Het allereerste wat ik lees in de Volkskrant is de column van Bert Wagendorp. Meestal blijft het daar ook bij: het geeft stof tot nadenken en eenmaal uitgedacht roept de plicht der dagelijkse dingen.
Onder de titel Vreten en Moraal (VK 01-07-2020) schrijft Wagendorp over de hypocrisie waartoe het primaat van de economische belangen kan leiden.
“Het zou verheugend zijn als grote multinationals opeens tot het morele inzicht zijn gekomen dat ze met hun advertenties niet langer naast allerlei ranzigheid willen staan. Maar helaas is dat al te optimistisch. Zuerst kommt das Fressen und dann die Moral, vreten kan naar wens worden vervangen door omzet, winst, beurswaarde of marktaandeel.”
Wat gezegd kan worden van de economische belangen van commerciele bedrijven kan overigens ook gezegd worden van de politieke belangen van politieke partijen die zich steeds meer als bedrijven op een martkaandeel van kiezers richten. Maar dat terzijde.
De column gaat over het burgerinitiatief #StopHateforProfit waarin de burgers oproepen tot een boycot van bedrijven die door middel van hun advertenties in de media indirect medeverantwoordelijk worden gehouden voor de naar hun goede smaak ongepaste, discriminerende, racistische, uitingen in de media. Het is de populariteit van deze hashtag die de adverterende bedrijven heeft doen besluiten hun advertentiecontracten met de media open te breken met als motief dat ze de goede smaak en de morele verontwaardiging van de burgers delen. En in dat laatste uit zich de hypocriete houding die voortkomt uit het primaat van het economisch bedrijfsbelang. Voor winstmaximalisatie moet je zoveel mogelijk de behoeftige burger te vriend houden.
Wagendorp is tegen het burgerinitatief #StopHateforProfit. “Racisme en haatzaaien moeten worden bestreden, maar bij voorkeur rechtstreeks en met open vizier. Niet door een beroep te doen op het hypocriete moralisme van sponsors en adverteerders.”
En hij eindigt met
“Twitter, Facebook, Instagram: van mij mogen ze kapot. Maar liever doordat iedereen er gewoon mee kapt, zodat ook de adverteerders er het nut niet meer van inzien, en niet via een oneigenlijk omweggetje.”
Ik ben het eens, wie niet?, dat we bij voorkeur rechtstreeks en met open vizier met elkaar in debat moeten over fenomenen als racisme, de noodzaak van de vrije markt, de economische groei, de beeldenstorm, fosfaat, kernenergie en wat zich ook maar verder aandient. En niet via anonieme loopgraafoorlogen en scheldpartijen op de sociale media.
Maar ik ben het heel erg oneens met Wagendorp wanneer hij stelt dat sociale media als Twitter, Facebook en Instagram wel kapot mogen. Hij miskent de waarde die de sociale media hebben voor het publieke debat. Natuurlijk zijn de sociale media ook een open riool en zijn de uitlatingen en effecten ervan soms erger dan die van de ergste riooljournalistiek. Maar we moeten niet het kind met het badwater weggooien. Je hoeft het niet eens te zijn met de mening van de virtuele meerderheid in de media. Iedereen is bovendien vrij om mee te doen, passief of actief, aan discussies via de sociale media. Heel veel mensen debatteren en informeren elkaar via sociale media met open vizier. Het is via twitter dat ik op de hoogte blijf van het verschijnen van nieuwe publicaties, van meningen van anderen over zaken die mij interesseren. Het is via twitter en andere sociale platformen dat ik als behoeftige burger mijn bijdrage kan leveren aan het publieke debat. Dat dit kosteloos kan is een groot goed. Dat dit kosteloos kan is vanwege de advertenties, de vrije markteconomie, de andere kant van de behoeftigheid.
De gratis sociale media zijn een verworvenheid, het middel voor de individuele burger om zijn of haar stem te laten horen over zaken die in de (wereld)samenleving spelen. De sociale media maken duidelijk dat de stem van de massa niet meer bestaat, dat er vele stemmen zijn. Het is een niet meer weg te denken middel voor de burgers om zich tegen de Staat en de Politiek te uiten. Het is niet voor niets dat de waarheid van het volk: de sociale media en de vrije pers, de eerste slachtoffers zijn van totalitaire regeringen.
Als vrijheid van meningsuiting belangrijk is dan moeten we ook zorgen voor de middelen deze vrijheid te realiseren. Dat sommige mensen uit hun bek stinken en alleen maar bagger over anderen heen kunnen strooien, de bermen vervuilen en onzedelijk denken is diep triest maar dit moeten we voor lief nemen en er alles aan doen deze mensen te helpen weer gezond van geest te worden. Een gezonde samenleving heeft een gezonde mening. Ze streeft niet alleen naar welvaart, economische groei, maar vooral naar welzijn. Dat welzijn geen noodzakelijk gevolg is van het welvaartsniveau van een samenleving daarvan raken steeds meer mensen doordrongen. Het burgerinitiatief #StopHateforProfit mag dan niet het ideale middel zijn voor meer welzijn in de samenleving, het is gezien de beperkte mogelijkheden die de behoeftige burger heeft wel begrijpelijk dat ze naar dit middel grijpt.
Verder blijf ik gewoon mijn cap van de Washington Redskins dragen, niet als statement, maar tegen de zon.
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het nu over het gelijkheidsbeginsel.
Gelijkheid
“De ervaring is de enige bron van de waarheid: zij alleen kan ons iets nieuws leren; zij alleen kan ons zekerheid geven.” Aldus de wiskundige en fysicus Henri Poincaré (1854-1912) in zijn essay De Hypothesen in de Fysica (1902). De vraag die Poincaré aan de orde stelt is wat de mathematische fysica toe te voegen heeft aan de ervaringen die in de experimentele fysica worden opgedaan. Kan de fysica niet zonder wiskunde? Kunnen we ons niet tevreden stellen met de onverwerkte ervaring? Zijn antwoord is: nee. De reden die Poincaré hiervoor geeft is dat de wetenschapper de feiten moet ordenen, zoals men een huis bouwt door de bouwstenen te ordenen. Een verzameling feiten is geen wetenschap, net zo min als een stapel stenen een huis is.
Het is de taak van de wiskundige uit de feiten een algemene theorie op te stellen door generalisatie. Maar waarom neemt in de natuurwetenschappen de generalisatie zo gemakkelijk een wiskundige vorm aan? Dat komt, zegt Poincaré, “omdat het waarneembare feit veroorzaakt wordt door superpositie van een groot aantal elementaire verschijnselen, die allemaal op elkaar lijken“. Het is niet voldoende dat ieder elementair verschijnsel aan eenvoudige wetten gehoorzaamt; het is ook nodig dat alle te combineren verschijnselen aan dezelfde wet gehoorzamen. Dan alleen kan de hulp van de wiskunde nuttig zijn. De wiskunde leert ons inderdaad het gelijke met het gelijke te combineren. Wiskunde, ooit weleens stelkunde genoemd, wordt wel de wetenschap van het gelijkteken (=) genoemd.
Kort gezegd: de toepassing van de wiskunde in de natuurwetenschap berust op het gelijkheidsbeginsel. Door toepassing van de wet van de grote aantallen die we als hypothese aannemen, kunnen we nu algemene wetten opstellen, zoals bijvoorbeeld de wetten van Boyle en Gay-Lussac van de gastheorie. Op dezelfde manier komen we door eerst in te zoemen op atomair niveau en vervolgens te generaliseren tot wetten die de verspreiding van een virus beschrijven of het transport van warmte.
Maar op grond waarvan weten we dat het gelijkheidsbeginsel van kracht is? Hoe weten we dat twee dingen of verschijnselen gelijk zijn? Is niet ieder feit uniek? In hoeverre dringen we de natuur dit beginsel niet op; als een soort wet waaraan ze zich moet houden. Maar kan dat zo maar, zonder de natuur geweld aan te doen?
Hoe natuurlijk is gelijkheid? Als we zeggen dat ieder feit uniek is dan hebben we ze al wel als feit aan elkaar gelijk gesteld. Is het gelijkheidsbeginsel niet noodzakelijk om te kunnen voortbestaan? Het onderscheid tussen dit en dat, tussen wat wel en niet er toe doet, veronderstelt immers al de continuiteit en daarmee de gelijkheid van dat wat waarin het verschil bestaat. Zonder gelijkheid zouden we elk moment opnieuw moeten beginnen. En zelfs dat is dan onmogelijk, want waaraan zouden we beginnen als er geen vervolg is. Het gelijkheidsbeginsel is uiterst nuttig.
Niet alleen in de natuurwetenschappen stellen we dat het gelijkheidsbeginsel geldt. Dat doen we ook in de samenleving. Niet in de eerste plaats omdat het nuttig is om van dit beginsel uit te kunnen gaan, maar omdat het rechtvaardig zou zijn. Hoe rechtvaardig is het?
Politiek
Het gelijkheidsbeginsel is zowel in de mathematische fysica als in de politiek een beginsel waarvan we uitgaan zolang de natuur zich er niet tegen verzet. Wij hebben een goed ontwikkeld gevoel voor de rechtvaardigheid van regels die de overheid ons oplegt. Die moeten gebaseerd zijn op het gelijkheidsbeginsel, gelijke monniken gelijke kappen. Bovendien moeten de regels consistent zijn. Net als de gestelde axioma’s van een wiskundige theorie mogen de regels die de overheid opstelt niet tot tegenstrijdigheden leiden. De regels bepalen wat wel en wat niet als gelijk beschouwd wordt. Zo zijn er corona-maatregels die gelden voor alle kapperszaken en andere regels voor alle fysiotherapeuten en weer andere voor werkenden in verzorgingshuizen. De regels mogen niet willekeurig zijn. Ze moeten logisch zijn, dat wil zeggen ze moeten redelijk zijn gegeven het doel dat de regels dienen.
Dat doel is zowel in de wetenschap als in de politiek dat we gezond voort kunnen bestaan als gezond denkende mensen. Men zegt mens sana in corpore sano, maar een gezond lichaam kan evenmin zonder een gezonde geest. We moeten dus onze gezonde geest gebruiken om in te zien waar de grenzen liggen van het gelijkheidsbeginsel dat we hanteren. Ofwel: wat we nog redelijkerwijs als gelijk mogen stellen.
Broederschap
De gelijkheid die we in de samenleving nastreven is een meer ontwikkelde vorm van gelijkheid dan die van de mathematische fysica. Deze ontwikkelde vorm van gelijkheid is die van de broederschap. De broers willen gelijk behandeld worden door de vader maar ze willen zich ten opzichte van elkaar onderscheiden en daarin zijn ze gelijk. Voor de moeder zijn de broers totaal verschillend. Niettemin vindt ze dat ze de broers gelijk moet behandelen ook al kost haar dat erg veel moeite omdat ze zo verschillend zijn. De vader is van mening dat de broers zelf onderling maar moeten uitzoeken wat rechtvaardig is en wat ieder van hen toekomt. De jongere claimt dezelfde rechten als de oudere bij de vader, maar tevens de bescherming van de moeder. De oudere voelt zich verantwoordelijkheid voor de jongere en claimt de vrijheid van de volwassene.
Lokaliteit en Globalisering
In de fysica gaan we vaak uit van het principe van lokaliteit. Zo nemen we aan dat atomen in een gas slechts beinvloed worden door atomen die dicht in de buurt liggen. Ook bij de verspreiding van een virus gaan we uit van dit principe: alleen mensen die in de buurt van elkaar komen kunnen het virus op elkaar overdragen. Deze lokale interacties op atomaire schaal vormen de basis voor een theorie en model voor het grotere geheel. Door gebruik te maken van de wet van de grote aantallen kunnen we algemene statistische wetten opstellen over het totale verschijnsel op macro-niveau.
Toepassing van het gelijkheidsbeginsel in de politiek moet rekening houden met de beperkte mate waarin het principe van lokaliteit in de samenleving nog geldig is. Dat komt door de globalisering. De mensen kijken over de grenzen van de natie heen. De burger wordt meer en meer wereldburger. De broeders verschillen van huidskleur en traditie. Het Maxwell-duiveltje heeft de sluizen tussen de verschillende nationale compartimenten van de wereld al open gezet. De politiek kan daar niet bij achter blijven.
Bronnen
Henri Poincaré (1902). De Hypothesen in de Fysica. In de bundel Wetenschap en Hypothese, Boom Meppel, Amsterdam, 1979.
“Een punt is dat wat geen delen heeft.” (Euclides, 300 v Chr.)
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over zeer kleine, maar niettemin belangrijke dingen: punten.
Wat is een punt?
Het punt is dat waar het om gaat. Een verhaal, een roman of film, kan verschillende verhaallijnen schetsen. In het begin vraag je je af: waar gaat dit over? In de loop van het verhaal komen lijnen samen en het wordt steeds duidelijker waar het over gaat, wat het punt is. Soms is er slechts de suggestie van een punt. En blijf je, als het boek uit, of de film afgelopen is, in verwarring achter. Waar ging dit over? Heeft het leven een punt?
Het snijpunt van de verhaallijnen van je eigen leven ben je zelf. Het ik is het punt waar het om draait en vanuit wiens perspectief de wereld beschreven wordt. Het levensverhaal is een poging tot identificeren, het beantwoorden van de vraag: wie ben ik?
De ruimte
In een inleiding over de status van wiskundige objecten las ik de volgende definitie van een punt. “Een punt is een object met een positie in de ruimte maar zonder afmetingen.”
Een punt is een object in een ruimte met een positie. Hoe verhouden object en ruimte zich als het om de punt gaat? Is een punt in een ruimte zoals deze stoel in een ruimte is? Dat wil zeggen kun je het punt verplaatsen zodat zijn positie verandert of is de positie bepalend voor de identiteit van een punt? Kunnen twee punten dezelfde positie hebben, of zijn de twee dan dezelfde punt?
In de wiskundige werkelijkheid is geen verandering, alles is wat het is. Verandering en dus ook verplaatsing wordt wiskundige gemodelleerd als een ordening, een variabele of functie.
Er zijn verschillende soorten ruimtes: behalve de verhaalruimte zijn er de waarnemingsruimte, de gezichtsruimte, de tastruimte, de bewegingsruimte; de meetkundige ruimte, maar ook de gespreksruimte. Ieder soort ruimte heeft zijn eigen soort punten. Wanneer we een punt maken van de verwarring over de fysieke waarneembare punt en de wiskundige punt dan is dit punt een onderwerp van het gesprek. Het is de focus in een gesprek, datgene waar de schrijver de aandacht van de lezer op wil vestigen. Wil je iemand op een punt wijzen dan moet je met die ander in zekere zin de ruimte delen. Deze ruimte wordt hier gestructureerd.
Het woord “punt” kent een veelzinnig gebruik. Het heeft verschillende betekenissen maar die zijn aan elkaar verwant. Door de verschillende gebruiken van het woord te bekijken kunnen we de essentie van de punt misschien achterhalen.
Is elke ruimte wiskundig?
De verwarring waar ik op doel is die van het waarneembare of aanwijsbare punt met de meetkundige punt. Een punt is wat geen deel heeft. Zo luidt de definitie die Euclides (300 voor Christus) in zijn Elementen geeft; het begin van de Euclidische meetkunde. Met deze ‘negatieve’ bepaling wil Euclides vermoedelijk duidelijk maken dat een punt geen natuurkundig object is. Zo omschijft hij ook een lijn als een lengte zonder breedte. De oude Grieken hadden al ontdekt dat wiskundige objecten, zoals getallen, driehoeken en cirkels andere dingen zijn dan fysieke objecten, zoals stoelen, of atomen. Het woord atoom komt uit het Grieks en betekent ondeelbaar. Het bestaan van ondeelbare materie-deeltjes was omstreden. Plato was van mening dat je materie eindeloos kon delen. Democritus was een atomist: materie is opgebouwd uit atomen. Waarneembare eigenschappen zoals kleuren zijn gebaseerd op de bouwstenen van de materie. Wat we nu atoom noemen is niet on-deelbaar. Het atoom bestaat uit sub-atomaire deeltjes, een kern en een wolk van elektronen, deeltjes die overigens in de fysica beschreven worden met wiskundige formules.
Een punt heeft geen grootte, het is niet iets uitgebreids. Een punt is geen geheel, want een geheel heeft delen. Een punt neemt geen ruimte in. Zodra je een punt in een ruimte denkt heeft het daarin een plaats. Dan is het iets ding-achtigs, dat onderscheiden is van de locatie, de plaats, waar het zich bevindt.
Een punt is begripsmatig niet hetzelfde als een atoom. Wiskundige objecten zijn in principe niet waarneembaar. Ze hebben een wat problematische wijze van bestaan. Sommige mensen denken dat ze helemaal niet bestaan. Net zo min als de kleur rood of het begrip paard, of een opgegeten boterham bestaat. Maar als ze niet bestaan wat is dan het nut van wiskunde? Wat zegt die dan over de werkelijkheid? Hoe verklaren we dan dat de wiskunde overal toegepast wordt? Waarom moeten we wiskunde leren op school?
Punten zijn net engelen
Ook het punt waar het in een gesprek of verhaal over gaat is niet waarneembaar. Dit heeft het dus gemeen met het meetkundige punt. Je zou misschien denken dat wiskundige punten eenvoudig te identificeren en lokaliseren zijn. Eenvoudiger dan het is om duidelijk te maken wat het punt is van je betoog. Het zijn immers wiskundige objecten. We zullen zien dat dat niet het geval is. De wiskundigen zijn het tegenwoordig net zo oneens over het aantal punten op een lijnstuk als de middeleeuwse theologen het eens waren over de vraag hoeveel engelen er op de punt van een naald kunnen dansen. Volgens de middeleeuwse theoloog Thomas van Aquino zijn engelen ook niet waarneembaar, ze hebben geen lichaam, geen grootte. Engelen zijn volgens hem puur rationele wezens, zonder zintuigen en onstoffelijk, ze hebben geen materie. De mens stelt ze voor als mensen met een lichaam en vleugels, of als duif, maar dat is slechts een voorstelling. Wat dat betreft zijn het net wiskundige objecten en lijken ze verdacht veel op punten. Zelfs de vraag van Thomas of een engel op verschillende plaatsen tegelijk kan zijn stak in de moderne wiskunde weer de kop op. Maar dan gaat het niet over engelen maar over punten! Volgens de Bijbel zijn er ontelbaar veel engelen. Net zoveel als er punten op een lijnstuk liggen. Engelen zijn in verschillende religies (Christendom, Islam) wezens die tussen de Goden en de mensen in staan. De religieuze sekte van Pythagoras (500 v Chr.) was volgens de overlevering bekwaam in mystiek en wiskunde, mathemata (dat wat geleerd moet worden). De wiskunde, vooral de getallenleer had iets mystieks. Getallen werden gezien als beginselen van de werkelijkheid, verzinnebeeld door getalsymbolen. Harmonieleer was onderdeel van de mathematica.
Wiskundige objecten zijn niet waarneembaar!
De wiskunde gaat er principieel vanuit dat haar objecten niet waarneembaar zijn. In de onderstaande figuur is de getekende driehoek geen wiskundige driehoek maar een voorstelling van een driehoek.
Links: een voorstelling van een driehoek. Rechts: een Venn-diagram van twee niet overlappende verzamelingen.
Tekeningen hebben geen bewijskracht. Een wiskundige stelling moet bewezen worden door logische conclusies uit voor waar aangenomen axioma’s of eerder bewezen stellingen te trekken. Met cijfers en cijferrijtjes duiden we getallen aan. Een cijfer is zelf geen getal.
Dit onderscheid tussen de voorstelling, zoals een teken of een figuur, en dat wat het voorstelt, het wiskundig object, houden we consequent vast wanneer we wiskunde bedrijven.
Ook als we een taal met een formele taal modelleren.
Een formele taal is een wiskundig object, een verzameling waarvan we de elementen expressies noemen. Expressies of woorden van de taal zijn opgebouwd uit tekens. Dit zijn wiskundige objecten die we zo noemen omdat ze dienen als model van echte tekens. Wanneer we over die objecten willen redeneren dan moeten we namen ervoor introduceren. We zijn er vrij in welke naam we kiezen. Bij het formaliseren van de taal ligt het voor de hand om als naam voor het object dat in het model de rol van het woord “man” uit onze taal speelt, de identifier “man” te kiezen. Dan ligt de verwarring wel erg voor de hand. Toch moeten we ook hier het teken “man” dat we in de theorie gebruiken voor het wiskundig object, een teken uit de formele taal, dat er mee wordt aangeduid niet verwarren met het oorspronkelijke woord “man” uit de taal die we aan het mathematiseren zijn.
Net als constante namen zoals het cijfer “5” voor het getal 5, gebruiken we variabelen bijvoorbeeld x in de wiskunde om een willekeurig object aan te duiden. In het volgende bewijs komen letters voor die staan voor willekeurige elementen.
Stel dat geen A een B is. We bewijzen dat geen B een A is. Bewijs: Stel dat een zekere B, neem C, een A is. Dan is C geen B. Maar dan kan C geen A zijn. Dus: geen B is een A.
We kunnen de juistheid van deze logische redenering (een syllogisme) illustreren door middel van een Venn diagram, zie bovenstaande figuur, met daarin rechts de twee begrippen A en B voorgesteld als bollen die verzamelingen voorstellen. Het is onmiddellijk duidelijk dat als geen A een B is (de bollen overlappen niet) dat dan geen B een A kan zijn. Maar zo’n plaatje heeft geen bewijskracht.
De verwarring
De verwarring tussen de dagelijkse punt en de wiskundige punt treedt op wanneer deze twee gebruiken van het woord, en daarmee van het begrip punt, elkaar ontmoeten. Dat is in de praktijk van het meten. In het meten, wat een vorm van kennen is, ontmoeten de ideele wereld van de wiskunde en de waarneembare wereld elkaar.
Meten is belangrijk – er wordt wel gezegd dat meten weten is. Door te meten krijgen wij of maken wij informatie, mededeelbare kennis in een kwantitatief formaat. Het is dus nuttig te weten wat een punt is. Het aanwijzen van iets is een vorm van meten. “Dat is het punt, de stoel die ik bedoel.” Maar zijn alle punten, alle onderwerpen waar ik het over kan hebben aanwijsbaar? Hoe kunnen we refereren naar een punt als het niet aanwijsbaar is? Of is een punt per definitie iets dat aanwijsbaar is? Maar als je iets aanwijst dan heb je te maken met de wijs- en kijkrichting. En niet alleen die van je zelf als aanwijzer maar ook met die van de ander die je het punt wilt aanwijzen. Die moet als het ware het perspectief, het standpunt, van de ander innemen. Dat is kort gezegd de problematiek van het punt.
Tijd voor wat voorbeelden.
Snijpunten
Je hebt een praatje met een bekende. Deze begint te vertellen over ene Janssen. Je kent Janssen ook en je praat een tijdje mee over deze figuur. Totdat op een gegeven moment blijkt dat er iets niet klopt. “Maar hij woonde toch in Parijs? Hebben we het wel over dezelfde?” Het blijkt dat we het al die tijd niet over hetzelfde onderwerp hadden! Er zijn meer hondjes die Fikkie heten. Toch dachten we allebei dat we met de eigennaam Janssen de figuur aanwezen die we op het oog hadden.
Wanneer twee auto’s op het zelfde moment op het snijpunt van twee wegen zijn, vindt er hoogst waarschijnlijk een botsing plaats. Hoe groot die kans is hangt af van hoe precies we de locatie met de term snijpunt van twee wegen aanduiden. Je kunt dat min of meer ruim nemen. Het hangt van de situatie af hoe precies we in de praktijk een punt aan willen wijzen. Ook een moment, een tijdstip is een punt, namelijk in de eendimensionale tijdruimte. Ruimte en tijd zijn de referentiekaders voor het aanwijzen van een punt. Maar hoe leggen we die kaders vast? Door de aanwijsbare objecten? Dan zijn we in een cirkel aan het draaien.
Een snijpunt van twee lijnen is ook een punt. Wanneer we hier met lijn een getekende lijn op papier of op een scherm bedoelen dan kleeft aan dit snijpunt een zelfde vaagheid als aan het snijpunt van twee wegen. In beide gevallen gaat het om een waarneembaar en aanwijsbaar object in de werkelijkheid. Deze punten hebben een uitgebreidheid, ze nemen ruimte in.
