat met dat laatste kuchje? Dat heeft geen zin, want de test slaat aan op elk restje virus dat nog in het lichaam rondwaart, ook deeltjes die de afweer al onklaar heeft gemaakt.
Voor mij is dat nieuw. Dat het lichaam afweerstoffen maakt tegen het virus was bij mij bekend, maar dat het lichaam de virusdeeltjes onklaar maakt zodat ze ook niet meer in staat zijn anderen te besmetten, terwijl ze nog wel zorgen voor een positief testresultaat, dat was voor mij nieuw. En ik vraag me af: klopt dat wel? Maar daar gaat het me hier niet om. Het gaat me om de behoefte aan zekerheid die uit het artikel naar voren komt. En niet alleen uit dit artikel, steeds weer blijkt die uitdrukkelijke wens om van de experts, de wetenschappers, te horen hoe het nou precies zit. En om van de overheid consistente regels te horen. We schijnen een goed gevoel te hebben voor consistentie.
Een opmerking in het artikel die me trof komt van klinisch viroloog Van Kampen van het Erasmus MC in Rotterdam. Hij vindt het niet zo gek dat landen op basis van allerlei onderzoek verschillende isolatieperioden hanteren:
‘Als het allemaal kristalhelder zou zijn, zou iedereen hetzelfde doen.’
Kristalheldere conclusies, klare en heldere ideeen, waar vind je ze nog? Zijn ze er nog: Descartes’ idees claires et distinctes? Kan de wiskunde, en beroept iedere wetenschap zich tegenwoordig niet op wiskundige modellen, ons misschien die door ons zo vurig begeerde zekerheid en exactheid bieden?
Het wiskunde proefwerk
Ik was nog maar net wiskunde-docent op een middelbare school toen ik samen met een collega een wiskunde proefwerk voor de 4 Gym klassen moest maken. De collega was een al wat oudere ervaren docent die geliefd was bij de leerlingen, had ik begrepen. Een degelijke wiskunde-docent van de oude stempel. Waarschijnlijk opgevoed in de stijl van definitie, stelling, bewijs en verder geen flauwekul. De leerlingen wisten wat ze aan hem hadden.
Ik had een opzet gemaakt voor het proefwerk. We bespraken het bij hem thuis onder het genot van een kop thee. Hij vond het een prima proefwerk. Op één opgave na. Ik weet niet meer hoe de opgave luidde, maar nog wel wat zijn kritiek was. De opgave ging namelijk over een verzameling die verzamelingen als element had. En dat kon volgens hem absoluut niet. Ik was verbaasd. Hoe kon een docent die nota bene wiskunde had gestudeerd aan de universiteit van mening zijn dat een verzameling geen verzamelingen kan bevatten? Ik heb nog even geprobeerd hem te overtuigen dat dat toch echt geen probleem was, maar hij hield voet bij stuk. Ik gaf het op; uit ontzag. We waren het snel eens over een door hem voorgestelde alternatieve opgave. We hebben het er nooit meer over gehad.
Later bedacht ik me dat mijn collega misschien vond dat het voor de 4 Gym leerling een wat vreemd idee was, een verzameling die verzamelingen bevat, en vond hij dat je zijn leerlingen daarmee niet in verwarring mocht brengen. Tijdens mijn studie wiskunde en informatica had ik een keuzevak Axiomatische Verzamelingenleer gedaan. In het leerboek Verzamelingen van D. van Dalen, H. Doets en H. de Swart, dat ik als basismateriaal voor dit vak bestudeerde,schrijven de auteurs op pagina 3 al: “Het is belangrijk te weten dat een verzameling zelf ook element van een andere verzameling kan zijn. De wiskunde is vol van voorbeelden van verzamelingen van verzamelingen.” Als eerste voorbeeld noemen ze een lijn. Die kan men als verzameling van punten opvatten. Een vlak is dan op natuurlijke wijze een verzameling van lijnen ofwel een verzamelingen van verzamelingen (van punten). Nu ik dit weer teruglees denk ik: oeps! een lijn een verzameling van punten? Hoeveel punten dan? Maar bij eerste lezing neem je zoiets voor lief. Waarom vonden de auteurs, niet de eerste en de beste op het gebied van de grondlagen van de wiskunde, het zo belangrijk om te weten dat een verzameling ook verzamelingen kan bevatten?
