“…wo der Gang zum Brunnen so gut ist wie der Trunk.”
Zo’n driehonderd jaar voor onze jaartelling definieerde Euclides van Alexandrië de rechte lijn.“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.” Velen, zowel filosofen als wiskundigen, hebben zich afgevraagd hoe we Euclides’ ‘raadselachtige definitie’ moeten begrijpen. Wat had Euclides voor ogen? Hij presenteerde in zijn ‘Elementen’ de eerste wiskundige, axiomatische theorie van wat we nu de Euclidische ruimte noemen. Een ruimte waarin door een punt buiten een gegeven lijn precies één lijn gaat parallel aan de gegeven lijn en waarin de som van de hoeken van iedere driehoek precies gelijk is aan twee rechte hoeken. Hij bewees, uitgaande van enkele axioma’s en postulaten, vele meetkundige stellingen. Eén daarvan is de driehoeksongelijkheid, dat in iedere driehoek de som van twee zijden groter is dan de lengte van de derde zijde. Niet iedereen was tevreden met zijn bewijs van deze stelling. Had Euclides geen aannames gedaan die nog bewezen zouden moeten worden? De meeste Grieken, en de meeste wiskundigen na hen, namen echter stilzwijgend aan dat de rechte weg tussen twee punten de enige en de kortste is.
Opmerkelijk is dat Euclides nergens zijn definitie van de rechte lijn gebruikt. In geen enkel bewijs van de vele stellingen. Na hem werd door veel wiskundigen als definitie van de rechte lijn geaccepteerd dat de rechte lijn van A naar B de kortste afstand is tussen A en B. Euclides zegt dat nergens.
Meer dan twee duizend jaar later, om precies te zijn in het jaar 1900, presenteerde David Hilbert op een mathematisch congres in Parijs zijn onder wiskundigen beroemd geworden 23 Problemen. Hiermee stuurde de grote wiskundige zijn collega-wiskundigen de nieuwe eeuw in. Het vierde probleem heeft als titel Het Probleem van de Rechte Lijn als de Kortste Afstand tussen Twee Punten. Hilbert stelde voor het verband tussen de begrippen rechte lijn en kortste afstand te onderzoeken. Hij had uitgaande van een modelruimte van Hermann Minkowski, de uitvinder van de ruimtetijd, een geometrische ruimte ontdekt waarin de stelling van Euclides over de driehoekszijden niet opgaat. Sommige van Hilbert’s 23 problemen lijken inmiddels opgelost, waaronder de eerste over de Continuumhypothese van Cantor. Andere wachten nog op een oplossing. Van een paar problemen wordt de omschrijving die Hilbert gaf als ‘te vaag’ beschouwd. Eén daarvan is probleem 4.
Over Hilbert’s probleem 4 gaan we het hier hebben. We proberen Euclides ‘raadselachtige definitie’ van de rechte lijn te ontraadselen. Naast de meetkundige ruimte kennen we de waarnemingsruimte en de ervaringsruimte. En tenslotte de belevingsruimte. Wiskundigen en natuurkundigen hebben door de eeuwen heen geprobeerd deze ruimtes te mathematiseren door ze in wiskundige modellen te vangen. Lees bijvoorbeeld Our Mathematical Universe waarin de fysicus Max Tegmark betoogt dat wij in een mathematisch universum leven. Einstein gebruikte een niet-euclidische meetkunde voor zijn algemene relativiteitstheorie om het effect van materie op de kromming van de ruimte te beschrijven. In alle na Euclides door wiskundigen ontdekte niet-euclidische meetkundes houdt zijn definitie van de rechte lijn stand. Misschien moeten we naar concretere lijnen en concretere ruimtes dan de abstracte meetkundige lijnen en ruimtes kijken om Euclides’ definitie te begrijpen.
Het eerste, praktische probleem
Wanneer men mij vraagt waar ik woon, dan antwoord ik wel eens: “Ik woon in het zwaartepunt van de driehoek Enschede, Losser, Oldenzaal.”
Zwaartepunt? zie ik de ander denken. Ja, zwaartepunt. Van iedere driehoek gaan de drie zwaartelijnen, dat zijn de lijnen die van de hoekpunten naar het midden van de overstaande zijde lopen, door één punt. Dat is het zwaartepunt. Dat dit zo is werd door Euclides zo’n 300 jaar voor Christus bewezen. Op school leerden we hoe je met passer en lineaal het zwaartepunt van een driehoek kunt construeren. Het papier is de ruimte, een plat vlak, de lineaal een rechte lat om rechte lijnen mee te trekken en de passer gebruikten we om lijnstukken van gelijke lengte te maken. En we leerden dat zo’n constructie géén bewijs is. Als de drie getrokken lijnen niet precies door één punt gingen, dat was nog geen bewijs dat het zwaartepunt niet bestond. We hadden slordig gewerkt! In de wiskundeles oversteeg de waarheid de door ons geconstrueerde waarneembare werkelijkheid.
In de Elementen definieerde Euclides de grondbegrippen punt en lijn en drukte hij zijn intuïtie over de ruimte uit in een aantal postulaten en axioma’s. Zo legde hij de wiskundige ruimte vast. Het was het begin van de axiomatische methode in de wiskunde die zich in zijn tijd trachtte te bevrijden van zowel natuurwetenschap, als de metafysica. Waarheid betreft in de wiskunde niet wat je denkt dat het geval is, of wat je kan waarnemen met je zintuigen, maar wat je kan bewijzen dat het geval is. Wiskunde gaat weliswaar over onze waarneembare ruimte, maar niet áls waarneembaar, zoals Aristoteles het uitdrukte. De wiskundige gebruikt weliswaar tekeningen en tekens (cijfers), maar dat zijn slechts hulpmiddelen voor het denken over de eigenlijke objecten, getallen en structuren.
De wiskundige ruimte is niet de ruimte waarin wij wonen. Enschede, Losser en Oldenzaal zijn in werkelijkheid geen punten en de verbindingswegen zijn geen rechten, zoals in de vlakke meetkundige ruimte. Wij wonen in een ander soort ruimte, de belevingsruimte. En die kent zo haar eigen problemen.
Zowel in Enschede, in Losser als in Oldenzaal bevindt zich een supermarkt. Er valt dus iets te kiezen als we onze boodschappen gaan halen. Dat doen we altijd op de fiets. De boodschappen gaan in onze fietstassen. Soms daar bovenop nog een zak met 10 kilo aardappelen. Wij zijn het erover eens dat de winkel in Oldenzaal verder weg is dan die in Enschede en die in Losser, maar welke van de laatste twee het verste weg is, daarover verschillen we van mening. Ik denk dat Enschede dichterbij is; mijn vrouw denkt Losser. We zochten het op met Google-maps. Die geeft de afstanden van de fietsroutes: Losser 5.2, Enschede 5.4 kilometer. “Ha, zie je wel”, zegt ze. Enschede is verder. Klopt niet, zeg ik. Kijk naar de route die Google je naar Enschede laat fietsen. Da’s een heel eind om! Inderdaad, de weg die we naar de supermarkt in Enschede fietsen staat wel op de kaart, maar om onverklaarbare redenen neemt Google die niet als aanbevolen route. Zou hij dat wel doen, dan is Enschede misschien wel dichterbij dan Losser. “Maar voor mijn gevoel is Losser dichterbij”, zegt ze, “het is gewoon leuker fietsen.” Maar als het hard waait niet, zeg ik.