Dat is anders met het snijpunt van twee meetkundige lijnen. Deze objecten zijn zelf niet waarneembaar en ze zijn slechts in één dimensie uitgebreid. Een lijn is een lengte zonder breedte volgens Euclides’ Elementen. Een vlak is een meetkundig figuur dat in twee dimensies uitbreidbaar is; een lichaam in drie. Het snijpunt van twee lijnen is een punt. Zo’n punt heeft geen dimensie. Het heeft geen dikte en geen lengte. Een lijnstuk – dat is een stuk lijn tussen twee verschillende punten – heeft wel een lengte, maar geen dikte. Zou een waarneembaar punt dat je steeds kleiner maakt uiteindelijk een wiskundige punt kunnen worden? Kun je door een tafelblad maar lang genoeg te schuren een wiskundig plat vlak maken? Nee, het wiskundige object is de ideale norm die boven de werkelijkheid bestaat als maatgevend.
Bron van verwarring
De eerste bron van verwarring is die tussen een punt als wiskundig object en een punt als een entiteit in de echte fysische of psychische werkelijkheid. Het heeft in het laatste geval de betekenis van een aanwijsbaar iets; iets dat in een bepaalde context van belang is. Het punt is dat waarom het gaat. Wanneer je iemand wilt laten weten waarover je het hebt dan wijs je het aan. Dat of dit. Maar hoe doe je dat als het niet iets is dat fysiek waarneembaar is? Door een beschrijving. Maar een beschrijving is iets algemeens. Daarmee kun je niet een specifiek punt aan wijzen. Helpen eigennamen? Niet ieder object heeft een eigennaam. Eigennamen identificeren personen niet uniek. Het lijkt erop dat we daarvoor het bestaan van een gemeenschappelijk referentiekader moeten aannemen.
De kwestie hoe te refereren naar een “individual object” bespreekt Peter Strawson in zijn essay Individuals (1957). De problematiek van het identificeren van een niet-demonstrabel (dat is een niet fysisch aanwijsbaar) “particular” door een spreker in een gespreksituatie wordt door B. Williams (1973) besproken in zijn kritiek op Strawson. Een hoorder moet op basis van een refererende uitdrukking (“de koning van Frankrijk”, “de man met de hamer”) kunnen bepalen waar de spreker het over heeft. Buiten de gesprekssituatie is er geen autoriteit die kan bepalen of de gesprekspartners het over hetzelfde hebben. Ze moeten zich tevreden stellen met het vertrouwen in het overeengekomen begrip.
Informatici zijn mensen die zich bezig houden met de uitwisseling van kennis niet door er zelf aan deel te nemen, maar door deze van buitenaf te bekijken. Ze analyseren de uitingen, de talige berichten, die deelnemers aan een gesprek met elkaar uitwisselen.
Punt en locatie
We hebben de neiging de punt te onderscheiden van zijn locatie. De locatie is van buitenaf bepaald door een assenstelsel. Door hun locaties kun je twee punten van elkaar onderscheiden. Maar wat is het punt anders dan deze locatie? Kunnen twee punten dezelfde locatie hebben? Zodra we dat denken wordt het punt weer iets dat buiten het punt dat door de locatie bepaald is bestaat. Alsof het los van die locatie, als ware het een fysisch object, bestaat. Alleen dan kun je twee punten hebben die zich op dezelfde plek bevinden. De locatie van een punt is echter niets anders dan de relatie van het punt tot de ruimte waarbinnen het punt ligt. Via de locatie zijn de punten in een ruimte ten opzichte van elkaar bepaald. Hun identiteit bestaat in de relaties met de andere punten in de ruimte. Het coordinatenstelsel definieert een raamwerk waarmee je punten (locaties) van elkaar kunt onderscheiden. Het ligt voor de hand dat het aantal punten dat je kunt onderscheiden afhangt van de fijnmazigheid van het raammerk. Als je alleen gehele getallen mag gebruiken heb je een grof rooster en kun je minder locaties onderscheiden dan wanneer je alle reëele getallen mag gebruiken.
Punten en hun namen
Wanneer we twee punten willen onderscheiden dan geven we ze elk een eigen naam. Door die naam, een unieke identifier identificeren we het punt. Wanneer we vragen of de punten a en b gelijk zijn dan bedoelen we of wat we met a aanduiden hetzelfde punt in de ruimte is als wat we met b aanduiden. Hoeveel punten we kunnen onderscheiden hangt dus af van het aantal namen dat we tot onze beschikking hebben. Met de cijfers 0 t/m 9 en onze getalstelsel kunnen we heel veel getallen aanduiden. Zo kunnen we het getal 213 onderscheiden van bij voorbeeld 2013. Of dat er genoeg zijn om alle punten te onderscheiden, dat is nog maar de vraag.
Zonder tekens is denken niet mogelijk. Frege schrijft in zijn essay Uber die wissenschadftliche Berechtigung einer Begriffschrift (1882) over het teken:
“Die Zeichen sind fur das Denken von derselben Bedeutung wie fur die Schiffahrt die Erfindung, den Wind zu gebrauchen, um gegen den Wind zu seglen. Deshalb verachte nimand die Zeiche!” (Frege, 1882).
Een rekenmachine is een werkend cijfersysteem. Door met cijfers te manipuleren volgens vastgelegde regels voert de machine berekeningen met de getallen uit die door de cijfers worden voorgesteld. Een voorbeeld van een primitieve rekenmachine gaat zo. Wanneer ik II , (wat staat voor het getal 2) samen voeg met III (wat staat voor het getal 3) dan is het resultaat IIIII, de representatie van het getal 5. Het samenvoegen staat voor de wiskundige regel optellen. Het is duidelijk dat het Romeinse cijfersysteem niet erg handig is. Het heeft tot de 15de eeuw geduurd voordat in Europa het huidige tientallig stelsel ingevoerd werd. Voordat er denkende machines gemaakt konden worden moest het denken als manipuleren met tekens volgens vaste regels worden gezien. De meta-mathematica is het wiskundig beschrijven van het wiskundig denken zelf.
Punt en lijn
Euclides definieerde een rechte lijn als een lijn “die gelijk ligt met de punten erop“. Een “raadselachtige omschrijving”, schrijft de psychiater J.H. van den Berg in zijn prachtige geesteswetenschappelijke geschiedenis van de niet-Euclidische meetkundes. De definitie die de wiskundige en historicus E.J. Dijksterhuis van de lijn geeft laat zien hoe het begrip refereert naar de waarnemingsruimte en het oogpunt van de kijker. “Een rechte lijn is een lijn die, wanneer het oog twee punten ervan doet samenvallen, alle punten voor dat oog in het samenvallende punt brengt.” (overgenomen uit: J.H. van den Berg, 1969).
Je ziet het de timmerman doen. Om te bepalen of een lat recht is houdt hij de lat op ooghoogte in het verlengde van de kijkrichting en beweegt deze zo dat het eindpunt samenvalt met het beginpunt. Lukt dat niet dan is de lat krom. Lukt het wel dan is ie recht, een rechte lijn. Wanneer we in een ruimte zouden zijn waarin het licht niet langs een rechte lijn maar langs een kromme zou gaan, dan zouden we een kromme lat als recht kunnen beoordelen. Voor ons is de lat dan recht. Mensen die zich in de ruimte bevinden waarin een punt aangewezen moet worden of iets gemeten moet worden, trekken andere conclusies dan mensen die zich buiten die ruimte bevinden. Die kijken vanuit een ander perspectief.
Oneigenlijke punten
Perspectief is het onderwerp van de projectieve meetkunde. Daarin komen oneigenlijke punten voor. Een oneigenlijk punt is de verzameling van alle lijnen evenwijdig aan een gegeven lijn, inclusief die gegeven lijn. Het is misschien wat vreemd om dit een “punt” te noemen. De verklaring zit hem in het feit dat evenwijdige lijnen door projectie vanuit een punt op een vlak kunnen worden afgebeeld op lijnen die allemaal door een punt in dat vlak gaan. Het was de Franse architect Desargues die omstreeks 1635 op het idee van de oneigenlijke punten kwam. Projecties werden vanaf de 15de eeuw in Italie bestudeerd door architecten en schilders die objecten vanuit een realistisch perspectief tekenden. In zijn leerboek Projectieve Meetkunde stelt Dr. A Heyting (1973) dat het mogelijk is bij het onderwijzen van deze meetkunde bij de leerling de kennis van de Euclidische meetkunde bekend te veronderstellen. Hij heeft het over de middelbare school leerling! Hij kiest daar in zijn leerboek niet voor omdat hij meent dat deze kennis onvoldoende aanwezig is. Ik denk dat hij daar gelijk in heeft. Een tweede reden is dat de Euclidische meetkunde als een bijzonder geval, je zou kunnen zeggen een toepassing, van de projectieve meetkunde kan worden ingevoerd. Projectieve en Euclidische meetkunde verhouden zich als wiskunde en natuurkunde in die zin dat resultaten met betrekking tot de laatste niet van invloed mogen zijn in bewijzen binnen de eerste. Net zo min als je eigenschappen van een toevallige getekende driehoek mag gebruiken in een meetkundig bewijs. In de projectieve meetkunde worden punt en lijn verwisselbare begrippen in die zin dat een ware bewering over de relatie tussen punten en lijnen overgaat in een “duale” ware bewering wanneer je punt en lijn verwisseld.
Waar komen de wiskundige objecten vandaan?
Arend Heyting promoveerde bij de intuitionist L.E.J. Brouwer en is medegrondlegger van de intuitionistische logica. Een intuitionistisch wiskundige accepteert alleen het bestaan van een wiskundig object wanneer dit geconstrueerd kan worden. In gedachten. Anderen menen dat de wiskundige objecten onafhankelijk van ons denken en doen bestaan. Wiskundigen ontdekken ze, als een soort van archeologen. Een belangrijk verschil tussen beide scholen betreft de vraag wat een geldig existentiebewijs is. Wanneer heb je bewezen dat iets wel of niet bestaat? Omdat wiskundige objecten niet zintuiglijk waarneembaar zijn en slechts gedacht worden, is dit geen triviale vraag. Mag je zeggen dat een object met zekere eigenschappen niet bestaat als de aanname dat zo’n object wel bestaat tot een tegenstrijdigheid leidt? Verderop zullen we een bewijs uit het ongerijmde geven. Voor intuitionisten heeft zo’n bewijs niet de kracht van bewijs.
Wiskundig punt
Wat is nu de relatie tussen een meetkundig punt en een meetkundige lijn? Is een lijn opgebouwd uit punten? Dat hangt ervan af wat we precies met “opgebouwd” bedoelen, maar wanneer we dit bedoelen in de zin waarin een huis is opgebouwd uit stenen, of een stof uit atomen, dan moet het antwoord negatief zijn. Een punt heeft immers geen lengte en je kunt een lijnstuk, dat immers wel een lengte heeft, niet maken uit dingen die geen lengte hebben. We zeggen dat een punt op een lijn ligt en dat een lijn door punten gaat. Maar kun je een lijn ook als een verzameling punten zien?
Het verzamelingbegrip, waarvan de naieve, intuitieve, versie door Georg Cantor werd gedefinieerd, wordt door velen als basis-begrip van de wiskunde gezien. Dat wil zeggen dat je alle wiskundige objecten kan definieren als verzameling. Omdat het naieve verzameling-begrip al snel aanleiding gaf tot paradoxen (zoals de beroemde Russell paradox), werden pogingen gedaan beperkingen op te leggen aan wat je allemaal als verzameling kunt beschouwen. In een axiomatische verzamelingentheorie worden de bewijsbare stellingen over verzamelingen vastgelegd. Een voorbeeld van zo’n theorie is ZF, genoemd naar de makers, Zermelo en Fraenkel.
Stel dat we een lijn als een verzameling zien. Omdat een verzameling in zekere zin bestaat uit de elementen die in de verzameling zitten ligt hier een tweede bron van verwarring. De lijn bestaat als verzameling in zekere zin uit haar punten maar is er niet uit opgebouwd. Tussen iedere twee punten op een lijn kunnen we weer een punt denken. Dat is het kenmerk van een continuum, een lijn: er zijn geen gaten tussen twee punten. Het is een voor de hand liggende vraag: hoeveel punten liggen er op een lijnstuk? Toch is het antwoord niet makkelijk te geven. Een verzameling die alle punten van een lijnstuk bevat kan niet afgebeeld worden op een rij van natuurlijke getallen. Daarvoor heeft deze verzameling, hoe klein het lijnstuk ook is, te veel punten. Meer dan er natuurlijke getallen (1,2,3,4,…) zijn en dat zijn er al oneindig veel. Het aantal punten op een lijnstuk is overaftelbaar. Je kunt dat als volgt inzien.
Elk lijnstuk heeft evenveel punten als een lijnstuk van lengte 1 eenheid. Alle lijnstukken hebben dus evenveel punten. Bewijs: Denk je een lijnstuk L. Stel deze heeft een lengte groter dan 1. Denk/construeer een driehoek met als basis L. Trek een lijnstuk M van lengte 1 binnen de driehoek evenwijdig aan L, die de beide benen van de tophoek verbindt. Vanuit de tophoek S kun je nu lijnen trekken naar elk punt van L. Deze beelden elk punt van L precies op een punt van M af en omgekeerd: een 1-op-1-afbeelding. M en L hebben dus evenveel punten.
Vervolgens kun je de punten op dit lijnstuk van lengte 1 een-op-een afbeelden op de deelverzamelingen van de natuurlijke getallen. En dat zijn er overaftelbaar veel, een graad van oneindigheid (kardinaliteit) die groter is dan de oneindigheid van de aftelbare verzameling van natuurlijke getallen. Georg Cantor bewees dit door middel van een diagonalisatiemethode. Hij bewees niet alleen dat de verzameling van punten op een lijnstuk echt groter is dan het aantal natuurlijke getallen, hij vermoedde dat er geen verzameling bestaat die qua grootte tussen die twee in ligt. Dat is Cantor’s beroemde continuümhypothese. Cantor’s ideeen over oneindige verzamelingen hebben heel wat stof doen opwaaien. De wiskundig en logicus Skolem vermoedde al dat het niet te bewijzen zou zijn evenmin als het tegendeel, omdat het probleem niet precies genoeg is gespecificeerd. We zijn nu een eeuw verder en de meeste wiskundigen die zich er mee bezig houden zijn het er wel over eens dat Skolem gelijk had. Het hangt van de nadere specificatie van het probleem af of het waar is (Godel construeerde in 1940 een model waarin de bewering waar is) of onwaar (Cohen ontwikkelde in 1969 een methode om modellen te maken waarin verschillende verzamelingen bestaan die qua grootte tussen de natuurlijke getallen en de verzameling van punten op een lijnstuk in liggen. (Zie het artikel van Hart 2009 voor historische en wiskundige details).
Volgens de wiskundige en filosoof Louk Fleischhacker is het “in het geheel niet verwonderlijk dat bij de mathematische reconstructie van een aanschouwelijk gegeven nadere bepalingen moeten worden ingevoerd waarover de aanschouwing geen uitsluitsel geeft.” Hij vindt dit niet verwonderlijk op basis van zijn inzicht in de relatie die de wiskunde heeft met de werkelijkheid. Hij zegt hierover: “De eigenlijke ken-inhoud die in de mathematische abstractie gevat wordt is immers iets potentieels – het in zich verdeelbare – dat pas door een denkbeeldige actualisatie als mathematische object stelbaar wordt. Deze ken-inhoud wordt door het mathematische denken dus overschreden inzoverre hij op een bepaalde wijze geactualiseerd wordt gedacht, maar hij wordt zo toch niet uitgeput omdat hij op bepaalde wijze geactualiseerd gedacht wordt.” (Fleischhacker, 1982, pp. 186-187)
De basis van de mathematische abstractie is de reele uitgebreidheid van het fysisch waarneembare. Het wiskundig intellect vat hiervan een intelligibel kenmerk en objectiveert dit tot ideele mathematische objecten. Ook de mathematisering van natuurprocessen is een product van deze objectivering, evenals de mathematisering van de natuurprocessen en de fysische representatie van het wiskundig denken zelf in de vorm van de meta-mathematica en de rekenmachine. “Het oorspronkelijk fenomeen (van de waarneembare uitgebreidheid, RA) blijft bij deze hele ontwikkeling echter impliciet mee-aanwezig.” (L.Fl. p. 189). Zonder het gebruik van aanschouwelijke tekens zouden we niet eens over individuele onderscheidbare mathematische objecten kunnen denken of er mee kunnen rekenen.
De wiskunde abstraheert op een creatieve manier van het aanschouwelijke maar kan er niet zonder. De getallen en meetkundige vormen zijn objectivaties van abstracties van de aanschouwelijke werkelijkheid. Zonder deze door middel van tekens, of symbolen voor te stellen zouden we er niet over kunnen redeneren.
Onaanwijsbare punten
Neem een bepaald punt P op een lijnstuk L. Nu zal elke punt X van L dat niet P is hetzij links, hetzij rechts van P liggen. Stel we hebben een afbeelding van deelverzamelingen van N, de verzameling van natuurlijke getallen, op de punten van L. Dan bepaalt iedere deelverzameling van N een punt X dat hetzij links hetzij rechts van P ligt als het niet bij P zelf hoort. Maar hoe zijn die deelverzamelingen bepaald? Door een eigenschap van natuurlijke getallen? Maar wat is een eigenschap die aan natuurlijke getallen kan toekomen? Neem bijvoorbeeld de eigenschap kaal te zijn. Of we iemand kaal noemen hangt af van het aantal haren dat hij op zijn hoofd heeft. Hoort het getal 1234 tot de verzameling die de eigenschap kaal representeert? Het punt X dat bij deze vage verzameling hoort ligt of links of rechts van P maar we kunnen niet zeggen waar precies. Het ligt in de mate links van P waarin het niet rechts van P ligt. X is een onaanwijsbaar punt op L. Het bewijs van Cohen maakt in zekere zin gebruik van het gebruik van de mogelijkheid om naar willekeur verzamelingen van onaanwijsbare punten te maken (“generic sets”).
Een bewijs uit het ongerijmde
Je kunt de diagonalisatiemethode van Cantor gebruiken om een algemenere stelling te bewijzen. De machtsverzameling P(S) (P van powerset) van een gegeven verzameling S is de verzameling die precies alle deelverzamelingen van S bevat. Deze P(S) bevat meer elementen dan S zelf. Het bewijs gaat als volgt.
Stel er is een afbeelding f die de elementen van een verzameling S 1-op-1 afbeeldt op die van P(S), de machtverzameling van S. We definieren een element T van P(S) als volgt: T bevat alle en alleen die elementen x van S waarvoor geldt dat ze niet in hun beeld onder f, dat is f(x) zitten. Bekijk nu de verzameling y in S die f op T afbeeldt. Nu moet gelden: y in T of niet y in T. Stel y in T. Dan geldt volgens de definitie van T dat y niet in f(y). Maar f(y) is T. Dus y niet in T. Omgekeerd geldt als y niet in T dan geldt y wel in T. Conclusie: zo’n afbeelding f bestaat niet. Omdat V deelverzameling is van P(V) is P(V) dus echt groter van V.
Dat betekent dat de machtsverzameling van P(S) weer groter is dan de machtsverzameling P(S) van S zelf. En zo maar door; er komt geen eind aan. Een verzameling van alle verzamelingen kan dus niet bestaan, want de machtsverzameling ervan zou meer elementen bevatten dan deze en dat kan natuurlijk niet.
Van binnen en van buiten
Iedere wiskundige theorie over verzamelingen die consistent is, d.w.z. die een model heeft, heeft een aftelbaar model. Dat lijkt in strijd met het feit dat je de verzameling van alle deelverzamelingen van de natuurlijke getallen niet kunt aftellen. Maar dat is het toch niet. De afbeelding die bestaat in dat aftelbare model hoeft namelijk niet in dat model zelf uitdrukbaar te zijn. Het diagonaalargument zegt dat dat niet kan. In plaats van te zeggen dat het continuum overaftelbaar is, moeten we zeggen dat “elke verzamelingtheoretische reconstructie van het lineaire continuum resulteert in een binnen die reconstructie niet als aftelbaar te denken verzameling.” (L.Fl. p.186).
De relatie tussen een verzameling en haar elementen is nogal apart. De verzameling heeft twee kanten: als eenheid en als veelheid. En die twee verhouden zich anders dan de delen van een lijnstuk tot het gehele lijnstuk waarvan ze de delen zijn. De gestelde eenheid die de verzameling is, is volstrekt uitwendig aan de verzameling van elementen. De elementen hebben niets met elkaar van doen dan elementen van een verzameling te zijn. Dat is anders dan met de punten van een lijn. Die hebben wel iets gemeen namelijk op de lijn te liggen, waardoor er een ordening is: een punt C dat op de lijn ligt, ligt bijvoorbeeld tussen de punten A en B in.
Afstanden
Een meetkundige lijn wordt verondersteld recht te zijn: de kortste verbinding tussen twee punten op de lijn. Het afstandsbegrip lijkt in de eerder gegeven definitie van de rechte lijn, zoals die door Dijksterhuis werd gegeven, niet voor te komen. Maar is dat wel zo? Voor een afstand heb je een maat nodig. Die moet buiten de lijn zelf liggen.
Op een bol is de kortste weg tussen twee punten een cirkelboog. Door twee punten op een bol gaat in het algemeen maar een cirkel, maar wanneer de twee punten diametraal tegenover elkaar liggen dan gaan er oneindig veel cirkels door heen. Wanneer we in de bolvormige wereld met een rechte lijn bedoelen een grote cirkel, dan geldt dus in deze wereld dat er meerdere rechte lijnen zijn die twee diametraal tegenover elkaar liggende punten verbinden. Als we nu onder punt in deze ruimte zo’n puntenpaar op de bol verstaan, dan geldt de bewering:
Door twee “punten” gaan oneindig veel rechte “lijnen”.
In een bolvormige wereld hebben lijnen l en m het snijpunt (s1,s2)
Dit is een ware stelling in de niet-Euclidische meetkunde van Riemann. Deze meetkunde is consistent – dat wil zeggen dat deze geen tegenspraken bevat – als de Euclidische meetkunde consistent is (zie Henri Poincaré, 1902).
Grenzen
Neem nu het lijnstuk tussen twee punten A en B. Of de punten A en B tot het lijnstuk behoren dat ligt daarmee nog niet vast. Ook dat moeten we in de wiskunde stellen wanneer het niet uit andere reeds gestelde zaken volgt. In de wiskundige topologie spreken we van open en gesloten ruimtes: een gesloten ruimte heeft een grens die tot de ruimte behoort. Als A wel maar B niet tot het lijnstuk behoort spreken we van een half-open lijnstuk.
Wat gebeurt er met de lengte van het lijnstuk wanneer we het punt A naar punt B toe bewegen? Dan wordt de lengte kleiner en deze is nul wanneer A samenvalt met punt B. Kan dit ook wanneer A niet, maar B wel op het lijnstuk ligt? Dat lijkt een onzinnige vraag. De verlegenheid met deze vraag komt voort uit de voorstelling alsof we een punt van een lijnstuk kunnen verplaatsen naar een ander punt. Hier wordt weer het fysische met het wiskundige verward. De uitdrukking “een punt verplaatsen” suggereert dat een punt een object is dat je langs een lijn in de ruimte kunt verplaatsen, als een houten bolletje langs het staafje van een abacus.
Wiskundig wordt dit verplaatsen als een rij of een functie geobjectiveerd, waarbij de elementen van de rij verschillende punten zijn. Het verplaatsen van een punt is een logische onmogelijkheid in de wiskunde. Hierboven concludeerden we al dat we een punt niet van zijn plaats kunnen onderscheiden zonder de punt iets van het karakter van een fysisch object te geven. We kunnen de verandering wel denken of in de werkelijkheid aantreffen, maar dat is geen wiskundig object. Zodra je het eindpunt verandert, heb je een totaal ander lijnstuk. Wat gelijk blijft is de functie als relatie tussen een punt als argument-waarde en een lijnstuk als functie-waarde.
In de fysische werkelijkheid bestaan geen wiskundige punten en lijnen. Ook de voorstelling van een wiskundig punt als een wiskundig lijnstuk met lengte nul is onjuist. Punt en lijn zijn verschillende categorieen; ze hebben verschillende dimensies. De idee van een limiet van een rij van steeds korter wordende lijnstukken, bijvoorbeeld door het lijnstuk telkens in twee gelijke delen te verdelen en met een deel verder te gaan, suggereert dat het punt zo’n lijnstuk met lengte nul is omdat de limiet van de rij 1/2, 1/4. 1/8, 1/16, … gelijk is aan 0. Dat is echter een misvatting.