Mijn afstudeerdocent bij wie ik voor dit vrije keuze-vak tentamen deed, zag dat de wiskunde als de metafysica van de moderne wetenschap werd beschouwd. De idee dat kennis pas echt wetenschappelijke kennis is wanneer je dit in wiskundige modellen en liefst ook nog in computerprogramma’s kan uitdrukken is tegenwoordig wijdverbreid. Omdat de werkelijkheid nu eenmaal structuur is. Zie bijvoorbeeld Our Mathematical Universe van Max Tegmark, medeoprichter van het Future of Life Instituut. Als die wiskunde dan zo belangrijk is als fundament van de wetenschap dan is de vraag des te meer van belang waar dan die wiskunde op gebaseerd is.
De behoefte aan een fundament voor de wiskunde ontstond in de 19de eeuw toen duidelijk werd dat de wiskundige waarheden niet zonder meer gefundeerd zijn in de werkelijkheid. De waarheid van de meetkundige stellingen, zoals de stelling dat de som van de drie hoeken van een driehoek 180 graden is, was lange tijd voor onbetwijfelbaar gehouden. De ruimte waarin we leven is nu eenmaal zo georganiseerd. Totdat bleek dat er ook niet-Euclidische ruimtes zijn waarin deze stelling helemaal niet geldt. En die nieuwe meetkundes bleken zeer geschikt in de moderne fysica. Tegmark meent dat er parallelle universa bestaan. Onze werkelijkheid lijkt helemaal niet eenduidig voor te schrijven hoe deze wiskundig moet worden beschreven. Maar waarop is de waarheid van wiskundige stellingen dan gebaseerd? Is er een begrip dat zo helder is dat we de wiskunde er op kunnen baseren?
De ontwikkeling van de verzamelingenleer beschrijft de poging om de veel gehuldigde hypothese dat alles een verzameling is, dat wil zeggen dat je alle wiskunde kunt coderen in termen van verzamelingen, te rechtvaardigen. Een hachelijke onderneming. Dat levert dan ook een heel spannend “geschiedenisboek” op over de wiskunde op zoek naar een vaste grond. Zal het lukken de wiskunde en daarmee onze moderne wetenschap op rotsvaste zekerheden te bouwen?
Had mijn collega wiskundedocent misschien toch niet gelijk toen hij mijn voorstel voor een proefwerksom waarin een verzameling van verzamelingen voorkwam onacceptabel vond? Omdat je nooit te oud bent om van gedachten te veranderen dook ik het verleden maar weer eens in.
Georg Cantor (1845-1918) geldt als de grondlegger van de verzamelingenleer. Bij hem en bij zijn tijdgenoten leefde dezelfde behoefte aan helderheid en zekerheid die we bij de COVID-19 patienten zien. Hoe is het Cantor’s project vergaan? En hoe is het Cantor vergaan?
