We zijn wezen fietsen. Met onze tweewielers achterop het nieuwe fietsenrek reden we in het autootje naar een P-plaats bij een fietsknooppunt ergens aan de andere kant van de Regge. We fietsen van knooppunt naar knooppunt. We stoppen onderweg bij een fietsknooppuntroutebord. De kaart die daarop staat lijkt niet op onze wegenkaart. Op de fietsroutekaart zijn de verbindingen tussen de genummerde knooppunten met een felle kleur en dikke lijnen aangegeven. De andere wegen zijn met dunne lijntjes aangegeven. De kaart schetst een ander beeld van de realiteit. Het is even wennen aan dit niet-standaard beeld.
Op het bord staat in een kader met rode kapitalen U BENT HIER. Het kader wijst met een pijlvormige uitstulping naar een rode stip op de routekaart. Het doet me denken aan Lara Rense die door de radio tegen me zegt “Fijn dat u luistert.” Hoe weet ze dat ik luister? Dat weet ze niet, ze heeft het ook helemaal niet tegen mij. Zoals statistieken over iedereen gaan, maar nooit over mij. En toch werkt het. Ze heeft het tegen “de luisteraar”, een abstracte figuur die een rol speelt in de wereld van de radio. Als Lara iets zeker weet dan is het dat degene die haar dit hoort zeggen luistert. Haar opmerking treft altijd doel omdat de aanname altijd klopt. Het is een soort van wiskundige stelling. Ze had ook kunnen zeggen “Fijn als u luistert.”
Hier, bij deze routekaart lijkt nog iets anders aan de hand te zijn. De uitspraak “u bent hier” is alleen dan waar wanneer ik mij op de plek bevindt die op de kaart wordt aangewezen. Hoe kan ik dat controleren als ik niet weet waar ik ben? Dat kan ik niet. Het bord zegt mij waar ik ben. De plek die aangewezen wordt is de plek op de kaart, niet de plek waar ik mij in werkelijkheid bevindt. Het is een stelling, die niet ontkent noch bevestigd kan worden. Je moet hem accepteren als je het spel mee wilt spelen. De geschilderde pijp van Magritte is de enige pijp die er is.
Heb ik geen andere wereld nodig dan die van de fietsroutekaart? Ik hoef niets anders te doen dan naar de aangegeven gekleurde wegen kijken en naar de nummers van de knooppunten in de buurt van de rode stip waar ik me volgens het bord bevind. Langs het pad staan genummerde bordjes met pijlen naar de volgende knooppunten. Die nummers corresponderen met de nummers op de routekaart. De enige link tussen de mathematische wereld van het bord en de wereld waarin we fietsen. We volgen de pijlen van knooppunt naar knooppunt. We fietsen in de virtuele wereld van de knooppuntenroutes.
Na een paar uur komen we weer bij ons vertrekpunt aan. Het autootje staat er nog. Thuis proberen we op onze kaart de route die we gefietst hebben terug te vinden. Na een uurtje puzzelen geven we het op. Wat maakt het uit. Het was een mooie puzzeltocht. We zijn er even uit geweest. In een andere wereld.
Bij Max Vakantieman worden mensen die op vakantie naar het buitenland zijn geweest gevraagd op een wereldkaart de lokatie aan te geven waar ze geweest zijn. Iemand is naar Kreta geweest. Hij wijst een plek aan in de Atlantische Oceaan. Dat is fout zegt de vakantieman. Hoe weet hij dat? Iemand anders antwoordt op de vraag waar hij geweest is: Ik weet het niet. “gate D56” en drie uur later zijn we uit het vliegtuig gestapt. “Waar ben ik hier?” vroeg de dronken toerist toen hij onderaan de vliegtuigtrap bij bewustzijn kwam. U bent hier in Helsinki, zei de steward. Helsinki, zegt de man. So what!
Wanneer doet zich de vraag voor waar je bent? Zijn we niet altijd hier? Maar wat is hier?
We reizen op snelwegen en volgen de pijlen van toestand naar toestand als in een eindige automaat. Langs de weg staan borden, wat er te zien is. We maken er een foto van. Die bewaren we in ons fotoalbum.
Een paradoxale stand van zaken
Er zijn oneindig veel getallen: 1,2,3,… Aftelbaar veel. Leopold Kronecker zegt dat ze door God geschapen zijn. In de praktijk hebben wij meestal aan een paar getallen wel genoeg. Wiskundigen hebben aan die oneindig veel gehele getallen niet genoeg. Er zijn oneindig veel meer reeële getallen dan natuurlijke getallen. Georg Cantor heeft dat (in 1891) met zijn beroemde diagonaalconstructie bewezen binnen zijn verzamelingenleer, het fundament van de wiskunde.
Thoralf Skolem bewees in 1922 dat elke (consistente, aftelbare, eerste orde) axiomatisering van de verzamelingenleer een aftelbaar model heeft. Dat is een wat hij noemde “paradoxale stand van zaken”. In dat model moeten volgens Cantors bewijsconstructie een overaftelbaar aantal reeële getallen bestaan. Anders is het geen axiomatische theorie van het verzamelingenbegrip. Hoe kan een aftelbaar model overaftelbaar veel getallen bevatten? Dat kan niet. De oplossing is: de constructie van Cantor kan niet binnen het model worden uitgevoerd.
Zoals de routekaart met “hier” slechts voor ons kan verwijzen naar de wereld waarin het bord staat, maar voor de kaart zelf bestaat alleen de rode stip.
De virtuele werelden van spelen en automaten zijn dat alleen voor de mens die ze als spel en als automaat ziet.