De vraag of de fysische ruimte Euclidisch is of niet-Euclidisch is misleidend. Net zo misleidend als de vraag of de Nederlandse taal context-vrij is of niet. Het wiskundige model wordt niet dwingend door de werkelijkheid voorgeschreven. Het parallellenpostulaat gaat over wiskundige lijnen en heeft geen fysische betekenis. Het kan wel zo zijn dat sommige fysische verschijnselen handiger beschreven kunnen worden wanneer uitgegaan wordt van een niet-Euclidische meetkunde, dat wil zeggen door aan te nemen dat de ruimte niet-Euclidisch is. Hetzelfde geldt voor het golfmodel en het deeltjesmodel in de kwantummechanica. Je kunt niet zeggen dat het licht een golf is en geen deeltje of andersom. Het gaat ook hier om modellen. Elk van die modellen zal iets van onze relatie tot de fysische werkelijkheid naar voren brengen. Meetkundige waarheden zijn noch synthetisch a priori (Kant) noch experimentele waarheden. Ze zijn handige conventies ( Poincaré, 1902).
Kansen meten
Luciferhoutjes hebben niet allemaal precies hetzelfde gewicht, ook al komen ze van dezelfde machine. De geldt ook voor de gewichten van mannen van 40 in Nederland. We weten dat meten altijd onnauwkeurig is. Dit is een inzicht in het verschil tussen de gedachte exacte maat en de fysische grootte zoals die gemeten wordt.
We nemen aan dat de gewichten van luciferhoutjes die van een zelfde machine komen normaal verdeeld zijn. Een normale verdeling is een wiskundige functie, een kansmodel. Op grond van de gemeten gewichten van een steekproefverzameling van houtjes kunnen we een schatting maken van twee parameters van de normale verdeling: het gemiddelde en de spreiding. We hebben hier met een tweede meting te maken. We vergelijken de werkelijkheid met een wiskundig kansmodel. Een grafiek van de Gauss functie heeft een klok-vorm. De horizontale as is een rechte waarop de lengtes zijn afgebeeld. De verticale as toont de kans. Deze worden benaderd door de relatieve frequentie te berekenen.
Histogram met Gauss kromme.
Om dezelfde reden dat een lijn niet opgebouwd is uit punten, is een oppervlak niet opgebouwd uit lijnstukken. Om de grootte van het oppervalk onder de kromme te bepalen moeten we deze benaderen door verdeling in smalle stroken. De kans dat een luciferhoutje exact een gewicht van 2.5 gram heeft, heeft geen betekenis. We kunnen alleen de kans benaderen dat de lengte tussen twee waardes in ligt of kleiner of groter is dan een bepaalde waarde. De totale kans gemeten door de totale oppervlakte onder de Gauss kromme is gelijk aan 1.
Paradoxen
De paradoxen van de waarschijnlijkheidsrekening zijn theoretische presentaties die tegen de intuitie in lijken te gaan terwijl ze volstrekt logisch lijken binnen de aanvaarde theorie van de kansrekening. Neem als voorbeeld Bertrand’s paradox. Deze doet zich voor wanneer we een willekeurige rechte lijn door een cirkel tekenen en ons afvragen hoe groot de kans is dat de lengte van het lijnstuk tussen de beide snijpunten van de lijn met de cirkel groter is dan de lengte van de zijde van een gelijkzijdige ingesloten driehoek van de cirkel.
De drie modellen van Bertrand (1889)
Bertrand vond drie modellen om de lijn door de cirkel ten opzicht van de driehoek vast te leggen resulterend in drie verschillende antwoorden: 1/2, 1/3 en 1/4. Dit is een paradox wanneer aangenomen wordt dat er een unieke oplossing voor moet bestaan.
Het probleem uit 1889 werd door sommigen opgevat als kritiek op Laplace’ principe van indifferentie, ook wel het principe van onvoldoende reden, dat zegt dat wanneer we geen reden zien waarom de natuur een voorkeur zou hebben voor één van de mogelijke uitkomsten van een experiment, we deze gelijke kansen moeten toekennen. Anderen vinden dat Bertrand’s paradox geen kritiek inhoudt op Laplace’ principe. Wat de mogelijkheden zijn hangt af van het gekozen model en binnen elk model kunnen we Laplace’ principe toepassen. De vraag naar het juiste antwoord is echter misleidend. Er is niet één juist antwoord. Alsof de werkelijkheid voorkeur heeft voor een bepaald model.
En toch kunnen we maar niet loskomen van de gedachte dat er een ware werkelijkheid is en dat er een correct model moet zijn dat de waarheid, de unieke oplossing van het probleem, bevat.
Bertrand zelf vond het probleem “ill posed”, niet goed-gedefinieerd: het is namelijk niet duidelijk wat een willekeurige lijn is. Diegenen die zeiden dat de paradox wijst op de onhoudbaarheid van het subjectieve kans-begrip meenden dat alleen een experiment kan uitmaken wat het juiste antwoord is. Volgens deze frequentisten kun je alleen van kans spreken wanneer je een experiment heel vaak kunt herhalen. Heel veel lijnen tekenen dus en dan maar meten. Volgens de opvatting dat kans een limiet is van een reeks van relatieve frequenties van uitkomsten zouden we zo op empirische wijze kunnen toetsen wat het juiste antwoord is. De fysicus E.T.Jaynes (1973) en de fysici D. Aerts en M. S. de Bianchi (2014) zijn van mening dat er een unieke oplossing bestaat. Jaynes is het met Bertrand eens dat het probleem niet voldoende gedefinieerd is. Hij vindt een oplossing door toepassing van een invariantie overweging. Aerts en de Bianchi vinden een oplossing door eerst vast te leggen wat er precies gerandomiseerd wordt; dat is het mechanisme waarmee de lijnen op de cirkel worden “geworpen”. De willekeur zit hem niet in de keuze van de lijn, maar in de keuze van de manier waarop de lijn op willekeurige manier gekozen wordt.
De auteurs vergelijken Bertrand’s probleem met het metameetprobleem in de kwantummechanica, waar de statistische uitkomst van een meting nog weer afhankelijk is van de gekozen meetmethode. Door een gewogen gemiddelde te nemen over gemiddelden wordt de kans bepaald. De door Aerts en de Bianchi gevonden uitkomst, 1/3, komt overeen met die van Jaynes. Waar het ons hier om gaat is dat ook uit de aanpak van Aerts en de Bianchi blijkt dat de uiteindelijke oplossing afhankelijk is van de wiskundige modellering en dat deze niet eenduidig door de natuur wordt afgedwongen.
Het resultaat van een meting hangt niet alleen af van dat wat gemeten wordt, het object, maar ook van de gekozen maat, de meetmethode, het kennend subject.
Wat het punt is hangt mede af van degene die op het punt wijst. Of de spreker of schrijver een punt heeft en wat dat punt is dat is mede aan de hoorder of lezer te beoordelen. De wiskunde laat zien welke de mogelijke perspectieven zijn waarvan uit we de werkelijkheid op een consistente manier kunnen modelleren en beschrijven. Welke manier het beste is dat maken de gesprekspartners gezamenlijk uit.
Bronnen
Diederik Aerts en Massimiliano Sassoli de Bianchi (2014). Solving the hard problem of Bertrand’s paradox. Center Leo Apostel for Interdisciplinary Studies and Department of Mathematics, Brussels Free University, Brussels, Belgium.
J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de Materie: meetkundige beschouwingen. Uitgeverij G.F. Callenbach N.V., Nijkerk, 1969.
J. Bertrand (1889). Calcul des probabilites, 3rd ed., New York; Chelsea (1960); 1st ed., Gauthier-Villars, Paris, 1889.
K.P. Hart (2009). De Continuumhypothese. Nieuw Archief Wiskunde, 5/10, nr.1, Maart 2009.
A. Heyting (1973). Projectieve Meetkunde. Derde druk, Wolters-Noordhoff NV, Groningen, 1973.
L.E. Fleischhacker (1982). Over de grenzen van de kwantiteit. Proefschrift Universiteit van Amsterdam, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1982.
H. Poincaré (1902). La science et l’hypothèse. Nederlandse vertaling Wetenschap en hypothese. Vertaald door W.A. Verloren van Themaat. Inleiding van J.J.A. Mooij. Boom Meppel, Amsterdam, 1979.
N. Shackel (2007). Bertrand’s Paradox and the Principle of Indifference, Philosophy of Science 74, 150-175, 2007.
P.F. Strawson (1959). Individuals: An Essay in Descriptive Metaphysics. Londen: Methuen, 1959.
B. Williams (1973). Strawson on Individuals. In: Problems of the self: philosophical paper 1956-1972. Cambridge University Press, Cambridge (UK), 1973.
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over beurtwisselgedrag.
Ik kijk graag naar praatprogramma’s zoals Op1 van NPO1. Interessanter dan wat er gezegd wordt is vaak het beurtwisselgedrag van de deelnemers. Kort gezegd betreft het die gedragingen van de gespreksdeelnemers die te maken hebben met het verdelen van aandacht over het zelf en de anderen.
De Engelse term is turn-taking en er is veel onderzoek naar gedaan, zowel door sociologen als door sociaal linguisten. Een klassieker is het SSJ-paper van Sacks, Schegloff en Jefferson (1974). In het nuttige, werkzame, deel van mijn leven heb ik samen met collega’s van de onderzoekgroep Human Media Interaction van de University of Twente daar een bescheiden bijdrage aan geleverd. Onze studies van turn-taking gedrag van mensen waren bedoeld om gedragsmodellen te maken voor artificiele converserende agenten (sociale robots, avatars), kunstmatige gesprekspartners dus. We bestudeerden onder andere gedragingen tijdens een politieverhoor om virtuele verdachten te maken. Merijn Bruijnes heeft daar een zeer lezenswaardig proefschrift over geschreven. We bestudeerden gedrag van mensen tijdens design-meetings, zowel face-to-face meetings als online meetings, om te zien hoe je deze meetings het beste met technologie kon ondersteunen, bijvoorbeeld door de deelnemers real-time een visueel beeld te geven van het turn-taking gedrag. Natasja Jovanovic schreef een proefschrift over adresseer-gedrag, het aankijken en wegkijken, gedrag dat een functie heeft bij het wisselen van gespreksbeurt.
Wie doof is of hardhorend en de discussie op tv niet goed kan volgen die kan altijd nog naar het niet-verbale gedrag kijken. Dove mensen zien meer dan horenden omdat ze hun aandacht beter op het niet-verbale kunnen richten. Veel non-verbale beurtwisselgedragingen behoren tot de honest signals. Ze vertellen vaak een eerlijker verhaal dan de woorden die gesproken worden. (Zie ook de blog over Eerlijke signalen.) Ik raad de lezer aan het geluid eens uit te zetten.
Waar gaat het om?
Zoals gezegd gaat het om de aandacht. Een van de meest opvallende dingen aan een praatprogramma is de beperkte hoeveelheid beschikbare tijd. Als het onderwerp boeit duurt het altijd te kort. Binnen die beperkte tijd is er een eindige hoeveelheid aandacht. Aandacht is een schaars goed omdat er meer behoefte aan is dan er beschikbaar is. Net zo schaars als de chips in de schaal die midden op de tafel staat tijdens een kinderpartijtje. Beurtwisselgedrag is dus een soort van economisch gedrag: het betreft de verdeling van een schaars goed.
De aandacht betreft zowel de verschillende gespreksdeelnemers, als het gespreksonderwerp en de verschillende kanten die daar aankleven. Waarbij een deelnemer tijdens een discussie vaak staat voor een kant van de zaak. Het aandacht geven en vragen aan de betreffende deelnemers staat dan tevens voor het aandacht geven aan een standpunt met betrekking tot de zaak waar het om gaat.
Het is de taak van de gespreksleiders de strijd om de aandacht, dit schaarse goed, in goede banen te leiden, waarbij dit niet ten koste mag gaan van de vrije loop van de discussie. Het leiden is zoeken naar een wankel evenwicht tussen spontaniteit en orde. Daarbij komt dat de gespreksleiders ook inhoudelijk een bijdrage leveren aan de discussie. Meestal door een (vooraf bedachte) vraag te adresseren aan een van de deelnemers. Die wordt daarbij meteen de beurt gegeven. (Als dan een ander dan de geadresseerde de beurt neemt dan grijpt de leider in, bijvoorbeeld met een terechtwijzend: “Vroeg ik aan meneer Blauw!”).
Zo heeft de leider een zekere macht bij het verdelen van de aandacht. Deze zal bij voorkeur de beurt geven aan die deelnemer die iets interessants in te brengen heeft. Dat kan een eigen mening van de deelnemer zijn. De kijker wil weten wat hij of zij er van vindt omdat dit een Bekende Nederlander is of omdat deze persoon een bepaalde groep vertegenwoordigt. Het kan ook om feitelijk informatie gaan die de geselecteerde persoon kan geven. Een belangrijke rol speelt daarbij de kijker thuis, het publiek. Het gaat ook bij deze praatprogramma’s om de kijkcijfers dus het moet de aandacht van de kijkers hebben. Vrijwel altijd gaan deze programma’s dan ook over onderwerpen die al in het nieuws zijn. Ze gaan over die onderwerpen die al de aandacht van het publiek hebben. Omdat er bovendien vaak geput wordt uit dezelfde groep van Boeiende Nederlanders is er meestal weinig nieuws aan te beleven. Om het dan toch nog interessant te maken let ik op het beurtwisselgedrag van de deelnemers. Hoe verdelen de deelnemers het schaarse goed aandacht over zich zelf en de anderen en welke ander krijgt de aandacht om te spreken dan wel om te luisteren.
Het BW-gedrag zegt veel over het karakter van de deelnemers, over de onderlinge relaties en over de emotionele betrokkenheid bij het gespreksonderwerp. Net zo goed als er verkeersregels en spelregels zijn, zijn er ook regels voor beurtwisselgedrag. Deze sociale regels worden niet dwingend van buiten opgelegd, als in de regie van een toneelstuk of bij een bordspel. Het zijn de deelnemers zelf die bepalen wie op ieder moment de beurt krijgt en of de spreker de beurt houdt. Het is vanwege onze beperkte mogelijkheden om aandacht te geven dat het streven is dat er op elk moment slechts één iemand het woord heeft en dat de anderen luisteren. Dit is inderdaad ook werkelijk vaak het geval. Emoties maken dat er in de strijd om de aandacht stemmen door elkaar klinken. Soms vraagt iemand expliciet om de floor. “Mag ik even?” Soms wordt er onderhandeld. “Ik liet u daarnet uitpraten, mag ik nu even uitpraten?” . Soms wordt er spreektijd geclaimed. Klassiek is het “Twee dingen” waarmee Joop den Uyl vaak een antwoord begon. Soms lopen de overgangen tussen de beurten gesmeerd en is er nagenoeg geen overlap of stilte. Soms is er een conflict, zoals in een interview van Clarie Polak met Dokters van Leeuwen. De laatste vertoonde typisch BW-gedrag, waardoor Polak in de war raakte. Dokter van Leeuwen laste lange pauses in midden in zijn antwoord. Wanneer Polak meende de volgende vraag te kunnen stellen ging hij door met zijn antwoord. Dat leidde op een gegeven moment tot irritatie bij de hoge rechter waarop Polak hem wees op zijn vreemde BW-gedrag. Wanneer een politieagent tijdens een verhoor de verdachte een vraag stelt komt het regelmatig voor dat deze de uitnodiging met een stilzwijgen beantwoord. Er is naast een spreekrecht ook een recht van zwijgen. Soms bij een wat grotere groep splitst de groep in meer subgroepen elk met hun eigen onderwerp en beurtwissel-regime. Maar zo’n gesplitste situatie zal bij discussieprogramma’s op TV niet lang standhouden.
De strijd om de aandacht, om de spreekbeurt, is een machtsstrijd waarvoor sommige deelnemers beter bewapend zijn dan anderen. Bovendien laten ze zien hoe de sociale verhoudingen liggen. Vanaf de jaren 70 is er veel onderzoek gedaan naar turn-taking gedrag als uiting van gender-relaties. Studies toonden aan dat vrouwen veel vaker door mannen in de rede werden gevallen of de beurt niet kregen dan mannen door mannen of door vrouwen. Terwijl vrouwen vonden en vinden dat ze ook wat te zeggen hebben en daarvoor aandacht verdienen.
Eerlijke signalen: over racisme
BW-gedrag is interessant omdat het ritueel gedrag is en omdat het eerlijk gedrag is. Niet-verbalen signalen zijn honest signals; de term komt uit de ethologie (zie mijn blog Eerlijke signalen en de Corona app): ze zijn vaak niet bewust en vertellen dan ook soms een eerlijker verhaal over de relaties tussen de deelnemers dan de woorden.
Bij Op1 ging het over racisme en aan tafel zaten o.a. de (blanke) BN-er de historicus Herman Pleij die zeer boeiend en met veel enthousiasme kan vertellen over de historie van dingen en verschijnselen, de (blanke) baas van Omroep MAX Jan Slagter en de Oranje voetbalinternational Hedwiges Maduro. De laatste zat er ongetwijfeld mede vanwege zijn bruin getinte huidskleur. De kwestie was hoe het staat met het racisme in Nederland en wat er aan te doen. Maduro hield een warm pleidooi voor en redelijke dialoog waarbij de partijen vooral moeten luisteren. Want, zo stelde hij, we horen de boodschap van de andere partij niet. Dat vraagt om inleving in de situatie van de ander. En daar ontbreekt het aan, zo stelde Maduro. De discussie over het thema was in de media opgelaaid door een als grap bedoelde opmerking van Johan Derksen in het programma Voetbal Inside. Johan zou, zo werd elders beweerd, niet voldoende rekening houden met de gevoelens van anderen. Ik denk het niet. Johan is allergisch voor gedram, betweterij, en iedere vorm van kuddegedrag, zoals racisme. Hij is een ster in het op de hak nemen van iedereen die jeuk bij hem veroorzaakt. Maar dit terzijde.
In een praatprogramma moet er vooral veel geluisterd worden. Daarom kan het ook beter een luisterprogramma heten. Maar de aandacht van zelf gaat vaak meer naar het realiseren van de wil om te spreken: “de ander moet maar eens naar mij luisteren”, dan naar de wil om te luisteren. Maduro had dus een goed punt. Het is dan opmerkelijk te zien hoe hij bij regelmaat in de rede werd gevallen door de blanke heren BN-ers, die meenden het woord te moeten nemen. Waarbij ze overigens volmondig toegaven wat Maduro zei en zelfs met eigen woorden nog eens hetzelfde bepleitten als Maduro. Het gaat te ver om hier een teken van dominantie op grond van huidskleur in te zien, maar het had er de schijn van. Natuurlijk past deze observatie goed in mijn verhaal dat BW-gedrag het eerlijke verhaal vertelt over hoe de verhoudingen liggen en dat het soms strijdig is met wat de woorden zeggen.
Als het gaat over het verdelen van een schaars goed dan speelt de historicus Herman Pleij altijd een aardig woordje mee. Hij is in staat om in zijn eentje meer dan de helft van de chips op te eten. Wat dan weer ten koste gaat van de aandacht voor de anderen. Misschien moet de redactie hem daar eens op wijzen, ook al kan hij nog zo boeiend vertellen.
Automatische gedigitaliseerde gedragingen
Ons onderzoek naar BW-gedrag had als doel modellen te maken ten behoeve van het simuleren van dit gedrag in kunstmatige converserende agenten, zoals sociale robots. Kun je een machine zodanig programmeren dat deze BW-gedrag vertoont? Ja, dat kan. Met een beetje goede wil kunnen we dat zo wel stellen. Een geldautomaat vraagt: “Wilt u een afgiftebon?” om vervolgens het luisterend oor te bieden aan de gebruiker, wachtend op het antwoord. Heel veel verder zijn we nog niet. Natuurlijk zijn er al veel slimmere methodes uitgedacht en geimplementeerd om sociale robots en androides, gedrag te laten vertonen dat soms erg overtuigend overkomt als natuurlijk BW-gedrag: kijk-gedrag, hoofdbewegingen, fronsen, aanwijzen. En dat allemaal gecoordineerd met simultaan uitgevoerd verbaal gedrag.
Acceptatie van de resultaten blijft mede een kwestie van goede wil. Het resultaat, het uiteindelijke effect van deze inspanningen, in termen van de kwaliteit van de interaktie, overstijgt de sfeer van het technische en varieert van verrassend (“het werkt!”) naar teleurstellend (“het lijkt er nog niet op!”, of positiever: “het is veelbelovend”). Waar zit het probleem bij de simulatie van natuurlijk BW-gedrag door een sociale robot? Het probleem wordt geintroduceerd door een typisch kenmerk van de simulerende technologie: de digitalisering van de interaktie.
Een gedetailleerde beschrijving van de digitalisering van turn-taking gedragingen voor het synthetiseren van BW-gedrag in een sociale robot vinden we in een artikel van Kristinn Thórisson dat de treffende titel heeft “Natural turn-taking needs no manual.” (Thórisson, 2002).
Wanneer we machines natuurlijk, dat is menselijk, conversationeel turn-taking-gedrag aanleren, hebben we geen handleiding meer nodig en zijn we verlost van de stuntelige interakties zoals die met de diverse verkoopautomaten.
“Pragmatically speaking, a generative model of turn-taking has the potential to free users from the “vending machine” symptoms that have plagued many communicative computer systems in the past: Arbitrary pauses, beeps, button pushes, and instruction guidelines. Any decent implementation of a generative, multimodal turntaking model should allow for interaction with machines in the same way human interaction works, supporting seamless, finely-timed turn-taking, giving invisible support to the task and the situated natural language communication at hand — without the need for a manual.” (Thórisson, 2002)
De Introductie van Natural turn-taking needs no manual (Thórisson, 2002).
Gespreksdeelnemers nemen tijdens een gesprek wel 2-3 keer per seconde beslissingen zoals Alan in de Introductie van het artikel (hierboven). “Hoe doen we dat?” Zo stelt de technicus het probleem voor. Wat volgt is een digitalisering van het gebeuren, een analyse in termen van parallel verlopende processen die elk in hun eigen frequentie draaien en met elkaar synchroniseren. Deze processen spelen zich af in verschillende lagen. Zo zijn er dialoog-toestanden en er zijn “cognitive states of mind” en toestanden van uitvoerprocessen en motoren. Tijdens de perceptie fase van de “perceptie-actie-loop” moeten er voortdurende functionele classificaties worden uitgevoerd van de inkomende observaties. Deze moeten in de context geinterpreteerd worden in termen van hun belang voor bijvoorbeeld het wel of niet overnemen van de beurt. Zo is de figuur Alan uit de Introductie druk met het observeren en interpreteren van al die signalen die hij uit de omgeving en van zijn gespreksdeelnemer binnen krijgt terwijl hij aan het vertellen is.
We zien dat hier door de techniek een gedigitaliseerdevoorstelling gepresenteerd wordt van hoe BW-gedrag in de natuur gebeurt. Het beeld dat geschetst wordt is dat het gebeuren tot stand komt door elkaar snel opvolgende toestandsveranderingen die het gevolg zijn van evenzovele beslissingen, keuzes die gemaakt worden op de talloze keuzemomenten die tijdens een interactie plaats vinden. Hoe complex de in het artikel voorgestelde architectuur ook is, in principe vinden we deze digitale voorstelling van zaken in termen van interakterende processen die verschillende dialoogtoestanden doorlopen, ook al bij de geldautomaat en bij die andere door Thórisson genoemde “vending machines”. En of het werkt is al even afhankelijk van de juiste timing en synchronisatie van de verschillende processen.
De technische idee
BW-gedrag hangt, zoals elk gedrag, op een intieme wijze samen met en is een aspect van de totale inzet van het sociale individu, de deelnemer aan de sociale interactie. De verschillende gedragingen die we waarnemen als we er met een analyserende blik naar kijken vorm een geheel. Wie een mens spreekt spreekt een persoon. De aandacht gaat naar de persoon uit en naar wat deze ons te zeggen heeft. Niet naar de woorden en de gedragingen, maar naar dat wat ze zeggen. Bij interactie met een machine kan een beweging de suggestie van een uiting van een zelf oproepen. Zoals het uitspreken van een vraag de suggestie oproept van iemand die de vraagt stelt. Wij weten dat dit slechts suggestie is; dat we een zelf erbij denken. De maker van de androides maken gebruik van de werking van zowel aangeleerde als van instinctmatige natuurlijke reacties op gedrag. Zo kan het simuleren van het kijkgedrag van de baby dezelfde emoties oproepen bij de mens als wanneer dit gedrag door een mensenbaby getoond wordt. Zo maakt de techniek niet alleen gebruik van natuurkrachten zoals die in de wetten van de mechanica worden uitgedrukt, maar ook van krachten die in onze levende emotionele natuur werken.