Google leeft in een ruimte die niet de onze is. We willen een app die niet de meetkundige afstand berekent tussen twee plaatsen, maar de belevingsafstand. De weerman geeft tegenwoordig toch ook niet alleen de verwachte ‘objectieve’ temperatuur, maar ook de ‘gevoelstemperatuur’. Bij het bepalen van de gevoelstemperatuur wordt rekening gehouden met de windsterkte en de vochtigheid. Zo willen wij een app die de afstand van ons huis tot de supermarkt – of welke bestemming dan ook – berekent, niet hemelsbreed, alsof we in een mathematisch universum leven, maar rekening houdend met de wind, met de toestand van de wegen – is het een zandpad of asfalt – , met de beschutting tegen de wind, door huizen of bomen, en natuurlijk met hoogteverschillen. Losser en Oldenzaal liggen hoger, terwijl Enschede lager ligt dan ons huis, en je kunt beter met lege fietstassen naar boven fietsen en met volle weer terug, dan andersom. De door ons bedachte app moet ‘de kortste weg’ geven volgens de ‘belevingsafstanden’ tussen de punten van de route. De app berekent een ‘geodeet’ door de fysieke afstand te transformeren naar een subjectieve metrische ruimte en het klassieke kortste-pad-algoritme (Dijkstra of A*) toe te passen. “Wat kost dat niet aan energie, zo’n app, met al die data die opgehaald moet worden?” Vraagt mijn vrouw. “Het is maar een idee”, zeg ik. We zoeken onze weg wel zonder app.
Het probleem van de waarneming
Stijfheid komt met de jaren. Achteromkijken wordt lastig. Om de kans te verkleinen dat wij met onze volle fietstassen worden overreden door voortjakkerende landbouwvoertuigen, auto’s of e-bikes, besloten we achteruitkijkspiegels op onze fietsen te monteren. Dat is even wennen, want die dingen doen iets met de afstand. Het is me al een paar keer opgevallen dat ik wordt ingehaald door een auto die ik van te voren wel gezien had, maar nog niet verwacht. Had ik de afstand, of de snelheid van de auto verkeerd ingeschat? In de waarnemingsruimte zijn afstanden en snelheden niet wat ze lijken. Zo lijkt de maan die laag aan de horizon staat veel groter dan wanneer hij hoog aan de hemel staat. Spoorrails lopen niet parallel en de afstand tussen de bomen langs het fietspad lijkt groter te worden naarmate we er dichter bij komen. De rechte hoeken van het plafond lijken groter of kleiner dan wat ze ‘in werkelijkheid’ zijn. Lengte en grootte zijn relatieve begrippen. Een kleine olifant is veel groter dan een grote muis. Wat recht is in de euclidische ruimte is dat niet in de waarnemingsruimte.
Het derde probleem
Is de rechte lijn de kortste verbinding tussen twee punten? Maar, wat verstaan we onder een ‘rechte lijn’? En wat betreft de term ‘kort’. Deze roept de vraag op hoe we de lengte van iets meten en ten opzichte waarvan. Euclides begint zijn Elementen met de definities van de grondbegrippen.
Een punt is volgens Euclides “dat wat geen delen heeft“. Een lijn is “een lengte zonder breedte“, en “De uiteinden van een lijn zijn punten“. En dan:
“Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.”
Een ‘raadselachtige’ formulering. Geldt het niet voor iedere lijn dat die samenvalt met de punten die erop liggen? De oorspronkelijk Griekse formulering is:
Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται.
(Eftheía grammí estin, ítis ex ísou toís ef᾿ eaftís simeíois keítai)
Door Sir Thomas L. Heath, de autoriteit op het gebied van de geschiedenis van de Griekse wiskunde, vertaald als: A straight-line is (any) one which lies evenly with points on itself.
Het Griekse εὐθεῖα vertaald als ‘recht’, heeft behalve de meetkundige betekenis, ook een normatieve betekenis, zoals in ‘het rechte pad’ en in ‘rechtspraak’. Rechtvaardigheid is handelen “langs de rechte lijn”. Een rechte lijn is een goede lijn.
Euclides was niet de eerste die zich aan een definitie van punt, lijn en rechte lijn waagde. Plato was hem voorgegaan. De volgende definitie van de rechte lijn is overgeleverd via Aristoteles.
“Een rechte lijn is dat waarvan het midden de uiteinden bedekt.”
(τὸ τὸ μέσον τὰ ἄκρα κρύπτει)
Aristoteles schrijft deze formulering expliciet toe aan Plato. Heath merkt hierover op: “This definition is ingenious, but implicitly appeals to the sense of sight and involves the postulate that the line of sight is straight.“ En dat geldt ook voor latere definities die gebaseerd lijken op die van Plato. Zoals die van Dijksterhuis en die van Henri Poincaré. Wanneer de timmerman wil weten of een lat recht is houdt hij de lat zodanig dat beide uiteindes voor zijn oog in het zicht samenvallen en draait vervolgens de lat een beetje.
Euclides bedreef wiskunde en wilde geen gebruik maken van eigenschappen van de waarneembare werkelijkheid, zoals de zichtlijn. Dat licht langs een rechte lijn gaat was hem bekend, maar dat wilde hij niet gebruiken om te bepalen wat recht is. Het veronderstelt wat recht is, zodat zo’n definitie circulair zou zijn. Bovendien weten we inmiddels dat het licht helemaal niet langs een rechte lijn voortgaat. De aantrekkingskracht van de materie doet het licht afbuigen.
Het idee dat een rechte lijn de “kortste weg” is, lijkt vanzelfsprekend te zijn geweest voor Griekse wiskundigen en filosofen. Het werd gebruikt zonder expliciete definitie of bewijs. Aristoteles zegt expliciet dat de rechte lijn de kortste is tussen twee punten (o.a. in Physica). Voor hem is dit geen stelling die bewezen moet worden, maar iets dat zo evident is dat het als uitgangspunt dient.
Uit het feit dat Euclides in geen enkel bewijs in de Elementen direct gebruik maakt van zijn definitie van de rechte lijn, – Proclus merkte dit al op -, mogen we opmaken dat voor hem definities geen definities zijn in de moderne logische zin, maar bedoeld als verhelderende beschrijvingen. Niet de definities, maar de axioma’s en postulaten vormen de basis voor bewijzen van theorema’s.
Euclides’ definitie van de rechte lijn past in het Aristotelische denken. Het gaat hem niet om de kortste afstand, maar om innerlijke consistentie, om niet-afwijkend zijn. We zouden kunnen zeggen dat een rechte lijn die lijn is, waarvan elk punt ervan even noodzakelijk is voor het geheel. Euclides lijkt geen externe maat op te willen leggen aan de lijn waarmee deze gemeten wordt. Iedere lijn is zijn eigen maat, zou je kunnen zeggen. Anderzijds luidt een Euclidisch postulaat dat tussen twee punten precies één rechte lijn getrokken kan worden. Ook bewees hij de stelling die zegt dat in iedere driehoek de som van de lengtes van twee zijden groter is dan de derde zijde. Dat betekent, bijvoorbeeld, dat de afstand van Enschede rechtstreeks naar Losser korter is dan die van Enschede via Oldenzaal naar Losser. Het lijkt zo triviaal. Maar toch…
De vraag naar de relatie tussen de rechte lijn en de kortste afstand bleef knagen. Is de rechte lijn nou de kortste of is de kortste de rechte?