De Strijd om het Oneindige
Tegenwoordig hebben de meeste mensen waarschijnlijk geen problemen met de idee dat een verzameling oneindig veel elementen kan bevatten. We hebben het over alle sterren in het heelal of over alle punten die op een lijn liggen en maken ons er niet zo druk over of het hier om een ontelbaar groot aantal gaat of over een oneindig groot aantal. De natuurlijke getallen kent iedereen: 1,2,3,… en de meeste mensen hebben geen probleem met het idee dat er geen grootste natuurlijk getal bestaat. Hoe groot een getal ook is, je kunt er immers altijd 1 bij optellen, en zo maar door. Tot in het oneindige…
De oude culturen kenden wel het begrip verzameling, maar dan ging het altijd om eindige verzamelingen van objecten. Natuurlijke getallen zijn ook al heel oud en de Grieken wisten dat getallen en driehoeken, de objecten van de wiskunde, niet tot de waarneembare dingen behoren. Maar verzamelingen die oneindig groot zijn, die kende men niet, ze bestonden niet. Oneindigheid en het oneindige was meer iets voor theologen en filosofen, niet voor gewone mensen. God is oneindig, daar waren de meeste theologen het wel over eens, maar verzamelingen niet. Er zijn wel oneindig veel natuurlijke getallen, maar of er ook een iets, een verzameling, een totaliteit, een afgesloten geheel, bestaat dat die oneindig veel getallen bevat? Dat vond men een vreemd idee.
Cantor vond van niet. Zijn onderzoek op het gebied van de analytische wiskunde bracht hem er toe een logische theorie te ontwikkelen over oneindige verzamelingen. Zijn theorie onderscheidt zelfs verschillende soorten van oneindigheid. Hij ging daarmee in tegen de heersende opvattingen. Deze werden bewaakt door de wiskundigen die de redacties van de belangrijkste tijdschriften bemanden. Zoals door Kronecker. Van Kronecker is de bekende uitspraak dat God de natuurlijke getallen schiep, maar dat de rest mensenwerk is.
“Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.”
Kronecker was fel tegen Cantors “filosofische speculaties” over oneindige verzamelingen. In zijn Bachelorscriptie “Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor” schrijft Pieter van Niel (student van wiskundige en historicus Gerard Alberts aan de UvA) hierover:
“Kronecker wou nu juist, door de wiskunde te gronden in de gehele getallen, de wiskunde vrij houden van deze filosofische speculaties. In het algemeen had de wiskunde in die tijd erg last van ‘quasi-wiskunde’, of zoals Meschkowski het omschrijft: ‘Was damals in manchen “Lehrbuchern” uber die Analysis geschrieben wurde, könnte einen klaren Denker schon verärgern, …‘
Kroneckers opvattingen waren dus een logische tegenreactie van een steeds onduidelijker wordende wiskunde en een poging om de wiskunde zijn zuiverheid (terug) te geven door haar te baseren op de theorie van de gehele getallen.” (P. van Niel, 2015, p.30)
Cantor moest dus op zijn tellen en op zijn woorden passen, wilde hij zijn theorie over “transfiniete getallen” gepubliceerd krijgen. Hij wilde de wiskunde baseren op het “logische” begrip verzameling.
Welkom in Cantor’s Paradijs
Georg Cantor definieerde een verzameling (Menge) als volgt:
Cantors definitie in het Nederlands luidt dan:
Een verzameling is een samenraapsel M van bepaalde goed onderscheiden objecten van onze aanschouwing of ons denken (die we de elementen van M zullen noemen) tot een geheel.
Het is een definitie waarin het woord Zusammenfassung (dat ik als samenraapsel vertaal) gebruikt wordt om het begrip verzameling te definieren. Dat helpt niet echt zou je zeggen: een begrip definieren door middel van een begrip dat al net zo vaag is. Maar het is wel duidelijk dat de verzameling het resultaat is van een mentale aktie die vooraf gegeven objecten bij elkaar neemt.