In de definitie van de technische idee van Jan Hollak:
“De technische idee is die abstracte verstandsvorm waarin de mens haar beheersing van de natuur door middel van een originele combinatie van haar krachten tot uitdrukking brengt.”
moeten we de natuurkrachten in deze ruime zin opvatten. Om autonoom en bruikbaar te zijn is het niet noodzakelijk dat de natuurkrachten eerst in de vorm van programma’s worden gesimuleerd. Net als de kunst maakt de techniek opportunistisch gebruik van dieper liggende emotionele krachten die op een heel andere manier automatisch inwerken op de gebruiker. De techniek overstijgt hier de sfeer van de berekenbaarheid. Ze maakt gebruik van een andere vorm van zekerheid, een vorm van zekerheid die de zekerheid van de wiskunde in zekere zin overstijgt. De beleving van het resultaat van de technische inspanningen overstijgt deze waardoor bijvoorbeeld een simpele oplossing soms een krachtiger effect bij de kijker/gebruiker te weeg kan brengen dan een complexe constructie. Dat is het kunstmatige aan de techniek.
Mechanisering van denkarbeid
In het hoofdstuk “De machine als objectivering van zelfbegrip” in “De machine voorbij” legt Maarten Coolen aan de hand van passages uit Hegel’s Enzyklopadie (de subjectieve geest) en Jenaer Realphilosophie uit hoe de programmeerbare automatische machine gezien kan worden als uitwendige objectivatie van de aktiviteit van de subjectieve geest waarin het denken vanuit de private voorstelling zich ontwikkelt tot teken. Als namen (Hegels term voor woorden) hebben de voorstellingen een objectieve geldigheid. Ze zijn middel voor onze herinnering en we kunnen ze gebruiken om te denken. De namen zijn subjectief en tegelijk objectief: ze zijn onze referenties naar de werkelijkheid. In de informatietechnologie gaan de tekens als fysische objecten functioneren. Hegel spreekt in de Jenaer Realphilosophie van het “mechanische” gebruik van woorden. Volgens Coolen lijkt dit eerder in de programmeertalen gerealiseerd te zijn dan in de natuurlijke taal. “In een artificiele taal wordt het resultaat immers bereikt door een uitwendige manipulatie van tekens volgens de regels die expliciet zijn opgesomd en die blindelings gevolgd moeten worden om het gewenste effect te bereiken. Ook is in een kunsttaal de storende invloed van een zekere bepaaldheid van de betekenis van de taaltekens niet aanwezig. Je kunt de namen laten slaan op wat je maar wilt.” (Coolen, p211). En in een voetnoot stelt Coolen ter toelichting dat wat we in programmeertalen een “identifier” noemen in belangrijke mate overeenkomt met wat Hegel’s in zijn Jenaer Realphilosophie met de term “Namen” aanduidt. Coolen geeft een eigentijdse interpretatie van Hegels tekst: “precies wat Hegel als het “mechanische” moment van het denken ziet, is, zo kunnen wij, die leven in het tijdperk van de informatietechniek, zeggen, over te dragen op een zelfstandig functionerende machine.” (p.212)
Misschien is deze interpretatie van Hegel toch een beetje te kort door de bocht. Coolen denkt bij de informatietechnologie in navolging van Metzger en Hollak aan de programmeerbare rekenmachines. Om deze machines te bedienen, of beter: te programmeren, moet de programmeur een programmeertaal, een kunsttaal, zoals Java of Perl, leren. Maar de mens is verder gegaan in de uitwendige zelf-objectivatie. De computer moet gebruiksvriendelijker gemaakt worden. Deze moet de natuurlijke taal van de mens leren. Met de embodied conversational agents kunnen we een gesprek in onze eigen taal voeren. Dit is een gevolg van een ontwikkeling die in het werk van Coolen niet aan de orde komt: het modelleren van menselijke communicatie, van dialogen.
De mechanisering van de interaktie als arbeid
Vaak wordt interaktie tegenover arbeid geplaatst. Dat is slechts de halve waarheid. Interaktie is ook arbeid en arbeid is ook interaktie. Wanneer we het over de mechanisering van de arbeid hebben dan bedoelen we meestal die arbeid waarin het gaat om de produktie van materiele goederen. Niet over het tot stand brengen van communicatie tussen mensen. Toch zagen we in het werk van sociologen als E. Goffman en Argyle dat er over gedragingen wordt gesproken. Het onderwerp van Goffman’s Interaction Analysis zijn de kleine gebaren, bewegingen, zoals oog-arm en hand-bewegingen die een rol spelen bij de interaktie tussen mensen. Ze drukken iets uit en brengen communicatie tot stand. Ze worden los gekoppeld, geabstraheerd, van de persoon. “Not then men and their moments. Rather moments and their men.” De interaktie wordt hier een abstract proces, waarin een abstract subject zich verhoudt tot zijn interaktieve gedragingen. Deze abstractie maakt het mogelijk dat het individue zich terugtrekt uit deze aktiviteit en deze door de natuur laat overnemen.
Dit is wat we zien gebeuren in de techniek van de avaters, de humanoid, en de embodied conversational agents. Ze zijn voor mij een aanleiding tot een herinterpretatie van Hegel’s passages over de mechanisering. De natuurlijke taal heeft als voordeel dat de betekenis al bij de gebruiker bekend is. De machine spreekt de taal van de mens. Het nadeel is “de storende invloed van een zekere bepaaldheid van de betekenis van de taaltekens”. De woorden zijn geen identifier meer die we naar willekeurig wat kunnen laten verwijzen. Ze hebben de gebruikelijke normale betekenis. En die is niet altijd voor iedere gebruiker in elke situatie hetzelfde. Wat we zien is dat niet alleen de woorden van de natuurlijke taal maar ook de andere communicatieve gebaren als gebruikt worden voor de interaktie tussen mens en machines, de sociale robots en andere embodied conversational agents.
Het bijzondere nu is dat vanwege de formalisering en objectivering van de natuurlijke talen en gebaren het helemaal niet nodig is iets te weten over hoe bij de mens deze uitingen tot stand komen. Het is niet nodig te weten hoe wij taal of gebaren produceren. Evenmin hoeven we te weten hoe we de gedragingen, gezichtsuitdrukkingen en talige uitingen van de sociale robots en sprekende machines interpreteren, hoe dit werkt. Het werkt gewoon.
In de techniek brengt de kunstenaar meer tot stand dan de intellectueel kan bevatten.
Zo vinden we inderdaad dat de ontwikkeling van de technologie als historische veruitwendiging van het zelf-begrip van het menselijk subject haar moderne uitdrukking vindt in de intersubjectiviteit, in de dialoog met een menselijke gestalte. Maar het gaat hier om een vorm van intersubjectivitiet waarin de ander waarmee het menselijk subject interakteert het zelf is in de uitwendige vorm van de natuurprocessen. De mens herkent in de pratende machines zichzelf maar ontmoet daarin nog niet een ander persoon dan zichzelf in een geobjectiveerde vorm.
De filosofie heeft altijd meer moeite in haar verstandelijke reflectie te blijven bij de meeste intieme ervaringen die we hebben: de ervaring van ons zelf, de ervaring van de sociale wereld en van de ander als uniek persoon, dan bij de dingen en de wereld om ons heen. De wereld om ons heen wordt steeds meer onze wereld en uitdrukking van ons zelf. Toch herkennen we ons niet helemaal in die wereld. Wat hebben we er eigenlijk mee?
Bronnen:
Akker, op den, Rieks en M. Bruijnes, R. Peters, T. Krikke (2013). Interpersonal stance in police interviews: content analysis. In: Computational linguistics in the Netherlands journal 3, 193-216, 2013.
Brekelmans Frans en Brink, Erik (2013). Beeld en evenbeeld: een uiteenzetting van Hollaks begrip van Hegels filosofie en diens metafysische gevolgtrekkingen uit dat begrip. Proefschrift in twee delen. Tilburg University, 2013.
Bruijnes, Merijn(2016). Believable Suspect Agents: Response and Interpersonal Style Selection for an Artificial Suspect. Proefschrift University of Twente, Enschede, 2016.
Coolen, Maarten (1992). De machine voorbij: over het zelfbegrip van de mens in het tijdperk van de informatietechniek. Boom Meppel, Amsterdam, 1992.
Fleischhacker, Louk E. (1995).Beyond structure: the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang, Frankfurt am Main, 1995.
Hollak, Jan (1966): Van causa sui tot automatie (inaugurele rede). Katholieke Universiteit van Nijmegen. Opgenomen in de bundel: Platvoet, W., eds.: Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak. DAMON (2010).
Jovanovic, Natasa(2007). To Whom it May Concern: Addressing in Face-to-Face Meetings. University of Twente, Human Media Interaction, Enschede, 2007.
Mazeland, Harrie (2003). Inleiding in de conversatie-analyse. Uitgeverij Coutinho. Bevat een uitvoerige bespreking van het turn-taking model van Sacks et al. (1974).
Nijholt, Anton, R. op den Akker, D. Heylen (2006). Meetings and meeting modelling in smart environments. AI & society 20 (2), 202-220, 2006.
Pentland, Alex (2008). Honest signal: how they shape our world. MIT Press, USA, 2008
Reidsma, Dennis; R op den Akker, R Rienks, R Poppe, A Nijholt, D Heylen (2007) Virtual meeting rooms: from observation to simulation. Ai & Society 22 (2), 133-144, 2007
Sacks, Harvey; Schegloff, Emanuel A.; Jefferson, Gail (1974). A Simplest Systematics for the Organization of Turn-Taking for Conversation. Language. 50 (4): 696–735.
Thórisson, Kristinn R. (2002). Natural turn-taking needs no manual: computational theory and model, from perception to action. In: Multimodality in Language and Speech Systems, 173-207. Björn Granström, David House & Inger Karlsson (Editors). The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het nu over Veeltaligheid.
“Es ist in Namen dass wir denken“.
Onze kleindochter Sofia wordt meertalig opgevoed. Dat klinkt anders dan het in werkelijkheid is want dat meertalige gaat net zo vanzelf als het voeden en het opvoeden. Ik bedoel maar te zeggen dat er geen extra aandacht besteed wordt aan de opvoeding vanwege het feit dat haar vader het Nederlands en haar moeder het Portugees als moedertaal heeft en dat pa en ma vanaf dat ze elkaar leerden kennen en ook vanwege hun werk regelmatig tot het Engels hun toevlucht nemen.
Sofia is nog geen twee en leert in een hoog tempo de namen van de dingen. Eerst passief; de herkenning van de klanken en de associatie met de dingen. Dan het naproduceren van de klanken. Na papa, mama, opa en oma komen beer boom bal boek, pop. Als mama haar vraagt, wijzend op haar neus, mond, oor, hoe dit heet dan zegt ze de namen in het Portugees. Maar water is altijd aqua. Of ze nu bij ons is of in Portugal. Ze roept wanneer we naar de wei achter het huis lopen “paard” ook al is het paard dat er vorige week stond in geen velden of wegen te zien. Inmiddels is ze toe aan het combineren van dingen: papa auto. Taal is een verschijnsel dat sowieso allerlei vragen oproept, Sofia’s meertaligheid is een fenomeen dat deze nog eens versterkt onder de aandacht brengt.
Taal is eerst klanktaal; zoveel is wel duidelijk. Wij als volwassen sprekers zeggen wel dat Sofia de namen van de dingen opnoemt, maar die namen zijn gesproken gebaren, klanken, waarin wij de namen van de dingen herkennen. Dat de omzetting van deze innerlijke woordklanken naar de namen als geschreven woorden geen trivialiteit is dat leert onze Lilly, die in in klas 2 zit. Het Portugees kent niet alleen andere namen voor de dingen, het klinkt anders dan het Nederlands, het Spaans, het Engels.
Heeft Sofia een moedertaal, het Portugees, en een vadertaal, het Nederlands? Hebben sommige kinderen die tweetalig worden opgevoed een moedertaal die ze uitsluitend met hun moeder spreken en een vadertaal die ze uitsluitend met hun vader spreken? Als het zo is dat wij in namen denken, in welke taal denken tweetalige kinderen dan? Misschien hangt dat samen met het onderwerp waarover gedacht wordt. Ik dacht over technische zaken, zaken waarover ik vooral in wetenschappelijke literatuur had gelezen en waarover ik met anderen collega’s, studenten, sprak, in het Engels wat niet mijn moedertaal is. Alle andere talen dan het Nederlands – misschien ook wel het Fries – zijn voor mij vreemde talen. Talen die ik op latere leeftijd, eerst op school: Engelse, Frans, Duits, later in de praktijk, in beperkte mate heb geleerd.
Maar misschien denken kinderen van twee jaar nog niet in een taal. Waarschijnlijk is het “denken” net als “taal” anders wanneer het over kinderen gaat dan wanneer het over volwassenen gaat. Zijn de woorden die de tweejarige spreekt meer dan klankreproducties? Zijn het ook al woorden die een emotie uitdrukken? Wanneer ik met Sofia naar de wei loop en we naderen het prikkeldraad zegt ze au, en zo klinkt het ook. Maar de emotie die in die klank zit is niet die ze zelf heeft ervaren, want ze heeft zich nog niet aan dit prikkeldraad pijn gedaan. Het is de emotie die klinkt in de waarschuwing die ik bij een eerder gelegenheid uitte: “pas op dat is au”.
De gesproken woorden zouden volgens Aristoteles’ openingszinnen van De Interpretatione (zie onderaan) uitdrukking zijn van wat de ziel ervaart. Maar is dat wel zo? Wat bedoelde hij met de woorden? Kennelijk iets anders dan de toevallige klanken die we met de dingen hebben leren associeren. Want wat hebben de klanken bal, boom en boek nu met een ervaring van de ziel te maken? Of zou het zo kunnen zijn dat de mens in de tijd van Aristoteles veel dichter bij de dingen stond dan nu het geval is en dat de namen voor de dingen inderdaad de expressie waren van een intieme band tussen de ziel, de gedachte en het in die gedachte aanwezige ding? Toen de dingen nog een ziel hadden.
Geschreven woorden en hun letters… (uit: M.Janssen en A.Visser 2002)
“So what is a Word really?” vroegen Maarten Janssen en Albert Visser (2002) zich in navolging van Aristoteles ook al af. Woorden bestaan in hun gebruik en dit vooronderstelt een historische band met het gebruik van hetzelfde woord. In een voetnoot voegen ze hieraan toe een opmerking over het gebruik van de term gebruik (the use of use). Ze zeggen dat we dit gebruik hier cum grano salis moeten nemen. Wanneer op het display van een geldautomaat komt te staan “wilt u uw saldo weten?” dan is er geen persoon die deze vraag uit. Hier is sprake van gebruik van de woorden zonder dat er in eigenlijke zin een gebruiker is die deze woorden uit. Deze woorden functioneren slechts als tekens. Die mogelijkheid ontlenen ze aan een zelfstandigheid die de woorden hebben inzoverre ze begrepen worden als verwijzend naar een ritueel gebruik. De taal is hier een interface tussen mens en machine.
Aristoteles tweede opmerking is dat de geschreven woorden staan voor de gesproken woorden, zoals de gesproken klanken staan voor de zielservaringen. Dat taal primair gesproken taal is, dat is wel duidelijk. Veel mensen kunnen en konden niet lezen en schrijven. En we begrijpen een tekst pas wanneer we de woorden horen. De taalontwikkeling van een kind is ongetwijfeld gekoppeld aan de fysiologische ontwikkeling van zowel het vermogen klanken te produceren als van het vermogen klanken te onderscheiden. Wie het Engels als moedertaal heeft kan het verschil tussen de woorden bed, bat en bad veel beter maken en verstaan dan de Nederlander. De Chinees heeft problemen met de r en de l.
Woorden hebben een betekenis. Dat is helder. Maar wat is “betekenis”? Wat is dat betekenen? Komt de betekenis van “Mijn papa is dokter” uitgesproken door een vijfjarige overeen met dezelfde uitspraak gedaan door een vijftienjarige? En als de tweetalig opgevoede deze zin uitspreekt in haar vadertaal of in haar moedertaal zegt ze dan hetzelfde, alleen in een andere taal? Is het verschil tussen papa en vader of daddy net zo groot als het verschil tussen deze woorden en hun Portugese vertalingen?
Wat nu misschien nog het verschil uitmaakt tussen de talen van Sofia zijn de losse woorden, de klanken die ze koppelt aan de dingen. Maar een taal is niet een verzameling woorden of zinnen. Talen zijn in zekere zin identiteiten die niet vertaalbaar zijn. Het zijn manieren van het uitdrukken van een relatie met de wereld. En die wordt gevoed door de ervaringen van de mensen die met deze taal omgaan door deze te spreken. In die zin creeert de tweetalig opgevoede een nieuwe taal.
De namen van onze taal zijn direct verbonden met de dingen waarvan de namen namen zijn. Wij zeggen dat is een beurtbalkje en de Duitser noemt het een Trenner. De Duitser zegt evenzo “Dass ist ein Trenner und die Hollander nennen es ein Beurtbalkje“. Zo eigenen we de dingen toe in onze gedachten. Wij zien het onderscheid tussen wat iets is en hoe het genoemd wordt door de andere taal gebruiker. Wanneer zou voor Sofia wat water is ook aqua genoemd worden. Of wat aqua is ook water? Heeft ze ook later voor elk ding een eigen naam en een andere vreemde naam? De vraag veronderstelt een dubbele relatie tussen de dingen en de woorden. Enerzijds is die zo dat de dingen onafhankelijk buiten de woorden bestaan. De woorden zijn vertaalbaar, de relatie tussen woord en ding is in zekere zin willekeurig: een brood is een pain. Anderzijds is het ding wat het is zoals in de eigen naam wordt uitgedrukt: wat men in Frankrijk pain noemt is niet hetzelfde als wat men in Nederland een brood noemt. Zo heeft iedere taal zijn eigen woorden en uitdrukkingen; de woorden en uitdrukkingen van een eigen leefwijze.
Je kunt talen niet vertalen, maar je kunt wel proberen samen te leven met mensen die een andere leefwijze hebben.
Taal is niet een afbeelding van de werkelijkheid. Alsof de werkelijkheid een structuur heeft die in de taal wordt gerepresenteerd. Dat is een technische voorstelling waarin taal puur functioneel gebruikt wordt als middel om informatie over te brengen en te delen. Alsof de betekenis van woorden volledig bepaald wordt door het gebruik ervan in de uitwisseling van informatie. De techniek negeert de creativiteit en de uitdrukkingskracht van taal door deze met de functie ervan te vereenzelvigen. Alsof een samenleving tot stand komt door de talige communicatie van hun individuele leden.
Willen we snappen wat taal is dan moeten we snappen wat de relatie is tussen het individu, de individuen en de samenleving waarvan ze deel uitmaken. Het is de in onze cultuur overheersende technische, functionele, denkwijze die ons hindert in het begrijpen van de essentie van een multi-linguale, dat is multi-culturele, samenleving. De ervaring leert dat we pas werkelijk oog krijgen voor de hindernissen die het vasthouden aan de eigen denkwijze, de eigen taal en de eigen cultuur met zich meebrengen door de schokkerende ervaring van een daadwerkelijk confrontatie met onze eigen en andere culturen.
Het negeren en omverwerpen van beelden, hetzij in de taal, als het woord neger, negerzoen of jodenkoek, hetzij in de fysische werkelijkheid moeten als voortekenen van zo’n confrontatie worden opgevat. Of het daarbij zal blijven hangt ervan af of ze inderdaad gezien worden als tekens van een dieperliggend probleem, het probleem van een door informatie-en communicatietechniek beheerste denk- en leefwijze. Misschien dat de veeltalig opgevoeden onder ons een belangrijke bijdrage kunnen leveren tot de zelfbewustwording van de culturen.
Bronnen:
Spoken words are the symbols of mental experience and written words are the symbols of spoken words. Just as all men have not the same writing, so all men have not the same speech sounds, but the mental experiences, which these directly symbolize, are the same for all, as also are those things of which our experiences are the images. This matter has, however, been discussed in my treatise about the soul, for it belongs to an investigation distinct from that which lies before us. ( On Interpretation, part I, Aristotle, written 350 B.C., Translated by E. M. Edghill. )
Maarten Janssen en Albert Visser (2002). Some words on word. Artificial Intellignce Preprint Series Nr. 030, Onderwijsinstituut CKI, Utrecht University, the Netherlands, April 2002
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over Code Zwart.
Er heerst nogal wat verwarring in de media en dus bij de mensen over “Code Zwart”. Code Zwart verwijst voor de regering en voor het landelijk platform dat gaat over de coördinatie van de IC-zorg naar de situatie waarin er sprake is van Nationale Coördinatie en Toewijzing van IC-bedden aan patiënten vanwege een tekort aan plaatsen op de IC. De ‘reguliere’ zorg is dan al tot vrijwel nul ‘afgeschaald’.
In de media en ook door sommige ziekenhuizen is er al sprake van ‘code zwart’ als er regionaal of zelfs in een bepaald ziekenhuis een tekort is aan IC-bedden en personeel, waardoor uitgeweken moet worden naar andere ziekenhuizen. Dit leidt tot verwarring: de één zegt we zijn daar nog niet, de ander zegt we zitten er al midden in. Maar ze bedoelen dan niet hetzelfde.
Code Zwart in strikte zin is pas van kracht als de regering dat afkondigt. Alle ziekenhuizen hebben zich daaraan te houden. Ze moeten dagelijks vraag en aanbod van IC-bedden centraal melden bij het landelijk platform en die kent volgens een afgesproken protocol de IC-bedden vervolgens toe aan patiënten. Dit gaat dus veel verder dan de normale dagelijkse triagepraktijk.
Hier gaat het over de procedure die door ethici en medici is afgesproken. Waarom zo’n procedure en wat zijn de problemen daarbij?
Moet de ethiek mathematisch zijn?
Kunnen we wiskundige modellen maken om te berekenen wie bij schaarste aan IC-bedden wel en wie niet in aanmerking komt voor een IC-bed? Ja, dat kan. De vraag is of dit verantwoord is en hoe de toepassing ervan in de praktijk, als het erop aankomt, uitpakt. De vraag die hier aan de orde is is niet zozeer welk wiskundig model beter is maar wat de praktische implicaties zijn van zo’n model (wat voor model dan ook) en het werken er mee.
De ethiek moet een tegenpool bieden tegen de mathematisering van ethische procedures. De rationele mens heeft een hekel aan toeval. Het toevallige heeft iets onrechtvaardigs. Zelfs als we ervoor zouden kunnen zorgen dat iedereen gelijke kansen heeft op de hoofdprijs, dan nog is het niet eerlijk dat het altijd de ander is die die prijs wint. We proberen het toeval uit te sluiten, omdat het onrechtvaardig is. We willen de verdeling van schaarse middelen niet aan de toevallige omstandigheden overlaten. Of het nu om brood, opleiding of medische zorg gaat. Hier gaat het over de toewijzing van IC-bedden aan patiënten die medische zorg nodig hebben. Als er een nijpend tekort is aan IC-bedden, in tijden van Corona, moeten er door de medicus lastige keuzes worden gemaakt: wie heeft voorrang?
Bekend is het verhaal van de ezel die tussen twee hooibalen van honger omkwam omdat hij niet kon kiezen tussen de linker en de rechter. Er moet altijd een knoop doorgehakt worden. Maar eerst proberen we een redelijke maat te vinden die ons zegt hoe de patiënten te ordenen.
Medici en medisch ethici hebben daartoe een draaiboek gemaakt. Het wordt nu technisch. Een draaiboek bevat een procedure. Een procedure moet worden uitgevoerd door iemand in een bepaalde concrete situatie. Het is dus van belang dat de situatie zoals die door de opstellers van het draaiboek wordt voorgesteld overeenkomt met de werkelijkheid. Maar hoe goed die ook is: de betrokkenheid van de medicus bij zijn patiënt en de druk van het moment staan niet in het model waarop de procedure gebaseerd is. De procedure was er juist voor bedoeld deze factoren uit te sluiten, omdat ze te toevallig zijn. Ze zijn niet objectiveerbaar.
Over toeval en hoe we hiermee om gaan
Ik ben geen medicus, noch ethicus. Ik studeerde wiskunde en werkte als informaticus op het gebied van de kunstmatige intelligentie met een bijzondere interesse voor de filosofie van het wiskundig denken en technologie. Het maken van wiskundige modellen is populair. Het is misschien vanwege de successen in de theoretische en experimentele fysica dat we geneigd zijn te denken dat kennis pas echt wetenschappelijk en objectief is wanneer het in wiskundige taal en modellen kan worden uitgedrukt. Maar in hoeverre kunnen we gedrag van mensen in wiskundige modellen gieten?