Het vierde probleem van Hilbert
De wiskundige David Hilbert was niet overtuigd door Euclides’ bewijs van de driehoeksongelijkheid. Euclides had stilzwijgend aangenomen dat je een driehoek zomaar in de ruimte kon verplaatsen, vergroten of verkleinen zonder de verhoudingen van de lengtes van de zijden te veranderen (dit betreft de stellingen over de congruentie van driehoeken). Hilbert startte minitieus onderzoek naar de logische samenhang tussen de verschillende axioma’s, postulaten en meetkundige stellingen. Met andere woorden: onder welke voorwaarden is een bepaalde stelling geldig, dat wil zeggen: bewijsbaar waar. In 1900 presenteerde Hilbert zijn beroemd geworden 23 Problemen. Probleem 4 vraagt naar de grondbegrippen rechte lijn en kortste afstand.
“De stelling van de rechte lijn als de kortste afstand tussen twee punten en de in wezen equivalente stelling van Euclides over de zijden van een driehoek spelen een belangrijke rol, niet alleen in de getaltheorie, maar ook in de theorie van oppervlakken en in de variatierekening. Om deze reden, en omdat ik geloof dat het grondige onderzoek naar de voorwaarden voor de geldigheid van deze stelling een nieuw licht zal werpen op het idee van afstand, evenals op andere elementaire ideeën, bijvoorbeeld op het idee van het vlak en de mogelijkheid om het te definiëren door middel van het idee van de rechte lijn, lijkt de constructie en systematische behandeling van de hier mogelijke meetkundes mij wenselijk.”
Hilbert had een nieuwe meetkundige ruimte ontdekt waarin Euclides driehoeksongelijkheid niet opgaat. In zijn nieuwe niet-euclidische ruimte bestaan paren punten waartussen niet één enkel, maar talloze even lange paden bestaan. Alsof de route die van Enschede naar Oldenzaal via Losser even lang is als de route rechtstreeks van Enschede naar Oldenzaal. Hoe kreeg Hilbert dat voor elkaar?
Hierboven merkten we al op dat afstanden en groottes in de waarnemingsruimte anders zijn dan in de meetkunde van Euclides. Zo lijken objecten kleiner wanneer we ze in een grote ruimte zien, dan wanneer we ze in een ruimte zien waarin ze net passen. En dat fenomeen werd door Hilbert als het ware wiskundig gesimuleerd door een slim bedachte afstandsmaat te definiëren die precies dat doet. De lengte van een rechte tussen twee punten in zijn begrensde (‘overal niet-concave’) ruimte hangt af van de relatieve posities van die punten ten opzichte van de grenzen van die ruimte. Ik vermijd wiskunde, maar neem hieronder ter illustratie van zijn idee een figuur over uit zijn artikel “Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte” (gepubliceerd in 1895 in den Mathematischen Annalen, Band 46, S. 91–96).
In de Figuur is de lengte van het lijnstuk AB gemeten met Hilbert’s afstandsmaat afhankelijk van de ruimte waarin deze beschouwd wordt. Wanneer X en Y de grenzen zijn van de lijn door AB met de ruimte dan is de lengte van lijnstuk AB korter dan wanneer X’ en Y’ de grenzen zijn. Dus hoe kleiner de ruimte des te groter is de lengte van het lijnstuk AB. De lengte is dus relatief net als in onze waarnemingsruimte. Omdat de afstandsmaat niet in alle richtingen van de ruimte – in de figuur aangegeven door de gesloten kromme – hetzelfde gedrag vertoont, is het mogelijk dat in driehoek ABC de lengte van AB gelijk is aan de som van de lengtes van AC en BC. Daaruit volgt – anders dan in de ruimte van Euclides – dat er meerdere kortste paden van A naar B zijn. Het is dus wel degelijk mogelijk dat onder bepaalde condities de weg van Oldenzaal naar Enschede via Losser helemaal niet langer is dan de weg die rechtstreeks van Oldenzaal naar Losser gaat. Dat opent een nieuw perspectief: een kronkelpad kan ook het kortste pad zijn. Maar wanneer is zo’n kortste kronkelpad ook het rechte pad?
Een curriculum probleem
“Wat is de kortste weg van A naar B, als je niet weet wat B is of waar het ligt?” Deze vraag las ik op de achterkant van een essaybundel van de bekende Nederlandse fysicus en schrijver Robbert Dijkgraaf. De bundel (uit 2012) heeft de paradoxale titel “Het nut van nutteloos onderzoek”. Uiteindelijk moet ‘alles toch nuttig zijn’, volgens de filosoof Hegel dé leus van de Verlichting. Dijkgraaf wijst op het belang van ‘schijnbaar nutteloos onderzoek’ om tegenwicht te bieden tegen de heersende opvatting volgens welke er concrete praktische toepassingen moeten worden aangegeven om ‘fundamenteel’ onderzoek gefinancierd te krijgen.
Dijkgraaf werd minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen in het kabinet Rutte IV. In die hoedanigheid zette hij zich in voor een herwaardering van het middelbaar beroepsonderwijs. In een nota aan de Tweede Kamer pleitte hij voor meer keuzeruimte in het curriculum van de aankomende student. “Want iedere student moet de ruimte hebben om zijn eigen weg te vinden. Om het kronkelpaadje af te lopen dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn.” Zo schreef hij aan de Kamer.
Ook de persoonlijke levenslijn is een lijn. Een lijn die hoe kronkelig deze ook mag lijken vanuit een bepaald perspectief, vanuit een ander perspectief de kortste kan zijn, en daarmee de enige rechte lijn, de lijn die samenvalt met alle keuzemomenten van het persoonlijke leven die van beslissende betekenis zijn geweest voor het bereiken van de uiteindelijke bestemming, de vorming van de persoonlijke identiteit. Een bestemming die niet van te voren al vast lag, maar die inhoudelijk door de gemaakte keuzes bepaald is. Elk van de momenten zijn noodzakelijk voor de levenslijn die geleid heeft tot het uiteindelijke eindpunt. Dat een fysicus, gepokt en gemazeld in de deeltjesfysica, met zo’n metafoor komt is niet toevallig. Ook van een individueel lichtdeeltje in de fysica kun je niet weten of deze door het spiegelende ruit gaat of teruggekaatst gaat worden. Dat is pas achteraf te bepalen.
Wat motiveerde Euclides raadselachtige definitie?
Sir Thomas Heath over het motief dat Euclides tot zijn definitie bewoog:
“Er is reden om aan te nemen, hoewel het ons niet expliciet wordt verteld, dat de definitie van een lijn als een ‘breedteloze lengte’ zijn oorsprong vindt in de Platonische school, en Plato zelf geeft een definitie van een rechte lijn als ‘dat waarvan het midden de uiteinden bedekt’ (Parmenides 137E) (d.w.z. voor een oog dat aan een van de uiteinden is geplaatst en langs de rechte lijn kijkt); dit lijkt mij de oorsprong te zijn van de Euclidische definitie ‘een lijn die gelijkmatig ligt met het punt erop’, wat volgens mij slechts een poging kan zijn om de betekenis van Plato’s definitie uit te drukken in termen waartegen een meetkundige geen bezwaar zou kunnen maken als zijnde buiten het onderwerp van de meetkunde, d.w.z. in termen die elk beroep op het gezichtsvermogen uitsluiten.” (Heath, 1921, deel I, p. 293)
Er is nog een andere, meer positieve, reden die Euclides ertoe heeft kunnen bewegen tot zijn definitie. Meten is vergelijken. Meten veronderstelt een maateenheid, die van dezelfde soort is als dat wat er mee gemeten wordt. Zo wordt een lengte gemeten met een lengte, een oppervlak met een oppervlak. In het algemeen een aantal met een eenheid. Euclides zag zich voor een probleem gesteld toen hij een definitie wilde geven van de rechte lijn. Waarmee, met welk bekend begrip, moest hij de rechte vergelijken? Wanneer we een rechte lijn willen trekken gebruiken we een lineaal. Daarbij gaan we ervanuit dat deze recht is. Maar iets rechts had Euclides niet voor handen. In zijn tijd werden lengtes al gemeten door een bepaalde lengte als maateenheid te nemen (bijvoorbeeld een voetlengte) en dan te kijken hoe vaak deze lengte past in de te meten afstand. Men nam aan dat de lengte die als maateenheid genomen werd recht was. Maar dat was de praktijk. Euclides bedreef theorie, wiskunde, en die moest de praktijk juist funderen, niet andersom.