Sluit deze definitie uit dat een verzameling een verzameling als element heeft? Cantor sloot dit zeker niet uit. Hij besteedt er geen woord aan wat voor dingen die “elemente von M” kunnen zijn, behalve dan dat het “objecten van onze voorstelling of van ons denken” zijn. Integendeel. Hij gaat al direct over tot een volgende abstractiestap. Iedere verzameling heeft een “power” of “kardinaal getal”: dat is het “aggregraat” dat uit een verzameling M ontstaat door abstractie van de identiteit (de natuur) van de elementen ervan. Wat blijft er over van een element als we abstraheren van de eigenheid ervan, van datgene waarin het zich onderscheidt van de andere elementen? Wat we dan overhouden is de abstracte eenheid. Het aggregaat bevat dus voor elk element van M een exemplaar van die eenheid. Dit aggregaat is volgens mij geen verzameling, hoewel Cantor de term aggregaat als synoniem voor verzameling lijkt te gebruiken. Waarom is het kardinaal getal van een verzameling geen verzameling? Omdat de elementen ervan niet meer onderscheidbaar zijn. Of zijn twee eenheden die alleen als objecten van ons denken bestaan en geen eigen identiteit hebben waardoor ze niet van elkaar verschillen, toch nog “wohlunterschiedenen Objekte”? Je kunt twee centen hebben, of twee schroefjes, die precies gelijk zijn en alleen van elkaar verschillen door de plaats die ze innemen en het materiaal waarvan ze gemaakt zijn. Maar hoe zit dat met de elementen van een verzameling, met puur gedachte objecten waar zijn die van gemaakt? Dat zijn geen materiele dingen. Hoe kunnen er dan twee exemplaren van zijn? Toch kunnen we ook het getal 1 bij het getal 1 optellen alsof het twee verschillende instanties van precies hetzelfde wiskundige object zijn. Alsof het materieel onderscheiden objecten zijn. Het is alles allerminst helder daar aan de basis van de wiskunde.
Cantor besteedt geen woord aan dit probleem. In Cantors paradijs, dat hij als een soort Baron van Munchhausen uit niets meer dan een paar voor logisch gehouden inzichten opbouwde mogen verzamelingen verzamelingen als element hebben. Helaas leidde dit naieve verzamelingbegrip al snel tot problemen. Zo construeerde Russell de verzameling R van alle verzamelingen die zichzelf niet als element bevatten. De vraag of R zichzelf bevat leidde tot het inzicht dat dit het geval is als het niet zo is en omgekeerd. Tegen alle logica in.
De oplossing die voorgesteld werd bestond uit het onderscheiden van verschillende types verzamelingen. Weliswaar mag een verzameling andere verzamelingen als element hebben, we hebben immers niets anders dan verzamelingen, het moet worden uitgesloten dat een verzameling zichzelf als element heeft. Bij dekreet werd dit uitgesloten. Zermelo en Fraenkel werkten aan een axiomatische opbouw van het bouwwerk van de verzamelingen, een theorie waarin alle bekende wiskunde kon worden gereconstrueerd. Het regulariteitsaxioma van ZF, de axiomatische theorie die moet vastleggen wat een verzameling is, door te zeggen wat allemaal waar is, sluit deze zichzelf bevattende verzamelingen netjes uit. Het zorgt er als het ware voor dat er een ordelijke opbouw van het universum van alle verzamelingen wordt gemaakt.
Voor Cantor is een kardinaal-getal de equivalentieklasse van alle verzamelingen die hetzelfde aantal elementen hebben. Die verzamelingen kun je 1-op-1 op elkaar afbeelden, door een functie die elk element van de ene verzameling op een uniek element van de andere afbeeldt. Hij introduceerde de verzameling van alle kardinaal-getallen en bewees dat deze groter is dan elk kardinaal getal.
Deze collectie van alle verzamelingen die evenveel elementen hebben als een gegeven verzameling kan geen verzameling zijn omdat de vereniging over die collectie een verzameling moet zijn en die zou gelijk zijn aan de verzameling van alle verzamelingen. Maar die bestaat niet, omdat deze immers zichzelf als element zou bevatten. Wat we moeten uitsluiten op straffe van logische inconsistentie. Om Cantor’s kardinaal-getallen als verzamelingen te kunnen definieren hebben we weer het regulariteitsaxioms nodig. Maar waarop berust dat?