Op basis van wiskundige modellen nemen we beslissingen. We laten computers uitrekenen wat we het beste in een bepaalde situatie kunnen doen. Die modellen krijgen soms een autonome status. We roepen ze ter verantwoording van de beslissingen die we nemen. Ze gaan dienen als legitimatie van ons handelen. “De computer zegt het”.
Beslissingsproblemen kom je overal tegen. Ik werkte tijdens mijn opleiding bij IBM in Tel Aviv aan een beslissingsprobleem voor het Ministerie van Handel en Industrie in Jerusalem. Het betrof het vervoer per schip van goederen tussen de havenstad Haifa en verschillende havens in de Verenigde Staten. Het ging erom de kosten van het vervoer en het verblijf van de schepen in de haven te minimaliseren en tegelijk het transport van goederen te maximaliseren. Het gaat hierbij om kosten en baten van zaken die allemaal in geld zijn uit te drukken. (Invloeden op het milieu werden niet meegenomen!) Dat is anders bij allocatie-problemen zoals triage in het medische domein. Daar gaat het om beslissingen die diep ingrijpen in het leven van mensen. Hoeveel is een mensenleven waard? Kunnen we de waarde van een mensenleven wel in een getal uitdrukken?
Is het wel ethisch toelaatbaar om wiskundige modellen te maken en computer programma’s te gebruiken die beslissen wie wel en wie niet in aanmerking komt voor een IC-bed? Medici vragen om door de overheid goedgekeurde triage protocollen in tijden van crises. In hoeverre kunnen deze protocollen de verantwoordelijkheid van de medicus uit handen nemen? Transparantie van de gehanteerde vaak complexe modellen en methodes die aan de keuzes ten grondslag liggen is van groot belang voor de acceptatie van de gevolgen voor de genomen besluiten door de betrokkenen. Uiteindelijk hangt veel af van de vraag of we erop (kunnen) vertrouwen dat de medische experts door alle protocollen en cijfertjes heen oog houden voor de individuele patiënt waar het in de praktijk om gaat.
Het probleem
Wanneer het aantal patiënten dat we willen behandelen groter dreigt te worden dan de beschikbare behandelcapaciteit moeten er keuzes gemaakt worden. De vraag is hoe we de keuze die we maken kunnen verantwoorden. Voor ons zelf en voor anderen. In eerste instantie voor de patiënt en de naaste betrokkenen.
“In het geval van een pandemie kan er schaarste ontstaan op de intensive care: er is immers een beperkt aantal bedden beschikbaar. Bij schaarste kunnen niet alle patiënten die daarvoor in aanmerking komen worden opgenomen en behandeld. Als de vraag het aanbod overstijgt, moet er een keuze gemaakt worden tussen patiënten op basis van bepaalde criteria, ook wel ‘selectie’ of ‘triage’ genoemd.”
De medische teams in de ziekenhuizen die keuzes maken willen daarbij steun van de samenleving. Ze vragen de samenleving om goedkeuring van een procedure, een leidraad aan de hand waarvan beslissingen gaan worden genomen in de tragische situaties waarin ze zich geplaatst weten. Maar hoe moet die leidraad eruit zien? Op basis van welke criteria wordt er geselecteerd?
Criteria abstraheren van de concrete betrokken patiënten waar het in de triage om gaat. Niet de particuliere patiënt is het subject maar een patiënt. Dat betekent dat er geabstraheerd wordt van een heleboel bijzonderheden, waaronder de eventuele persoonlijke relatie die de patiënt met de arts heeft. Een arts mag Jansen niet anders behandelen dan Pietersen omdat deze Jansen aardiger vindt of omdat Jansen net als de arts supporter is van Ajax, terwijl hij Pietersen niet kent.
“Het vaststellen van selectiecriteria is complex, en vergt lastige ethische afwegingen. Tijdens een crisis is er minder tijd voor deliberatie en weloverwogen keuzen. Een goede voorbereiding mede op basis van ethische afwegingen is dus van groot belang. Daarom is het belangrijk om een protocol klaar te hebben liggen waarin ethische afwegingen voor rechtvaardige selectie van patiënten expliciet worden genoemd.” (Centrum voor Ethiek en Gezondheid).
Het moment waarin je voor de keuze staat om je moeder of je dochter eerst te redden als ze beide overboord zijn geslagen is wellicht niet het meest geschikte moment om eens rustig na te denken over de criteria die je bij zo’n besluit hanteert. Maar wanneer vinden we het wel geschikt om over deze situatie na te denken? In een discussie over het wel of niet hanteren van het leeftijdscriterium, jongeren zouden voor ouderen gaan, noemde medicus Diederik Gommerts dit een theoretische kwestie en sprak de hoop uit dat het nooit zover zal komen dat we moeten kiezen op grond van de leeftijdscategorie van patiënten. En toch is het juist op verzoek van de medici dat er landelijke afspraken komen over triage in crisissituaties zoals een pandemie. Omdat de medici op grond van ervaring inzien dat het niet om een theoretische kwestie gaat. De vraag is of de theorie wel voldoende aansluit bij de concrete praktijk. Kan het theoretische model wel zodanig zijn dat het voorziet in alle mogelijke situaties die zich voordoen? Moet er niet altijd ruimte zijn voor de arts of het team van artsen voor interpretatie van de regels in de concrete situatie waarvoor ze zich geplaatst zien?
Triage in de zin van afwegen wat voor deze individuele patient de beste zorg is en of een opname op een IC-afdeling nog zinvol is dat doen artsen al lang. “Maar wat we nog nooit hebben gedaan, isswitchen van het belang van de individuele patiënt naar het belang van de bevolking.” zegt Rik Gerritsen, intensivist van het Medisch Centrum Leeuwarden in een interview in de Volkskrant (16-06-2020).
Er ligt nu een voorstel voor zo’n “ethisch protocol“.
Op 16 juni 2020 hebben de Federatie Medisch Specialisten en de Artsenfederatie KNMG het draaiboek ‘Triage op basis van niet-medische overwegingen voor IC-opname ten tijde van fase 3 in de COVID-19 pandemie’ gepubliceerd.
Uit de begeleidende brief:
“Het draaiboek beschrijft hoe artsen moeten beslissen over wie er wel en wie niet een IC-plek krijgt, als in een mogelijk volgende golf van de coronapandemie de druk op de IC landelijk zo hoog oploopt dat er tekorten ontstaan.“
“In die extreme situatie zijn medische criteria alleen niet meer genoeg om te bepalen wie er opgenomen wordt op de IC en wie op een andere manier zo goed mogelijke zorg krijgt. Of sprake is van fase 3, code zwart, wordt door zorgaanbieders en beroepsbeoefenaren gezamenlijk vastgesteld en na verificatie door de Inspectie Gezondheidszorg en Jeugd (IGJ) bij het ministerie van VWS aangegeven.“
Waarom dit stukje?
De bezwaren die tegen het Triage voorstel zijn geuit, door zowel ethici, als door politici als door het gewone volk zijn vooral gericht tegen het ‘fair-innings’- argument dat wordt gebruikt: jongere generaties hebben een sterkere morele aanspraak op IC-zorg dan oudere generaties die al veel meer levensjaren hebben genoten. Iedereen zou in de loop van zijn of haar leven evenveel gelijke mogelijkheden (‘fair innings’) moeten hebben. Voorrang wordt daarom verleend aan patiënten uit een jongere generatie: 0-20 jaar; 20-40 jaar; 40-60 jaar, 60-80 jaar, 80+jaar. Dit komt volgens sommigen neer op leeftijdsdiscriminatie.
Den Hartogh (2020) overweegt in zijn gedegen commentaar op de draaiboeken de stelling dat jongeren hun plaats zouden moeten inruimen voor ouderen omdat de laatste meer geïnvesteerd hebben in hun leven.
De eerste vraag is echter of zo’n protocol er wel moet komen.
Een ethische procedure die de medici uit het labyrint van code zwart moet leiden. Kan dat wel? Kun je de ethiek vertalen in een voorschrift voor het volgen van een procedure? Kun je ethiek vertalen in een stel gedragsregels die als een soort computerprogramma voor schrijven hoe in een concrete situatie besloten moet worden? En daaraan gerelateerd de vraag of artsen zich op deze manier laten voorschrijven hoe ze moeten beslissen? Waarom zijn artsen geholpen door een ethisch protocol?
Er zullen arbitraire keuzes gemaakt moeten worden. Bijvoorbeeld als het gaat om het leeftijdscriterium. Dat criterium speelt overigens pas mee wanneer er geen medische gronden meer zijn die een volgorde bepalen. Leeftijd is het laatste criterium op grond waarvan een beslissing zou moeten worden genomen. Leeftijd is objectief en iedereen zal vinden dat leeftijd beter is dan bijvoorbeeld huidskleur, opleidingsniveau of schoenmaat. De verwachting is dat het vrijwel nooit zal voorkomen dat er op grond van leeftijd gekozen zal moeten worden tussen patient A of patient B.
Sommige ethici vinden dat je nog beter een munt kunt opgooien dan naar leeftijd kijken. Laat het toeval maar beslissen. Dat is weliswaar tragisch, maar we zullen moeten erkennen dat het leven soms tragisch is.
Mijn kritiek betreft de kennelijke aanname dat het mogelijk is een protocol voor te schrijven dat uitvoerbaar is en een bevredigende oplossing biedt voor de medische praktijk.
Naar aanleiding van het Draaiboek Triage op basis van niet-medische overwegingen voor IC-opname ten tijde van fase 3 in de COVID-19 pandemie ontwierp internist Sabine Netters van het Isala ziekenhuis samen met een aantal collega’s en ethici een “ander model om te bepalen wie bij schaarste een IC-bed krijgt”.
“Het draaiboek ic-triage (‘code zwart’) is een goede aanzet,maar mist vertaling naar de complexe praktijk. Dit voorstel werkt het nader uit en komt met een puntensysteem om bij een covidpandemie te bepalen wie een ic-bed krijgt en wie niet.” (Netters e.a.).
De auteurs stellen onder andere voor dat ook patiënten die al op de IC liggen meegenomen worden in het besluitvormingsproces. Dit op grond van het niet moreel te rechtvaardigen principe van first come, first serve. In tijden van crisis zoals bij een pandemie zullen meerdere patiënten zich vrijwel tegelijk aandienen. Anderszijds geldt voor de patiënt die al op de IC ligt een soort commitment, stelt Den Hartogh.
Het leeftijdscriterium wordt verdedigd omdat het fair-innings beginsel consistent is met het principe dat iedereen evenveel recht heeft op een volwaardig leven. “Het begrip gelijkheid wordt toegepast op de totale levenservaring en niet alleen op iemands huidige leeftijd.” Het is uiteraard lastig om wat dit aangaat een onderscheid te maken tussen iemand van 59 en iemand van 61. Volgens het voorstel vallen deze in verschillende categorieën. Iedere grens is willekeurig, maar waarom niet de leeftijd zelf als score nemen?
Als het gaat om het maximaliseren van de totale kwaliteit van leven over alle patiënten zouden we dan ook niet naar de levensverwachting moeten kijken? Moet dan de 40 jarige die nog twee jaar heeft voorgaan voor de 60 jarige die nog 20 jaar voor zich heeft?
Wat mee zou moeten wegen is niet alleen de kans dat de patiënt baat heeft bij opname op de IC-afdeling, maar ook hoe lang dit duurt. De verblijfsduur voor sommige corona-patiënten is wel twee of meer weken. Moet je dan in tijden van schaarste niet voor 2 patiënten kiezen die er beter aan toe zijn, dan voor die ene patiënt die wellicht 2 weken of langer op de IC behandeld zal moeten worden?
Aangezien blijkt degenen die niet ingeënt zijn tegen het corona-virus kleinere kans hebben snel weer op de IC te herstellen dan die patiënten die wel een vaccine hebben gekregen of de ziekte eerder hebben gehad, betekent dit in de praktijk dat niet-gevaccineerden minder snel in aanmerking komen dan een gevaccineerde.
Het is een interessante vraag voor de anti-vaxxers, die er bewust voor kiezen zich niet te laten inenten, of ze het redelijk vinden dat ze degene die wel gevaccineerd zijn voor laten gaan op de lijst.
Misschien dat de anti-vaxxer, die ‘vertrouwt op zijn natuurlijk immuunsysteem’ wel vindt dat hij of zij door de situatie en de kennis van zaken zich genoodzaakt ziet zich tegen het vaccin te verzetten. En dat het dus geen vrije keuze was om tegen het vaccin te zijn. In wezen is er dan geen verschil of iemand vanwege de Bijbel en zijn geloof in een God anti-vaxxer is of vanwege een verplichting aan de situatie, zoals die zich aan hem of haar voordoet.
Iedereen is gelijkwaardig
Het gelijkheidsbeginsel is voorwaarde voor een wiskundige aanpak. We stellen algemene regels op voor abstracte categorieën patiënten en niet voor individuen. Covid-19 patiënten worden gelijk behandeld als ‘gewone’ patiënten. Acceptatie van procedure-uitkomsten en regels staat of valt met het accepteren dat je als persoon gelijk wordt behandeld als vele anderen. Dat kost soms moeite, want tegelijk ben ‘ik’ en zijn mijn directe familieleden natuurlijk anders dan de anderen. Van het idee dat ieder individu uniek is wordt op basis van het gelijkheidsbeginsel afgezien. Ook Den Hartogh (2020) wijst hierop. Iedereen heeft maar één leven, en het leven van de 80 jarige is voor haar net zoveel waard als het leven van de 25 jarige jongeman voor hem.
Maar het gaat om het maximaliseren van resultaten zoals levensverwachting over een populatie van patiënten. Bij voldoende grootte populatie kunnen we statistieken gebruiken en gemiddelden berekenen.
Voor het classificeren van patiënten maakt het model van Netters et al. gebruik van de SOFA score voor de klinische toestand van de patiënt en van bekende en gevalideerde voorspellingsmodellen zoals de clinical frailty scale (CFS) en een aangepaste Charlson Comorbidity Index. Op basis van een drietal ethische principes, waaronder het gelijkheidsbeginsel worden punten uitgedeeld aan de patiënten en wie het laagste aantal punten heeft komt het eerst in aanmerking voor een IC-bed.
Alles-of-niets ?
De voorstelling is alsof het bij de triage om een alles-of-niets beslissing gaat: aan patiënt X wordt wel of niet een IC-bed toebedeeld. Deze digitale modellering heeft alles te maken met het feit dat het om discrete grootheden: patiënten en bedden gaat. Maar het zou beter zijn te beschrijven uit welke mogelijke behandelingen gekozen kan worden. Opname op de IC is immers slechts één van de mogelijke opties. Nu kan de indruk ontstaan alsof het enige alternatief voor toewijzing van een IC-bed is dat de patiënt aan zijn lot wordt overgelaten en ten dode is opgeschreven. Dat is uiteraard niet zo.
Kunnen we wel procedures schrijven die mensen voorschrijven wat ze moeten doen? Een computer laat zich programmeren; die voert een programma dat ingevoerd is kritiekloos uit. Maar een medicus, kunnen we die wel een procedure voorschrijven? Is dat niet teveel gevraagd? Is het eigenlijk wel mogelijk om vooraf alle mogelijke situaties die zich voordoen zodanig te specificeren dat we bij voorbaat al kunnen zeggen wat in elk van dit situaties de te nemen beslissing is. Alsof het om het toepassen van een wiskundige functie op een instantie van een exact gespecificeerde datastructuur gaat.
Cruciaal is het verschil tussen ontwerp-tijd en executie-tijd. Is het mogelijk bij het ontwerp rekening te houden met alle mogelijkheden die zich kunnen voordoen op het moment dat er gekozen moet worden?
Het eerste keuzemoment
Het nood-protocol wordt van kracht wanneer code zwart ingaat. Wanneer gaat code zwart in?
Code zwart is van kracht wanneer de overheid als autoriteit stelt dat code zwart van kracht is. De staat van Nederland gaat van de tussenfase naar code zwart, wanneer er meer patiënten zorg op de intensive care nodig hebben, dan er plaats is. De bezettingsgraad van de beschikbare IC-bedden meer is dan 80 %.
Daarbij wordt niet alleen naar Nederlandse ziekenhuizen gekeken, maar ook naar beschikbaarheid in het buitenland, met name Duitsland. Wat is een beschikbare plaats? Hangt dat ook van de patiënt af?
Hoe belangrijk is de reistijd van de patient naar een beschikbare plaats bij de beoordeling of deze plaats inderdaad voor deze patient als beschikbaar kan worden aangemerkt? Medici hebben afspraken gemaakt over de criteria die gehanteerd worden om te bepalen of een patient verplaatst kan worden.
Het labyrint (code zwart) waaruit Ariadne (de ethica) Hippocrates (de medicus) zou moeten leiden door middel van haar leidraad in de moderne vorm van een ethische procedure
Het tweede keuzemoment
Op grond van welke criteria worden potentiële kandidaten voor behandeling op een IC-afdeling voor corona patiënten in een lijst gezet en welke criteria bepalen de volgorde van prioriteit?
De situatie zoals die design-time door de ethici wordt voorgesteld
Dat lijkt de voorstelling van zaken te zijn die heerst bij de medici en ethici die zich over de procedure buigen.
Hoe realistisch is deze voorstelling? Hoe is de concrete situatie op het moment waarop besloten wordt over een behandelvolgorde?
Heeft het medische team inderdaad op het moment de beschikking over de voorstelling zoals die door de procedure makers wordt geschetst?
Ik betwijfel dit. De voorstelling is typisch technocratisch: ze ziet af van de emoties en de motieven in de voortdurend veranderende situatie waarin keuzes moeten worden gemaakt.
De situatie zoals die door de ethici wordt voorgesteld is niet de situatie waarin de keuze gemaakt wordt. Om deze voorstelling te realiseren is nogal wat nodig. Op het keuzemoment moet namelijk alle relevante informatie beschikbaar zijn. Een wel haast onmogelijke opgave voor de werkelijkheid die voortdurend verandert. In een snel veranderende werkelijkheid met slechts beperkte informatie bestaat het keuze-moment simpelweg niet. Dat is slechts een schijnmoment dat alleen design-time bestaat, niet in de realiteit.
Het beslissende moment
Het is zeer begrijpelijk dat de medici een procedure willen die hen steun biedt bij het nemen van besluiten. Maar het is onmogelijk een procedure te geven die hen ontslaat van de keuzes die gemaakt moeten worden op het cruciale moment. Wanneer is dat moment er? Is er niet nog een moment, en nog een moment?
De procedure introduceert de mogelijkheid om achteraf te procederen: heeft de arts de juiste keuze gemaakt? Heeft het team de procedure correct toegepast? Zijn er geen inschattingsfouten gemaakt ten aanzien van kansen op herstel, de mogelijkheden. Was de nodige informatie op het cruciale moment beschikbaar?
Afstandelijkheid en onbetrokkenheid als voorwaarde
Typerend voor de mathematische denkhouding waar vanuit de mathematisering van het triage-probleem wordt verricht is dat de betrokkenheid bij de individuele patiënt wordt uitgeschakeld. Het protocol schrijft dit expliciet voor. Ieder ziekenhuis heeft een medicus of verpleegkundige die aangezen is voor het doorgeven van de informatie over de lokale patiënten aan het landelijke centrum. Deze mag niet zelf betrokken zijn bij de behandeling of verpleging van de patiënten.
In Gerede twijfel: over de rol van medische ethiek in Nederland stelt de wetenschapsfilosoof Gerard de Vries:
De taak van de ethicus is: “Inzicht geven in gevoelens, het laten zien van de conflicten en tragedies en het getuigenis afleggen van de verscheurdheid die artsen, ouders, verpleegkundigen en vrienden doormaken.”
Dit zijn dus precies die aspecten aan de relaties die de patiënt heeft en die zijn identiteit uitmaken waarvan in het protocol voor de toekenning van IC-bedden in tijden van Code Zwart niet alleen wordt afgezien, maar waarvan ook uitdrukkelijk wordt gesteld dat er van moet worden afgezien. De verpleegkundige die bemiddelt tussen de patiënten van het ziekenhuis en het informatiesysteem van het landelijk platform mag niet persoonlijk betrokken zijn bij de patiënten om wie het gaat.
Dit betekent dat het protocol de facto een filter is op de informatie die een rol speelt bij de toekenning van zorg. Alle persoonlijke en privé gegevens en emoties die de patiënt deelt met de zorgverleners worden uitgefilterd.
Conclusie
Geheel in de geest van deze tijd die beheerst wordt door informatie-technologie en economie zoeken we houvast in procedures die ons uit het ethisch labyrint leiden. Maar procedures nemen zelf geen beslissingen. Mensen zijn geen programmeerbare computers, ook al zijn er mensen die denken dat we computers tot morele actoren kunnen promoveren door ze met ethische protocollen te voeden. Beslissen moeten we zelf doen. Ethiek laat zich niet vangen in een procedure. Het je neerleggen bij de autoriteit van een protocol berust op een besluit waarvoor je zelf verantwoordelijk bent.
De idee dat Ariadne de in een labyrint (code zwart) verdwaalde Hippocrates zal kunnen leiden is onjuist. Het plaatst de ethiek buiten de medische praktijk. Ethici moeten zich niet als een pakezel laten opzadelen met morele problemen die ze vervolgens als technische ontwerpproblemen zouden moeten aanpakken. Het behoort tot hun taak kritisch na te denken over de implicaties van de tendens tot mathematisering en algoritmisering van de samenleving, waarin telkens een afweging gemaakt moet worden tussen het individuele belang en het belang van de samenleving.
Het lijkt me dan ook een misvatting te denken dat de procedure voor wat betreft de medische ethiek iets toevoegt aan de Eed van Hippocrates die de medicus bij de aanvaarding van zijn beroep aflegt. Deze blijft onverminderd van kracht ook wanneer het er werkelijk op aan komt en de arts voor de keuze staat: moet ik nu de algemene procedure volgen of doe ik waar de situatie waarin het om deze patient gaat om vraagt?
Het wachten is op het eerste proces dat gaat over vermeende “fouten” bij de toepassing van de voorgeschreven procedures. De situatie is vergelijkbaar met de situatie in de euthanasie. Had het medische team in dit bijzondere geval – en ieder geval is een bijzonder geval – wel of niet de procedure moeten volgen? Beschikte het team over alle relevante informatie op het moment dat ze een beslissing moest nemen?
Uiteindelijk komt het er op neer te vertrouwen dat de artsen de best mogelijke beslissing nemen. Of een landelijk protocol daarbij helpt hangt niet alleen van het protocol af maar ook van de manier waarop het in de praktijk wordt toegepast.
Moet de ambtenaar van de afdeling Toeslagen van de Belastingdienst oog houden voor de concrete situatie van de burger die achter de data op zijn computerscherm schuilgaat, zo moet de medicus oog houden voor de concrete situatie van de patiënt die aan zijn zorg is toevertrouwd.
Hier, in de toepassing van het protocol in de concrete situatie vinden we de ethisch noodzakelijke tegenpool van het abstracte gelijkheidsbeginsel dat aan de mathematisering van de ethische procedures ten grondslag ligt. Zonder die tegenpool is mathematisering van de ethiek immoreel en onverantwoord.
Nawoord
Voor de essaybundel ‘Ethiek in tijden van corona’ schreef gastauteur Govert den Hartogh het essay ‘Levens wegen: commentaar op twee draaiboeken’.
Na een weloverwogen bespreking van de twee draaiboeken is zijn conclusie vergelijkbaar met de mijne: we kunnen uiteindelijk misschien maar beter toegeven dat in werkelijkheid het toeval bepalend is. Dat zou er voor pleiten voor random selectie als laatste middel. Hij haalt een artikel van Emanuel et al. (2020) aan:
“In the face of time pressure and limited information, random selection is also preferable to trying to make finer-grained prognostic judgments within a group of roughly similar patients“. (Emanuel 2020, p. 2053)
Ook Emanuel wijst op het feit dat de aanname van volledige doorzichtigheid van de situatie niet geldt in de werkelijke situatie waarin een besluit moet worden genomen. Het simpele feit dat de medicus hier en nu met deze patient te maken heeft en de kennis die hij op dat moment heeft over de mogelijkheden is bepalend voor wat hij zal doen. Daarin zit de rol van het toeval. Bovendien zal de medicus de waarde van het advies op basis van het protocol mee moeten wegen in de concrete situatie waarin hij zich bevindt.