Bij gebrek aan een bekende externe maat nam hij zijn toevlucht tot een interne maat. Omdat een lijn bepaald wordt door de punten die erop liggen is de enige interne maat voor rechtheid van de lijn dat er geen andere punten en niet minder punten op liggen dan de punten van de lijn zelf. Dijkgraaf bedoelde met zijn kortste kronkelpad aan te geven dat hij idealiter geen externe maat wilde opleggen aan het curriculum, noch aan het eindpunt van de studie van de student. Die moet zijn eigen keuzeruimte hebben.
Een lijn is zowel een eenheid als een veelheid van punten, de punten die op de lijn liggen. Euclides definitie van de rechte lijn drukt de identiteit van deze twee uit: de gelijkheid van de lijn als eenheid en als veelheid van punten die erop liggen. De verhouding tussen eenheid en veelheid vormde ook in de tijd van de Grieken een filosofisch probleem en de grens tussen wiskunde en filosofie was in de tijd van Euclides een onderwerp van discussie. Het verhaal gaat dat toen in het Athene van de vierde eeuw voor Christus werd aangekondigd dat Plato in de Akademie een voordracht zou houden over ‘het Goede’, het publiek verwachtte iets te horen over rijkdom, gezondheid en geluk. De teleurstelling was groot toen bleek dat het over getallen, meetkunde en astronomie ging. Het motto van Plato’s voordracht was: ‘Het goede is één.’ Het goede leven voltrekt zich langs een rechte lijn, een lijn waarvoor geldt dat alle momenten noodzakelijk zijn voor juist dit leven. De rechte levenslijn is tevens de kortste in die zin dat er geen momenten zijn die niet noodzakelijk deel uitmaken van de levenslijn.
De lijn als verzameling
Euclides definitie van de rechte lijn als een eenheid van de veelheid van punten die erop liggen, doet denken aan het wiskundig verzamelingbegrip, een basisbegrip waarop de hele wiskunde kan worden opgebouwd. Bekend is de uitspraak van Hilbert.
Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können. (David Hilbert, 1926).
Georg Cantor (1845-1918) geldt als de grondlegger van de verzamelingenleer. In de 19de eeuw zocht de wiskunde naar een nieuw fundament. De ontdekking van niet-euclidische meetkundes (door o.a. Bolyai, Lobatsjewski en Gauss) had de intuitieve waarheid van de natuur als fundament onder de wiskunde weggeslagen. Cantor wilde de wiskunde baseren op het “logische” begrip verzameling.
Cantors definitie luidt in het Nederlands:
Een verzameling is een samenraapsel M van bepaalde goed onderscheiden objecten van onze aanschouwing of ons denken (die we de elementen van M zullen noemen) tot een geheel.
Het is een definitie waarin het woord ‘Zusammenfassung’ (dat ik als ‘samenraapsel’ vertaal) gebruikt wordt om het begrip verzameling te definieren. Dat helpt niet echt zou je zeggen: een begrip definieren door middel van een begrip dat al net zo vaag is. Maar het is wel duidelijk dat de verzameling het resultaat is van een mentale actie die vooraf gegeven objecten bij elkaar neemt. Wie een definitie geeft van een nieuw begrip moet dan doen in termen van reeds bekende begrippen. Een koe is een zoogdier met die en die specifieke eigenschappen. Maar hoe definieer je een begrip dat niet als een nadere bepaling van een generieker begrip kan worden gezien? Het wiskundig begrip verzameling, zoals Cantor dat definieerde, is niet wat we in het dagelijks taalgebruik met het woord ‘verzameling’ aanduiden ook al heeft het er wel wat van. Hij kon dus niet zomaar aannemen dat iedereen wel wist wat een ‘Menge’ is. Cantor dacht dat hij getallen met behulp van het verzamelingbegrip kon definiëren.
Met een definitie wordt bepaald welke zaken daaronder vallen. Cantor’s definitie van de verzameling (‘Menge’) is in die zin reflexief. De verzameling wordt gedefinieerd als iets dat bepaald is door wat er element van is. En dat is precies wat een definitie doet: iets, een nieuw begrip een naam geven en zeggen wat er onder valt. Je kunt zeggen dat de betekenis van het woord ‘spel’ alles omvat wat we spel noemen. In het gebruik van het woord toont zich het begrip. Zo kunnen we een nieuw spel, herkennen als spel. Het verschil tussen een definitie in de wiskunde en die van dagelijkse begrippen, zoals spel, is dat de eerste creatief is: ze definieert iets nieuws, de laatste niet, die probeert uit te drukken wat er al in een bepaalde historische context onder het woord verstaan wordt. Het is verwarrend dat de wetenschapper vaak een bekend woord gebruikt voor een nieuw begrip. Goethe merkte eens op dat het daarom niet goed mogelijk was met wiskundigen te praten. Ze maken van alles waarover je het met ze wilt praten meteen iets anders.
Net als de rechte van Euclides is de verzameling zowel een eenheid als een veelheid. De vele elementen zitten in de verzameling. Die eenheid is van buiten af opgelegd aan de elementen, er is niets wat ze als elementen van de verzameling bindt. De elementen hebben niets gemeenschappelijks behalve element van de verzameling te zijn.
Hilbert beschouwde in zijn nieuwe axiomatische theorieën een lijn als een verzameling van punten, de punten die op de lijn liggen. Dat een lijn niet opgebouwd is uit punten, dat had ook Aristoteles al opgemerkt: een punt heeft immers geen lengte. Niet iedere verzameling punten is een lijn. Daarom begint Hilbert met een aantal axioma’s die de interne ordening van de elementen van de lijn (de punten) afdwingen. Ze moeten de onderlinge ligging van punten die incident zijn met de lijn vastleggen. Bovendien moeten er ‘genoeg’ punten zijn op een lijn. Maar een definitie van een rechte lijn geeft Hilbert niet. Net als bij Euclides blijft het een intuïtieve notie. Hilbert gebruikt het Duitse woord ‘Gerade’ wat een rechte (lijn) betekent. Je zou kunnen stellen dat niet-rechte lijnen niet voorkomen. (Behalve dan cirkels.) De eigenschappen van de (rechte) lijn wordt vastgelegd door axioma’s die de relaties met punten, andere lijnen, en vlakken aangeven. Hilbert had in tegenstelling tot Euclides niet de behoefte nog eens met een definitie van de rechte lijn aan te komen. De constructie van euclidische modellen van niet-euclidische axioma-stelsels maakte dat sommigen van mening waren dat een niet-euclidische rechte geen echte rechte, maar een schijn-rechte is.