Een ander probleem is die 1-op-1 afbeelding, die functie die Cantor gebruikt om de gelijkmachtigheid van twee oneindige verzamelingen te definieren. Waar komen die vandaan? Een functie laat zich op twee manieren specificeren. Ten eerste als regel, door middel van een uitdrukking waarin een variabele voorkomt die verschillende waarden kan aannemen waardoor de uitdrukking ook een waarde krijgt, zoals 3*x+4, de waarde 10 heeft als x de waarde 2 heeft. De andere manier om een functie vast te leggen is als verzameling van paren. Een functie die oneindige verzamelingen moet afbeelden kan alleen gegeven worden door een regel. Om het bestaan van een dergelijke functie te verantwoorden binnen een axiomatische theorie van verzamelingen hebben we weer het regulariteitsaxioma nodig, of een ander even krachtig of krachtiger axioma zoals het keuze-axioma. (zie Van Dalen et al.). Voor Hermann Weyl is het “unquestionable” dat wil je verzamelingen 1-op-1 op elkaar afbeelden dat je dan de elementen van beide moet kunnen ordenen. (H. Weyl, 1963, p. 34-35). In tegenstelling tot bij Cantor gaat volgens hem dan ook conceptueel ordening voor grootte.
Waarop berust de waarheid in de wiskunde? Descartes had daarvoor het rotsvaste vertrouwen in God nodig. Die zorgde er voor dat de klare wiskundige inzichten ook werkelijk waar zijn. Hij houdt ons niet voor de gek. Cantor meende dat de oneindige verzamelingen door God tot hem waren gekomen.
Van Niel schrijft daarover in zijn scriptie:
“In een brief aan Mittag-Leffler schreef Cantor in 1884 al dat hij niet de bedenker was van de transfiniete getallen, maar slechts een boodschapper was. De inspiratie kwamen van God en het enige waar Cantor verantwoordelijk voor was, was de presentatie en formulering van de ideeen.” (P. van Niel, 2015, p.30).
Het moet dan ook een enorme mentale dreun voor hem geweest zijn toen ontdekt werd dat zijn theorie tot logische tegenspraken leidde. Met Cantor zelf is het niet zo goed gegaan. Hij werd depressief en leed soms aan paranoide waandenkbeelden, vermoedelijk mede veroorzaakt door de kritiek die zijn ideeen van vele kanten ontmoette. Henri Poincaré noemde deze ziek. Cantor overleed in 1918 in een psychiatrische instelling. Maar David Hilbert had veel bewondering voor het werk van Cantor. Hij sprak vol lof van Cantors Paradijs:
“Cantor heeft een paradijs geschapen waaruit niemand ons kan verbannen.”
In de 20ste eeuw begonnen de wiskundigen in opdracht van Hilbert aan een formele opbouw van de wiskunde door uit te gaan van een wel-gedefinieerde logische taal en een wel-gedefinieerd regelsysteem waarmee je uit een paar axioma’s (formules die je voor waar houdt) nieuwe formules (stellingen) kan afleiden. Regels moeten logisch consistent zijn. Ze mogen niet tot tegenstrijdigheden leiden. Helaas bleek dat iedere voldoende rijke theorie, bijvoorbeeld een theorie waarin je alle stellingen over natuurlijke getallen kunt afleiden, ook onbewijsbare ware uitspraken bevatte. Er waren meer problemen.
Vage begrippen
Cantor’s continuumhypothese zegt dat er tussen de grootte (kardinaliteit) van de oneindige verzameling van natuurlijke getallen (aftelbaar oneindig) en de grootte van de oneindige verzameling van reeele getallen, – Cantor bewees dat die overaftelbaar zijn – , geen oneindigheidklasse in zit. Deze bleek niet bewijsbaar uit de andere axioma’s van de axiomatische verzamelingenleer. Bovendien bleek dat er zowel modellen zijn waarin de bewering waar is als ook modellen waarin een willekeurig aantal andere oneindige verzamelingen bestaan met groottes tussen die van de natuurlijke getallen en de reeele getallen in.