Tegen het argument om ons bij het toeval neer te leggen kan ingebracht worden dat de situatie waarin iemand zich bevindt op het moment dat hij behoefte heeft aan hulp mede door menselijke beslissingen ontstaan is. De situatie is niet door toeval ontstaan. De mens in de sloppenwijk moet zorg ontberen omdat hij toevallig daar woont, terwijl de directeur van de fabriek dicht bij de medische hulp leeft. Moeten we ons bij dat ‘toeval’ neerleggen? Of moeten we vooral ervoor zorgen dat we sociale status niet laten bepalen hoeveel medische hulp we iemand bieden en wie voorrang heeft in de zorg. Maar daarover gaan deze draaiboeken niet.
Of en in hoeverre sociale status feitelijk een rol speelt bij de prioritering van mensen voor medische behandeling en of dat ethisch is, dat is een andere kwestie.
Bronnen
Sabine Netters, Koos van de Wetering, Annie Hasker en Jan Willem de Groot (2020). Ic-criteria missen vertaalslag naar praktijk. Medisch Contact 30-31, 23 Juli 2020.
Govert den Hartogh (2020). ‘Levenswegen: commentaar op twee draaiboeken’. In de essaybundel ‘Ethiek in tijden van corona’ Centrum Ethiek en Gezondheid.
Emanuel et al. (2020). Fair Allocation of Scarce Medical Resources in the Time of Covid-19, N Engl J Med 2020; 382:2049-2055.
Gerard de Vries (1993). Gerede twijfel: over de rol van medische ethiek in Nederland. Amsterdam, De Balie, 1993.
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het nu over Nu.
Nu, dat is de eeuwigheid
Laten we afstand nemen van een overheid die wil dat haar RIVM nu over twee dagen met een wetenschappelijk rapport komt over de veiligheid van het vliegen met haar KLM, diens Transavia en andere luchtvaartmaatschappijen om de diabolische keuze: of economie, of gezondheid, een keuze waarvoor ze zich door het corona-virus weet geplaatst, te kunnen verantwoorden door te wijzen naar De Wetenschap.
Laten we afstand nemen van een overheid die wil dat er in een weekend een app gemaakt wordt die haar RIVM kan helpen bij het traceren van het virus en haar contacten.
Laten we afstand nemen van een overheid die de technologie ziet als eerste en laatste redmiddel van een door de natuur uitgeholde en de natuur uithollende economische politiek; in het volste vertrouwen dat de snelle ICT-ers een weg zullen vinden door de nauwe kloof tussen de Scylla van de individuele privacy en de Charybdis, de onstuimige draaikolken van de economische driften.
Laten we afstand nemen van een overheid die het verschil niet ziet tussen problemen van de techniek en technische problemen; die het verschil niet ziet tussen problemen van de economie en economische problemen.
Laten we afstand nemen van een overheid die het geloof aanhangt dat je problemen die inherent zijn aan en gevolgen zijn van een bepaalde wijze van denken en politiek door middel van diezelfde denkwijze en politiek kunt oplossen.
Wanneer?
Nu. Want wat is er anders dan nu? Nu is er de herinnering.
De oorlog
Ik ben zojuist met ElAl aangekomen op Ben Gurion Airport, Tel Aviv. Nog onder de indruk van de reiservaring loop ik de aankomsthal uit naar buiten, de warmte in. Taxichauffeurs snellen op de aankomende toerist af; wat ik niet ben; ik kom hier om te studeren; om te werken als stagiair, bij IBM (spreek uit: jotbetmem). Ik wimpel ze af, stevig doorstappend op weg naar een bus die me naar het centrum zal brengen, waar ik nog een jeugdherberg moet zoeken voor de eerste nacht. Het is al avond. Daar zie ik de bus.
Vliegen met ElAl vanaf Schiphol naar Tel Aviv is een bijzondere ervaring. Zeker als je nog niet eerder hebt gevlogen. De veiligheidsprocedures op de luchthaven van Amsterdam eisen dat ElAl ver weg van de gebouwen vertrekt. De incheckbalie voor ElAl vluchten is geisoleerd van de anderen en beveiligd door met machinegeweren bewapende agenten. In het vliegtuig zit ik tussen voornamelijk joodse mannen, vrouwen en kinderen. Ze zijn op weg naar hun thuisland, ook al is het misschien voor een tijdelijk familiebezoek. Wanneer we veilig zijn geland op Ben Gurion Airport klapt iedereen. Er klinkt muziek; de muziek van het Beloofde Land. Ze zijn thuis. Ik niet; ik ben beland in een vreemd land. In een land dat tevens het meest bekende land is: Israel.
“Volgens ElAl heeft het op elk vliegtuig een raketafweersysteem geplaatst dat grond-luchtraketten van koers kan doen veranderen. Een dergelijk systeem kost zo’n 38 miljoen dollar per stuk. Het noodzakelijke veiligheidsbeleid is een van de redenen dat een ticket bij El Al duurder is dan bij andere maatschappijen. ” (Wikipedia, 11-06-2020). Was dat toen – in 1974 – ook al ?
Voor de ingang van de bus die mij naar het centrum zal brengen staat een rij militairen. Ik sluit me netjes achter de rij aan. Wanneer de militair voor mij – hij heeft net als de anderen een geweer over de schouder hangen – de treeplank op stapt vallen er patronen uit zijn zak. Ze stuiteren en rollen op de grond. Ik spring opzij, raap een paar op en geef die aan hem. Hij is jonger dan ik. De klanken uit zijn mond zijn onverstaanbaar. Dit is Israel; het beloofde land; een omstreden land; een land in oorlog. Toen en nu. Er is niets veranderd. Nu is de eeuwigheid.
De wet
De mensen bij IBM zijn vriendelijk. Ik wordt uitgenodigd bij een joodse plechtigheid. Een medewerkster heeft een zoon gekregen. Op de achtste dag na de geboorte moet het kind besneden worden. Dat staat in de Thora, een van de joodse wetboeken (Leviticus 12:3). Het is niet om hygienische redenen, maar als teken van het eeuwige verbond tussen de mens en de God van Israel. Dat het op de achtste dag moet gebeuren heeft een reden. Wetenschappelijk onderzoek heeft aangetoond dat acht dagen na de geboorte de bloeding het snelste stopt. Ook zou er dan geen pijn zijn. Ik ben erbij. De briet mila wordt uitgevoerd door een man in een witte jurk; een moheel. Een lapje met rode wijn moet voor de verdoving zorgen. Artsen lijken op slagers: ze snijden beiden in het vlees. Het kind huilt. Moet dit? Ja, dit moet. Het staat in de boeken geschreven. Het leven van de jood bestaat uit het volgen van de halacha, de joodse wetten.
Ik woon op de campus van de Universiteit van Tel Aviv aan de noordkant van de stad. Ook op deze plak was voor de Nakba een Palestijnse nederzetting. De ingang van de campus wordt bewaakt door met geweren bewapende jonge mannen. Er zijn regelmatig bomaanslagen in het land en altijd is er de dreiging, de PLO, de Palestijnse BevrijdingsOrganisatie. Toen en nu. Nu is de eeuwigheid. De tijdloze geldigheid van de wet.
De Moord
Op 1 februari 2002 wordt Daniel Pearl in Karachi, Pakistan, onthoofd door een aan Al Qaida gelieerde groepering voor “het Herstel van de Soevereiniteit van Pakistan“. De 39-jarige Daniel Pearl werkte vanuit Bombay als journalist voor de Wall Street Journal en was in Pakistan voor onderzoek naar vermeende connecties tussen Al Qaida en de Pakistaanse Inlichtingendienst. Een week voor zijn dood werd hij ontvoerd. De daders, die Pearl voor een geheime CIA-agent hielden, eisten van Amerika vrijlating van alle Pakistaanse terreurverdachten. Ze stuurden foto’s als bewijs van de ontvoering. Na zijn dood werden videobeelden vrij gegeven waarop zijn onthoofding door zijn moordenaars is vastgelegd. Vlak voor zijn dood zou Daniel gezegd hebben: “Man vader is Jood, mijn moeder is Jood, ik ben Jood.”
Daniel 1 in de Statenvertaling. De eerste beschrijving van een experiment met een controle groep
De dialoog
De vader is Judea Pearl. Hij is geboren in 1936 in Tel Aviv uit Poolse ouders die zoals vele joden naar Israel waren vertrokken (gepest of vrijwillig; wie zal het zeggen?). Na het behalen van zijn bachelor electrotechniek aan het Technion, de universiteit die hij als zijn Alma Mater beschouwt, verhuisde hij naar Amerika, waar hij natuurkunde studeerde en promoveerde. Vanaf 1970 is hij professor op het gebied van de informatica aan de universiteit van California. In 2011 werd hem de Turing Award, de Nobelprijs voor de Informatica, toegekend. Judea Pearl is voorzitter van de door hem, zijn Iraakse vrouw Ruth en vrienden opgerichte Daniel Pearl Foundation, een organisatie die zich inzet voor de multiculturele dialoog en begrip voor de wederzijdse standpunten van Oost en West.
In de dialoog zoekt de mens de confrontatie van zich zelf met een ander zelf dat hij begroet als een zelf dat hetzelfde beoogd. Shalom. Salam aleikum.
Zonder dialoog is er geen hoop en zonder hoop is er geen dialoog. Wanneer is het tijd voor de dialoog, de confrontatie met de ander, met andere ideeen, werelden, gedachten. Nu. Is er dan iets anders dan nu?
Waarom?
De vader Judea Pearl schreef een boek; getiteld Why? Waarom? Het boek probeert niet een verklaring te vinden voor de gruwelijke dood van zijn zoon Daniel. Het boek gaat over het zoeken naar oorzaken in de wetenschap. Pearl beschrijft een geschiedenis van de moderne mathematische wetenschap waarin de vraag naar oorzaken verbannen werd en vervangen door wetten en wiskundige formules. Er zijn alleen gegevens en statistieken. De wetenschap kon niets zeggen over oorzaken, alleen over statistische correlaties tussen fenomenen. Met zijn causale revolutie beoogt Pearl het praten over oorzaken weer een wetenschappelijk fundament te geven: een wiskundige calculus voor afleiden van uitspraken over oorzaak-gevolg-relaties. Zijn theorie over causale diagrammen maakt het mogelijk gecontroleerde experimenten zoals die voor het eerst in het boek Daniel 1 beschreven werden te simuleren met behulp van de computer. Pearl zegt niet wat een oorzaak is en wat een gevolg is. Wij hebben soms inzicht in de oorzaak, maar dat laat zich moeilijk uitdrukken.
De gelijktijdigheid
Bij Pearl zijn oorzaak en gevolg objecten. Daarin volgt hij Hume. Maar hoe kan een oorzaak die een object is een gevolg hebben dat een ander object is? Bovendien kan een oorzaak vooraf gaan aan het gevolg. Maar hoe kan iets dat nu is een gevolg zijn van iets dat nu niet meer is? Er is alleen maar nu. Nu is zowel oorzaak als gevolg. Die twee ontstaan louter door een verandering van blik, een ogenblik: nu. Zoals 1 en 1 ook 2 is. Er is geen tijd van oorzaken en een tijd van gevolgen.
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over De Oorzaak.
De Vraag
De eerste vraag is “is er iets (of veeleer niets)?” Dat is de metafysische vraag.
Voor die vraag hebben we nu geen tijd. We constateren dat er iets is. Wie nog ogen en/of oren heeft die weet dat.
De tweede vraag is “wat is dat wat er is?”. Antwoord: dat is het gegeven, het verschijnsel. De steen die valt, de koe die graast, het graan dat wuift in de wind.
De derde vraag is “waarom is wat is zoals het is?”
Dat is de vraag naar de oorzaak. Daarover gaat dit stukje.
De reden
“Alles heeft een oorzaak.” Dat is een stelling die lastig te bewijzen is. De moderne wetenschap heeft daar een oplossing voor gevonden: we nemen deze als hypothese aan. Dat is de eerste hypothese.
“Alle oorzaken zijn kenbaar.” Dat is ook een stelling. Ook deze is lastig te bewijzen. Dat is niet erg. We kunnen ons tevreden stellen met: “Soms zijn oorzaken kenbaar en herkenbaar”.
Dit zijn de uitgangspunten van de wetenschap. Wie wetenschap bedrijft vraagt waarom de dingen en feiten zijn zoals ze zijn.
Of alles wat een oorzaak heeft ook een reden heeft dat wordt door de wetenschapper uitgemaakt. De oorzaak is de reden, het inzicht van de wetenschapper. De religie legt de reden in de ondoorgrondelijke wil van een God. Soms heeft deze de mens zijn wil in wetboeken laten noteren. Soms laat Hij zich niet in de kaart kijken.
De scepsis
Er is veel onenigheid tussen wetenschappers. Er is twijfel over de waarheid van de wetenschap. Dat komt vooral door ongeduld en door het wetenschappelijk ideaal, dat we alles direct volledig kunnen kennen. Wetenschap is echter 99 % geinspireerd en transpirerend hard werken en 1% mazzel, toeval, ingeving. Anders dan gegevens ligt de wetenschap niet voor het oprapen. Wetenschappers zijn ook maar mensen.
De onenigheid en de twijfel kunnen tot een sceptische houding ten aanzien van de wetenschap leiden. De scepsis zegt wij weten niet of er wel een oordeel is waarin we kunnen uitdrukken wat iets is en waarom het is zoals het is.
Tegenover de radicale scepsis kunnen we het volgende aanvoeren. Wie werkelijk niet wil oordelen kan niet beweren dat de mens niets met zekerheid kan kennen, noch dat hij zelf niets met zekerheid kan kennen. Zelfs de bewering dat hij waarschijnlijk niets met zekerheid kan zeggen, is al teveel voor de scepticus.
De radicale scepsis is dus een onhoudbare onthouding van kennis. We moeten de negatieve verlammende twijfel omzetten in de daadkrachtige aanpak, gedreven door de wil om te weten. We vragen naar de oorzaak, de reden van de feiten. De feiten “dat zijn de hypothetische noodzakelijkheden. Die nemen we voor wat ze zijn: gegevens.
De eerste oorzaak
De stelling dat alles een oorzaak heeft, zou kunnen leiden tot de gedachte dat de oorzaak zelf ook weer een oorzaak moet hebben. Dat veronderstelt echter dat de oorzaak iets is dat buiten alles ligt, of buiten de zaak waarvan de oorzaak oorzaak is. Deze objectivering van de oorzaak leidt tot een infiniete regressie of tot de idee van de laatste oorzaak die zichzelf veroorzaakt. Causa sui.
De wet
Causa sui is de God van Descartes, de man die zat van de boekenwijsheid opgedaan in het Jezuietenklooster zich aansloot bij de legers van Maurits om het echte leven op het strijdperk te ervaren. De God die de door universele twijfel verscheurde eenheid tussen de denkende geest en de uitgebreide wereld van mathematische gegevens weer moest herstellen. De God die wil – en dan is het ook zo want zijn wil is wet – dat de hoekensom van elke driehoek precies even groot is als twee rechte hoeken en wiens ondoorgrondelijke wil garant staat voor al die andere wiskundige waarheden. Enige eeuwen later bleken deze allemaal slechts hypothetische waarheden, want afhankelijk van als waar aangenomen axioma’s en afleidingsregels, te zijn.
De oorzaken werden verbannen als het flogiston, het toeval en het mysterie. Want wat weten we nog als we weten wat de oorzaak is? Hoe kan ik weten, vragen wij ons met Hume af, of dit brood net zo goed is voor mijn gezondheid als de vorige broden die ik at? Het gaat er in de wetenschap om de natuur te dwingen in opgezette experimenten te antwoorden op vragen die we haar in de vorm van in wiskundige taal geformuleerde hypotheses stellen. Ik stel mij tegenover de natuur, als niet behorend tot de natuur.
Al spoedig dienen de problemen zich aan. De natuur schrijft niet voor welke hypothese ik formuleer en welk experiment ik doe. Bovendien gaat informatie-uitwisseling gepaard met energie-uitwisseling: meten is interacteren. We kunnen slechts kansuitspraken doen over grote aantallen micro-toestanden.
Conclusies: wij weten niets van oorzaken. De wetenschap moet zich beperken tot kansuitspraken over gecodeerde gegevens gerelateerd aan mathematische modellen.
We kunnen soms voorwaardelijke kansen berekenen, P(H|D): de kans dat de hypothese H waar is gegeven data D.
Hoe kunnen we op grond van statistische correlaties, het gelijktijdig voorkomen van twee verschijnselen, concluderen tot een causale relatie? Daar kunnen we kort over zijn: dat kunnen we niet.
De hypothetische machine
De informaticus Judea Pearl heeft zich tot doel gesteld het denken in oorzaak en gevolg relaties zoals we dat in ons dagelijkse leven doen en in onze omgangstaal uitdrukken weer terug te geven aan de moderne wetenschap. Ik kan dan misschien geen definitie geven van oorzaak, maar ik weet wel hoe wij er over praten en over redeneren. Dat doen wij op grond van onze causale intuitie die gegrond is in de onmiddellijke lichamelijke ervaring van ons vrijwillige doen en laten. De mens wist al lang van oorzaak en gevolg voordat hij het verstandelijk probeerde te begrijpen. Ook Hume.
Pearls “Theory of Causal Inference” vertoont precies die kenmerken die Jan Hollak in zijn Afscheidsrede aanmerkte als kenmerkend voor het moderne denken, het denken van de “hypothetische samenleving“: a) Objectivering van het oorzaakbegrip: de oorzaak is een object, onderscheiden van het buiten de oorzaken liggende gevolgen. b) Functionalisering van het begrip: de uitdrukking van de oorzakelijke relaties als functionele afhankelijkheden in een mathematische theorie.
In Pearls theorie van de causale inferentie komt het hypothetische karakter van de mathematische experimentele wetenschap tot uitdrukking. De conclusies met betrekking tot de causale relaties die door inferenties, geformaliseerd in de vorm van de do-calculus, geproduceerd worden, berusten op de hypothetisch gestelde waarheid van de als “causaal” aangemerkte relaties in een causaal netwerk. Deze zijn gegrond in de als valide veronderstelde causale intuities van de domein-expert.
De implementatie van deze theorie van de causale inferentie in de vorm van een “transparante” kunstmatige intelligente machine is een hypothetische machine, in die zin dat deze slechts die vragen kan beantwoorden die in de vorm van een rekenprocedure aan de machine kunnen worden ingevoerd. De vraag is de hypothese op basis waarvan het meest waarschijnlijke antwoord door de machine, voorzien van een hypothetisch, als correct verondersteld, causaal netwerk, wordt gegeven.
De machine kan alleen die vragen beantwoorden die ze op basis van de ingevoerde gegevens en het programma kan beantwoorden. Die antwoorden zijn transparant en begrijpelijk als antwoorden op de gestelde vragen.
De wil
De acties die de robot kan uitvoeren zijn die bewegingen die door ons als zinvolle acties worden begrepen in de context van de door ons ingevoerde procedures. Al wat de robot doet wat niet als zodanig door ons is te interpreteren is zuiver toeval.
Het is Pearl die weet wat hij in vrijheid wil. Hij is de mens die de robot moet zeggen wat deze allemaal moet snappen. “I want it to understand that …” (p.361). Hij is ook degene die een zin moet geven aan de door de robot uitgevoerde acties.
Helaas is willen alleen niet genoeg. Er zal toch iets gedaan moeten worden. Waarin zou de vrije wil zich anders als wil moeten bewijzen dan in de daad?
Inspiratiebronnen
Descartes, Rene (1996). Meditations on First Philosophy. In: The Philosophical Writings of Descartes, vol. 2. Vertaald uit het Latijn door J. Cottingham, R. Stoothoff, D. Murdoch. Cambridge/New York/Melbourne: Cambridge University Press, 1996
Fleischhacker, Louk (1994). Beyond structure: the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosophy. Peter Lang Europaischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.
Hollak, Jan (1966) Van causa sui tot automatie (Oratie, Nijmegen, 1966). Opgenomen in de bundel Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak, Samenstelling en redaktie: Petra Hollak, Eindredaktie: Wim Platvoet, Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.
Hollak, Jan (1986) Afscheidscollege; gehouden op 21 februari 1986. Transcriptie van band opgenomen in de bundel Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak, Samenstelling en redaktie: Petra Hollak, Eindredaktie: Wim Platvoet, Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.
Judea Pearl & Dana Mackenzie (2018). The Book of Why : the new science of cause and effect. New York: Basic Books.
“Mystery is the capacity of something to keep becoming, to go beyond, to be uncircumscribable, to contain more.” (Rebecca Solnit)
In de serie Denken in Tijden van Corona gaat het deze keer over het wiskundig denken en waarom autonome technologie niet zo autonoom is als we denken.
Van waar dit stukje?
De wiskunde is in deze tijden van Corona weer wat vaker in het nieuws. Nu eens niet omdat er een bewijs is gevonden van een reeds lang openstaand wiskundeprobleem. Het nieuws betreft een discussie over de vraag of de wiskundige modellen op basis waarvan besluiten worden genomen wel juist zijn. Achter veel beslissingen die door allerlei instanties genomen worden gaat wiskunde schuil. We horen steeds vaker spreken van “algoritmes” die door organisaties, overheden of bedrijven gebruikt worden om allerlei diensten uit te kunnen voeren. Het gaat dan om diensten als het beschermen van onze veiligheid (gezichtsherkenning, predictive policing), het bepalen van de risico’s van bepaalde investeringen of leningen bij banken tot het voorspellen van het aantal IC-opnames ten gevolge van de verspreiding van het corona virus. We worden doodgegooid met statistieken en voorspellingen. Allang niet meer alleen over het weer. Kortom de wiskunde is in het nieuws vanwege haar toepassingen en niet zozeer vanwege een opzienbarend wiskundig resultaat.
Het groeiende besef van de rol die de wiskunde speelt in belangrijke praktische zaken leidt er ook toe dat er een groeiende belangstelling is voor de “ethiek van het rekenen” (ethics of computing).
Wat is ethiek?
Ethiek is het nadenken over wat goed en slecht is. Ethiek van het rekenen betreft dus de kwestie of er wel of niet goed gerekend wordt. Oftewel of we bij het rekenen wel “overal” rekening mee houden; in het bijzonder met die zaken die van belang of van waarde zijn. Het gaat dus niet om pure rekenfouten (ook al worden die wel regelmatig gemaakt); het gaat meer om het maken van fouten betreffende het “rekening houden met”.
Ethics of computing (Stahl 2016) heeft vooral aandacht gekregen vanwege het feit dat het ‘rekenwerk’ steeds meer door computers wordt gedaan, automatisch door middel van algoritmes. Veel van die algoritmes zijn getraind met data (statistieken). Hun gedrag, wat in essentie neerkomt op het classificeren van entitieiten (objecten, gebeurtenissen of personen) wordt mede bepaald door wat ze geleerd hebben, de trainingsdata. Ze maken vaak gebruik van neurale netwerk-technieken. Een neural netwerk is een structuur waarin de sterkte van relaties (correlaties) tussen het voorkomen van eigenschappen of feiten gecodeerd worden. Zo’n algoritme kan uit veel gegevens over het weer leren dat er een verband is tussen bewolking, regen en zonneschijn.
Het wiskundig denken heeft de eigenaardigheid abstract te zijn, haar objecten zijn objectivaties van abstracties. Daarom is het goed kritisch te kijken of er niet van wezenlijke zaken geabstraheerd is wanneer we zaken in de werkelijkheid mathematiseren, d.w.z. wanneer we er een wiskundig model voor maken. Het is daarom van belang het bijzondere perspectief van de wiskundige onder de loep te nemen.
De erkenning van de rol die de wiskunde speelt in onze samenleving is zonder meer een goede zaak. Wiskundig denken is veel meer verspreid dan de meeste van ons beseffen. Het is niet beperkt tot de wiskunde. Wat we in het nieuws zien aan toepassingen van de wiskunde – intelligente technologie, overtuigende statistieken – is nog maar een klein topje van de ijsberg. Ons dagelijks taalgebruik staat bol van termen die aan wiskundige objecten doen denken maar zelden hebben we het over die wiskundige objecten zelf. Zo praten we bijvoorbeeld over “verzamelingen van …”, “snijpunten van …”, “driehoeken in …”, “structuren in …”, “aantallen …”, “functies van…”.
De computer heeft het wiskundig denken gemaakt tot dagelijkse praktijk
De vraag is aan de orde of we als burger nog wel hoeven te kunnen rekenen nu iedereen zijn eigen computer heeft. En dat geldt voor steeds meer taken en functies die door machines worden overgenomen. Er is een groeiende behoefte aan datawetenschappers en programmeurs nu het leven voor een belangrijk deel dataverwerking is geworden. Het is juist vanwege die talloze toepassingen van het wiskundig denken dat het van belang is dat iedereen beseft wat de kenmerken van dit denken zijn en wat de kracht en tevens de beperkingen van dit denken zijn.