Er heeft zich in de tussenliggende periode van 2000 jaar een grens afgetekend tussen het domein van de wiskunde en dat van de filosofie. De identiteit van punt en lijn wordt volledig bepaald door de relaties die ze met andere elementen in de ruimte hebben. Je zou kunnen zeggen dat het wezen van wiskundige objecten buiten hun zelf ligt, in de relaties tot andere objecten. De wiskunde gaat tegenwoordig over structuren, die als zelfstandige objecten worden opgevat.
Wat voor de wiskundige begrippen geldt, geldt ook voor de objecten die instanties zijn van de begrippen, namelijk dat hun bepaaldheid buiten hun zelf ligt in de relaties met andere begrippen en objecten, de structuur, waarin ze voorkomen. De bewustwording hiervan voltrekt zich met de overgang van mathematica naar meta-mathematica. Hilbert’s werk behoort tot de meta-mathematica, het onderzoek naar de relaties tussen begrippen uitgedrukt in een axiomatische mathematische theorie. Probleem 4 is een meta-mathematische vraag.
De relatie tussen kortste weg en rechte lijn is in de loop van de geschiedenis omgedraaid. De vraag is nu: welke kromme heeft de kleinste afstand tussen twee punten? In het algemeen welke functie levert een maximum of minumum gegeven een bepaalde maat, waarbij de ‘metafysische’ aanname is dat zo’n functie bestaat. De continuiteit van de metrische lijn wordt de wiskundige functie in het algemeen. Hilbert vraagt naar theorieën waarin je de kortste weg kan berekenen, volgens een bepaalde maat-definitie. Die maat kan de hoeveelheid energie zijn die het kost om langs een pad te reizen. Die kortste weg is de rechte weg. Waarbij wat recht is bepaald wordt door ‘de natuur’ van de zaak.
Zodra een lijn als verzameling van punten wordt gepresenteerd is de voor de hand liggende vraag: hoeveel punten liggen er dan op een lijn? Zijn het er net zoveel als er natuurlijke getallen zijn? Of meer? Net zoveel als er reële getallen zijn? Ten tijde van Euclides bestonden deze getallen nog niet. Er waren alleen natuurlijke getallen, en rationale verhoudingen van natuurlijke getallen. De rechte lijn L is echter oneindig veel rijker aan ‘punt-individuen’ dan het gebied R van de rationale getallen. Ook de irrationale lengte, zoals de lengte van de diagonaal van een vierkant, moet een bepaalde plaats op de lijn krijgen. “Wil men nu, wat toch de wens is, alle verschijnselen in de rechte lijn ook rekenkundig kunnen volgen, dan zijn daarvoor de rationale getallen niet voldoende, en het is daarom absoluut noodzakelijk, het instrument R, dat door de schepping van de rationale getallen geconstrueerd was, wezenlijk te verfijnen door de schepping van nieuwe getallen op een zodanige manier, dat het gebied van de getallen dezelfde volledigheid of, zoals we meteen willen zeggen, dezelfde continu¨ıteit krijgt als de rechte lijn.” stelde Dedekind in een voordracht getiteld “Continuïteit en rationale getallen” (1872). Hij definieerde zijn reële getallen op basis van de meetkundige lijn, de Dedekind-sneden.
De vraag hoeveel punten er op een rechte liggen werd een wiskundig probleem vanaf het moment dat de wiskundigen verschillende oneindigheden onderscheiden of ontdekt hadden.
Georg Cantor introduceerde oneindige (‘transfiniete’) verzamelingen van verschillende groottes (kardinaliteiten) tot afschuw van veel van zijn tijdgenoten. Hun bestaan was hem echter door God ingegeven, dus moest hij ze wel aanvaarden. Hij bewees dat er echt meer reële getallen zijn dan natuurlijke getallen. De verzameling van reële getallen is van een andere ordegrootte (kardinaliteit) dan die van de natuurlijke getallen. Cantor vroeg of er een oneindige grootheid tussen die twee grootheden, de natuurlijke getallen en de reële getallen zit: groter dan de verzameling met getallen 1,2,3,.. en kleiner dan de verzameling reële getallen. Die vraag werd Hilbert’s eerste van de 23 problemen. Het probleem van de continuümhypothese. Het duurde zo’n 60 jaar voordat bewezen werd dat het niet uit de standaard axioma’s van de verzamelingenleer volgt hoeveel punten er op een lijn liggen.
Deus sive Natura: wat de Natuur doet is recht
Bij de natuurkundeles leerden we dat het volume van materie verandert onder invloed van temperatuurverandering. Zo verandert de lengte van een metalen staaf wanneer deze verhit wordt. De spoorwegen hebben daar soms last van. Bij de praktikumles was de opdracht het soort metaal waaruit een gegeven staaf bestaat, te determineren door een eigenschap van de soort te bepalen, een constante, de zogenaamde uitzettingscoëfficiënt, de verhouding tussen de verandering van lengte bij een verandering van temperatuur. Op ruitjespapier tekenden we een x-as voor de temperatuur en een y-as daar loodrecht op, voor de lengte van de staaf. We legden daarop verschillende meetpunten vast door bij een aantal temperaturen de lengte van de staaf te meten. Zo konden we de uitzettingscoëfficient berekenen door eerst een rechte lijn te trekken die het beste paste bij de verzamelde meetpunten. Geen hoekige lijn want “de natuur maakt geen sprongen’. Daarna werd de hoek met de x-as gemeten. De grootte van deze hoek was de maat voor de gezochte coëfficiënt. Aan de hand van een tabel waarin de verschillende metalen met hun uitzettingscoëfficiënt staan, konden we aflezen welke de soort metaal was waarvan onze staaf gemaakt was. De aanname hierbij is dat zo’n constante van de soort stof bestaat. Die bestaat want, ‘de Natuur beweegt zich langs een rechte lijn’. Daaruit volgde onmiddellijk de opdracht om door de meetpunten een rechte lijn te trekken. Dit is de lijn waarop alle punten liggen, waarvan aangenomen werd dat het punten van de lijn zijn! Ook al lagen sommige punten niet precies op een lijn. Kleine afwijkingen tussen de lijn en de punten werden toegeschreven aan ‘meetfouten’.
Toen bleek dat het licht niet altijd langs een rechte lijn van A naar B gaat, zoals Archimedes vaststelde, maar soms afbuigt, werd er geopperd om niet de lengte van de afgelegde weg, maar de tijd die het licht erover deed, als maat aan te nemen. Op het grensvlak van water en lucht buigt het licht af. Het volgt niet de kortste weg. Maar misschien was het wel de snelste weg, de kortste in tijd. Pierre de Fermat (1601-1665) stelde dat de Natuur werkt op de snelste en simpelste manier en dat is niet noodzakelijk langs het kortste pad.
Johan Bernouilli (1667-1748) formuleerde het volgende probleem:
Gegeven twee punten A en B in een verticaal vlak, vindt het pad AMB dat het bewegende deeltje M zal doorlopen in de kortste tijd, ervan uitgaande dat de versnelling alleen door de gravitatiekracht wordt veroorzaakt.
Het pad dat de Natuur in dit geval volgt blijkt niet een rechte lijn te zijn, maar een kromme die bekend staat als de brachistochrone, een wiskundige kromme.
De Natuur kiest, van nature, de rechte weg en dat is de kortste weg. En de kortste is de rechte. Wat veranderde, afhankelijk van het natuurverschijnsel, was de maat volgens welke de werking van de natuur gemeten werd.