De eerder aangehaalde bewering van Van Dalen c.s. uit de inleiding van hun Verzamelingenboek dat je een lijn als een verzameling van punten kan opvatten blijkt dus niet zo triviaal te zijn als het op het eerste gezicht lijkt. Immers als dat zo is dan zou je toch moeten kunnen aangeven hoeveel punten er in die verzameling zitten. Net zo veel als er reeele getallen zijn. Maar hoeveel dat zijn blijkt afhankelijk van de constructie van je model. Cohen (1966) toonde aan dat het aantal punten afhangt van wat je allemaal als een eigenschap van natuurlijke getallen wilt opvatten. Een paar voorbeelden. Hoeveel haren heeft iemand op zijn hoofd dat je hem niet kaal noemt? Hoeveel graankorrels kan ik van een hoop halen dat het nog een hoop blijft?
Hoeveel keer mag ik op een dag nog niezen of kuchen opdat ik niet meer verkouden ben?
Hoeveel graden mag mijn thermometer aangeven dat ik geen koorts meer heb? Dit soort vragen brengen ons in verlegenheid. Moeten we een getal noemen? Moeten we een kwantitatieve grens aangeven aan zulke kwalitatieve, zeg vage, begrippen? Is iedere grens die we aangeven niet willekeurig? En vraagt die niet om overschreden te worden?
Dat brengt ons weer terug bij de opmerking van klinisch viroloog Van Kampen:
“Als het allemaal kristalhelder zou zijn, zou iedereen hetzelfde doen”
De les
De wiskundige streeft naar zuivere, kristalheldere, ideeen, maar ook hij moet erkennen dat ook de zuiverste wiskunde niet kan bestaan zonder de weerbarstige werkelijkheid waarin we leven. In Cantor’s Paradijs is niet alles klaar en helder, zoals hij zou hebben gewild. Hilary Putnam antwoordde op de vraag of de wiskunde dan niet gefundeerd is: “Yes, we have no foundations.” Daaruit kunnen we het advies halen dat we voorzichtig moeten zijn met wat we denken waar te zijn of zinvol. Wie geen vaste grond onder de voeten heeft moet niet te zwaarwichtig doen. Misschien was dat wel de les die mijn ervaren collega wiskundedocent mij voorhield toen hij weigerde een proefwerkopgave te accepteren waarin een verzameling van verzamelingen voorkomt.
Onze jeugd zou kennis moeten nemen van Cantor’s Paradijs. Veel nuttiger en leerzamer dan rekenen. Dat kunnen machines ook. Al was het maar om er achter te komen dat we niet in dat paradijs leven. Als we dat al zouden willen. Want wat is er nou saaier dan in een wereld te leven waarin iedereen hetzelfde doet. Waarin alles consistent en berekenbaar is en er niemand een keer uit de emotionele band mag springen zonder aan de muur genageld te worden.
Bronnen
G. Cantor (1915), Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Vertaling, inleiding en notities door P.E.B. Jourdain. Dover Publications Inc., New York, 1915. Dit is de Engelse vertaling van de twee artikelen uit de Mathematische Annalen van 1895 en 1897 waarin Cantor zijn theorie van de oneindige verzamelingen uiteenzet.
P.J. Cohen (1966). Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A. Benjamin Inc. Reading, Mass. 1966.
D. van Dalen, H.C. Doets en H.C.M. de Swart (1975). Verzamelingen: naïef, axiomatisch en toegepast. Oosthoek, Scheltema en Holkema, Utrecht, 1975.
P. van Niel (2015). Over de ontwikkeling van het oneindige door Georg Cantor, Bachelorscriptie o.l.v. Gerard Alberts, Universiteit van Amsterdam, 2015.
H. Weyl (1963). Philosophy of Mathematics and Natural Science. Oorspronkelijk uitgegeven in 1949 deels als Engelse vertaling van in 1927 in het Handbuch der Philosophie gepubliceerde teksten. Princeton University Press, Mass., 1949.