De voornaamste reden waarom ieder kind moet leren rekenen is dat rekenen de zuivere vorm van (het toepassen van) het wiskundig denken is. Maar het heeft geen waarde wanneer daarna het besef niet groeit en bij wordt gebracht van de betrekkelijkheid van deze wijze van denken. Uiteindelijk gaat het in het onderwijs erom begrip bij te brengen. Daartoe is het van belang te weten dat niet elk begrip een wiskundig begrip is.
De ethiek moet zich niet alleen bezig houden met de bijzondere toepassingen van het wiskundig denken, niet alleen met de vraag of bijvoorbeeld de gegevens waarmee machinale leeralgoritmes getraind worden geen ‘bias’ bevatten. De ethiek moet zich ook bezighouden met de vraag naar de eigen aard van het wiskundig denken en wat de gevolgen van het wiskundig perspectief op het dagelijks leven betekent voor dat leven, voor de individuele burger.
Zijn er niet-ethische toepassingen van de wiskunde?
De wiskundige en logicus Louk Fleischhacker expert op het gebied van filosofie van het wiskundig denken was van mening dat de filosofie tot taak heeft de wetenschappen op hun plaats te wijzen (Fleischhacker 1982, 1994). Hier gaat het om het op de plaats zetten van de wiskunde. Ik doe dat vanuit een vermoeden dat het wiskundig denken soms de perken te buiten gaat. Dit stuk kan dus gezien worden als een poging dit vermoeden wat vlees op de botten te geven door het te expliciteren.
Voordat we het kunnen hebben over de ethiek van het rekenen, over de moraal van de wiskunde en over de verantwoordelijkheid van de wiskundige, de producent bij uitstek van wiskundige modellen en datastructuren, is het zaak een aantal zaken goed uit elkaar te houden. In de eerste plaats lijkt het me zinvol om wiskunde en wiskundige resultaten (zoals de Stelling van Pythagoras of Fermat) te onderscheiden van de toepassingen van wiskunde in andere kennisgebieden, zoals in de economie, virologie, biologie, of taalkunde en in de praktijk. Wat is er wiskundig aan een wiskundig model?
Wiskunde als anti-metafysische metafysica
Menig wetenschapper is tegenwoordig van mening dat kennis pas echt wetenschappelijke kennis mag heten wanneer het in de vorm van de wiskunde, in wiskundige structuren en formules, wordt uitgedrukt. Dit ideaal berust veelal op de idee dat de werkelijkheid voorzover deze kenbaar is nu eenmaal wiskundig is.
Sommige fysici zijn van mening dat onze fysische werkelijkheid, de natuur, een wiskundige structuur is. In Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, stelt de fysicus Max Tegmark dat de werkelijkheid, inclusief het leven een wiskundige structuur is! Een zeer lezenswaardig boek. Voor deze wetenschappers is het dan ook geen vraag meer hoe het komt dat wiskunde toepasbaar is en wat dat betekent: het toepassen van de wiskunde.
De opvatting dat alleen het kwantificeerbare, meetbare, van waarde is, of althans van meer belang is dan wat niet meetbaar is, wordt door sommige feministen, zoals bijvoorbeeld Rebecca Solnit als teken gezien van de macht van de man over de vrouw. De neiging van een cultuur om alles te willen meten en in wiskundige modellen en procedures vast te leggen zou dus kenmerkend zijn voor het masculiene karakter ervan. De feministische beweging heeft er dus alle belang bij begrip te hebben voor de eigen aard van het mathematische denken. Niet om haar te bestrijden, maar om de grensoverschrijdingen van dit denken te kunnen localiseren.
In de 18de eeuw werden in Nederland vele wiskundige genootschappen opgericht waar men de wiskunde beoefende vanwege het grote belang voor de scheepsbouw, waterwerken en fortificaties. De mechanica werd nog lange tijd als onderdeel van de wiskunde gezien. In de 19de werd meer en meer de zuivere wiskunde bedreven: het bewijzen van stellingen. Dat kwam vooral door de toepassingen van het rekenen door landmeters en boekhouders. Stelkunde is een term waarmee de wiskunde wel werd aangeduid. Zij biedt “de sleutel tot de verborgenste wetenschappen en de verhevenste rekeningen”.
Wanneer we de (zuivere) wiskunde onderscheiden hebben van haar toepassingen, moeten we vervolgens de wiskunde onderscheiden van andere wetenschappen waarmee deze soms verward wordt. De eigen aard van het onderwerp van de wiskunde en de eigen aard van de methoden van de wiskunde moeten onderscheiden worden van die van psychologie (wiskunde als psychisch proces en wiskundige objecten als resultaten daarvan, bedenksels), fysica (de natuur als wetmatigheden in de vorm van wiskunde formules), logica (wat wiskundig waar is is bewijsbaar) en taalkunde (wiskunde als taal).
Op dat laatste wil ik me hier concentreren. Wat is de eigen aard van de wiskunde? Die vraag zal ik benaderen vanuit een visie op wat wiskundigen doen. Daarbij speelt definieren een centrale rol. Wat is definieren? Wat is het wat gedefinieerd wordt? Waarom wordt er gedefinieerd? Kun je alles maar definieren? Zijn er grenzen aan het definieren? Zijn er ondefinieerbare dingen? En wat is de bron van het definieren? Is definieren hetzelfde als specificeren of programmeren?
Wat betekent het dat machines kunnen rekenen? En als we zeggen dat machines kunnen denken en beslissingen nemen bedoelen we dan dat ze nog iets meer kunnen dan alleen maar rekenen?
Wat doen wiskundigen?
Wiskundigen abstraheren en objectiveren hun abstracte begrippen. Het meest bekende wiskundige begrip is het getalbegrip. De rekenkunde is de kennis van de omgang met getallen, het rekenen. Rekenen heeft ‘iets mechanisch’. Je past regels toe op symbolen, cijfers en uitdrukkingen (expressies of formules) die staan voor getallen. Bijvoorbeeld: de expressie 3 + (2 * 3 ) stelt een berekening voor die als deze wordt uitgevoerd de waarde ervan, het getal 9 oplevert.
Denken in taal heeft ook ‘iets mechanisch’, namelijk in zoverre de woorden die je denkt de gedachten bepalen die de betekenissen zijn van de woorden. Maar rekenen is een bijzondere wijze van denken. Wat is er bijzonder aan? Wat opvalt is dat iedereen precies hetzelfde resultaat krijgt bij het ‘denken’ dat volgens rekenregels gaat. Dat komt omdat de tekens en uitdrukkingen van de taal waarin ‘gedacht’ wordt een precieze betekenis hebben. De betekenis van de cijfers en expressies als 3 + 4 * 5 leert iedereen op school. Rekenen is het manipuleren van expressies volgens vastgestelde rekenregels. De wiskundigen hebben niet stil gezeten. Naast of bovenop de ‘natuurlijke getallen’ en de meetkundige figuren (punten, lijnen en driehoeken) hebben ze talloze andere complexere structuren bedacht. Gestimuleerd door wat ze in de werkelijkheid aan treffen.
Wiskundigen zijn stelkundigen. Ze formuleren wiskundige stellingen. Stellingen zijn beweringen. Wiskundige stellingen zijn beweringen over wiskundige objecten, zoals getallen en hun eigenschappen. Wat is het verband tussen de aard van het stellen en de aard van het gestelde, en van de wiskundige objecten? Zijn die objecten de creaties van het stellen? Een wiskundige stelling is bijvoorbeeld: voor alle getallen x en y geldt: x+y = y+x. Als ik drie knikkers heb en ik krijg er vijf bij heb ik acht knikkers. Als ik vijf heb en er drie bij krijg heb ik ook acht knikkers. Ofwel, het maakt niet uit of je bij een getal, noem het x, het getal y optelt of omgekeerd. Wiskundigen zeggen; de optelling is een commutatieve operatie op getallen. 5+2 = 2 + 5 Ook vermenigvuldigen is commutatief: 5 * 3 = 3 * 5.
Aftrekken en delen zijn daarentegen niet commutatief: 5 – 3 =/= 3 – 5 en 6 / 3 =/= 3/6.
Waarom is optellen wel en aftrekken niet commutatief ?
De stelling dat optelling commutatief is wordt over het algemeen voor waar aangenomen. Kan dat zo maar? Zonder het te beseffen wordt deze dagelijks vele miljoenen keren gebruikt. Bijvoorbeeld bij het berekenen van het totale aantal IC-bedden in Nederlandse ziekenhuizen. Er worden twee soorten ziekenhuizen onderscheiden: universitaire (medische centra) UMC en algemene ziekenhuizen AZ. Het aantal IC-bedden bij UMCs is 428. Het aantal IC-bedden in AZs is 1628 (cijfers over 2017). Om het totale aantal IC-bedden te berekenen kunnen we volgens de stelling 428 bij 1628 optellen, maar we kunnen ook 1628 bij 428 optellen. Het resultaat is hetzelfde: 2056 IC-bedden.
We zijn er bij het onderscheiden van UMC en AZ ziekenhuizen vanuit gegaan dat er geen ziekenhuizen zijn die zowel UMC als AZ zijn. Het zijn disjuncte klassen. Verder zijn we er van uit gegaan dat er geen andere IC-bedden in Nederland zijn dan die in UMCs en AZs. Ook hebben we aangenomen dat de IC bedden in UMCs en IC-bedden in AZs in zekere mate gelijk zijn en allebei vallen onder het algemene begrip IC-bed. En dat geldt ook voor de IC-bedden binnen elk van de ziekenhuizen. Om het aantal IC-bedden te tellen is het nodig te weten wat er geteld moet worden. Is een kapot IC-bed dat bij de reparateur staat een IC-bed dat meegeteld moet worden? De vraag zou op een gegeven moment kunnen zijn of alle 2056 IC-bedden tegelijkertijd beschikbaar zijn. De bewering “Er zijn in Nederland 2056 IC-bedden.” is geen wiskundige bewering, omdat het begrip IC-bed geen wiskundig begrip is. En dat geldt ook voor het begrip “in Nederland zijn”. Het zijn vage begrippen, vergeleken bij de exacte begrippen zoals driehoek en getal in de wiskunde. De meeste woorden die we gebruiken zijn uitdrukkingen van vage begrippen: stoel, klein, volwassene, vaag.
Bij het tellen moet je weten wat je telt. Je moet de de objecten identificeren. Iemand heeft alle moeders geteld (dat zijn er 11) en vervolgens alle dochters (dat zijn er 19). Het heeft geen zin deze op te tellen. De conclusie dat er 30 vrouwen zijn is natuurlijk fout. De reden ervan is duidelijk: moeder en dochter zijn relatie-begrippen. Een vrouw kan zowel moeder als dochter zijn; maar niet in dezelfde relatie. Ook een IC-bed kan dubbel geteld worden. Bijvoorbeeld wanneer deze in twee administraties voorkomt.
Waarom is x + y = y + x waar voor alle getallen x en y? De waarheid van een wiskundige bewering hangt niet af van wat werkelijk het geval is. Tellen is geen wiskunde en de bewering dat er 2056 IC-bedden zijn is geen wiskundige bewering. De waarheid van een wiskundige bewering wordt bepaald door de afleidbaarheid van axioma’s en definities. Maar hoe kunnen we dan begrijpen dat wiskunde toepasbaar is? Moeten we voor een antwoord op de vraag waarom + wel en – niet commutatief is, niet terugkijken naar de praktijk van het optellen en het wegnemen?
De toepasbaarheid van wiskunde in de werkelijkheid is gegrond in de werkelijkheid waarbij de vraag zich voordoet of de toepassing recht doet aan de werkelijkheid. Het tellen van IC-bedden is gegrond in de telbaarheid van deze objecten die als IC-bed herkenbaar zijn. Of het afbeelden van de verzameling IC-bedden op het aantal ervan (2056) recht doet hangt af van het doel van de praktijk waarin deze kennis functioneert. Wat doen we met de uitvoer van de algoritmes die we door de computer laten uitvoeren? Wat betekent die uitvoer? Die wordt bepaald door de begrippen die aan de algoritmes ten grondslag liggen. Bijvoorbeeld: hoe is “IC-bed” gespecificeerd? Waar komen de invoergegevens vandaan? Hoe actueel zijn deze?
Iedere toepassing van wiskunde houdt een abstractie in. Er wordt afgezien van het individuele van de vele objecten. Zodra we het over de verzameling van IC-bedden hebben, worden ze niet kwalitatief van elkaar onderscheiden. Dat geldt ook voor de mensen wanneer we het over de verzameling van mensen hebben. De individuele persoon doet niet ter zake. De werkelijkheid is een veelheid van gegevens, een data-type. Een samenleving is geen verzameling van individuen ook al is die nog zo democratisch en geldt bij het stemmen ‘de macht van het getal’.
Modelleren, het toepassen van wiskunde, is abstraheren, schematiseren. We zien af van bepaalde aspecten. Descartes houdt er een mathematisch wereldbeeld op na. Daarin is alles wat werkelijk is in principe volledig als wiskundig object te begrijpen. De werkelijkheid is een veelheid van buiten elkaar liggende onderdelen. De hier boven genoemde Max Tegmark is een Cartesiaan pur sang.
Het wiskundig denken doet alsof de door haar bedachte dingen stoffelijk zijn. Er zijn veel cirkels, maar er is slechts een begrip cirkel. Door die stoffelijke voorstelling kunnen we het hebben over twee snijdende cirkels die in niets van elkaar onderscheiden zijn dan dat ze onderscheiden zijn. We geven ze een naam x en y om hun een identiteit te geven. Maar die namen zijn volstrekt willekeurig; er is geen enkel begrip in uitgedrukt. Er is maar één getal 3, maar we kunnen wel 3 bij 3 optellen, alsof we twee exemplaren van het zelfde getal hebben. Twee centen zijn ook exemplaren van dezelfde cent, maar toch is dat anders dan bij wiskundige objecten zoals getallen. De centen zijn materiële objecten, ze hebben nog andere eigenschappen dan exemplaar van een cent te zijn. Ze zijn niet gelijk. Ze zijn ook uit andere materie opgebouwd. Dat je 3 bij 3 op kan tellen betekent dat deze twee op een of andere manier uit onderscheiden eenheden bestaan. (We stellen die voor als luciferstokjes of streepjes op papier).
In een wiskundige stelling wordt een inzicht in een wiskundige structuur uitgedrukt. Een bewijs moet aantonen of het gestelde waar is. Soms lukt het de wiskundige hier een antwoord op te vinden. Ze zijn pas tevreden wanneer bewezen is dat de stelling waar is of als ze het tegendeel kunnen bewijzen. Maar soms moeten ze zich tevreden stellen met de conclusie dat de stelling niet bewijsbaar is. Dat is iets anders dan dat ze er geen bewijs voor hebben kunnen vinden. De stelling dat x+y = y+x kan bewezen worden. Met logische stappen kan de stelling uit gegeven axioma’s van de rekenkunde worden afgeleid. De axioma’s definiëren de grondbegrippen van de wiskundige theorie, zoals bijvoorbeeld het begrip natuurlijk getal of verzameling.
De resultaten van wiskundigen zijn hypothetische waarheden van de vorm: als dat en dat waar is dan is ook dit en dit waar. Het zijn geen zuiver logisch waarheden: ze zijn namelijk gegrond in axioma’s. De axioma’s worden voor waar aangenomen. Axioma’s mogen elkaar niet tegenspreken. Ze moeten consistent zijn. Dat is een logische eis. Als de axioma’s consistent zijn is er een model, een interpretatie, mogelijk. Zonder een model gaat het nergens over. Maar de axioma’s leggen zelden precies een gegeven werkelijkheid vast: er zijn vele modellen mogelijk.
De vraag is welk model het beste de werkelijkheid weergeeft. Is dat een zinvolle vraag waar een antwoord op gegeven kan worden? Wanneer het model bepaalt wat voor ons werkelijk is dan kunnen we niet beoordelen of het model het beste is. De vraag is dan niet zinvol.
Stelling 1 van de Tractatus (Ludwig Wittgenstein)
Waar komen de axiomas vandaan?
De stelling dat optelling commutatief is, lijkt zo basaal dat we ons afvragen of we die nog moeten bewijzen. Waar mogen we vanuit gaan? Wat is eigenlijk de kengrond van de axiomas? Dat de drie hoeken van een driehoek samen net zo groot zijn als twee rechte hoeken (is 180 graden) is een stelling die men voor lange tijd voor absoluut waar hield. Volgens Euclides gaat door een punt buiten een gegeven lijn precies één lijn parallel aan die gegeven lijn. Dit axioma geldt echter niet in niet-Euclidische meetkundes. En daarmee geldt ook de stelling van de hoekensom van een driehoek niet in alle meetkundes. Het is niet zo gek dat Euclides dacht dat dit zonder meer een ware eigenschap van de ruimte is. De ruimte waarin we leven “is” Euclidisch, dat wil zeggen dat we in de bouwwereld gebruik kunnen maken van de stelling van Pythagoras wanneer we een rechte hoek willen uitzetten (de bekende 3:4:5 verhouding). Vele eeuwen later bleek dat niet alle ‘ruimtes’ Euclidisch hoeven te zijn. De wiskunde gaat dus niet (meer) zonder meer over de waarneembare wereld. Ze gaat over alle (logisch) mogelijke werelden. De echte wereld, die verzameling van alle feiten (“Die Welt ist alles, was der Fall ist”, stelt Wittgenstein vast in zijn Tractatus) en gegevens, is voor het wiskundig denken gereduceerd tot een realisatie van een van de vele mogelijke werelden. Waar hier van geabstraheerd wordt is precies het verschil tussen wat werkelijk is en wat slechts mogelijk is. De wereld is voor het mathematische denken een hypothetische werkelijkheid geworden.
Hoe komt het dat de operaties optellen en vermenigvuldigen wel, maar de operaties aftrekken en delen niet commutatief zijn? 5 – 2 is niet gelijk aan 2 – 5. We kunnen de positieve gehele getallen nog wel zien als abstracties van werkelijke objecten: 5 paarden; 2 koeien. Bij de operatie aftrekken (-) kunnen we denken aan het wegnemen van een aantal objecten uit een gegeven aantal. Maar hoe kun je nu 5 objecten wegnemen als er maar 2 zijn? Het is niet zo verwonderlijk dat men in Europa tot in de 17de eeuw problemen had met negatieve getallen. De Italiaan Leonardo van Pisa (beter bekend als Fibonacci) was rond 1300 bekend met de Arabisch-Indische cijfers (inclusief het getal 0). Hij beschouwde negatieve uitkomsten als schulden. Kennelijk kost het de mens moeite nieuwe soorten getallen of andere wiskundige objecten te creëeren.
De wiskunde ontleent haar begrippen aan de ervaren werkelijkheid. Betekent dat nu dat we bestaande begrippen als wiskundige begrippen kunnen zien of omvormen? We zouden het begrip IC-bed als uitgangspunt kunnen nemen voor een wiskundige definitie van IC-bed. Een IC-bed is een fysisch object met bepaalde eigenschappen, zoals 4 wielen, twee uitklapbare zijpanelen. We moeten dan ook nog definieren wat een fysisch object is.
Dit is wat computerprogrammeurs doen: ze specificeren een ontologie. Een IC-bed wordt een datastructuur, een lijst of graaf met attributen en hun waarden (“record”) ingebed in een ontologie. Het is een uitdrukking in een specificatie-taal van het object IC-bed.
Maar is zo’n specificatie hetzelfde als een wiskundige definitie? Laten we een wat ‘eenvoudiger’ begrip nemen: klein. Met ‘eenvoudiger’ bedoel ik dat iedereen weet hoe dit woord in een bepaalde situatie te gebruiken. Het is een woord dat iedereen kent en dat meestal geen vragen oproept als het gebruikt wordt.
Mathematiseren: wat heet klein?
Klein is een relatief begrip. Een kleine olifant is groot vergeleken met een grote muis.
We geven een definitie van het begrip (de eigenschap) klein: een object van een bepaald type objecten is klein als het kleiner is dan de meeste objecten van dat type (dat wil zeggen: er zijn meer objecten groter dan kleiner dan het object).
Deze definitie drukt het relatieve karakter van klein uit. Een olifant is klein als het kleiner is dan de meeste olifanten. Een muis is klein als deze kleiner is dan de meeste muizen. We vergelijken geen appels met peren, of muizen met olifanten. Een kleine olifant kan dus best groter zijn dan alle muizen. (Oops!) Onze definitie voldoet wat dat betreft aan het normale gebruik van het woord klein.
Er bestaan ook kleine olifanten. Maar alleen als er voldoende olifanten zijn van verschillende groottes. Anders niet.
Zijn er ook kleine getallen? Volgens de definitie is een getal klein wanneer het kleiner is dan de meeste getallen. Het getal 43 is klein. En 1201 is ook een klein getal. Maar ook 1.354.678 is klein, want er zijn meer getallen groter dan kleiner dan dit getal. In feite zijn alle getallen klein. Immers voor elk getal geldt dat het kleiner is dan de meeste andere getallen. Dat komt omdat er oneindig veel getallen zijn. Dat betekent dat klein zijn geen eigenschap is op grond waarvan je getallen kan onderscheiden: binnen het domein van de getallen wordt er geen grens aangegeven door het begrip klein.
Wanneer heeft klein wel een onderscheidend vermogen? Wanneer een verzameling een eindig aantal objecten bevat, dan heeft het zin om van de kleine objecten te spreken. Dat is per definitie een echte deelverzameling van de totale verzameling.
Hoe zit het met oneindige verzamelingen? We hebben gezien dat het aantal kleine getallen oneindig is. Maar is dat vanwege de oneindigheid van de verzameling getallen? Of is er nog een andere eigenschap van getallen in het spel? Zijn er oneindige verzamelingen objecten die een eindig aantal kleine objecten bevat?
L is een oneindige verzameling lijnstukken (een lijnstuk heeft een eindige lengte). Stel dat K de deelverzameling is van L die alle kleine (is korte) lijnstukken van L bevat en geen andere. Als K leeg is, er zijn dus geen kleine lijnstukken, dan zijn alle lijnstukken in L even lang. Als K niet leeg is, laat dan m de lengte zijn van het grootste lijnstuk in K. De verzameling L – K noemen we G. Het natuurlijke getal k, de scheider van K en G, is dat getal waarvoor geldt dat alle lijnstukken van K kleiner zijn dan k en dat alle lijnstukken in G groter of gelijk zijn aan k. Als zo’n k bestaat dan is K eindig en dan zijn alle lijnstukken in G even groot. Deze hebben grootte k.
Er zijn dus oneindige verzamelingen die een eindige deelverzameling van kleine objecten hebben. We zien dus nu dat het niet alleen aan de oneindigheid van de getallen ligt dat er geen echte deelverzameling van kleine getallen bestaat, maar aan de eigenschap dat er geen getallen zijn die even groot zijn. Getallen zijn objecten die volledig bepaald zijn door hun plek in de ordening naar grootte. Dat geldt niet voor de verzameling van lijnstukken. Twee lijnstukken kunnen dezelfde lengte hebben en dus even groot zijn. Daarmee zijn ze nog niet gelijk. Lijnstukken zijn wat dat betreft net olifanten of muizen.
De definitie van klein maakt gebruik van de relatie kleiner dan. Dat is geen probleem. We zijn er wel achtergekomen dat onze stelling over het bestaan van eindige deelverzamelingen van oneindige verzamelingen er vanuit gaat dat deze relatie niet op alle verzamelingen van objecten volledig hoeft te zijn. De relatie kleiner dan is volledig als voor elke twee objecten er altijd een kleinste is, een die kleiner is dan de ander. Dit geldt voor de relatie kleiner dan op getallen, maar niet voor de verzameling van lijnstukken. Het niet volledig zijn van deze relatie op lijnstukken is een noodzakelijke voorwaarde voor het bestaan van kleine lijnstukken.
Klein is een vaag begrip
De kritische lezer zal niet echt tevreden zijn met het resultaat. Stel we hebben een verzameling stokjes waarvan de lengtes in centimeters zijn: <1,2,9,9,10,12,20,25>. Volgens de definitie zou de deelverzameling van kleine stokjes bestaan uit de lengtes <1,2,9,9>. Het stokje met lengte 9 is dus nog klein, maar die met lengte 10 niet meer. Dat klopt niet met ons gebruik van het woord klein. We zijn geneigd om 2 en 3 wel maar 9 niet meer klein te noemen. Waarom? Omdat het dichter bij de groten ligt dan bij de kleinen. Wie het spoor van de definitie nog even verder volgt op zoek naar een bevredigende definitie zal er achter komen dat deze definitie wel respecteert het relatieve karakter van klein zijn (een kleine olifant is groter dan een grote muis), maar geen recht doet aan de vaagheid van klein. Voor het onderscheiden van kleine objecten binnen een verzameling van objecten van een zelfde soort is deze definitie niet geschikt.