De mathematische fysica is hypothetisch. Ze neemt aan dat er kwantitatieve verbanden tussen de grootheden van een systeem bestaan, die in de vorm van mathematische functies kunnen worden beschreven. De natuurwetten vinden hun fundament in een aantal principes waaraan de Natuur zich houdt. Eén van die principes werd door de wiskundige Maupertius (1698-1759) als volgt geformuleerd. Het is het principe van de minste hoeveelheid actie.
De natuur zal in het voortbrengen van haar verschijnselen altijd handelen door middel van de meeste simpele activiteit. (“la Nature dans les production de ses effets, agit toujours par les moyes le plus simples.”) Voor Maupertius was het een theologisch principe, uitdrukking van de werking en motieven van de Schepper (Créateur du Monde). Euler was de wiskundige die het principe als het ware wiskundig uitwerkte. Volgens Euler volgen de verschijnselen van de Natuur wetten die ertoe leidden dat zekere eigenschappen bepaalde maxima of minima bereiken. Welke die eigenschappen zijn (lengte, tijd, actie) dat moest onderzocht worden. Het is het begin van de calculus van variaties.
In zijn motivatie om probleem 4 op te nemen in zijn lijst van 23 problemen wijst Hilbert op het belang voor deze variatierekening. Dit is een onderdeel van de wiskundige analyse waarbij door middel van kleine variaties in de waarden van variabele grootheden die het gedrag van een systeem bepalen, zoals de windsnelheid of de zwaartekracht, gezocht wordt naar maximale of minimale waarden van andere grootheden, bijvoorbeeld de minimale hoeveelheid energie die het kost om van A naar B te komen. De variatietheorie begint dus met een kostfunctie en zoekt naar een pad (een kromme, of functie, die bij elke tijdstip een plaats vastlegt) dat de kosten minimaliseert. Ze gaat daarbij uit van het bestaan van oneindig kleine grootheden waarmee gerekend kan worden (integraalrekening). Zowel de oneindige grote als de oneindig kleine grootheden waren ten tijde van Euclides ondenkbaar. Men wist wel dat er bij elk getal hoe groot ook een getal bestaat dat groter is, maar het grootste getal of een geheel van oneindig veel getallen was onbestaandbaar. Ook een lijn kon wel onbeperkt worden doorgetrokken, maar niet ‘tot in het oneindige’, omdat dat niet bestond.
Hilbert’s probleem 4 dat door sommigen als te vaag en daarom als onoplosbaar wordt beschouwd, heeft anderen tot nieuw onderzoek in de variatiecalculus aangezet. De rechte weg (geodeet) naar de supermarkt kan door variatieanalyse worden gevonden als ‘de kortste’. Maar het is aan ons te bepalen welke eigenschappen de kortste weg de kortste en daarmee de rechte maken. De gebruiker van onze belevingsapp zal zelf moeten aangeven in welke mate de verschillende factoren, wind, hoogteverschil, omgeving, een rol spelen bij de beleving van de afstand naar de beoogde bestemming. Als het om een bekende bestemming gaat en we kennen de verschillende routes ernaar toe, dan is dat misschien mogelijk. Maar weet je van te voren wat je allemaal tegen kunt komen onderweg, dingen die van invloed zijn op hoe je ze beleeft? Is het niet juist het verrassende en onverwachte dat de kwaliteit van de ervaring uitmaakt? Net zoals we het curriculum voor de student niet zouden moeten vastleggen zo zouden we ons ook de vrijheid moeten geven langs nog onbekende kronkelpaadjes te gaan om achteraf tot de conclusie te komen dat we het rechte pad zijn gegaan.
Samenvatting en Conclusies
Onze speurtocht begon met de verwondering over de ‘raadselachtige definitie’ (de kwalificatie is van de psychiater J.H. van den Berg, Metabletica) die Euclides van Alexandrië ongeveer drie eeuwen voor onze jaartelling in zijn Elementen geeft van de rechte lijn. “Een rechte lijn is een lijn die gelijk ligt met de punten erop.” Hoe moeten we deze omschrijving begrijpen in het licht van de Griekse wetenschap? We ontdekten dat er goede redenen zijn voor het vermoeden dat Euclides’ rechte lijn in deze definitie nog niet die ‘zuiver meetkundige’, maar ook een veel algemenere betekenis heeft, die geassocieerd is met het goede en het ene. Wat recht is, is goed en wat goed is, is één. Daarbij speelt een belangrijke rol het besef dat Euclides leefde in een tijd waarin de wiskunde zich enerzijds van de filosofie, anderzijds van de fysica begon te bevrijden/onderscheiden en zich als een zelfstandige wetenschap, met een eigen objectgebied begon te ontwikkelen. Euclides heeft met zijn axiomatische aanpak aan deze ontwikkeling een belangrijke bijdrage geleverd. Zijn definities van punt en lijn lijken vooral bedoeld aan te geven dat het hier geen fysische objecten betreft. Zijn definitie van de rechte lijn is filosofisch, niet bruikbaar in wiskundige zin.
De opmerking van de fysicus en voormalig minister van OCW Robbert Dijkgraaf over het kronkelige pad dat achteraf de kortste weg naar de bestemming blijkt te zijn, sprekend over de keuzes en de keuzeruimte die de studie de student biedt, triggerde de vraag naar de relatie tussen de rechte lijn tussen twee punten en de kortste afstand. Het leek niet alleen mij een waarheid als een koe dat de rechte lijn de kortste is. Ook de commentatoren van Euclides waren die waarheid toegedaan. Euclides driehoeksongelijkheid dat in iedere driehoek de som van twee zijden langer is dan de derde zijde hield men voor een bewezen stelling. Wanneer het pad van A naar B recht is dan is de lengte de kortste afstand tussen beide punten. Dit is echter alleen geldig gegeven in een bepaalde ruimte met een bepaalde metriek. Dat bleef echter aanvankelijk implicieit, onbewust.
Twee ontwikkelingen in de relatie tussen wiskunde en fysica leiden tot een radicale omkering in de relatie tussen het rechte en de kortste. Het onderzoek naar de onafhankelijkheid van het parallellenpostulaat: door een punt buiten een gegeven rechte gaat precies één rechte parallel aan de gegeven rechte, leidde tot de constructie van alternatieve niet-euclidische ruimtes, waarin er hetzij geen, hetzij een onbepaald groot aantal evenwijdige lijnen door een punt parallel aan een gegeven lijn gaan. Hilbert’s meta-mathematisch onderzoek betreft de logische relatie tussen ruimte en metriek. Wat zijn de voorwaarden voor het bestaan van een kortste weg? Een andere ontwikkeling kwam voort uit het experimenteel onderzoek in de fysica en de aanname dat verbanden tussen grootheden in de natuur zich laten beschrijven door middel van wiskundige functies. De Natuur werd beschouwd als de rechter die bepaalt wat recht is. De Natuur streeft in haar werking bepaalde eigenschappen te minimaliseren of maximaliseren om in bereikte maxima of minima rust te vinden. Het ging er nu om te bepalen wat de geschikte maat is voor het beschrijven van de werking van de natuur. Dus waar in de tijd van de Grieken men uitging van het rechte dat het kortste is, werd nu de relatie omgedraaid het kortste pad volgens een bepaalde maat is het rechte pad. Waarbij wat recht is door de Natuur wordt bepaald, die door de wiskunde beschreven wordt.
Zo kan het kronkelpad dat het individu tijdens zijn leven aflegt, – zijn eigen natuur volgend, daarbij aangetrokken door verschillende zaken – het kortste en dus het rechte pad zijn, als we als maat precies die momenten nemen die op zijn pad liggen. En zo is de cirkel rond en zijn we terug bij Euclides definitie van de rechte lijn. Maar nu een beetje wijzer. Euclides definitie is invariant geldig voor alle mogelijke metrieken en ruimtes.
Zoals gezegd vinden we bij Hilbert geen definities van de basisbegrippen punt, lijn en vlak. Ook definieert hij niet wat een rechte (Gerade) is. De meetkundige basisbegrippen worden vanaf nu alleen nog impliciet door middel van de geldende relaties gedefinieerd. De woorden punt, lijn en vlak zijn slechts gekozen op historische gronden. Je mag er verder niet bij voorstellen. Of, zoals Hilbert eens voor de grap opmerkte: “Men moet altijd in plaats van ‘punten’, ‘rechten’ en ‘vlakken’, ‘tafels’, ‘stoelen’ en ‘bierpullen’ kunnen zeggen.” Met Hilbert kwam er een einde aan de lange weg naar de axiomatisering van de meetkunde. Een weg die door Euclides was ingezet.
In de loop van de geschiedenis heeft de variatieanalyse, die begon met de vraag naar de vorm van de kromme/functie die de natuur volgt volgens het principe van de kortste afstand tussen twee punten, haar toepassing gevonden op vele praktische domeinen, ook buiten de toepassing van de natuurwetenschappen. In 1881 verscheen een werk van de Engelse econoom Francis Edgeworth (1845-1926) getiteld “Mathematical Psychics: an Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences”. Hierin gebruikt Edgeworth the variatietheorie voor het berekenen van de extremen van een ‘happiness function‘, of van een functie die het bereiken van ‘het goede’ in de samenleving beschrijft. Ons ging het om het maximaliseren van de ‘belevingsfunctie’ als het rechte pad naar de supermarkt.
Dat we bij nader inzien hebben afgezien van verder werk aan de verwerkelijking van de technische idee van een ‘belevingsapp’, dat is omdat we ons realiseerden dat zo’n app een mathematisering nodig heeft van hoe de gebruiker van zo’n technisch systeem nog voor hem onbekende ontmoetingen in de toekomst zou kunnen ervaren. Want hoe kun je een maat aangeven die passend is voor het meten van de beleving van een pad naar een bestemming waarvan je niet weet wat deze is en waar die ligt? Een beleving is een individuele persoonlijke ervaring, terwijl techniek een middel levert voor algemeen gebruik. In de beleving raken we de grens van de mathematisering. We laten onze vrijheid niet aan banden leggen door de neiging de toekomst vast te willen leggen in wiskundige formules en kunstmatige intelligentie.
Bronnen
J.H. van den Berg (1969). Metabletica van de materie – meetkundige beschouwingen. Tweede druk, Uitg. Callenbach NV, Nijkerk, 1969.
Prachtig boek waarin de psychiater Van den Berg een metabletische studie presenteert naar de ontwikkeling van de niet-euclidische meetkundes. De metableticus stelt de vraag waarom een bepaalde ontwikkeling zich juist toen en juist daar in de geschiedenis plaats vond en legt verbanden met nieuwe stromingen in bijvoorbeeld de architectuur en de beeldende kunst.
G. Cantor (1915), Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers. Vertaling, inleiding en notities door P.E.B. Jourdain. Dover Publications Inc., New York, 1915. Dit is de Engelse vertaling van de twee artikelen uit de Mathematische Annalen van 1895 en 1897 waarin Cantor zijn theorie van de oneindige verzamelingen uiteenzet.
Kronecker was fel gekant tegen Cantor’s oneindige grootheden. Het bestaan van een verzameling die alle natuurlijke getallen bevat is controversieel. Ze roept opnieuw de vraag op in welke zin wiskundige objecten ‘bestaan’. Kronecker meende dat de natuurlijke getallen door God gegeven zijn, de rest is mensenwerk. De vraag hoeveel natuurlijke getallen er zijn is merkwaardig in die zin dat het vraagt naar de hoeveelheid objecten die we gebruiken om hoeveelheden te tellen. Alsof de getallen zelf geteld zouden kunnen worden.
P.J. Cohen (1966). Set Theory and the Continuum Hypothesis. W.A. Benjamin Inc. Reading, Mass. 1966.
Hierin bewijst Cohen de onafhankelijkheid van de continuumhypothese van ZFC, middels een door hem gevonden ‘forcing’ techniek.
Richard Dedekind (1872). Stetigkeit und Irrationale Zahlen (vierde onveranderde druk: 1912, Vieweg, Braunschweig)
E.J. Dijksterhuis (1930). De elementen van Euclides. Twee delen. Groningen, 1929, 1930.
R. Dijkgraaf (2012). Het nut van nutteloos onderzoek. Uitgeverij Bert Bakker, Amsterdam. Een bundel essays over wetenschappelijk onderzoek.
De paradoxale uitdrukking ‘het nut van nutteloos onderzoek’ is volgens Dijkgraaf afkomstig van de Amerikaanse onderwijskundige Abraham Flexner (1866-1959). Die gebruikte de term in 1921 in een ‘gepassioneerde verdediging van de waarde van de vrij rondwarende scheppende geest.’
Volgens Hegel is de leus van de Verlichting dat ‘alles nuttig is’. Zelfs nutteloos onderzoek moet als nuttig worden gezien om als zinvol gekwalificeerd te kunnen worden. Theoretici als Dijkgraaf wijzen op het belang van ‘schijnbaar nutteloos onderzoek’ om tegenwicht te bieden tegen de heersende opvatting volgens welke er concrete praktische toepassingen moeten worden aangegeven om onderzoek gefinancierd te krijgen. Op de achterkant van het boek wordt het thema van de essays aangeduid met: “Wat is de kortste weg van A naar B, als je niet weet wat B is of waar het ligt?”
Euclides van Alexandrië. The Greek text of J.L. Heiberg (1883–1885) from Euclidis Elementa, edidit et Latine interpretatus est I.L. Heiberg, in aedibus B.G. Teubneri, 1883–1885 edited, and provided with a modern English translation, by Richard Fitzpatrick. This edition of Euclid’s Elements presents the definitive Greek text—i.e., that edited by J.L. Heiberg (18831885)—accompanied by a modern English translation, as well as a Greek-English lexicon.
James Ferguson (2004). A Brief Survey of the History of the Calculus of Variations and its Applications. Een boeiend overzicht van de achtergronden en de ontwikkeling van de ‘calculus of variations’ vanaf Archimedes tot de 21ste eeuw.
Welke kromme in het platte vlak tussen twee gegeven punten heeft de kortste lengte? Dit is het eenvoudigste probleem dat sinds Johan Bernoulli (1667-1748) zijn probleem van de brachistochroon formuleerde (zoek tussen twee punten A en B die niet op gelijke hoogte liggen, de kromme van de snelste baan, uitsluitend afgelegd onder invloed van de zwaartekracht.), een ‘variatieprobleem’ kan worden genoemd. In de variatieanalyse wordt gezocht naar een functie die gegeven een bepaalde maat een maximum of minumum waarde aanneemt. De functie is de eenheid, de continuïteit in de veelheid van punten die op de grafiek ervan liggen. De rechte lijn, de oplossing van het eerste eenvoudige probleem, is de abstracte functie die hoort bij de punten van de lijn, zonder verdere specificatie, zonder regel, het is de regel. De aanname in de variatierekening is dat er een functie bestaat als oplossing van het variatieprobleem. Dat is een metafysisch uitgangspunt, dat uitgedrukt wordt in het principe van Fermat, de kortste weg die het licht aflegt is de snelste weg) of in het principe van de kleinste actie (Maupertius, Hamilton). Wussing noemt ze ‘algemene mathematisch-fysische principes’. (Wussing p. 44).