Of iets klein is laat zich niet vastleggen in termen van een getal dat de grens aangeeft tussen wat wel en wat niet klein is. Iedere poging die grens aan te geven is willekeurig. Dat wil zeggen die grens kan niet op grond van een kwaliteit van het object zelf worden verantwoord en doet daar dus geen recht aan. Vergelijkbare problemen komen we tegen wanneer we proberen kaalheid te specificeren in termen van een aantal haren dat iemand op zijn hoofd heeft, of wanneer we willen vastleggen hoeveel graankorrels een hoop vormen (de Sorites paradox).
De lengte van een lijst: een recursieve definitie
We kunnen wel precies definiëren wat we onder de lengte van een lijst verstaan.Voorbeeld van een lijst is een boodschappenlijst. Het is een opsomming van items. Een lijst is een data-structuur. Bijvoorbeeld: [a,b,c,d] is een lijst met 4 elementen, waarvan a het eerste element is; ook wel de kop van de lijst genoemd. De lijst die je overhoudt wanneer je de kop eraf haalt heet de staart. We noteren: (a:[b,c,d]) om aan te geven dat a de kop is van de lijst [a,b,c,d]. De lege lijst noteren we als [].
We kunnen nu definieren wat de lengte van een lijst is, dat is het aantal elementen dat in de lijst staat:
lengte [] = 0 , de lengte van de lege lijst is 0
lengte (a: xs) = 1 + lengte (xs), de lengte van een niet-lege lijst is 1 + de lengte van de staart xs van de lijst.
Merk op dat de definitie circulair lijkt te zijn: het gedefinieerde komt rechts in de omschrijving voor. Dat is echter niet zo. De lengte wordt impliciet gedefinieerd door een recursieve definitie die zegt hoe de lengte van een bepaalde gegeven lijst uit die van een andere lijst (de tail ervan) kan worden berekend.
De lengte van een oneindige lijst is onbepaald. Het proces dat de lengte berekend komt niet tot een einde.
We kunnen de definitie van de lengte functie ook in één regel samenvatten:
F(xs) = als xs=[] dan 0 anders 1 + F(tail (xs)) (*)
Deze definities hebben de vorm van een rekenvoorschrift. Ze kunnen direct gebruikt worden om de waarde ervan voor een gegeven lijst te berekenen. Het zijn computer programma’s in een functionele taal (zoals Haskell of Miranda). Programmeurs specificeren functies en data-structuren. De uitvoering van de recursieve opdracht houdt een herhaling in van dezelfde operatie op telkens een kortere lijst. Tot de overgebleven lijst leeg is. Dat is het stopcriterium. Volgens de wiskundige recursie theorie bestaat bij een dergelijke recursieve definitie altijd een functie die we als de betekenis van het programma kunnen opvatten. Deze functie kan expliciet gemaakt worden door middel van een zelfapplicatie van een hogere orde functie.
Die heeft de vorm: F (x) = G (G, x).
Waarbij:
G (f,xs) = als xs = [] dan 1 anders 1 + f(f, tail(xs))
De functie G wordt op zichzelf toegepast en is gedefinieerd met behulp van een zelf-applicatie; namelijk van de functie f, het eerste argument van f.
Om de betekenis van een recursief programma op wiskundige wijze uit te drukken als een functie F die een invoer omzet in een uitvoer, waarvoor we een rekenmachine gebruiken, moet deze functie gedefinieerd worden door middel van een zelfapplicatie van een zelfapplicatie.
In deze zelfapplicatie komt op wiskundige wijze tot uitdrukking dat de toestanden van een automaat zelf zorgen voor de toestandsovergangen die overeenkomen met de betekenis ervan. De zelfapplicatie als functie toegepast op zichzelf is de theoretische uitdrukking van de zichzelf reproducerende machine. Een machine is zodanig gemaakt dat deze niet alleen iets uitvoert, iets zinvols produceert, maar ook zichzelf reproduceert. Het blijft dezelfde machine die blijft werken.
Zelfreproductie is één van de meest belangrijke karakteristieke kenmerken van levende organismes. In (Andrade et al. 2011) claimen de auteurs dat dit idee wiskundig uitgedrukt kan worden in de zelf-refererende vergelijking f = (f(f). Naar één van de oudste mythische symbolen, tonende een slang die zichzelf in de staart bijt, wordt deze de Ouroboros vergelijking genoemd.
De uitdrukking van de zichzelf reproducerende automaat door middel van een zelfapplicatie van een zelfapplicatie, formeel als Z(Z) waarbij Z = lambda x. x(x), (Op den Akker, 1983; Fleischhacker 1982) gaat nog een stap verder dan Ouroboras vergelijking, de zelfapplicatie uitdrukking f(f) in (Andrade et al. 2011).
Ouroboros symbool
Vanwaar dit verschil? De levende cel is niet een realisatie van een expliciet in de cel uitgedrukt programma, zoals de automaat dat is. Bij de cel is dit hoogstens aanwezig door dat wij het erin herkennen. Bij de automaat verklaart het programma de werking. Het refereren naar een programma kan echter, zoals de biochemicus en filosoof Jacques Monod verklaart, niet als wetenschappelijke verklaring dienen voor de zelfreproductie van de levende cel.
De autonome technologie en de economische toepassing
Terwijl de klassieke machine een bepaald ontwerp realiseert dat impliciet blijft, realiseert de programmeerbare automaat zijn eigen in zijn programma expliciet uitgedrukte ontwerp. Wie de automaat als een volledig autonome machine opvat die ziet af van het bruikbare produktieve aspect van de machine. Alsof deze zijn zin niet ontleent aan de (economische) betekenis die deze voor de mens heeft. De louter zichzelf reproduceerbare machine is een nutteloos kunstwerk. Het technische artefact is juist niet zelfstandig omdat het een voor de maker en gebruiker nuttig en bruikbaar instrument is. De techniekfilosoof P. de Bruin merkte al op dat techniek bruikbaar moet zijn om techniek te zijn. Maar het technische mag niet met het economische verward worden. De programmeerbare machine is de meest expliciet uitdrukking van de technische idee (volgens de filosoof Jan Hollak) terwijl de voor een bepaalde toepassing geprogrammeerde machine het economisch gebruik ervan representeert om in een bepaalde behoefte van mens en samenleving te voorzien. Het gaat dus dan om een concrete nuttige toepassing van een algemeen technisch idee. Het meest algemene abstracte technische idee van de toepassing van een technisch idee komt op mathematische wijze tot uitdrukking in de zelfapplicatie van de zelfapplicatie, zoals we hierboven hebben uiteengezet.
Het onethische van de automatie
Als we de autonome machine zijn eigen gang laten gaan dan gaan we er kennelijk vanuit dat we voor eens en voor altijd hebben kunnen vastleggen wat deze moet doen. Dat kan echter alleen als we afzien van het feit dat onze kennis altijd voorlopig is en dat we deze zullen moeten en willen aanpassen op basis van nieuwe ervaringen die we opdoen. Ethiek gaat om de waarde van het unieke andere dat gegeven is; om dat wat niet tot het bekende te reduceren is. Hier past wellicht de opvatting van Cusanus dat de mens moet weten van zijn onwetendheid.
De rechtvaardigheid vereist dat de rechter de regels interpreteert in de concrete gegeven situatie, dan wel dat hij die regels toepast die in de gegeven situatie van toepassing zijn. Verantwoordelijkheid en zorg zijn geen zaken die je aan een machine kunt overlaten, omdat je voor dat overlaten zelf verantwoordelijkheid bent.
Machines die leren uit gegevens (big data) en de door (statistische) inductie geleerde regels of modellen toepassen op nieuwe gevallen negeren het unieke nieuwe van de situatie of persoon waarop ze worden toegepast. In die zin staat de ‘blinde’ (want in zichzelf gesloten) automatie als meest expliciete uitdrukking van het wiskundig denken en van de idealiteit van de producten van het mathematische denken op gespannen voet met het ethische principe dat vereist dat we recht doen aan de waarde van de concrete andere situatie, die juist als anders niet te reduceren is tot de kennis die op grond van ervaringen in het verleden is opgebouwd.
Merk op dat het veel lastiger, zo niet onmogelijk, is om op een exacte manier te specificeren hoe een dagelijks begrip als klein of IC-bed gebruikt wordt. Dat komt omdat deze begrippen voortdurend gevoed worden door de levende werkelijkheid waarin ze functioneren en veranderen. De resultaten van wiskunde en technologie staan op gespannen voet met een veranderende werkelijkheid. Een werkelijkheid die juist door de toepassing van wiskunde en technologie voortdurend verandert!
In het oordeel “deze roos is rood” spreken we de werkelijke eenheid uit van een toedracht waarin de onderscheiden zaken: roos en rood herkend worden. De roodheid van de roos is een ander rood dan de roodheid van het bloed op het tapijt. Zoals de kleinheid van de olifant een andere kleinheid is dan die van de muis of de verzameling. Wanneer Frege het begrip als functie opvat (Frege, Begriffschrift, 1879) trekt hij predikaat en subject uit elkaar. Die worden functie en argument. De functie klein = λx. isklein(x) heeft een eigen zelfstandigheid die tegenover zijn argument wordt gezet. Het resultaat van de functietoepassing is een waarheidswaarde. De waarheidswaarden waar en onwaar zijn abstracties die los zijn komen te staan van de zin. Het feit dat we bij het uitspreken van een oordeel door middel van de zin “Deze rood is rood.” onmiddellijk bedoelen dat dit werkelijk zo is, is geheel verdwenen. In plaats van het subject dat een oordeel uitspreekt is er een machinerie die een zin A produceert en een andere machinerie die de waarheidswaarde afleidt.
De waarheid is niet aan de zin of mededeling af te lezen. De oordeelszin presenteert zich weliswaar in een vorm die de waarheid suggereert maar dit is welbeschouwd slechts pretentie. De waarheid, de welgemeendheid, moet in goed vertrouwen worden aangenomen. De relatie tussen spreker en luisteraar tussen zender en ontvanger is van invloed op de inhoud van het bericht.
Wat is een definitie?
Ik denk niet dat het mogelijk is iemand die niet weet wat een ‘definitie’ is door het geven van een definitie van het begrip definitie te zeggen wat een definitie is.
We kunnen alleen wat we al weten proberen onder woorden te brengen.
We kunnen voorbeelden geven. Kijk dit is een X en dit en dit. Maar waarom? Er zijn vele soorten vis en vele soorten spelen. En vele zijnden. Maar wat is dat een zijnde?
In een definitie leggen we vast wat iets is. In een definitie van een lijn leggen we vast wat wanneer iets een lijn is. Een lijn is een bijzondere figuur.
In een definitie doen we minstens drie dingen. a) We leggen vast wat onder een bepaald begrip valt; b) We geven het gedefinieerde een naam; en c) We verwoorden wat we onder een bepaald begrip verstaan.
Kennelijk is een definitie een activiteit. Niet een object. We gebruiken de taal.
In een definitie maken we gebruik van begrippen of zaken waarvan we aannemen dat ze bekend kunnen zijn omdat ze al vastgelegd zijn, dan wel vastgelegd kunnen worden. We geven een paar voorbeelden.
Een autologie is een woord dat voldoet aan wat het betekent.
Een heterologie is een woord dat niet voldoet aan wat het betekent.
Op deze twee definities kom ik later nog terug.
Een object van een bepaald type objecten is klein als het kleiner is dan de meeste objecten van dat type.
We geven ook een definitie van definitie:
Een definitie van begrip M is een specificatie van alle dingen die onder M vallen. De dingen die onder het begrip vallen vormen een verzameling, de extensie van het begrip. De definitie suggereert dat we weten wat er allemaal voor dingen zijn en dat van alle mogelijke dingen al bekend is of ze wel of niet onder het begrip vallen. Hoe verhouden de particuliere dingen zich tot het begrip? Als we dit zo opvatten dan vat de definitie samen wat het begrip is van die dingen die we kennen. We sluiten uit dat er dingen zullen ontstaan waarvan we niet kunnen zeggen of ze onder het begrip vallen of niet. Zulke transcendente gevallen sluiten we uit.
In een definitie leggen we de betekenis van een woord vast.
Het begrip verzameling is een kernbegrip in de moderne wiskunde. Het is zo problematisch als het fundamenteel is. En toch is het zo’n dagelijks begrip. Hoe kan dat?
Er zijn diverse axiomatische systemen ontwikkeld waarin grote delen van de wiskunde geformuleerd kunnen worden. Het vertrouwen dat we in de wiskunde hebben, als we dat hebben en daar is voldoende reden voor, is echter niet wiskundig gefundeerd. Wat is een verzameling?
Georg Cantor definieerde een verzameling (Menge) als volgt:
Cantors definitie van het wiskundige begrip verzameling
Cantors definitie in het Nederlands luidt dan:
Een verzameling is een samenraapsel M van bepaalde goed onderscheiden objecten van onze aanschouwing of ons denken (die we de elementen van M zullen noemen) tot een geheel.
Een goede definitie maakt geen gebruik van synonieme begrippen. Het woord samenvoegsel heeft een betekenis die wel heel dicht in de buurt komt van verzameling. De definitie benoemt een relatie, namelijk element van, tussen objecten en een geheel waarvan ze element zijn. Een verzameling is een eenheid waarvan de elementen onderscheiden objecten zijn. De verzameling wordt zelf ook als object opgevat. Naast de objecten die de elementen ervan zijn.
Er blijkt een intieme relatie te bestaan tussen het begrip verzameling en het begrip definitie. In een definitie zeggen we wat onder een bepaald begrip valt. De verzameling van objecten die onder het begrip vallen is de extensie van het begrip.
De definitie van verzameling is reflexief in die zin dat het definieert wat als het ware het objectieve resultaat is van het definieren. Een verzameling is een object: het resultaat van het samenvoegen. Maar zodra we de verzameling als object voorstellen, verliezen we de relatie uit het oog. Alsof de moeder als moeder naast de moeder-relatie met de dochter bestaat! Terwijl die relatie toch juist het moeder-zijn van de moeder uitmaakt. Zo is het ook de element-van-relatie die juist de verzameling uitmaakt. Maar dit begrip, dat een relatie is, wordt geobjectiveerd in de verzameling wanneer deze als object naast de elementen wordt opgevat. Zoals wanneer we oorzaak en gevolg als gescheiden objecten of gebeurtenissen voorstellen. Of zoals we mens en machine tegenover elkaar voorstellen alsof dit zelfstandige werkelijkheden zijn!
Het naieve verzameling begrip geeft het verband tussen een eigenschap en een verzameling.
Bij iedere eigenschap P kunnen we een verzameling denken die precies die elementen bevat die de eigenschap P hebben.
De verzameling is een object, dat als het ware de eigenschap “objectiveert”. De extensie van de eigenschap is de verzameling objecten die onder het begrip vallen; ofwel die de eigenschap hebben.
Russell Paradox
Op grond van dit verband zijn er twee soorten verzamelingen: die zichzelf als element hebben en die zichzelf niet als element hebben. Bertrand Russell bedacht nu de verzameling R van alle verzamelingen die zichzelf niet als element hebben. En vroeg toen: bevat R zichzelf? Het antwoord is lastig te geven. Immers als R zichzelf niet bevat dan wel, maar dan weer niet, etcetera. Je draait voortdurend in het rond: van wel naar niet en weer naar wel.
De verzameling van alle verzamelingen zou een verzameling zijn die zichzelf als element bevat. Dat is echter in strijd met het verzameling begrip waar de elementen niet de verzameling zijn waarvan ze element zijn.
In zijn Einleitung in die Mengenlehre (1923) bespreekt Adolf Fraenkel deze paradox die Russell in 1899 ontdekte en die hem behoorlijk van zijn stuk bracht. Fraenkel stelt dat de paradox niet kenmerkend is voor het verzamelingbegrip. Er zijn, zegt hij, paradoxen die van dezelfde structuur zijn en waarin het begrip verzameling helemaal niet voorkomt.
Hij noemt dan als voorbeeld een paradox die voortkomt uit de definitie van de eigenschap “prädikabel“. Dat is een synoniem voor “autologisch“. Hoe gaat deze paradox.
Twee soorten woorden
Er zijn twee soorten woorden. Woorden die voldoen aan hun eigen betekenis. Zoals: kort, vijf-let-ter-gre-pig, Nederlands, woord. Het woord “woord” is immers zelf een woord. En het woord “kort” is zelf kort. Dit soort woorden heet autologisch. De tweede soort woorden zijn die welke niet voldoen aan hun eigen betekenis. Dat zijn dus de anderen. Bijvoorbeeld: groen, Portugees, zes-let-ter-gre-pig, lidwoord. Een lidwoord is immers zelf geen lidwoord en Portugees is niet een Portugees woord. Deze soort heet heterologisch.
Elk woord is dus hetzij autologisch, hetzij heterologisch. Dus ook het woord heterologisch. Maar van welke soort is het woord heterologisch dan? Stel het woord heterologisch is heterologisch. Dan is het dus autologisch want het voldoet aan zijn eigen betekenis. Maar volgens de betekenis van het woord autologisch zou het moeten voldoen aan zijn eigen betekenis, maar dat doet het niet want het woord betekent heterologisch. Dus is het heterologisch. Het woord is dus heterologisch in zoverre het autologisch is, en autologisch in zoverre het heterologisch is. Dat is een paradox, een merkwaardige tegenspraak.
Dit is de paradox van Grelling, uitgevonden in 1908 door de Duitse wiskundige en taalkundige Kurt Grelling (1886-1942) die probeerde een oplossing te vinden voor de paradox van Russell. De woorden autologisch en heterologisch zijn voor deze paradox bedachte woorden. Het zijn geen normale woorden, zoals klein of IC-bed.
De tegenspraak wijst ons erop dat het woord dat we hebben ingevoerd om een onderscheid te maken tussen twee soorten woorden zich zelf niet laat bepalen als zijnde een van de onderscheiden soorten. De woorden autologisch en heterologisch zijn zelf niet of autologisch of heterologisch. Ze onttrekken zich aan de bepaling die ze zelf definieren.
Fraenkel noemt deze paradox geen wiskundige paradox maar een logische paradox, omdat het wiskundige begrip verzameling er niet in voorkomt. Vanwege de structurele overeenkomst met de paradox van Russell zou ook deze laatste geen wiskundige paradox, maar een logische paradox genoemd moeten worden.
Wat is het verschil? Typisch voor wiskunde is dat het begrippen objectiveert. Wiskunde gaat over gedachte-dingen: getallen, figuren, structuren. Logica gaat over de methode van denken die tot waarheid of inzicht in de werkelijkheid leidt. Aangezien de werkelijkheid meer omvat dan de door de mens gedefinieerde wiskundige objecten is het domein van de logica ruimer dan het redeneren in de wiskunde. We zouden het zo kunnen zeggen dat fundamentele definities, dat zijn definities van fundamentele begrippen, in de wiskunde leiden tot logisch tegenspraken. Zoiets is wiskundig gezien niet toelaatbaar, maar vanuit de logica gezien noodzakelijk. De logisch paradoxen tonen de grens aan van het wiskundige denken; van het stellen; van het definieren dat als specificeren wordt gezien.
Het logicisme probeert de wiskunde te gronden in de logica. Gottlob Frege is de grote initiator van dit project. Hij gaf het project echter op toen Russell hem berichtte over zijn ontdekking van de paradox. Ook het fundament van Freges bouwwerk werd door deze paradox aangetast.
Het fundament
“Yes, we have no foundations.” zei Hilary Putnam. Het zal de wiskundige een zorg zijn. Die beweegt zich binnen een afgebakend gebied zich zelden bewust van het feit dat hij zich op dun ijs begeeft. Als hij of zij zich maar onthoudt van stellige beweringen over zijn of haar eigen werk. De wiskundige laat zich inspireren door de werkelijkheid zoals die in andere disciplines, de fysica, de biologie, de virologie, onderzocht wordt.
Gezien de intieme relatie tussen het begrip definitie en het verzameling begrip is het niet verwonderlijk dat het begrip verzameling een fundamenteel begrip van de wiskunde is. Het definieren, hebben we gezien, is immers het begin van het wiskunde bedrijven.
Als we dat wat we willen uitdrukken gaan identificeren met de uitdrukking zelf, dan blijft ons begrip stil staan bij die uitdrukking, die als zelfstandige begrippen gaan functioneren, los van de bron, het historisch bepaalde inzicht dat zich ontplooit in een veranderende werkelijkheid. In de wiskunde kan dit: het is het theoretisch domein van de hypothetische waarheden, waarin de geldigheid van de stellingen relatief zijn ten opzichte van de voor waar gehouden axioma’s. De praktijk vraagt echter om een voortdurend heroverwegen van de modellen en de specificaties op grond van nieuwe inzichten.
Tot slot
Het waardevolle inzicht is dat de gegeven natuur een eigen waarde heeft die niet opgaat in de structuren en in de functies die deze voor de mens heeft. De waarde van de natuur stijgt uit boven de economische waarden van de natuur zoals deze in de mathematische wetenschappen en de technologie wordt opgevat, als bron van mogelijkheden voor exploitatie. Anders dan in deze wetenschappen wordt voorgesteld, staat de mens niet als een denkende substantie tegenover de natuur, maar is de mens onafscheidelijk onderdeel van de natuur. De mens is natuur.
Het experiment van de hypothetische wetenschap werd gezien als een bevragen van de natuur, waarbij de vragensteller buiten schot blijft. Maar deze manier van communiceren abstraheert juist van het feit dat de vragensteller zelf een betrokken onderdeel is van de natuur. Ik had deze proefopstelling hier en nu ook niet kunnen doen, dan had de natuur op deze verandering op dezelfde manier gereageerd. Dit is een voorwaarde voor het ontdekken van de natuurwetten. Maar hoe vaak kun je het gebruik van deze natuurlijke eigenschappen ongestraft herhalen?
Een ethiek van het rekenen, die in wezen een ethiek van de technologie is, zal van dit inzicht uit moeten gaan: leven is meer dan gegevens verwerken: de acceptatie van wat gegeven is. We moeten ons ontvankelijk opstellen voor wat de tijd ons toevalt.
Inspiratiebronnen
Rieks op den Akker (1983). De zelfstandigheid van automaten en de semantiek van programmeertalen, Intern rapport Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling Wijsbegeerte en Maatschappijwetenschappen (ook als intern rapport verschenen bij de Onderafdeling der Informatica).
Jorge-Soto Andrade, Sebastian Jaramillo-Riveri, C. Gutiérrez & J. Letelier (2011). “Ouroboros avatars: A mathematical exploration of self-reference and metabolic closure.” ECAL (2011).
Dummet, Michael (1975). Wang’s Paradox. Synthese 30 (1975) 301-324.
Fleischhacker, Louk (1974). Inleiding Logica (I en II). Collegediktaat, Technische Hogeschool Twente, Onderafdeling der Wijsbegeerte en Maatschappij-wetenschappen.
Fleischhacker, Louk (1982). Over de grenzen van de kwantiteit. Proefschrift Universiteit van Amsterdam 1982.
Fleischhacker, Louk (1994). Beyond structure: the power and limitations of mathematical thought in common sense, science and philosopphy. Peter Lang Europaischer Verlag der Wissenschaften, Frankfurt am Main, 1995.
Frege, Gottlob (1891), Funktion und Begriff. Vortrag gehalten in der Sitzung vom 9. Januar 1891 der Jenaischen Gesellschaft fur Medizin und Naturwissenschaf (Jena).
Fraenkel, Alfred (1923). Einleitung in die Mengenlehre. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1923.
Hollak, Jan (1986) Afscheidscollege; gehouden op 21 februari 1986. Transcriptie van band opgenomen in de bundel Denken als bestaan: het werk van Jan Hollak, Samenstelling en redaktie: Petra Hollak, Eindredaktie: Wim Platvoet, Uitgeverij DAMON, Budel, 2010.
Stahl, Bernd Carsten; Timmermans, Job en Mittelstadt, Brent Daniek (2016). The Ethics of Computing: A Survey of the Computing-Oriented Literature. ACM Computing Surveys, Vol. 48, No. 4, Article 55, Publication date: February 2016.
Wittgenstein, Ludwig (1921). Logisch-philosophische Abhandlung (Tractatus logico-philosophicus)