Marcus Giaquinto (1983). Hilbert’s Philosophy of Mathematics. In: The British Journal for the Philosophy of Science , Jun., 1983, Vol. 34, No. 2 (Jun., 1983), pp. 119-132. Published by: Oxford University
Hilbert’s formalistische filosofie en zijn finitistische programma voor de fundering van de wiskunde zijn gezien de historische context van het positivisme en empirisme niet onredelijk.
In ‘The Foundations Mathematics’ Hilbert specified conditions for reliable logical inference:
(1) the elements of the domain must be extralogical concrete objects of which we have immediate awareness prior to all thought;
Vergelijk dit met Cantor’s naïeve definitie van het begrip verzameling, waar geen enkele restrictie wordt opgelegd aan de objecten die verzameld worden.
(2) the domain must be completely surveyable;
(3) the occurrence and arrangement of the objects must be immediately given (‘anschaulich’), as irreducible facts.
Jeremy Gray (2000). The Hilbert challenge. Oxford; New York: Oxford University Press.
Gray stelt dat Probleem 4 over de rechte lijn te vaag is om opgelost te kunnen worden.
Marvin Jay Greenberg (2010). Old and New Results in the Foundations of Elementary Plane Euclidean and Non-Euclidean Geometries. In: The Mathematical Association of America, March 2010.
Greenberg geeft een historisch overzicht van de ontwikkelingen in de meetkunde vanaf Euclides tot 2010. Daarin speelt de nieuwe axiomatisering door Hilbert een centrale rol. Hilbert’s meta-mathematisch onderzoekingen waren gericht op de logische samenhang en onafhankelijkheid van verschillende begrippen uitgedrukt in stellingen en axioma’s van Euclides elementaire meetkunde. Greenberg brengt naar voren dat de geometrie fundamenteler is dan de getaltheorie. Dat je elementaire meetkunde in de stijl van Euclides kan bedrijven zonder gebruik te maken van de reeële getallen (die ten tijde van Euclides inderdaad niet bestonden, alles werd in termen van lengte van lijnstukken en hun verhoudingen gemeten.) is een belangrijke verdienste van Hilbert. De continuumhypothese en alternatieve definities voor de reeële getallen (Dedekind was de eerste die ze definieerde) maken volgens Greenberg deze getallen ‘controversieel’.
“Robin Hartshorne explains how ‘the true essence of geometry can develop most
naturally and economically’ without real numbers.”
Robin Hartshorne, Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS, Volume 47, Nr. 4, pp 460-465, 2000)
Euclides ontwikkelde een meetkunde zonder gebruik te maken van getallen die lijn segmenten, hoeken en oppervlakken meten. Hartshorne pleit voor meetkunde-onderwijs op basis van puur meetkundige begrippen, zoals in Euclides’ Elementen. Dat is: zonder de meetkundige analyse en de reële getallen. In Euclides tijd waren er nog geen andere getallen dan gehelen.
“In Greek mathematics, as we saw, the only numbers were (positive) integers. What we call a rational number was represented by a ratio of integers. Any other quantity was represented as a geometrical magnitude. This point of view persisted even to the time of Descartes.” (Robin Hartshorne, Teaching Geometry According to Euclid, Notices of the AMS, Volume 47, Nr. 4, pp 460-465, 2000)
Thomas L. Heath (1956). The thirteen Books of Euclid’s Elements, 2 Volumes, New York, 1956.
Thomas L. Heath (1921/1981). A History of Greek Mathematics Volume I From Thales to Euclid. Volume II From Aristachus to Diophantus. Dover classics of science and mathematics
“There is reason to believe, though we are not specifically told, that the definition of a line a ‘breathless length’ originated in the Platonic School, and Plato himself gives a definition of a straight line as ‘that of which the middle covers the ends’ (Parmenides 137E) (i.e. to an eye placed at the either end and looking along the straight line); this seems to me to be the origin of the Euclidian definition ‘a line which lies evenly with the point on it’, which I think. can only be an attempt to express the sense of Plato’s definition in terms to which a geometer could not take exception as travelling outside the subject matter of geometry, i.e. in terms excluding any appeal to vision.” (Heath, 1921, Vol I, p. 293)
David Hilbert (1895). “Ueber die gerade Linie als kürzeste Verbindung zweier Punkte,” Math. Annalen, 46 (1895), 91-96.
David Hilbert (1900). Mathematical Problems. Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900.
Hier presenteerde Hilbert zijn 23 problemen, waarvan probleem 4 vraagt naar meta-mathematisch onderzoek naar het verband tussen de rechte lijn en het kortste pad.
Proclus (2020). The Commentaries of Proclus on the First Book of Euclids Elements of Geometry. Translated by Thomas Taylor (London, 1792) Transcribed by David R. Wilkins August 2020.
Imre Tóth (1972). Die nicht-euklidische Geometrie in der Phänomenologie des Geistes. Wissenschaftstheoretische Betrachtungen zur Entwicklungsgeschichte der Mathematik. Horst Heiderhoff Verlag, Frankfurt am Main. 1972.
Tóth deed uitvoerig onderzoek naar tekenen van het besef van de mogelijkheid van niet-euclidische meetkundes in de periode voor Euclides. Hij ontdekte verschillende passages in de werken van Aristoteles. Tóth’s lezing van Aristoteles’ teksten is zeer kritisch ontvangen. Zo schrijft een reviewer van het boek Aristoteles and the axiomatic foundation of geometry. Prolegomena to the understanding of non-euclidean fragments in the “Corpus Aristotelicum” in their mathematical and philosophical context. “Unfortunately, the book is unconvincing when submitted to a close reading and checked against the sources. This follows in part from the essay style, where misquotations, reformulations and oblique allusions to the sources outweigh precise references, in part from what the reviewer cannot help seeing as distorted interpretations.” (Jens Høyrup (Roskilde) in 2002 Zentralblatt MATH Database 1931– 2002. European Mathematical Society, FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag)
De ontdekking van de Grieken dat de wiskunde geen natuurwetenschap is, zo betoogt Tóth, “ein Resultat des Selbstbewustwerdens des Geistes, eine Gedanke, in dem das Denken sich selbst denkt, ein natürliches Produkt der Phänomenologie des Geistes.” (p. XX/4)
Imre Toth. “Deus fons veritatis”: the Subject and its Freedom. The Ontic Foundation of Mathematical Truth. A biographical-theoretical interview with Gaspare Polizzi.
Met uitvoerige biografische informatie over Tóth.
“And what is more, the absolute meaning of the term “straight line” remains unchanged in the two opposing geometries: the non-Euclidean straight line is equally as “straight” – and never curved – as the Euclidean straight line.” (p. 47)
Hans Wussing (2010) Geschiedenis van de Wiskunde – vanaf de wetenschappelijke revolutie tot aan de twintigste eeuw. Uitgeverij Veen Magazines B.V. 2010. Vertaling uit het Duits 6000 Jahre Mathematik Von Euler bis zur Gegenwart (2009).
Dit boek bevat boeiende biografieën, anekdotes over en brieven van wiskundigen. Het geeft een overzicht in de ontwikkeling van meetkunde, analyse en algebra en hun samenhangen.